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+12 −6
Original line number Diff line number Diff line
# Remerciements et contributions

Merci aux contributeurs suivants pour leurs efforts (dans un ordre aléatoire):
Merci aux contributeurs suivants pour leurs efforts (dans un ordre alphabétique):

* P. Kunzli
* A. Boyer
* G. Legouic
* P. Albuquerque
* O. Malaspinas
* J. Bach
* A. Boyer
* M. Corboz
* M. Divià
* Y. El Hakouni
* A. Escribano
* P. Kunzli
* G. Legouic
* G. Marino Jarrin
* H. Radhwan
* I. Saroukhanian
* C. Volta
Original line number Diff line number Diff line
*.pdf
*.json
*.err
*.markdown
*.html
index.md
.puppeteer.json
+3 −2
Original line number Diff line number Diff line
@@ -18,14 +18,15 @@ all: puppeteer $(PDF)
# all: puppeteer $(PDF) $(HTML) # La cible par défaut (all) exécute les cibles %.pdf

docker: docker-compose.yml
	docker-compose run slides
	docker compose run slides

docker_clean: docker-compose.yml
	docker-compose run slides clean
	docker compose run slides clean

puppeteer:
	@echo "Setting chromium to $(CHROMIUM) for puppeteer"
	@echo -e "{\n\"executablePath\":" \"$(CHROMIUM)\" ",\n\"args\": [\"--no-sandbox\"]\n}" > .puppeteer.json
	# @echo "{\n\"executablePath\":" \"$(CHROMIUM)\" ",\n\"args\": [\"--no-sandbox\"]\n}" > .puppeteer.json

index.md: gen_index.sh
	$(shell ./gen_index.sh)
+10 −219
Original line number Diff line number Diff line
---
title: "Introduction aux algorithmes"
date: "2022-09-21"
title: "Introduction aux algorithmes I"
date: "2025-09-16"
---

# Qu'est-ce qu'un algorithme?
@@ -42,7 +42,7 @@ de résoudre typiquement une classe de problèmes ou effectuer un calcul.

. . .

* Opérateurs (arthimétiques / booléens)
* Opérateurs (arithmétiques / booléens)
* Boucles;
* Structures de contrôle;
* Fonctions;
@@ -79,7 +79,7 @@ booléen est_premier(nombre)

```C
booléen est_premier(nombre) // fonction
    soit i = 2;       // variable, type, assignation
    soit i = 2       // variable, type, assignation
    tant que i < nombre // boucle
        si nombre modulo i == 0 // expression typée
            retourne faux    // expression typée
@@ -99,7 +99,7 @@ bool est_premier(int nombre) {
        if (0 == nombre % i) { // is i divise nombre
            return false; // i n'est pas premier
        }
        i += 1; // sinon on incrémente i
        i = i + 1; // sinon on incrémente i
    }
    return true;
}
@@ -121,8 +121,8 @@ bool est_premier(int nombre) {

- Il existe une multitude d'options de compilation:

    ```bash
    $ gcc -O1 -std=c11 -Wall -Wextra -g porg.c -o prog 
    ```console
    $ gcc -O1 -std=c11 -Wall -Wextra -g prog.c -o prog 
    	-fsanitize=address 
    ```
    1. `-std=c11` utilisation de C11.
@@ -240,7 +240,7 @@ int main() {

# Quiz: compile ou compile pas?

## [Quiz: compile ou compile pas](https://cyberlearn.hes-so.ch/mod/evoting/view.php?id=1033948)
## [Quiz: compile ou compile pas](https://cyberlearn.hes-so.ch/mod/evoting/view.php?id=501934)

# Types de base (1/4)

@@ -288,7 +288,7 @@ Type Signification

# Quiz: booléens

## [Quiz: booléens](https://cyberlearn.hes-so.ch/mod/evoting/view.php?id=1032492)
## [Quiz: booléens](https://cyberlearn.hes-so.ch/mod/evoting/view.php?id=501922)

<!-- TODO Quiz en ligne -->
<!-- ```C
@@ -332,7 +332,7 @@ if (x) { /* vrai */ }

# Quiz: conversions

## [Quiz: conversions](https://cyberlearn.hes-so.ch/mod/evoting/view.php?id=1033446)
## [Quiz: conversions](https://cyberlearn.hes-so.ch/mod/evoting/view.php?id=501925)

<!-- TODO Quiz en ligne -->
<!-- ```C
@@ -347,212 +347,3 @@ bool d = 2.78; // 1
bool e = 1.0; // 1
``` -->
# Expressions et opérateurs (1/6)

Une expression est tout bout de code qui est **évalué**.

## Expressions simples

- Pas d'opérateurs impliqués.
- Les littéraux, les variables, et les constantes.

```C
const int L = -1; // 'L' est une constante, -1 un littéral
int x = 0;        // '0' est un litéral
int y = x;        // 'x' est une variable
int z = L;        // 'L' est une constante
```

## Expressions complexes

- Obtenues en combinant des *opérandes* avec des *opérateurs*

```C
int x;     // pas une expression (une instruction)
x = 4 + 5; // 4 + 5 est une expression
           // dont le résultat est affecté à 'x'
```

# Expressions et opérateurs (2/6)

## Opérateurs relationnels

Opérateurs testant la relation entre deux *expressions*:

  - `(a opérateur b)` retourne `1`{.C} si l'expression s'évalue à `true`{.C}, `0`{.C} si l'expression s'évalue à `false`{.C}.

| Opérateur | Syntaxe      | Résultat             |
|-----------|--------------|----------------------|
| `<`{.C}   | `a < b`{.C}  | 1 si a <  b; 0 sinon |
| `>`{.C}   | `a > b`{.C}  | 1 si a >  b; 0 sinon |
| `<=`{.C}  | `a <= b`{.C} | 1 si a <= b; 0 sinon |
| `>=`{.C}  | `a >= b`{.C} | 1 si a >= b; 0 sinon |
| `==`{.C}  | `a == b`{.C} | 1 si a == b; 0 sinon |
| `!=`{.C}  | `a != b`{.C} | 1 si a != b; 0 sinon |

# Expressions et opérateurs (3/6)

## Opérateurs logiques

| Opérateur | Syntaxe      | Signification        |
|-----------|--------------|----------------------|
| `&&`{.C}  | `a && b`{.C} | ET logique           |
| `||`{.C}  | `a || b`{.C} | OU logique           |
| `!`{.C}   | `!a`{.C}     | NON logique          |

# Quiz: opérateurs logiques

## [Quiz: opérateurs logiques](https://cyberlearn.hes-so.ch/mod/evoting/view.php?id=1033629)

<!-- TODO: Quiz -->
<!-- ```C
1 && 0 == 0
7 && 3 == 1
4 || 3 == 1
!34 == 0
!0 == 1

Soit n un unsigned char initialisé à 127:
!n == 0
``` -->

# Expressions et opérateurs (4/6)

## Opérateurs arithmétiques

| Opérateur | Syntaxe      | Signification        |
|-----------|--------------|----------------------|
| `+`{.C}   | `a + b`{.C}  | Addition             |
| `-`{.C}   | `a - b`{.C}  | Soustraction         |
| `*`{.C}   | `a * b`{.C}  | Multiplication       |
| `/`{.C}   | `a / b`{.C}  | Division             |
| `%`{.C}   | `a % b`{.C}  | Modulo               |

# Expressions et opérateurs (5/6)

## Opérateurs d'assignation

| Opérateur | Syntaxe      | Signification                               |
|-----------|--------------|---------------------------------------------|
| `=`{.C}   | `a = b`{.C}  | Affecte la valeur `b` à la variable `a`     |
|           |              | et retourne la valeur de `b`                |
| `+=`{.C}  | `a += b`{.C} | Additionne la valeur de `b` à `a` et        |
|           |              | assigne le résultat à `a`.                  |
| `-=`{.C}  | `a -= b`{.C} | Soustrait la valeur de `b` à `a` et         |
|           |              | assigne le résultat à `a`.                  |
| `*=`{.C}  | `a *= b`{.C} | Multiplie la valeur de `b` à `a` et         |
|           |              | assigne le résultat à `a`.                  |
| `/=`{.C}  | `a /= b`{.C} | Divise la valeur de `b` à `a` et            |
|           |              | assigne le résultat à `a`.                  |
| `%=`{.C}  | `a %= b`{.C} | Calcule le modulo la valeur de `b` à `a` et |
|           |              | assigne le résultat à `a`.                  |

# Expressions et opérateurs (6/6)

## Opérateurs d'assignation (suite)

| Opérateur | Syntaxe      | Signification                               |
|-----------|--------------|---------------------------------------------|
| `++`{.C}  | `++a`{.C}    | Incrémente la valeur de `a` de 1 et         |
|           |              | retourne le résultat (`a += 1`).            |
| `--`{.C}  | `--a`{.C}    | Décrémente la valeur de `a` de 1 et         |
|           |              | retourne le résultat (`a -= 1`).            |
| `++`{.C}  | `a++`{.C}    | Retourne `a`{.C} et incrémente `a` de 1.    |
| `--`{.C}  | `a--`{.C}    | Retourne `a`{.C} et décrémente `a` de 1.    |


# Structures de contrôle: `if`{.C} .. `else if`{.C} .. `else`{.C} (1/2)

## Syntaxe

```C
if (expression) {
    instructions;
} else if (expression) { // optionnel
                         // il peut y en avoir plusieurs
    instructions;
} else {
    instructions; // optionnel
}
```

```C
if (x) { // si x s'évalue à `vrai`
    printf("x s'évalue à vrai.\n");
} else if (y == 8) { // si y vaut 8
    printf("y vaut 8.\n");
} else {
    printf("Ni l'un ni l'autre.\n");
}
```

# Structures de contrôle: `if`{.C} .. `else if`{.C} .. `else`{.C} (2/2)

## Pièges

```C
int x, y;
x = y = 3;
if (x = 2)
    printf("x = 2 est vrai.\n");
else if (y < 8)
    printf("y < 8.\n");
else if (y == 3)
    printf("y vaut 3 mais cela ne sera jamais affiché.\n");
else
    printf("Ni l'un ni l'autre.\n");
    x = -1; // toujours évalué
```

# Quiz: `if ... else`{.C}

## [Quiz: `if ... else`{.C}](https://cyberlearn.hes-so.ch/mod/evoting/view.php?id=1033916)


# Structures de contrôle: `while`{.C}

## La boucle `while`{.C}

```C
while (condition) {
    instructions;
}
do {
    instructions;
} while (condition);
```

## La boucle `while`{.C}, un exemple

```C
int sum = 0; // syntaxe C99
while (sum < 10) {
    sum += 1;
}
do {
    sum += 10;
} while (sum < 100)
```

# Structures de contrôle: `for`{.C}

## La boucle `for`{.C}

```C
for (expression1; expression2; expression3) {
    instructions;
}
```

## La boucle `for`{.C}

