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@@ -405,7 +405,7 @@ l'extremum.
Descentes sur la fonction "puit"
::::
-### Valeur de la fonction de coût
+### Évolution de la valeur de la fonction de coût
Le graphique ci-dessous permet d'illustrer clairement l'évolution de la valeur
de la fonction de coût $f$ par rapport au nombre d'itérations effectuées par
@@ -418,59 +418,120 @@ nécessite $17'452$ itérations pour y parvenir.
## Rosenbrock
+La fonction de Rosenbrock est une fonction du type $(a - x)^2 + b(y - x^2)^2$
+souvent utilisée pour évaluer les performances d'algorithmes d'optimisation. Sa
+particularité est le fait que son minimum global se situe en $f(a, a^2)$ et la
+valeur à atteindre en ce point est 0. En l'occurrence, nous avons utilisé la
+variante avec $a = 1$ et $b = 1$ (sinon `sympy` explose) ce qui implique donc
+que le minimum global à atteindre se situe en $x = 1$ et $y = 1$
+
$$
\text{Rosenbrock}(x, y) = (1 - x)^2 + (y - x^2)^2
$$ {#eq-func-rosenbrock}
-:::: {#fig-rosenbrock layout="[1,1]"}
+Les graphiques sur la page suivante illustrent les descentes de diverses méthodes
+depuis le point $(3, -4)$ jusqu'au minimum en $(1, 1)$. Le tableau ci-dessous
+résume le nombre d'itérations requises par chaque méthode avant d'atteindre le
+minimum.
+
+| Méthodes | Nombre d'itérations |
+| -------------- | --------------- |
+| Simple | 3'759 |
+| Momentum | 296 |
+| Nesterov | 202 |
+| Adam | 342 |
+
+:::: {#fig-rosenbrock layout="[[1], [1,1]]"}
{#fig-rosenbrock-graph}
{#fig-rosenbrock-topology}
+{#fig-rosenbrock-cost-func-value}
+
Graphique des descentes sur la fonction de Rosenbrock
::::
+\newpage
+
## Ackley
-Pour terminer en beauté, nous allons effectuer notre dernière descente sur une
-fonction complexe, celle d'[Ackley](https://en.wikipedia.org/wiki/Ackley_function).
-Cette fonction fut nommée après David Ackley, la personne l'ayant proposée dans
-thèse de doctorat.
+Comme cela fut promis dans la partie consacrée à la discussion des
+problématiques, nous allons à présent visualiser le problème des minimums
+locaux et leur influence sur la recherche d'un minimum global. Pour faire ceci,
+nous ferons appel à la fonction d'[Ackley](https://en.wikipedia.org/wiki/Ackley_function).
+La raison de ce choix est le fait que cette fonction se prête très bien à cet
+exercice suite au fait qu'elle possède une grande multitude de minimums locaux
+avec un minimum global en $f(0, 0)$. Voici la fonction d'Ackley :
$$
\text{Ackley}(x, y) = -20\exp\left[-0.2\sqrt{0.5(x^2 + y^2)}\right] - \exp\left[0.5(\cos 2\pi x + \cos 2\pi y)\right] + e + 20
$$ {#eq-func-ackley}
-::: {.callout-note}
-La fonction d'Ackley est souvent utilisé comme outil de test pour les
-algorithmes d'optimisation car elle permet d'illustrer le piège créé par la
-présence d'une grande quantité de minimums locaux. Le but à atteindre est son
-minimum global en $(0, 0)$.
-:::
-
-### Graphique de la fonction
-
-{#fig-ackley-graph}
+<!-- ::: {.callout-note} -->
+<!-- La fonction d'Ackley est souvent utilisé comme outil de test pour les -->
+<!-- algorithmes d'optimisation car elle permet d'illustrer le piège créé par la -->
+<!-- présence d'une grande quantité de minimums locaux. Le but à atteindre est son -->
+<!-- minimum global en $(0, 0)$. -->
+<!-- ::: -->
-### Descente sur la fonction d'Ackley
+<!-- ### Descentes sur la fonction d'Ackley -->
-Les graphiques ci-dessous permettent d'illustrer le comportement des divers
-algorithmes lors de la descente sur la fonction d'Ackley. Sur la @fig-ackley-topology-micro
-nous pouvons très clairement voir que les descentes simple, Momentum et Nesterov
-sont toutes restées coincées dans un minimum local. La seule méthode qui a su
-passer au-delà de ce minimum est **Adam**. Après $1 \cdot 10^{5}$ itérations,
-le minimum global n'a tout de même pas pu être atteint cependant, Adam s'est
-retrouvé dans le fossé global. Avec plus d'itérations, il est très probable
-qu'Adam aurait convergé sur le minimum en $(0, 0)$.
