diff --git a/00_macros.md b/00_macros.md index b318fc15afe78f537e97c5dc402ec32edd4b52e8..4d42ff7842aa8c598b120052050637ed1217deac 100644 --- a/00_macros.md +++ b/00_macros.md @@ -32,6 +32,7 @@ \newcommand{\oK}{^\circ\mathrm{K}} \newcommand{\A}{\mathrm{A}} \newcommand{\N}{\mathrm{N}} +\newcommand{\F}{\mathrm{F}} \newcommand{\atm}{\mathrm{atm}} \renewcommand{\bar}{\mathrm{bar}} \newcommand{\V}{\mathrm{V}} @@ -43,4 +44,4 @@ \newcommand{\h}{\mathrm{h}} \newcommand{\Pa}{\mathrm{Pa}} \newcommand{\vectwo}[2]{\begin{pmatrix}#1 \\ #2 \end{pmatrix}} -\newcommand{\mat}[1]{{\underline{\underline{#1}}}} \ No newline at end of file +\newcommand{\mat}[1]{{\underline{\underline{#1}}}} diff --git a/04_potentiel_electrique.md b/04_potentiel_electrique.md index b9b4132035d30ee1b99d68dd14ec62aa0131a17c..7037c3149b5d2dbeb1122858ee9a69b49d9fdcef 100644 --- a/04_potentiel_electrique.md +++ b/04_potentiel_electrique.md @@ -391,3 +391,235 @@ les variations trop rapides de puissance électrique et ainsi protègent les circuits. On a pu aussi les utiliser pour la mémoire des ordinateurs dans des versions miniaturisées. +Les capacités sont représentées dans des circuits électriques pas un symbole +comme si la @fig:cap_symbol + +{#fig:cap_symbol width=50%} + +Si on applique un voltage (un potentiel), $V$, entre les deux plaques en les +connectant à une batterie ou à une prise électrique par exemple, une des deux +plaques va être chargée négativement tandis que l'autre sera chargée +positivement avec des charges respectivement $-Q$ et $Q$. La charge du +condensateur est proportionnelle à la différence de potentiel au bords du +condensateur, ici c'est $V$, le potentiel de la batterie ou de la prise. On a +que +$$ +Q=C\cdot V, +$$ +où $C$ est la capacité du condensateur et qui a des unités de Coulombs par +Volts, appelés *farad*, $[\mathrm{F}]$. Les capacités standards se situent +entre $1\mathrm{pF}=10^{-12}\mathrm{F}$ et +$1\mu\mathrm{F}=10^{-6}\mathrm{F}$. + +Ici, nous voyons facilement qu'on pourrait aisément confondre la capacité $C$, +avec les unités $\C$, (les Coulombs) et le voltage $V$ avec les volts. C'est un +peu malheureux, mais il faudra être un peu vigilant pour éviter les erreurs +malencontreuses. + +La capacité, $C$, ne dépend en général ni du voltage, ni de la charge du +condensateur. Elle ne dépend que de la forme et de la surface des plaques ainsi +que de la distance entre elles et le matériau qui les sépare. Ainsi pour des +plaques parallèles de surface $S$ et séparées par une distance $d$, on a +$$ +C=\epsilon_0\frac{S}{d}, +$$ +où $\epsilon_0$ est la permittivité du vide qu'on a déjà vu plus tôt dans ce +condensateurs +$$ +\epsilon_0=8.85\cdot 10^{-12}\frac{\mathrm{C}^2}{\N\cdot \m^2}. +$$ + + +--- + +Exemple (Application de formules) # + +1. Calculer la capacité d'un condensateur donc les plaques rectangulaire ont + des dimensions de $10\cm\times 5\cm$ et sont séparées d'une distance de + $1\mm$. +2. Quelle est la charge des plaques si on connecte la capacité à une batterie + de $12\V$, quelle sera la charge des plaques? +3. Quelle est le champs électrique entre les plaques? +4. Quelle devrait être la distance entre les plaques pour avoir une capacité de + $1\F$? + +--- + +--- + +Solution (Application de formules) # + +1. La surface du condensateur est de $S=0.1\cdot 0.05=5\cdot10^{-3}\m^2$. On + peut en déduire la capacité via +\begin{equation} + C=\epsilon_0\frac{S}{d}=8.85\cdot 10^{-12}\frac{5\cdot + 10^{-5}}{10^{-3}}=44.3\mathrm{pF}. +\end{equation} +2. La charge des plaque est donnée par +$$ +Q=C\cdot V=44.3\cdot 10^{-12}\cdot 12=5.31\cdot 10^{-10}\C. +$$ +3. Le champs électrique uniforme généré par les plaques est donné par +$$ +E=\frac{V}{d}=\frac{12}{10^{-3}}=1.2\cdot 10^4\frac{\V}{\m}. +$$ +4. En réutilisant la même équation que pour la question (1), on peut écrire +$$ +d=\epsilon_0\frac{S}{C}=8.85\cdot 10^{-12}\frac{5\cdot 10^{-3}}{1}=8.85\cdot +10^{-15}\m. +$$ +On voit donc qu'une capacité de $1\F$ est une quantité assez monstrueuse qu'il +n'est pas possible de produire avec une aussi petite surface. +En gardant une distance de $1\mm$, on pourrait avoir une capacité de $1\F$ en +augmentant la surface à +$$ +S=\frac{Cd}{\epsilon_0}=\frac{10^{-3}}{8.85\cdot 10^{-12}}=1.13\cdot +10^{8}\m^2, +$$ +soit un carré de $10\km$ de côté... + +--- + +Il existe