```C
int sum = 0; // syntaxe C99
for (int i = 0; i < 10; i++) {
    sum += i;
}

for (int i = 0; i != 1; i = rand() % 4) { // ésotérique
    printf("C'est plus ésotérique.\n");
}
```
+18 −19
Original line number Diff line number Diff line
---
title: "Introduction générale"
date: "2022-09-20"
date: "2025-09-16"
---

# La hotline
@@ -11,10 +11,9 @@ Paul Albuquerque paul.albuquerque@hesge.ch B410
Orestis Malaspinas     orestis.malaspinas@hesge.ch       A401
--------------------   ------------------------------    --------------------

* Utilisez le libre service (l'horaire sera fixé prochainement).
* On va intensivement utiliser *Element*, installez le et utilisez le!

* Espace de discussion [Matrix](https://matrix.to/#/!aKYVlcclmPGYXQFxAK:matrix.org?via=matrix.org), installez [element.io](https://element.io).
- Utilisez le libre service (l'horaire sera fixé prochainement).
- On va intensivement utiliser *Element*, installez le et utilisez le!
- Espace de discussion Matrix: <https://rb.gy/ku5es>, installez [element.io](https://element.io).

    ![](figs/matrix_qr.png){width=20%}

@@ -23,31 +22,31 @@ Orestis Malaspinas orestis.malaspinas@hesge.ch A401
Tout le contenu de ce qu'on raconte se trouve sur cyberlearn:

- Algorithmes et structures de données
  - <https://cyberlearn.hes-so.ch/course/view.php?id=13941>
  - Clé d'inscription: algo_2021_22
  - <https://cyberlearn.hes-so.ch/course/view.php?id=7276>
  - Clé d'inscription: algo_2025_26

- Programmation Sequentielle en C
  - <https://cyberlearn.hes-so.ch/course/view.php?id=12399>
  - Clé d'inscription: prog_seq_2021_22
- Programmation quentielle en C
  - <https://cyberlearn.hes-so.ch/course/view.php?id=7282>
  - Clé d'inscription: prog_seq_2025_26


# Organisation du module

* Deux cours, 50% chacun.
1. Algorithmes et structures de données:
## Cinq cours, 20% chacun.

1. Algorithmes et structures de données (2 semestres):
    * 1er semestre:
        * bases de programmation en C jusqu'à Noël.
        * bases de programmation en C jusqu'à Noël,
        * algorithmique jusqu'à fin janvier.
    * 2e semestre:
    * 2ème semestre:
        * algorithmique.
    * Deux évaluations écrites par semestre (1er: novembre et janvier).
2. Programmation séquentielle en C
    * Deux évaluations écrites par semestre (1er sem.: novembre et janvier).
2. Programmation séquentielle en C (2 semestres)
    * Familiarisation avec l'environnement Linux.
    * Travaux pratiques en C.
    * Apprentissage du gestionnaire de versions: git.
    * Plusieurs exercices illustrant les concepts d'algorithmique.
    * Évaluations:
        * Deux évaluations machine (1er semestre).
        * Probablement, une évaluation machine et un projet (2e semestre).
    * Évaluations (4 tests machine).
3. Programmation système (semestre de printemps)

Original line number Diff line number Diff line
---
subtitle: "Algorithmique et structures de données, 2022-2023"
author: "P. Albuquerque (B410), P. Künzli et O. Malaspinas (A401), ISC, HEPIA"
institute: En partie inspirés des supports de cours de P. Albuquerque
subtitle: "Algorithmique et structures de données, 2025-2026"
author: "P. Albuquerque (B410) et O. Malaspinas (A401), ISC, HEPIA"
institute: En partie inspiré des supports de cours de P. Albuquerque
lang: fr-CH
revealjs-url: /reveal.js
mathjaxurl: "https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.0/MathJax.js?config=TeX-AMS_HTML"

slides_2022/Makefile

0 → 100644
+61 −0
Original line number Diff line number Diff line
PDFOPTIONS = -t beamer
# PDFOPTIONS += -F pantable
PDFOPTIONS += -F mermaid-filter
PDFOPTIONS += --highlight-style my_highlight.theme
PDFOPTIONS += --pdf-engine xelatex
PDFOPTIONS += -V theme:metropolis
PDFOPTIONS += -V themeoptions:numbering=none -V themeoptions:progressbar=foot
PDFOPTIONS += -V fontsize=smaller
PDFOPTIONS += -V urlcolor=blue

MD=$(wildcard *.md) # Tous les fichiers .md
PDF=$(MD:%.md=%.pdf) # Pour les fichier pdf on transforme .md -> .pdf
HTML=$(MD:%.md=%.html) # Pour les fichier html on transforme .md -> .html
MARKDOWN=$(MD:%.md=%.markdown) # Pour les fichier markdown on transforme .md -> .markdown
CHROMIUM:=$(shell which chromium || which chromium-browser)

all: puppeteer $(PDF) 
# all: puppeteer $(PDF) $(HTML) # La cible par défaut (all) exécute les cibles %.pdf

docker: docker-compose.yml
	docker-compose run slides

docker_clean: docker-compose.yml
	docker-compose run slides clean

puppeteer:
	@echo "Setting chromium to $(CHROMIUM) for puppeteer"
	@echo -e "{\n\"executablePath\":" \"$(CHROMIUM)\" ",\n\"args\": [\"--no-sandbox\"]\n}" > .puppeteer.json

index.md: gen_index.sh
	$(shell ./gen_index.sh)

index.html: index.md
	pandoc -s $(OPTIONS) --css ../css/tufte-css/tufte.css -o $@ $^

markdown: $(MARKDOWN) # La markdown les cibles %.markdown

%.pdf: %.md metadata.yaml # %.pdf (chaque fichier %.md génère un fichier avec le même nom mais l'extension .pdf et la dépendance metadata.yaml)
	pandoc -s $(OPTIONS) $(PDFOPTIONS) -o $@ $^

%.markdown: %.md metadata.yaml yq
	sed '1 { /^---/ { :a N; /\n---/! ba; d} }' $< > no_header
	grep -v -F -x -f  no_header $< > header.yaml
	echo "---" > tmp.yaml
	./yq_linux_amd64 merge metadata.yaml header.yaml >> tmp.yaml
	cat tmp.yaml no_header > $@
	rm no_header header.yaml tmp.yaml

yq: # On peut même télécharger un petit programme avec notre makefile
	wget -nc https://github.com/mikefarah/yq/releases/download/3.4.1/yq_linux_amd64
	chmod "u+x" yq_linux_amd64 

deploy: all index.html
	mkdir -p algo_cours
	cp *.pdf algo_cours
	cp index.html algo_cours

clean:
	rm -rf *.html *.pdf *.markdown yq_linux_amd64* index.md .puppeteer.json algo_cours *.err

.PHONY:	clean index.md puppeteer yq

slides_2022/cours_1.md

0 → 100644
+558 −0
Original line number Diff line number Diff line
---
title: "Introduction aux algorithmes"
date: "2022-09-21"
---

# Qu'est-ce qu'un algorithme?

## Définition informelle (recette)

* des entrées (les ingrédients, le matériel utilisé) ;
* des instructions élémentaires simples (frire, flamber, etc.), dont les 
  exécutions dans un ordre précis amènent au résultat voulu ;
* un résultat : le plat préparé.

. . .

## Histoire et étymologie

- Existent depuis 4500 ans au moins (algorithme de division, crible 
  d'Eratosthène).
- Le mot algorithme est dérivé du nom du mathématicien perse
    *Muḥammad ibn Musā al-Khwārizmī*, qui a été "latinisé" comme 
    *Algoritmi*.

. . .

## Définition formelle

En partant d'un état initial et d'entrées (peut-être vides), une séquence finie 
d'instruction bien définies (ordonnées) implémentables sur un ordinateur, afin 
de résoudre typiquement une classe de problèmes ou effectuer un calcul.

# Notions de base d'algorithmique

## Variable

. . .

* Paire: identifiant - valeur (assignation);

## Séquence d'instructions / expressions

. . .

* Opérateurs (arthimétiques / booléens)
* Boucles;
* Structures de contrôle;
* Fonctions;


# Algorithme de vérification qu'un nombre est premier (1/3)

Nombre premier: nombre possédant deux diviseurs entiers distincts.

. . .

## Algorithme naïf (problème)

```C
booléen est_premier(nombre) 
    si 
        pour tout i, t.q. 1 < i < nombre 
            i ne divise pas nombre
    alors vrai
    sinon faux
```

. . .

## Pas vraiment un algorithme: pas une séquence ordonnée et bien définie

. . .

## Problème: Comment écrire ça sous une forme algorithmique?

# Algorithme de vérification qu'un nombre est premier (2/3)

## Algorithme naïf (une solution)

```C
booléen est_premier(nombre) // fonction
    soit i = 2;       // variable, type, assignation
    tant que i < nombre // boucle
        si nombre modulo i == 0 // expression typée
            retourne faux    // expression typée
        i = i + 1
    retourne vrai // expression typée
```

# Algorithme de vérification qu'un nombre est premier (3/3)

## Algorithme naïf (une solution en C)

```C
bool est_premier(int nombre) {
    int i; // i est un entier
    i = 2; // assignation i à 2
    while (i < nombre) { // boucle avec condition
        if (0 == nombre % i) { // is i divise nombre
            return false; // i n'est pas premier
        }
        i += 1; // sinon on incrémente i
    }
    return true;
}
```

. . .

## Exercice: Comment faire plus rapide?

# Génération d'un exécutable

- Pour pouvoir être exécuté un code C doit être d'abord compilé (avec `gcc` ou `clang`).
- Pour un code `prog.c` la compilation "minimale" est

    ```bash
    $ gcc prog.c
    $ ./a.out # exécutable par défaut
    ```

- Il existe une multitude d'options de compilation:

    ```bash
    $ gcc -O1 -std=c11 -Wall -Wextra -g porg.c -o prog 
    	-fsanitize=address 
    ```
    1. `-std=c11` utilisation de C11.
    2. `-Wall et -Wextra` activation des warnings.
    3. `-fsanitize=…`  contrôles d’erreurs à l’exécution (coût en performance).
    4. `-g` symboles de débogages sont gardés.
    5. `-o` défini le fichier exécutable à produire en sortie.
    6. `-O1`, `-O2`, `-O3`: activation de divers degrés d'optimisation



# La simplicité de C?

## 32 mots-clé et c'est tout

---------------- -------------- ---------------- ---------------
`auto`{.C}       `double`{.C}   `int`{.C}        `struct`{.C}   
`break`{.C}      `else`{.C}     `long`{.C}       `switch`{.C}   
`case`{.C}       `enum`{.C}     `register`{.C}   `typedef`{.C}  
`char`{.C}       `extern`{.C}   `return`{.C}     `union`{.C}    
`const`{.C}      `float`{.C}    `short`{.C}      `unsigned`{.C} 
`continue`{.C}   `for`{.C}      `signed`{.C}     `void`{.C}
`default`{.C}    `goto`{.C}     `sizeof`{.C}     `volatile`{.C}
`do`{.C}         `if`{.C}       `static`{.C}     `while`{.C}
---------------- -------------- ---------------- ---------------

# Déclaration et typage

En C lorsqu'on veut utiliser une variable (ou une constante), on doit déclarer son type

