From e9b95e9920500be7e9848f8c5d07ae79bdbf15b9 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Orestis <orestis.malaspinas@pm.me>
Date: Mon, 22 Apr 2024 13:02:01 +0200
Subject: [PATCH] ajout quadtree
---
slides/cours_21.md | 1239 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
1 file changed, 1239 insertions(+)
create mode 100644 slides/cours_21.md
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index 0000000..18e4d0d
--- /dev/null
+++ b/slides/cours_21.md
@@ -0,0 +1,1239 @@
+---
+title: "Arbres quaternaires"
+date: "2024-04-25"
+---
+
+# Les arbres quaternaires
+
+\Huge Les arbres quaternaires
+
+
+# Les arbres quaternaires
+
+## Définition
+
+Arbre dont chaque nœud a 4 enfants ou aucun.
+
+
+
+# Les arbres quaternaires
+
+## Cas d'utilisation
+
+Typiquement utilisés pour représenter des données bidimensionnelles.
+
+Son équivalent tri-dimensionnel est l'octree (chaque nœud a 8 enfants ou aucun).
+
+## Cas d'utilisation: images
+
+* Stockage: compression.
+* Transformations: symétries, rotations, etc.
+
+## Cas d'utilisation: simulation
+
+* Indexation spatiale.
+* Détection de collisions.
+* Simulation de galaxies, Barnes-Hut.
+
+# Exemple de compression
+
+::: columns
+
+:::: {.column width=30%}
+
+## Comment représenter l'image
+
+
+
+::::
+
+:::: {.column width=70%}
+
+## Sous la forme d'un arbre quaternaire?
+
+. . .
+
+
+
+**Économie?**
+
+. . .
+
+Image 64 pixels, arbre 25 nœuds.
+
+::::
+
+:::
+
+
+# Structure de données
+
+::: columns
+
+:::: {.column width=50%}
+
+## Pseudo-code?
+
+. . .
+
+```python
+struct node
+ info
+ node sup_gauche, sup_droit,
+ inf_gauche, inf_droit
+```
+
+
+
+::::
+
+:::: {.column width=50%}
+
+## En C?
+
+. . .
+
+```C
+struct _node {
+ int info;
+ struct _node *sup_left;
+ struct _node *sup_right;
+ struct _node *inf_left;
+ struct _node *inf_right;
+};
+```
+
+* Pourquoi le `*` est important?
+
+. . .
+
+* Type récursif => taille inconnue à la compilation.
+
+::::
+
+:::
+
+# Une fonctionnalité simple
+
+\footnotesize
+
+## La fonction `est_feuille(noeud)`
+
+* Problème avec cette implémentation?
+
+```python
+bool est_feuille(noeud)
+ retourne
+ est_vide(sup_gauche(noeud)) &&
+ est_vide(sup_droit(noeud)) &&
+ est_vide(inf_gauche(noeud)) &&
+ est_vide(inf_droit(noeud))
+```
+
+. . .
+
+* Inutile d'avoir 4 conditions (soit 4 enfants soit aucun!)
+* Facile d'en oublier un!
+* Comment changer la structure pour que ça soit moins terrible?
+
+. . .
+
+```python
+struct node
+ info
+ node enfant[4]
+```
+
+# Structure de données
+
+## En C?
+
+. . .
+
+```C
+typedef struct _node {
+ int info;
+ struct _node *child[4];
+} node;
+```
+
+## Fonction `is_leaf(node *tree)`?
+
+. . .
+
+```C
+bool is_leaf(node *tree) {
+ return (NULL == tree->child[0]); // only first matters
+}
+```
+
+# Problème à résoudre
+
+* Construire un arbre quaternaire à partir d'une image:
+ * Créer l'arbre (allouer la mémoire pour tous les nœuds),
+ * Le remplir avec les valeurs des pixels.
+* Compression de l'image:
+ * Si les pixels sont les mêmes dans le quadrant on supprime le sous-arbre (sans perte)
+ * Si les pixels dévient pas trop on supprime le quadrant (avec perte)
+
+# Création de l'arbre
+
+## Comment créer un arbre de profondeur `prof` (3min)?
+
+. . .
+
+```python
+arbre creer_arbre(prof)
+ n = nouveau_noeud() # alloue la mémoire
+ si prof > 0
+ pour i = 0 Ã 3
+ n.enfant[i] = creer_arbre(prof-1)
+ retourne n
+```
+
+## En `C` (3 min, matrix)?
