slides_2022/cours_21.md

+---
+title: "Barnes-Hut et B-arbres"
+date: "2023-05-12"
+---
+
+# Le cours précédent
+
+## A quoi sert l'algorithme de Barnes-Hut?
+
+. . .
+
+* A accélérer la résolution du problème à $n$-corps avec la gravitation,
+* si on peut vivre avec une réduction de précision.
+
+## Sur quelle structure de données se base l'algorithme?
+
+* L'arbre quaternaire.
+
+. . .
+
+## Quelle est l'idée générale?
+
+. . .
+
+* Si un groupe d'étoiles est suffisamment loin, on le modélise comme un corps unique situé en son centre de masse.
+* Exemple: Si on simule plusieurs galaxies, on considère chaque galaxie comme un corps unique!
+* Un arbre quaternaire est une structure parfaite pour regrouper les étoiles.
+
+
+# Le cas à 10 corps
+
+::: columns
+
+:::: {.column width=50%}
+
+## Illustration: le cas à 10 corps
+
+![](figs/nbody_bare.png){width=60%}
+
+::::
+
+:::: {.column width=50%}
+
+## Problématique
+
+* On veut calculer la force sur $1$.
+
+::::
+
+:::
+
+. . .
+
+
+::: columns
+
+:::: {.column width=50%}
+
+## Illustration: le cas à 10 corps
+
+![](figs/nbody_n2.png){width=60%}
+
+
+::::
+
+:::: {.column width=50%}
+
+## Résultat
+
+* Calcul et somme des forces venant des $9$ autre corps.
+
+::::
+
+:::
+
+# Le cas à 10 corps
+
+::: columns
+
+:::: {.column width=50%}
+
+## Réduction d'un groupe à un seul corps
+
+![](figs/nbody_group.png){width=100%}
+
+::::
+
+:::: {.column width=50%}
+
+## Idée
+
+* On accélère le calcul en traitant un groupe comme un seul corps.
+* Fonctionne uniquement si le groupe est assez loin.
+* Autrement l'approximation est trop grossière.
+
+::::
+
+:::
+
+# Solution: l'arbre quaternaire
+
+## Corps célestes - arbre
+
+![](figs/nbody_qt_withtree.png)
+
+* On omet les nœuds vides pour éviter la surcharge.
+* La numérotation est:
+    * 0: ID
+    * 1: SD
+    * 2: IG
+    * 3: SG
+
+# Exemple d'insertion
+
+::: columns
+
+:::: {.column width=50%}
+
+## Insertion corps 1
+
+![](figs/corps1.png){width=100%}
+
+::::
+
+:::: {.column width=50%}
+
+## Arbre, niveau 1
+
+![](figs/arbre1.png){width=100%}
+
+* Quadrant ID.
+* La feuille est vide, on insère.
+
+::::
+
+:::
+
+# Exemple d'insertion
+
+::: columns
+
+:::: {.column width=50%}
+
+## Insertion corps 2
+
+![](figs/corps2.png){width=100%}
+
+::::
+
+:::: {.column width=50%}
+
+## Arbre, niveau 1
+
+![](figs/arbre2.png){width=100%}
+
+* Quadrant SD.
+* La feuille est vide, on insère.
+
+::::
+
+:::
+
+# Exemple d'insertion
+
+::: columns
+
+:::: {.column width=50%}
+
+## Insertion corps 3 (1/N)
+
+![](figs/corps3_1.png){width=100%}
+
+::::
+
+:::: {.column width=50%}
+
+## Arbre, niveau 1
+
+![](figs/arbre3_1.png){width=100%}
+
+* Quadrant SD.
+* La feuille est prise par 2.
+
+::::
+
+:::
+
+# Exemple d'insertion
+
+::: columns
+
+:::: {.column width=50%}
+
+## Insertion corps 3 (2/N)
+
+![](figs/corps3_2.png){width=100%}
+
+::::
+
+:::: {.column width=50%}
+
+## Arbre, niveau 2
+
+![](figs/arbre3_2.png){width=100%}
+
+* On crée un nouveau nœud.
+* Deux corps dans le nœud ID.
+* On crée un nouveau nœud.
+
+::::
+
+:::
+
+# Exemple d'insertion
+
+::: columns
+
+:::: {.column width=50%}
+
+## Insertion corps 3 (3/N)
+
+![](figs/corps3_3.png){width=100%}
+
+::::
+
+:::: {.column width=50%}
+
+## Arbre, niveau 3
+
+![](figs/arbre3_3.png){width=100%}
+
+* 2 va dans ID.
+* 3 va dans SG.
+* C'est des feuilles vides, tout va bien.
+
+::::
+
+:::
+
+# Exemple d'insertion
+
+::: columns
+
+:::: {.column width=50%}
+
+## Que fait-on avec les nœuds intérieurs?
+
+* On les utilise pour:
+    * stocker la masse totale;
+    * stocker le centre de masse.
+
+\begin{align}
+m&=m_2+m_3,\\
+\vec x &= \frac{m_2\vec x_2+m_3\vec x_3}{m}.
+\end{align}
+
+## Chaque feuille contient **une étoile**
+
+::::
+
+:::: {.column width=50%}
+
+## Arbre
+
+![](figs/arbre3_3.png){width=100%}
+
+::::
+
+:::
+
+# Résumé
+
+* Insertion du corps `c` dans le nœud `n` en partant de la racine.
+* Si le nœud `n`
+    * ne contient pas de corps, on y dépose `c`,
+    * est interne, on met à jour masse et centre de masse. `c` est inséré récursivement dans le bon quadrant.
+    * est externe, on subdivise `n`, on met à jour la masse et centre de masse, on insère récursivement les deux nœuds dans les quadrants appropriés.
+
+## Remarque
+
+* Il faut stocker les coordonnées des quadrants.
+* Un nœud a un comportement différent s'il est interne ou externe.
+
+# Algorithme d'insertion
+
+## Structure de données
+
+```C
+struct node
+    etoile e // externe: pour stocker 
+    etoile sup_etoile // interne: pour stocker m, x
+    quadrant q  // coordonnées du quadrant
+    node enfants[4]
+```
+
+## Remarque: 
+
+* On fait une simplification "moche": `sup_etoile` pourrait juste avoir une masse et une position.
+
+# Algorithme d'insertion
+
+\footnotesize
+
+## Algorithme d'insertion, pseudo-code (15min, matrix)
+
+. . .
+
+```C
+rien insertion_etoile(arbre, e)  
+    si (!est_vide(arbre) && dans_le_quadrant(arbre.q, e.x)) {
+        si (est_feuille(arbre))
+            si (!contient_etoile(arbre))
+                arbre.e = e
+            sinon
+                // on crée enfants et arbre.sup_etoile est initialisée
+                subdivision_arbre(arbre, e) 
+                pour enfant dans arbre.enfants
+                    insertion_etoile(enfant, arbre.e)
+                pour enfant dans arbre.enfants
+                    insertion_etoile(enfant, e)
+                destruction(arbre.e)
+        sinon
+            maj_masse_cdm(arbre.sup_etoile, e)
+            pour enfant dans arbre.enfants
+                insertion_etoile(enfant, e)
+```
+
+# Utilisation de l'arbre
+
+* L'arbre est rempli: comment on calcule la force sur le corps 1?
+* Parcours de l'arbre: 
+    * si la distance entre 1 et le centre de masse est suffisante, on utilise la masse totale et centre de masse pour calculer la force.
+    * sinon, on continue le parcours
+
+# Calcul de la force
+
+## Calcul de la force sur `1`
+
+![](figs/force_1.png)
+
+* Le cadrant ID ne contient que `1`, rien à faire.
+
+# Calcul de la force
+
+## Calcul de la force sur `1`
+
+![](figs/force_2.png)
+
+* Le cadrant SG ne contient `5` corps.
+
+# Calcul de la force
+
+## Calcul de la force sur `1`
+
+![](figs/force_3.png)
+
+* La distance entre `1` et le centre de masse de SG est `d`.
+
+# Calcul de la force
+
+## Calcul de la force sur `1`
+
+![](figs/force_4.png)
+
+* La distance entre `1` et le centre de masse de SG est `d`.
+* Est-ce que `d` est assez grand?
+* On va comparer avec la distance `d` avec la taille du quadrant `s`.
+
+# Critère $\theta$
+
+* On compare $d=||\vec x_1-\vec x_{cm}||$ avec $s$ la taille du quadrant.
+* Le domain est assez éloigné si
+
+    $$
+    \frac{s}{d}<\theta,
+    $$
+* $\theta$ est la valeur de seuil.
+* Une valeur typique est $\theta=0.5$, donc la condition devient
+
+    $$
+    d>2s.
+    $$
+
+# Calcul de la force
+
+## Calcul de la force sur `1`
+
+![](figs/force_4.png)
+
+* Ici $d<2s$, domaine rejeté.
+* ON descend dans l'arbre.
+
+# Calcul de la force
+
+## Calcul de la force sur `1`
+
+![](figs/force_5.png)
+
+* `s` est plus petit, mais....
+* Cela ne suffit pas $d<2s$, domaine rejeté.
+
+# Calcul de la force
+
+## Calcul de la force sur `1`
+
+![](figs/force_6.png)
+
+* Les nœuds sont des feuilles, on calcule la force.
+* On ajoute la force qu'ils exercent sur `1`.
+
+# Algorithme pour le calcul de la force
+
+Pour calculer la force sur un corps `c`, on parcourt l'arbre en commençant par la racine:
+
+* Si le nœud `n` est une feuille et n'est pas `c`, on ajoute la force dûe à `n` sur `c`;
+* Sinon si $s/d<\theta$, on traite `n` comme une feuille et on ajoute la force dûe à `n` sur `c`;
+* Sinon on continue sur les enfants récursivement.
+
+
+## Continuons notre exemple précédent!
+
+# Calcul de la force
+
+## Calcul de la force sur `1`
+
+![](figs/force_7.png)
+
+* Il y a deux corps dans le quadrant vert.
+* Quel est le critère pour remplacer les étoiles par leur centre de masse?
+
+. . .
+
+* Et oui! $d>2s$ on peut remplacer les étoiles par leur centre de masse!
+
+# Algorithme du calcul de force
+
+## Écrire le pseudo-code-code du calcul de la force
+
+\footnotesize
+
+```C
+rien maj_force_sur_etoile(arbre, e, theta)
+    si est_vide(arbre)
+        retourne
+
+    si est_feuille(arbre) && contient_etoile(arbre) && dans_le_quadrant(arbre.q, e.x)
+        maj_force(e, arbre.e)
+    sinon si noeud_assez_loin(arbre, e, theta)
+        maj_force(e, arbre.sup_etoile)
+    sinon
+        pour enfant dans enfants
+            maj_force_sur_etoile(enfant, e, theta)
+```
+
+# Les B-arbres
+
+## Problématique
+
+* Grands jeux de données (en 1970).
+* Stockage dans un arbre, mais l'arbre tiens pas en mémoire.
+* Regrouper les sous-arbres en **pages** qui tiennent en mémoire.
+
+## Exemple
+
+* 100 nœuds par page et l'arbre comporte $10^6$ nœuds:
+    * Recherche B-arbre: $\log_{100}(10^6)=3$;
+    * Recherche ABR: $\log_2(10^6)=20$.
+* Si on doit lire depuis le disque: $10\mathrm{ms}$ par recherche+lecture:
+    * $30\mathrm{ms}$ (lecture beaucoup plus rapide que recherche) vs $200\mathrm{ms}=0.2\mathrm{s}$.
+
+## Remarques
+
+* On sait pas ce que veut dire `B`: Bayer, Boeing, Balanced?
+* Variante plus récente B+-arbres.
+
+# Les B-arbres
+
+## Illustration, arbre divisé en pages de 3 nœuds
+
+![Arbre divisé en pages de 3 nœuds](figs/barbres_page3.png)
+
+. . .
+
+## Utilisation
+
+* Bases de données (souvent très grandes donc sur le disque);
+* Système de fichier.
+
+# Les B-arbres
+
+## Avantages
+
+* Arbres moins profonds;
+* Diminue les opération de rééquilibrage;
+* Complexité toujours en $\log(N)$;
+
+. . .
+
+## Définition: B-arbre d'ordre $n$
+
+* Chaque page d'un arbre contient au plus $2\cdot n$ *clés*;
+* Chaque page (excepté la racine) contient au moins $n$ clés;
+* Chaque page qui contient $m$ clés contient soit:
+    * $0$ descendants;
+    * $m+1$ descendants.
+* Toutes les pages terminales apparaissent au même niveau.
+
+# Les B-arbres
+
+## Est-ce un B-arbre?
+
+![B-arbre d'ordre 2.](figs/barbres_exemple.png)
+
+. . .
+
+## Oui!
+
+* Dans chaque nœud les clés sont **triées**.
+* Chaque page contient au plus $n$ nœuds: check;
+* Chaque nœud avec $m$ clés a $m+1$ descendants;
+* Toutes les feuilles apparaissent au même niveau.
+
+# Les B-arbres
+
+## Exemple de recherche: trouver `32`
+
+![B-arbre d'ordre 2.](figs/barbres_exemple.png)
+ 
+. . .
+
+* Si `n` plus petit que la 1e clé ou plus grand que la dernière descendre.
+* Sinon parcourir (par bissection ou séquentiellement) jusqu'à trouver ou descendre entre 2 éléments.
+
+# Les B-arbres
+
+## La recherche de la clé `C` algorithme 
+
+0. En partant de la racine.
+1. Si on est dans une feuille:
+    * Si la `C` est dans une page, retourner la page;
+    * Sinon c'est perdu.
+2. Sinon:
+    * Tant que `C > page` passer à la page suivante
+    * Descendre
+
+# Les B-arbres
+
+## Disclaimer
+
+* Inspiration de <https://en.wikipedia.org/wiki/B-tree>
+
+## Exemples d'insertion: `1`
+
+![B-arbre d'ordre 1.](figs/barbres_1.svg)
+ 
+. . .
+
+* L'arbre est vide, on insère juste dans la première page.
+
+# Les B-arbres
+
+## Exemples d'insertion: `2`
+
+![B-arbre d'ordre 1. Nombre pages max = 2.](figs/barbres_2.svg)
+ 
+. . .
+
+* La première page est pas pleine, on insère dans l'ordre (après 1).
+
+# Les B-arbres
+
+## Exemples d'insertion: `3`
+
+![B-arbre d'ordre 1.](figs/barbres_2.svg){width=50%}
+
+* Comment on insère (1min de réflexion avant de donner une réponse!)?
+
+# Les B-arbres
+
+## Exemples d'insertion: `3`
+
+![B-arbre d'ordre 1. Nombre pages max = 2.](figs/barbres_3.svg){width=50%}
+ 
+. . .
+
+* La page est pleine, on crée deux enfants.
+* On choisit, `2`, la médiane de `1, 2, 3` et il est inséré à la racine.
+* `1` descend à gauche, `3` descend à droite.
+
+# Les B-arbres
+
+## Exemples d'insertion: `4`
+
+![B-arbre d'ordre 1.](figs/barbres_3.svg){width=50%}
+ 
+* Comment on insère (1min de réflexion avant de donner une réponse!)?
+
+# Les B-arbres
+
+## Exemples d'insertion: `4`
+
+![B-arbre d'ordre 1. Nombre enfants 0 ou 2.](figs/barbres_4.svg){width=50%}
+ 
+. . .
+
+* On pourrait insérer à droite de `2`, mais... ça ferait 2 parents pour 2 enfants (mais `m` parents => `m+1` enfants ou `0`);
+* On descend à droite (`4 > 2`);
+* On insère à droite de `3`.
+
+# Les B-arbres
+
+## Exemples d'insertion: `5`
+
+![B-arbre d'ordre 1.](figs/barbres_4.svg){width=50%}
+ 
+* Comment on insère (1min de réflexion avant de donner une réponse!)?
+
+# Les B-arbres
+
+## Exemples d'insertion: `5`
+
+![B-arbre d'ordre 1.](figs/barbres_5.svg)
+ 
+. . .
+
+* On descend à droite (on peut pas insérer à la racine comme pour `4`);
+* On dépasse la capacité de l'enfant droite;
+* `4`, médiane de `3, 4, 5`, remonte à la racine;
+* On crée un nouveau nœud à droite de `4`;
+* La règle `m => m+1` est ok.
+
+# Les B-arbres
+
+## Exemples d'insertion: `6`
+
+![B-arbre d'ordre 1.](figs/barbres_5.svg){width=50%}
+ 
+* Comment on insère (1min de réflexion avant de donner une réponse!)?
+
+# Les B-arbres
+
+## Exemples d'insertion: `6`
+
+![B-arbre d'ordre 1.](figs/barbres_6.svg)
+ 
+. . .
+
+* `6 > 4` on descend à droite;
+* `6 > 5` et on a à la place à droite, on insère.
+
+# Les B-arbres
+
+## Exemples d'insertion: `7`
+
+![B-arbre d'ordre 1.](figs/barbres_6.svg){width=50%}
+ 
+* Comment on insère (1min de réflexion avant de donner une réponse!)?
+
+# Les B-arbres
+
+## Exemples d'insertion: `7`
+
+![B-arbre d'ordre 1.](figs/barbres_7.svg){width=50%}
+ 
+. . .
+
+* `7 > 4` on descend à droite;
+* `7 > 6` mais on a dépassé la capacité;
+* `6` est la médiane de `5, 6, 7`, remonte à la racine;
+* `5` reste à gauche, `7` à droite, mais `6` fait dépasser la capacité de la racine;
+* `4` est la médiane de `2, 4, 6`, `4` remonte, `2` reste à gauche, `6` à droite.
+
+# Les B-arbres
+
+## L'algorithme d'insertion
+
+0. Rechercher la feuille (la page a aucun enfant) où insérer;
+1. Si la page n'est pas pleine insérer dans l'ordre croissant.
+2. Si la page est pleine, on sépare la page en son milieu :
+    1. On trouve la médiane, `M`, de la page;
+    2. On met les éléments `< M` dans la page de gauche de `M` et les `> M` dans la page de droite de `M`;
+    3. `M` est insérée récursivement dans la page parent.
+
+# Les B-arbres
+
+## Exercice: insérer `22, 45, 50` dans l'arbre d'ordre 2 (3min matrix)
+
+![](figs/barbres_ex1.png)
+
+. . .
+
+![](figs/barbres_ex2.png)
+
+
+# Les B-arbres
+
+## Exercice: insérer `5` dans l'arbre d'ordre 2 (3min matrix)
+
+![](figs/barbres_ex2.png)
+
+. . .
+
+![](figs/barbres_ex3.png)
+
+# Les B-arbres
+
+## Exercice: insérer `32, 55, 60` dans l'arbre d'ordre 2 (3min matrix)
+
+![](figs/barbres_ex3.png)
+
+. . .
+
+![](figs/barbres_ex4.png)
+
+# Les B-arbres
+
+## Exercice: insérer `41` dans l'arbre d'ordre 2 (3min matrix)
+
+![](figs/barbres_ex4.png)
+
+. . .
+
+![](figs/barbres_ex5.png)
+
+# Les B-arbres
+
+## Exercice (matrix, 15min)
+
+* Insérer 20, 40, 10, 30, 15, 35, 7, 26, 18, 22, 5, 42, 13, 46, 27, 8, 32, 38, 24, 45, 25, 2, 14, 28, 32, 41,
+* Dans un B-arbre d'ordre 2.
+