```C
const double two = 2.0; // déclaration et init.
int x;   // déclaration (instruction)
char c;  // déclaration (instruction)
x = 1;   // affectation (expression)
c = 'a'; // affectation (expression)
int y = x; // déclaration et initialisation en même temps
int a, b, c; // déclarations multiples
a = b = c = 1; // init. multiples
```

# Les variables (1/2)

## Variables et portée

- Une variable est un identifiant, qui peut être liée à une valeur (un expression).
- Une variable a une **portée** qui définit où elle est *visible* (où elle peut être accédée).
- La portée est **globale** ou **locale**.
- Une variable est **globale** est accessible à tout endroit d'un programme et doit être déclarée en dehors de toute fonction.
- Une variable est **locale** lorsqu'elle est déclarée dans un **bloc**, `{...}`{.C}.
- Une variable est dans la portée **après** avoir été déclarée.

# Les variables (2/2)

## Exemple 

```C
float max; // variable globale accessible partout
int foo() {
    // max est visible ici
    float a = max; // valide
    // par contre les varibles du main() ne sont pas visibles
}
int main() {
    // max est visible ici
    int x = 1; // x est locale à main
    {
        // x est visible ici, y pas encore
        // on peut par exemple pas faire x = y;
        int y = 2;
    } // y est détruite à la sortie du bloc
} // x est à la sortie de main

```

<!-- TODO: quiz, compile, compile pas -->
<!-- ```C
int main() {
    global = 1;
} // COMPILE PAS
```

```C
int main() {
    int global = 1;
    {
        printf("global = %d", global);
    }
} // COMPILE
```

```C
int local;

int main() {
    local = 1;
    {
        printf("local = %d", local);
    }
} // COMPILE
```

```C
#include <stdio.h>
int local = 0;

int main() {
    int local = -1;
    {
        int local = 1;
        printf("local = %d\n", local);
    }
} // COMPILE
``` -->

# Quiz: compile ou compile pas?

## [Quiz: compile ou compile pas](https://cyberlearn.hes-so.ch/mod/evoting/view.php?id=1033948)

# Types de base (1/4)

## Numériques

Type                               Signification (**gcc pour x86-64**)            
---------------------------------- ---------------------------------------------
`char`{.C}, `unsigned char`{.C}    Entier signé/non-signé 8-bit
`short`{.C}, `unsigned short`{.C}  Entier signé/non-signé 16-bit
`int`{.C}, `unsigned int`{.C}      Entier signé/non-signé 32-bit
`long`{.C}, `unsigned long`{.C}    Entier signé/non-signé 64-bit
`float`{.C}                        Nombre à virgule flottante, simple précision
`double`{.C}                       Nombre à virgule flottante, double précision
---------------------------------- ---------------------------------------------

**La signification de `short`{.C}, `int`{.C}, ... dépend du compilateur et de l'architecture.**

# Types de base (2/4)

Voir `<stdint.h>` pour des représentations **portables**

Type                               Signification
---------------------------------- ---------------------------------------------
`int8_t`{.C}, `uint8_t`{.C}        Entier signé/non-signé 8-bit
`int16_t`{.C}, `uint16_t`{.C}      Entier signé/non-signé 16-bit
`int32_t`{.C}, `uint32_t`{.C}      Entier signé/non-signé 32-bit
`int64_t`{.C}, `uint64_t`{.C}      Entier signé/non-signé 64-bit
---------------------------------- ---------------------------------------------

. . .

## Prenez l'habitude d'utiliser ces types-là!

# Types de base (3/4)

## Booléens

- Le ANSI C n'offre pas de booléens.
- L'entier `0`{.C} signifie *faux*, tout le reste *vrai*.
- Depuis C99, la librairie `stdbool` met à disposition un type `bool`{.C}.
- En réalité c'est un entier:
  - $1 \Rightarrow$ `true`{.C}
  - $0 \Rightarrow$ `false`{.C}
- On peut les manipuler comme des entier (les sommer, les multiplier, ...).

# Quiz: booléens

## [Quiz: booléens](https://cyberlearn.hes-so.ch/mod/evoting/view.php?id=1032492)

<!-- TODO Quiz en ligne -->
<!-- ```C
if (42) { /* vrai */ }

int x = 100;
if (x == 4) { /* faux */ }
if (x) { /* vrai */ }

int x = 100;
while (x−−) { /* répète tant que x est différent de 0 */ }

if (0) { /* faux */ }
if (i = 4) { /* vrai */ }
if (i = 0) { /* faux */ }

#include <stdbool.h>

bool x = true;
if (x) { /* vrai */ }
``` -->

# Types de base (4/4)

## Conversions

- Les conversions se font de manière:
  - Explicite:
    ```C
    int a = (int)2.8;
    double b = (double)a;
    int c = (int)(2.8+0.5);
    ```
  - Implicite:
    ```C
    int a = 2.8; // warning, si activés, avec clang
    double b = a + 0.5;
    char c = b; // pas de warning...
    int d = 'c';
    ```

# Quiz: conversions

## [Quiz: conversions](https://cyberlearn.hes-so.ch/mod/evoting/view.php?id=1033446)

<!-- TODO Quiz en ligne -->
<!-- ```C
int a = (int)2.8; // 2

double b = 2.85;
int c = b + 0.5; // 3

int d = a + 0.5; // 2

bool d = 2.78; // 1
bool e = 1.0; // 1
``` -->

# Expressions et opérateurs (1/6)

Une expression est tout bout de code qui est **évalué**.

## Expressions simples

- Pas d'opérateurs impliqués.
- Les littéraux, les variables, et les constantes.

```C
const int L = -1; // 'L' est une constante, -1 un littéral
int x = 0;        // '0' est un litéral
int y = x;        // 'x' est une variable
int z = L;        // 'L' est une constante
```

## Expressions complexes

- Obtenues en combinant des *opérandes* avec des *opérateurs*

```C
int x;     // pas une expression (une instruction)
x = 4 + 5; // 4 + 5 est une expression
           // dont le résultat est affecté à 'x'
```

# Expressions et opérateurs (2/6)

## Opérateurs relationnels

Opérateurs testant la relation entre deux *expressions*:

  - `(a opérateur b)` retourne `1`{.C} si l'expression s'évalue à `true`{.C}, `0`{.C} si l'expression s'évalue à `false`{.C}.

| Opérateur | Syntaxe      | Résultat             |
|-----------|--------------|----------------------|
| `<`{.C}   | `a < b`{.C}  | 1 si a <  b; 0 sinon |
| `>`{.C}   | `a > b`{.C}  | 1 si a >  b; 0 sinon |
| `<=`{.C}  | `a <= b`{.C} | 1 si a <= b; 0 sinon |
| `>=`{.C}  | `a >= b`{.C} | 1 si a >= b; 0 sinon |
| `==`{.C}  | `a == b`{.C} | 1 si a == b; 0 sinon |
| `!=`{.C}  | `a != b`{.C} | 1 si a != b; 0 sinon |

# Expressions et opérateurs (3/6)

## Opérateurs logiques

| Opérateur | Syntaxe      | Signification        |
|-----------|--------------|----------------------|
| `&&`{.C}  | `a && b`{.C} | ET logique           |
| `||`{.C}  | `a || b`{.C} | OU logique           |
| `!`{.C}   | `!a`{.C}     | NON logique          |

# Quiz: opérateurs logiques

## [Quiz: opérateurs logiques](https://cyberlearn.hes-so.ch/mod/evoting/view.php?id=1033629)

<!-- TODO: Quiz -->
<!-- ```C
1 && 0 == 0
7 && 3 == 1
4 || 3 == 1
!34 == 0
!0 == 1

Soit n un unsigned char initialisé à 127:
!n == 0
``` -->

# Expressions et opérateurs (4/6)

## Opérateurs arithmétiques

| Opérateur | Syntaxe      | Signification        |
|-----------|--------------|----------------------|
| `+`{.C}   | `a + b`{.C}  | Addition             |
| `-`{.C}   | `a - b`{.C}  | Soustraction         |
| `*`{.C}   | `a * b`{.C}  | Multiplication       |
| `/`{.C}   | `a / b`{.C}  | Division             |
| `%`{.C}   | `a % b`{.C}  | Modulo               |

# Expressions et opérateurs (5/6)

## Opérateurs d'assignation

| Opérateur | Syntaxe      | Signification                               |
|-----------|--------------|---------------------------------------------|
| `=`{.C}   | `a = b`{.C}  | Affecte la valeur `b` à la variable `a`     |
|           |              | et retourne la valeur de `b`                |
| `+=`{.C}  | `a += b`{.C} | Additionne la valeur de `b` à `a` et        |
|           |              | assigne le résultat à `a`.                  |
| `-=`{.C}  | `a -= b`{.C} | Soustrait la valeur de `b` à `a` et         |
|           |              | assigne le résultat à `a`.                  |
| `*=`{.C}  | `a *= b`{.C} | Multiplie la valeur de `b` à `a` et         |
|           |              | assigne le résultat à `a`.                  |
| `/=`{.C}  | `a /= b`{.C} | Divise la valeur de `b` à `a` et            |
|           |              | assigne le résultat à `a`.                  |
| `%=`{.C}  | `a %= b`{.C} | Calcule le modulo la valeur de `b` à `a` et |
|           |              | assigne le résultat à `a`.                  |

# Expressions et opérateurs (6/6)

## Opérateurs d'assignation (suite)

| Opérateur | Syntaxe      | Signification                               |
|-----------|--------------|---------------------------------------------|
| `++`{.C}  | `++a`{.C}    | Incrémente la valeur de `a` de 1 et         |
|           |              | retourne le résultat (`a += 1`).            |
| `--`{.C}  | `--a`{.C}    | Décrémente la valeur de `a` de 1 et         |
|           |              | retourne le résultat (`a -= 1`).            |
| `++`{.C}  | `a++`{.C}    | Retourne `a`{.C} et incrémente `a` de 1.    |
| `--`{.C}  | `a--`{.C}    | Retourne `a`{.C} et décrémente `a` de 1.    |


# Structures de contrôle: `if`{.C} .. `else if`{.C} .. `else`{.C} (1/2)

## Syntaxe

```C
if (expression) {
    instructions;
} else if (expression) { // optionnel
                         // il peut y en avoir plusieurs
    instructions;
} else {
    instructions; // optionnel
}
```

