diff --git a/exercices/optimisation.md b/exercices/optimisation.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..884a6807be2fa9e2112a2d6d81244c04bc2a23a7 --- /dev/null +++ b/exercices/optimisation.md @@ -0,0 +1,70 @@ +--- +# author: +# - Orestis Malaspinas +title: Exercices d'optimisation +autoSectionLabels: true +autoEqnLabels: false +eqnPrefix: + - "éq." + - "éqs." +chapters: true +numberSections: true +chaptersDepth: 1 +sectionsDepth: 3 +lang: fr +documentclass: article +papersize: A4 +cref: false +pandoc-numbering: + - category: exercice +urlcolor: blue +--- +\newcommand{\real}{\mathbb{R}} +\newcommand{\vectwo}[2]{\begin{pmatrix}#1 \\ #2 \end{pmatrix}} +\newcommand{\vecthree}[3]{\begin{pmatrix}#1 \\ #2 \\ #3 \end{pmatrix}} +\newcommand{\mat}[1]{\underline{\underline{#1}}} +\newcommand{\mattwo}[4]{\begin{pmatrix} + #1 & #2 \\ + #3 & #4 + \end{pmatrix}} + +Série d'exercices {#optimisation .unnumbered} +================= + +Exercice (Minimisation à une variable) # + +1. Calculer les extrémas de la fonction +$$ +f(x)=6x^4-3x^2-1. +$$ +2. Imaginons que ces extrémas soient en $0$, $-1/2$ et $1/2$ (en fait c'est vraiment le cas, mais je ne vous donnerais pas cette information à l'épreuve). Pour chacun de ces points. Pouvez-vous dire s'il s'agit d'un minimum, maximum ou point d'inflexion? +3. Imaginons que la dérivée de cette fonction soit (encore une fois le hasard fait bien les choses) + $$ + f'(x)=24x^3-6x, + $$ + et que sa deuxième dérivée soit + $$ + f''(x)=72x^2-6. + $$ + Pouvez-vous écrire deux étapes de l'algorithme de Newton, pour déterminer un minimum, en partant de $x_0=1/4$? +4. Que vaut la 100000ème itération? (Attention ici il faut pas vraiment calculer 100000 itération, si tout s'est bien passé vous connaissez la réponse sans faire de calcul supplémentaire). + +Exercice (Fonctions multivariées) # + +Supposons que nous ayons un nuage de points, $\{(x_i,y_i)\}_{i=1}^N$. On aimerait trouver les paramètres, $a$, $b$, tels qu'on +minimise la distance entre la fonction $y(x)$ +$$ +y(x)=a\sqrt{x}+b, +$$ +et les points. + +1. Donner la fonction de coût, $f(a,b)$ associée à ce problème. +2. Calculer les dérivées partielles de $f(a,b)$. +3. Poser le système d'équations qui permet, une fois résolu, de déterminer $a$ et $b$? (Ne tentez pas de le résoudre.) +4. Soient les points + $$ + (x_0,y_0)=(0,0),\quad(x_1,y_1)=(1,1),\quad(x_2,y_2)=(4,2), + $$ + écrire le gradient de $f(a,b)$, $\vec \nabla f(a,b)$. (La réponse devrait être ($10a+6b-10$, $6b+6a-6$)). +5. Faire une itération de descente de gradient en partant de $a=0$, $b=0$, et $\lambda=0.1$. (La réponse devrait être $(1,0.6)$.) +