slides_2022/cours_22.md

+---
+title: "B-arbres"
+date: "2023-05-19"
+---
+
+# Rappel: Les B-arbres
+
+## Pourquoi utiliser un B-arbre?
+
+. . .
+
+## À quoi ressemble un B-arbre?
+
+. . .
+
+## Qu'est-ce qu'un B-arbre d'ordre $n$
+
+* Chaque page d'un arbre contient au plus $2\cdot n$ *clés*;
+* Chaque page (excepté la racine) contient au moins $n$ clés;
+* Chaque page qui contient $m$ clés contient soit:
+    * $0$ descendants;
+    * $m+1$ descendants.
+* Toutes les pages terminales apparaissent au même niveau.
+
+
+# Rappel: Les B-arbres
+
+## Quelques propriétés
+
+* Dans chaque nœud les clés sont **triées**.
+* Chaque page contient au plus $n$ nœuds;
+* Chaque nœud avec $m$ clés a $m+1$ descendants;
+* Toutes les feuilles apparaissent au même niveau.
+
+# Les B-arbres
+
+\footnotesize
+
+## Structure de données
+
+* Chaque page a une contrainte de remplissage, par rapport à l'ordre de l'arbre;
+* Un nœud (page) est composé d'un tableau de clés/pointeurs vers les enfants;
+
+```
+P_0 | K_1 | P_1 | K_2 | .. | P_i | K_{i+1} | .. | P_{m-1} | K_m | P_m
+```
+
+* `P_0`, ..., `P_m` pointeurs vers enfants;
+* `K_1`, ..., `K_m` les clés.
+* Il y a `m+1` pointeurs mais `m` clés.
+* Comment faire pour gérer l'insertion?
+
+# Les B-arbres
+
+## Faire un dessin de la structure de données (3min matrix)?
+
+. . .
+
+![Structure d'une page de B-arbre d'ordre 2.](figs/barbres_struct.png)
+
+1. On veut un tableau de `P_i, K_i => struct`;
+2. `K_0` va être en "trop";
+3. Pour simplifier l'insertion dans une page, on ajoute un élément de plus.
+
+# Les B-arbres
+
+## L'insertion cas nœud pas plein, insertion `4`?
+
+![](figs/barbres_insert_easy.svg){width=50%}
+
+. . .
+
+## Solution
+
+![](figs/barbres_insert_easy_after.svg){width=50%}
+
+# Les B-arbres
+
+## L'insertion cas nœud pas plein, insertion `N`
+
+* On décale les éléments plus grand que `N`;
+* On insère `N` dans la place "vide";
+* Si la page n'est pas pleine, on a terminé.
+
+# Les B-arbres
+
+## L'insertion cas nœud plein, insertion `2`?
+
+![](figs/barbres_insert_hard_before.svg){width=50%}
+
+. . .
+
+## Solution
+
+![](figs/barbres_insert_hard_during.svg){width=50%}
+
+# Les B-arbres
+
+## L'insertion cas nœud plein, promotion `3`?
+
+![](figs/barbres_insert_hard_during.svg){width=50%}
+
+. . .
+
+## Solution
+
+![](figs/barbres_insert_hard_after.svg)
+
+# Les B-arbres
+
+## L'insertion cas nœud plein, insertion `N`
+
+* On décale les éléments plus grand que `N`;
+* On insère `N` dans la place "vide";
+* Si la page est pleine:
+    * On trouve la valeur médiane `M` de la page (quel indice?);
+    * On crée une nouvelle page de droite;
+    * On copie les valeur à droite de `M` dans la nouvelle page;
+    * On promeut `M` dans la page du dessus;
+    * On connecte le pointeur de gauche de `M` et de droite de `M` avec l'ancienne et la nouvelle page respectivement.
+
+# Les B-arbres
+
+## Pseudo-code structure de données (3min, matrix)?
+
+. . .
+
+```C
+struct page
+    entier ordre, nb
+    element tab[2*ordre + 2]
+```
+
+```C
+struct element
+    entier clé
+    page pg
+```
+
+# Les B-arbres
+
+\footnotesize
+
+## Les fonctions utilitaires (5min matrix)
+
+```C
+booléen est_feuille(page)     // la page est elle une feuille?
+entier position(page, valeur) // à quelle indice on insère?
+booléen est_dans_page(page, valeur) // la valeur est dans la page
+```
+
+. . .
+
+```C
+booléen est_feuille(page) 
+    retourne (page.tab[0].pg == vide)
+
+entier position(page, valeur)
+    i = 0
+    tant que i < page.nb && valeur >= page.tab[i+1].clef
+        i += 1
+    retourne i
+
+booléen est_dans_page(page, valeur)
+    i = position(page, valeur)
+    retourne (page.nb > 0 && page.tab[i].val == valeur)
+```
+
+# Les B-arbres
+
+\footnotesize
+
+## Les fonctions utilitaires (5min matrix)
+
+```C
+page nouvelle_page(ordre)  // créer une page
+rien liberer_memoire(page) // libérer tout un arbre!
+```
+. . .
+
+```C
+page nouvelle_page(ordre)
+    page = allouer(page)
+    page.ordre = ordre
+    page.nb = 0
+    page.tab = allouer(2*ordre+2)
+    retourner page
+
+rien liberer_memoire(page)
+    si est_feuille(page)
+        liberer(page.tab)
+        liberer(page)
+    sinon
+        pour fille dans page.tab
+            liberer_memoire(fille)
+        liberer(page.tab)
+        liberer(page)
+```
+
+# Les B-arbres
+
+## Les fonctions (5min matrix)
+
+```C
+page recherche(page, valeur) // retourner la page contenant
+                             // la valeur ou vide 
+```
+
+. . .
+
+```C
+page recherche(page, valeur)
+    si est_dans_page(page, valeur)
+        retourne page
+    sinon si est_feuille(page) 
+        retourne vide
+    sinon
+        recherche(page.tab[position(page, valeur) - 1], valeur)
+```
+
+# Les B-arbres
+
+## Les fonctions
+
+```C
+page inserer_valeur(page, valeur) // insérer une valeur
+```
+
+. . .
+
+```C
+page inserer_valeur(page, valeur)
+    element = nouvel_element(valeur)
+    // ici élément est modifié pour savoir 
+    // s'il faut le remonter
+    inserer_element(page, element) 
+    si element.page != vide && page.nb > 2*page.ordre
+        // si on atteint le sommet!
+        page = ajouter_niveau(page, element) 
+    retourne page
+```
+
+# Les B-arbres
+
+## Les fonctions
+
+```C
+rien inserer_element(page, element) // insérer un element 
+                                    // et voir s'il remonte
+```
+
+. . .
+
+```C
+rien inserer_element(page, element)
+    si est_feuille(page)
+        placer(page, element)
+    sinon
+        sous_page = page.tab[position(page, element.clé) - 1].page
+        inserer_element(sous_page, element)
+        // un element a été promu
+        si element.page != vide
+            placer(page, element)
+```
+
+# Les B-arbres
+
+## Les fonctions (5min matrix)
+
+```C
+rien placer(page, element) // inserer un élément
+```
+
+. . .
+
+```C
+rien placer(page, element)
+    pos = position(page, element.clé)
+    pour i de 2*page.ordre à pos+1
+        page.tab[i+1] = page.tab[i]
+    page.tab[pos+1] = element
+    page.nb += 1
+    si page.nb > 2*page.ordre
+        scinder(page, element)
+```
+
+# Les B-arbres
+
+## Les fonctions (5min matrix)
+
+```C
+rien scinder(page, element) // casser une page et remonter
+```
+
+. . .
+
+```C
+rien scinder(page, element)
+    nouvelle_page = nouvelle_page(page.ordre)
+    nouvelle_page.nb = page.ordre
+    pour i de 0 à ordre inclu
+        nouvelle_page.tab[i] = page.tab[i+ordre+1]
+    element.clé = page.tab[ordre+1].clé
+    element.page = nouvelle_page
+```
+
+# Les B-arbres
+
+## Les fonctions (5min matrix)
+
+```C
+page ajouter_niveau(page, element) // si on remonte à la 
+                                   // racine, on doit créer
+                                   // une nouvelle racine
+```
+
+. . .
+
+```C
+page ajouter_niveau(page, element) 
+    tmp = nouvelle_page(page.ordre)
+    tmp.tab[0].page = page
+    tmp.tab[1].clé = element.clé
+    tmp.tab[1].page = element.page
+    retourne tmp
+```
+
+
+
+
+
+<!-- # Les B-arbres -->
+
+<!-- ## Structure de données en C (3min, matrix) -->
+
+<!-- . . . -->
+
+<!-- ```C -->
+<!-- typedef struct _page { -->
+<!--     int order, nb; -->
+<!--     struct _element *tab; -->
+<!-- } page; -->
+<!-- ``` -->
+
+<!-- ```C -->
+<!-- typedef struct element { -->
+<!--     int key; -->
+<!--     struct _page *pg; -->
+<!-- } element; -->
+<!-- ``` -->
+

slides_2022/cours_23.md

+---
+title: "B-arbres et Graphes"
+date: "2023-05-24"
+patat:
+  eval:
+    tai:
+      command: fish
+      fragment: false
+      replace: true
+    ccc:
+      command: fish
+      fragment: false
+      replace: true
+  images:
+    backend: auto
+---
+
+
+# Les B-arbres: suppression
+
+## Cas simplissime
+
+![Suppression de 25.](figs/barbres_ordre2_supp1.svg){width=80%}
+
+. . .
+
+![25 supprimé, on décale juste 27.](figs/barbres_ordre2_supp2.svg){width=80%}
+
+# Les B-arbres: suppression
+
+\footnotesize
+
+## Cas simple
+
+
+![Suppression de 27.](figs/barbres_ordre2_supp2.svg){width=60%}
+
+. . .
+
+* On retire 27, mais....
+    * Chaque page doit avoir au moins 2 éléments.
+    * On doit déplacer des éléments dans une autre feuille! Mais comment?
+
+. . .
+
+![La médiane de la racine descend, fusion de 20 à gauche, et suppression à droite.](figs/barbres_ordre2_supp3.svg){width=60%}
+
+# Les B-arbres: suppression
+
+## Cas moins simple
+
+![Suppression de 5.](figs/barbres_ordre2_supp4.svg){width=60%}
+
+. . .
+
+* Un élément à droite, comment on fait?
+    * Remonter `7`, serait ok si racine, mais... c'est pas forcément.
+    * On redistribue les feuilles.
+
+. . .
+
+![Descente de `3`, remontée médiane des feuilles `2`.](figs/barbres_ordre2_supp5.svg){width=60%}
+
+# Les B-arbres: suppression
+
+\footnotesize
+
+## Cas ultra moins simple
+
+![Suppression de 3.](figs/barbres_ordre2_supp6.svg){width=60%}
+
+. . .
+
+* `7` seul:
+    * Fusionner les feuilles et redistribuer, comment?
+
+. . .
+
+![Descendre `-1`, déplacer `7` à gauche, et décaler les éléments de droite au milieu.](figs/barbres_ordre2_supp7.svg){width=60%}
+
+# Les B-arbres: suppression
+
+## Cas ultra moins simple
+
+![On a pas fini...](figs/barbres_ordre2_supp7.svg){width=60%}
+
+. . .
+
+* `8` est seul, c'est plus un B-arbre :
+    * Fusionner le niveau 2 et redistribuer, comment?
+
+. . .
+
+![Fusionner `8`, `17`, `22` et descendre `12`.](figs/barbres_ordre2_supp8.svg){width=40%}
+
+. . .
+
+* La profondeur a diminué de 1.
+
+# Les B-arbres: suppression
+
+## Algorithme pour les feuilles!
+
+* Si la clé est supprimée d'une feuille:
+    * Si on a toujours `n` (ordre de l'arbre) clés dans la feuille on décale simplement les clés.
+    * Sinon on combine (récursivement) avec le nœud voisin et on descend la clé médiane.
+
+# Les B-arbres: suppression
+
+## Cas non-feuille!
+
+![Suppression de 8.](figs/barbres_ordre2_supp9.svg){width=60%}
+
+. . .
+
+* On sait comment effacer une valeur d'une feuille, donc?
+
+. . .
+
+![Échanger le `8` avec le plus grand du sous-arbre de gauche.](figs/barbres_ordre2_supp10.svg){width=60%}
+
+* Ensuite?
+
+# Les B-arbres: suppression
+
+## Cas non-feuille!
+
+![Suppression de 8.](figs/barbres_ordre2_supp10.svg){width=60%}
+
+. . .
+
+* On sait comment effacer une valeur d'une feuille!
+
+. . .
+
+![Yaka enlever le 8 de la feuille comme avant!](figs/barbres_ordre2_supp11.svg){width=60%}
+
+# Les B-arbres: suppression
+
+## Algorithme pour les non-feuilles!
+
+* Si la clé est supprimée d'une page qui n'est pas une feuille:
+    * On échange la valeur avec la valeur de droite de la page de gauche
+    * On supprime comme pour une feuille!
+
+## Et maintenant des exercices par millions!
+
+# Les graphes! Historique
+
+**Un mini-peu d'histoire...**
+
+## L. Euler et les 7 ponts de Koenigsberg:
+
+* Existe-t-il une promenade sympa, passant **une seule fois** par les 7 ponts et revenant au point de départ?
+
+![Les ponts c'est beau. Source: Wikipédia, <https://bit.ly/37h0yOG>](figs/Konigsberg_bridges.png){width=50%}
+
+. . .
+
+* Réponse: ben non!
+
+# Utilisation quotidienne
+
+## Réseau social
+
+![Source, Wikipedia: <https://bit.ly/3kG6cgo>](figs/Social_Network.svg){width=40%}
+
+* Chaque sommet est un individu.
+* Chaque trait une relation d'amitié.
+* Miam, Miam, Facebook.
+
+# Utilisation quotidienne
+
+## Moteurs de recherche
+
+![Source, Wikipedia: <https://bit.ly/3kG6cgo>](figs/PageRanks-Example.svg){width=40%}
+
+* Sommet est un site.
+* Liens sortants;
+* Liens entrants;
+* Notion d'importance d'un site: combien de liens entrants, pondérés par l'importance du site.
+* Miam, Miam, Google (PageRank).
+
+# Introduction
+
+## Définition, plus ou moins
+
+* Un graphe est un ensemble de sommets, reliés par des lignes ou des flèches.
+
+![Deux exemples de graphes.](figs/ex_graphes.png)
+
+* Des sommets (numérotés 1 à 6);
+* Connectés ou pas par des traits ou des flèches!
+
+# Généralités
+
+## Définitions
+
+* Un **graphe** $G(V, E)$ est constitué
+    * $V$: un ensemble de sommets;
+    * $E$: un ensemble d'arêtes.
+* Une **arête** relie une **paire** de sommets de $V$.
+
+## Remarques
+
+* Il y a **au plus** une arête $E$ par paire de sommets de $V$.
+* La **complexité** d'un algorithme dans un graphe se mesure en terme de $|E|$ et $|V|$, le nombre d'éléments de $E$ et $V$ respectivement.
+
+# Généralités
+
+## Notations
+
+* Une arête d'un graphe **non-orienté** est représentée par une paire **non-ordonnée** $(u,v)=(v,u)$, avec $u,v\in V$.
+* Les arêtes ne sont pas orientées dans un graphe non-orienté (elles sont bi-directionnelles, peuvent être parcourues dans n'importe quel ordre).
+
+## Exemple
+
+
+::: columns
+
+:::: column
+
+![Un graphe non-orienté.](figs/ex_graphe_non_oriente.svg)
+
+
+::::
+
+:::: column
+
+## Que valent $V$, $|V|$, $E$, et $|E|$?
+
+. . .
+
+\begin{align*}
+V&=\{1, 2, 3, 4\},\\
+|V|&=4,\\
+E&=\{(1,2),(2,3),(2,4),(4,1)\},\\
+|E|&=4.
+\end{align*}
+
+::::
+
+:::
+
+# Généralités
+
+## Notations
+
+* Une arête d'un graphe **orienté** est représentée par une paire **ordonnée** $(u,v)\neq(v,u)$, avec $u,v\in V$.
+* Les arêtes sont orientées dans un graphe orienté (étonnant non?).
+
+## Exemple
+
+
+::: columns
+
+:::: column
+
+![Un graphe orienté.](figs/ex_graphe_oriente.svg)
+
+
+::::
+
+:::: column
+
+## Que valent $V$, $|V|$, $E$, et $|E|$?
+
+. . .
+
+\begin{align*}
+V&=\{1, 2, 3, 4\},\\
+|V|&=4,\\
+E&=\{(1,2),(2,3),(2,4),(4,1),(4,2)\},\\
+|E|&=5.
+\end{align*}
+
+::::
+
+:::
+
+# Généralités
+
+## Définition
+
+* Le somme $v$ est **adjacent** au sommet $u$, si et seulement si $(u,v)\in E$;
+* Si un graphe non-orienté contient une arête $(u,v)$, $v$ est adjacent à $u$ et $u$ et adjacent à $v$.
+
+## Exemple
+
+::: columns
+
+:::: column
+
+![Sommet $a$  adjacent à $c$, $c$ adjacent à $a$.](figs/ex_adj_non_or.svg){width=80%}
+
+::::
+
+:::: column
+
+![Sommet $a$  adjacent à $c$.](figs/ex_adj_or.svg){width=80%}
+
+::::
+
+:::
+
+# Généralités
+
+## Définition
+
+* Un **graphe pondéré** ou **valué** est un graphe dont chaque arête a un
+  poids associé, habituellement donné par une fonction de pondération $w:E\rightarrow\mathbb{R}$.
+
+## Exemples
+
+![Graphe pondéré orienté (gauche) et non-orienté (droite).](figs/ex_graph_pond.pdf){width=80%}
+
+
+# Généralités
+
+## Définition
+
+* Dans un graphe $G(V,E)$, une **chaîne** reliant un sommet $u$ à un sommet $v$ est une suite d'arêtes entre les sommets, $w_0$, $w_1$, ..., $w_k$, telles que 
+$$
+(w_i, w_{i+1})\in E,\quad u=w_0,\quad v=w_k,\quad \mbox{pour }0\leq i< k,
+$$
+avec $k$ la longueur de la chaîne (le nombre d'arêtes du chemin).
+
+## Exemples
+
+![Illustration d'une chaîne, ou pas chaîne dans un graphe.](figs/ex_graphe_chaine.pdf){width=80%}
+
+# Généralités
+
+## Définition
+
+* Une **chaîne élémentaire** est une chaîne dont tous les sommets sont distincts, sauf les extrémités qui peuvent être égales
+
+## Exemples
+
+![Illustration d'une chaîne élémentaire.](figs/ex_graphe_chaine_elem.pdf){width=80%}
+
+# Généralités
+
+## Définition
+
+* Une **boucle** est une arête $(v,v)$ d'un sommet vers lui-même.
+
+## Exemples
+
+![Illustration d'une boucle.](figs/ex_graphe_boucle.pdf){width=40%}
+
+# Généralités
+
+## Définition
+
+* Un graphe non-orienté est dit **connexe**, s'il existe un chemin reliant n'importe quelle paire de sommets distincts.
+
+## Exemples
+
+\
+
+::: columns
+
+:::: column
+
+![Graphe connexe. Source, Wikipédia: <https://bit.ly/3yiUzUv>](figs/graphe_connexe.svg){width=80%}
+
+::::
+
+:::: column
+![Graphe non-connexe avec composantes connexes. Source, Wikipédia: <https://bit.ly/3KJB76d>](figs/composantes_connexes.svg){width=60%}
+
+::::
+
+:::
+
+# Généralités
+
+## Définition
+
+* Un graphe orienté est dit **fortement connexe**, s'il existe un chemin reliant n'importe quelle paire de sommets distincts.
+
+## Exemples
+
+\
+
+::: columns
+
+:::: column
+
+![Graphe fortement connexe.](figs/ex_graph_fort_connexe.pdf){width=60%}
+
+::::
+
+:::: column
+
+![Composantes fortement connexes. Source, Wikipédia: <https://bit.ly/3w5PL2l>](figs/composantes_fortement_connexes.svg){width=100%}
+
+::::
+
+:::
+
+# Généralités
+
+## Définition
+
+* Un **cycle** dans un graphe *non-orienté* est une chaîne de longueur $\geq 3$ telle que le 1er sommet de la chaîne est le même que le dernier, et dont les arêtes sont distinctes.
+* Pour un graphe *orienté* on parle de **circuit**.
+* Un graphe sans cycles est dit **acyclique**.
+
+## Exemples
+
+![Illustration de cycles, ou pas.](figs/ex_graphe_cycle.pdf){width=100%}
+
+# Question de la mort
+
+* Qu'est-ce qu'un graphe connexe acyclique?
+
+. . .
+
+* Un arbre!
+
+# Représentations
+
+* La complexité des algorithmes sur les graphes s'expriment en fonction du nombre de sommets $V$, et du nombre d'arêtes $E$:
+    * Si $|E|\sim |V|^2$, on dit que le graphe est **dense**.
+    * Si $|E|\sim |V|$, on dit que le graphe est **peu dense**.
+* Selon qu'on considère des graphes denses ou peu denses, différentes structure de données peuvent être envisagées.
+
+## Question
+
+* Comment peut-on représenter un graphe informatiquement? Des idées (réflexion de quelques minutes)?
+
+. . .
+
+* Matrice/liste d'adjacence.
+
+# Matrice d'adjacence
+
+* Soit le graphe $G(V,E)$, avec $V=\{1, 2, 3, ..., n\}$;
+* On peut représenter un graphe par une **matrice d'adjacence**, $A$, de dimension $n\times n$ définie par
+$$
+A_{ij}=\left\{ \begin{array}{ll}
+         1 & \mbox{si } i,j\in E,\\
+         0 & \mbox{sinon}.
+         \end{array} \right.
+$$
+
+
+::: columns
+
+:::: column
+
+## Exemple
+
+```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
+graph LR;
+    1---2;
+    1---4;
+    2---5;
+    4---5;
+    5---3;
+```
+
+::::
+
+:::: column
+
+\footnotesize
+
+## Quelle matrice d'adjacence? 
+
+. . .
+
+```
+   || 1 | 2 | 3 | 4 | 5
+===||===|===|===|===|===
+ 1 || 0 | 1 | 0 | 1 | 0
+---||---|---|---|---|---
+ 2 || 1 | 0 | 0 | 0 | 1
+---||---|---|---|---|---
+ 3 || 0 | 0 | 0 | 0 | 1
+---||---|---|---|---|---
+ 4 || 1 | 0 | 0 | 0 | 1
+---||---|---|---|---|---
+ 5 || 0 | 1 | 1 | 1 | 0
+```
+
+::::
+
+:::
+
+# Matrice d'adjacence
+
+## Remarques
+
+* Zéro sur la diagonale.
+* La matrice d'un graphe non-orienté est symétrique
+
+$$
+A_{ij}=A_{ji}, \forall i,j\in[1,n]
+$$.
+
+::: columns
+
+:::: column
+
+```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
+graph LR;
+    1---2;
+    1---4;
+    2---5;
+    4---5;
+    5---3;
+```
+
+::::
+
+:::: column
+
+\footnotesize
+
+```
+   || 1 | 2 | 3 | 4 | 5
+===||===|===|===|===|===
+ 1 || 0 | 1 | 0 | 1 | 0
+---||---|---|---|---|---
+ 2 || 1 | 0 | 0 | 0 | 1
+---||---|---|---|---|---
+ 3 || 0 | 0 | 0 | 0 | 1
+---||---|---|---|---|---
+ 4 || 1 | 0 | 0 | 0 | 1
+---||---|---|---|---|---
+ 5 || 0 | 1 | 1 | 1 | 0
+```
+
+::::
+
+:::
+
+# Matrice d'adjacence
+
+* Pour un graphe orienté (digraphe)
+
+::: columns
+
+:::: column
+
+## Exemple
+
+```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
+graph LR;
+    2-->1;
+    1-->4;
+    2-->5;
+    5-->2;
+    4-->5;
+    5-->3;
+```
+
+::::
+
+:::: column
+
+\footnotesize
+
+## Quelle matrice d'adjacence? 
+
+. . .
+
+```
+   || 1 | 2 | 3 | 4 | 5
+===||===|===|===|===|===
+ 1 || 0 | 0 | 0 | 1 | 0
+---||---|---|---|---|---
+ 2 || 1 | 0 | 0 | 0 | 1
+---||---|---|---|---|---
+ 3 || 0 | 0 | 0 | 0 | 0
+---||---|---|---|---|---
+ 4 || 0 | 0 | 0 | 0 | 1
+---||---|---|---|---|---
+ 5 || 0 | 1 | 1 | 0 | 0
+```
+
+::::
+
+:::
+
+* La matrice d'adjacence n'est plus forcément symétrique
+$$
+A_{ij}\neq A_{ji}.
+$$
+
+# Stockage
+
+* Quel est l'espace nécessaire pour stocker une matrice d'adjacence pour un graphe orienté?
+
+. . .
+
+* $\mathcal{O}(|V|^2)$.
+* Quel est l'espace nécessaire pour stocker une matrice d'adjacence pour un graphe non-orienté?
+
+. . .
+
+* $\mathcal{O}(|V|-1)|V|/2$.
+
+# Considérations d'efficacité
+
+* Dans quel type de graphes la matrice d'adjacence est utile?
+
+. . .
+
+* Dans les graphes denses.
+* Pourquoi?
+
+. . .
+
+* Dans les graphes peu denses, la matrice d'adjacence est essentiellement composée de `0`.
+
+## Remarque
+
+* Dans la majorité des cas, les grands graphes sont peu denses.
+* Comment représenter un graphe autrement?
+
+# La liste d'adjacence (non-orienté)
+
+* Pour chaque sommet $v\in V$, stocker les sommets adjacents à $v$-
+* Quelle structure de données pour la liste d'adjacence?
+
+. . .
+
+* Tableau de liste chaînée, vecteur (tableau dynamique), etc.
+
+
+::: columns
+
+:::: column
+
+## Exemple
+
+![Un graphe non-orienté.](figs/ex_graph_adj.pdf){width=80%}
+
+::::
+
+:::: column
+
+
+## Quelle liste d'adjacence? 
+
+. . .
+
+![La liste d'adjacence.](figs/ex_graph_list_adj.pdf)
+
+
+::::
+
+:::
+
+# La liste d'adjacence (orienté)
+
+
+::: columns
+
+:::: column
+
+## Quelle liste d'adjacence pour...
+
+* Matrix (2min)
+
+```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
+graph LR;
+    0-->1;
+    0-->2;
+    1-->2;
+    3-->0;
+    3-->1;
+    3-->2;
+```
+
+::::
+
+:::: column
+
+```
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+```
+
+
+::::
+
+:::
+
+# Complexité
+
+## Stockage
+
+* Quelle espace est nécessaire pour stocker une liste d'adjacence (en fonction de $|E|$ et $|V|$)?
+
+. . .
+
+$$
+\mathcal{O}(|E|)
+$$
+
+* Pour les graphes *non-orientés*: $\mathcal{O}(2|E|)$.
+* Pour les graphes *orientés*: $\mathcal{O}(|E|)$.
+
+## Définition
+
+* Le **degré** d'un sommet $v$, est le nombre d'arêtes incidentes du sommet (pour les graphes orientés on a un degré entrant ou sortant).
+* Comment on retrouve le degré de chaque sommet avec la liste d'adjacence?
+
+. . .
+
+* C'est la longueur de la liste chaînée.
+
+
+# Parcours
+
+* Beaucoup d'applications nécessitent de parcourir des graphes:
+    * Trouver un chemin d'un sommet à un autre;
+    * Trouver si le graphe est connexe;
+* Il existe *deux* parcours principaux:
+    * en largeur (Breadth-First Search);
+    * en profondeur (Depth-First Search).
+* Ces parcours créent *un arbre* au fil de l'exploration (si le graphe est non-connexe cela crée une *forêt*, un ensemble d'arbres).
+
+# Illustration: parcours en largeur
+
+![Le parcours en largeur.](figs/parcours_larg.pdf){width=80%}
+
+# Exemple
+
+## Étape par étape (blanc non-visité)
+
+![Initialisation.](figs/parcours_larg_0.pdf){width=50%}
+
+## Étape par étape (gris visité)
+
+![On commence en `x`.](figs/parcours_larg_1.pdf){width=50%}
+
+# Exemple
+
+## Étape par étape
+
+![On commence en `x`.](figs/parcours_larg_1.pdf){width=50%}
+
+## Étape par étape (vert à visiter)
+
+![Vister `w`, `t`, `y`.](figs/parcours_larg_2.pdf){width=50%}
+
+# Exemple
+
+## Étape par étape
+
+![Vister `w`, `t`, `y`.](figs/parcours_larg_2.pdf){width=50%}
+
+## Étape par étape
+
+![`w`, `t`, `y` visités. `u`, `s` à visiter.](figs/parcours_larg_3.pdf){width=50%}
+
+# Exemple
+
+## Étape par étape
+
+![`w`, `t`, `y` visités. `u`, `s` à visiter.](figs/parcours_larg_3.pdf){width=50%}
+
+## Étape par étape
+
+![`u`, `s`, visités. `r` à visiter.](figs/parcours_larg_4.pdf){width=50%}
+
+# Exemple
+
+## Étape par étape
+
+![`u`, `s`, visités. `r` à visiter.](figs/parcours_larg_4.pdf){width=50%}
+
+## Étape par étape
+
+![`r` visité. `v` à visiter.](figs/parcours_larg_5.pdf){width=50%}
+
+# Exemple
+
+## Étape par étape
+
+![`r` visité. `v` à visiter.](figs/parcours_larg_5.pdf){width=50%}
+
+## Étape par étape
+
+![The end. Plus rien à visiter!](figs/parcours_larg_6.pdf){width=50%}
+
+# En faisant ce parcours...
+
+
+::: columns
+
+:::: column
+
+## Du parcours de l'arbre
+
+![](figs/parcours_larg_6.pdf){width=100%}
+
+::::
+
+:::: column
+
+## Quel arbre est créé par le parcours (2min)?
+
+. . .
+
+```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
+graph LR;
+    0[x]-->1[w];
+    0-->2[t];
+    0-->3[y];
+    2-->9[u];
+    1-->4[s];
+    4-->5[r];
+    5-->6[v];
+```
+
+::::
+
+:::
+
+## Remarques
+
+* Le parcours dépend du point de départ dans le graphe.
+* L'arbre sera différent en fonction du noeud de départ, et de l'ordre de parcours des voisins d'un noeud.
+
+# Le parcours en largeur
+
+## L'algorithme, idée générale (3min, matrix)?
+
+. . .
+
+```C
+v = un sommet du graphe
+i = 1
+pour sommet dans graphe et sommet non-visité
+    visiter(v, sommet, i) // marquer sommet à distance i visité 
+    i += 1
+```
+
+## Remarque
+
+* `i` est la distance de plus cours chemin entre `v` et les sommets en cours de visite.
+
+
+# Le parcours en largeur
+
+## L'algorithme, pseudo-code (3min, matrix)?
+
+* Comment garder la trace de la distance?
+
+. . .
+
+* Utilisation d'une **file**
+
+. . .
+
+```C
+initialiser(graphe) // tous sommets sont non-visités
+file = visiter(sommet, vide) // sommet est un sommet du graphe au hasard
+tant que !est_vide(file)
+    v = défiler(file)
+    file = visiter(v, file)
+```
+
+## Que fait visiter?
+
+```
+file visiter(sommet, file)
+    sommet = visité
+    pour w = chaque arête de sommet
+        si w != visité
+            file = enfiler(file, w)
+    retourne file
+```
+
+# Exercice (5min)
+
+## Appliquer l'algorithme sur le graphe
+
+![](figs/parcours_larg_0.pdf){width=50%}
+
+* En partant de `v`, `s`, ou `u` (par colonne de classe).
+* Bien mettre à chaque étape l'état de la file.
+
+# Complexité du parcours en largeur
+
+## Étape 1
+
+* Extraire un sommet de la file;
+
+## Étape 2
+
+* Traîter tous les sommets adjacents.
+
+## Quelle est la complexité?
+
+. . .
+
+* Étape 1: $\mathcal{O}(|V|)$,
+* Étape 2: $\mathcal{O}(2|E|)$,
+* Total: $\mathcal{O}(|V| + |2|E|)$.
+
+# Exercice
+
+* Établir la liste d'adjacence et appliquer l'algorithme de parcours en largeur au graphe
+
+```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
+graph LR;
+    1---2;
+    1---3;
+    1---4;
+    2---3;
+    2---6;
+    3---6;
+    3---4;
+    3---5;
+    4---5;
+```
+
+
+# Illustration: parcours en profondeur
+
+![Le parcours en profondeur. À quel parcours d'arbre cela ressemble-t-il?](figs/parcours_prof.pdf){width=80%}
+
+# Parcours en profondeur
+
+## Idée générale
+
+* Initialiser les sommets comme non-lus
+* Visiter un sommet
+* Pour chaque sommet visité, on visite un sommet adjacent s'il est pas encore visité récursivement.
+
+## Remarque
+
+* La récursivité est équivalent à l'utilisation d'une **pile**.
+
+# Parcours en profondeur
+
+## Pseudo-code (5min)
+
+. . .
+
+```C
+initialiser(graphe) // tous sommets sont non-visités
+pile = visiter(sommet, vide) // sommet est un sommet du graphe au hasard
+tant que !est_vide(pile)
+    v = dépiler(pile)
+    pile = visiter(v, pile)
+```
+
+## Que fait visiter?
+
+. . .
+
+```C
+pile visiter(sommet, pile)
+    sommet = visité
+    pour w = chaque arête de sommet
+        si w != visité
+            pile = empiler(pile, w)
+    retourne pile
+```
+
+
+# Exercice
+
+* Établir la liste d'adjacence et appliquer l'algorithme de parcours en profondeur au graphe
+
+```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
+graph LR;
+    1---2;
+    1---3;
+    1---4;
+    2---3;
+    2---6;
+    3---6;
+    3---4;
+    3---5;
+    4---5;
+```
+
+# Interprétation des parcours
+
+* Un graphe vu comme espace d'états (sommet: état, arête: action);
+    * Labyrinthe;
+    * Arbre des coups d'un jeu.
+
+. . .
+
+* BFS (Breadth-First) ou DFS (Depth-First) parcourent l'espace des états à la recherche du meilleur mouvement.
+    * Les deux parcourent *tout* l'espace;
+    * Mais si l'arbre est grand, l'espace est gigantesque!
+
+. . .
+
+* Quand on a un temps limité
+    * BFS explore beaucoup de coups dans un futur proche;
+    * DFS explore peu de coups dans un futur lointain.