```C
if (x) { // si x s'évalue à `vrai`
    printf("x s'évalue à vrai.\n");
} else if (y == 8) { // si y vaut 8
    printf("y vaut 8.\n");
} else {
    printf("Ni l'un ni l'autre.\n");
}
```

# Structures de contrôle: `if`{.C} .. `else if`{.C} .. `else`{.C} (2/2)

## Pièges

```C
int x, y;
x = y = 3;
if (x = 2)
    printf("x = 2 est vrai.\n");
else if (y < 8)
    printf("y < 8.\n");
else if (y == 3)
    printf("y vaut 3 mais cela ne sera jamais affiché.\n");
else
    printf("Ni l'un ni l'autre.\n");
    x = -1; // toujours évalué
```

# Quiz: `if ... else`{.C}

## [Quiz: `if ... else`{.C}](https://cyberlearn.hes-so.ch/mod/evoting/view.php?id=1033916)


# Structures de contrôle: `while`{.C}

## La boucle `while`{.C}

```C
while (condition) {
    instructions;
}
do {
    instructions;
} while (condition);
```

## La boucle `while`{.C}, un exemple

```C
int sum = 0; // syntaxe C99
while (sum < 10) {
    sum += 1;
}
do {
    sum += 10;
} while (sum < 100)
```

# Structures de contrôle: `for`{.C}

## La boucle `for`{.C}

```C
for (expression1; expression2; expression3) {
    instructions;
}
```

## La boucle `for`{.C}

```C
int sum = 0; // syntaxe C99
for (int i = 0; i < 10; i++) {
    sum += i;
}

for (int i = 0; i != 1; i = rand() % 4) { // ésotérique
    printf("C'est plus ésotérique.\n");
}
```
Original line number Diff line number Diff line
@@ -461,11 +461,12 @@ node *matrix_to_qt(int nb_li, int nb_co, int matrix[nb_li][nb_co], int depth)

```C
matrice arbre_à_matrice(arbre)
    matrice = creer_matrice(nb_lignes(arbre), nb_colonnes(arbre))
    pour li de 0 à nb_lignes(matrice)
        pour co de 0 à nb_colonnes(matrice)
            noeud = position(li, co, arbre)
            matrice[co][li] = noeud.info
    retourne arbre
    retourne matrice
```

. . .
Original line number Diff line number Diff line
@@ -198,7 +198,7 @@ void rotate(node *qt) {
}
```

# Compression sans perte (1/N)
# Compression sans perte (1/5)

## Idée générale

@@ -216,7 +216,7 @@ void rotate(node *qt) {

* Comment faire?

# Compression sans perte (2/N)
# Compression sans perte (2/5)

## Que devient l'arbre suivant?

@@ -228,7 +228,7 @@ void rotate(node *qt) {

![](figs/quad_img_simple_comp.svg)

# Compression sans perte (3/N)
# Compression sans perte (3/5)

* Si un nœud a tous ses enfants égaux:
    * Donner la valeur au nœud,
@@ -251,7 +251,7 @@ rien compression_sans_pertes(arbre)
                detruire_enfants(arbre)
```

# Compression sans perte (4/N)
# Compression sans perte (4/5)

\footnotesize

@@ -279,7 +279,7 @@ void lossless_compression(node *qt) {
}
```

# Compression sans perte (5/N)
# Compression sans perte (5/5)

\footnotesize

@@ -305,7 +305,7 @@ bool last_value(node *qt, int *val) {
```


# Compression avec perte (1/N)
# Compression avec perte (1/5)

## Idée générale

@@ -323,7 +323,7 @@ bool last_value(node *qt, int *val) {

* On enlève si l'écart à la moyenne est "petit"?

# Compression avec perte (2/N)
# Compression avec perte (2/5)

## Que devient l'arbre suivant si l'écart est petit?

@@ -335,7 +335,7 @@ bool last_value(node *qt, int *val) {

![](figs/quad_img_simple_comp_loss.svg)

# Compression avec perte (3/N)
# Compression avec perte (3/5)

## Comment mesurer l'écart à la moyenne?

@@ -362,7 +362,7 @@ bool last_value(node *qt, int *val) {

* Plus $\theta$ est grand, plus l'image sera compressée.

# Compression avec perte (4/N)
# Compression avec perte (4/5)

## Que devient l'arbre avec $\theta=0.5$?

@@ -372,7 +372,7 @@ bool last_value(node *qt, int *val) {

![Arbre compressé.](figs/quad_img_simple_comp_avg.svg)

# Compression avec perte (6/N)
# Compression avec perte (5/5)

## Modifications sur la structure de données?

@@ -429,7 +429,7 @@ rien compression_avec_pertes(arbre, theta)
```C
arbre = matrice_à_arbre(matrice)
moyenne(arbre)
compression_sans_pertes(arbre)
compression_avec_pertes(arbre)
```

# La dynamique des corps célestes
Original line number Diff line number Diff line
@@ -619,7 +619,7 @@ rien maj_force_sur_etoile(arbre, e, theta)

## Exemples d'insertion: `5`

![B-arbre d'ordre 2.](figs/barbres_5.svg)
![B-arbre d'ordre 1.](figs/barbres_5.svg)
 
. . .

@@ -641,7 +641,7 @@ rien maj_force_sur_etoile(arbre, e, theta)

## Exemples d'insertion: `6`

![B-arbre d'ordre 2.](figs/barbres_6.svg)
![B-arbre d'ordre 1.](figs/barbres_6.svg)
 
. . .

@@ -660,7 +660,7 @@ rien maj_force_sur_etoile(arbre, e, theta)

## Exemples d'insertion: `7`

![B-arbre d'ordre 2.](figs/barbres_7.svg){width=50%}
![B-arbre d'ordre 1.](figs/barbres_7.svg){width=50%}
 
. . .

+351 −0
Original line number Diff line number Diff line
---
title: "B-arbres"
date: "2023-05-19"
---

# Rappel: Les B-arbres

## Pourquoi utiliser un B-arbre?

. . .

## À quoi ressemble un B-arbre?

. . .

## Qu'est-ce qu'un B-arbre d'ordre $n$

* Chaque page d'un arbre contient au plus $2\cdot n$ *clés*;
* Chaque page (excepté la racine) contient au moins $n$ clés;
* Chaque page qui contient $m$ clés contient soit:
    * $0$ descendants;
    * $m+1$ descendants.
* Toutes les pages terminales apparaissent au même niveau.


# Rappel: Les B-arbres

## Quelques propriétés

* Dans chaque nœud les clés sont **triées**.
* Chaque page contient au plus $n$ nœuds;
* Chaque nœud avec $m$ clés a $m+1$ descendants;
* Toutes les feuilles apparaissent au même niveau.

# Les B-arbres

\footnotesize

## Structure de données

* Chaque page a une contrainte de remplissage, par rapport à l'ordre de l'arbre;
* Un nœud (page) est composé d'un tableau de clés/pointeurs vers les enfants;

```
P_0 | K_1 | P_1 | K_2 | .. | P_i | K_{i+1} | .. | P_{m-1} | K_m | P_m
```

* `P_0`, ..., `P_m` pointeurs vers enfants;
* `K_1`, ..., `K_m` les clés.
* Il y a `m+1` pointeurs mais `m` clés.
* Comment faire pour gérer l'insertion?

# Les B-arbres

## Faire un dessin de la structure de données (3min matrix)?

. . .

![Structure d'une page de B-arbre d'ordre 2.](figs/barbres_struct.png)

1. On veut un tableau de `P_i, K_i => struct`;
2. `K_0` va être en "trop";
3. Pour simplifier l'insertion dans une page, on ajoute un élément de plus.

# Les B-arbres

## L'insertion cas nœud pas plein, insertion `4`?

![](figs/barbres_insert_easy.svg){width=50%}

. . .

## Solution

![](figs/barbres_insert_easy_after.svg){width=50%}

# Les B-arbres

## L'insertion cas nœud pas plein, insertion `N`

* On décale les éléments plus grand que `N`;
* On insère `N` dans la place "vide";
* Si la page n'est pas pleine, on a terminé.

# Les B-arbres

## L'insertion cas nœud plein, insertion `2`?

![](figs/barbres_insert_hard_before.svg){width=50%}

. . .

## Solution

![](figs/barbres_insert_hard_during.svg){width=50%}

# Les B-arbres

## L'insertion cas nœud plein, promotion `3`?

![](figs/barbres_insert_hard_during.svg){width=50%}

. . .

## Solution

![](figs/barbres_insert_hard_after.svg)

# Les B-arbres

## L'insertion cas nœud plein, insertion `N`

* On décale les éléments plus grand que `N`;
* On insère `N` dans la place "vide";
* Si la page est pleine:
    * On trouve la valeur médiane `M` de la page (quel indice?);
    * On crée une nouvelle page de droite;
    * On copie les valeur à droite de `M` dans la nouvelle page;
    * On promeut `M` dans la page du dessus;
    * On connecte le pointeur de gauche de `M` et de droite de `M` avec l'ancienne et la nouvelle page respectivement.

# Les B-arbres

## Pseudo-code structure de données (3min, matrix)?

. . .

```C
struct page
    entier ordre, nb
    element tab[2*ordre + 2]
```

```C
struct element
    entier clé
    page pg
```

# Les B-arbres

\footnotesize

## Les fonctions utilitaires (5min matrix)

```C
booléen est_feuille(page)     // la page est elle une feuille?
entier position(page, valeur) // à quelle indice on insère?
booléen est_dans_page(page, valeur) // la valeur est dans la page
```

. . .

```C
booléen est_feuille(page) 
    retourne (page.tab[0].pg == vide)

entier position(page, valeur)
    i = 0
    tant que i < page.nb && valeur >= page.tab[i+1].clef
        i += 1
    retourne i

booléen est_dans_page(page, valeur)
    i = position(page, valeur)
    retourne (page.nb > 0 && page.tab[i].val == valeur)
```

# Les B-arbres

\footnotesize

## Les fonctions utilitaires (5min matrix)

```C
page nouvelle_page(ordre)  // créer une page
rien liberer_memoire(page) // libérer tout un arbre!
```
. . .

```C
page nouvelle_page(ordre)
    page = allouer(page)
    page.ordre = ordre
    page.nb = 0
    page.tab = allouer(2*ordre+2)
    retourner page

rien liberer_memoire(page)
    si est_feuille(page)
        liberer(page.tab)
        liberer(page)
    sinon
        pour fille dans page.tab
            liberer_memoire(fille)
        liberer(page.tab)
        liberer(page)
```

# Les B-arbres

## Les fonctions (5min matrix)

```C
page recherche(page, valeur) // retourner la page contenant
                             // la valeur ou vide 
```

. . .

```C
page recherche(page, valeur)
    si est_dans_page(page, valeur)
        retourne page
    sinon si est_feuille(page) 
        retourne vide
    sinon
        recherche(page.tab[position(page, valeur) - 1], valeur)
```

# Les B-arbres

## Les fonctions

```C
page inserer_valeur(page, valeur) // insérer une valeur
```

. . .