une grande quantité d'applications pour les condensateurs: ils +peuvent servir de remplacement pour les batteries, sont à la base du +fonctionnement des microphones ou des touches de certains claviers. + +--- + +Illustration (Touche de clavier) # + +Une touche de clavier, dans certains cas, peut être attachée à une plaque de +condensateur mobile, alors que la seconde est fixe. Entre les plaques est situé +un isolant qui a des propriétés élastiques. Lorsque la touche est pressée, +l'isolant se comprime et la distance entre les plaques du condensateurs change. +Cela modifie le champs électrique entre les plaques du condensateur qui peut +ensuite être détecté par un circuit électrique. + +--- + +La charge d'un condensateur est reliée à la tension maximale qui peut être +appliquée entre ses plaques, sans que la charge puisse traverser et former un +arc électrique (comme cela se produit lorsque la charge passe des nuages à la +terre lors d'un orage). Ce phénomène s'appelle claquage électrique. +Cette tension dépend du matériau séparant les deux plaques. + +Jusqu'ici, nous avons supposé qu'il y a de l'air (ou du vide) entre les plaques +d'un condensateur. En général, on insère un isolant, comme du plastique, entre +les plaques. Cet isolant est appelé un *diélectrique*. + +Le diélectrique a plusieurs propriétés intéressantes: + +1. Le diélectrique est en général plus isolant que l'air, car il empêche les + charges de se déplacer aussi librement. Ainsi, il est possible + d'accumuler un plus grand voltage entre les plaques. +2. De même, les plaques du condensateurs peuvent être plus rapprochées sans que + les charges passent d'une plaque à l'autre. En rendant $d$ plus faible on + augmente la capacité. +3. On s'est rendu compte expérimentalement que la capacité d'un condensateur + est augmentée proportionnellement par un facteur $K$, la *constante + diélectrique*, ne dépendant que du diélectrique. On a donc que +$$ +C=K\epsilon_0\frac{S}{d}=\epsilon\frac{S}{d}, +$$ +avec $\epsilon=K\epsilon_0$ la permittivité du diélectrique. Pour l'air ou le +vide on a que $K=1$. Comme on l'a très brièvement discuté plus haut, il y a une +valeur maximale du champs électrique qui s'applique entre les plaques d'un +condensateur. Au delà, les charges peuvent passer entre les plaques. Cette +valeur limite du champs est appelée *rigidité diélectrique* et peut varier +grandement. Pour l'air elle est de $3\cdot 10^6\V/\m$, alors que pour du +plastique elle est de l'ordre de $50\cdot 10^6\V/\m$ pour $K\cong 4$. + +--- + +Question (Insertion de diélectrique à $V$ constant) # + +Soit un condensateur composé de deux plaques séparées d'une distance $d$ et +connecté à une batterie de voltage constant $V$ qui acquière une charge $Q$. Si +on insère un diélectrique avec $K>1$ entre les plaques, est-ce que $Q$ va +augmenter, diminuer, ou rester le même? + +--- + +--- + +Réponse (Insertion de diélectrique à $V$ constant) # + +Le voltage $V$ reste constant, alors que $C$ augmente à cause de la relation +$C=K\epsilon_0 S/d$. On déduit donc de la relation $Q=CV$ que $Q$ doit +augmenter pour $K>1$. Ainsi, quand on insère un diélectrique dans un +condensateur plus de charges seront retirées de la batterie pour être amenées +sur les plaques du condensateur. + +--- + +--- + +Question (Insertion de diélectrique dans un condensateur isolé) # + +Soit un condensateur composé de deux plaques séparée par de l'air, chargé à une +charge $Q$ et déconnecté de la batterie. On insère ensuite un diélectrique avec +$K>1$. Est-ce que $Q$, $V$, ou $C$ vont changer? + +--- + +--- + +Réponse(Insertion de diélectrique dans un condensateur isolé) # + +La charge $Q$ reste la même comme le condensateur est isolé du reste du monde. +La capacité elle augmente à cause de la permittivité augmentée. Ainsi la +tension entre les plaque diminue à cause de $V=Q/C$. + +--- + +### Description moléculaire des diélectriques + +D'un point de vue phénoménologique, il est intéressant de comprendre pourquoi +la présence d'un diélectrique augment la capacité d'un condensateur. Un +condensateur dont les plaques sont séparées par de l'air aura une capacité +$C_0$ et s'il est soumis à une tension $V_0$ aura une charge $Q$. Si nous +insérons un diélectrique entre les plaques, à cause du champs électrique entre +les plaques, les charges à l'intérieur du diélectrique vont se déplacer +légèrement (les électrons vont s'approcher de la charge positive et laissant +les protons plus proches de la charge négative). Cela va créer une petite +charge nette négative du côté de la plaque positive et une petite charge +positive du côté de la plaque négative. Cela aura pour effet "d'annuler" +certaines lignes de champs à l'intérieur du diélectrique (mais pas toutes) et +ainsi le voltage est également réduit (pour une charge constante). + +<!