slides_2022/cours_24.md

+---
+title: "Graphes - Plus court chemin"
+date: "2023-06-02"
+---
+
+# Rappel du dernier cours
+
+* Qu'est-ce qu'un graphe? Un graphe orienté? Un graphe pondéré?
+
+. . .
+
+* Ensemble de sommets et arêtes, avec une direction, possédant une pondération.
+* Comment représenter un graphe informatiquement?
+
+. . .
+
+* Liste ou matrice d'adjacence.
+* Quel est le parcours que nous avons vu?
+
+. . .
+
+* Le parcours en largeur.
+
+# Le parcours en largeur
+
+## Le pseudo-code
+
+* Utilisation d'une **file**
+
+```C
+initialiser(graphe) // tous sommets sont non-visités
+file = visiter(sommet, vide) // sommet est un sommet 
+                             // du graphe
+tant que !est_vide(file)
+    v = defiler(file)
+    file = visiter(v, file)
+
+file visiter(sommet, file)
+    sommet = visité
+    pour w = chaque arête de sommet
+        si w != visité
+            file = enfiler(file, w)
+    retourne file
+```
+
+# Complexité du parcours en largeur
+
+## Étape 1
+
+* Extraire un sommet de la file;
+
+## Étape 2
+
+* Traîter tous les sommets adjacents.
+
+## Quelle est la complexité?
+
+. . .
+
+* Étape 1: $\mathcal{O}(|V|)$,
+* Étape 2: $\mathcal{O}(2|E|)$,
+* Total: $\mathcal{O}(|V| + 2|E|)$.
+
+# Exercice
+
+* Établir la liste d'adjacence et appliquer l'algorithme de parcours en largeur au graphe
+
+```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
+graph LR;
+    1---2;
+    1---3;
+    1---4;
+    2---3;
+    2---6;
+    3---6;
+    3---4;
+    3---5;
+    4---5;
+```
+
+
+# Illustration: parcours en profondeur
+
+![Le parcours en profondeur. À quel parcours d'arbre cela ressemble-t-il?](figs/parcours_prof.pdf){width=80%}
+
+# Parcours en profondeur
+
+## Idée générale
+
+* Initialiser les sommets comme non-lus
+* Visiter un sommet
+* Pour chaque sommet visité, on visite un sommet adjacent s'il est pas encore visité récursivement.
+
+## Remarque
+
+* La récursivité est équivalent à l'utilisation d'une **pile**.
+
+# Parcours en profondeur
+
+## Pseudo-code (5min)
+
+. . .
+
+```C
+initialiser(graphe) // tous sommets sont non-visités
+pile = visiter(sommet, vide) // sommet est un 
+                             // sommet du graphe
+tant que !est_vide(pile)
+    v = dépiler(pile)
+    pile = visiter(v, pile)
+```
+
+## Que fait visiter?
+
+. . .
+
+```C
+pile visiter(sommet, pile)
+    sommet = visité
+    pour w = chaque arête de sommet
+        si w != visité
+            pile = empiler(pile, w)
+    retourne pile
+```
+
+
+# Exercice
+
+* Établir la liste d'adjacence et appliquer l'algorithme de parcours en profondeur au graphe
+
+```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
+graph LR;
+    1---2;
+    1---3;
+    1---4;
+    2---3;
+    2---6;
+    3---6;
+    3---4;
+    3---5;
+    4---5;
+```
+
+# Interprétation des parcours
+
+* Un graphe vu comme espace d'états (sommet: état, arête: action);
+    * Labyrinthe;
+    * Arbre des coups d'un jeu.
+
+. . .
+
+* BFS (Breadth-First) ou DFS (Depth-First) parcourent l'espace des états à la recherche du meilleur mouvement.
+    * Les deux parcourent *tout* l'espace;
+    * Mais si l'arbre est grand, l'espace est gigantesque!
+
+. . .
+
+* Quand on a un temps limité
+    * BFS explore beaucoup de coups dans un futur proche;
+    * DFS explore peu de coups dans un futur lointain.
+
+
+## Contexte: les réseaux (informatique, transport, etc.)
+
+* Graphe orienté;
+* Source: sommet `s`;
+* Destination: sommet `t`;
+* Les arêtes ont des poids (coût d'utilisation, distance, etc.);
+* Le coût d'un chemin est la somme des poids des arêtes d'un chemin.
+
+## Problème à résoudre
+
+* Quel est le plus court chemin entre `s` et `t`.
+
+# Exemples d'application de plus court chemin
+
+## Devenir riches!
+
+* On part d'un tableau de taux de change entre devises.
+* Quelle est la meilleure façon de convertir l'or en dollar?
+
+![Taux de change.](figs/taux_change.pdf){width=80%}
+
+. . .
+
+* 1kg d'or => 327.25 dollars
+* 1kg d'or => 208.1 livres => 327 dollars
+* 1kg d'or => 455.2 francs => 304.39 euros => 327.28 dollars
+
+# Exemples d'application de plus court chemin
+
+## Formulation sous forme d'un graphe: Comment (3min)?
+
+![Taux de change.](figs/taux_change.pdf){width=80%}
+
+
+# Exemples d'application de plus court chemin
+
+## Formulation sous forme d'un graphe: Comment (3min)?
+
+![Graphes des taux de change.](figs/taux_change_graphe.pdf){width=60%}
+
+* Un sommet par devise;
+* Une arête orientée par transaction possible avec le poids égal au taux de change;
+* Trouver le chemin qui maximise le produit des poids.
+
+. . .
+
+## Problème
+
+* On aimerait plutôt avoir une somme...
+
+
+# Exemples d'application de plus court chemin
+
+## Conversion du problème en plus court chemin
+
+* Soit `taux(u, v)` le taux de change entre la devise `u` et `v`.
+* On pose `w(u,w)=-log(taux(u,v))`
+* Trouver le chemin poids minimal pour les poids `w`.
+
+![Graphe des taux de change avec logs.](figs/taux_change_graphe_log.pdf){width=60%}
+
+* Cette conversion se base sur l'idée que
+
+$$
+\log(u\cdot v)=\log(u)+\log(v).
+$$
+
+# Applications de plus courts chemins
+
+## Quelles applications voyez-vous?
+
+. . .
+
+* Déplacement d'un robot;
+* Planificaiton de trajet / trafic urbain;
+* Routage de télécommunications;
+* Réseau électrique optimal;
+* ...
+
+# Plus courts chemins à source unique
+
+* Soit un graphe, $G=(V, E)$, une fonction de pondération $w:E\rightarrow\mathbb{R}$, et un sommet $s\in V$
+  * Trouver pour tout sommet $v\in V$, le chemin de poids minimal reliant $s$ à $v$.
+* Algorithmes standards:
+  * Dijkstra (arêtes de poids positif seulement);
+  * Bellman-Ford (arêtes de poids positifs ou négatifs, mais sans cycles).
+* Comment résoudre le problèmes si tous les poids sont les mêmes?
+
+. . .
+
+* Un parcours en largeur!
+
+# Algorithme de Dijkstra
+
+## Comment chercher pour un plus court chemin?
+
+. . .
+
+```
+si distance(u,v) > distance(u,w) + distance(w,v)
+    on passe par w plutôt qu'aller directement
+```
+
+# Algorithme de Dijkstra (1 à 5)
+
+* $D$ est le tableau des distances au sommet $1$: $D[7]$ est la distance de 1 à 7.
+* Le chemin est pas forcément direct.
+* $S$ est le tableau des sommets visités.
+
+::: columns
+
+:::: column
+
+![Initialisation.](figs/dijkstra_0.png)
+
+::::
+
+:::: column
+
+. . .
+
+![1 visité, `D[2]=1`, `D[4]=3`.](figs/dijkstra_1.png)
+
+::::
+
+:::
+
+# Algorithme de Dijkstra (1 à 5)
+
+::: columns
+
+:::: column
+
+![Plus court est 2.](figs/dijkstra_1.png)
+
+
+::::
+
+:::: column
+
+. . .
+
+![2 visité, `D[3]=2`, `D[7]=3`.](figs/dijkstra_2.png)
+
+::::
+
+:::
+
+# Algorithme de Dijkstra (1 à 5)
+
+::: columns
+
+:::: column
+
+![Plus court est 3.](figs/dijkstra_2.png)
+
+
+::::
+
+:::: column
+
+. . .
+
+![3 visité, `D[7]=3` inchangé, `D[6]=6`.](figs/dijkstra_3.png)
+
+::::
+
+:::
+
+# Algorithme de Dijkstra (1 à 5)
+
+
+::: columns
+
+:::: column
+
+![Plus court est 4 ou 7.](figs/dijkstra_3.png)
+
+
+::::
+
+:::: column
+
+. . .
+
+![4 visité, `D[7]=3` inchangé, `D[5]=9`.](figs/dijkstra_4.png)
+
+::::
+
+:::
+
+# Algorithme de Dijkstra (1 à 5)
+
+::: columns
+
+:::: column
+
+![Plus court est `7`.](figs/dijkstra_4.png)
+
+
+::::
+
+:::: column
+
+. . .
+
+![7 visité, `D[5]=7`, `D[6]=6` inchangé.](figs/dijkstra_5.png)
+
+::::
+
+:::
+
+# Algorithme de Dijkstra (1 à 5)
+
+::: columns
+
+:::: column
+
+![Plus court est 6.](figs/dijkstra_5.png)
+
+
+::::
+
+:::: column
+
+. . .
+
+![`6` visité, `D[5]=7` inchangé.](figs/dijkstra_6.png)
+
+::::
+
+:::
+
+# Algorithme de Dijkstra (1 à 5)
+
+::: columns
+
+:::: column
+
+![Plus court est 5 et c'est la cible.](figs/dijkstra_6.png)
+
+::::
+
+:::: column
+
+. . .
+
+![The end, tous les sommets ont été visités.](figs/dijkstra_7.png)
+
+::::
+
+:::
+
+# Algorithme de Dijkstra
+
+## Idée générale
+
+* On assigne à chaque noeud une distance $0$ pour $s$, $\infty$ pour les autres.
+* Tous les noeuds sont marqués non-visités.
+* Depuis du noeud courant, on suit chaque arête du noeud vers un sommet non visité et on calcule le poids du chemin à chaque voisin et on met à jour sa distance si elle est plus petite que la distance du noeud.
+* Quand tous les voisins du noeud courant ont été visités, le noeud est mis à visité (il ne sera plus jamais visité).
+* Continuer avec le noeud à la distance la plus faible.
+* L'algorithme est terminé losrque le noeud de destination est marqué comme visité, ou qu'on a plus de noeuds qu'on peut visiter et que leur distance est infinie.
+
+# Algorithme de Dijkstra
+
+## Pseudo-code (5min, matrix)
+
+\footnotesize
+
+. . .
+
+```C
+tab dijkstra(graph, s, t)
+    pour chaque v dans graphe
+        distance[v] = infini
+        q = ajouter(q, v)
+    distance[s] = 0
+    tant que non_vide(q)
+    // sélection de u t.q. la distance dans q est min
+        u = min(q, distance)
+        si u == t // on a atteint la cible
+            retourne distance
+        q = remove(q, u)
+        // voisin de u encore dans q
+        pour chaque v dans voisinage(u, q)
+        // on met à jour la distance du voisin en passant par u 
+            n_distance = distance[u] + w(u, v)
+            si n_distance < distance[v]
+                distance[v] = n_distance
+    retourne distance
+```
+
+# Algorithme de Dijkstra
+
+* Cet algorithme, nous donne le plus court chemin mais...
+* ne nous donne pas le chemin!
+
+## Comment modifier l'algorithme pour avoir le chemin?
+
+. . .
+
+* Pour chaque nouveau noeud à visiter, il suffit d'enregistrer d'où on est venu!
+* On a besoin d'un tableau `precedent`.
+
+## Modifier le pseudo-code ci-dessus pour ce faire (3min matrix)
+
+# Algorithme de Dijkstra
+
+\footnotesize
+
+```C
+tab, tab dijkstra(graph, s, t)
+    pour chaque v dans graphe
+        distance[v] = infini
+        precedent[v] = indéfini
+        q = ajouter(q, v)
+    distance[s] = 0
+    tant que non_vide(q)
+    // sélection de u t.q. la distance dans q est min
+        u = min(q, distance) 
+        si u == t
+            retourne distance
+        q = remove(q, u)
+        // voisin de u encore dans q
+        pour chaque v dans voisinage(u, q) 
+            n_distance = distance[u] + w(u, v)
+            si n_distance < distance[v]
+                distance[v] = n_distance
+                precedent[v] = u
+    retourne distance, precedent
+```
+
+# Algorithme de Dijkstra
+
+## Comment reconstruire un chemin ?
+
+. . .
+
+```C
+pile parcours(precedent, s, t)
+    sommets = vide
+    u = t
+    // on a atteint t ou on ne connait pas de chemin
+    si u != s && precedent[u] != indéfini 
+        tant que vrai 
+            sommets = empiler(sommets, u)
+            u = precedent[u]
+            si u == s // la source est atteinte
+                retourne sommets
+    retourne sommets
+```
+
+# Algorithme de Dijkstra amélioré
+
+## On peut améliorer l'algorithme
+
+* Avec une file de priorité!
+
+## Une file de priorité est
+
+* Une file dont chaque élément possède une priorité,
+* Elle existe en deux saveurs: `min` ou `max`:
+    * File `min`: les éléments les plus petits sont retirés en premier.
+    * File `max`: les éléments les plus grands sont retirés en premier.
+* On regarde l'implémentation de la `max`.
+
+## Comment on fait ça?
+
+. . .
+
+* On insère les éléments à haute priorité tout devant dans la file!
+
+# Les files de priorité
+
+## Trois fonction principales
+
+```C
+booléen est_vide(element) // triviale
+element enfiler(element, data, priorite)
+data defiler(element)
+rien changer_priorite(element, data, priorite)
+nombre priorite(element) // utilitaire
+```
+
+## Pseudo-implémentation: structure (1min)
+
+. . .
+
+```C
+struct element
+    data
+    priorite
+    element suivant
+```
+
+# Les files de priorité
+
+## Pseudo-implémentation: enfiler (2min)
+
+. . .
+
+```C
+element enfiler(element, data, priorite)
+    n_element = creer_element(data, priorite)
+    si est_vide(element)
+        retourne n_element
+    si priorite(n_element) > priorite(element)
+        n_element.suivant = element
+        retourne n_element
+    sinon
+        tmp = element
+        prec = element
+        tant que !est_vide(tmp) && priorite < priorite(tmp)
+            prec = tmp
+            tmp = tmp.suivant
+        prev.suivant = n_element
+        n_element.suivant = tmp
+        retourne element           
+```
+
+# Les files de priorité
+
+## Pseudo-implémentation: defiler (2min)
+
+. . .
+
+```C
+data, element defiler(element)
+    si est_vide(element)
+        retourne AARGL!
+    sinon
+        tmp = element.data
+        n_element = element.suivant
+        liberer(element)
+        retourne tmp, n_element
+```
+
+# Algorithme de Dijkstra avec file de priorité min
+
+```C
+distance, precedent dijkstra(graphe, s, t):
+    distance[source] = 0
+    fp = file_p_vide()
+    pour v dans sommets(graphe)
+        si v != s
+            distance[v] = infini
+            precedent[v] = indéfini
+        fp = enfiler(fp, v, distance[v])
+    tant que !est_vide(fp)
+        u, fp = defiler(fp)
+        pour v dans voisinage de u
+            n_distance = distance[u] + w(u, v)
+            si n_distance < distance[v]
+                distance[v] = n_distance
+                precedent[v] = u
+                fp = changer_priorite(fp, v, n_distance)
+    retourne distance, precedent
+```
+
+# Algorithme de Dijkstra avec file
+
+\footnotesize
+
+```C
+distance dijkstra(graphe, s, t)
+---------------------------------------------------------
+    pour v dans sommets(graphe)
+O(V)    si v != s
+            distance[v] = infini
+O(V)        fp = enfiler(fp, v, distance[v]) // notre impl est nulle
+------------------O(V * V)-------------------------------
+    tant que !est_vide(fp)
+O(1)    u, fp = defiler(fp)
+---------------------------------------------------------
+O(E)    pour v dans voisinage de u
+            n_distance = distance[u] + w(u, v)
+            si n_distance < distance[v]
+                distance[v] = n_distance
+O(V)            fp = changer_priorite(fp, v, n_distance)
+---------------------------------------------------------
+    retourne distance
+```
+
+* Total: $\mathcal{O}(|V|^2+|E|\cdot |V|)$:
+    * Graphe dense: $\mathcal{O}(|V|^3)$ 
+    * Graphe peu dense: $\mathcal{O}(|V|^2)$ 
+
+# Algorithme de Dijkstra avec file
+
+## On peut faire mieux
+
+* Avec une meilleure implémentation de la file de priorité:
+    * Tas binaire: $\mathcal{O}(|V|\log|V|+|E|\log|V|)$.
+    * Tas de Fibonnacci: $\mathcal{O}(|V|+|E|\log|V|)$
+* Graphe dense: $\mathcal{O}(|V|^2\log|V|)$.
+* Graphe peu dense: $\mathcal{O}(|V|\log|V|)$.
+
+# Algorithme de Dijkstra (exercice, 5min) 
+
+![L'exercice.](figs/dijkstra_exo.png){width=60%}
+
+* Donner la liste de priorité, puis...
+
+## A chaque étape donner:
+
+* Le tableau des distances à `a`;
+* Le tableau des prédécesseurs;
+* L'état de la file de priorité.
+
+# Algorithme de Dijkstra (corrigé) 
+
+![Le corrigé partie 1.](figs/dijkstra_ex_0.png)
+
+# Algorithme de Dijkstra (corrigé) 
+
+![Le corrigé partie 2.](figs/dijkstra_ex_1.png)
+
+# Algorithme de Dijkstra (corrigé) 
+
+![Le corrigé partie 3.](figs/dijkstra_ex_2.png)
+
+# Algorithme de Dijkstra (corrigé) 
+
+![Le corrigé partie 4.](figs/dijkstra_ex_3.png)
+
+# Algorithme de Dijkstra (corrigé) 
+
+![Le corrigé partie 5.](figs/dijkstra_ex_4.png)
+
+# Algorithme de Dijkstra (corrigé) 
+
+![Le corrigé partie 6.](figs/dijkstra_ex_5.png)
+
+# Limitation de l'algorithme de Dijkstra
+
+## Que se passe-t-il pour?
+
+![Exemple.](figs/exemple_neg.png){width=50%}
+
+## Quel est le problème?
+
+. . .
+
+* L'algorithme n'essaiera jamais le chemin `s->x->y->v` et prendra direct `s->v`.
+* Ce problème n'apparaît que s'il y a des poids négatifs.
+