+<!-- Les graphiques ci-dessous permettent d'illustrer le comportement des divers -->
+<!-- algorithmes lors de la descente sur la fonction d'Ackley. Sur la @fig-ackley-topology-micro -->
+<!-- nous pouvons très clairement voir que les descentes simple, Momentum et Nesterov -->
+<!-- sont toutes restées coincées dans un minimum local. La seule méthode qui a su -->
+<!-- passer au-delà de ce minimum est **Adam**. Après $1 \cdot 10^{5}$ itérations, -->
+<!-- le minimum global n'a tout de même pas pu être atteint cependant, Adam s'est -->
+<!-- retrouvé dans le fossé global. Avec plus d'itérations, il est très probable -->
+<!-- qu'Adam aurait convergé sur le minimum en $(0, 0)$. -->
:::: {#fig-ackley layout="[[1,1], [1]]"}
-{#fig-ackley-graph-descent}
+{#fig-ackley-graph-descent}
{#fig-ackley-topology-macro}
-{#fig-ackley-topology-micro width="80%"}
+{#fig-ackley-topology-micro width="65%"}
+
+Descentes sur la fonction d'Ackley
+::::
-Descentes sur la fonction Ackley
+Premièrement, la @fig-ackley-topology-macro illustre bien le fait qu'Adam a su
+se diriger vers le minimum global même s'il ne l'a pas totalement atteint suite
+au fait que nous imposons une limite de $100'000$ itérations afin de pouvoir
+borner le temps d'exécution des descentes.
+
+En ce qui concerne les trois autres méthodes, la @fig-ackley-topology-micro
+permet de desceller le fait qu'elles soient restées coincées très tôt dans un
+minimum local. En ce qui concerne la méthode simple, ce n'est pas surprenant
+vu son fonctionnement. Quant à Momentum et Nesterov qui possèdent une composante
+associée à l'inertie, il est légitime de se poser la question pourquoi eux
+aussi sont restés bloqués ? La raison est tout simplement car ils n'ont pas eu
+assez de temps pour gagner assez d'inertie pour pouvoir passer au-delà du
+premier minimum local. La @fig-ackley-topology-macro permet de bien visualiser
+la topologie de cette fonction et en conclure que chaque minimum local est
+entouré par un "bol" qui compense l'inertie gagnée initialement lors d'une
+descente. Cela se voit sur la @fig-ackley-topology-micro grâce au fait que les
+points de couleur cyan et orange ont l'air de d'abord passer par-dessus le
+minimum en $\sim f(-4.99, -4.99)$ grâce à l'inertie accumulée lors de la descente
+depuis $f(-5, -5)$ sauf que celle-ci n'a pas duré assez longtemps pour qu'ils
+puissent par la suite continuer à descendre. De ce fait, nous voyons donc que
+les points oscillent jusqu'à se stabiliser dans le minimum local.
+
+Les graphiques ci-dessous de l'évolution de la valeur de la fonction à chaque
+itération, permettent aussi d'observer ces oscillations, notamment dans le
+cas de Momentum. Ceci indique qu'après être passé par un minimum, Momentum
+fait face à une montée qu'il n'arrive pas à surmonter (_no pun intended_).
+Concernant Adam, lui aussi affiche des tendances d'oscillations (long bloc
+violet sur la @fig-ackley-cost-macro), cependant celles-ci se situent au niveau
+d'une valeur bien plus basse que dans le cas des trois autres méthodes.
+
+:::: {#fig-ackley-cost-func layout="[1,1]"}
+
+{#fig-ackley-cost-macro}
+
+{#fig-ackley-cost-micro}
+
+Évolution de la valeur de la fonction d'Ackley à chaque itération
::::