From 96d37991548d3615bea8ce619c0ce2e0b7eeb1b2 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Orestis <orestis.malaspinas@pm.me>
Date: Mon, 28 Oct 2024 20:47:34 +0100
Subject: [PATCH] update 2024
---
slides/cours_5.md | 371 ---------------------------------------------
slides/cours_6.md | 376 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++-
2 files changed, 374 insertions(+), 373 deletions(-)
diff --git a/slides/cours_5.md b/slides/cours_5.md
index b9efba0..e40c99b 100644
--- a/slides/cours_5.md
+++ b/slides/cours_5.md
@@ -239,374 +239,3 @@ for (int i = 0; i < NX; ++i) {
A faire à la maison comme exercice!
-# And now for something completely different
-
-\Huge La récursivité
-
-# La factorielle: Code impératif
-
-* Code impératif
-
-```C
-int factorial(int n) {
- int f = 1;
- for (int i = 1; i < n; ++i) {
- f *= i;
- }
- return f;
-}
-```
-
-# Exemple de récursivité (1/2)
-
-## La factorielle
-
-```C
-int factorial(int n) {
- if (n > 1) {
- return n * factorial(n - 1);
- } else {
- return 1;
- }
-}
-```
-
-. . .
-
-## Que se passe-t-il quand on fait `factorial(4)`?
-
-. . .
-
-## On empile les appels
-
-+----------------+----------------+----------------+----------------+
-| | | | `factorial(1)` |
-+----------------+----------------+----------------+----------------+
-| | | `factorial(2)` | `factorial(2)` |
-+----------------+----------------+----------------+----------------+
-| | `factorial(3)` | `factorial(3)` | `factorial(3)` |
-+----------------+----------------+----------------+----------------+
-| `factorial(4)` | `factorial(4)` | `factorial(4)` | `factorial(4)` |
-+----------------+----------------+----------------+----------------+
-
-# Exemple de récursivité (2/2)
-
-## La factorielle
-
-```C
-int factorial(int n) {
- if (n > 1) {
- return n * factorial(n - 1);
- } else {
- return 1;
- }
-}
-```
-
-. . .
-
-## Que se passe-t-il quand on fait `factorial(4)`?
-
-. . .
-
-## On dépile les calculs
-
-+----------------+----------------+----------------+----------------+
-| `1` | | | |
-+----------------+----------------+----------------+----------------+
-| `factorial(2)` | `2 * 1 = 2` | | |
-+----------------+----------------+----------------+----------------+
-| `factorial(3)` | `factorial(3)` | `3 * 2 = 6` | |
-+----------------+----------------+----------------+----------------+
-| `factorial(4)` | `factorial(4)` | `factorial(4)` | `4 * 6 = 24` |
-+----------------+----------------+----------------+----------------+
-
-# La récursivité (1/4)
-
-## Formellement
-
-* Une condition de récursivité - qui *réduit* les cas successifs vers...
-* Une condition d'arrêt - qui retourne un résultat
-
-## Pour la factorielle, qui est qui?
-
-```C
-int factorial(int n) {
- if (n > 1) {
- return n * factorial(n - 1);
- } else {
- return 1;
- }
-}
-```
-
-# La récursivité (2/4)
-
-## Formellement
-
-* Une condition de récursivité - qui *réduit* les cas successifs vers...
-* Une condition d'arrêt - qui retourne un résultat
-
-## Pour la factorielle, qui est qui?
-
-```C
-int factorial(int n) {
- if (n > 1) { // Condition de récursivité
- return n * factorial(n - 1);
- } else { // Condition d'arrêt
- return 1;
- }
-}
-```
-
-# La récursivité (3/4)
-
-## Exercice: trouver l'$\varepsilon$-machine pour un `double`
-
-. . .
-
-Rappelez-vous vous l'avez fait en style **impératif** plus tôt.
-
-. . .
-
-```C
-double epsilon_machine(double eps) {
- if (1.0 + eps != 1.0) {
- return epsilon_machine(eps / 2.0);
- } else {
- return eps;
- }
-}
-```
-
-# La récursivité (4/4)
-
-\footnotesize
-
-## Exercice: que fait ce code récursif?