slides_2022/cours_25.md

+---
+title: "Graphes - Plus court chemin suite"
+date: "2023-06-23"
+---
+
+# Questions
+
+* A quoi sert l'algorithme de Dijkstra?
+
+. . .
+
+* A trouver le plus court chemin entre un sommet, $s$, d'un graphe pondéré et tous les autres sommets.
+* Quelle est la limitation de l'algorithme de Dijkstra?
+
+. . .
+
+* Les poids doivent être positifs.
+* Résumer les étapes de l'algorithme de Dijkstra.
+
+. . .
+
+* `distance[source] = 0`, `distance[reste]=inf`;
+* enfiler tous les sommets, `distance <=> priorité`;
+* tant qu'il y a des sommets dans la file:
+    * u = défiler;
+    * pour tous les sommets `v` dans le voisinage de `u`;
+    * mettre à jour `distance[v]` (priorité et précédence) si `distance[v] > distance[u] + w(u,v)`.
+
+
+# Plus cours chemin pour toute paire de sommets
+
+## Comment faire pour avoir toutes les paires?
+
+. . .
+
+* Appliquer Dijkstra sur tous les sommets d'origine.
+* Complexité:
+    * Graphe dense: $\mathcal{O}(|V|)\mathcal{O}(|V|^2\log|V|)=\mathcal{O}(|V|^3\log|V|)$.
+    * Graphe peu dense: $\mathcal{O}(|V|)\mathcal{O}(|V|\log|V|)=\mathcal{O}(|V|^2\log|V|)$.
+
+. . .
+
+## Solution alternative: Floyd--Warshall
+
+* Pour toutes paires de sommets $u,v\in V$, trouver le chemin de poids minimal reliant $u$ à $v$.
+* Complexité $\mathcal{O}(|V|^3)$, indiqué pour graphes denses.
+* Fonctionne avec la matrice d'adjacence.
+
+# Algorithme de Floyd--Warshall
+
+## Idée générale
+
+* Soit l'ensemble de sommets $V=\{1, 2, 3, 4, ..., n\}$.
+* Pour toute paire de sommets, $i,j$, on considère tous les chemins passant par les sommets intermédiaires $\in\{1, 2, ..., k\}$ avec $k\leq n$.
+* On garde pour chaque $k$ la plus petite valeur.
+
+## Principe
+
+* A chaque étape, $k$, on vérifie s'il est plus court d'aller de $i$ à $j$ en passant par le sommet $k$.
+* Si à l'étape $k-1$, le coût du parcours est $p$, on vérifie si $p$ est plus petit que $p_1+p_2$, le chemin de $i$ à $k$, et $k$ à $j$ respectivement.
+
+# Algorithme de Floyd--Warshall
+
+## The algorithme
+
+Soit $d_{ij}(k)$ le plus court chemin de $i$ à $j$ passant par les sommets $\in\{1,2,...,k\}$
+
+$$
+d_{ij}(k)=\left\{
+\begin{array}{ll}
+         w(i,j), & \mbox{si } k=0,\\
+         \min(d_{ij}(k-1),d_{ik}(k-1)+d_{kj}(k-1)), & \mbox{sinon}.
+\end{array}
+\right.
+$$
+
+# Algorithme de Floyd--Warshall (exemple)
+
+
+::: columns
+
+:::: column
+
+![Le graphe, $D=w$.](figs/floyd_exemple.png)
+
+
+::::
+
+:::: column
+
+## Que vaut $D^{(0)}$ (3min)?
+
+. . .
+
+$$
+D^{(0)}=\begin{bmatrix}
+0      & 2      & 4      & \infty & 3 \\
+2      & 0      & 8      & \infty & 1 \\
+6      & 2      & 0      & 4      & 3 \\
+1      & \infty & \infty & 0      & 5 \\
+\infty & \infty & \infty & 1      & 0 \\
+\end{bmatrix}
+$$
+
+::::
+
+:::
+
+# Algorithme de Floyd--Warshall (exemple)
+
+
+::: columns
+
+:::: column
+
+## On part de $D^{(0)}$?
+
+$$
+D^{(0)}=\begin{bmatrix}
+0      & 2      & 4      & \infty & 3 \\
+2      & 0      & 8      & \infty & 1 \\
+6      & 2      & 0      & 4      & 3 \\
+1      & \infty & \infty & 0      & 5 \\
+\infty & \infty & \infty & 1      & 0 \\
+\end{bmatrix}
+$$
+
+
+::::
+
+:::: column
+
+## Que vaut $D^{(1)}$ (3min)?
+
+. . .
+
+$$
+D^{(0)}=\begin{bmatrix}
+0      & 2          & 4               & \infty & 3 \\
+2      & 0          & \mathbf{6}      & \infty & 1 \\
+6      & 2          & 0               & 4      & 3 \\
+1      & \mathbf{3} & \mathbf{5}      & 0      & \mathbf{4} \\
+\infty & \infty     & \infty          & 1      & 0 \\
+\end{bmatrix}
+$$
+
+::::
+
+:::
+
+# Algorithme de Floyd--Warshall (exemple)
+
+
+::: columns
+
+:::: column
+
+## On part de $D^{(0)}$
+
+$$
+D^{(0)}=\begin{bmatrix}
+0      & 2      & 4      & \infty & 3 \\
+2      & 0      & 8      & \infty & 1 \\
+6      & 2      & 0      & 4      & 3 \\
+1      & \infty & \infty & 0      & 5 \\
+\infty & \infty & \infty & 1      & 0 \\
+\end{bmatrix}
+$$
+
+
+::::
+
+:::: column
+
+## Que vaut $D^{(1)}$ (3min)?
+
+. . .
+
+$$
+D^{(1)}=\begin{bmatrix}
+0      & 2          & 4               & \infty & 3 \\
+2      & 0          & \mathbf{6}      & \infty & 1 \\
+6      & 2          & 0               & 4      & 3 \\
+1      & \mathbf{3} & \mathbf{5}      & 0      & \mathbf{4} \\
+\infty & \infty     & \infty          & 1      & 0 \\
+\end{bmatrix}
+$$
+
+## Exemple
+
+$$
+D_{42}^{(1)}=D_{41}^{(0)}+D_{12}^{(0)}=1+2<\infty.
+$$
+
+::::
+
+:::
+
+# Algorithme de Floyd--Warshall (exemple)
+
+::: columns
+
+:::: column
+
+## On part de $D^{(1)}$
+
+$$
+D^{(1)}=\begin{bmatrix}
+0      & 2          & 4      & \infty & 3 \\
+2      & 0          & 6      & \infty & 1 \\
+6      & 2          & 0      & 4      & 3 \\
+1      & 3          & 5      & 0      & 4 \\
+\infty & \infty     & \infty & 1      & 0 \\
+\end{bmatrix}
+$$
+
+
+::::
+
+:::: column
+
+## Que vaut $D^{(2)}$ (3min)?
+
+. . .
+
+$$
+D^{(2)}=\begin{bmatrix}
+0          & 2          & 4      & \infty & 3 \\
+2          & 0          & 6      & \infty & 1 \\
+\mathbf{4} & 2          & 0      & 4      & 3 \\
+1          & 3          & 5      & 0      & 4 \\
+\infty     & \infty     & \infty & 1      & 0 \\
+\end{bmatrix}
+$$
+
+::::
+
+:::
+
+# Algorithme de Floyd--Warshall (exemple)
+
+::: columns
+
+:::: column
+
+## On part de $D^{(2)}$
+
+$$
+D^{(2)}=\begin{bmatrix}
+0          & 2          & 4      & \infty & 3 \\
+2          & 0          & 6      & \infty & 1 \\
+4          & 2          & 0      & 4      & 3 \\
+1          & 3          & 5      & 0      & 4 \\
+\infty     & \infty     & \infty & 1      & 0 \\
+\end{bmatrix}
+$$
+
+
+::::
+
+:::: column
+
+## Que vaut $D^{(3)}$ (3min)?
+
+. . .
+
+$$
+D^{(3)}=\begin{bmatrix}
+0          & 2          & 4      & \mathbf{8}  & 3 \\
+2          & 0          & 6      & \mathbf{10} & 1 \\
+4          & 2          & 0      & 4           & 3 \\
+1          & 3          & 5      & 0           & 4 \\
+\infty     & \infty     & \infty & 1           & 0 \\
+\end{bmatrix}
+$$
+
+::::
+
+:::
+
+# Algorithme de Floyd--Warshall (exemple)
+
+::: columns
+
+:::: column
+
+## On part de $D^{(3)}$
+
+$$
+D^{(3)}=\begin{bmatrix}
+0          & 2          & 4      & 8  & 3 \\
+2          & 0          & 6      & 10 & 1 \\
+4          & 2          & 0      & 4  & 3 \\
+1          & 3          & 5      & 0  & 4 \\
+\infty     & \infty     & \infty & 1  & 0 \\
+\end{bmatrix}
+$$
+
+::::
+
+:::: column
+
+## Que vaut $D^{(4)}$ (3min)?
+
+. . .
+
+$$
+D^{(4)}=\begin{bmatrix}
+0          & 2          & 4         & 8  & 3 \\
+2          & 0          & 6         & 10 & 1 \\
+4          & 2          & 0         & 4  & 3 \\
+1          & 3          & 5         & 0  & 4 \\
+\mathbf{2} & \mathbf{4} & \mathbf{6} & 1  & 0 \\
+\end{bmatrix}
+$$
+
+::::
+
+:::
+
+# Algorithme de Floyd--Warshall (exemple)
+
+::: columns
+
+:::: column
+
+## On part de $D^{(4)}$
+
+$$
+D^{(4)}=\begin{bmatrix}
+0          & 2          & 4         & 8  & 3 \\
+2          & 0          & 6         & 10 & 1 \\
+4          & 2          & 0         & 4  & 3 \\
+1          & 3          & 5         & 0  & 4 \\
+2          & 4          & 6         & 1  & 0 \\
+\end{bmatrix}
+$$
+
+::::
+
+:::: column
+
+## Que vaut $D^{(5)}$ (3min)?
+
+. . .
+
+$$
+D^{(5)}=\begin{bmatrix}
+0          & 2          & 4         & \mathbf{4} & 3 \\
+2          & 0          & 6         & \mathbf{2} & 1 \\
+4          & 2          & 0         & 4          & 3 \\
+1          & 3          & 5         & 0          & 4 \\
+2          & 4          & 6         & 1          & 0 \\
+\end{bmatrix}
+$$
+
+::::
+
+:::
+
+# Algorithme de Floyd--Warshall
+
+## The pseudo-code (10min)
+
+* Quelle structure de données?
+* Quelle initialisation?
+* Quel est le code pour le calcul de la matrice $D$?
+
+# Algorithme de Floyd--Warshall
+
+## The pseudo-code
+
+* Quelle structure de données?
+
+```C
+int distance[n][n];
+```
+
+. . .
+
+* Quelle initialisation?
+
+```C
+matrice ini_floyd_warshall(distance, n, w)
+    pour i de 1 à n
+        pour j de 1 à n
+            distance[i][j] = w(i,j)
+    retourne distance
+```
+
+# Algorithme de Floyd--Warshall
+
+## The pseudo-code
+
+* Quel est le code pour le calcul de la matrice $D$?
+
+```C
+matrice floyd_warshall(distance, n, w)
+    pour k de 1 à n
+        pour i de 1 à n
+            pour j de 1 à n
+                distance[i][j] = min(distance[i][j], 
+                    distance[i][k] + distance[k][j])
+    retourne distance
+```
+
+# Algorithme de Floyd--Warshall
+
+## La matrice de précédence
+
+* On a pas encore vu comment reconstruire le plus court chemin!
+* On définit, $P_{ij}^{(k)}$, qui est le prédécesseur du sommet $j$ depuis $i$ avec les sommets intermédiaires $\in\{1, 2, ..., k\}$.
+$$
+P^{(0)}_{ij}=\left\{
+\begin{array}{ll}
+         \mbox{vide}, & \mbox{si } i=j\mbox{, ou }w(i,j)=\infty\\
+         i, & \mbox{sinon}.
+\end{array}
+\right.
+$$
+
+* Mise à jour
+$$
+P^{(k)}_{ij}=\left\{
+\begin{array}{ll}
+         P^{(k-1)}_{\mathbf{i}j}, & \mbox{si } d_{ij}^{(k)}\leq d_{ik}^{(k-1)}+d_{kj}^{(k-1)}\\
+         P^{(k-1)}_{\mathbf{k}j}, & \mbox{sinon}.
+\end{array}
+\right.
+$$
+
+. . .
+
+* Moralité: si le chemin est plus court en passant par $k$, alors il faut utiliser son prédécesseur!
+
+# Algorithme de Floyd--Warshall
+
+## La matrice de précédence (pseudo-code, 3min)
+
+. . .
+
+```C
+matrice, matrice floyd_warshall(distance, n, w)
+    pour k de 1 à n
+        pour i de 1 à n
+            pour j de 1 à n
+                n_distance = distance[i][k] + distance[k][j]
+                if n_distance < distance[i][j]
+                    distance[i][j] = n_distance
+                    précédence[i][j] = précédence[k][j]
+    retourne distance, précédence
+```
+
+# Algorithme de Floyd--Warshall (exercice)
+
+
+::: columns
+
+:::: column
+
+![Le graphe, $D=w$.](figs/floyd_exemple.png)
+
+
+::::
+
+:::: column
+
+## Que vaut $P^{(0)}$ (3min)?
+
+. . .
+
+$$
+P^{(0)}=\begin{bmatrix}
+-          & 1          & 1         & -          & 1 \\
+2          & -          & 2         & -          & 2 \\
+3          & 3          & -         & 3          & 3 \\
+4          & -          & -         & -          & 4 \\
+-          & -          & -         & 5          & - \\
+\end{bmatrix}
+$$
+
+::::
+
+:::
+
+# Algorithme de Floyd--Warshall (exercice)
+
+
+::: columns
+
+:::: column
+
+![Le graphe, $D=w$.](figs/floyd_exemple.png)
+
+
+::::
+
+:::: column
+
+## Que vaut $P^{(5)}$ (10min)?
+
+. . .
+
+$$
+P^{(5)}=\begin{bmatrix}
+-          & 1          & 1         & 5          & 1 \\
+2          & -          & 1         & 5          & 2 \\
+2          & 3          & -         & 3          & 3 \\
+4          & 1          & 1         & -          & 1 \\
+4          & 1          & 1         & 5          & - \\
+\end{bmatrix}
+$$
+
+::::
+
+:::
+
+# Exercice: retrouver le chemin entre 1 et 4 (5min)
+
+$$
+P=\begin{bmatrix}
+-          & 1          & 1         & 5          & 1 \\
+2          & -          & 1         & 5          & 2 \\
+2          & 3          & -         & 3          & 3 \\
+4          & 1          & 1         & -          & 4 \\
+4          & 1          & 1         & 5          & - \\
+\end{bmatrix}
+$$
+
+. . .
+
+## Solution
+
+* Le sommet $5=P_{14}$, on a donc, $5\rightarrow 4$, on veut connaître le prédécesseur de 5.
+* Le sommet $1=P_{15}$, on a donc, $1\rightarrow 5\rightarrow 4$. The end.
+
+# Exercice complet
+
+## Appliquer l'algorithme de Floyd--Warshall au graphe suivant
+
+![The exorcist.](figs/floyd_exercice.png){width=50%}
+
+* Bien indiquer l'état de $D$ et $P$ à chaque étape!
+* Ne pas oublier de faire la matrice d'adjacence évidemment...
+
+# La suite
+
+* Sans transition.... la suite!
+
+# Trouver un réseau électrique pour
+
+![Ces maisons n'ont pas d'électricité.](figs/arbre_couvrant_vide.png)
+
+# Solution: pas optimale
+
+![Le réseau simple, mais nul.](figs/arbre_couvrant_mal.png)
+
+* La longueur totale des câbles est super longue!
+
+# Solution: optimale
+
+![Le meilleur réseau.](figs/arbre_couvrant_bien.png)
+
+# Formalisation: Les arbres couvrants
+
+## Application: minimisation des coûts
+
+* Équipement d'un lotissement avec des lignes électriques/téléphoniques, des canalisations, ...
+
+. . .
+
+* Pour réduire les coûts, on cherche à minimiser la longueur totale des câbles/tuyaux.
+
+. . .
+
+* Les lignes/tuyaux forment un *arbre couvrant*.
+
+. . .
+
+* La meilleure option est un *arbre couvrant minimal*.
+
+
+# Formalisation: Les arbres couvrants
+
+* Qu'est-ce qu'un arbre couvrant? Des idées? De quel objet on part? Où va-t-on?
+
+. . .
+
+* Un arbre couvrant d'un graphe non-orienté et connexe est:
+    * un arbre inclus dans le graphe qui connecte tous les sommets du graphe.
+
+. . .
+
+![Exemple d'arbres couvrants d'un graphe connexe.](figs/arbre_couvrant_exemples.png)
+
+# Arbres couvrants
+
+* Quels algorithmes que nous avons déjà vus permettent de construire des arbres couvrants?
+
+. . .
+
+* Les parcours en largeur et en profondeur!
+
+. . .
+
+![Graphe, et parcours comme arbres couvrants.](figs/arbres_couvrants_parcours.png)
+
+# Arbres couvrants minimaux
+
+* Un *arbre couvrant minimal* est un sous-graphe d'un graphe non-orienté pondéré $G(V,E)$, tel quel:
+    * C'est un arbre (graphe acyclique);
+    * Il couvre tous les sommets de $G$ et contient $|V|-1$ arêtes;
+    * Le coût total associé aux arêtes de l'arbre est minimum parmi tous les arbres couvrants possibles.
+
+. . .
+
+* Est-il unique?
+
+. . .
+
+* Pas forcément.
+
+# Arbres couvrants minimaux
+
+* Comment générer un arbre couvrant minimal?
+
+![Un graphe, connexe, non-orienté, pondéré, et son arbre couvrant minimal.](figs/arbre_couvrant_minimal_exemple.png)
+
+# Algorithme de Prim
+
+::: columns
+
+:::: column
+
+## Un exemple
+
+![Le graphe de départ.](figs/prim_0.png)
+
+::::
+
+:::: column
+
+## On part de `e` (au hasard)
+
+![Le sommet `e` est couvert.](figs/prim_1.png)
+
+::::
+
+:::
+
+# Algorithme de Prim
+
+::: columns
+
+:::: column
+
+## On choisit comment? 
+
+![Quelle arête choisir?](figs/prim_1.png)
+
+. . .
+
+* L'arête la plus courte sortant d'un sommet déjà visité, et entrant dans un sommet non-visité.
+
+::::
+
+:::: column
+
+. . .
+
+## L'arête `e->d`
+
+![Le sommet `d` est couvert.](figs/prim_2.png)
+
+::::
+
+:::
+
+# Algorithme de Prim
+
+::: columns
+
+:::: column
+
+## On choisit comment? 
+
+![Quelle arête choisir?](figs/prim_2.png)
+
+. . .
+
+* L'arête la plus courte sortant d'un sommet déjà visité, et entrant dans un sommet non-visité.
+
+::::
+
+:::: column
+
+. . .
+
+## L'arête `d->a`
+
+![Le sommet `a` est couvert.](figs/prim_3.png)
+
+::::
+
+:::
+
+# Algorithme de Prim
+
+::: columns
+
+:::: column
+
+## On choisit comment? 
+
+![Quelle arête choisir?](figs/prim_3.png)
+
+. . .
+
+* L'arête la plus courte sortant d'un sommet déjà visité, et entrant dans un sommet non-visité.
+
+::::
+
+:::: column
+
+. . .
+
+## L'arête `d->c`
+
+![Le sommet `c` est couvert.](figs/prim_4.png)
+
+::::
+
+:::
+
+# Algorithme de Prim
+
+::: columns
+
+:::: column
+
+## On choisit comment? 
+
+![Quelle arête choisir?](figs/prim_4.png)
+
+. . .
+
+* L'arête la plus courte sortant d'un sommet déjà visité, et entrant dans un sommet non-visité.
+
+::::
+
+:::: column
+
+. . .
+
+## L'arête `e->b`
+
+![Le sommet `b` est couvert.](figs/prim_5.png)
+
+* Game over!
+
+::::
+
+:::
+
+# Algorithme de Prim
+
+## Structures de données
+
+* Dans quoi allons nous stocker les sommets?
+
+. . .
+
+* File de priorité min.
+* Autre chose?
+
+. . .
+
+* Tableau des distances (comme pour Dijkstra).
+* Autre chose?
+
+. . .
+
+* Tableau des parents (presque comme pour Dijkstra).
+* Autre chose?
+
+. . .
+
+* Non.
+
+# Algorithme de Prim
+
+## Initialisation: Pseudo-code (2min)
+
+. . .
+
+```C
+file_priorité, distance, parent initialisation(graphe)
+    r = aléatoire(graphe)
+    distance[r] = 0
+    parent[r] = indéfini
+    fp = file_p_vide()
+    pour v dans sommets(graphe)
+        si v != r
+            distance[v] = infini
+            parent[v]   = indéfini
+        fp = enfiler(fp, v, distance[v])
+    retourne fp, distance, parent
+```
+
+# Algorithme de Prim
+
+## Algorithme: Pseudo-code (5min)
+
+. . .
+
+```C
+sommets, parent prim(file_priorité, distance, parent)
+    sommets = vide
+    tant que !est_vide(file_priorité)
+        u, fp = défiler(file_priorité)
+        sommets = insérer(sommets, u)
+        pour v dans voisinage de u et pas dans sommets 
+        // ou dans file_priorité
+            si w(u, v) < distance[v]
+                parent[w] = u
+                distance[w] = w(u, v)
+                fp = changer_priorité(fp, w, w(u, v))
+    retourne sommets, parent
+```
+
+# Exemple d'algorithme de Prim
+
+::: columns
+
+:::: {.column width="40%"}
+
+## Un exemple
+
+![Étape 1.](figs/prim_1.png)
+
+::::
+
+:::: column
+
+```
+FP |  e  |  d  |  b  |  c  |  a  |
+----------------------------------
+D  |  0  | inf | inf | inf | inf |
+
+   |  e  |  d  |  b  |  c  |  a  |
+----------------------------------
+P  |  -  |  -  |  -  |  -  |  -  |
+```
+
+## Devient?
+
+. . .
+
+```
+FP |  d  |  b  |  c  |  a  |
+----------------------------
+D  |  4  |  5  |  5  | inf |
+
+   |  e  |  d  |  b  |  c  |  a  |
+----------------------------------
+P  |  -  |  e  |  e  |  e  |  -  |
+```
+
+::::
+
+:::
+
+# Exemple d'algorithme de Prim
+
+::: columns
+
+:::: {.column width="40%"}
+
+## Un exemple
+
+![Étape 2.](figs/prim_2.png)
+
+::::
+
+:::: column
+
+```
+FP |  d  |  b  |  c  |  a  |
+----------------------------
+D  |  4  |  5  |  5  | inf |
+
+   |  e  |  d  |  b  |  c  |  a  |
+----------------------------------
+P  |  -  |  e  |  e  |  e  |  -  |
+```
+
+## Devient?
+
+. . .
+
+```
+FP |  a  |  c  |  b  |
+----------------------
+D  |  2  |  4  |  5  |
+
+   |  e  |  d  |  b  |  c  |  a  |
+----------------------------------
+P  |  -  |  e  |  e  |  d  |  d  |
+```
+
+::::
+
+:::
+
+# Exemple d'algorithme de Prim
+
+::: columns
+
+:::: {.column width="40%"}
+
+## Un exemple
+
+![Étape 3.](figs/prim_3.png)
+
+::::
+
+:::: column
+
+```
+FP |  a  |  c  |  b  |
+----------------------
+D  |  2  |  4  |  5  |
+
+   |  e  |  d  |  b  |  c  |  a  |
+----------------------------------
+P  |  -  |  e  |  e  |  d  |  d  |
+```
+
+## Devient?
+
+. . .
+
+```
+FP |  c  |  b  |
+----------------
+D  |  4  |  5  |
+
+   |  e  |  d  |  b  |  c  |  a  |
+----------------------------------
+P  |  -  |  e  |  e  |  d  |  d  |
+```
+
+::::
+
+:::
+
+# Exemple d'algorithme de Prim
+
+::: columns
+
+:::: {.column width="40%"}
+
+## Un exemple
+
+![Étape 4.](figs/prim_4.png)
+
+::::
+
+:::: column
+
+```
+FP |  c  |  b  |
+----------------
+D  |  4  |  5  |
+
+   |  e  |  d  |  b  |  c  |  a  |
+----------------------------------
+P  |  -  |  e  |  e  |  d  |  d  |
+```
+
+## Devient?
+
+. . .
+
+```
+FP |  b  |
+----------
+D  |  5  |
+
+   |  e  |  d  |  b  |  c  |  a  |
+----------------------------------
+P  |  -  |  e  |  e  |  d  |  d  |
+```
+
+::::
+
+:::
+
+# Exemple d'algorithme de Prim
+
+::: columns
+
+:::: {.column width="40%"}
+
+## Un exemple
+
+![Étape 5.](figs/prim_4.png)
+
+::::
+
+:::: column
+
+```
+FP |  b  |
+----------
+D  |  5  |
+
+   |  e  |  d  |  b  |  c  |  a  |
+----------------------------------
+P  |  -  |  e  |  e  |  d  |  d  |
+```
+
+## Devient?
+
+. . .
+
+```
+FP |
+----
+D  |
+
+   |  e  |  d  |  b  |  c  |  a  |
+----------------------------------
+P  |  -  |  e  |  e  |  d  |  d  |
+```
+
+::::
+
+:::
+
+# Exercice: algorithme de Prim
+
+## Appliquer l'algorithme de Prim à (15min):
+
+![En démarrant du sommet $V_1$.](figs/prim_exercice.png)
+
+# Exercice: algorithme de Prim
+
+## Solution
+
+![](figs/prim_solution.png)
+
+# Complexité de l'algorithme de Prim
+
+\footnotesize
+
+```C
+file_priorité, distance, parent initialisation(graphe)
+    // choix r et initialisation
+    pour v dans sommets(graphe)
+O(|V|)  // initialisation distance et parent
+        fp = enfiler(fp, v, distance[v])
+    retourne fp, distance, parent
+sommets, parent prim(file_priorité, distance, parent)
+    sommets = vide
+    tant que !est_vide(file_priorité)
+O(|V|)  u, fp = défiler(file_priorité)
+        sommets = insérer(sommets, u)
+        pour v dans voisinage de u et pas dans sommets
+    O(|E|)  si w(u, v) < distance[v]
+                // màj dista + parent
+        O(|V|)  fp = changer_priorité(fp, w, w(u, v))
+    retourne sommets, parent
+```
+
+* $O(|V|)+O(|E|)+O(|V|^2)=O(|E|+|V|^2)$
+* Remarque: $O(|E|)$ n'est pas mutliplié par $O(|V|)$, car les arêtes parcourues qu'une fois en **tout**.