+
+. . .
+
+```C
+node *qt_create(int depth) {
+ node *n = calloc(1, sizeof(node));
+ if (depth > 0) {
+ for (int i = 0; i < 4; ++i) {
+ n->child[i] = qt_create(depth-1);
+ }
+ }
+ return n;
+}
+```
+
+# Le nombre de nœuds?
+
+## Comment implémenter la fonction (pseudo-code, 5min, matrix)?
+
+. . .
+
+```C
+entier nombre_nœuds(arbre)
+ si est_feuille(arbre)
+ retourne 1
+ sinon
+ somme = 1
+ pour i de 0 Ã 3
+ somme += nombre_nœuds(arbre.enfant[i])
+ retourne somme
+```
+
+# Le nombre de nœuds?
+
+## Comment implémenter la fonction en C (3min, matrix)?
+
+. . .
+
+```C
+int size(node *qt) {
+ if (is_leaf(qt)) {
+ return 1;
+ } else {
+ int sum = 1;
+ for (int i = 0; i < 4; ++i) {
+ sum += size(qt->child[i]);
+ }
+ return sum;
+ }
+}
+```
+
+# La profondeur en C?
+
+## Implémentation (5min, matrix)
+
+. . .
+
+\footnotesize
+
+```C
+int max(int x, int y) {
+ return (x >= y ? x : y);
+}
+int max_depth(int depths[4]) {
+ int m = depths[0];
+ for (int i = 1; i < 4; ++i) {
+ m = max(m, depths[i]);
+ }
+ return m;
+}
+int depth(node *qt) {
+ int depths[] = {0, 0, 0, 0};
+ if (is_leaf(qt)) {
+ return 0;
+ } else {
+ for (int i = 0; i < 4; ++i) {
+ depths[i] = depth(qt->child[i]);
+ }
+ return 1 + max_depth(depths);
+ }
+}
+```
+
+# Fonctions utiles (1/4)
+
+## Comment remplir un arbre depuis une matrice?
+
+```
+ SG=0 | SD=1
+ 21 | 12 | 4 | 4
+ 9 | 7 | 4 | 4
+-----------------
+ 1 | 1 | 0 | 31
+ 1 | 1 | 3 | 27
+ IG=2 | ID=3
+```
+
+## Quel arbre cela représente?
+
+. . .
+
+
+
+# Fonctions utiles (2/4)
+
+* On veut transformer une ligne/colonne en feuille.
+* Comment?
+
+::: columns
+
+:::: {.column width=40%}
+
+## Soit `ligne=2`, `colonne=3`
+
+```
+ SG=0 | SD=1
+ 21 | 12 | 4 | 4
+ 9 | 7 | 4 | 4
+-----------------
+ 1 | 1 | 0 | 31
+ 1 | 1 | 3 | 27
+ IG=2 | ID=3
+```
+
+::::
+
+:::: {.column width=70%}
+
+## Trouver un algorithme
+
+
+
+* Quelle feuille pour 31 (`li=2`, `co=3`)?
+* Plus important: quel chemin?
+
+. . .
+
+* `co -> G/D`, `li -> S/I`,
+* `2 * (li / 2) + co / 2 -> 2 * 1 + 1 = 3`
+* `2 * ((li % 2) / 1) + (co % 2) / 1 -> 2 * 0 + 1 = 1`
+* Comment généraliser?
+
+::::
+
+:::
+
+# Fonctions utiles (3/4)
+
+::: columns
+
+:::: {.column width=40%}
+
+## Soit `ligne=2`, `colonne=3`
+
+```
+ SG=0 | SD=1
+ 21 | 12 | 4 | 4
+ 9 | 7 | 4 | 4
+-----------------
+ 1 | 1 | 0 | 31
+ 1 | 1 | 3 | 27
+ IG=2 | ID=3
+```
+
+::::
+
+:::: {.column width=70%}
+
+## Trouver un algorithme (prendre plusieurs exemples, 15min, matrix)
+
+
+
+* Comment généraliser?
+
+. . .
