From 51277075835f995c3a4c333bfe189dbff49c0bba Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Orestis <orestis.malaspinas@pm.me>
Date: Tue, 17 Jan 2023 13:46:01 +0100
Subject: [PATCH] added cours 13 stuff
---
slides/cours_13.md | 605 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
slides/figs/fig_hash.png | Bin 0 -> 18046 bytes
2 files changed, 605 insertions(+)
create mode 100644 slides/cours_13.md
create mode 100644 slides/figs/fig_hash.png
diff --git a/slides/cours_13.md b/slides/cours_13.md
new file mode 100644
index 0000000..8cbbf96
--- /dev/null
+++ b/slides/cours_13.md
@@ -0,0 +1,605 @@
+---
+title: "Tables de hachage"
+date: "2023-01-18"
+---
+
+# Tableau vs Table
+
+## Tableau
+
+* Chaque élément (ou valeur) est lié à un indice (la case du tableau).
+
+```C
+annuaire tab[2] = {
+ "+41 22 123 45 67", "+41 22 234 56 78", ...
+};
+tab[1] == "+41 22 123 45 67";
+```
+
+## Table
+
+* Chaque élément (ou valeur) est lié à une clé.
+
+```C
+annuaire tab = {
+// Clé , Valeur
+ "Paul", "+41 22 123 45 67",
+ "Orestis", "+41 22 234 56 78",
+};
+tab["Paul"] == "+41 22 123 45 67";
+tab["Orestis"] == "+41 22 234 56 78";
+```
+
+# Table
+
+## Définition
+
+Structure de données abstraite où chaque *valeur* (ou élément) est associée à une *clé* (ou
+argument).
+
+On parle de paires *clé-valeur* (*key-value pairs*).
+
+## Donnez des exemples de telles paires
+
+. . .
+
+* Annuaire (nom-téléphone),
+* Catalogue (objet-prix),
+* Table de valeur fonctions (nombre-nombre),
+* Index (nombre-page)
+* ...
+
+# Table
+
+## Opérations principales sur les tables
+
+* Insertion d'élément (`insert(clé, valeur)`{.C}), insère la paire `clé-valeur`
+* Consultation (`get(clé)`{.C}), retourne la `valeur` correspondant à `clé`
+* Suppression (`remove(clé)`{.C}), supprime la paire `clé-valeur`
+
+## Structure de données / implémentation
+
+Efficacité dépend de différents paramètres:
+
+* taille (nombre de clé-valeurs maximal),
+* fréquence d'utilisation (insertion, consultation, suppression),
+* données triées/non-triées,
+* ...
+
+# Consultation séquentielle (`sequential_get`)
+
+## Séquentielle
+
+* table représentée par un (petit) tableau ou liste chaînée,
+* types: `key_t` et `value_t` quelconques, et `key_value_t`
+
+ ```C
+ typedef struct {
+ key_t key;
+ value_t value;
+ } key_value_t;
+ ```
+* on recherche l'existence de la clé séquentiellement dans le tableau, on
+ retourne la valeur.
+
+# Consultation séquentielle (`sequential_get`)
+
+## Implémentation? Une idée?
+
+. . .
+
+```C
+bool sequential_get(int n, key_value_t table[n], key_t key,
+ value_t *value)
+{
+ int pos = n - 1;
+ while (pos >= 0) {
+ if (key == table[pos].key) {
+ *value = table[pos].value;
+ return true;
+ }
+ pos--;
+ }
+ return false;
+}
+```
+
+. . .
+
+## Inconvénient?
+
+# Consultation séquentielle (`sequential_get`)
+
+## Exercice: implémenter la même fonction avec une liste chaînée
+
+Poster le résultat sur matrix.
+
+# Consultation dichotomique (`binary_get`)
+
+## Dichotomique
+
+* table représentée par un (petit) tableau trié par les clés,
+* types: `key_t` et `value_t` quelconques, et `key_value_t`
+* on recherche l'existence de la clé par dichotomie dans le tableau, on
+ retourne la valeur,
+* les clés possèdent la notion d'ordre (`<, >, =` sont définis).
+
+# Consultation dichotomique (`binary_get`)
+
+\footnotesize
+
+## Implémentation? Une idée?
+
+. . .