slides_2022/cours_3.md

+---
+title: "Introduction aux algorithmes"
+date: "2022-10-05"
+patat:
+  eval:
+    tai:
+      command: fish
+      fragment: false
+      replace: true
+    ccc:
+      command: fish
+      fragment: false
+      replace: true
+  images:
+    backend: auto
+---
+
+# Rappel (1/2)
+
+## Quels algos avons-nous vu la semaine passée?
+
+. . .
+
+* L'algorithme de la factorielle.
+* L'algorithme du PPCM.
+* Le début de l'algorithme du PGCD.
+
+# Rappel (2/2)
+
+## Algorithme du PPCM?
+
+. . .
+
+```C
+int main() { 
+    int m = 15, n = 12;
+    int mult_m = m, mult_n = n;
+    while (mult_m != mult_n) {
+        if (mult_m > mult_n) {
+            mult_n += n;
+        } else {
+            mult_m += m;
+        }
+    }
+    printf("Le ppcm de %d et %d est %d\n", n, m, mult_m);
+}
+```
+
+# Le calcul du PGCD (1/5)
+
+## Définition
+
+Le plus grand commun diviseur (PGCD) de deux nombres entiers non nuls est le
+plus grand entier qui les divise en même temps. 
+
+## Exemples:
+
+```C
+PGCD(3, 4) = 1,
+PGCD(4, 6) = 2,
+PGCD(5, 15) = 5.
+```
+
+. . .
+
+## Mathématiquement
+
+Décomposition en nombres premiers:
+
+$$
+36 = 2^2\cdot 3^2,\quad 90=2\cdot 5\cdot 3^2,
+$$
+On garde tous les premiers à la puissance la plus basse
+$$
+PGCD(36, 90)=2^{\min{1,2}}\cdot 3^{\min{2,2}}\cdot 5^{\min{0,1}}=18.
+$$
+
+# Le calcul du PGCD (2/5)
+
+## Algorithme
+
+Par groupe de 3 (5-10min):
+
+* réfléchissez à un algorithme alternatif donnant le PGCD de deux nombres;
+* écrivez l'algorithme en pseudo-code.
+
+. . .
+
+## Exemple d'algorithme
+
+```C
+PGCD(36, 90):
+90 % 36 != 0 // otherwise 36 would be PGCD
+90 % 35 != 0 // otherwise 35 would be PGCD
+90 % 34 != 0 // otherwise 34 would be PGCD
+...
+90 % 19 != 0 // otherwise 19 would be PGCD
+90 % 18 == 0 // The end!
+```
+
+* 18 modulos, 18 assignations, et 18 comparaisons.
+
+# Le calcul du PGCD (3/5)
+
+## Transcrivez cet exemple en algorithme (groupe de 3) et codez-le (5-10min)!
+
+. . .
+
+## Optimisation
+
+* Combien d'additions / comparaisons au pire?
+* Un moyen de le rendre plus efficace?
+
+. . .
+
+## Tentative de correction
+
+```C
+void main() {
+   int n = 90, m = 78;
+   int gcd = 1;
+   for (int div = n; div >= 2; div--) { // div = m, sqrt(n)
+      if (n % div == 0 && m % div == 0) {
+         gcd = div;
+         break;
+      }
+   }
+   printf("Le pgcd de %d et %d est %d\n", n, m, gcd);
+}
+```
+
+# Le calcul du PGCD (4/5)
+
+## Réusinage: l'algorithme d'Euclide
+
+`Dividende = Diviseur * Quotient + Reste`
+
+```C
+PGCD(35, 60):
+35 = 60 * 0 + 35 // 60 -> 35, 35 -> 60
+60 = 35 * 1 + 25 // 35 -> 60, 25 -> 35
+35 = 25 * 1 + 10 // 25 -> 35, 20 -> 25
+25 = 10 * 2 +  5 // 10 -> 25, 5  -> 10
+10 =  5 * 2 +  0 // PGCD = 5!
+```
+
+. . .
+
+## Algorithme
+
+Par groupe de 3 (5-10min):
+
+* analysez l'exemple ci-dessus;
+* transcrivez le en pseudo-code.
+
+# Le calcul du PGCD (5/5)
+
+## Pseudo-code
+
+```C
+entier pgcd(m, n) {
+    tmp_n = n
+    tmp_m = m
+    tant que (tmp_m ne divise pas tmp_n) {
+        tmp   = tmp_n
+        tmp_n = tmp_m
+        tmp_m = tmp modulo tmp_m
+    }
+    retourne tmp_m
+}
+```
+
+# Le code du PGCD de 2 nombres
+
+## Implémentez le pseudo-code et postez le code sur matrix (5min).
+
+. . .
+
+## Un corrigé possible
+
+```C
+#include <stdio.h>
+void main() {
+   int n = 90;
+   int m = 78;
+   printf("n = %d et m = %d\n", n, m);
+   int tmp_n = n;
+   int tmp_m = m;
+   while (tmp_n%tmp_m > 0) {
+      int tmp = tmp_n;
+      tmp_n = tmp_m;
+      tmp_m = tmp % tmp_m;
+   }
+   printf("Le pgcd de %d et %d est %d\n", n, m, tmp_m);
+}
+```
+
+# Quelques algorithmes simples
+
+* Remplissage d'un tableau et recherche de la valeur minimal
+* Anagrammes
+* Palindromes
+* Crible d'ératosthène
+
+. . .
+
+* Ces algorithme nécessitent d'utiliser des **tableaux**.
+
+# Collections: tableaux statiques
+
+\footnotesize
+
+* Objets de même type: leur nombre est **connu à la compilation**;
+* Stockés contigüement en mémoire (très efficace);
+
+    ```C
+    #define SIZE 10
+    int entiers[] = {2, 1, 4, 5, 7}; // taille 5, initialisé
+    int tab[3]; // taille 3, non initialisé
+    float many_floats[SIZE]; // taille 10, non initialisé
+    ```
+* Les indices sont numérotés de `0` à `taille-1`;
+
+    ```C
+    int premier = entier[0]; // premier = 2
+    int dernier = entier[4]; // dernier = 7
+    ```
+* Les tableaux sont **non-initialisés** par défaut;
+* Les bornes ne sont **jamais** vérifiées.
+
+    ```C
+    int indetermine_1 = tab[1];     // undefined behavior
+    int indetermine_2 = entiers[5]; // UB
+    ```
+
+# Remarques
+
+* Depuis  `C99` possibilité d'avoir des tableaux dont la taille est *inconnue à
+  la compilation*;
+
+    ```C
+    int size;
+    scanf("%d", &size);
+    char string[size];
+    ```
+
+ . . .
+
+* Considéré comme une mauvaise pratique: que se passe-t-il si `size == 1e9`?
+* On préfère utiliser l'allocation **dynamique** de mémoire pour ce genre de
+  cas-là (spoiler du futur du cours).
+
+# Initialisation
+
+* Les variables ne sont **jamais** initialisées en `C` par défaut.
+* Question: Que contient le tableau suivant?
+
+    ```C
+    double tab[4];
+    ```
+
+. . .
+
+* Réponse: On en sait absolument rien!
+* Comment initialiser un tableau?
+
+. . .
+
+```C
+#define SIZE 10
+double tab[SIZE];
+for (int i = 0; i < SIZE; ++i) {
+    tab[i] = rand() / (double)RAND_MAX * 10.0 - 5.0; 
+    // tab[i] contient un double dans [-5;5]
+}
+```
+
+# Recherche du minimum dans un tableau (1/2)
+
+## Problématique
+
+Trouver la valeur minimale contenue dans un tableau et l'indice de l'élément le plus petit.
+
+## Écrire un pseudo-code résolvant ce problème (groupe de 3), 2min
+
+. . .
+
+```C
+index = 0
+min   = tab[0]
+pour i de 1 à SIZE - 1
+    si min > tab[i]
+        min = tab[i]
+        index = i
+```
+
+# Recherche du minimum dans un tableau (2/2)
+
+## Implémenter ce bout de code en C (groupe de 3), 4min
+
+. . .
+
+```C
+int index = 0;
+float min = tab[0];
+for (int i = 1; i < SIZE; ++i) {
+    if min > tab[i] {
+        min = tab[i];
+        index = i;
+    }
+}
+```
+
+# Tri par sélection (1/2)
+
+## Problématique
+
+Trier un tableau par ordre croissant.
+
+## Idée d'algorithme
+
+```C
+ind = 0
+tant que (ind < SIZE-1)
+    Trouver le minimum du tableau, tab_min[ind:SIZE].
+    Échanger tab_min avec tab[ind]
+    ind += 1
+```
+
+# Tri par sélection (2/2)
+
+## Implémentation par groupe de 3
+
+* Initialiser aléatoirement un tableau de `double` de taille 10;
+* Afficher le tableau;
+* Trier par sélection le tableau;
+* Afficher le résultat trié;
+* Vérifier algorithmiquement que le résultat est bien trié.
+