```C
page inserer_valeur(page, valeur)
    element = nouvel_element(valeur)
    // ici élément est modifié pour savoir 
    // s'il faut le remonter
    inserer_element(page, element) 
    si element.page != vide && page.nb > 2*page.ordre
        // si on atteint le sommet!
        page = ajouter_niveau(page, element) 
    retourne page
```

# Les B-arbres

## Les fonctions

```C
rien inserer_element(page, element) // insérer un element 
                                    // et voir s'il remonte
```

. . .

```C
rien inserer_element(page, element)
    si est_feuille(page)
        placer(page, element)
    sinon
        sous_page = page.tab[position(page, element.clé) - 1].page
        inserer_element(sous_page, element)
        // un element a été promu
        si element.page != vide
            placer(page, element)
```

# Les B-arbres

## Les fonctions (5min matrix)

```C
rien placer(page, element) // inserer un élément
```

. . .

```C
rien placer(page, element)
    pos = position(page, element.clé)
    pour i de 2*page.ordre à pos+1
        page.tab[i+1] = page.tab[i]
    page.tab[pos+1] = element
    page.nb += 1
    si page.nb > 2*page.ordre
        scinder(page, element)
```

# Les B-arbres

## Les fonctions (5min matrix)

```C
rien scinder(page, element) // casser une page et remonter
```

. . .

```C
rien scinder(page, element)
    nouvelle_page = nouvelle_page(page.ordre)
    nouvelle_page.nb = page.ordre
    pour i de 0 à ordre inclu
        nouvelle_page.tab[i] = page.tab[i+ordre+1]
    element.clé = page.tab[ordre+1].clé
    element.page = nouvelle_page
```

# Les B-arbres

## Les fonctions (5min matrix)

```C
page ajouter_niveau(page, element) // si on remonte à la 
                                   // racine, on doit créer
                                   // une nouvelle racine
```

. . .

```C
page ajouter_niveau(page, element) 
    tmp = nouvelle_page(page.ordre)
    tmp.tab[0].page = page
    tmp.tab[1].clé = element.clé
    tmp.tab[1].page = element.page
    retourne tmp
```





<!-- # Les B-arbres -->

<!-- ## Structure de données en C (3min, matrix) -->

<!-- . . . -->

<!-- ```C -->
<!-- typedef struct _page { -->
<!--     int order, nb; -->
<!--     struct _element *tab; -->
<!-- } page; -->
<!-- ``` -->

<!-- ```C -->
<!-- typedef struct element { -->
<!--     int key; -->
<!--     struct _page *pg; -->
<!-- } element; -->
<!-- ``` -->
+1013 −0
Original line number Diff line number Diff line
---
title: "B-arbres et Graphes"
date: "2023-05-24"
patat:
  eval:
    tai:
      command: fish
      fragment: false
      replace: true
    ccc:
      command: fish
      fragment: false
      replace: true
  images:
    backend: auto
---


# Les B-arbres: suppression

## Cas simplissime

![Suppression de 25.](figs/barbres_ordre2_supp1.svg){width=80%}

. . .

![25 supprimé, on décale juste 27.](figs/barbres_ordre2_supp2.svg){width=80%}

# Les B-arbres: suppression

\footnotesize

## Cas simple


![Suppression de 27.](figs/barbres_ordre2_supp2.svg){width=60%}

. . .

* On retire 27, mais....
    * Chaque page doit avoir au moins 2 éléments.
    * On doit déplacer des éléments dans une autre feuille! Mais comment?

. . .

![La médiane de la racine descend, fusion de 20 à gauche, et suppression à droite.](figs/barbres_ordre2_supp3.svg){width=60%}

# Les B-arbres: suppression

## Cas moins simple

![Suppression de 5.](figs/barbres_ordre2_supp4.svg){width=60%}

. . .

* Un élément à droite, comment on fait?
    * Remonter `7`, serait ok si racine, mais... c'est pas forcément.
    * On redistribue les feuilles.

. . .

![Descente de `3`, remontée médiane des feuilles `2`.](figs/barbres_ordre2_supp5.svg){width=60%}

# Les B-arbres: suppression

\footnotesize

## Cas ultra moins simple

![Suppression de 3.](figs/barbres_ordre2_supp6.svg){width=60%}

. . .

* `7` seul:
    * Fusionner les feuilles et redistribuer, comment?

. . .

![Descendre `-1`, déplacer `7` à gauche, et décaler les éléments de droite au milieu.](figs/barbres_ordre2_supp7.svg){width=60%}

# Les B-arbres: suppression

## Cas ultra moins simple

![On a pas fini...](figs/barbres_ordre2_supp7.svg){width=60%}

. . .

* `8` est seul, c'est plus un B-arbre :
    * Fusionner le niveau 2 et redistribuer, comment?

. . .

![Fusionner `8`, `17`, `22` et descendre `12`.](figs/barbres_ordre2_supp8.svg){width=40%}

. . .

* La profondeur a diminué de 1.

# Les B-arbres: suppression

## Algorithme pour les feuilles!

* Si la clé est supprimée d'une feuille:
    * Si on a toujours `n` (ordre de l'arbre) clés dans la feuille on décale simplement les clés.
    * Sinon on combine (récursivement) avec le nœud voisin et on descend la clé médiane.

# Les B-arbres: suppression

## Cas non-feuille!

![Suppression de 8.](figs/barbres_ordre2_supp9.svg){width=60%}

. . .

* On sait comment effacer une valeur d'une feuille, donc?

. . .

![Échanger le `8` avec le plus grand du sous-arbre de gauche.](figs/barbres_ordre2_supp10.svg){width=60%}

* Ensuite?

# Les B-arbres: suppression

## Cas non-feuille!

![Suppression de 8.](figs/barbres_ordre2_supp10.svg){width=60%}

. . .

* On sait comment effacer une valeur d'une feuille!

. . .

![Yaka enlever le 8 de la feuille comme avant!](figs/barbres_ordre2_supp11.svg){width=60%}

# Les B-arbres: suppression

## Algorithme pour les non-feuilles!

* Si la clé est supprimée d'une page qui n'est pas une feuille:
    * On échange la valeur avec la valeur de droite de la page de gauche
    * On supprime comme pour une feuille!

## Et maintenant des exercices par millions!

# Les graphes! Historique

**Un mini-peu d'histoire...**

## L. Euler et les 7 ponts de Koenigsberg:

* Existe-t-il une promenade sympa, passant **une seule fois** par les 7 ponts et revenant au point de départ?

![Les ponts c'est beau. Source: Wikipédia, <https://bit.ly/37h0yOG>](figs/Konigsberg_bridges.png){width=50%}

. . .

* Réponse: ben non!

# Utilisation quotidienne

## Réseau social

![Source, Wikipedia: <https://bit.ly/3kG6cgo>](figs/Social_Network.svg){width=40%}

* Chaque sommet est un individu.
* Chaque trait une relation d'amitié.
* Miam, Miam, Facebook.

# Utilisation quotidienne

## Moteurs de recherche

![Source, Wikipedia: <https://bit.ly/3kG6cgo>](figs/PageRanks-Example.svg){width=40%}

* Sommet est un site.
* Liens sortants;
* Liens entrants;
* Notion d'importance d'un site: combien de liens entrants, pondérés par l'importance du site.
* Miam, Miam, Google (PageRank).

# Introduction

## Définition, plus ou moins

* Un graphe est un ensemble de sommets, reliés par des lignes ou des flèches.

![Deux exemples de graphes.](figs/ex_graphes.png)

* Des sommets (numérotés 1 à 6);
* Connectés ou pas par des traits ou des flèches!

# Généralités

## Définitions

* Un **graphe** $G(V, E)$ est constitué
    * $V$: un ensemble de sommets;
    * $E$: un ensemble d'arêtes.
* Une **arête** relie une **paire** de sommets de $V$.

## Remarques

* Il y a **au plus** une arête $E$ par paire de sommets de $V$.
* La **complexité** d'un algorithme dans un graphe se mesure en terme de $|E|$ et $|V|$, le nombre d'éléments de $E$ et $V$ respectivement.

# Généralités

## Notations

* Une arête d'un graphe **non-orienté** est représentée par une paire **non-ordonnée** $(u,v)=(v,u)$, avec $u,v\in V$.
* Les arêtes ne sont pas orientées dans un graphe non-orienté (elles sont bi-directionnelles, peuvent être parcourues dans n'importe quel ordre).

## Exemple


::: columns

:::: column

![Un graphe non-orienté.](figs/ex_graphe_non_oriente.svg)


::::

:::: column

## Que valent $V$, $|V|$, $E$, et $|E|$?

. . .

\begin{align*}
V&=\{1, 2, 3, 4\},\\
|V|&=4,\\
E&=\{(1,2),(2,3),(2,4),(4,1)\},\\
|E|&=4.
\end{align*}

::::

:::

# Généralités

## Notations

* Une arête d'un graphe **orienté** est représentée par une paire **ordonnée** $(u,v)\neq(v,u)$, avec $u,v\in V$.
* Les arêtes sont orientées dans un graphe orienté (étonnant non?).

## Exemple


::: columns

:::: column

![Un graphe orienté.](figs/ex_graphe_oriente.svg)


::::

:::: column

## Que valent $V$, $|V|$, $E$, et $|E|$?

. . .

\begin{align*}
V&=\{1, 2, 3, 4\},\\
|V|&=4,\\
E&=\{(1,2),(2,3),(2,4),(4,1),(4,2)\},\\
|E|&=5.
\end{align*}

::::

:::

# Généralités

## Définition

* Le somme $v$ est **adjacent** au sommet $u$, si et seulement si $(u,v)\in E$;
* Si un graphe non-orienté contient une arête $(u,v)$, $v$ est adjacent à $u$ et $u$ et adjacent à $v$.

## Exemple

::: columns

:::: column

![Sommet $a$  adjacent à $c$, $c$ adjacent à $a$.](figs/ex_adj_non_or.svg){width=80%}

::::

:::: column

![Sommet $a$  adjacent à $c$.](figs/ex_adj_or.svg){width=80%}

::::

:::

# Généralités

## Définition

* Un **graphe pondéré** ou **valué** est un graphe dont chaque arête a un
  poids associé, habituellement donné par une fonction de pondération $w:E\rightarrow\mathbb{R}$.

## Exemples

![Graphe pondéré orienté (gauche) et non-orienté (droite).](figs/ex_graph_pond.pdf){width=80%}


# Généralités

## Définition

* Dans un graphe $G(V,E)$, une **chaîne** reliant un sommet $u$ à un sommet $v$ est une suite d'arêtes entre les sommets, $w_0$, $w_1$, ..., $w_k$, telles que 
$$
(w_i, w_{i+1})\in E,\quad u=w_0,\quad v=w_k,\quad \mbox{pour }0\leq i< k,
$$
avec $k$ la longueur de la chaîne (le nombre d'arêtes du chemin).

## Exemples

![Illustration d'une chaîne, ou pas chaîne dans un graphe.](figs/ex_graphe_chaine.pdf){width=80%}

# Généralités

## Définition

* Une **chaîne élémentaire** est une chaîne dont tous les sommets sont distincts, sauf les extrémités qui peuvent être égales

## Exemples

![Illustration d'une chaîne élémentaire.](figs/ex_graphe_chaine_elem.pdf){width=80%}

# Généralités

## Définition

* Une **boucle** est une arête $(v,v)$ d'un sommet vers lui-même.

## Exemples

![Illustration d'une boucle.](figs/ex_graphe_boucle.pdf){width=40%}

# Généralités

## Définition

* Un graphe non-orienté est dit **connexe**, s'il existe un chemin reliant n'importe quelle paire de sommets distincts.

## Exemples

\

::: columns

:::: column

![Graphe connexe. Source, Wikipédia: <https://bit.ly/3yiUzUv>](figs/graphe_connexe.svg){width=80%}

::::

:::: column
![Graphe non-connexe avec composantes connexes. Source, Wikipédia: <https://bit.ly/3KJB76d>](figs/composantes_connexes.svg){width=60%}

::::

:::

# Généralités

## Définition

* Un graphe orienté est dit **fortement connexe**, s'il existe un chemin reliant n'importe quelle paire de sommets distincts.

## Exemples

\

::: columns

:::: column

![Graphe fortement connexe.](figs/ex_graph_fort_connexe.pdf){width=60%}

::::

:::: column

![Composantes fortement connexes. Source, Wikipédia: <https://bit.ly/3w5PL2l>](figs/composantes_fortement_connexes.svg){width=100%}

::::

:::

# Généralités

## Définition

* Un **cycle** dans un graphe *non-orienté* est une chaîne de longueur $\geq 3$ telle que le 1er sommet de la chaîne est le même que le dernier, et dont les arêtes sont distinctes.
* Pour un graphe *orienté* on parle de **circuit**.
* Un graphe sans cycles est dit **acyclique**.

## Exemples

![Illustration de cycles, ou pas.](figs/ex_graphe_cycle.pdf){width=100%}

# Question de la mort

* Qu'est-ce qu'un graphe connexe acyclique?

. . .

* Un arbre!

# Représentations

* La complexité des algorithmes sur les graphes s'expriment en fonction du nombre de sommets $V$, et du nombre d'arêtes $E$:
    * Si $|E|\sim |V|^2$, on dit que le graphe est **dense**.
    * Si $|E|\sim |V|$, on dit que le graphe est **peu dense**.
* Selon qu'on considère des graphes denses ou peu denses, différentes structure de données peuvent être envisagées.

## Question

* Comment peut-on représenter un graphe informatiquement? Des idées (réflexion de quelques minutes)?

. . .

* Matrice/liste d'adjacence.

# Matrice d'adjacence

* Soit le graphe $G(V,E)$, avec $V=\{1, 2, 3, ..., n\}$;
* On peut représenter un graphe par une **matrice d'adjacence**, $A$, de dimension $n\times n$ définie par
$$
A_{ij}=\left\{ \begin{array}{ll}
         1 & \mbox{si } i,j\in E,\\
         0 & \mbox{sinon}.
         \end{array} \right.
$$


::: columns

:::: column

## Exemple

