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title: "Rapport Math"
author: [Troller Fabian, Rivier Nicolas]
date: "2022-04-25"
keywords: [Math, Intégrales]
lang: "fr"
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...
# Introduction Génerale
Pour ce TP, nous avons reçu comme objectif de calculer une convolution de signaux numériquement et à la main d'en calculer l'erreur entre les deux, Ainsi que réussir à enlever le bruit d'une image 

# Introduction théorique

## Intégration numérique
On définit une fonction **f(x)**,  
\begin{equation}
f(x)=-\frac{2x-1}{\exp(x^2-x+2)},
\end{equation}

Ou l'on veut calculer son intégration entre un intervalle de **[a,b]** a un certain **N** d'approximation.

\begin{equation}
I(a,b,N,f(x))=\sum_{i=0}^{N-1} f(a+i\delta x)\delta x,\quad \delta x=\frac{b-a}{N}.
\end{equation}

Afin de pouvoir faire une comparaison d'erreur entre la solution numerique et analytique nous allons prendre la meme intervalle **[a,b]** $=$ **[1,5]** 

## Intégration analytique
Afin de valider notre intégration analytique et étudié l'erreur en fonction du **N** nombre d'intervalle.  
Nous allons calculer la solution analytique de notre fonction.

\begin{equation}
f(x)=-\frac{2x-1}{\exp(x^2-x+2)},
\end{equation}

\begin{equation}
I=\int_a^b f(x)*dx = -\frac{2x-1}{\exp(x^2-x+2)}\mathrm{d}x.
\end{equation}

pour un intervalle [1,5].

\begin{equation}
\int_1^5 -\frac{2x-1}{e^{(-x^2+x-2)}}
\end{equation}

\begin{equation}
\int_1^5 -(2x-1) * \frac{1}{e^{(-x^2+x-2)}}
\end{equation}

\begin{equation}
\int_1^5 (-2x+1) * e^{(-x^2+x-2)^{-1}} 
\end{equation}

\begin{equation}
\int_1^5 (-2x+1) * e^{(-x^2+x-2)}
\end{equation}

Déterminer la transformée en u

\begin{equation}
\int_1^5 du * e^u
\end{equation}

\begin{equation}
u = f(x) = -x^2+x-2
\end{equation}
\begin{equation}
du = F{(x)}'= -2x+1
\end{equation}

\begin{equation}
\int_1^5 e^u * du = \mid_1^5 e^{(-x^2+x-2)}
\end{equation}

selon 
\begin{equation}
\mid_a^b f(x) = f(b) - f(a)
\end{equation}

on obtient

\begin{equation}
\mid_1^5 e^{(-x^2+x-2)} = e^{-5^2+5-2} - e^{-1^2+1-2}
\end{equation}

\begin{equation}
e^{-25+5-2} - e^{-1+1-2} = e^{-22} - e^{-2}
\end{equation}

finalement 

\begin{equation}
I = \frac {1}{e^{22}} - \frac {1}{e^{2}} = -0,135335283
\end{equation}

## Validation
Afin de comparer nos résultats nous allons varier **N** de 5,10,50,100,500,1000 pour une même intervalle a b $=$ **[1,5]** et calculer l'erreur de notre résultat numérique par rapport à la solution analytique.

\begin{equation}
 E(N)=\left|\frac{I-I(a,b,N,f(x))}{I}\right|
\end{equation}

![Graphique E(N)](Graphic_Error_n.pdf "Graphique E(N)")


# Convolutions et filtrage
Afin de se familiariser avec les convolutions, nous allons filtrer des signaux à 1 dimension.

Pour cela nous définition un signal composé de deux signaux avec chacun une fréquence différents w1 et w2.

\begin{equation}
s(x)=\sin(2\pi\omega_1 x)+\sin(2\pi\omega_2 x).
\end{equation}

et un certain filtre

\begin{equation}
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
                \frac{1}{\psi},&\mbox{ si }x\in[-\psi/2,\psi/2]\\
                0,&\mbox{ sinon.}
               \end{array}\right.
\end{equation}

Le but est de déterminer l'intervalle du filtre
\begin{equation}
[-\psi/2,\psi/2]
\end{equation} 
afin que la convolution de ces deux fonctions (f*s)(x) annule une des deux composantes sinusoïdales du signal.