slides_2022/cours_4.md

+---
+title: "Introduction aux algorithmes"
+date: "2022-10-19"
+---
+
+# Rappel
+
+## Quel est l'algorithme du tri par sélection?
+
+. . .
+
+1. Soit un tableau d'entiers, `tab[0:SIZE-1]` et `i=0`.
+2. Trouver l'indice, `j`, de `tab[i:SIZE-2]` où la valeur est minimale.
+3. Échanger `tab[i]` et `tab[j]`.
+4. `i+=1` et revenir à 2, tant que `j < SIZE-2`.
+
+# Un type de tableau particulier
+
+## Les chaînes de caractères
+
+```C
+string = tableau + char + magie noire
+```
+
+# Le type `char`{.C}
+
+- Le type `char`{.C} est utilisé pour représenter un caractère.
+- C'est un entier 8 bits signé.
+- En particulier:
+    - Écrire
+        
+        ```C
+        char c = 'A';
+        ```
+    - Est équivalent à:
+
+        ```C
+        char c = 65;
+        ```
+- Les fonctions d'affichage interprètent le nombre comme sa valeur ASCII.
+
+# Chaînes de caractères (strings)
+
+- Chaîne de caractère `==` tableau de caractères **terminé par la valeur** `'\0'`{.C} ou `0`{.C}.
+
+## Exemple
+
+```C
+char *str  = "HELLO !";
+char str[] = "HELLO !";
+```
+
+Est représenté par
+
+| `char`  | `H`  | `E`  | `L`  | `L`  | `O`  |      | `!`  | `\0`|
+|---------|------|------|------|------|------|------|------|-----|
+| `ASCII` | `72` | `69` | `76` | `76` | `79` | `32` | `33` | `0` |
+
+. . .
+
+## A quoi sert le `\0`?
+
+. . .
+
+Permet de connaître la fin de la chaîne de caractères (pas le cas des autres
+sortes de tableaux).
+
+# Syntaxe
+
+```C
+char name[5];
+name[0] = 'P';  // = 70;
+name[1] = 'a';  // = 97;
+name[2] = 'u';  // = 117;
+name[3] = 'l';  // = 108;
+name[4] = '\0'; // = 0;
+char name[] = {'P', 'a', 'u', 'l', '\0'};
+char name[5] = "Paul";
+char name[] = "Paul";
+char name[100] = "Paul is not 100 characters long.";
+```
+
+# Fonctions
+
+- Il existe une grande quantités de fonction pour la manipulation de chaînes de caractères dans `string.h`.
+- Fonctions principales:
+
+    ```C
+    // longueur de la chaîne (sans le \0)
+    size_t strlen(char *str);
+    // copie jusqu'à un \0
+    char *strcpy(char *dest, const char *src);
+     // copie len char
+    char *strncpy(char *dest, const char *src, size_t len);
+    // compare len chars
+    int strncmp(char *str1, char *str2, size_t len);
+    // compare jusqu'à un \0
+    int strcmp(char *str1, char *str2);
+    ```
+
+- Pour avoir la liste complète: `man string`.
+
+. . .
+
+## Quels problèmes peuvent se produire avec `strlen`, `strcpy`, `strcmp`?
+
+# Les anagrammes
+
+## Définition
+
+Deux mots sont des anagrammes l'un de l'autre quand ils contiennent les mêmes 
+lettres mais dans un ordre différent.
+
+## Exemple
+
+| `t`  | `u`  | `t`  | `u`  | `t`  | `\0` | ` `  | ` ` |
+|------|------|------|------|------|------|------|-----|
+| `t`  | `u`  | `t`  | `t`  | `u`  | `\0` | ` `  | ` ` |
+
+
+## Problème: Trouvez un algorithme pour déterminer si deux mots sont des anagrammes.
+
+# Les anagrammes
+
+## Il suffit de:
+
+1. Trier les deux mots.
+2. Vérifier s'ils contiennent les mêmes lettres.
+
+## Implémentation ensemble
+
+```C
+int main() { // pseudo C
+    tri(mot1);
+    tri(mot2);
+    if egalite(mot1, mot2) {
+        // anagrammes
+    } else {
+        // pas anagrammes
+    }
+}
+```
+
+<!-- TODO: Live implémentation hors des cours? -->
+
+# Les palindromes
+
+Mot qui se lit pareil de droite à gauche que de gauche à droite:
+
+. . .
+
+* rotor, kayak, ressasser, ...
+
+## Problème: proposer un algorithme pour détecter un palindrome
+
+. . .
+
+## Solution 1
+
+```C
+while (first_index < last_index {
+    if (mot[first_index] != mot [last_index]) {
+        return false;
+    }
+    first_index += 1;
+    last_index -= 1;
+}
+return true;
+```
+
+. . .
+
+## Solution 2
+
+```C
+mot_tmp = revert(mot);
+return mot == mot_tmp;
+```
+
+# Crible d'Ératosthène
+
+Algorithme de génération de nombres premiers.
+
+## Exercice
+
+* À l'aide d'un tableau de booléens,
+* Générer les nombres premiers plus petits qu'un nombre $N$
+
+## Pseudo-code
+
+* Par groupe de trois, réfléchir à un algorithme.
+
+## Programme en C
+
+* Implémenter l'algorithme et le poster sur le salon `Element`.
+
+# Crible d'Ératosthène: solution
+
+\footnotesize
+
+```C
+#include <stdio.h>
+#include <stdbool.h>
+#define SIZE 51
+int main() {
+   bool tab[SIZE];
+   for (int i=0;i<SIZE;i++) {
+      tab[i] = true;  
+   }
+   for (int i = 2; i < SIZE; i++) {
+      if (tab[i]) {
+         printf("%d ", i);
+         int j = i;
+         while (j < SIZE) {
+            j += i;
+            tab[j] = false;
+         } 
+      } 
+   }
+   printf("\n");
+}
+```
+
+
+# Réusinage de code (refactoring)
+
+## Le réusinage est?
+
+. . .
+
+* le processus de restructuration d'un programme:
+    * en modifiant son design,
+    * en modifiant sa structure,
+    * en modifiant ses algorithmes
+    * mais en **conservant ses fonctionalités**.
+
+. . .
+
+## Avantages?
+
+. . .
+
+* Amélioration de la lisibilité,
+* Amélioration de la maintenabilité,
+* Réduction de la complexité.
+
+. . .
+
+## "Make it work, make it nice, make it fast",  Kent Beck.
+
+. . .
+
+## Exercice:
+
+* Réusiner le code se trouvant sur
+  [Cyberlearn](https://cyberlearn.hes-so.ch/mod/resource/view.php?id=1627712).
+
+# Tableau à deux dimensions (1/4)
+
+## Mais qu'est-ce donc?
+
+. . .
+
+* Un tableau où chaque cellule est un tableau.
+
+## Quels cas d'utilisation?
+
+. . .
+
+* Tableau à double entrée;
+* Image;
+* Écran (pixels);
+* Matrice (mathématique);
+ 
+# Tableau à deux dimensions (2/4)
+
+## Exemple: tableau à 3 lignes et 4 colonnes d'entiers
+
++-----------+-----+-----+-----+-----+
+| `indices` | `0` | `1` | `2` | `3` |
++-----------+-----+-----+-----+-----+
+| `0`       | `7` | `4` | `7` | `3` |
++-----------+-----+-----+-----+-----+
+| `1`       | `2` | `2` | `9` | `2` |
++-----------+-----+-----+-----+-----+
+| `2`       | `4` | `8` | `8` | `9` |
++-----------+-----+-----+-----+-----+
+
+## Syntaxe
+
+```C
+int tab[3][4]; // déclaration d'un tableau 4x3
+tab[2][1]; // accès à la case 2, 1
+tab[2][1] = 14; // assignation de 14 à la position 2, 1
+```
+
+# Tableau à deux dimensions (3/4)
+
+## Exercice: déclarer et initialiser aléatoirement un tableau `50x100`
+
+. . .
+
+```C
+#define NX 50
+#define NY 100
+int tab[NX][NY];
+for (int i = 0; i < NX; ++i) {
+    for (int j = 0; j < NY; ++j) {
+        tab[i][j] = rand() % 256; // 256 niveaux de gris
+    }
+}
+```
+ 
+## Exercice: afficher le tableau
+
+. . .
+
+```C
+for (int i = 0; i < NX; ++i) {
+    for (int j = 0; j < NY; ++j) {
+        printf("%d ", tab[i][j]);
+    }
+    printf("\n");
+}
+```
+
+# Tableau à deux dimensions (4/4)
+
+## Attention
+
+* Les éléments ne sont **jamais** initialisés.
+* Les bornes ne sont **jamais** vérifiées.
+
+    ```C
+    int tab[3][2] = { {1, 2}, {3, 4}, {5, 6} };
+    printf("%d\n", tab[2][1]);  // affiche?
+    printf("%d\n", tab[10][9]); // affiche?
+    printf("%d\n", tab[3][1]);  // affiche?
+    ```
+    
+# La couverture de la reine
+
+* Aux échecs la reine peut se déplacer horizontalement et verticalement
+* Pour un échiquier `5x6`, elle *couvre* les cases comme ci-dessous
+
++-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+
+| ` ` | `0` | `1` | `2` | `3` | `4` | `5` |
++-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+
+| `0` | `*` | ` ` | `*` | ` ` | `*` | ` ` |
++-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+
+| `1` | ` ` | `*` | `*` | `*` | ` ` | ` ` |
++-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+
+| `2` | `*` | `*` | `R` | `*` | `*` | `*` |
++-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+
+| `3` | ` ` | `*` | `*` | `*` | ` ` | ` ` |
++-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+
+| `4` | `*` | ` ` | `*` | ` ` | `*` | ` ` |
++-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+
+
+## Exercice
+
+* En utilisant les conditions, les tableaux à deux dimensions, et des
+  `char` uniquement.
+* Implémenter un programme qui demande à l'utilisateur d'entrer les
+  coordonnées de la reine et affiche un tableau comme ci-dessus pour un
+  échiquier `8x8`.
+
+## Poster le résultat sur `Element`
+
+# Types énumérés (1/2)
+
+* Un **type énuméré**: ensemble de *variantes* (valeurs constantes).
+* En `C` les variantes sont des entiers numérotés à partir de 0.
+
+    ```C
+    enum days {
+        monday, tuesday, wednesday,
+        thursday, friday, saturday, sunday
+    };
+    ```
+* On peut aussi donner des valeurs "custom"
+
+    ```C
+    enum days {
+        monday = 2, tuesday = 8, wednesday = -2,
+        thursday = 1, friday = 3, saturday = 12, sunday = 9
+    };
+    ```
+* S'utilise comme un type standard et un entier
+
+    ```C
+    enum days d = monday;
+    (d + 2) == tuesday + tuesday; // true
+    ```
+
+# Types énumérés (2/2)
+
+* Très utile dans les `switch ... case`{.C}
+
+    ```C
+    enum days d = monday;
+    switch (d) {
+        case monday:
+            // trucs
+            break;
+        case tuesday:
+            printf("0 ou 1\n");
+            break;
+    }
+    ```
+* Le compilateur vous prévient qu'il en manque!
+
+# Utilisation des types énumérés
+
+## Réusiner votre couverture de la reine avec des `enum`
+
+# Représentation des nombres (1/2)
+
+* Le nombre `247`.
+
+## Nombres décimaux: Les nombres en base 10 
+
++--------+--------+--------+
+| $10^2$ | $10^1$ | $10^0$ |
++--------+--------+--------+
+| `2`    | `4`    | `7`    |
++--------+--------+--------+
+
+$$
+247 = 2\cdot 10^2 + 4\cdot 10^1 + 7\cdot 10^0.
+$$
+
+# Représentation des nombres (2/2)
+
+* Le nombre `11110111`.
+
+## Nombres binaires: Les nombres en base 2
+
++-------+-------+-------+-------+-------+-------+-------+-------+
+| $2^7$ | $2^6$ | $2^5$ | $2^4$ | $2^3$ | $2^2$ | $2^1$ | $2^0$ |
++-------+-------+-------+-------+-------+-------+-------+-------+
+| `1`   | `1`   | `1`   | `1`   | `0`   | `1`   | `1`   | `1`   |
++-------+-------+-------+-------+-------+-------+-------+-------+
+ 
+$$
+1\cdot 2^7 + 1\cdot 2^6 +1\cdot 2^5 +1\cdot 2^4 +0\cdot 2^3 +1\cdot 2^2
++1\cdot 2^1 +1\cdot 2^0
+$$
+
+. . .
+
+$$
+= 247.
+$$
+
+# Conversion de décimal à binaire (1/2)
+
+## Convertir 11 en binaire?
+
+. . .
+
+* On décompose en puissances de 2 en partant de la plus grande possible
+
+    ```
+    11 / 8 = 1, 11 % 8 = 3
+    3  / 4 = 0,  3 % 4 = 3
+    3  / 2 = 1,  3 % 2 = 1
+    1  / 1 = 1,  1 % 1 = 0
+    ```
+* On a donc
+
+    $$
+    1011 \Rightarrow 1\cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1\cdot 2^1 + 1\cdot
+    2^0=11.
+    $$
+
+# Conversion de décimal à binaire (2/2)
+
+## Convertir un nombre arbitraire en binaire: 247?
+
+* Par groupe établir un algorithme.
+
+. . .
+
+## Algorithme
+
+1. Initialisation
+    
+    ```C
+    num = 247
+    while (2^N < num) {
+        N += 1
+    }
+    ```
+
+. . .
+
+2. Boucle
+
+    ```C
+    while (N >= 0) {
+        bit = num / 2^N
+        num = num % 2^N
+        N += 1
+    }
+    ```
+
+# Les additions en binaire
+
+Que donne l'addition `1101` avec `0110`?
+
+* L'addition est la même que dans le système décimal
+
+    ```
+       1101         8+4+0+1 = 13
+    +  0110    +    0+4+2+0 =  6
+    -------    -----------------
+      10011      16+0+0+2+1 = 19
+    ```
+* Les entiers sur un ordinateur ont une précision **fixée** (ici 4 bits).
+* Que se passe-t-il donc ici?
+
+. . .
+
+## Dépassement de capacité: le nombre est "tronqué"
+
+* `10011 (19) -> 0011 (3)`.
+* On fait "le tour"."
+
+# Entier non-signés minimal/maximal
+
+* Quel est l'entier non-signé maximal représentable avec 4 bit?
+
+. . .
+
+$$
+(1111)_2 = 8+4+2+1 = 15
+$$
+
+* Quel est l'entier non-signé minimal représentable avec 4 bit?
+
+. . .
+
+$$
+(0000)_2 = 0+0+0+0 = 0
+$$
+
+* Quel est l'entier non-signé min/max représentable avec N bit?
+
+. . .
+
+$$
+0\mbox{ et  }2^N-1.
+$$
+
+* Donc `uint32_t?` maximal est?
+
+. . .
+
+$$
+4294967295
+$$
+
+
+# Les multiplications en binaire (1/2)
+
+Que donne la multiplication de `1101` avec `0110`?
+
+* L'addition est la même que dans le système décimal
+
+    ```
+         1101                13
+    *    0110    *            6
+    ---------    --------------
+         0000                78
+        11010
+       110100
+    + 0000000
+    ---------    --------------
+      1001110    64+0+0+8+4+2+0
+    ```
+
+# Les multiplications en binaire (2/2)
+
+## Que fait la multiplication par 2?
+
+. . .
+
+* Décalage de un bit vers la gauche!
+
+    ```
+         0110
+    *    0010
+    ---------
+         0000
+    +   01100
+    ---------
+        01100
+    ```
+
+. . .
+
+## Que fait la multiplication par $2^N$?
+
+. . .
+
+* Décalade de $N$ bits vers la gauche!
+
+# Entiers signés (1/2)
+
+Pas de nombres négatifs encore...
+
+## Comment faire?
+
+. . .
+
+## Solution naïve:
+
+* On ajoute un bit de signe (le bit de poids fort):
+
+    ```
+    00000010: +2
+    10000010: -2
+    ```
+
+## Problèmes?
+
+. . .
+
+* Il y a deux zéros (pas trop grave): `10000000` et `00000000`
+* Les additions différentes que pour les non-signés (très grave)
+    
+    ```
+      00000010              2    
+    + 10000100           + -4
+    ----------           ----
+      10000110 = -6  !=    -2
+    ```
+
+# Entiers signés (2/2)
+
+## Beaucoup mieux
+
+* Complément à un:
+    * on inverse tous les bits: `1001 => 0110`.
+
+## Encore un peu mieux
+
+* Complément à deux:
+    * on inverse tous les bits,
+    * on ajoute 1 (on ignore les dépassements).
+
+. . .
+
+* Comment écrit-on `-4` en 8 bits?
+
+. . .
+
+```
+     4 =  00000100
+            ________
+    -4 =>   00000100
+            
+            11111011
+          + 00000001 
+          ----------
+            11111100
+```
+
+# Le complément à 2 (1/2)
+
+## Questions:
+
+* Comment on écrit `+0` et `-0`?
+* Comment calcule-t-on `2 + (-4)`?
+* Quel est le complément à 2 de `1000 0000`?
+
+. . .
+
+## Réponses
+
+* Comment on écrit `+0` et `-0`?
+
+    ```
+    +0 = 00000000
+    -0 = 11111111 + 00000001 = 100000000 => 00000000 
+    ```
+* Comment calcule-t-on `2 + (-4)`?
+
+    ```
+      00000010            2
+    + 11111100        +  -4
+    ----------        -----
+      11111110           -2
+    ```
+* En effet
+
+    ```
+    11111110 => 00000001 + 00000001 = 00000010 = 2.
+    ```
+
+# Le complément à 2 (1/2)
+
+## Quels sont les entiers représentables en 8 bits?
+
+. . .
+
+```
+01111111 =>  127
+10000000 => -128 // par définition
+```
+
+## Quels sont les entiers représentables sur $N$ bits?
+
+. . .
+
+$$
+-2^{N-1} ... 2^{N-1}-1.
+$$
+
+## Remarque: dépassement de capacité en `C`
+
+* Comportement indéfini!
+
+
+<!-- # TODO --
+
+<!-- ## Entiers, entiers non-signés -->
+
+<!-- ## Complément à 1, 2 -->
+
+<!-- ## Nombres à virgule flottante, simple/double précision -->
+
+# Types composés: `struct`{.C} (1/6)
+
+## Fractions
+
+* Numérateur: `int num`;
+* Dénominateur: `int denom`.
+
+## Addition
+
+```C
+int num1 = 1, denom1 = 2;
+int num2 = 1, denom2 = 3;
+int num3 = num1 * denom2 + num2 * denom1;
+int denom3 = denom1 * denom2;
+```
+
+## Pas super pratique....
+
+# Types composés: `struct`{.C} (2/6)
+
+## On peut faire mieux
+
+* Plusieurs variables qu'on aimerait regrouper dans un seul type: `struct`{.C}.
+
+```C
+struct fraction { // déclaration du type
+    int32_t num, denom;
+}
+
+struct fraction frac; // déclaration de frac
+```
+
+# Types composés: `struct`{.C} (3/6)
+
+## Simplifications
+
+- `typedef`{.C} permet de définir un nouveau type.
+
+    ```C
+    typedef unsinged int uint;
+    typedef struct fraction fraction_t;
+    typedef struct fraction {
+        int32_t num, denom;
+    } fraction_t;
+    ```
+- L'initialisation peut aussi se faire avec
+
+    ```C
+    fraction_t frac = {1, -2}; // num = 1, denom = -2
+    fraction_t frac = {.denom = 1, .num = -2};
+    fraction_t frac = {.denom = 1}; // argl! .num non initialisé 
+    fraction_t frac2 = frac; // copie
+    ```
+
+# Types composés: `struct`{.C} (4/6)
+
+## Pointeurs
+
+- Comme pour tout type, on peut avoir des pointeurs vers un `struct`{.C}.
+- Les champs sont accessible avec le sélecteur `->`{.C}
+
+    ```C
+    fraction_t *frac; // on crée un pointeur
+    frac->num = 1;    // seg fault...
+    frac->denom = -1; // mémoire pas allouée.
+    ```
+
+![La représentation mémoire de
+`fraction_t`.](figs/pointer_struct.svg){width=50%}
+
+# Types composés: `struct`{.C} (5/6)
+
+## Initialisation
+
+- Avec le passage par **référence** on peut modifier un struct *en place*.
+- Les champs sont accessible avec le sélecteur `->`{.C}
+
+    ```C
+    void fraction_init(fraction_t *frac, 
+                      int32_t re, int32_t im) 
+    {
+        // frac a déjà été allouée
+        frac->num   = frac;
+        frac->denom = denom;
+    }
+    int main() {
+        fraction_t frac; // on alloue une fraction
+        fraction_init(&frac, 2, -1); // on l'initialise
+    }
+    ```
+
+# Types composés: `struct`{.C} (6/6)
+
+## Initialisation version copie
+
+* On peut allouer une fraction, l'initialiser et le retourner.
+* La valeur retournée peut être copiée dans une nouvelle structure.
+
+    ```C
+    fraction_t fraction_create(int32_t re, int32_t im) {
+        fraction_t frac;
+        frac.num = re;
+        frac.denom = im;
+        return frac;
+    }
+    int main() {
+        // on crée une fraction et on l'initialise
+        // en copiant la fraction créé par fraction_create
+        // deux allocation et une copie
+        fraction_t frac = fraction_create(2, -1); 
+    }
+    ```
+
+<!-- # TODO jusqu'aux vacances -->
+
+<!-- * Refactorisation -->
+<!-- * Tris et complexité -->
+<!-- * Récursivité -->