+
+```C
+bool binary_get1(int n, value_key_t table[n], key_t key, value_t *value) {
+ int top = n - 1, bottom = 0;
+ while (top > bottom) {
+ int middle = (top + bottom) / 2;
+ if (x > table[middle]) {
+ bottom = middle+1;
+ } else {
+ top = middle;
+ }
+ }
+ if (key == table[top].key) {
+ *value = table[top].value;
+ return true;
+ } else {
+ return false;
+ }
+}
+```
+
+# Consultation dichotomique (`binary_get`)
+
+\footnotesize
+
+## Autre implémentation
+
+```C
+bool binary_get2(int n, key_value_t table[n], key_t key, value_t *value) {
+ int top = n - 1, bottom = 0;
+ while (true) {
+ int middle = (top + bottom) / 2;
+ if (key > table[middle].key) {
+ bottom = middle + 1;
+ } else if (key < table[middle].key) {
+ top = middle;
+ } else {
+ *value = table[middle].value;
+ return true;
+ }
+ if (top < bottom) {
+ break;
+ }
+ }
+ return false;
+}
+```
+
+## Quelle est la différence avec le code précédent?
+
+# Transformation de clé (hashing)
+
+## Problématique: Numéro AVS (13 chiffres)
+
+* Format: 106.3123.8492.13
+
+ ```
+ Numéro AVS | Nom
+ 0000000000000 | -------
+ ... | ...
+ 1063123849213 | Paul
+ ... | ...
+ 3066713878328 | Orestis
+ ... | ...
+ 9999999999999 | -------
+ ```
+
+## Quelle est la clé? Quelle est la valeur?
+
+. . .
+
+* Clé: Numéro AVS, Valeur: Nom.
+
+## Nombre de clés? Nombre de citoyens? Rapport?
+
+. . .
+
+* $10^{13}$ clés, $10^7$ citoyens, $10^{-5}$ ($10^{-3}\%$ de la table est
+ occupée) $\Rightarrow$ *inefficace*.
+* Pire: $10^{13}$ entrées ne rentre pas dans la mémoire d'un
+ ordinateur.
+
+# Transformation de clé (hashing)
+
+## Problématique 2: Identificateurs d'un programme
+
+* Format: 8 caractères (simplification)
+
+ ```
+ Identificateur | Adresse
+ aaaaaaaa | -------
+ ... | ...
+ resultat | 3aeff
+ compteur | 4fedc
+ ... | ...
+ zzzzzzzz | -------
+ ```
+
+## Quelle est la clé? Quelle est la valeur?
+
+. . .
+
+* Clé: Identificateur, Valeur: Adresse.
+
+## Nombre de clés? Nombre d'identificateur d'un programme? Rapport?
+
+. . .
+
+* $26^{8}\sim 2\cdot 10^{11}$ clés, $2000$ identificateurs, $10^{-8}$ ($10^{-6}\%$ de la table est
+ occupée) $\Rightarrow$ *un peu inefficace*.
+
+# Fonctions de transformation de clé (hash functions)
+
+* La table est représentée avec un tableau.
+* La taille du tableau est beaucoup plus petit que le nombre de clés.
+* On produit un indice du tableau à partir d'une clé:
+$$
+h(key) = n,\quad n\in\mathbb{N}.
+$$
+En français: on transforme `key` en nombre entier qui sera l'indice dans le
+tableau correspondant à `key`.
+
+## La fonction de hash
+
+* La taille du domaine des clés est beaucoup plus grand que le domaine des
+ indices.
+* Plusieurs indices peuvent correspondre à la **même clé**:
+ * Il faut traiter les **collisions**.
+* L'ensemble des indices doit être plus petit ou égal à la taille de la table.
+
+## Une bonne fonction de hash
+
+* Distribue uniformément les clés sur l'ensemble des indices.
+
+# Fonctions de transformation de clés: exemples
+
+## Méthode par troncature
+
+\begin{align*}
+&h: [0,9999]\rightarrow [0,9]\\
+&h(key)=\mbox{troisième chiffre du nombre.}
+\end{align*}
+
+```
+Key | Index
+0003 | 0
+1123 | 2 \
+1234 | 3 |-> collision.
+1224 | 2 /
+1264 | 6
+```
+
+## Quelle est la taille de la table?