## Solution analytique
### Délimitation
La convolution de deux fonctions est définie de la sorte:
\begin{equation}
\int_{-\infty }^{\infty} S(x - t)*f(x)dt
\end{equation}

On va développer dans les intervalles que nous recherchons.

\begin{equation}
\int_{-\infty }^{-\psi/2} S(x - t)*f(x)dt + \int_{-\psi/2 }^{\psi/2} S(x - t)*f(x)dt + \int_{\psi/2 }^{\infty} S(x - t)*f(x)dt
\end{equation}

En observant f(x) on constate que dans l'intervalle [-psi/2, psi/2] f(x) vaut 1/psi sinon 0 :

\begin{equation}
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
                \frac{1}{\psi},&\mbox{ si }x\in[-\psi/2,\psi/2]\\
                0,&\mbox{ sinon.}
               \end{array}\right.
\end{equation}

donc notre domaine de convolution recherché s’étant a  
\begin{equation}
\int_{-\psi/2 }^{\psi/2} S(x - t)*f(x)dt = \int_{-\psi/2 }^{\psi/2} (\sin(2\pi\omega_1 (x - t))+\sin(2\pi\omega_2 (x - t))) * \frac{1}{\psi} dt
\end{equation}

### Transformée primaire

On cherche à déterminer la dérivée primaire du sinus et de sa composante par la factorisation de primitive en fonction de t :

\begin{equation}
f(g(t))' = f'(g(t))*g'(t)
\end{equation}

pour :
\begin{equation}
\int \sin(2\pi\omega(x-t)dt
\end{equation}

\begin{equation}
f(t) = sin(x) 	\quad étant \quad f'(t) = -cos(x)
\end{equation}
\begin{equation}
g(t) = 2\pi\omega(x-t) 	\quad étant \quad g'(t) = 2\pi\omega*0 - 2\pi\omega*1 = - 2\pi\omega
\end{equation}

Ce qui nous donne:
\begin{equation}
\int \sin(2\pi\omega(x-t)dt \neq -\cos(2\pi\omega(x-t) * -2\pi\omega
\end{equation}

Donc pour y remédier on multiplie par 1 l’intégrale:
\begin{equation}
\frac{-2\pi\omega}{-2\pi\omega} = 1
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{-2\pi\omega}{-2\pi\omega} * \int \sin(2\pi\omega(x-t)dt = \frac{-2\pi\omega}{-2\pi\omega} * -\cos(2\pi\omega(x-t) * -2\pi\omega
\end{equation}

Ce qui nous donne finalement comme résultat:
\begin{equation}
\int \sin(2\pi\omega(x-t)dt = \frac{-\cos(2\pi\omega(x-t)}{-2\pi\omega} = \frac{\cos(2\pi\omega(x-t)}{2\pi\omega}
\end{equation}

#### Transformée primaire de l’intégral au complet
\begin{equation}
\int_{-\psi/2 }^{\psi/2} (\sin(2\pi\omega_1 (x - t))+\sin(2\pi\omega_2 (x - t))) * \frac{1}{\psi} dt
\end{equation}

\begin{equation}
\mid_{-\psi/2 }^{\psi/2} (\frac{\cos(2\pi\omega_1(x-t))}{2\pi\omega_1} + \frac{\cos(2\pi\omega_2(x-t))}{2\pi\omega_2}) * \frac{1}{\psi}
\end{equation}