slides_2022/cours_5.md

+---
+title: "Représentation des nombres et récursivité"
+date: "2022-11-02"
+---
+
+# Types énumérés (1/2)
+
+* Un **type énuméré**: ensemble de *variantes* (valeurs constantes).
+* En `C` les variantes sont des entiers numérotés à partir de 0.
+
+    ```C
+    enum days {
+        monday, tuesday, wednesday,
+        thursday, friday, saturday, sunday
+    };
+    ```
+* On peut aussi donner des valeurs "custom"
+
+    ```C
+    enum days {
+        monday = 2, tuesday = 8, wednesday = -2,
+        thursday = 1, friday = 3, saturday = 12, sunday = 9
+    };
+    ```
+* S'utilise comme un type standard et un entier
+
+    ```C
+    enum days d = monday;
+    (d + 2) == monday + monday; // true
+    ```
+
+# Types énumérés (2/2)
+
+* Très utile dans les `switch ... case`{.C}
+
+    ```C
+    enum days d = monday;
+    switch (d) {
+        case monday:
+            // trucs
+            break;
+        case tuesday:
+            printf("0 ou 1\n");
+            break;
+    }
+    ```
+* Le compilateur vous prévient qu'il en manque!
+
+# Utilisation des types énumérés
+
+## Réusiner votre couverture de la reine avec des `enum`
+
+A faire à la maison comme exercice!
+
+# Représentation des nombres (1/2)
+
+* Le nombre `247`.
+
+## Nombres décimaux: Les nombres en base 10 
+
++--------+--------+--------+
+| $10^2$ | $10^1$ | $10^0$ |
++--------+--------+--------+
+| `2`    | `4`    | `7`    |
++--------+--------+--------+
+
+$$
+247 = 2\cdot 10^2 + 4\cdot 10^1 + 7\cdot 10^0.
+$$
+
+# Représentation des nombres (2/2)
+
+* Le nombre `11110111`.
+
+## Nombres binaires: Les nombres en base 2
+
++-------+-------+-------+-------+-------+-------+-------+-------+
+| $2^7$ | $2^6$ | $2^5$ | $2^4$ | $2^3$ | $2^2$ | $2^1$ | $2^0$ |
++-------+-------+-------+-------+-------+-------+-------+-------+
+| `1`   | `1`   | `1`   | `1`   | `0`   | `1`   | `1`   | `1`   |
++-------+-------+-------+-------+-------+-------+-------+-------+
+ 
+$$
+1\cdot 2^7 + 1\cdot 2^6 +1\cdot 2^5 +1\cdot 2^4 +0\cdot 2^3 +1\cdot 2^2
++1\cdot 2^1 +1\cdot 2^0
+$$
+
+. . .
+
+$$
+= 247.
+$$
+
+# Conversion de décimal à binaire (1/2)
+
+## Convertir 11 en binaire?
+
+. . .
+
+* On décompose en puissances de 2 en partant de la plus grande possible
+
+    ```
+    11 / 8 = 1, 11 % 8 = 3
+    3  / 4 = 0,  3 % 4 = 3
+    3  / 2 = 1,  3 % 2 = 1
+    1  / 1 = 1,  1 % 1 = 0
+    ```
+* On a donc
+
+    $$
+    1011 \Rightarrow 1\cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1\cdot 2^1 + 1\cdot
+    2^0=11.
+    $$
+
+# Conversion de décimal à binaire (2/2)
+
+## Convertir un nombre arbitraire en binaire: 247?
+
+* Par groupe établir un algorithme.
+
+. . .
+
+## Algorithme
+
+1. Initialisation
+    
+    ```C
+    num = 247
+    tant que (2^N < num) {
+        N += 1
+    }
+    ```
+
+. . .
+
+2. Boucle
+
+    ```C
+    tant que (N >= 0) {
+        bit = num / 2^N
+        num = num % 2^N
+        N -= 1
+    }
+    ```
+
+# Les additions en binaire
+
+Que donne l'addition `1101` avec `0110`?
+
+* L'addition est la même que dans le système décimal
+
+    ```
+       1101         8+4+0+1 = 13
+    +  0110    +    0+4+2+0 =  6
+    -------    -----------------
+      10011      16+0+0+2+1 = 19
+    ```
+* Les entiers sur un ordinateur ont une précision **fixée** (ici 4 bits).
+* Que se passe-t-il donc ici?
+
+. . .
+
+## Dépassement de capacité: le nombre est "tronqué"
+
+* `10011 (19) -> 0011 (3)`.
+* On fait "le tour"."
+
+# Entier non-signés minimal/maximal
+
+* Quel est l'entier non-signé maximal représentable avec 4 bit?
+
+. . .
+
+$$
+(1111)_2 = 8+4+2+1 = 15
+$$
+
+* Quel est l'entier non-signé minimal représentable avec 4 bit?
+
+. . .
+
+$$
+(0000)_2 = 0+0+0+0 = 0
+$$
+
+* Quel est l'entier non-signé min/max représentable avec N bit?
+
+. . .
+
+$$
+0\mbox{ et  }2^N-1.
+$$
+
+* Donc `uint32_t?` maximal est?
+
+. . .
+
+$$
+2^{32}-1=4'294'967'295
+$$
+
+
+# Les multiplications en binaire (1/2)
+
+Que donne la multiplication de `1101` avec `0110`?
+
+* La mutliplication est la même que dans le système décimal
+
+    ```
+         1101                13
+    *    0110    *            6
+    ---------    --------------
+         0000                78
+        11010
+       110100
+    + 0000000
+    ---------    --------------
+      1001110    64+0+0+8+4+2+0
+    ```
+
+# Les multiplications en binaire (2/2)
+
+## Que fait la multiplication par 2?
+
+. . .
+
+* Décalage de un bit vers la gauche!
+
+    ```
+         0110
+    *    0010
+    ---------
+         0000
+    +   01100
+    ---------
+        01100
+    ```
+
+. . .
+
+## Que fait la multiplication par $2^N$?
+
+. . .
+
+* Décalade de $N$ bits vers la gauche!
+
+# Entiers signés (1/2)
+
+Pas de nombres négatifs encore...
+
+## Comment faire?
+
+. . .
+
+## Solution naïve:
+
+* On ajoute un bit de signe (le bit de poids fort):
+
+    ```
+    00000010: +2
+    10000010: -2
+    ```
+
+## Problèmes?
+
+. . .
+
+* Il y a deux zéros (pas trop grave): `10000000` et `00000000`
+* Les additions différentes que pour les non-signés (très grave)
+    
+    ```
+      00000010              2    
+    + 10000100           + -4
+    ----------           ----
+      10000110 = -6  !=    -2
+    ```
+
+# Entiers signés (2/2)
+
+## Beaucoup mieux
+
+* Complément à un:
+    * on inverse tous les bits: `1001 => 0110`.
+
+## Encore un peu mieux
+
+* Complément à deux:
+    * on inverse tous les bits,
+    * on ajoute 1 (on ignore les dépassements).
+
+. . .
+
+* Comment écrit-on `-4` en 8 bits?
+
+. . .
+
+```
+     4 =  00000100
+            ________
+    -4 =>   00000100
+            
+            11111011
+          + 00000001 
+          ----------
+            11111100
+```
+
+# Le complément à 2 (1/2)
+
+## Questions:
+
+* Comment on écrit `+0` et `-0`?
+* Comment calcule-t-on `2 + (-4)`?
+* Quel est le complément à 2 de `1000 0000`?
+
+. . .
+
+## Réponses
+
+* Comment on écrit `+0` et `-0`?
+
+    ```
+    +0 = 00000000
+    -0 = 11111111 + 00000001 = 100000000 => 00000000 
+    ```
+* Comment calcule-t-on `2 + (-4)`?
+
+    ```
+      00000010            2
+    + 11111100        +  -4
+    ----------        -----
+      11111110           -2
+    ```
+* En effet
+
+    ```
+    11111110 => 00000001 + 00000001 = 00000010 = 2.
+    ```
+
+# Le complément à 2 (2/2)
+
+## Quels sont les entiers représentables en 8 bits?
+
+. . .
+
+```
+01111111 =>  127
+10000000 => -128 // par définition
+```
+
+## Quels sont les entiers représentables sur $N$ bits?
+
+. . .
+
+$$
+-2^{N-1} ... 2^{N-1}-1.
+$$
+
+## Remarque: dépassement de capacité en `C`
+
+* Comportement indéfini!
+
+
+# Nombres à virgule (1/3)
+
+## Comment manipuler des nombres à virgule?
+
+$$
+0.1 + 0.2 = 0.3.
+$$
+
+Facile non?
+
+. . .
+
+## Et ça?
+
+```C
+#include <stdio.h>
+#include <stdlib.h>
+int main(int argc, char *argv[]) {
+    float a = atof(argv[1]);
+    float b = atof(argv[2]);
+    printf("%.10f\n", (double)(a + b));
+}
+```
+
+. . .
+
+## Que se passe-t-il donc?
+
+# Nombres à virgule (2/3)
+
+## Nombres à virgule fixe
+
++-------+-------+-------+-------+-----+----------+----------+----------+----------+
+| $2^3$ | $2^2$ | $2^1$ | $2^0$ | `.` | $2^{-1}$ | $2^{-2}$ | $2^{-3}$ | $2^{-4}$ |
++-------+-------+-------+-------+-----+----------+----------+----------+----------+
+| `1`   | `0`   | `1`   |  `0`  | `.` | `0`      | `1`      | `0`      | `1`      |
++-------+-------+-------+-------+-----+----------+----------+----------+----------+
+
+## Qu'est-ce ça donne en décimal?
+
+. . .
+
+$$
+2^3+2^1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^4} = 8+2+0.5+0.0625=10.5625.
+$$
+
+## Limites de cette représentation? 
+
+. . .
+
+
+* Tous les nombres `> 16`.
+* Tous les nombres `< 0.0625`.
+* Tous les nombres dont la décimale est pas un multiple de `0.0625`.
+
+# Nombres à virgule (3/3)
+
+## Nombres à virgule fixe
+
+* Nombres de $0=0000.0000$ à $15.9375=1111.1111$.
+* Beaucoup de "trous" (au moins $0.0625$) entre deux nombres.
+
+## Solution partielle?
+
+. . .
+
+* Rajouter des bits.
+* Bouger la virgule.
+
+# Nombres à virgule flottante (1/2)
+
+## Notation scientifique
+
+* Les nombres sont représentés en terme:
+    * Une mantisse
+    * Une base
+    * Un exposant
+
+$$
+\underbrace{22.1214}_{\mbox{nombre}}=\underbrace{221214}_{\mbox{mantisse}}\cdot
+{\underbrace{10}_{\mbox{base}}}{\overbrace{^{-4}}^{\mbox{exp.}}},
+$$
+
+. . .
+
+On peut donc séparer la représentation en 2:
+
+* La mantisse
+* L'exposant
+
+# Nombres à virgule flottante (2/2)
+
+## Quel est l'avantage?
+
+. . .
+
+On peut représenter des nombres sur énormément d'ordres de grandeur avec un
+nombre de bits fixés.
+
+## Différence fondamentale avec la virgule fixe?
+
+. . .
+
+La précision des nombres est **variable**:
+
+* On a uniquement un nombre de chiffres **significatifs**.
+$$
+123456\cdot 10^{23}+ 123456\cdot 10^{-23}.
+$$
+
+## Quel inconvénient y a-t-il?
+
+. . .
+
+Ce mélange d'échelles entraîne un **perte de précision**.
+
+# Nombres à virgule flottante simple précision (1/4)
+
+Aussi appelés *IEEE 754 single-precision binary floating point*.
+
+![Nombres à virgule flottante 32 bits. Source:
+[Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Single-precision_floating-point_format#/media/File:Float_example.svg)](figs/Float_example_bare.svg)
+
+## Spécification
+
+* 1 bit de signe,
+* 8 bits d'exposant,
+* 23 bits de mantisse.
+
+$$
+(-1)^{b_{31}}\cdot 2^{(b_{30}b_{29}\dots b_{23})_{2}-127}\cdot (1.b_{22}b_{21}\dots b_{0})_{2},
+$$
+
+## Calculer la valeur décimale du nombre ci-dessus
+
+# Nombres à virgule flottante simple précision (2/4)
+
+![Un exercice de nombres à virgule flottante 32 bits. Source:
+[Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Single-precision_floating-point_format#/media/File:Float_example.svg)](figs/Float_example.svg)
+
+. . .
+
+\begin{align}
+\mbox{exposant}&=\sum_{i=0}^7 b_{23+i}2^i=2^2+2^3+2^4+2^5+2^6=124-127,\\
+\mbox{mantisse}&=1+\sum_{i=1}^{23}b_{23-i}2^{-i}=1+2^{-2}=1.25,\\
+&\Rightarrow (-1)^0\cdot 2^{-3}\cdot 1.25=0.15625
+\end{align}
+
+# Nombres à virgule flottante simple précision (3/4)
+
+## Quel nombre ne peux pas être vraiment représenté?
+
+. . .
+
+## Zéro: exception pour l'exposant
+
+* Si l'exposant est `00000000` (zéro)
+$$
+(-1)^{\mbox{sign}}\cdot 2^{-126}\cdot 0.\mbox{mantisse},
+$$
+* Sinon si l'exposant est `00000001` à `11111110`
+$$
+\mbox{valeur normale},
+$$
+* Sinon `11111111` donne `NaN`.
+
+# Nombres à virgule flottante simple précision (4/4)
+
+## Quels sont les plus petits/grands nombres positifs représentables?
+
+. . .
+
+\begin{align}
+0\ 0\dots0\ 0\dots01&=2^{-126}\cdot 2^{-23}=1.4...\cdot
+10^{-45},\\
+0\ 1\dots10\ 1\dots1&=2^{127}\cdot (2-2^{-23})=3.4...\cdot
+10^{38}.
+\end{align}
+
+## Combien de chiffres significatifs en décimal?
+
+. . .
+
+* 24 bits ($23 + 1$) sont utiles pour la mantisse, soit $2^{24}-1$:
+    * La mantisse fait $\sim2^{24}\sim 10^7$,
+    * Ou encore $\sim \log_{10}(2^{24})\sim 7$.
+* Environ **sept** chiffres significatifs.
+
+# Nombres à virgule flottante double précision (64bits)
+
+## Spécification
+
+* 1 bit de signe,
+* 11 bits d'exposant,
+* 52 bits de mantisse.
+
+. . .
+
+## Combien de chiffres significatifs?
+
+* La mantisse fait $\sim 2^{53}\sim10^{16}$,
+* Ou encore $\sim \log_{10}(2^{53})\sim 16$,
+* Environ **seize** chiffres significatifs.
+
+## Plus petit/plus grand nombre représentable?
+
+. . .
+
+* Plus petite mantisse et exposant: $\sim 2^{-52}\cdot 2^{-1022}\sim 4\cdot 10^{-324}$,
+* Plus grande mantisse et exposant: $\sim 2\cdot 2^{1023}\sim \cdot 1.8\cdot 10^{308}$.
+
+# Précision finie (1/3)
+
+## Erreur de représentation
+
+* Les nombres réels ont potentiellement un **nombre infini** de décimales
+    * $1/3=0.\overline{3}$,
+    * $\pi=3.1415926535...$.
+* Les nombres à virgule flottante peuvent en représenter qu'un **nombre
+  fini**.
+  * $1/3\cong 0.33333$, erreur $0.00000\overline{3}$.
+  * $\pi\cong3.14159$, erreur $0.0000026535...$.
+
+On rencontre donc des **erreurs de représentation** ou **erreurs
+d'arrondi**.
+
+. . .
+    
+## Et quand on calcule?
+
+* Avec deux chiffres significatifs
+\begin{align}
+&8.9+(0.02+0.04)=8.96=9.0,\\
+&(8.9+0.02)+0.04=8.9+0.04=8.9.
+\end{align}
+
+. . .
+
+## Même pas associatif!
+
+# Précision finie (2/3)
+
+## Erreur de représentation virgule flottante
+
+$$
+(1.2)_{10} = 1.\overline{0011}\cdot 2^0\Rightarrow 0\ 01111111\
+00110011001100110011010.
+$$
+Erreur d'arrondi dans les deux derniers bits et tout ceux qui viennent
+ensuite
+$$
+\varepsilon_2 = (00000000000000000000011)_2.
+$$
+Ou en décimal
+$$
+\varepsilon_{10} = 4.76837158203125\cdot 10^{-8}.
+$$
+
+# Précision finie (3/3)
+
+## Comment définir l'égalité de 2 nombres à virgule flottante?
+
+. . .
+
+Ou en d'autres termes, pour quel $\varepsilon>0$ (appelé `epsilon-machine`) on a
+$$
+1+\varepsilon = 1,
+$$
+pour un nombre à virgule flottante?
+
+. . .
+
+Pour un `float` (32 bits) la différence est à 
+$$
+2^{-23}=1.19\cdot 10^{-7},
+$$
+Soit la précision de la mantisse.
+
+## Comment le mesurer (par groupe)?
+
+. . .
+
+```C
+float eps = 1.0;
+while ((float)1.0 + (float)0.5 * eps != (float)1.0) {
+    eps = (float)0.5 * eps;
+}
+printf("eps = %g\n", eps);
+```
+
+# Erreurs d'arrondi
+
+Et jusqu'ici on a encore pas fait d'arithmétique!
+
+## Multiplication avec deux chiffres significatifs, décimal
+
+$$
+(1.1)_{10}\cdot (1.1)_{10}=(1.21)_{10}=(1.2)_{10}.
+$$
+En continuant ce petit jeu:
+$$
+\underbrace{1.1\cdot 1.1\cdots 1.1}_{\mbox{10 fois}}=2.0.
+$$
+Alors qu'en réalité
+$$
+1.1^{10}=2.5937...
+$$
+Soit une erreur de près de 1/5e!
+
+. . .
+
+## Le même phénomène se produit (à plus petite échelle) avec les `float` ou `double`.
+
+# And now for something completely different
+
+\Huge La récursivité
+
+# Exemple de récursivité (1/2)
+
+## La factorielle
+
+```C
+int factorial(int n) {
+    if (n > 1) {
+        return n * factorial(n - 1);
+    } else {
+        return 1;
+    }
+}
+```
+
+. . .
+
+## Que se passe-t-il quand on fait `factorial(4)`?
+
+. . .
+
+## On empile les appels
+
++----------------+----------------+----------------+----------------+
+|                |                |                | `factorial(1)` |
++----------------+----------------+----------------+----------------+
+|                |                | `factorial(2)` | `factorial(2)` |
++----------------+----------------+----------------+----------------+
+|                | `factorial(3)` | `factorial(3)` | `factorial(3)` |
++----------------+----------------+----------------+----------------+
+| `factorial(4)` | `factorial(4)` | `factorial(4)` | `factorial(4)` |
++----------------+----------------+----------------+----------------+
+
+# Exemple de récursivité (2/2)
+
+## La factorielle
+
+```C
+int factorial(int n) {
+    if (n > 1) {
+        return n * factorial(n - 1);
+    } else {
+        return 1;
+    }
+}
+```
+
+. . .
+
+## Que se passe-t-il quand on fait `factorial(4)`?
+
+. . .
+
+## On dépile les calculs
+
++----------------+----------------+----------------+----------------+
+|  `1`           |                |                |                |
++----------------+----------------+----------------+----------------+
+| `factorial(2)` |  `2 * 1 = 2`   |                |                |
++----------------+----------------+----------------+----------------+
+| `factorial(3)` | `factorial(3)` |  `3 * 2 = 6`   |                |
++----------------+----------------+----------------+----------------+
+| `factorial(4)` | `factorial(4)` | `factorial(4)` |  `4 * 6 = 24`  |
++----------------+----------------+----------------+----------------+
+
+# La récursivité (1/4)
+
+## Formellement 
+
+* Une condition de récursivité - qui *réduit* les cas successifs vers...
+* Une condition d'arrêt - qui retourne un résultat
+
+## Pour la factorielle, qui est qui?
+
+```C
+int factorial(int n) {
+    if (n > 1) {
+        return n * factorial(n - 1);
+    } else {
+        return 1;
+    }
+}
+```
+
+# La récursivité (2/4)
+
+## Formellement 
+
+* Une condition de récursivité - qui *réduit* les cas successifs vers...
+* Une condition d'arrêt - qui retourne un résultat
+
+## Pour la factorielle, qui est qui?
+
+```C
+int factorial(int n) {
+    if (n > 1) { // Condition de récursivité
+        return n * factorial(n - 1);
+    } else {     // Condition d'arrêt
+        return 1;
+    }
+}
+```
+
+# La récursivité (3/4)
+
+## Exercice: trouver l'$\varepsilon$-machine pour un `double`
+
+. . .
+
+Rappelez-vous vous l'avez fait en style **impératif** plus tôt.
+
+. . .
+
+```C
+double epsilon_machine(double eps) {
+    if (1.0 + eps != 1.0) {
+        return epsilon_machine(eps / 2.0);
+    } else {
+        return eps;
+    }
+}
+```
+
+# La récursivité (4/4)
+
+\footnotesize
+
+## Exercice: que fait ce code récursif?
+
+```C
+void recurse(int n) {
+    printf("%d ", n % 2);
+    if (n / 2 != 0) {
+        recurse(n / 2);
+    } else {
+        printf("\n");
+    }
+}
+recurse(13); 
+```
+
+. . .
+
+```C
+recurse(13): n = 13, n % 2 = 1, n / 2 = 6,
+    recurse(6): n = 6, n % 2 = 0, n / 2 = 3,
+        recurse(3): n = 3, n % 2 = 1, n / 2 = 1,
+            recurse(1): n = 1, n % 2 = 1, n / 2 = 0.
+
+// affiche: 1 1 0 1
+```
+
+. . .
+
+Affiche la représentation binaire d'un nombre!