+
+```C
+noeud position(li, co, arbre)
+ d = profondeur(arbre);
+ tant_que (d >= 1)
+ index = 2 * ((li % 2^d) / 2^(d-1)) +
+ (col % 2^d) / 2^(d-1)
+ arbre = arbre.enfant[index]
+ d -= 1
+ retourne arbre
+```
+
+
+::::
+
+:::
+
+# Fonctions utiles (4/4)
+
+\footnotesize
+
+## Pseudo-code
+
+```C
+noeud position(li, co, arbre)
+ d = profondeur(arbre);
+ tant_que (d >= 1)
+ index = 2 * ((li % 2^d) / 2^(d-1)) +
+ (col % 2^d) / 2^(d-1)
+ arbre = arbre.enfant[index]
+ d -= 1
+ retourne arbre
+```
+
+## Écrire le code `C` correspondant (5min, matrix)
+
+```C
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+```
+
+# Remplir l'arbre
+
+## A partir d'une matrice (pseudo-code, 5min, matrix)?
+
+. . .
+
+```C
+arbre matrice_Ã _arbre(matrice)
+ arbre = creer_arbre(profondeur)
+ pour li de 0 Ã nb_lignes(matrice)
+ pour co de 0 Ã nb_colonnes(matrice)
+ noeud = position(li, co, arbre)
+ noeud.info = matrice[co][li]
+ retourne arbre
+```
+
+. . .
+
+## A partir d'une matrice (C, 5min, matrix)?
+
+. . .
+
+\footnotesize
+
+```C
+node *matrix_to_qt(int nb_li, int nb_co, int matrix[nb_li][nb_co], int depth)
+{
+ node *qt = qt_create(depth);
+ for (int li = 0; li < nd_li; ++li) {
+ for (int co = 0; co < nd_co; ++co) {
+ node *current = position(li, co, qt);
+ current->info = matrix[li][co];
+ }
+ }
+ return qt;
+}
+```
+
+
+# Remplir la matrice
+
+## A partir de l'arbre (pseudo-code, 3min, matrix)?
+
+. . .
+
+```C
+matrice arbre_Ã _matrice(arbre)
+ matrice = creer_matrice(nb_lignes(arbre), nb_colonnes(arbre))
+ pour li de 0 Ã nb_lignes(matrice)
+ pour co de 0 Ã nb_colonnes(matrice)
+ noeud = position(li, co, arbre)
+ matrice[co][li] = noeud.info
+ retourne matrice
+```
+
+. . .
+
+## A partir de l'arbre (C, 3min, matrix)?
+
+. . .
+
+\footnotesize
+
+```C
+void qt_to_matrix(node *qt, int nb_li, int nb_co, int matrix[nb_li][nb_co])
+ for (int li = 0; li < nd_li; ++li) {
+ for (int co = 0; co < nd_co; ++co) {
+ node *current = position(li, co, qt);
+ matrix[li][co] = current->info;
+ }
+ }
+```
+
+# Transformations avec un arbre quaternaire
+
+## A faire
+
+* Symétrie axiale (horizontale/verticale).
+* Rotation quart de cercle (gauche/droite).
+* Compression.
+
+# La symétrie verticale
+
+## Que donne la symétrie verticale de
+
+```
+ SG=0 | SD=1
+ 21 | 12 | 4 | 4
+ 9 | 7 | 4 | 4
+-----------------
+ 1 | 1 | 0 | 31
+ 1 | 1 | 3 | 27
+ IG=2 | ID=3
+```
+
+. . .
+
+```
+ SG=0 | SD=1
+ 4 | 4 | 12 | 21
+ 4 | 4 | 7 | 9
+------------------
+ 31 | 0 | 1 | 1
+ 27 | 3 | 1 | 1
+ IG=2 | ID=3
+```
+
+# La symétrie d'axe vertical
+
+## Comment faire sur une matrice (3min, matrix)?
+
+. . .
+
+\footnotesize
+
+```C
+matrice symétrie(matrice)
+ pour i de 0 Ã nb_colonnes(matrice) / 2
+ pour j de 0 Ã nb_lignes(matrice)
+ échanger(matrice[i][j], matrice[nb_colonnes(matrice)-1-i][j])
+ retourne matrice
+```
+
+# La symétrie d'axe vertical
+
+## Comment faire sur un arbre?