```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph LR;
    1---2;
    1---4;
    2---5;
    4---5;
    5---3;
```

::::

:::: column

\footnotesize

## Quelle matrice d'adjacence? 

. . .

```
   || 1 | 2 | 3 | 4 | 5
===||===|===|===|===|===
 1 || 0 | 1 | 0 | 1 | 0
---||---|---|---|---|---
 2 || 1 | 0 | 0 | 0 | 1
---||---|---|---|---|---
 3 || 0 | 0 | 0 | 0 | 1
---||---|---|---|---|---
 4 || 1 | 0 | 0 | 0 | 1
---||---|---|---|---|---
 5 || 0 | 1 | 1 | 1 | 0
```

::::

:::

# Matrice d'adjacence

## Remarques

* Zéro sur la diagonale.
* La matrice d'un graphe non-orienté est symétrique

$$
A_{ij}=A_{ji}, \forall i,j\in[1,n]
$$.

::: columns

:::: column

```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph LR;
    1---2;
    1---4;
    2---5;
    4---5;
    5---3;
```

::::

:::: column

\footnotesize

```
   || 1 | 2 | 3 | 4 | 5
===||===|===|===|===|===
 1 || 0 | 1 | 0 | 1 | 0
---||---|---|---|---|---
 2 || 1 | 0 | 0 | 0 | 1
---||---|---|---|---|---
 3 || 0 | 0 | 0 | 0 | 1
---||---|---|---|---|---
 4 || 1 | 0 | 0 | 0 | 1
---||---|---|---|---|---
 5 || 0 | 1 | 1 | 1 | 0
```

::::

:::

# Matrice d'adjacence

* Pour un graphe orienté (digraphe)

::: columns

:::: column

## Exemple

```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph LR;
    2-->1;
    1-->4;
    2-->5;
    5-->2;
    4-->5;
    5-->3;
```

::::

:::: column

\footnotesize

## Quelle matrice d'adjacence? 

. . .

```
   || 1 | 2 | 3 | 4 | 5
===||===|===|===|===|===
 1 || 0 | 0 | 0 | 1 | 0
---||---|---|---|---|---
 2 || 1 | 0 | 0 | 0 | 1
---||---|---|---|---|---
 3 || 0 | 0 | 0 | 0 | 0
---||---|---|---|---|---
 4 || 0 | 0 | 0 | 0 | 1
---||---|---|---|---|---
 5 || 0 | 1 | 1 | 0 | 0
```

::::

:::

* La matrice d'adjacence n'est plus forcément symétrique
$$
A_{ij}\neq A_{ji}.
$$

# Stockage

* Quel est l'espace nécessaire pour stocker une matrice d'adjacence pour un graphe orienté?

. . .

* $\mathcal{O}(|V|^2)$.
* Quel est l'espace nécessaire pour stocker une matrice d'adjacence pour un graphe non-orienté?

. . .

* $\mathcal{O}(|V|-1)|V|/2$.

# Considérations d'efficacité

* Dans quel type de graphes la matrice d'adjacence est utile?

. . .

* Dans les graphes denses.
* Pourquoi?

. . .

* Dans les graphes peu denses, la matrice d'adjacence est essentiellement composée de `0`.

## Remarque

* Dans la majorité des cas, les grands graphes sont peu denses.
* Comment représenter un graphe autrement?

# La liste d'adjacence (non-orienté)

* Pour chaque sommet $v\in V$, stocker les sommets adjacents à $v$-
* Quelle structure de données pour la liste d'adjacence?

. . .

* Tableau de liste chaînée, vecteur (tableau dynamique), etc.


::: columns

:::: column

## Exemple

![Un graphe non-orienté.](figs/ex_graph_adj.pdf){width=80%}

::::

:::: column


## Quelle liste d'adjacence? 

. . .

![La liste d'adjacence.](figs/ex_graph_list_adj.pdf)


::::

:::

# La liste d'adjacence (orienté)


::: columns

:::: column

## Quelle liste d'adjacence pour...

* Matrix (2min)

```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph LR;
    0-->1;
    0-->2;
    1-->2;
    3-->0;
    3-->1;
    3-->2;
```

::::

:::: column

```











```


::::

:::

# Complexité

## Stockage

* Quelle espace est nécessaire pour stocker une liste d'adjacence (en fonction de $|E|$ et $|V|$)?

. . .

$$
\mathcal{O}(|E|)
$$

* Pour les graphes *non-orientés*: $\mathcal{O}(2|E|)$.
* Pour les graphes *orientés*: $\mathcal{O}(|E|)$.

## Définition

* Le **degré** d'un sommet $v$, est le nombre d'arêtes incidentes du sommet (pour les graphes orientés on a un degré entrant ou sortant).
* Comment on retrouve le degré de chaque sommet avec la liste d'adjacence?

. . .

* C'est la longueur de la liste chaînée.


# Parcours

* Beaucoup d'applications nécessitent de parcourir des graphes:
    * Trouver un chemin d'un sommet à un autre;
    * Trouver si le graphe est connexe;
* Il existe *deux* parcours principaux:
    * en largeur (Breadth-First Search);
    * en profondeur (Depth-First Search).
* Ces parcours créent *un arbre* au fil de l'exploration (si le graphe est non-connexe cela crée une *forêt*, un ensemble d'arbres).

# Illustration: parcours en largeur

![Le parcours en largeur.](figs/parcours_larg.pdf){width=80%}

# Exemple

## Étape par étape (blanc non-visité)

![Initialisation.](figs/parcours_larg_0.pdf){width=50%}

## Étape par étape (gris visité)

![On commence en `x`.](figs/parcours_larg_1.pdf){width=50%}

# Exemple

## Étape par étape

![On commence en `x`.](figs/parcours_larg_1.pdf){width=50%}

## Étape par étape (vert à visiter)

![Vister `w`, `t`, `y`.](figs/parcours_larg_2.pdf){width=50%}

# Exemple

## Étape par étape

![Vister `w`, `t`, `y`.](figs/parcours_larg_2.pdf){width=50%}

## Étape par étape

![`w`, `t`, `y` visités. `u`, `s` à visiter.](figs/parcours_larg_3.pdf){width=50%}

# Exemple

## Étape par étape

![`w`, `t`, `y` visités. `u`, `s` à visiter.](figs/parcours_larg_3.pdf){width=50%}

## Étape par étape

![`u`, `s`, visités. `r` à visiter.](figs/parcours_larg_4.pdf){width=50%}

# Exemple

## Étape par étape

![`u`, `s`, visités. `r` à visiter.](figs/parcours_larg_4.pdf){width=50%}

## Étape par étape

![`r` visité. `v` à visiter.](figs/parcours_larg_5.pdf){width=50%}

# Exemple

## Étape par étape

![`r` visité. `v` à visiter.](figs/parcours_larg_5.pdf){width=50%}

## Étape par étape

![The end. Plus rien à visiter!](figs/parcours_larg_6.pdf){width=50%}

# En faisant ce parcours...


::: columns

:::: column

## Du parcours de l'arbre

![](figs/parcours_larg_6.pdf){width=100%}

::::

:::: column

## Quel arbre est créé par le parcours (2min)?

. . .

```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph LR;
    0[x]-->1[w];
    0-->2[t];
    0-->3[y];
    2-->9[u];
    1-->4[s];
    4-->5[r];
    5-->6[v];
```

::::

:::

## Remarques

* Le parcours dépend du point de départ dans le graphe.
* L'arbre sera différent en fonction du noeud de départ, et de l'ordre de parcours des voisins d'un noeud.

# Le parcours en largeur

## L'algorithme, idée générale (3min, matrix)?

. . .