-
-```C
-void recurse(int n) {
- printf("%d ", n % 2);
- if (n / 2 != 0) {
- recurse(n / 2);
- } else {
- printf("\n");
- }
-}
-recurse(13);
-```
-
-. . .
-
-```C
-recurse(13): n = 13, n % 2 = 1, n / 2 = 6,
- recurse(6): n = 6, n % 2 = 0, n / 2 = 3,
- recurse(3): n = 3, n % 2 = 1, n / 2 = 1,
- recurse(1): n = 1, n % 2 = 1, n / 2 = 0.
-
-// affiche: 1 1 0 1
-```
-
-. . .
-
-Affiche la représentation binaire d'un nombre!
-
-# Exercice: réusinage et récursivité (1/4)
-
-## Réusiner le code du PGCD avec une fonction récursive
-
-## Étudier l'exécution
-
-```C
-42 = 27 * 1 + 15
-27 = 15 * 1 + 12
-15 = 12 * 1 + 3
-12 = 3 * 4 + 0
-```
-
-# Exercice: réusinage et récursivité (2/4)
-
-## Réusiner le code du PGCD avec une fonction récursive
-
-## Étudier l'exécution
-
-```C
-42 = 27 * 1 + 15 | PGCD(42, 27)
-27 = 15 * 1 + 12 | PGCD(27, 15)
-15 = 12 * 1 + 3 | PGCD(15, 12)
-12 = 3 * 4 + 0 | PGCD(12, 3)
-```
-
-# Exercice: réusinage et récursivité (3/4)
-
-## Réusiner le code du PGCD avec une fonction récursive
-
-## Étudier l'exécution
-
-```C
-42 = 27 * 1 + 15 | PGCD(42, 27)
-27 = 15 * 1 + 12 | PGCD(27, 15)
-15 = 12 * 1 + 3 | PGCD(15, 12)
-12 = 3 * 4 + 0 | PGCD(12, 3)
-```
-
-## Effectuer l'empilage - dépilage
-
-. . .
-
-```C
-PGCD(12, 3) | 3
-PGCD(15, 12) | 3
-PGCD(27, 15) | 3
-PGCD(42, 27) | 3
-```
-
-# Exercice: réusinage et récursivité (4/4)
-
-## Écrire le code
-
-. . .
-
-```C
-int pgcd(int n, int m) {
- if (n % m > 0) {
- return pgcd(m, n % m);
- } else {
- return m;
- }
-}
-```
-
-# La suite de Fibonacci (1/2)
-
-## Règle
-
-$$
-\mathrm{Fib}(n) = \mathrm{Fib}(n-1) + \mathrm{Fib}(n-2),\quad
-\mathrm{Fib}(0)=0,\quad \mathrm{Fib}(1)=1.
-$$
-
-## Exercice: écrire la fonction $\mathrm{Fib}$ en récursif et impératif
-
-. . .
-
-## En récursif (6 lignes)
-
-```C
-int fib(int n) {
- if (n > 1) {
- return fib(n - 1) + fib(n - 2);
- }
- return n;
-}
-```
-
-# La suite de Fibonacci (2/2)
-
-## Et en impératif (11 lignes)
-
-```C
-int fib_imp(int n) {
- int fib0 = 1;
- int fib1 = 1;
- int fib = n == 0 ? 0 : fib1;
- for (int i = 2; i < n; ++i) {
- fib = fib0 + fib1;
- fib0 = fib1;
- fib1 = fib;
- }
- return fib;
-}
-```
-
-# Exponentiation rapide
-
-\Huge L'exponentiation rapide ou indienne
-
-# Exponentiation rapide ou indienne (1/4)
-
-## But: Calculer $x^n$
-
-* Quel est l'algorithmie le plus simple que vous pouvez imaginer?
-
-. . .
-
-```C
-double pow(double x, int n) {
- if (0 == n) {
- return 1;
- }
- double p = c;
- for (int i = 1; i < n; ++i) {
- p = p * x; // x *= x
- }
- return x;
-}
-```
-
-* Combien de multiplication et d'assignations en fonction de `n`?