+
+* Faire un dessin de l'arbre avant/après (5min, matrix)
+
+ ```
+ SG=0 | SD=1 SG=0 | SD=1
+ 21 | 12 | 4 | 4 4 | 4 | 12 | 21
+ 9 | 7 | 4 | 4 4 | 4 | 7 | 9
+ ----------------- => ----------------
+ 1 | 1 | 0 | 31 31 | 0 | 1 | 1
+ 1 | 1 | 3 | 27 27 | 3 | 1 | 1
+ IG=2 | ID=3 IG=2 | ID=3
+ ```
+
+* Écrire le pseudo-code (3min, matrix)
+
+. . .
+
+\footnotesize
+
+```C
+arbre symétrie(arbre)
+ si !est_feuille(arbre)
+ échanger(arbre.enfant[0], arbre.enfant[1])
+ échanger(arbre.enfant[2], arbre.enfant[3])
+ pour i de 0 Ã 3
+ symétrie(arbre.enfant[i])
+ retourne arbre
+```
+
+# La symétrie d'axe horizontal
+
+* Trivial de faire l'axe horizontal (exercice à la maison)
+
+# Rotation d'un quart de cercle
+
+## Comment faire sur un arbre?
+
+* Faire un dessin de l'arbre avant/après (5min, matrix)
+
+ ```
+ SG=0 | SD=1 SG=0 | SD=1
+ 21 | 12 | 4 | 4 4 | 4 | 31 | 27
+ 9 | 7 | 4 | 4 4 | 4 | 0 | 3
+ ----------------- => -----------------
+ 1 | 1 | 0 | 31 12 | 7 | 1 | 1
+ 1 | 1 | 3 | 27 21 | 9 | 1 | 1
+ IG=2 | ID=3 IG=2 | ID=3
+
+ ```
+
+* Écrire le pseudo-code (3min, matrix)
+
+. . .
+
+```C
+rien rotation_gauche(arbre)
+ si !est_feuille(arbre)
+ échange_cyclique_gauche(arbre.enfant)
+ pour i de 0 Ã 3
+ rotation_gauche(arbre.enfant[i])
+```
+
+# Rotation d'un quart de cercle
+
+\footnotesize
+
+## Comment faire sur un arbre?
+
+```
+ SG=0 | SD=1 SG=0 | SD=1
+ 21 | 12 | 4 | 4 4 | 4 | 31 | 27
+ 9 | 7 | 4 | 4 4 | 4 | 0 | 3
+----------------- => -----------------
+ 1 | 1 | 0 | 31 12 | 7 | 1 | 1
+ 1 | 1 | 3 | 27 21 | 9 | 1 | 1
+ IG=2 | ID=3 IG=2 | ID=3
+```
+
+* Écrire le vrai (5min, matrix)
+
+. . .
+
+```C
+void rotate(node *qt) {
+ if (!is_leaf(qt)) {
+ node *tmp = qt->child[2];
+ qt->child[2] = qt->child[0];
+ qt->child[0] = qt->child[1];
+ qt->child[1] = qt->child[3];
+ qt->child[3] = tmp;
+ for (int i=0;i < 4; i++) {
+ rotate(qt->child[i]);
+ }
+ }
+}
+```
+
+# Compression sans perte (1/5)
+
+## Idée générale
+
+* Regrouper les pixels par valeur
+
+```
+ SG=0 | SD=1 SG=0 | SD=1
+ 21 | 12 | 4 | 4 21 | 12 | 4
+ 9 | 7 | 4 | 4 9 | 7 |
+----------------- => -----------------
+ 1 | 1 | 0 | 31 1 | 0 | 31
+ 1 | 1 | 3 | 27 | 3 | 27
+ IG=2 | ID=3 IG=2 | ID=3
+```
+
+* Comment faire?
+
+# Compression sans perte (2/5)
+
+## Que devient l'arbre suivant?
+
+
+
+. . .
+
+## Arbre compressé
+
+
+
+# Compression sans perte (3/5)
+
+* Si un nœud a tous ses enfants égaux:
+ * Donner la valeur au nœud,
+ * Supprimer les enfants.
+* Remonter jusqu'Ã la racine.
+
+## Écrire le pseudo-code (5min, matrix)
+
+. . .
+
+```C
+rien compression_sans_pertes(arbre)
+ si !est_feuille(arbre)
+ pour i de 0 Ã 3
+ compression_sans_pertes(arbre.enfant[i])
+ si derniere_branche(arbre)
+ valeur, toutes_égales = valeur_enfants(arbre)
+ si toutes_egales
+ arbre.info = valeur
+ detruire_enfants(arbre)
+```
+
+# Compression sans perte (4/5)
+
+\footnotesize
+
+## Écrire le code C (5min, matrix)
+
+. . .