Distribution des constante et factoriser au mème dénominateur commun:

\begin{equation}
\mid_{-\psi/2 }^{\psi/2} \frac{\cos(2\pi\omega_1(x-t))}{2\pi\omega_1\psi} + \frac{\cos(2\pi\omega_2(x-t))}{2\pi\omega_2\psi}
\end{equation}

\begin{equation}
\mid_{-\psi/2 }^{\psi/2} \frac{\cos(2\pi\omega_1(x-t))}{2\pi\omega_1\psi}*\frac{\omega_2}{\omega_2} + \frac{\cos(2\pi\omega_2(x-t))}{2\pi\omega_2\psi}*\frac{\omega_1}{\omega_1}
\end{equation}

\begin{equation}
\mid_{-\psi/2 }^{\psi/2} \frac{\cos(2\pi\omega_1(x-t))\omega_2 + \cos(2\pi\omega_2(x-t))\omega_1}{2\pi\omega_1\omega_2\psi}
\end{equation}

### Distribution de la constante de temps

Selon la règle:
\begin{equation}
\mid_{\pi}^{-\pi} f(x-t) = f(x-\pi) - f(x+\pi)
\end{equation}

Notre convolution devient:

\begin{equation}
\mid_{-\psi/2 }^{\psi/2} \frac{\cos(2\pi\omega_1(x-t))\omega_2 + \cos(2\pi\omega_2(x-t))\omega_1}{2\pi\omega_1\omega_2\psi} 
\end{equation}

\begin{equation}
= \frac{\cos(2\pi\omega_1(x-\psi/2))\omega_2 + \cos(2\pi\omega_2(x-\psi/2))\omega_1}{2\pi\omega_1\omega_2\psi} - \frac{\cos(2\pi\omega_1(x+\psi/2))\omega_2 + \cos(2\pi\omega_2(x + \psi/2))\omega_1}{2\pi\omega_1\omega_2\psi}
\end{equation}

\begin{equation}
= \frac{\cos(2\pi\omega_1(x-\psi/2))\omega_2 + \cos(2\pi\omega_2(x-\psi/2))\omega_1 - \cos(2\pi\omega_1(x+\psi/2))\omega_2 - \cos(2\pi\omega_2(x + \psi/2))\omega_1}{2\pi\omega_1\omega_2\psi}
\end{equation}

### Regroupement des variables communes
Pour simplifier, je regroupe la formule en différentes parties :

\begin{equation}
\frac{A + B}{C}
\end{equation}
\begin{equation}
A = \cos(2\pi\omega_1(x-\psi/2))\omega_2 - \cos(2\pi\omega_1(x+\psi/2))\omega_2
\end{equation}

\begin{equation}
B = \cos(2\pi\omega_2(x-\psi/2))\omega_1 - \cos(2\pi\omega_2(x + \psi/2))\omega_1
\end{equation}

\begin{equation}
C = 2\pi\omega_1\omega_2\psi
\end{equation}

### Règles de transformation sinusoïdal

Selon une des régles de transformation de somme en produit du sinus:

\begin{equation}
cos(p) - cos(q) = - 2 sin(\frac{p+q}{2}) sin(\frac{p-q}{2})
\end{equation}

Nous allons appliquer cette régle sur A et B

\begin{equation}
A = \cos(2\pi\omega_1(x-\psi/2))\omega_2 - \cos(2\pi\omega_1(x+\psi/2))*\omega_2
\end{equation}

\begin{equation}
(\cos(2\pi\omega_1(x-\psi/2)) - \cos(2\pi\omega_1(x+\psi/2)))*\omega_2
\end{equation}

\begin{equation}
- 2 sin(\frac{2\pi\omega_1(x-\psi/2) + 2\pi\omega_1(x+\psi/2))}{2}) sin(\frac{2\pi\omega_1(x-\psi/2) - 2\pi\omega_1(x+\psi/2)}{2})*\omega_2
\end{equation}

\begin{equation}
- 2 sin(\frac{2\pi\omega_1((x-\psi/2)+(x+\psi/2))}{2}) sin(\frac{2\pi\omega_1((x-\psi/2) - (x+\psi/2))}{2})*\omega_2
\end{equation}

\begin{equation}
- 2 sin(\frac{2\pi\omega_1(2x)}{2}) sin(\frac{2\pi\omega_1(-2*\psi/2) )}{2})*\omega_2
\end{equation}

\begin{equation}
- 2 sin(\pi\omega_1(2x)) sin(\pi\omega_1(-\psi)))*\omega_2
\end{equation}

\begin{equation}
- 2 sin(2\pi\omega_1x) sin(-\pi\omega_1\psi)*\omega_2
\end{equation}

