From b30fee97abf0b74f9a527ec7c3402df2bef64336 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Orestis <orestis.malaspinas@pm.me>
Date: Mon, 25 Nov 2024 08:39:08 +0100
Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?m=C3=A0j=202024?=
MIME-Version: 1.0
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3 files changed, 1448 insertions(+), 491 deletions(-)
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index f131bdf..570d7c4 100644
--- a/slides/cours_8.md
+++ b/slides/cours_8.md
@@ -603,494 +603,3 @@ $$
$$
-# Tri à bulle (1/4)
-
-## Algorithme
-
-* Parcours du tableau et comparaison des éléments consécutifs:
- - Si deux éléments consécutifs ne sont pas dans l'ordre, ils sont échangés.
-* On recommence depuis le début du tableau jusqu'à avoir plus d'échanges à
- faire.
-
-## Que peut-on dire sur le dernier élément du tableau après un parcours?
-
-. . .
-
-* Le plus grand élément est **à la fin** du tableau.
- * Plus besoin de le traiter.
-* A chaque parcours on s'arrête un élément plus tôt.
-
-# Tri à bulle (2/4)
-
-## Exemple
-
-
-
-
-# Tri à bulle (3/4)
-
-## Exercice: écrire l'algorithme (poster le résultat sur matrix)
-
-. . .
-
-```C
-rien tri_a_bulles(entier tableau[])
- pour i de longueur(tableau)-1 à 1:
- trié = vrai
- pour j de 0 à i-1:
- si (tableau[j] > tableau[j+1])
- échanger(tableau[j], tableau[j+1])
- trié = faux
-
- si trié
- retourner
-```
-
-# Tri à bulle (4/4)
-
-## Quelle est la complexité du tri à bulles?
-
-. . .
-
-* Dans le meilleurs des cas:
- * Le tableau est déjà trié: $\mathcal{O}(N)$ comparaisons.
-* Dans le pire des cas, $N\cdot (N-1)/2\sim\mathcal{O}(N^2)$:
-$$
-\sum_{i=1}^{N-1}i\mbox{ comparaison et }3\sum_{i=1}^{N-1}i \mbox{ affectations
-(swap)}\Rightarrow \mathcal{O}(N^2).
-$$
-* En moyenne, $\mathcal{O}(N^2)$ ($N^2/2$ comparaisons).
-
-# L'algorithme à la main
-
-## Exercice *sur papier*
-
-* Trier par tri à bulles le tableau `[5, -2, 1, 3, 10, 15, 7, 4]`
-
-```C
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-```
-
-# Tri par insertion (1/3)
-
-## But
-
-* trier un tableau par ordre croissant
-
-## Algorithme
-
-Prendre un élément du tableau et le mettre à sa place parmi les éléments déjà
-triés du tableau.
-
-
-
-# Tri par insertion (2/3)
-
-## Exercice: Proposer un algorithme (en C)
-
-. . .
-
-```C
-void tri_insertion(int N, int tab[N]) {
- for (int i = 1; i < N; i++) {
- int tmp = tab[i];
- int pos = i;
- while (pos > 0 && tab[pos - 1] > tmp) {
- tab[pos] = tab[pos - 1];
- pos = pos - 1;
- }
- tab[pos] = tmp;
- }
-}
-```
-
-# Tri par insertion (3/3)
-
-## Question: Quelle est la complexité?
-
-. . .
-
-* Parcours de tous les éléments ($N-1$ passages dans la boucle)
- * Placer: en moyenne $i$ comparaisons et affectations à l'étape $i$
-* Moyenne: $\mathcal{O}(N^2)$
-
-. . .
-
-* Pire des cas, liste triée à l'envers: $\mathcal{O}(N^2)$
-* Meilleurs des cas, liste déjà triée: $\mathcal{O}(N)$
-
-# L'algorithme à la main
-
-## Exercice *sur papier*
-
-* Trier par insertion le tableau `[5, -2, 1, 3, 10]`
-
-```C
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-```
-
-# Complexité algorithmique du radix-sort (1/2)
-
-## Pseudo-code
-
-```python
-rien radix_sort(entier taille, entier tab[taille]):
-# initialisation
- entier val_min = valeur_min(taille, tab)
- entier val_max = valeur_max(taille, tab)
- decaler(taille, tab, val_min)
- entier nb_bits = nombre_de_bits(val_max - val_min)
-# algo
- entier tab_tmp[taille]
- pour pos de 0 à nb_bits:
- alveole_0(taille, tab, tab_tmp, pos) # 0 -> taille
- alveole_1(taille, tab, tab_tmp, pos) # taille -> 0
- echanger(tab, tab_tmp)
-# post-traitement
- decaler(taille, tab, -val_min)
-```
-
-# Complexité algorithmique du radix-sort (2/2)
-
-\footnotesize
-
-<!-- Voici une liste de parcours utilitaires de tableau:
-
-1. Recherche de la valeur minimum ```val_min```
-2. Recherche de la valeur maximum ```val_max```
-3. Décalage des valeurs dans l'intervalle ```0..val_max-val_min```
-4. Décalage inverse pour revenir dans l'intervalle ```val_min..val_max```
-5. Copie éventuelle du tableau temporaire dans le tableau originel
-
-On a donc un nombre de parcours fixe (4 ou 5) qui se font en $\mathcal{O}(N)$ où $N$ est la taille du tableau.
-
-La partie du tri à proprement parler est une boucle sur le nombre de bits *b* de ```val_min..val_max```.
-
-A chaque passage à travers la boucle, on parcourt 2 fois le tableau: la 1ère fois pour s'occuper des éléments dont le bit courant à 0; la 2ème pour ceux dont le bit courant est à 1.