+
+```C
+void lossless_compression(node *qt) {
+ if (!is_leaf(qt)) {
+ for (int i = 0; i < CHILDREN; i++) {
+ lossless_compression(qt->child[i]);
+ }
+ if (is_last_branch(qt)) {
+ int val = -1;
+ if (last_value(qt, &val)) {
+ qt->info = val;
+ for (int i = 0; i < 4; ++i) {
+ free(qt->child[i]);
+ qt->child[i] = NULL;
+ }
+ }
+ }
+ }
+}
+```
+
+# Compression sans perte (5/5)
+
+\footnotesize
+
+```C
+bool is_last_branch(node *qt) {
+ for (int i = 0; i < 4; ++i) {
+ if (!is_leaf(qt)) {
+ return false;
+ }
+ }
+ return true;
+}
+bool last_value(node *qt, int *val) {
+ int info = qt->child[0];
+ for (int i = 1; i < 4; ++i) {
+ if (info != qt->child[i]) {
+ return false;
+ }
+ }
+ *val = info;
+ return true;
+}
+```
+
+
+# Compression avec perte (1/5)
+
+## Idée générale
+
+* Regrouper les pixels par valeur sous certaines conditions
+
+```
+ SG=0 | SD=1 SG=0 | SD=1
+ 21 | 12 | 4 | 3 21 | 12 | 4
+ 9 | 7 | 4 | 4 9 | 7 |
+----------------- => ------------------
+ 1 | 1 | 0 | 31 1 | 0 | 31
+ 2 | 1 | 3 | 27 | 3 | 27
+ IG=2 | ID=3 IG=2 | ID=3
+```
+
+* On enlève si l'écart à la moyenne est "petit"?
+
+# Compression avec perte (2/5)
+
+## Que devient l'arbre suivant si l'écart est petit?
+
+
+
+. . .
+
+## Arbre compressé
+
+
+
+# Compression avec perte (3/5)
+
+## Comment mesurer l'écart à la moyenne?
+
+. . .
+
+* Avec l'écart-type
+
+\begin{equation*}
+\mu = \frac{1}{4}\sum_{i=0}^{3} p[i],\quad \sigma = \sqrt{\frac{1}{4}\sum_{i=0}^3 (\mu-p[i])
+^2} = \sqrt{\frac{1}{4}\left(\sum_{i=0}^3p[i]^2\right)-\mu^2}
+\end{equation*}
+
+## Que devient l'algorithme?
+
+. . .
+
+* Si $\sigma<\theta$, $\theta$ est la **tolérance**:
+ * Remplacer la valeur du pixel par la moyenne des enfants.
+ * Remonter les valeurs dans l'arbre.
+
+## Quelle influence de la valeur de $\theta$ sur la compression?
+
+. . .
+
+* Plus $\theta$ est grand, plus l'image sera compressée.
+
+# Compression avec perte (4/5)
+
+## Que devient l'arbre avec $\theta=0.5$?
+
+
+
+. . .
+
+
+
+# Compression avec perte (5/5)
+
+## Modifications sur la structure de données?
+
+. . .
+
+* On stocke la moyenne, et la moyenne des carrés.
+
+```C
+struct noeud
+ flottant moyenne, moyenne_carre
+ node enfants[4]
+```
+
+* Comment on calcule `moyenne` et `moyenne_carre` sur chaque nœud (pseudo-code)?
+
+# Calcul de la moyenne
+
+## Pseudo-code (5min, matrix)
+
+. . .
+
+```C
+rien moyenne(arbre) {
+ si !est_feuille(arbre)
+ pour enfant dans arbre.enfants
+ moyenne(enfant)
+ pour enfant dans arbre.enfants
+ arbre.moyenne += enfant.moyenne
+ arbre.moyenne_carre += enfant.moyenne_carre
+ arbre.moyenne /= 4
+ arbre.moyenne_carre /= 4
+```
+
+# La compression avec pertes
+
+\footnotesize
+
+## Pseudo-code (5min, matrix)
+
+. . .