```C
v = un sommet du graphe
i = 1
pour sommet dans graphe et sommet non-visité
    visiter(v, sommet, i) // marquer sommet à distance i visité 
    i += 1
```

## Remarque

* `i` est la distance de plus cours chemin entre `v` et les sommets en cours de visite.


# Le parcours en largeur

## L'algorithme, pseudo-code (3min, matrix)?

* Comment garder la trace de la distance?

. . .

* Utilisation d'une **file**

. . .

```C
initialiser(graphe) // tous sommets sont non-visités
file = visiter(sommet, vide) // sommet est un sommet du graphe au hasard
tant que !est_vide(file)
    v = défiler(file)
    file = visiter(v, file)
```

## Que fait visiter?

```
file visiter(sommet, file)
    sommet = visité
    pour w = chaque arête de sommet
        si w != visité
            file = enfiler(file, w)
    retourne file
```

# Exercice (5min)

## Appliquer l'algorithme sur le graphe

![](figs/parcours_larg_0.pdf){width=50%}

* En partant de `v`, `s`, ou `u` (par colonne de classe).
* Bien mettre à chaque étape l'état de la file.

# Complexité du parcours en largeur

## Étape 1

* Extraire un sommet de la file;

## Étape 2

* Traîter tous les sommets adjacents.

## Quelle est la complexité?

. . .

* Étape 1: $\mathcal{O}(|V|)$,
* Étape 2: $\mathcal{O}(2|E|)$,
* Total: $\mathcal{O}(|V| + |2|E|)$.

# Exercice

* Établir la liste d'adjacence et appliquer l'algorithme de parcours en largeur au graphe

```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph LR;
    1---2;
    1---3;
    1---4;
    2---3;
    2---6;
    3---6;
    3---4;
    3---5;
    4---5;
```


# Illustration: parcours en profondeur

![Le parcours en profondeur. À quel parcours d'arbre cela ressemble-t-il?](figs/parcours_prof.pdf){width=80%}

# Parcours en profondeur

## Idée générale

* Initialiser les sommets comme non-lus
* Visiter un sommet
* Pour chaque sommet visité, on visite un sommet adjacent s'il est pas encore visité récursivement.

## Remarque

* La récursivité est équivalent à l'utilisation d'une **pile**.

# Parcours en profondeur

## Pseudo-code (5min)

. . .

```C
initialiser(graphe) // tous sommets sont non-visités
pile = visiter(sommet, vide) // sommet est un sommet du graphe au hasard
tant que !est_vide(pile)
    v = dépiler(pile)
    pile = visiter(v, pile)
```

## Que fait visiter?

. . .

```C
pile visiter(sommet, pile)
    sommet = visité
    pour w = chaque arête de sommet
        si w != visité
            pile = empiler(pile, w)
    retourne pile
```


# Exercice

* Établir la liste d'adjacence et appliquer l'algorithme de parcours en profondeur au graphe

```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph LR;
    1---2;
    1---3;
    1---4;
    2---3;
    2---6;
    3---6;
    3---4;
    3---5;
    4---5;
```

# Interprétation des parcours

* Un graphe vu comme espace d'états (sommet: état, arête: action);
    * Labyrinthe;
    * Arbre des coups d'un jeu.

. . .

* BFS (Breadth-First) ou DFS (Depth-First) parcourent l'espace des états à la recherche du meilleur mouvement.
    * Les deux parcourent *tout* l'espace;
    * Mais si l'arbre est grand, l'espace est gigantesque!

. . .

* Quand on a un temps limité
    * BFS explore beaucoup de coups dans un futur proche;
    * DFS explore peu de coups dans un futur lointain.
+709 −0
Original line number Diff line number Diff line
---
title: "Graphes - Plus court chemin"
date: "2023-06-02"
---

# Rappel du dernier cours

* Qu'est-ce qu'un graphe? Un graphe orienté? Un graphe pondéré?

. . .

* Ensemble de sommets et arêtes, avec une direction, possédant une pondération.
* Comment représenter un graphe informatiquement?

. . .

* Liste ou matrice d'adjacence.
* Quel est le parcours que nous avons vu?

. . .

* Le parcours en largeur.

# Le parcours en largeur

## Le pseudo-code

* Utilisation d'une **file**

```C
initialiser(graphe) // tous sommets sont non-visités
file = visiter(sommet, vide) // sommet est un sommet 
                             // du graphe
tant que !est_vide(file)
    v = defiler(file)
    file = visiter(v, file)

file visiter(sommet, file)
    sommet = visité
    pour w = chaque arête de sommet
        si w != visité
            file = enfiler(file, w)
    retourne file
```

# Complexité du parcours en largeur

## Étape 1

* Extraire un sommet de la file;

## Étape 2

* Traîter tous les sommets adjacents.

## Quelle est la complexité?

. . .

* Étape 1: $\mathcal{O}(|V|)$,
* Étape 2: $\mathcal{O}(2|E|)$,
* Total: $\mathcal{O}(|V| + 2|E|)$.

# Exercice

* Établir la liste d'adjacence et appliquer l'algorithme de parcours en largeur au graphe

```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph LR;
    1---2;
    1---3;
    1---4;
    2---3;
    2---6;
    3---6;
    3---4;
    3---5;
    4---5;
```


# Illustration: parcours en profondeur

![Le parcours en profondeur. À quel parcours d'arbre cela ressemble-t-il?](figs/parcours_prof.pdf){width=80%}

# Parcours en profondeur

## Idée générale

* Initialiser les sommets comme non-lus
* Visiter un sommet
* Pour chaque sommet visité, on visite un sommet adjacent s'il est pas encore visité récursivement.

## Remarque

* La récursivité est équivalent à l'utilisation d'une **pile**.

# Parcours en profondeur

## Pseudo-code (5min)

. . .

```C
initialiser(graphe) // tous sommets sont non-visités
pile = visiter(sommet, vide) // sommet est un 
                             // sommet du graphe
tant que !est_vide(pile)
    v = dépiler(pile)
    pile = visiter(v, pile)
```

## Que fait visiter?

. . .

```C
pile visiter(sommet, pile)
    sommet = visité
    pour w = chaque arête de sommet
        si w != visité
            pile = empiler(pile, w)
    retourne pile
```


# Exercice

* Établir la liste d'adjacence et appliquer l'algorithme de parcours en profondeur au graphe

```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph LR;
    1---2;
    1---3;
    1---4;
    2---3;
    2---6;
    3---6;
    3---4;
    3---5;
    4---5;
```

# Interprétation des parcours

* Un graphe vu comme espace d'états (sommet: état, arête: action);
    * Labyrinthe;
    * Arbre des coups d'un jeu.

. . .

* BFS (Breadth-First) ou DFS (Depth-First) parcourent l'espace des états à la recherche du meilleur mouvement.
    * Les deux parcourent *tout* l'espace;
    * Mais si l'arbre est grand, l'espace est gigantesque!

. . .

* Quand on a un temps limité
    * BFS explore beaucoup de coups dans un futur proche;
    * DFS explore peu de coups dans un futur lointain.


## Contexte: les réseaux (informatique, transport, etc.)

* Graphe orienté;
* Source: sommet `s`;
* Destination: sommet `t`;
* Les arêtes ont des poids (coût d'utilisation, distance, etc.);
* Le coût d'un chemin est la somme des poids des arêtes d'un chemin.

## Problème à résoudre

* Quel est le plus court chemin entre `s` et `t`.

# Exemples d'application de plus court chemin

## Devenir riches!

* On part d'un tableau de taux de change entre devises.
* Quelle est la meilleure façon de convertir l'or en dollar?

![Taux de change.](figs/taux_change.pdf){width=80%}

. . .

* 1kg d'or => 327.25 dollars
* 1kg d'or => 208.1 livres => 327 dollars
* 1kg d'or => 455.2 francs => 304.39 euros => 327.28 dollars

# Exemples d'application de plus court chemin

## Formulation sous forme d'un graphe: Comment (3min)?

![Taux de change.](figs/taux_change.pdf){width=80%}


# Exemples d'application de plus court chemin

## Formulation sous forme d'un graphe: Comment (3min)?

![Graphes des taux de change.](figs/taux_change_graphe.pdf){width=60%}

* Un sommet par devise;
* Une arête orientée par transaction possible avec le poids égal au taux de change;
* Trouver le chemin qui maximise le produit des poids.

. . .

## Problème

* On aimerait plutôt avoir une somme...


# Exemples d'application de plus court chemin

## Conversion du problème en plus court chemin

* Soit `taux(u, v)` le taux de change entre la devise `u` et `v`.
* On pose `w(u,w)=-log(taux(u,v))`
* Trouver le chemin poids minimal pour les poids `w`.

![Graphe des taux de change avec logs.](figs/taux_change_graphe_log.pdf){width=60%}

* Cette conversion se base sur l'idée que

$$
\log(u\cdot v)=\log(u)+\log(v).
$$

# Applications de plus courts chemins

## Quelles applications voyez-vous?

. . .

* Déplacement d'un robot;
* Planificaiton de trajet / trafic urbain;
* Routage de télécommunications;
* Réseau électrique optimal;
* ...

# Plus courts chemins à source unique

* Soit un graphe, $G=(V, E)$, une fonction de pondération $w:E\rightarrow\mathbb{R}$, et un sommet $s\in V$
  * Trouver pour tout sommet $v\in V$, le chemin de poids minimal reliant $s$ à $v$.
* Algorithmes standards:
  * Dijkstra (arêtes de poids positif seulement);
  * Bellman-Ford (arêtes de poids positifs ou négatifs, mais sans cycles).
* Comment résoudre le problèmes si tous les poids sont les mêmes?

. . .

* Un parcours en largeur!

# Algorithme de Dijkstra

## Comment chercher pour un plus court chemin?

. . .