+
+. . .
+
+C'est bien dix oui.
+
+# Fonctions de transformation de clés: exemples
+
+## Méthode par découpage
+
+Taille de l'index: 3 chiffres.
+
+```
+key = 321 991 24 -> 321
+ 991
+ + 24
+ ----
+ 1336 -> index = 336
+```
+
+## Devinez l'algorithme?
+
+. . .
+
+On part de la gauche:
+
+1. On découpe la clé en tranche de longueur égale à celle de l'index.
+2. On somme les nombres obtenus.
+3. On tronque à la longueur de l'index.
+
+# Fonctions de transformation de clés: exemples
+
+## Méthode multiplicative
+
+Taille de l'index: 2 chiffres.
+
+```
+key = 5486 -> key^2 = 30096196 -> index = 96
+```
+
+On prend le carré de la clé et on garde les chiffres du milieu du résultat.
+
+# Fonctions de transformation de clés: exemples
+
+## Méthode par division modulo
+
+Taille de l'index: `N` chiffres.
+
+```
+h(key) = key % N.
+```
+
+## Quelle doit être la taille de la table?
+
+. . .
+
+Oui comme vous le pensiez au moins `N`.
+
+# Traitement des collisions
+
+## La collision
+
+```
+key1 != key2, h(key1) == h(key2)
+```
+
+## Traitement (une idée?)
+
+. . .
+
+* La première clé occupe la place prévue dans le tableau.
+* La deuxième (troisième, etc.) est placée ailleurs de façon **déterministe**.
+
+Dans ce qui suit la taille de la table est `table_size`.
+
+# La méthode séquentielle
+
+\footnotesize
+
+## Comment ça marche?
+
+* Quand l'index est déjà occupé on regarde sur la position suivante, jusqu'à en
+ trouver une libre.
+
+```C
+index = h(key);
+while (table[index].state == OCCUPIED && table[index].key != key) {
+ index = (index + 1) % table_size; // attention à pas dépasser
+}
+table[index].key = key;
+table[index].state = OCCUPIED;
+```
+
+## Problème?
+
+. . .
+
+* Regroupement d'éléments (clustering).
+
+# Méthode linéaire
+
+\footnotesize
+
+## Comment ça marche?
+
+* Comme la méthode séquentielle mais on "saute" de `k`.
+
+```C
+index = h(key);
+while (table[index].state == OCCUPIED && table[index].key != key) {
+ index = (index + k) % table_size; // attention à pas dépasser
+}
+table[index].key = key;
+table[index].state = OCCUPIED;
+```
+
+## Quelle valeur de `k` éviter?
+
+. . .
+
+* Une valeur où `table_size` est multiple de `k`.
+
+Cette méthode répartit mieux les regroupements au travers de la table.
+
+# Méthode du double hashing
+
+\footnotesize
+
+## Comment ça marche?
+
+* Comme la méthode linéaire, mais `k = h2(key)` (variable).
+
+```C
+index = h(key);
+while (table[index].state == OCCUPIED && table[index].key != key) {
+ index = (index + h2(k)) % table_size; // attention à pas dépasser
+}
+table[index].key = key;
+table[index].state = OCCUPIED;
+```
+
+## Quelle propriété doit avoir `h2`?
+
+## Exemple
+
+```C
+h2(key) = (table_size - 2) - key % (table_size -2)
+```
+
+# Méthode pseudo-aléatoire
+
+\footnotesize
+
+## Comment ça marche?
+
+* Comme la méthode linéaire mais on génère `k` pseudo-aléatoirement.
+
+ ```C
+ index = h(key);
+ while (table[index].state == OCCUPIED && table[index].key != key) {
+ index = (index + random_number) % table_size;
+ }
+ table[index].key = key;
+ table[index].state = OCCUPIED;
+ ```
+
+## Comment s'assurer qu'on va bien retrouver la bonne clé?
+
+. . .
+
+* Le germe (seed) de la séquence pseudo-aléatoire doit être le même.
+* Le germe à choisir est l'index retourné par `h(key)`.
+
+ ```C
+ srand(h(key));
+ while {
+ random_number = rand();
+ }
+ ```
+
+# Méthode quadratique
+
+* La fonction des indices de collision est de degré 2.