+
+```C
+rien compression_avec_pertes(arbre, theta)
+ si !est_feuille(arbre)
+ pour i de 0 Ã 3
+ compression_avec_pertes(arbre.enfant[i])
+ si derniere_branche(arbre)
+ si racine(arbre.moyenne_carre - arbre.moyenne^2) < theta
+ detruire_enfants(arbre)
+```
+
+## Le code en entier
+
+```C
+arbre = matrice_Ã _arbre(matrice)
+moyenne(arbre)
+compression_avec_pertes(arbre)
+```
+
+# La dynamique des corps célestes
+
+## Slides très fortement inspirés du cours de J. Latt, Unige
+
+## Simulation du problème à $N$-corps
+
+* Prédiction du mouvement d'un grand nombre de corps célestes.
+* Modélisation:
+ * On se limite aux étoiles;
+ * Chaque étoile est caractérisée par un point (coordonnées) et une masse;
+ * On simule en deux dimensions.
+ * Interactions uniquement par les lois de la gravitation Newtonienne (oui-oui c'est de la **physique**!).
+
+
+# Les équations du mouvement
+
+## Mouvement de la $i$-ème étoile
+
+* Algorithme de Verlet ($t_{n+1}=t_n+\delta t$)
+
+ $$
+ \vec x_i(t_{n+1})= 2\vec x_i(t_n)-\vec x_i(t_{n-1})+\vec a_i(t_n)\delta t^2.
+ $$
+
+## Force de gravitation
+
+* $\vec a_i(t_n)=\vec F_i/m_i$.
+* Sur l'étoile $i$, la force résultante est donnée par
+
+ $$
+ \vec F_i=\sum_{j=1,j\neq i}^N \vec F_{ij}.
+ $$
+ avec
+ $$
+ \vec F_{ij}=\frac{G m_i m_j(\vec x_j-\vec x_i)}{||\vec x_j-\vec x_i||^3}.
+ $$
+
+# Algorithme du problème à $n$-corps
+
+## Pseudo-code: structure de données
+
+```C
+struct étoile
+ flottant m
+ vec x, x_precedent, f
+```
+
+## Pseudo-code: itération temporelle
+
+```C
+rien iteration_temporelle(étoiles, dt)
+ pour étoile_une dans étoiles
+ étoile_une.f = 0
+ pour étoile_deux dans étoiles
+ si (étoile_un != étoile_deux)
+ étoile_une.f +=
+ force(étoile_une, étoile_deux)
+ pour étoile dans étoiles
+ étoile.x, étoile.x_precedent =
+ verlet(étoile.x, étoile.x_precedent,
+ étoile.f / étoile.m, dt)
+```
+
+# Algorithme du problème à $n$-corps
+
+## Complexité
+
+* Complexité de chacune des parties?
+
+. . .
+
+* $\mathcal{O}(N^2)$, $\mathcal{O}(N)$.
+
+## En temps CPU pour **une itération**
+
+\footnotesize
+
+* Si temps pour $N=1$ on calcule en $1\mu s$:
+
++--------+-------+-------+-----------+
+| N | N^2 | t [s] | t [réel] |
++--------+-------+-------+-----------+
+| 10 | 10^2 | 1e-4 | |
++--------+-------+-------+-----------+
+| 10^4 | 10^8 | 1e+2 | ~1min |
++--------+-------+-------+-----------+
+| 10^6 | 10^12 | 1e+6 | ~11j |
++--------+-------+-------+-----------+
+| 10^9 | 10^18 | 1e+12 | ~30k ans |
++--------+-------+-------+-----------+
+| 10^11 | 10^22 | 1e+16 | ~300M ans |
++--------+-------+-------+-----------+
+
+* Typiquement il y a des milliers-millions d'itérations.
+* Il y a $10^{11}$ étoiles dans la galaxie.
+* Houston we have a problem.
+
+# Question
+
+## Comment faire mieux, des idées?
+
+. . .
+
+* Si un groupe d'étoiles est suffisamment loin, on le modélise comme un corps unique situé en son centre de masse.
+* Exemple: Si on simule plusieurs galaxies, on considère chaque galaxie comme un corps unique!
+* Un arbre quaternaire est une structure parfaite pour regrouper les étoiles.
+
+# Le cas à 10 corps
+
+::: columns
+
+:::: {.column width=50%}
+
+## Illustration: le cas à 10 corps
+
+{width=60%}
+
+::::
+
+:::: {.column width=50%}
+
+## Problématique
+
+* On veut calculer la force sur $1$.