-- TODO Maybe add storage of energy (maybe it's too muche) --> + + +## Résumé + +Dans ce chapitre nous avons vu les concepts suivants: + +* Le potentiel électrique est l'énergie potentielle électrique par unité de + charge. +* La différence de potentiel électrique entre deux points est défini par le + travail nécessaire pour déplacer une charge de $1\C$ entre ces deux points + et est mesurée en volts, $\V=\J/\V$. +* La différence de potentiel entre deux points, $A,B$, dans un champs + électrique uniforme $E$ est donnée par + + $$V=-E\cdot d,$$ + avec $d$ la distance entre $A$ et $B$. +* Une charge $Q$ engendre un potentiel électrique +$$ +V=k\frac{Q}{r}. +$$ +* Un condensateur est un système composé de deux conducteurs séparé par un + isolant. +* La capacité, $C$, d'un condensateur se définit en fonction de sa charge et du + potentiel entre les deux conducteurs + $$ + C=Q/V. + $$ +* Elle peut également se définir par des considérations géométriques et des + propriétés intrinsèques de l'isolant + $$ + C=\epsilon\frac{S}{d}, + $$ + avec $\epsilon=K\epsilon_0$ la permittivité de l'isolant, $d$ la distance + entre les conducteurs, et $S$ leurs surface. diff --git a/figs/cap_symbol.svg b/figs/cap_symbol.svg new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..be14ef35b56d633a2fcce5550d3aa722a1ab450f --- /dev/null +++ b/figs/cap_symbol.svg @@ -0,0 +1,80 @@ +<?xml version="1.0" encoding="UTF-8" standalone="no"?> +<!-- Created with Inkscape (http://www.inkscape.org/) --> + +<svg + xmlns:dc="http://purl.org/dc/elements/1.1/" + xmlns:cc="http://creativecommons.org/ns#" + xmlns:rdf="http://www.w3.org/1999/02/22-rdf-syntax-ns#" + xmlns:svg="http://www.w3.org/2000/svg" + xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" + xmlns:sodipodi="http://sodipodi.sourceforge.net/DTD/sodipodi-0.dtd" + xmlns:inkscape="http://www.inkscape.org/namespaces/inkscape" + width="210mm" + height="297mm" + viewBox="0 0 210 297" + version="1.1" + id="svg8" + inkscape:version="0.92.5 (2060ec1f9f, 2020-04-08)" + sodipodi:docname="cap_symbol.svg"> + <defs + id="defs2" /> + <sodipodi:namedview + id="base" + pagecolor="#ffffff" + bordercolor="#666666" + borderopacity="1.0" + inkscape:pageopacity="0.0" + inkscape:pageshadow="2" + inkscape:zoom="1.979899" + inkscape:cx="303.52606" + inkscape:cy="400.03116" + inkscape:document-units="mm" + inkscape:current-layer="layer1" + showgrid="true" + inkscape:window-width="1884" + inkscape:window-height="1052" + inkscape:window-x="36" + inkscape:window-y="0" + inkscape:window-maximized="1"> + <inkscape:grid + type="xygrid" + id="grid815" /> + </sodipodi:namedview> + <metadata + id="metadata5"> + <rdf:RDF> + <cc:Work + rdf:about=""> + <dc:format>image/svg+xml</dc:format> + <dc:type + rdf:resource="http://purl.org/dc/dcmitype/StillImage" /> + <dc:title></dc:title> + </cc:Work> + </rdf:RDF> + </metadata> + <g + inkscape:label="Layer 1" + inkscape:groupmode="layer" + id="layer1"> + <path + style="fill:none;stroke:#000000;stroke-width:0.26458332px;stroke-linecap:butt;stroke-linejoin:miter;stroke-opacity:1" + d="m 46.302083,156.77083 v 50.27084" + id="path817" + inkscape:connector-curvature="0" /> + <path + style="fill:none;stroke:#000000;stroke-width:0.26458332px;stroke-linecap:butt;stroke-linejoin:miter;stroke-opacity:1" + d="m 58.208333,156.77083 v 50.27085" + id="path817-3" + inkscape:connector-curvature="0" /> + <path + style="fill:none;stroke:#000000;stroke-width:0.26458332px;stroke-linecap:butt;stroke-linejoin:miter;stroke-opacity:1" + d="M 46.302083,181.90625 H 35.71875" + id="path834" + inkscape:connector-curvature="0" /> + <path + style="fill:none;stroke:#000000;stroke-width:0.26458332px;stroke-linecap:butt;stroke-linejoin:miter;stroke-opacity:1" + d="M 68.791673,181.90626 H 58.208333" + id="path834-6" + inkscape:connector-curvature="0" /> + </g> +</svg>