-
-A noter que le nombre d'opérations est de l'ordre de *b* pour la lecture d'un bit et constant pour la fonction ```swap_ptr()```.
-
-Ainsi, la complexité du tri par base est $\mathcal{O}(b\cdot N)$. -->
-
-## Pseudo-code
-
-```python
-rien radix_sort(entier taille, entier tab[taille]):
-# initialisation
- entier val_min = valeur_min(taille, tab) # O(taille)
- entier val_max = valeur_max(taille, tab) # O(taille)
- decaler(taille, tab, val_min) # O(taille)
- entier nb_bits =
- nombre_de_bits(val_max - val_min) # O(nb_bits)
-# algo
- entier tab_tmp[taille]
- pour pos de 0 à nb_bits: # O(nb_bits)
- alveole_0(taille, tab, tab_tmp, pos) # O(taille)
- alveole_1(taille, tab, tab_tmp, pos) # O(taille)
- echanger(tab, tab_tmp) # O(1)
-# post-traitement
- decaler(taille, tab, -val_min) # O(N)
-```
-
-. . .
-
-* Au final: $\mathcal{O}(N\cdot (b+4))$.
-
-# Complexité algorithmique du merge-sort (1/2)
-
-## Pseudo-code
-
-```python
-rien tri_fusion(entier taille, entier tab[taille])
- entier tab_tmp[taille];
- entier nb_etapes = log_2(taille) + 1;
- pour etape de 0 a nb_etapes - 1:
- entier gauche = 0;
- entier t_tranche = 2**etape;
- tant que (gauche < taille):
- fusion(
- tab[gauche..gauche+t_tranche-1],
- tab[gauche+t_tranche..gauche+2*t_tranche-1],
- tab_tmp[gauche..gauche+2*t_tranche-1]);
- gauche += 2*t_tranche;
- echanger(tab, tab_tmp);
-```
-
-# Complexité algorithmique du merge-sort (2/2)
-
-## Pseudo-code
-
-```python
-rien tri_fusion(entier taille, entier tab[taille])
- entier tab_tmp[taille]
- entier nb_etapes = log_2(taille) + 1
- pour etape de 0 a nb_etapes - 1: # O(log2(taille))
- entier gauche = 0;
- entier t_tranche = 2**etape
- tant que (gauche < taille): # O(taille)
- fusion(
- tab[gauche..gauche+t_tranche-1],
- tab[gauche+t_tranche..gauche+2*t_tranche-1],
- tab_tmp[gauche..gauche+2*t_tranche-1])
- gauche += 2*t_tranche
- echanger(tab, tab_tmp)
-```
-
-. . .
-
-* Au final: $\mathcal{O}(N\log_2(N))$.
-
-# Complexité algorithmique du quick-sort (1/2)
-
-## Pseudocode: quicksort
-
-```python
-rien quicksort(entier tableau[], entier ind_min, entier ind_max)
- si (longueur(tab) > 1)
- ind_pivot = partition(tableau, ind_min, ind_max)
- si (longueur(tableau[ind_min:ind_pivot-1]) != 0)
- quicksort(tableau, ind_min, pivot_ind - 1)
- si (longueur(tableau[ind_pivot+1:ind_max-1]) != 0)
- quicksort(tableau, ind_pivot + 1, ind_max)
-```
-
-
-
-# Complexité algorithmique du quick-sort (2/2)
-
-## Quelle est la complexité du tri rapide?
-
-. . .
-
-* Pire des cas: $\mathcal{O}(N^2)$
- * Quand le pivot sépare toujours le tableau de façon déséquilibrée ($N-1$
- éléments d'un côté $1$ de l'autre).
- * $N$ boucles et $N$ comparaisons $\Rightarrow N^2$.
-* Meilleur des cas (toujours le meilleur pivot): $\mathcal{O}(N\cdot \log_2(N))$.
- * Chaque fois le tableau est séparé en $2$ parties égales.
- * On a $\log_2(N)$ partitions, et $N$ boucles $\Rightarrow N\cdot
- \log_2(N)$.
-* En moyenne: $\mathcal{O}(N\cdot \log_2(N))$.
-
-# Le problème des 8-reines
-
-\Huge Le problème des 8-reines
-
-# Problème des 8-reines
-
-* Placer 8 reines sur un échiquier de $8 \times 8$.
-* Sans que les reines ne puissent se menacer mutuellement (92 solutions).
-
-## Conséquence
-
-* Deux reines ne partagent pas la même rangée, colonne, ou diagonale.
-* Donc chaque solution a **une** reine **par colonne** ou **ligne**.
-
-## Généralisation
-
-* Placer $N$ reines sur un échiquier de $N \times
- N$.
-- Exemple de **backtracking** (retour en arrière) $\Rightarrow$ récursivité.
-
-](./figs/fig_recursivite_8_reines.png){width=35%}
-
-# Problème des 2-reines
-
-{width=50%}
-
-# Comment trouver les solutions?
-
-* On pose la première reine sur la première case disponible.
-* On rend inaccessibles toutes les cases menacées.
-* On pose la reine suivante sur la prochaine case non-menacée.
-* Jusqu'à ce qu'on puisse plus poser de reine.
-* On revient alors en arrière jusqu'au dernier coup où il y avait plus qu'une
- possibilité de poser une reine.
-* On recommence depuis là.
-
-. . .
-
-* Le jeu prend fin quand on a énuméré *toutes* les possibilités de poser les
- reines.