-
-. . .
-
-* `n` assignations et `n` multiplications.
-
-# Exponentiation rapide ou indienne (2/4)
-
-* Proposez un algorithme naïf et récursif
-
-. . .
-
-```C
-double pow(double x, int n) {
- if (n != 0) {
- return x * pow(x, n-1);
- } else {
- return 1;
- }
-}
-```
-
-# Exponentiation rapide ou indienne (3/4)
-
-## Exponentiation rapide ou indienne de $x^n$
-
-* Écrivons $n=\sum_{i=0}^{d-1}b_i 2^i,\ b_i=\{0,1\}$ (écriture binaire sur $d$ bits, avec
-$d\sim\log_2(n)$).
-*
-$$
-x^n={x^{2^0}}^{b_0}\cdot {x^{2^1}}^{b_1}\cdots {x^{2^{d-1}}}^{b_{d-1}}.
-$$
-* On a besoin de $d$ calculs pour les $x^{2^i}$.
-* On a besoin de $d$ calculs pour évaluer les produits de tous les termes.
-
-## Combien de calculs en terme de $n$?
-
-. . .
-
-* $n$ est représenté en binaire avec $d$ bits $\Rightarrow d\sim\log_2(n)$.
-* il y a $2\log_2(n)\sim \log_2(n)$ calculs.
-
-# Exponentiation rapide ou indienne (4/4)
-
-## Le vrai algorithme
-
-* Si n est pair: calculer $\left(x^{n/2}\cdot x^{n/2}\right)$,
-* Si n est impair: calculer $x \cdot \left(x^{(n-1)/2}\right)^2=x\cdot x^{n-1}$.
-
-## Exercice: écrire l'algorithme récursif correspondant
-
-. . .
-
-```C
-double pow(double x, int n) {
- if (0 == n) {
- return 1;
- } else if (n % 2 == 0) {
- return pow(x, n / 2) * pow(x, n/2);
- } else {
- return x * pow(x, (n-1));
- }
-}
-```
-
diff --git a/slides/cours_6.md b/slides/cours_6.md
index 748b6e2..36aeb20 100644
--- a/slides/cours_6.md
+++ b/slides/cours_6.md
@@ -1,8 +1,380 @@
---
-title: "Représentation des nombres"
-date: "2024-10-14"
+title: "Reécursivité, et représentation des nombres"
+date: "2024-10-29"
---
+# La récursivité
+
+\Huge La récursivité
+
+# La factorielle: Code impératif
+
+* Code impératif
+
+```C
+int factorial(int n) {
+ int f = 1;
+ for (int i = 1; i < n; ++i) {
+ f *= i;
+ }
+ return f;
+}
+```
+
+# Exemple de récursivité (1/2)
+
+## La factorielle
+
+```C
+int factorial(int n) {
+ if (n > 1) {
+ return n * factorial(n - 1);
+ } else {
+ return 1;
+ }
+}
+```
+
+. . .
+
+## Que se passe-t-il quand on fait `factorial(4)`?
+
+. . .
+
+## On empile les appels
+
++----------------+----------------+----------------+----------------+
+| | | | `factorial(1)` |
++----------------+----------------+----------------+----------------+
+| | | `factorial(2)` | `factorial(2)` |
++----------------+----------------+----------------+----------------+
+| | `factorial(3)` | `factorial(3)` | `factorial(3)` |
++----------------+----------------+----------------+----------------+
+| `factorial(4)` | `factorial(4)` | `factorial(4)` | `factorial(4)` |
++----------------+----------------+----------------+----------------+
+
+# Exemple de récursivité (2/2)
+
+## La factorielle
+
+```C
+int factorial(int n) {
+ if (n > 1) {
+ return n * factorial(n - 1);
+ } else {
+ return 1;
+ }
+}
+```
+
+. . .
+
+## Que se passe-t-il quand on fait `factorial(4)`?
+
+. . .