slides_2022/cours_6.md

+---
+title: "Récursivité et complexité"
+date: "2022-11-09"
+---
+
+# La récursivité (1/2)
+
+* Code récursif
+
+    ```C
+    int factorial(int n) {
+        if (n > 1) { // Condition de récursivité
+            return n * factorial(n - 1);
+        } else {     // Condition d'arrêt
+            return 1;
+        }
+    }
+```
+
+. . .
+
+* Code impératif
+
+    ```C
+    int factorial(int n) {
+        int f = 1;
+        for (int i = 1; i < n; ++i) {
+            f *= i;
+        }
+        return f;
+    }
+    ```
+
+# Exercice: réusinage et récursivité (1/4)
+
+## Réusiner le code du PGCD avec une fonction récursive
+
+## Étudier l'exécution
+
+```C
+42 = 27 * 1 + 15
+27 = 15 * 1 + 12
+15 = 12 * 1 + 3
+12 = 3  * 4 + 0
+```
+
+# Exercice: réusinage et récursivité (2/4)
+
+## Réusiner le code du PGCD avec une fonction récursive
+
+## Étudier l'exécution
+
+```C
+42 = 27 * 1 + 15   |   PGCD(42, 27) 
+27 = 15 * 1 + 12   |   PGCD(27, 15) 
+15 = 12 * 1 +  3   |   PGCD(15, 12) 
+12 =  3 * 4 +  0   |   PGCD(12,  3) 
+```
+
+# Exercice: réusinage et récursivité (3/4)
+
+## Réusiner le code du PGCD avec une fonction récursive
+
+## Étudier l'exécution
+
+```C
+42 = 27 * 1 + 15   |   PGCD(42, 27) 
+27 = 15 * 1 + 12   |   PGCD(27, 15) 
+15 = 12 * 1 +  3   |   PGCD(15, 12) 
+12 =  3 * 4 +  0   |   PGCD(12,  3) 
+```
+
+## Effectuer l'empilage - dépilage
+
+. . .
+
+```C
+PGCD(12,  3)    |     3
+PGCD(15, 12)    |     3
+PGCD(27, 15)    |     3
+PGCD(42, 27)    |     3
+```
+
+# Exercice: réusinage et récursivité (4/4)
+
+## Écrire le code
+
+. . .
+
+```C
+int pgcd(int n, int m) {
+    if (n % m > 0) {
+        return pgcd(m, n % m);
+    } else {
+        return m;
+    }
+}
+```
+
+# La suite de Fibonacci (1/2)
+
+## Règle
+
+$$
+\mathrm{Fib}(n) = \mathrm{Fib}(n-1) + \mathrm{Fib}(n-2),\quad
+\mathrm{Fib}(0)=0,\quad \mathrm{Fib}(1)=1.
+$$
+
+## Exercice: écrire la fonction $\mathrm{Fib}$ en récursif et impératif
+
+. . .
+
+## En récursif (6 lignes)
+
+```C
+int fib(int n) {
+    if (n > 1) {
+        return fib(n - 1) + fib(n - 2);
+    } 
+    return n;
+}
+```
+
+# La suite de Fibonacci (2/2)
+
+## Et en impératif (11 lignes)
+
+```C
+int fib_imp(int n) {
+    int fib0 = 1;
+    int fib1 = 1;
+    int fib  = n == 0 ? 0 : fib1;
+    for (int i = 2; i < n; ++i) {
+        fib  = fib0 + fib1;
+        fib0 = fib1;
+        fib1 = fib;
+    }
+    return fib;
+}
+```
+
+# Exponentiation rapide ou indienne (1/4)
+
+## But: Calculer $x^n$
+
+* Quel est l'algorithmie le plus simple que vous pouvez imaginer?
+
+. . .
+
+```C
+int pow(int x, int n) {
+    if (0 == n) {
+        return 1;
+    }
+    for (int i = 1; i < n; ++i) {
+        x = x * x; // x *= x
+    }
+    return x;
+}
+```
+
+* Combien de multiplication et d'assignations en fonction de `n`?
+
+. . .
+
+* `n` assignations et `n` multiplications.
+
+# Exponentiation rapide ou indienne (2/4)
+
+* Proposez un algorithme naïf et récursif
+
+. . .
+
+```C
+int pow(x, n) {
+    if (n != 0) {
+        return x * pow(x, n-1);
+    } else {
+        return 1;
+    }
+}
+```
+
+# Exponentiation rapide ou indienne (3/4)
+
+## Exponentiation rapide ou indienne de $x^n$
+
+* Écrivons $n=\sum_{i=0}^{d-1}b_i 2^i,\ b_i=\{0,1\}$ (écriture binaire sur $d$ bits, avec
+$d\sim\log_2(n)$).
+* 
+$$
+x^n={x^{2^0}}^{b_0}\cdot {x^{2^1}}^{b_1}\cdots {x^{2^{d-1}}}^{b_{d-1}}.
+$$
+* On a besoin de $d$ calculs pour les $x^{2^i}$.
+* On a besoin de $d$ calculs pour évaluer les produits de tous les termes.
+
+## Combien de calculs en terme de $n$?
+
+. . .
+
+* $n$ est représenté en binaire avec $d$ bits $\Rightarrow d\sim\log_2(n)$.
+* il y a $2\log_2(n)\sim \log_2(n)$ calculs.
+
+# Exponentiation rapide ou indienne (4/4)
+
+## Le vrai algorithme
+
+* Si n est pair: calculer $\left(x^{n/2}\right)^2$,
+* Si n est impair: calculer $x \cdot \left(x^{(n-1)/2}\right)^2$.
+
+## Exercice: écrire l'algorithme récursif correspondant
+
+. . .
+
+```C
+double pow(double x, int n) {
+    if (1 == n) {
+        return x;
+    } else if (n % 2 == 0) {
+        return pow(x, n / 2) * pow(x, n/2);
+    } else {
+        return x * pow(x, (n-1));
+    }
+}
+```
+
+
+# Efficacité d'un algorithmique
+
+Comment mesurer l'efficacité d'un algorithme?
+
+. . .
+
+* Mesurer le temps CPU,
+* Mesurer le temps d'accès à la mémoire,
+* Mesurer la place prise mémoire,
+
+. . .
+
+Dépendant du **matériel**, du **compilateur**, des **options de compilation**, etc!
+
+## Mesure du temps CPU
+
+```C
+#include <time.h>
+struct timespec tstart={0,0}, tend={0,0};
+clock_gettime(CLOCK_MONOTONIC, &tstart);
+// some computation
+clock_gettime(CLOCK_MONOTONIC, &tend);
+printf("computation about %.5f seconds\n",
+       ((double)tend.tv_sec + 1e-9*tend.tv_nsec) - 
+       ((double)tstart.tv_sec + 1e-9*tstart.tv_nsec));
+```
+
+# Programme simple: mesure du temps CPU
+
+## Preuve sur un [petit exemple](../source_codes/complexity/sum.c)
+
+```bash
+source_codes/complexity$ make bench
+RUN ONCE -O0
+the computation took about 0.00836 seconds
+RUN ONCE -O3
+the computation took about 0.00203 seconds
+RUN THOUSAND TIMES -O0
+the computation took about 0.00363 seconds
+RUN THOUSAND TIMES -O3
+the computation took about 0.00046 seconds
+```
+
+Et sur votre machine les résultats seront **différents**.
+
+. . .
+
+## Conclusion
+
+* Nécessité d'avoir une mesure indépendante du/de la
+  matériel/compilateur/façon de mesurer/météo.
+
+# Analyse de complexité algorithmique (1/4)
+
+* On analyse le **temps** pris par un algorithme en fonction de la **taille de
+  l'entrée**.
+
+## Exemple: recherche d'un élément dans une liste triée de taille N
+
+```C
+int sorted_list[N];
+bool in_list = is_present(N, sorted_list, elem);
+```
+
+* Plus `N` est grand, plus l'algorithme prend de temps sauf si...
+
+. . .
+
+* l'élément est le premier de la liste (ou à une position toujours la même).
+* ce genre de cas pathologique ne rentre pas en ligne de compte.
+
+# Analyse de complexité algorithmique (2/4)
+
+## Recherche linéaire
+
+```C
+bool is_present(int n, int tab[], int elem) {
+    for (int i = 0; i < n; ++i) {
+        if (tab[i] == elem) {
+            return true;
+        } else if (elem < tab[i]) {
+            return false;
+        }
+    }
+    return false;
+}
+```
+
+* Dans le **meilleurs des cas** il faut `1` comparaison.
+* Dans le **pire des cas** (élément absent p.ex.) il faut `n` comparaisons.
+
+. . .
+
+La **complexité algorithmique** est proportionnelle à `N`: on double la taille
+du tableau $\Rightarrow$ on double le temps pris par l'algorithme.
+
+# Analyse de complexité algorithmique (3/4)
+
+## Recherche dichotomique
+
+```C
+bool is_present_binary_search(int n, int tab[], int elem) {
+    int left  = 0;
+    int right = n - 1;
+    while (left <= right) {
+        int mid = (right + left) / 2;
+        if (tab[mid] < elem) {
+            left = mid + 1;
+        } else if (tab[mid] > elem) {
+            right = mid - 1;
+        } else {
+            return true;
+        }
+    }
+    return false;
+}
+```
+
+# Analyse de complexité algorithmique (4/4)
+
+## Recherche dichotomique
+
+![Source: [Wikipédia](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/aa/Binary_search_complexity.svg)](figs/Binary_search_complexity.svg){width=80%}
+
+. . .
+
+* Dans le **meilleurs de cas** il faut `1` comparaison.
+* Dans le **pire des cas** il faut $\log_2(N)+1$ comparaisons
+
+. . .
+
+## Linéaire vs dichotomique
+
+* $N$ vs $\log_2(N)$ comparaisons logiques.
+* Pour $N=1000000$: `1000000` vs `21` comparaisons.
+
+# Notation pour la complexité
+
+## Constante de proportionnalité
+
+* Pour la recherche linéaire ou dichotomique, on a des algorithmes qui sont $\sim N$ ou $\sim \log_2(N)$
+* Qu'est-ce que cela veut dire?
+
+. . .
+
+* Temps de calcul est $t=C\cdot N$ (où $C$ est le temps pris pour une comparaisons sur une machine/compilateur donné)
+* La complexité ne dépend pas de $C$.
+
+## Le $\mathcal{O}$ de Leibnitz
+
+* Pour noter la complexité d'un algorithme on utilise le symbole $\mathcal{O}$ (ou "grand Ô de").
+* Les complexités les plus couramment rencontrées sont
+
+. . .
+
+$$
+\mathcal{O}(1),\quad \mathcal{O}(\log(N)),\quad \mathcal{O}(N),\quad
+\mathcal{O}(\log(N)\cdot N), \quad \mathcal{O}(N^2), \quad
+\mathcal{O}(N^3).
+$$
+
+# Ordres de grandeur
+
+\begin{table}[!h]  
+\begin{center} 
+\caption{Valeurs approximatives de quelques fonctions usuelles de complexité.} 
+\medskip 
+\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|} 
+\hline 
+$\log_2(N)$ & $\sqrt{N}$      & $N$    & $N\log_2(N)$    & $N^2$     \\ 
+\hline\hline 
+$3$         & $3$             & $10$   & $30$            & $10^2$    \\ 
+\hline 
+$6$         & $10$            & $10^2$ & $6\cdot 10^2$   & $10^4$    \\ 
+\hline 
+$9$         & $31$            & $10^3$ & $9\cdot 10^3$   & $10^6$    \\ 
+\hline 
+$13$        & $10^2$          & $10^4$ & $1.3\cdot 10^5$ & $10^8$    \\ 
+\hline 
+$16$        & $3.1\cdot 10^2$ & $10^5$ & $1.6\cdot 10^6$ & $10^{10}$ \\ 
+\hline 
+$19$        & $10^3$          & $10^6$ & $1.9\cdot 10^7$ & $10^{12}$ \\ 
+\hline 
+\end{tabular} 
+\end{center} 
+\end{table} 
+
+
+# Quelques exercices (1/3)
+
+## Complexité de l'algorithme de test de primalité naïf?
+
+```C
+for (i = 2; i < sqrt(N); ++i) {
+    if (N % i == 0) {
+        return false;
+    }
+}
+return true;
+```
+
+. . .
+
+## Réponse 
+
+$$
+\mathcal{O}(\sqrt{N}).
+$$
+
+# Quelques exercices (2/3)
+
+## Complexité de trouver le minimum d'un tableau?
+
+```C
+int min = MAX;
+for (i = 0; i < N; ++i) {
+    if (tab[i] < min) {
+        min = tab[i];
+    }
+}
+return min;
+```
+
+. . .
+
+## Réponse 
+
+$$
+\mathcal{O}(N).
+$$
+
+# Quelques exercices (3/3)
+
+## Complexité du tri par sélection?
+
+```C
+int ind = 0
+while (ind < SIZE-1) {
+    min = find_min(tab[ind:SIZE]);
+    swap(min, tab[ind]);
+    ind += 1
+}
+```
+
+. . .
+
+## Réponse
+
+### `min = find_min`
+
+$$
+(N-1)+(N-2)+...+2+1=\sum_{i=1}^{N-1}i=N\cdot(N-1)/2=\mathcal{O}(N^2).
+$$
+
+## Finalement
+
+$$
+\mathcal{O}(N^2\mbox{ comparaisons}) + \mathcal{O}(N\mbox{swaps})=\mathcal{O}(N^2).
+$$
+
+

slides_2022/cours_7.md

+---
+title: "Tris"
+date: "2022-11-16"
+---
+
+# Rappel: Complexité
+
+\footnotesize
+
+Soit `tab` un tableau de longueur `N` de `double`.
+
+1. Comment déclare-t-on un tel tableau?
+
+. . .
+
+```C
+double tab[N];
+```
+
+2. Quelle est la complexité du calcul de la moyenne de `tab`?
+
+. . .
+
+```C
+double mean = 0.0;
+for (int i = 0; i < N; ++i) { // N assignations
+    mean += tab[i];        // N additions
+}
+mean /= N; // O(N)
+```
+
+. . .
+
+3. Quelle est la complexité du calcul de l'écart type de `tab` ($\sigma=\sqrt{\sum_i (t_i - m)^2}/N$?
+
+. . .
+
+```C
+double mean = moyenne(N, tab); // O(N)
+double dev = 0.0;
+for (int i = 0; i < N; ++i) {
+    dev += pow(tab[i] - moyenne, 2); // N tours
+}
+dev = sqrt(dev); dev /= N; // O(2*N) = O(N)
+```
+
+# Tri par insertion (1/3)
+
+## But
+
+* trier un tableau par ordre croissant
+
+## Algorithme
+
+Prendre un élément du tableau et le mettre à sa place parmis les éléments déjà
+triés du tableau.
+
+![Tri par insertion d'un tableau d'entiers](figs/tri_insertion.svg)
+
+# Tri par insertion (2/3)
+
+## Exercice: Proposer un algorithme (en C)
+
+. . .
+
+```C
+void tri_insertion(int N, int tab[N]) {
+    for (int i = 1; i < N; i++) {
+        int tmp = tab[i];
+        int pos = i;
+        while (pos > 0 && tab[pos - 1] > tmp) {
+            tab[pos] = tab[pos - 1];
+            pos      = pos - 1;
+        }
+        tab[pos] = tmp;
+    }
+}
+```
+
+# Tri par insertion (3/3)
+
+## Question: Quelle est la complexité?
+
+. . .
+
+* Parcours de tous les éléments ($N-1$ passages dans la boucle)
+    * Placer: en moyenne $i$ comparaisons et affectations à l'étape $i$
+* Moyenne: $\mathcal{O}(N^2)$
+
+. . .
+
+* Pire des cas, liste triée à l'envers: $\mathcal{O}(N^2)$
+* Meilleurs des cas, liste déjà triée: $\mathcal{O}(N)$
+
+# L'algorithme à la main
+
+## Exercice *sur papier*
+
+* Trier par insertion le tableau `[5, -2, 1, 3, 10]`
+
+```C
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+```
+
+# Tri rapide ou quicksort (1/8)
+
+## Idée: algorithme `diviser pour régner` (`divide-and-conquer`)
+
+* Diviser: découper un problème en sous problèmes;
+* Régner: résoudre les sous-problèmes (souvent récursivement);
+* Combiner: à partir des sous problèmes résolu, calculer la solution.
+
+## Le pivot
+
+* Trouver le **pivot**, un élément qui divise le tableau en 2, tels que:
+    1. Éléments à gauche sont **plus petits** que le pivot.
+    2. Élements à droite sont **plus grands** que le pivot.
+
+# Tri rapide ou quicksort (2/8)
+
+## Algorithme `quicksort(tableau)`
+
+1. Choisir le pivot et l'amener à sa place:
+    * Les éléments à gauche sont plus petits que le pivot.
+    * Les éléments à droite sont plus grand que le pivot.
+2. `quicksort(tableau_gauche)` en omettant le pivot.
+3. `quicksort(tableau_droite)` en omettant le pivot.
+4. S'il y a moins de deux éléments dans le tableau, le tableau est trié.
+
+. . .
+
+Compris?
+
+. . .
+
+Non c'est normal, faisons un exemple.
+
+# Tri rapide ou quicksort (3/8)
+
+\footnotesize
+
+Deux variables sont primordiales:
+
+```C
+entier ind_min, ind_max; // les indices min/max des tableaux à trier
+```
+
+![Un exemple de quicksort.](figs/quicksort.svg)
+
+# Tri rapide ou quicksort (4/8)
+
+\footnotesize
+
+Deux variables sont primordiales:
+
+```C
+entier ind_min, ind_max; // les indices min/max des tableaux à trier
+```
+
+## Pseudocode: quicksort
+
+```python
+rien quicksort(entier tableau[], entier ind_min, entier ind_max)
+    si (longueur(tab) > 1)
+        ind_pivot = partition(tableau, ind_min, ind_max)
+        si (longueur(tableau[ind_min:ind_pivot-1]) != 0)
+            quicksort(tableau, ind_min, pivot_ind - 1)
+        si (longueur(tableau[ind_pivot+1:ind_max-1]) != 0)
+            quicksort(tableau, ind_pivot + 1, ind_max)
+```
+
+# Tri rapide ou quicksort (5/8)
+
+\footnotesize
+
+## Pseudocode: partition
+
+```C
+entier partition(entier tableau[], entier ind_min, entier ind_max)
+    pivot = tableau[ind_max] // choix arbitraire
+    i = ind_min
+    j = ind_max-1
+    tant que i < j:
+        en remontant i trouver le premier élément > pivot
+        en descendant j trouver le premier élément < pivot
+        échanger(tableau[i], tableau[j])
+        // les plus grands à droite
+        // mettre les plus petits à gauche
+    
+    // on met le pivot "au milieu"
+    échanger(tableau[i], tableau[ind_max])    
+    retourne i // on retourne l'indice pivot
+```
+
+# Tri rapide ou quicksort (6/8)
+
+## Exercice: implémenter les fonctions `quicksort` et `partition`
+
+. . .
+
+```C
+void quicksort(int size, int array[size], int first, 
+               int last) 
+{
+    if (first < last) {
+        int midpoint = partition(size, array, first, last);
+        if (first < midpoint - 1) {
+            quicksort(size, array, first, midpoint - 1);
+        }
+        if (midpoint + 1 < last) {
+            quicksort(size, array, midpoint + 1, last);
+        }
+    }
+}
+```
+
+
+# Tri rapide ou quicksort (7/8)
+
+\footnotesize
+
+## Exercice: implémenter les fonctions `quicksort` et `partition`
+
+```C 
+int partition(int size, int array[size], int first, int last) {
+    int pivot = array[last];
+    int i = first - 1, j = last;
+    do {
+        do {
+            i += 1;
+        } while (array[i] < pivot && i < j);
+        do {
+            j -= 1;
+        } while (array[j] > pivot && i < j);
+        if (j > i) {
+            swap(&array[i], &array[j]);
+        }
+    } while (j > i);
+    swap(&array[i], &array[last]);
+    return i;
+}
+```
+
+# Tri rapide ou quicksort (8/8)
+
+## Quelle est la complexité du tri rapide?
+
+. . .
+
+* Pire des cas plus: $\mathcal{O}(N^2)$
+    * Quand le pivot sépare toujours le tableau de façon déséquilibrée ($N-1$
+      éléments d'un côté $1$ de l'autre).
+    * $N$ boucles et $N$ comparaisons $\Rightarrow N^2$.
+* Meilleur des cas (toujours le meilleur pivot): $\mathcal{O}(N\cdot \log_2(N))$.
+    * Chaque fois le tableau est séparé en $2$ parties égales.
+    * On a $\log_2(N)$ partitions, et $N$ boucles $\Rightarrow N\cdot
+      \log_2(N)$.
+* En moyenne: $\mathcal{O}(N\cdot \log_2(N))$.
+
+# L'algorithme à la main
+
+## Exercice *sur papier*
+
+* Trier par tri rapide le tableau `[5, -2, 1, 3, 10, 15, 7, 4]`
+
+```C
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+```
+
+
+

slides_2022/cours_8.md

+---
+title: "Backtracking et piles"
+date: "2022-11-23"
+---
+
+# Tri à bulle (1/4)
+
+## Algorithme
+
+* Parcours du tableau et comparaison des éléments consécutifs:
+    - Si deux éléments consécutifs ne sont pas dans l'ordre, ils sont échangés.
+* On recommence depuis le début du tableau jusqu'à avoir plus d'échanges à
+  faire.
+
+## Que peut-on dire sur le dernier élément du tableau après un parcours?
+
+. . .
+
+* Le plus grand élément est **à la fin** du tableau.
+    * Plus besoin de le traiter.
+* A chaque parcours on s'arrête un élément plus tôt.
+
+# Tri à bulle (2/4)
+
+## Exemple
+
+![Tri à bulles d'un tableau d'entiers](figs/tri_bulles.svg)
+
+
+# Tri à bulle (3/4)
+
+## Exercice: écrire l'algorithme (poster le résultat sur matrix)
+
+. . .
+
+```C
+rien tri_a_bulles(entier tableau[])
+    pour i de longueur(tableau)-1 à 1:
+        trié = vrai
+        pour j de 0 à i-1:
+            si (tableau[j] > tableau[j+1])
+                échanger(array[j], array[j+1])
+                trié = faux
+        
+        si trié
+            retourner
+```
+
+# Tri à bulle (4/4)
+
+## Quelle est la complexité du tri à bulles?
+
+. . .
+
+* Dans le meilleurs des cas:
+    * Le tableau est déjà trié: $\mathcal{O}(N)$ comparaisons.
+* Dans le pire des cas, $N\cdot (N-1)/2\sim\mathcal{O}(N^2)$:
+$$
+\sum_{i=1}^{N-1}i\mbox{ comparaison et }3\sum_{i=1}^{N-1}i \mbox{ affectations
+(swap)}\Rightarrow \mathcal{O}(N^2).
+$$
+* En moyenne, $\mathcal{O}(N^2)$ ($N^2/2$ comparaisons).
+
+# L'algorithme à la main
+
+## Exercice *sur papier*
+
+* Trier par tri à bulles le tableau `[5, -2, 1, 3, 10, 15, 7, 4]`
+
+```C
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+```
+
+
+# Problème des 8-reines
+
+* Placer 8 reines sur un échiquier de $8 \times 8$.
+* Sans que les reines ne puissent se menacer mutuellement (92 solutions). 
+
+## Conséquence
+
+* Deux reines ne partagent pas la même rangée, colonne, ou diagonale.
+* Donc chaque solution a **une** reine **par colonne** ou **ligne**.
+
+## Généralisation
+
+* Placer $N$ reines sur un échiquier de $N \times
+  N$. 
+- Exemple de **backtracking** (retour en arrière) $\Rightarrow$ récursivité.
+
+![Problème des 8-reines. Source:
+[wikipedia](https://fr.wikipedia.org/wiki/Problème_des_huit_dames)](./figs/fig_recursivite_8_reines.png){width=35%}
+
+# Problème des 2-reines
+
+![Le problème des 2 reines n'a pas de solution.](figs/2reines.svg){width=50%}
+
+# Comment trouver les solutions?
+
+* On pose la première reine sur la première case disponible.
+* On rend inaccessibles toutes les cases menacées.
+* On pose la reine suivante sur la prochaine case non-menacée.
+* Jusqu'à ce qu'on puisse plus poser de reine.
+* On revient alors en arrière jusqu'au dernier coup où il y avait plus qu'une
+  possibilité de poser une reine.
+* On recommence depuis là.
+
+. . .
+
+* Le jeu prend fin quand on a énuméré *toutes* les possibilités de poser les
+  reines.
+
+# Problème des 3-reines
+
+![Le problème des 3 reines n'a pas de solution non plus.](figs/3reines.svg)
+
+# Problème des 4-reines
+
+![Le problème des 4 reines a une solution.](figs/4reines.svg)
+
+# Problème des 4-reines, symétrie
+
+![Le problème des 4 reines a une autre solution (symétrie
+horizontale).](figs/4reines_sym.svg)
+
+# Problème des 5 reines
+
+## Exercice: Trouver une solution au problème des 5 reines
+
+* Faire une capture d'écran / une photo de votre solution et la poster sur
+  matrix.
+
+```C
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+```
+
+# Quelques observations sur le problème
+
+* Une reine par colonne au plus.
+* On place les reines sur des colonnes successives.
+* On a pas besoin de "regarder en arrière" (on place "devant" uniquement).
+* Trois étapes:
+    * On place une reine dans une case libre.
+    * On met à jour le tableau.
+    * Quand on a plus de cases libres on "revient dans le temps" ou c'est qu'on
+      a réussi.
+
+# Le code du problème des 8 reines (1/N)
+
+## Quelle structure de données?
+
+. . .
+
+Une matrice de booléens fera l'affaire:
+
+```C
+bool board[n][n];
+```
+
+## Quelles fonctionnalités?
+
+. . .
+
+```C
+// Pour chaque ligne placer la reine sur toutes les colonnes
+//    et compter les solutions
+void nbr_solutions(board, column, counter);
+// Copier un tableau dans un autre
+void copy(board_in, board_out);
+// Placer la reine à li, co et rendre inaccessible devant
+void placer_devant(board, li, co);
+```
+
+# Le code du problème des 8 reines (2/N)
+
+## Le calcul du nombre de solutions
+
+```C
+// Calcule le nombre de solutions au problème des <n> reines
+nbr_solutions(board, column, count)
+   // pour chaque ligne 
+       // si la case libre
+          // si column < n - 1
+              // copier board dans un "new" board, 
+              //   y poser une reine
+              //   et mettre à jour ce "new" board
+              // nbr_solutions(new_board, column+1, count)
+          // sinon
+              // on a posé la n-ème et on a gagné
+              // count += 1
+```
+
+# Le code du problème des 8 reines (3/N)
+
+## Le calcul du nombre de solutions
+
+```C
+// Placer une reine et mettre à jour
+placer_devant(board, ligne, colonne)
+    // board est occupé à ligne/colonne
+        // toutes les cases des colonnes
+        //    suivantes sont mises à jour
+```
+
+# Le code du problème des 8 reines (4/N)
+
+## Compris? Alors écrivez le code et postez le!
+
+. . .
+
+## Le nombre de solutions
+
+\footnotesize
+
+```C
+// Calcule le nombre de solutions au problème des <n> reines
+void nb_sol(int n, bool board[n][n], int co, int *ptr_cpt) {
+    for (int li = 0; li < n; li++) {
+        if (board[li][co]) {
+            if (co < n-1) {
+                bool new_board[n][n]; // alloué à chaque nouvelle tentative
+                copy(n, board, new_board);         
+                prises_devant(n, new_board, li, co);
+                nb_sol(n, new_board, co+1, ptr_cpt);
+            } else {
+                *ptr_cpt = (*ptr_cpt)+1;
+            }
+        }
+    }
+}
+```
+
+
+# Le code du problème des 8 reines (5/N)
+
+\footnotesize
+
+## Placer devant
+
+```C
+// Retourne une copie du tableau <board> complété avec les positions
+// prises sur la droite droite par une reine placée en <board(li,co)>
+void prises_devant(int n, bool board[n][n], int li, int co) {
+    board[li][co] = false; // position de la reine
+    for (int j = 1; j < n-co; j++) {
+        // horizontale et diagonales à droite de la reine
+        if (j <= li) {
+            board[li-j][co+j] = false;
+        }
+        board[li][co+j] = false;
+        if (li+j < n) {
+            board[li+j][co+j] = false;
+        }
+    }
+}
+```
+

slides_2022/cours_9.md

+---
+title: "Piles"
+date: "2022-12-07"
+---
+
+# Les piles (1/5)
+
+## Qu'est-ce donc?
+
+* Structure de données abstraite...
+
+. . .
+
+* de type `LIFO` (*Last in first out*).
+
+![Une pile où on ajoute A, puis B avant de les retirer. Source:
+[Wikipedia](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e1/Stack_%28data_structure%29_LIFO.svg)](figs/Stack.svg){width=70%}
+
+## Des exemples de la vraie vie
+
+. . .
+
+* Pile d'assiettes, de livres, ...
+* Adresses visitées par un navigateur web.
+* Les calculatrices du passé (en polonaise inverse).
+* Les boutons *undo* de vos éditeurs de texte (aka *u* dans vim).
+
+# Les piles (2/5)
+
+## Fonctionnalités
+
+. . .
+
+1. Empiler (push): ajouter un élément sur la pile.
+2. Dépiler (pop): retirer l'élément du sommet de la pile et le retrouner.
+3. Liste vide? (is_empty?).
+
+. . .
+
+4. Jeter un oeil (peek): retourner l'élément du sommet de la pile (sans le dépiler).
+5. Nombre d'éléments (length).
+
+## Comment faire les 4,5 à partir de 1 à 3?
+
+. . .
+
+4. Dépiler l'élément, le copier, puis l'empiler à nouveau.
+5. Dépiler jusqu'à ce que la pile soit vide, puis empiler à nouveau.
+
+. . .
+
+## Existe en deux goûts
+
+* Pile avec ou sans limite de capacité (à concurrence de la taille de la
+mémoire).
+
+# Les piles (3/5)
+
+## Implémentation
+
+* Jusqu'ici on n'a pas du tout parlé d'implémentation (d'où le nom de structure
+  abstraite).
+* Pas de choix unique d'implémentation.
+
+## Quelle structure de données allons nous utiliser?
+
+. . .
+
+Et oui vous avez deviné: un tableau!
+
+## La structure: de quoi avons-nous besoin (pile de taille fixe)?
+
+. . .
+
+```C
+#define MAX_CAPACITY 500
+typedef struct _stack {
+    int data[MAX_CAPACITY]; // les données
+    int top;                // indice du sommet
+} stack;
+```
+
+# Les piles (4/5)
+
+## Initialisation
+
+. . .
+
+```C
+void stack_init(stack *s) {
+    s->top = -1;
+}
+```
+
+## Est vide?
+
+. . .
+
+```C
+bool stack_is_empty(stack s) {
+    return s.top == -1;
+} 
+```
+
+## Empiler (ajouter un élément au sommet)
+
+. . .
+
+```C
+void stack_push(stack *s, int val) {
+    s->top += 1;
+    s->data[s->top] = val;
+}
+```
+
+# Les piles (5/5)
+
+## Dépiler (enlever l'élément du sommet)
+
+. . .
+
+```C
+int stack_pop(stack *s) {
+    s->top -= 1;
+    return s->data[s->top+1];
+}
+```
+
+## Jeter un oeil (regarder le sommet)
+
+. . .
+
+```C
+int stack_peek(stack *s) {
+    return s->data[s->top];
+}
+```
+
+## Quelle est la complexité de ces opérations?
+
+. . .
+
+## Voyez-vous des problèmes potentiels avec cette implémentation?
+
+. . .
+
+* Empiler avec une pile pleine.
+* Dépiler avec une pile vide.
+* Jeter un oeil au sommet d'une pile vide.
+
+# Gestion d'erreur, level 0
+
+* Il y a plusieurs façon de traiter les erreur:
+    * Ne rien faire (laisser la responsabilité à l'utilisateur).
+    * Faire paniquer le programme (il plante plus ou moins violemment).
+    * Utiliser des codes d'erreurs.
+
+## La panique
+
+* En C, on a les `assert()` pour faire paniquer un programme.
+
+
+# Assertions (1/3)
+
+```C
+#include <assert.h>
+void assert(int expression);
+```
+
+## Qu'est-ce donc?
+
+- Macro permettant de tester une condition lors de l'exécution d'un programme:
+  - Si `expression == 0`{.C} (condition fausse), `assert()`{.C} affiche un message d'erreur sur `stderr`{.C} et termine l'exécution du programme.
+  - Sinon l'exécution se poursuit normalement.
+  - Peuvent être désactivés à la compilation avec `-DNDEBUG` (équivalent à `#define
+    NDEBUG`)
+
+## À quoi ça sert?
+
+- Permet de réaliser des tests unitaires.
+- Permet de tester des conditions catastrophiques d'un programme.
+- **Ne permet pas** de gérer les erreurs.
+
+# Assertions (2/3)
+
+<!-- \footnotesize -->
+
+## Exemple
+
+```C
+#include <assert.h>
+void stack_push(stack *s, int val) {
+    assert(s->top < MAX_CAPACITY-1);
+    s->top += 1;
+    s->data[s->top] = val;
+}
+int stack_pop(stack *s) {
+    assert(s->top >= 0);
+    s->top -= 1;
+    return s->data[s->top+1];
+}
+int stack_peek(stack *s) {
+    assert(s->top >= 0);
+    return s->data[s->top];
+}
+```
+
+# Assertions (3/3)
+
+## Cas typiques d'utilisation
+
+- Vérification de la validité des pointeurs (typiquement `!= NULL`{.C}).
+- Vérification du domaine des indices (dépassement de tableau).
+
+## Bug vs. erreur de *runtime*
+
+- Les assertions sont là pour détecter les bugs (erreurs d'implémentation).
+- Les assertions ne sont pas là pour gérer les problèmes externes au programme (allocation mémoire qui échoue, mauvais paramètre d'entrée passé par l'utilisateur, ...).
+
+. . .
+
+- Mais peuvent être pratiques quand même pour ça...
+- Typiquement désactivées dans le code de production.
+
+# La pile dynamique
+
+## Comment modifier le code précédent pour avoir une taille dynamique?
+
+. . .
+
+```C
+// alloue une zone mémoire de size octets
+void *malloc(size_t size); 
+// change la taille allouée à size octets (contiguïté garantie)
+void *realloc(void *ptr, size_t size);
+```
+
+## Et maintenant?
+
+. . .
+
+```C
+stack_create(); // crée une pile avec une taille par défaut
+// vérifie si la pile est pleine et réalloue si besoin
+stack_push();
+// vérifie si la pile est vide/trop grande 
+// et réalloue si besoin
+stack_pop(); 
+```
+
+## Exercice: ouvrir un repo/issues pour l'implémentation
+
+* Oui-oui cela est une introduction au développement collaboratif (et
+  hippie).
+
+# Le tri à deux piles (1/3)
+
+## Cas pratique
+
+![Un exemple de tri à deux piles](figs/tri_piles.svg){width=70%}
+
+# Le tri à deux piles (2/3)
+
+## Exercice: formaliser l'algorithme
+
+. . .
+
+## Algorithme de tri nécessitant 2 piles (G, D)
+
+Soit `tab` le tableau à trier:
+
+```C
+pour i de 0 à N-1
+    tant que (tab[i] > que le sommet de G)
+        dépiler G dans D
+    tant que (tab[i] < que le sommet de D)
+        dépiler de D dans G
+    empiler tab[i] sur G
+dépiler tout D dans G
+tab est trié dans G
+```
+
+# Le tri à deux piles (3/3)
+
+## Exercice: trier le tableau `[2, 10, 5, 20, 15]`
+
+```C
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+```

slides_2022/docker-compose.yml

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+
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+        <path
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+      </g>
+      <text
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+</svg>