-
-# Problème des 3-reines
-
-
-
-# Problème des 4-reines
-
-
-
-# Problème des 4-reines, symétrie
-
-
-
-# Problème des 5 reines
-
-## Exercice: Trouver une solution au problème des 5 reines
-
-* Faire une capture d'écran / une photo de votre solution et la poster sur
- matrix.
-
-```C
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-```
-
-# Quelques observations sur le problème
-
-* Une reine par colonne au plus.
-* On place les reines sur des colonnes successives.
-* On a pas besoin de "regarder en arrière" (on place "devant" uniquement).
-* Trois étapes:
- * On place une reine dans une case libre.
- * On met à jour le tableau.
- * Quand on a plus de cases libres on "revient dans le temps" ou c'est qu'on
- a réussi.
-
-# Le code du problème des 8 reines (1/5)
-
-## Quelle structure de données?
-
-. . .
-
-Une matrice de booléens fera l'affaire:
-
-```C
-bool board[n][n];
-```
-
-## Quelles fonctionnalités?
-
-. . .
-
-```C
-// Pour chaque ligne placer la reine sur toutes les colonnes
-// et compter les solutions
-void nbr_solutions(board, column, counter);
-// Copier un tableau dans un autre
-void copy(board_in, board_out);
-// Placer la reine à li, co et rendre inaccessible devant
-void placer_devant(board, li, co);
-```
-
-# Le code du problème des 8 reines (2/5)
-
-## Le calcul du nombre de solutions
-
-```C
-// Calcule le nombre de solutions au problème des <n> reines
-rien nbr_solutions(board, column, count)
- pour chaque ligne
- si la case libre
- si column < n - 1
- copier board dans un "new" board,
- y poser une reine
- et mettre à jour ce "new" board
- nbr_solutions(new_board, column+1, count)
- sinon
- on a posé la n-ème et on a gagné
- count += 1
-```
-
-# Le code du problème des 8 reines (3/5)
-
-## Le calcul du nombre de solutions
-
-```C
-// Placer une reine et mettre à jour
-rien placer_devant(board, ligne, colonne)
- board est occupé à ligne/colonne
- toutes les cases des colonnes
- suivantes sont mises à jour
-```
-
-# Le code du problème des 8 reines (4/5)
-
-## Compris? Alors écrivez le code et postez le!
-
-. . .
-
-## Le nombre de solutions
-
-\footnotesize
-
-```C
-// Calcule le nombre de solutions au problème des <n> reines
-void nb_sol(int n, bool board[n][n], int co, int *ptr_cpt) {
- for (int li = 0; li < n; li++) {
- if (board[li][co]) {
- if (co < n-1) {
- bool new_board[n][n]; // alloué à chaque nouvelle tentative
- copy(n, board, new_board);
- prises_devant(n, new_board, li, co);
- nb_sol(n, new_board, co+1, ptr_cpt);
- } else {
- *ptr_cpt = (*ptr_cpt)+1;
- }
- }
- }
-}
-```
-
-
-# Le code du problème des 8 reines (5/5)
-
-\footnotesize
-
-## Placer devant
-
-```C
-// Retourne une copie du tableau <board> complété avec les positions
-// prises sur la droite droite par une reine placée en <board(li,co)>
-void placer_devant(int n, bool board[n][n], int li, int co) {
- board[li][co] = false; // position de la reine
- for (int j = 1; j < n-co; j++) {
- // horizontale et diagonales à droite de la reine
- if (j <= li) {
- board[li-j][co+j] = false;
- }
- board[li][co+j] = false;
- if (li+j < n) {
- board[li+j][co+j] = false;
- }
- }
-}
-```
diff --git a/slides/cours_9.md b/slides/cours_9.md
new file mode 100644
index 0000000..71d4667
--- /dev/null
+++ b/slides/cours_9.md
@@ -0,0 +1,725 @@
+---
+title: "Tris, complexité, backtracking et assertions"
+date: "2024-11-25"
+header-includes: |
+ \usepackage{xcolor}
+---
+
+# Le tri à bulle
+
+# Tri à bulle (1/4)
+
+## Algorithme
+
+* Parcours du tableau et comparaison des éléments consécutifs:
+ - Si deux éléments consécutifs ne sont pas dans l'ordre, ils sont échangés.
+* On recommence depuis le début du tableau jusqu'à avoir plus d'échanges à
+ faire.
+
+## Que peut-on dire sur le dernier élément du tableau après un parcours?
+
+. . .
+
+* Le plus grand élément est **à la fin** du tableau.
+ * Plus besoin de le traiter.
+* A chaque parcours on s'arrête un élément plus tôt.
+
+# Tri à bulle (2/4)
+
+## Exemple
+
+
+
+
+# Tri à bulle (3/4)
+
+## Exercice: écrire l'algorithme (poster le résultat sur matrix)
+
+. . .
+
+```C
+rien tri_a_bulles(entier tableau[])
+ pour i de longueur(tableau)-1 à 1:
+ trié = vrai
+ pour j de 0 à i-1:
+ si (tableau[j] > tableau[j+1])
+ échanger(tableau[j], tableau[j+1])
+ trié = faux
+
+ si trié
+ retourner
+```
+
+# Tri à bulle (4/4)
+
+## Quelle est la complexité du tri à bulles?
+
+. . .
+
+* Dans le meilleurs des cas:
+ * Le tableau est déjà trié: $\mathcal{O}(N)$ comparaisons.
+* Dans le pire des cas, $N\cdot (N-1)/2\sim\mathcal{O}(N^2)$:
+$$
+\sum_{i=1}^{N-1}i\mbox{ comparaison et }3\sum_{i=1}^{N-1}i \mbox{ affectations
+(swap)}\Rightarrow \mathcal{O}(N^2).