Puis sur B de la même façon.

\begin{equation}
B = \cos(2\pi\omega_2(x-\psi/2))\omega_1 - \cos(2\pi\omega_2(x + \psi/2))\omega_1
\end{equation}

\begin{equation}
(\cos(2\pi\omega_2(x-\psi/2)) - \cos(2\pi\omega_2(x + \psi/2)))*\omega_1
\end{equation}

\begin{equation}
...
\end{equation}

\begin{equation}
- 2 sin(2\pi\omega_2x) sin(-\pi\omega_2\psi)*\omega_1
\end{equation}


### Finalement en rassemblant A,B et C nous obtenons

\begin{equation}
\frac{- 2 sin(2\pi\omega_1x) sin(-\pi\omega_1\psi)*\omega_2 - 2 sin(2\pi\omega_2x) sin(-\pi\omega_2\psi)*\omega_1}{2\pi\omega_1\omega_2\psi}
\end{equation}

\begin{equation}
\frac{- sin(2\pi\omega_1x) sin(-\pi\omega_1\psi)*\omega_2 - sin(2\pi\omega_2x) sin(-\pi\omega_2\psi)*\omega_1}{\pi\omega_1\omega_2\psi}
\end{equation}

\begin{equation}
\frac{sin(2\pi\omega_1x) sin(\pi\omega_1\psi)*\omega_2 + sin(2\pi\omega_2x) sin(\pi\omega_2\psi)*\omega_1}{\pi\omega_1\omega_2\psi}
\end{equation}

\begin{equation}
\frac{sin(2\pi\omega_1x) sin(\pi\omega_1\psi)}{\pi\omega_1\psi} + \frac {sin(2\pi\omega_2x) sin(\pi\omega_1\psi)}{\pi\omega_2\psi}
\end{equation}



On peut alors observer que les deux composent du signal (les deux signaux sinusoïdaux) dépende d'un sinus(w * x) et sinus(w * phi).
On notera alors que si phi équivaut à la période d'un des deux composant 1/w. phi annule la composent visé.

Démonstration:
\begin{equation}
\psi = \frac{1}{\omega_1}
\end{equation}

\begin{equation}
\frac{- 2 sin(2\pi\omega_1x) sin(-\pi\omega_1\frac{1}{\omega_1})*\omega_2 - 2 sin(2\pi\omega_2x) sin(-\pi\omega_2\frac{1}{\omega_1})*\omega_1}{2\pi\omega_1\omega_2\frac{1}{\omega_1}}
\end{equation}

\begin{equation}
\frac{- 2 sin(2\pi\omega_1x) sin(-\pi)*\omega_2 - 2 sin(2\pi\omega_2x) sin(-\pi\frac{\omega_2}{\omega_1})*\omega_1}{2\pi\omega_2}
\end{equation}


Vu que sinus(PI) équivaut a 0. (calcule en radiant) cela revient a faire:

\begin{equation}
\frac{- 2 sin(2\pi\omega_2x) sin(-\pi\frac{\omega_2}{\omega_1})*\omega_1}{2\pi\omega_2}
\end{equation}

On a belle est bien annulé la premier composant (signal sinusoïdal) composent le signal de base S(x)

## Solution Numérique
Voici les résultats par rapport à **N** pour $E(N)$

$$
\underline{\underline{A}}=\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0\\
-1 & 0 & -1\\
0 & 1 & 0
\end{pmatrix}, \underline{\underline{B}}=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
4 & 5 & 6\\
7 & 8 & 9
\end{pmatrix}
$$

$$\underline{\underline{A}} \times \underline{\underline{B}} = \begin{pmatrix}
2 & 3 & 0\\
1 & 0 & 0\\
4 & 7 & 0
\end{pmatrix}$$