+
+## On dépile les calculs
+
++----------------+----------------+----------------+----------------+
+| `1` | | | |
++----------------+----------------+----------------+----------------+
+| `factorial(2)` | `2 * 1 = 2` | | |
++----------------+----------------+----------------+----------------+
+| `factorial(3)` | `factorial(3)` | `3 * 2 = 6` | |
++----------------+----------------+----------------+----------------+
+| `factorial(4)` | `factorial(4)` | `factorial(4)` | `4 * 6 = 24` |
++----------------+----------------+----------------+----------------+
+
+# La récursivité (1/4)
+
+## Formellement
+
+* Une condition de récursivité - qui *réduit* les cas successifs vers...
+* Une condition d'arrêt - qui retourne un résultat
+
+## Pour la factorielle, qui est qui?
+
+```C
+int factorial(int n) {
+ if (n > 1) {
+ return n * factorial(n - 1);
+ } else {
+ return 1;
+ }
+}
+```
+
+# La récursivité (2/4)
+
+## Formellement
+
+* Une condition de récursivité - qui *réduit* les cas successifs vers...
+* Une condition d'arrêt - qui retourne un résultat
+
+## Pour la factorielle, qui est qui?
+
+```C
+int factorial(int n) {
+ if (n > 1) { // Condition de récursivité
+ return n * factorial(n - 1);
+ } else { // Condition d'arrêt
+ return 1;
+ }
+}
+```
+
+# La récursivité (3/4)
+
+## Exercice: trouver l'$\varepsilon$-machine pour un `double`
+
+. . .
+
+Rappelez-vous vous l'avez fait en style **impératif** plus tôt.
+
+. . .
+
+```C
+double epsilon_machine(double eps) {
+ if (1.0 + eps != 1.0) {
+ return epsilon_machine(eps / 2.0);
+ } else {
+ return eps;
+ }
+}
+```
+
+# La récursivité (4/4)
+
+\footnotesize
+
+## Exercice: que fait ce code récursif?
+
+```C
+void recurse(int n) {
+ printf("%d ", n % 2);
+ if (n / 2 != 0) {
+ recurse(n / 2);
+ } else {
+ printf("\n");
+ }
+}
+recurse(13);
+```
+
+. . .
+
+```C
+recurse(13): n = 13, n % 2 = 1, n / 2 = 6,
+ recurse(6): n = 6, n % 2 = 0, n / 2 = 3,
+ recurse(3): n = 3, n % 2 = 1, n / 2 = 1,
+ recurse(1): n = 1, n % 2 = 1, n / 2 = 0.
+
+// affiche: 1 1 0 1
+```
+
+. . .
+
+Affiche la représentation binaire d'un nombre!
+
+# Exercice: réusinage et récursivité (1/4)
+
+## Réusiner le code du PGCD avec une fonction récursive
+
+## Étudier l'exécution
+
+```C
+42 = 27 * 1 + 15
+27 = 15 * 1 + 12
+15 = 12 * 1 + 3
+12 = 3 * 4 + 0
+```
+
+# Exercice: réusinage et récursivité (2/4)
+
+## Réusiner le code du PGCD avec une fonction récursive
+
+## Étudier l'exécution
+
+```C
+42 = 27 * 1 + 15 | PGCD(42, 27)
+27 = 15 * 1 + 12 | PGCD(27, 15)
+15 = 12 * 1 + 3 | PGCD(15, 12)
+12 = 3 * 4 + 0 | PGCD(12, 3)
+```
+
+# Exercice: réusinage et récursivité (3/4)
+
+## Réusiner le code du PGCD avec une fonction récursive
+
+## Étudier l'exécution
+
+```C
+42 = 27 * 1 + 15 | PGCD(42, 27)
+27 = 15 * 1 + 12 | PGCD(27, 15)
+15 = 12 * 1 + 3 | PGCD(15, 12)
+12 = 3 * 4 + 0 | PGCD(12, 3)
+```
+
+## Effectuer l'empilage - dépilage
+
+. . .
+
+```C
+PGCD(12, 3) | 3
+PGCD(15, 12) | 3
+PGCD(27, 15) | 3
+PGCD(42, 27) | 3
+```
+
+# Exercice: réusinage et récursivité (4/4)
+
+## Écrire le code
+
+. . .