+$$
+* En moyenne, $\mathcal{O}(N^2)$ ($N^2/2$ comparaisons).
+
+# L'algorithme à la main
+
+## Exercice *sur papier*
+
+* Trier par tri à bulles le tableau `[5, -2, 1, 3, 10, 15, 7, 4]`
+
+```C
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+```
+
+# Tri par insertion (1/3)
+
+## But
+
+* trier un tableau par ordre croissant
+
+## Algorithme
+
+Prendre un élément du tableau et le mettre à sa place parmi les éléments déjà
+triés du tableau.
+
+
+
+# Tri par insertion (2/3)
+
+## Exercice: Proposer un algorithme (en C)
+
+. . .
+
+```C
+void tri_insertion(int N, int tab[N]) {
+ for (int i = 1; i < N; i++) {
+ int tmp = tab[i];
+ int pos = i;
+ while (pos > 0 && tab[pos - 1] > tmp) {
+ tab[pos] = tab[pos - 1];
+ pos = pos - 1;
+ }
+ tab[pos] = tmp;
+ }
+}
+```
+
+# Tri par insertion (3/3)
+
+## Question: Quelle est la complexité?
+
+. . .
+
+* Parcours de tous les éléments ($N-1$ passages dans la boucle)
+ * Placer: en moyenne $i$ comparaisons et affectations à l'étape $i$
+* Moyenne: $\mathcal{O}(N^2)$
+
+. . .
+
+* Pire des cas, liste triée à l'envers: $\mathcal{O}(N^2)$
+* Meilleurs des cas, liste déjà triée: $\mathcal{O}(N)$
+
+# L'algorithme à la main
+
+## Exercice *sur papier*
+
+* Trier par insertion le tableau `[5, -2, 1, 3, 10]`
+
+```C
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+```
+
+# Complexité algorithmique du radix-sort (1/2)
+
+## Pseudo-code
+
+```python
+rien radix_sort(entier taille, entier tab[taille]):
+# initialisation
+ entier val_min = valeur_min(taille, tab)
+ entier val_max = valeur_max(taille, tab)
+ decaler(taille, tab, val_min)
+ entier nb_bits = nombre_de_bits(val_max - val_min)
+# algo
+ entier tab_tmp[taille]
+ pour pos de 0 à nb_bits:
+ alveole_0(taille, tab, tab_tmp, pos) # 0 -> taille
+ alveole_1(taille, tab, tab_tmp, pos) # taille -> 0
+ echanger(tab, tab_tmp)
+# post-traitement
+ decaler(taille, tab, -val_min)
+```
+
+# Complexité algorithmique du radix-sort (2/2)
+
+\footnotesize
+
+<!-- Voici une liste de parcours utilitaires de tableau:
+
+1. Recherche de la valeur minimum ```val_min```
+2. Recherche de la valeur maximum ```val_max```
+3. Décalage des valeurs dans l'intervalle ```0..val_max-val_min```
+4. Décalage inverse pour revenir dans l'intervalle ```val_min..val_max```
+5. Copie éventuelle du tableau temporaire dans le tableau originel
+
+On a donc un nombre de parcours fixe (4 ou 5) qui se font en $\mathcal{O}(N)$ où $N$ est la taille du tableau.
+
+La partie du tri à proprement parler est une boucle sur le nombre de bits *b* de ```val_min..val_max```.
+
+A chaque passage à travers la boucle, on parcourt 2 fois le tableau: la 1ère fois pour s'occuper des éléments dont le bit courant à 0; la 2ème pour ceux dont le bit courant est à 1.
+
+A noter que le nombre d'opérations est de l'ordre de *b* pour la lecture d'un bit et constant pour la fonction ```swap_ptr()```.
+
+Ainsi, la complexité du tri par base est $\mathcal{O}(b\cdot N)$. -->
+
+## Pseudo-code
+
+```python
+rien radix_sort(entier taille, entier tab[taille]):
+# initialisation
+ entier val_min = valeur_min(taille, tab) # O(taille)
+ entier val_max = valeur_max(taille, tab) # O(taille)
+ decaler(taille, tab, val_min) # O(taille)
+ entier nb_bits =
+ nombre_de_bits(val_max - val_min) # O(nb_bits)
+# algo
+ entier tab_tmp[taille]
+ pour pos de 0 à nb_bits: # O(nb_bits)
+ alveole_0(taille, tab, tab_tmp, pos) # O(taille)
+ alveole_1(taille, tab, tab_tmp, pos) # O(taille)
+ echanger(tab, tab_tmp) # O(1)
+# post-traitement
+ decaler(taille, tab, -val_min) # O(N)
+```
+
+. . .
+
+* Au final: $\mathcal{O}(N\cdot (b+4))$.