+
+::::
+
+:::
+
+. . .
+
+
+::: columns
+
+:::: {.column width=50%}
+
+## Illustration: le cas à 10 corps
+
+{width=60%}
+
+
+::::
+
+:::: {.column width=50%}
+
+## Résultat
+
+* Calcul et somme des forces venant des $9$ autre corps.
+
+::::
+
+:::
+
+# Le cas à 10 corps
+
+::: columns
+
+:::: {.column width=50%}
+
+## Réduction d'un groupe à un seul corps
+
+{width=100%}
+
+::::
+
+:::: {.column width=50%}
+
+## Idée
+
+* On accélère le calcul en traitant un groupe comme un seul corps.
+* Fonctionne uniquement si le groupe est assez loin.
+* Autrement l'approximation est trop grossière.
+
+::::
+
+:::
+
+# Solution: l'arbre quaternaire
+
+## Corps célestes - arbre
+
+
+
+* On omet les nœuds vides pour éviter la surcharge.
+* La numérotation est:
+ * 0: ID
+ * 1: SD
+ * 2: IG
+ * 3: SG
+
+# Exemple d'insertion
+
+::: columns
+
+:::: {.column width=50%}
+
+## Insertion corps 1
+
+{width=100%}
+
+::::
+
+:::: {.column width=50%}
+
+## Arbre, niveau 1
+
+{width=100%}
+
+* Quadrant ID.
+* La feuille est vide, on insère.
+
+::::
+
+:::
+
+# Exemple d'insertion
+
+::: columns
+
+:::: {.column width=50%}
+
+## Insertion corps 2
+
+{width=100%}
+
+::::
+
+:::: {.column width=50%}
+
+## Arbre, niveau 1
+
+{width=100%}
+
+* Quadrant SD.
+* La feuille est vide, on insère.
+
+::::
+
+:::
+
+# Exemple d'insertion
+
+::: columns
+
+:::: {.column width=50%}
+
+## Insertion corps 3 (1/N)
+
+{width=100%}
+
+::::
+
+:::: {.column width=50%}
+
+## Arbre, niveau 1
+
+{width=100%}
+
+* Quadrant SD.
+* La feuille est prise par 2.
+
+::::
+
+:::
+
+# Exemple d'insertion
+
+::: columns
+
+:::: {.column width=50%}
+
+## Insertion corps 3 (2/N)
+
+{width=100%}
+
+::::
+
+:::: {.column width=50%}
+
+## Arbre, niveau 2
+
+{width=100%}
+
+* On crée un nouveau nœud.
+* Deux corps dans le nœud ID.
+* On crée un nouveau nœud.
+
+::::
+
+:::
+
+# Exemple d'insertion
+
+::: columns
+
+:::: {.column width=50%}
+
+## Insertion corps 3 (3/N)
+
+{width=100%}
+
+::::
+
+:::: {.column width=50%}
+
+## Arbre, niveau 3
+
+{width=100%}
+
+* 2 va dans ID.
+* 3 va dans SG.
+* C'est des feuilles vides, tout va bien.
+
+::::
+
+:::
+
+# Exemple d'insertion
+
+::: columns
+
+:::: {.column width=50%}
+
+## Que fait-on avec les nœuds intérieurs?
+
+* On les utilise pour:
+ * stocker la masse totale;
+ * stocker le centre de masse.
+
+\begin{align}
+m&=m_2+m_3,\\
+\vec x &= \frac{m_2\vec x_2+m_3\vec x_3}{m}.
+\end{align}
+
+## Chaque feuille contient **une étoile**
+
+::::
+
+:::: {.column width=50%}
+
+## Arbre
+
+{width=100%}
+
+::::
+
+:::
+
+# Résumé
+
+* Insertion du corps `c` dans le nœud `n` en partant de la racine.
+* Si le nœud `n`
+ * ne contient pas de corps, on y dépose `c`,
+ * est interne, on met à jour masse et centre de masse. `c` est inséré récursivement dans le bon quadrant.
+ * est externe, on subdivise `n`, on met à jour la masse et centre de masse, on insère récursivement les deux nœuds dans les quadrants appropriés.
+
+## Remarque
+
+* Il faut stocker les coordonnées des quadrants.
+* Un nœud a un comportement différent s'il est interne ou externe.
+
+
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