```
si distance(u,v) > distance(u,w) + distance(w,v)
    on passe par w plutôt qu'aller directement
```

# Algorithme de Dijkstra (1 à 5)

* $D$ est le tableau des distances au sommet $1$: $D[7]$ est la distance de 1 à 7.
* Le chemin est pas forcément direct.
* $S$ est le tableau des sommets visités.

::: columns

:::: column

![Initialisation.](figs/dijkstra_0.png)

::::

:::: column

. . .

![1 visité, `D[2]=1`, `D[4]=3`.](figs/dijkstra_1.png)

::::

:::

# Algorithme de Dijkstra (1 à 5)

::: columns

:::: column

![Plus court est 2.](figs/dijkstra_1.png)


::::

:::: column

. . .

![2 visité, `D[3]=2`, `D[7]=3`.](figs/dijkstra_2.png)

::::

:::

# Algorithme de Dijkstra (1 à 5)

::: columns

:::: column

![Plus court est 3.](figs/dijkstra_2.png)


::::

:::: column

. . .

![3 visité, `D[7]=3` inchangé, `D[6]=6`.](figs/dijkstra_3.png)

::::

:::

# Algorithme de Dijkstra (1 à 5)


::: columns

:::: column

![Plus court est 4 ou 7.](figs/dijkstra_3.png)


::::

:::: column

. . .

![4 visité, `D[7]=3` inchangé, `D[5]=9`.](figs/dijkstra_4.png)

::::

:::

# Algorithme de Dijkstra (1 à 5)

::: columns

:::: column

![Plus court est `7`.](figs/dijkstra_4.png)


::::

:::: column

. . .

![7 visité, `D[5]=7`, `D[6]=6` inchangé.](figs/dijkstra_5.png)

::::

:::

# Algorithme de Dijkstra (1 à 5)

::: columns

:::: column

![Plus court est 6.](figs/dijkstra_5.png)


::::

:::: column

. . .

![`6` visité, `D[5]=7` inchangé.](figs/dijkstra_6.png)

::::

:::

# Algorithme de Dijkstra (1 à 5)

::: columns

:::: column

![Plus court est 5 et c'est la cible.](figs/dijkstra_6.png)

::::

:::: column

. . .

![The end, tous les sommets ont été visités.](figs/dijkstra_7.png)

::::

:::

# Algorithme de Dijkstra

## Idée générale

* On assigne à chaque noeud une distance $0$ pour $s$, $\infty$ pour les autres.
* Tous les noeuds sont marqués non-visités.
* Depuis du noeud courant, on suit chaque arête du noeud vers un sommet non visité et on calcule le poids du chemin à chaque voisin et on met à jour sa distance si elle est plus petite que la distance du noeud.
* Quand tous les voisins du noeud courant ont été visités, le noeud est mis à visité (il ne sera plus jamais visité).
* Continuer avec le noeud à la distance la plus faible.
* L'algorithme est terminé losrque le noeud de destination est marqué comme visité, ou qu'on a plus de noeuds qu'on peut visiter et que leur distance est infinie.

# Algorithme de Dijkstra

## Pseudo-code (5min, matrix)

\footnotesize

. . .

```C
tab dijkstra(graph, s, t)
    pour chaque v dans graphe
        distance[v] = infini
        q = ajouter(q, v)
    distance[s] = 0
    tant que non_vide(q)
    // sélection de u t.q. la distance dans q est min
        u = min(q, distance)
        si u == t // on a atteint la cible
            retourne distance
        q = remove(q, u)
        // voisin de u encore dans q
        pour chaque v dans voisinage(u, q)
        // on met à jour la distance du voisin en passant par u 
            n_distance = distance[u] + w(u, v)
            si n_distance < distance[v]
                distance[v] = n_distance
    retourne distance
```

# Algorithme de Dijkstra

* Cet algorithme, nous donne le plus court chemin mais...
* ne nous donne pas le chemin!

## Comment modifier l'algorithme pour avoir le chemin?

. . .

* Pour chaque nouveau noeud à visiter, il suffit d'enregistrer d'où on est venu!
* On a besoin d'un tableau `precedent`.

## Modifier le pseudo-code ci-dessus pour ce faire (3min matrix)

# Algorithme de Dijkstra

\footnotesize

```C
tab, tab dijkstra(graph, s, t)
    pour chaque v dans graphe
        distance[v] = infini
        precedent[v] = indéfini
        q = ajouter(q, v)
    distance[s] = 0
    tant que non_vide(q)
    // sélection de u t.q. la distance dans q est min
        u = min(q, distance) 
        si u == t
            retourne distance
        q = remove(q, u)
        // voisin de u encore dans q
        pour chaque v dans voisinage(u, q) 
            n_distance = distance[u] + w(u, v)
            si n_distance < distance[v]
                distance[v] = n_distance
                precedent[v] = u
    retourne distance, precedent
```

# Algorithme de Dijkstra

## Comment reconstruire un chemin ?

. . .

```C
pile parcours(precedent, s, t)
    sommets = vide
    u = t
    // on a atteint t ou on ne connait pas de chemin
    si u != s && precedent[u] != indéfini 
        tant que vrai 
            sommets = empiler(sommets, u)
            u = precedent[u]
            si u == s // la source est atteinte
                retourne sommets
    retourne sommets
```

# Algorithme de Dijkstra amélioré

## On peut améliorer l'algorithme

* Avec une file de priorité!

## Une file de priorité est

* Une file dont chaque élément possède une priorité,
* Elle existe en deux saveurs: `min` ou `max`:
    * File `min`: les éléments les plus petits sont retirés en premier.
    * File `max`: les éléments les plus grands sont retirés en premier.
* On regarde l'implémentation de la `max`.

## Comment on fait ça?

. . .

* On insère les éléments à haute priorité tout devant dans la file!

# Les files de priorité

## Trois fonction principales

```C
booléen est_vide(element) // triviale
element enfiler(element, data, priorite)
data defiler(element)
rien changer_priorite(element, data, priorite)
nombre priorite(element) // utilitaire
```

## Pseudo-implémentation: structure (1min)

. . .

```C
struct element
    data
    priorite
    element suivant
```

# Les files de priorité

## Pseudo-implémentation: enfiler (2min)

. . .

```C
element enfiler(element, data, priorite)
    n_element = creer_element(data, priorite)
    si est_vide(element)
        retourne n_element
    si priorite(n_element) > priorite(element)
        n_element.suivant = element
        retourne n_element
    sinon
        tmp = element
        prec = element
        tant que !est_vide(tmp) && priorite < priorite(tmp)
            prec = tmp
            tmp = tmp.suivant
        prev.suivant = n_element
        n_element.suivant = tmp
        retourne element           
```

# Les files de priorité

## Pseudo-implémentation: defiler (2min)

. . .

```C
data, element defiler(element)
    si est_vide(element)
        retourne AARGL!
    sinon
        tmp = element.data
        n_element = element.suivant
        liberer(element)
        retourne tmp, n_element
```

# Algorithme de Dijkstra avec file de priorité min

```C
distance, precedent dijkstra(graphe, s, t):
    distance[source] = 0
    fp = file_p_vide()
    pour v dans sommets(graphe)
        si v != s
            distance[v] = infini
            precedent[v] = indéfini
        fp = enfiler(fp, v, distance[v])
    tant que !est_vide(fp)
        u, fp = defiler(fp)
        pour v dans voisinage de u
            n_distance = distance[u] + w(u, v)
            si n_distance < distance[v]
                distance[v] = n_distance
                precedent[v] = u
                fp = changer_priorite(fp, v, n_distance)
    retourne distance, precedent
```

# Algorithme de Dijkstra avec file

\footnotesize

```C
distance dijkstra(graphe, s, t)
---------------------------------------------------------
    pour v dans sommets(graphe)
O(V)    si v != s
            distance[v] = infini
O(V)        fp = enfiler(fp, v, distance[v]) // notre impl est nulle
------------------O(V * V)-------------------------------
    tant que !est_vide(fp)
O(1)    u, fp = defiler(fp)
---------------------------------------------------------
O(E)    pour v dans voisinage de u
            n_distance = distance[u] + w(u, v)
            si n_distance < distance[v]
                distance[v] = n_distance
O(V)            fp = changer_priorite(fp, v, n_distance)
---------------------------------------------------------
    retourne distance
```

* Total: $\mathcal{O}(|V|^2+|E|\cdot |V|)$:
    * Graphe dense: $\mathcal{O}(|V|^3)$ 
    * Graphe peu dense: $\mathcal{O}(|V|^2)$ 

# Algorithme de Dijkstra avec file

## On peut faire mieux

* Avec une meilleure implémentation de la file de priorité:
    * Tas binaire: $\mathcal{O}(|V|\log|V|+|E|\log|V|)$.
    * Tas de Fibonnacci: $\mathcal{O}(|V|+|E|\log|V|)$
* Graphe dense: $\mathcal{O}(|V|^2\log|V|)$.
* Graphe peu dense: $\mathcal{O}(|V|\log|V|)$.

# Algorithme de Dijkstra (exercice, 5min) 

![L'exercice.](figs/dijkstra_exo.png){width=60%}

* Donner la liste de priorité, puis...

## A chaque étape donner:

* Le tableau des distances à `a`;
* Le tableau des prédécesseurs;
* L'état de la file de priorité.

# Algorithme de Dijkstra (corrigé) 

![Le corrigé partie 1.](figs/dijkstra_ex_0.png)

# Algorithme de Dijkstra (corrigé) 

![Le corrigé partie 2.](figs/dijkstra_ex_1.png)

# Algorithme de Dijkstra (corrigé) 

![Le corrigé partie 3.](figs/dijkstra_ex_2.png)

# Algorithme de Dijkstra (corrigé) 

![Le corrigé partie 4.](figs/dijkstra_ex_3.png)

# Algorithme de Dijkstra (corrigé) 

![Le corrigé partie 5.](figs/dijkstra_ex_4.png)

# Algorithme de Dijkstra (corrigé) 

![Le corrigé partie 6.](figs/dijkstra_ex_5.png)

# Limitation de l'algorithme de Dijkstra

## Que se passe-t-il pour?

![Exemple.](figs/exemple_neg.png){width=50%}

## Quel est le problème?

. . .

* L'algorithme n'essaiera jamais le chemin `s->x->y->v` et prendra direct `s->v`.
* Ce problème n'apparaît que s'il y a des poids négatifs.
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<path d="M214,-11C219,-24 233,-59 238,-72"/>
<path d="M232,-197C218,-195 185,-189 171,-187"/>
<path d="M235,-75C221,-72 185,-61 171,-58"/>
<path d="M240,-82C238,-96 235,-136 234,-150"/>
<path d="M243,-195C256,-189 287,-174 299,-168"/>
<path d="M245,-76C259,-74 298,-68 312,-66"/>
<path d="M48,-31C54,-43 70,-73 76,-85"/>
<path d="M73,-90C59,-89 25,-87 11,-86"/>
<path d="M84,-93C95,-101 124,-120 135,-128"/>
<path d="M9,-81C16,-70 34,-42 42,-31"/>
</g>

<g style="fill:blue;stroke:black;">
<circle cx="140" cy="-131" r="5.4"/>
<circle cx="166" cy="-186" r="5.4"/>
<circle cx="166" cy="-56" r="5.4"/>
<circle cx="171" cy="-326" r="5.4"/>
<circle cx="191" cy="-254" r="5.4"/>
<circle cx="205" cy="-163" r="5.4"/>
<circle cx="212" cy="-6" r="5.4"/>
<circle cx="234" cy="-156" r="5.4"/>
<circle cx="238" cy="-198" r="5.4"/>
<circle cx="240" cy="-77" r="5.4"/>
<circle cx="304" cy="-166" r="5.4"/>
<circle cx="318" cy="-65" r="5.4"/>
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<circle cx="6" cy="-86" r="5.4"/>
<circle cx="79" cy="-90" r="5.4"/>
</g>
</g>
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