+
+# Complexité algorithmique du merge-sort (1/2)
+
+## Pseudo-code
+
+```python
+rien tri_fusion(entier taille, entier tab[taille])
+ entier tab_tmp[taille];
+ entier nb_etapes = log_2(taille) + 1;
+ pour etape de 0 a nb_etapes - 1:
+ entier gauche = 0;
+ entier t_tranche = 2**etape;
+ tant que (gauche < taille):
+ fusion(
+ tab[gauche..gauche+t_tranche-1],
+ tab[gauche+t_tranche..gauche+2*t_tranche-1],
+ tab_tmp[gauche..gauche+2*t_tranche-1]);
+ gauche += 2*t_tranche;
+ echanger(tab, tab_tmp);
+```
+
+# Complexité algorithmique du merge-sort (2/2)
+
+## Pseudo-code
+
+```python
+rien tri_fusion(entier taille, entier tab[taille])
+ entier tab_tmp[taille]
+ entier nb_etapes = log_2(taille) + 1
+ pour etape de 0 a nb_etapes - 1: # O(log2(taille))
+ entier gauche = 0;
+ entier t_tranche = 2**etape
+ tant que (gauche < taille): # O(taille)
+ fusion(
+ tab[gauche..gauche+t_tranche-1],
+ tab[gauche+t_tranche..gauche+2*t_tranche-1],
+ tab_tmp[gauche..gauche+2*t_tranche-1])
+ gauche += 2*t_tranche
+ echanger(tab, tab_tmp)
+```
+
+. . .
+
+* Au final: $\mathcal{O}(N\log_2(N))$.
+
+# Complexité algorithmique du quick-sort (1/2)
+
+## Pseudocode: quicksort
+
+```python
+rien quicksort(entier tableau[], entier ind_min, entier ind_max)
+ si (longueur(tab) > 1)
+ ind_pivot = partition(tableau, ind_min, ind_max)
+ si (longueur(tableau[ind_min:ind_pivot-1]) != 0)
+ quicksort(tableau, ind_min, pivot_ind - 1)
+ si (longueur(tableau[ind_pivot+1:ind_max-1]) != 0)
+ quicksort(tableau, ind_pivot + 1, ind_max)
+```
+
+
+
+# Complexité algorithmique du quick-sort (2/2)
+
+## Quelle est la complexité du tri rapide?
+
+. . .
+
+* Pire des cas: $\mathcal{O}(N^2)$
+ * Quand le pivot sépare toujours le tableau de façon déséquilibrée ($N-1$
+ éléments d'un côté $1$ de l'autre).
+ * $N$ boucles et $N$ comparaisons $\Rightarrow N^2$.
+* Meilleur des cas (toujours le meilleur pivot): $\mathcal{O}(N\cdot \log_2(N))$.
+ * Chaque fois le tableau est séparé en $2$ parties égales.
+ * On a $\log_2(N)$ partitions, et $N$ boucles $\Rightarrow N\cdot
+ \log_2(N)$.
+* En moyenne: $\mathcal{O}(N\cdot \log_2(N))$.
+
+# Le problème des 8-reines
+
+\Huge Le problème des 8-reines
+
+# Problème des 8-reines
+
+* Placer 8 reines sur un échiquier de $8 \times 8$.
+* Sans que les reines ne puissent se menacer mutuellement (92 solutions).
+
+## Conséquence
+
+* Deux reines ne partagent pas la même rangée, colonne, ou diagonale.
+* Donc chaque solution a **une** reine **par colonne** ou **ligne**.
+
+## Généralisation
+
+* Placer $N$ reines sur un échiquier de $N \times
+ N$.
+- Exemple de **backtracking** (retour en arrière) $\Rightarrow$ récursivité.
+
+](./figs/fig_recursivite_8_reines.png){width=35%}
+
+# Problème des 2-reines
+
+{width=50%}
+
+# Comment trouver les solutions?
+
+* On pose la première reine sur la première case disponible.
+* On rend inaccessibles toutes les cases menacées.
+* On pose la reine suivante sur la prochaine case non-menacée.
+* Jusqu'à ce qu'on puisse plus poser de reine.
+* On revient alors en arrière jusqu'au dernier coup où il y avait plus qu'une
+ possibilité de poser une reine.
+* On recommence depuis là.
+
+. . .
+
+* Le jeu prend fin quand on a énuméré *toutes* les possibilités de poser les
+ reines.
+
+# Problème des 3-reines
+
+
+
+# Problème des 4-reines
+
+
+
+# Problème des 4-reines, symétrie
+
+
+
+# Problème des 5 reines
+
+## Exercice: Trouver une solution au problème des 5 reines
+
+* Faire une capture d'écran / une photo de votre solution et la poster sur
+ matrix.
+
+```C
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+```
+
+# Quelques observations sur le problème
+
+* Une reine par colonne au plus.
+* On place les reines sur des colonnes successives.
+* On a pas besoin de "regarder en arrière" (on place "devant" uniquement).
+* Trois étapes:
+ * On place une reine dans une case libre.
+ * On met à jour le tableau.
+ * Quand on a plus de cases libres on "revient dans le temps" ou c'est qu'on
+ a réussi.
+
+# Le code du problème des 8 reines (1/5)
+
+## Quelle structure de données?
+
+. . .
+
+Une matrice de booléens fera l'affaire:
+
+```C
+bool board[n][n];
+```
+
+## Quelles fonctionnalités?
+
+. . .
+
+```C
+// Pour chaque ligne placer la reine sur toutes les colonnes
+// et compter les solutions
+void nbr_solutions(board, column, counter);
+// Copier un tableau dans un autre
+void copy(board_in, board_out);
+// Placer la reine à li, co et rendre inaccessible devant
+void placer_devant(board, li, co);
+```
+
+# Le code du problème des 8 reines (2/5)
+
+## Le calcul du nombre de solutions
+
+```C
+// Calcule le nombre de solutions au problème des <n> reines
+rien nbr_solutions(board, column, count)
+ pour chaque ligne
+ si la case libre
+ si column < n - 1
+ copier board dans un "new" board,
+ y poser une reine
+ et mettre à jour ce "new" board
+ nbr_solutions(new_board, column+1, count)
+ sinon
+ on a posé la n-ème et on a gagné
+ count += 1
+```
+
+# Le code du problème des 8 reines (3/5)
+
+## Le calcul du nombre de solutions
+
+```C
+// Placer une reine et mettre à jour
+rien placer_devant(board, ligne, colonne)
+ board est occupé à ligne/colonne
+ toutes les cases des colonnes
+ suivantes sont mises à jour
+```
+
+# Le code du problème des 8 reines (4/5)
+
+## Compris? Alors écrivez le code et postez le!