+
+```C
+int pgcd(int n, int m) {
+ if (n % m > 0) {
+ return pgcd(m, n % m);
+ } else {
+ return m;
+ }
+}
+```
+
+# La suite de Fibonacci (1/2)
+
+## Règle
+
+$$
+\mathrm{Fib}(n) = \mathrm{Fib}(n-1) + \mathrm{Fib}(n-2),\quad
+\mathrm{Fib}(0)=0,\quad \mathrm{Fib}(1)=1.
+$$
+
+## Exercice: écrire la fonction $\mathrm{Fib}$ en récursif et impératif
+
+. . .
+
+## En récursif (6 lignes)
+
+```C
+int fib(int n) {
+ if (n > 1) {
+ return fib(n - 1) + fib(n - 2);
+ }
+ return n;
+}
+```
+
+# La suite de Fibonacci (2/2)
+
+## Et en impératif (11 lignes)
+
+```C
+int fib_imp(int n) {
+ int fib0 = 1;
+ int fib1 = 1;
+ int fib = n == 0 ? 0 : fib1;
+ for (int i = 2; i < n; ++i) {
+ fib = fib0 + fib1;
+ fib0 = fib1;
+ fib1 = fib;
+ }
+ return fib;
+}
+```
+
+# Exponentiation rapide
+
+\Huge L'exponentiation rapide ou indienne
+
+# Exponentiation rapide ou indienne (1/4)
+
+## But: Calculer $x^n$
+
+* Quel est l'algorithmie le plus simple que vous pouvez imaginer?
+
+. . .
+
+```C
+double pow(double x, int n) {
+ if (0 == n) {
+ return 1;
+ }
+ double p = c;
+ for (int i = 1; i < n; ++i) {
+ p = p * x; // x *= x
+ }
+ return x;
+}
+```
+
+* Combien de multiplication et d'assignations en fonction de `n`?
+
+. . .
+
+* `n` assignations et `n` multiplications.
+
+# Exponentiation rapide ou indienne (2/4)
+
+* Proposez un algorithme naïf et récursif
+
+. . .
+
+```C
+double pow(double x, int n) {
+ if (n != 0) {
+ return x * pow(x, n-1);
+ } else {
+ return 1;
+ }
+}
+```
+
+# Exponentiation rapide ou indienne (3/4)
+
+## Exponentiation rapide ou indienne de $x^n$
+
+* Écrivons $n=\sum_{i=0}^{d-1}b_i 2^i,\ b_i=\{0,1\}$ (écriture binaire sur $d$ bits, avec
+$d\sim\log_2(n)$).
+*
+$$
+x^n={x^{2^0}}^{b_0}\cdot {x^{2^1}}^{b_1}\cdots {x^{2^{d-1}}}^{b_{d-1}}.
+$$
+* On a besoin de $d$ calculs pour les $x^{2^i}$.
+* On a besoin de $d$ calculs pour évaluer les produits de tous les termes.
+
+## Combien de calculs en terme de $n$?
+
+. . .
+
+* $n$ est représenté en binaire avec $d$ bits $\Rightarrow d\sim\log_2(n)$.
+* il y a $2\log_2(n)\sim \log_2(n)$ calculs.
+
+# Exponentiation rapide ou indienne (4/4)
+
+## Le vrai algorithme
+
+* Si n est pair: calculer $\left(x^{n/2}\cdot x^{n/2}\right)$,
+* Si n est impair: calculer $x \cdot \left(x^{(n-1)/2}\right)^2=x\cdot x^{n-1}$.
+
+## Exercice: écrire l'algorithme récursif correspondant
+
+. . .
+
+```C
+double pow(double x, int n) {
+ if (0 == n) {
+ return 1;
+ } else if (n % 2 == 0) {
+ return pow(x, n / 2) * pow(x, n/2);
+ } else {
+ return x * pow(x, (n-1));
+ }
+}
+```
+
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# Représentation des nombres
\Huge La représentation des nombres
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