+* Soit $J_0=h(key)$, les indices de collision se construisent comme:
+
+ ```C
+ J_i = J_0 + i^2 % table_size, i > 0,
+ J_0 = 100, J_1 = 101, J_2 = 104, J_3 = 109, ...
+ ```
+
+## Problème possible?
+
+. . .
+
+* Calculer le carré peut-être "lent".
+* En fait on peut ruser un peu.
+
+# Méthode quadratique
+
+\footnotesize
+
+```C
+J_i = J_0 + i^2 % table_size, i > 0,
+J_0 = 100
+ \
+ d_0 = 1
+ / \
+J_1 = 101 Delta = 2
+ \ /
+ d_1 = 3
+ / \
+J_2 = 104 Delta = 2
+ \ /
+ d_2 = 5
+ / \
+J_3 = 109 Delta = 2
+ \ /
+ d_3 = 7
+ /
+J_4 = 116
+--------------------------------------
+J_{i+1} = J_i + d_i,
+d_{i+1} = d_i + Delta, d_0 = 1, i > 0.
+```
+
+# Méthode de chaînage
+
+## Comment ça marche?
+
+* Chaque index de la table contient un pointeur vers une liste chaînée
+ contenant les paires clés-valeurs.
+
+## Un petit dessin
+
+```
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+```
+
+# Méthode de chaînage
+
+## Exemple
+
+On hash avec la fonction `h(key) = key % 11` (`key` est le numéro de la lettre
+de l'alphabet)
+
+```
+ U | N | E | X | E | M | P | L | E | D | E | T | A | B | L | E
+ 10 | 3 | 5 | 2 | 5 | 2 | 5 | 1 | 5 | 4 | 5 | 9 | 1 | 2 | 1 | 5
+```
+
+## Comment on représente ça? (à vous)
+
+. . .
+
+{width=80%}
+
+# Méthode de chaînage
+
+Avantages:
+
+* Si les clés sont grandes l'économie de place est importante (les places vides
+ sont `NULL`).
+* La gestion des collisions est conceptuellement simple.
+* Pas de problème de regroupement (clustering).
+
+# Exercice 1
+
+* Construire une table à partir de la liste de clés suivante:
+ ```
+ R, E, C, O, U, P, A, N, T
+ ```
+
+* On suppose que la table est initialement vide, de taille $n = 13$.
+* Utiliser la fonction $h1(k)= k \mod 13$ où k est la $k$-ème lettre de l'alphabet et un traitement séquentiel des collisions.
+
+# Exercice 2
+
+* Reprendre l'exercice 1 et utiliser la technique de double hachage pour traiter
+ les collisions avec
+
+\begin{align*}
+h_1(k)&=k\mod 13,\\
+h_2(k)&=1+(k\mod 11).
+\end{align*}
+* La fonction de hachage est donc $h(k)=(h(k)+h_2(k)) \% 13$ en cas de
+ collision.
+
+
+# Exercice 3
+
+* Stocker les numéros de téléphones internes d'une entreprise suivants dans un
+tableau de 10 positions.
+* Les numéros sont compris entre 100 et 299.
+* Soit $N$ le numéro de téléphone, la fonction de hachage est
+$$
+h(N)=N\mod 10.
+$$
+* La fonction de gestion des collisions est
+$$
+C_1(N,i)=(h(N)+3\cdot i)\mod 10.
+$$
+* Placer 145, 167, 110, 175, 210, 215 (mettre son état à occupé).
+* Supprimer 175 (rechercher 175, et mettre son état à supprimé).
+* Rechercher 35.
+* Les cases ni supprimées, ni occupées sont vides.
+* Expliquer se qui se passe si on utilise?
+$$
+C_1(N,i)=(h(N)+5\cdot i)\mod 10.
+$$
+
diff --git a/slides/figs/fig_hash.png b/slides/figs/fig_hash.png
new file mode 100644
index 0000000000000000000000000000000000000000..92e82b5949e733c846b92a3d6daa7601db740a4e
GIT binary patch
literal 18046
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z>ZKY8bjuwCy7>a<CUD2YT6PEcz;cm#t$~AsGdZt32Le3;y?!aF;hwxT?V+zRg6`aR
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