+
+. . .
+
+## Le nombre de solutions
+
+\footnotesize
+
+```C
+// Calcule le nombre de solutions au problème des <n> reines
+void nb_sol(int n, bool board[n][n], int co, int *ptr_cpt) {
+ for (int li = 0; li < n; li++) {
+ if (board[li][co]) {
+ if (co < n-1) {
+ bool new_board[n][n]; // alloué à chaque nouvelle tentative
+ copy(n, board, new_board);
+ prises_devant(n, new_board, li, co);
+ nb_sol(n, new_board, co+1, ptr_cpt);
+ } else {
+ *ptr_cpt = (*ptr_cpt)+1;
+ }
+ }
+ }
+}
+```
+
+
+# Le code du problème des 8 reines (5/5)
+
+\footnotesize
+
+## Placer devant
+
+```C
+// Retourne une copie du tableau <board> complété avec les positions
+// prises sur la droite droite par une reine placée en <board(li,co)>
+void placer_devant(int n, bool board[n][n], int li, int co) {
+ board[li][co] = false; // position de la reine
+ for (int j = 1; j < n-co; j++) {
+ // horizontale et diagonales à droite de la reine
+ if (j <= li) {
+ board[li-j][co+j] = false;
+ }
+ board[li][co+j] = false;
+ if (li+j < n) {
+ board[li+j][co+j] = false;
+ }
+ }
+}
+```
+
+# Les piles
+
+\Huge Les piles
+
+# Les piles (1/5)
+
+## Qu'est-ce donc?
+
+* Structure de données abstraite...
+
+. . .
+
+* de type `LIFO` (*Last in first out*).
+
+_LIFO.svg)](figs/Stack.svg){width=70%}
+
+## Des exemples de la vraie vie
+
+. . .
+
+* Pile d'assiettes, de livres, ...
+* Adresses visitées par un navigateur web.
+* Les calculatrices du passé (en polonaise inverse).
+* Les boutons *undo* de vos éditeurs de texte (aka *u* dans vim).
+
+# Les piles (2/5)
+
+## Fonctionnalités
+
+. . .
+
+1. Empiler (push): ajouter un élément sur la pile.
+2. Dépiler (pop): retirer l'élément du sommet de la pile et le retourner.
+3. Liste vide? (is_empty?).
+
+. . .
+
+4. Jeter un œil (peek): retourner l'élément du sommet de la pile (sans le dépiler).
+5. Nombre d'éléments (length).
+
+## Comment faire les 4, 5 à partir de 1 à 3?
+
+. . .
+
+4. Dépiler l'élément, le copier, puis l'empiler à nouveau.
+5. Dépiler jusqu'à ce que la pile soit vide, puis empiler à nouveau.
+
+. . .
+
+## Existe en deux goûts
+
+* Pile avec ou sans limite de capacité (à concurrence de la taille de la
+mémoire).
+
+# Les piles (3/5)
+
+## Implémentation
+
+* Jusqu'ici on n'a pas du tout parlé d'implémentation (d'où le nom de structure
+ abstraite).
+* Pas de choix unique d'implémentation.
+
+## Quelle structure de données allons nous utiliser?
+
+. . .
+
+Et oui vous avez deviné: un tableau!
+
+## La structure: de quoi avons-nous besoin (pile de taille fixe)?
+
+. . .
+
+```C
+#define MAX_CAPACITY 500
+typedef struct _stack {
+ int data[MAX_CAPACITY]; // les données
+ int top; // indice du sommet
+} stack;
+```
+
+# Les piles (4/5)
+
+## Initialisation
+
+. . .
+
+```C
+void stack_init(stack *s) {
+ s->top = -1;
+}
+```
+
+## Est vide?
+
+. . .
+
+```C
+bool stack_is_empty(stack s) {
+ return s.top == -1;
+}
+```
+
+## Empiler (ajouter un élément au sommet)
+
+. . .
+
+```C
+void stack_push(stack *s, int val) {
+ s->top += 1;
+ s->data[s->top] = val;
+}
+```
+
+# Les piles (5/5)
+
+## Dépiler (enlever l'élément du sommet)
+
+. . .
+
+```C
+int stack_pop(stack *s) {
+ s->top -= 1;
+ return s->data[s->top+1];
+}
+```
+
+## Jeter un oeil (regarder le sommet)
+
+. . .
+
+```C
+int stack_peek(stack s) {
+ return s.data[s.top];
+}
+```
+
+## Quelle est la complexité de ces opérations?
+
+. . .
+
+## Voyez-vous des problèmes potentiels avec cette implémentation?
+
+. . .
+
+* Empiler avec une pile pleine.
+* Dépiler avec une pile vide.
+* Jeter un oeil au sommet d'une pile vide.
+
+# Gestion d'erreur, level 0
+
+* Il y a plusieurs façon de traiter les erreur:
+ * Ne rien faire (laisser la responsabilité à l'utilisateur).
+ * Faire paniquer le programme (il plante plus ou moins violemment).
+ * Utiliser des codes d'erreurs.
+
+## La panique
+
+* En C, on a les `assert()` pour faire paniquer un programme.
+
+# Les assertions
+
+\Huge Les assertions
+
+# Assertions (1/3)
+
+```C
+#include <assert.h>
+void assert(int expression);
+```
+
+## Qu'est-ce donc?
+
+- Macro permettant de tester une condition lors de l'exécution d'un programme:
+ - Si `expression == 0`{.C} (condition fausse), `assert()`{.C} affiche un message d'erreur sur `stderr`{.C} et termine l'exécution du programme.
+ - Sinon l'exécution se poursuit normalement.
+ - Peuvent être désactivés à la compilation avec `-DNDEBUG` (équivalent à `#define NDEBUG`)
+
+## À quoi ça sert?
+
+- Permet de réaliser des tests unitaires.
+- Permet de tester des conditions catastrophiques d'un programme.
+- **Ne permet pas** de gérer les erreurs.
+
+# Assertions (2/3)
+
+<!-- \footnotesize -->
+
+## Exemple
+
+```C
+#include <assert.h>
+void stack_push(stack *s, int val) {
+ assert(s->top < MAX_CAPACITY-1);
+ s->top += 1;
+ s->data[s->top] = val;
+}
+int stack_pop(stack *s) {
+ assert(s->top >= 0);
+ s->top -= 1;
+ return s->data[s->top+1];
+}
+int stack_peek(stack *s) {
+ assert(s->top >= 0);
+ return s->data[s->top];
+}
+```
+
+# Assertions (3/3)
+
+## Cas typiques d'utilisation
+
+- Vérification de la validité des pointeurs (typiquement `!= NULL`{.C}).
+- Vérification du domaine des indices (dépassement de tableau).
+
+## Bug vs. erreur de *runtime*
+
+- Les assertions sont là pour détecter les bugs (erreurs d'implémentation).
+- Les assertions ne sont pas là pour gérer les problèmes externes au programme (allocation mémoire qui échoue, mauvais paramètre d'entrée passé par l'utilisateur, ...).
+
+. . .
+
+- Mais peuvent être pratiques quand même pour ça...
+- Typiquement désactivées dans le code de production.
diff --git a/slides/figs/Stack.svg b/slides/figs/Stack.svg
new file mode 100644
index 0000000..49629d2
--- /dev/null
+++ b/slides/figs/Stack.svg
@@ -0,0 +1,723 @@
+<?xml version="1.0" encoding="UTF-8" standalone="no"?>
+<!-- Created with Inkscape (http://www.inkscape.org/) -->
+
+<svg
+ xmlns:dc="http://purl.org/dc/elements/1.1/"
+ xmlns:cc="http://creativecommons.org/ns#"
+ xmlns:rdf="http://www.w3.org/1999/02/22-rdf-syntax-ns#"
+ xmlns:svg="http://www.w3.org/2000/svg"
+ xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"
+ xmlns:sodipodi="http://sodipodi.sourceforge.net/DTD/sodipodi-0.dtd"
+ xmlns:inkscape="http://www.inkscape.org/namespaces/inkscape"
+ width="877.8725"
+ height="238.06184"
+ id="svg2"
+ sodipodi:version="0.32"
+ inkscape:version="0.92.5 (2060ec1f9f, 2020-04-08)"
+ sodipodi:docname="Stack.svg"
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+ version="1.0">
+ <defs
+ id="defs4">
+ <marker
+ inkscape:stockid="Arrow1Lstart"
+ orient="auto"
+ refY="0"
+ refX="0"
+ id="Arrow1Lstart"
+ style="overflow:visible">
+ <path
+ id="path3595"
+ d="M 0,0 5,-5 -12.5,0 5,5 Z"
+ style="fill-rule:evenodd;stroke:#000000;stroke-width:1.00000003pt;marker-start:none"
+ transform="matrix(0.8,0,0,0.8,10,0)"
+ inkscape:connector-curvature="0" />
+ </marker>
+ <inkscape:perspective
+ sodipodi:type="inkscape:persp3d"
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+ id="perspective10" />
+ <inkscape:perspective
+ id="perspective2390"
+ inkscape:persp3d-origin="372.04724 : 350.78739 : 1"
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+ <inkscape:perspective
+ id="perspective2397"
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+ <sodipodi:namedview
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+ id="metadata7">
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+ rdf:about="">
+ <dc:format>image/svg+xml</dc:format>
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+ rdf:resource="http://purl.org/dc/dcmitype/StillImage" />
+ <dc:title></dc:title>
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+ </rdf:RDF>
+ </metadata>
+ <g
+ inkscape:label="Layer 1"
+ inkscape:groupmode="layer"
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+ inkscape:connector-curvature="0" />
+ <path
+ style="display:inline;overflow:visible;visibility:visible;fill:none;fill-opacity:1;fill-rule:evenodd;stroke:#000000;stroke-width:1.5;stroke-linecap:round;stroke-linejoin:round;stroke-miterlimit:4;stroke-dasharray:none;stroke-dashoffset:0;stroke-opacity:1;marker:none;marker-start:none;marker-mid:none;marker-end:none;enable-background:accumulate"
+ d="M 61.055945,1019.9845 H 196.05595 v 24.6667 H 61.055945 Z"
+ id="path3165"
+ inkscape:connector-curvature="0" />
+ <path
+ id="path3167"
+ d="M 61.055945,994.98453 H 196.05595 v 24.66667 H 61.055945 Z"
+ style="display:inline;overflow:visible;visibility:visible;fill:none;fill-opacity:1;fill-rule:evenodd;stroke:#000000;stroke-width:1.5;stroke-linecap:round;stroke-linejoin:round;stroke-miterlimit:4;stroke-dasharray:none;stroke-dashoffset:0;stroke-opacity:1;marker:none;marker-start:none;marker-mid:none;marker-end:none;enable-background:accumulate"
+ inkscape:connector-curvature="0" />
+ <text
+ id="text3169"
+ y="1039.6512"
+ x="46.568642"
+ style="font-style:normal;font-variant:normal;font-weight:normal;font-stretch:normal;line-height:0%;font-family:Arial;-inkscape-font-specification:Arial;text-align:start;writing-mode:lr-tb;text-anchor:start;fill:#000000;fill-opacity:1;stroke:none;stroke-width:1px;stroke-linecap:butt;stroke-linejoin:miter;stroke-opacity:1"
+ xml:space="preserve"><tspan
+ y="1039.6512"
+ x="46.568642"
+ id="tspan3171"
+ sodipodi:role="line"
+ style="font-size:20px;line-height:1.25">1</tspan></text>
+ <text
+ id="text3173"
+ y="1014.6512"
+ x="46.055946"
+ style="font-style:normal;font-variant:normal;font-weight:normal;font-stretch:normal;line-height:0%;font-family:Arial;-inkscape-font-specification:Arial;text-align:start;writing-mode:lr-tb;text-anchor:start;fill:#000000;fill-opacity:1;stroke:none;stroke-width:1px;stroke-linecap:butt;stroke-linejoin:miter;stroke-opacity:1"
+ xml:space="preserve"><tspan
+ y="1014.6512"
+ x="46.055946"
+ id="tspan3175"
+ sodipodi:role="line"
+ style="font-size:20px;line-height:1.25">2</tspan></text>
+ <text
+ id="text3177"
+ y="989.52429"
+ x="45.855751"
+ style="font-style:normal;font-variant:normal;font-weight:normal;font-stretch:normal;line-height:0%;font-family:Arial;-inkscape-font-specification:Arial;text-align:start;writing-mode:lr-tb;text-anchor:start;fill:#000000;fill-opacity:1;stroke:none;stroke-width:1px;stroke-linecap:butt;stroke-linejoin:miter;stroke-opacity:1"
+ xml:space="preserve"><tspan
+ y="989.52429"
+ x="45.855751"
+ id="tspan3179"
+ sodipodi:role="line"
+ style="font-size:20px;line-height:1.25">3</tspan></text>
+ <path
+ style="display:inline;overflow:visible;visibility:visible;fill:none;fill-opacity:1;fill-rule:evenodd;stroke:#000000;stroke-width:1.5;stroke-linecap:round;stroke-linejoin:round;stroke-miterlimit:4;stroke-dasharray:none;stroke-dashoffset:0;stroke-opacity:1;marker:none;marker-start:none;marker-mid:none;marker-end:none;enable-background:accumulate"
+ d="M 61.055945,969.98453 H 196.05595 v 24.66672 H 61.055945 Z"
+ id="path2403"
+ inkscape:connector-curvature="0" />
+ <path
+ id="path2405"
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+ style="display:inline;overflow:visible;visibility:visible;fill:none;fill-opacity:1;fill-rule:evenodd;stroke:#000000;stroke-width:1.5;stroke-linecap:round;stroke-linejoin:round;stroke-miterlimit:4;stroke-dasharray:none;stroke-dashoffset:0;stroke-opacity:1;marker:none;marker-start:none;marker-mid:none;marker-end:none;enable-background:accumulate"
+ inkscape:connector-curvature="0" />
+ <text
+ xml:space="preserve"
+ style="font-style:normal;font-variant:normal;font-weight:normal;font-stretch:normal;line-height:0%;font-family:Arial;-inkscape-font-specification:Arial;text-align:start;writing-mode:lr-tb;text-anchor:start;fill:#000000;fill-opacity:1;stroke:none;stroke-width:1px;stroke-linecap:butt;stroke-linejoin:miter;stroke-opacity:1"
+ x="46.178017"
+ y="964.62195"
+ id="text2407"><tspan
+ sodipodi:role="line"
+ id="tspan2409"
+ x="46.178017"
+ y="964.62195"
+ style="font-size:20px;line-height:1.25">4</tspan><tspan
+ id="tspan2415"
+ sodipodi:role="line"
+ x="46.178017"
+ y="989.62195"
+ style="font-size:20px;line-height:1.25"> </tspan></text>
+ <text
+ id="text2411"
+ y="1064.1959"
+ x="45.885048"
+ style="font-style:normal;font-variant:normal;font-weight:normal;font-stretch:normal;line-height:0%;font-family:Arial;-inkscape-font-specification:Arial;text-align:start;writing-mode:lr-tb;text-anchor:start;fill:#000000;fill-opacity:1;stroke:none;stroke-width:1px;stroke-linecap:butt;stroke-linejoin:miter;stroke-opacity:1"
+ xml:space="preserve"><tspan
+ y="1064.1959"
+ x="45.885048"
+ id="tspan2413"
+ sodipodi:role="line"
+ style="font-size:20px;line-height:1.25">0</tspan></text>
+ <path
+ id="path2544"
+ d="m 242.8671,1044.6512 h 135 v 24.6667 h -135 z"
+ style="display:inline;overflow:visible;visibility:visible;fill:none;fill-opacity:1;fill-rule:evenodd;stroke:#000000;stroke-width:1.5;stroke-linecap:round;stroke-linejoin:round;stroke-miterlimit:4;stroke-dasharray:none;stroke-dashoffset:0;stroke-opacity:1;marker:none;marker-start:none;marker-mid:none;marker-end:none;enable-background:accumulate"
+ inkscape:connector-curvature="0" />
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