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exercices/champs_electrique.md

@@ -46,190 +46,190 @@ accélération de $100\mathrm{m}/\mathrm{s}^2$. Que vaut le champs électrique?
 
 Exercice (Annulation) #
 
-Soient deux charge $Q_1$ et $Q_2$ séparée par une distance $r$. On sait qu'en 
+Soient deux charges $Q_1$ et $Q_2$ séparée par une distance $r$. On sait qu'en 
 $r/3$ le champs électrique s'annule. Que vaut le rapport $Q_1/Q_2$?
 
-Exercice (Gauss) #
+<!-- Exercice (Gauss) # -->
 
-Soit un cube de $10\mathrm{cm}$ de côté placé dans un champs électrique 
-uniforme $E=10^3\mathrm{N}/\mathrm{C}$ avec une face perpendiculaire au champs 
-électrique.
+<!-- Soit un cube de $10\mathrm{cm}$ de côté placé dans un champs électrique  -->
+<!-- uniforme $E=10^3\mathrm{N}/\mathrm{C}$ avec une face perpendiculaire au champs  -->
+<!-- électrique. -->
 
-1. Que vaut le flux total à travers la surface du cube?
-2. Que vaut le flux à travers chaque surface du cube?
+<!-- 1. Que vaut le flux total à travers la surface du cube? -->
+<!-- 2. Que vaut le flux à travers chaque surface du cube? -->
 
-# Correction {.unnumbered}
+<!-- # Correction {.unnumbered} -->
 
-## Ex 1: {.unnumbered}
+<!-- ## Ex 1: {.unnumbered} -->
 
-\begin{align*}
-e&= 1.6022\cdot10^{-19}C\qquad m_e = 9\cdot 10^{-31}kg\\
-m&= 10g = 10^{-2}kg\\
-Q&= 1\mu C= 10^{-6}C
-\end{align*}
+<!-- \begin{align*} -->
+<!-- e&= 1.6022\cdot10^{-19}C\qquad m_e = 9\cdot 10^{-31}kg\\ -->
+<!-- m&= 10g = 10^{-2}kg\\ -->
+<!-- Q&= 1\mu C= 10^{-6}C -->
+<!-- \end{align*} -->
 
-Pour gagner une charge de $1\mu C$, il faut perdre un certain nombre d'électrons $n$. On sait que la charge de l'électron est de $-e$. Il suffit donc de calculer le poids des électrons perdus. On commence par calculer $n$ :
+<!-- Pour gagner une charge de $1\mu C$, il faut perdre un certain nombre d'électrons $n$. On sait que la charge de l'électron est de $-e$. Il suffit donc de calculer le poids des électrons perdus. On commence par calculer $n$ : -->
 
-\begin{align*}
-n = \frac{Q}{e}
-\end{align*}
+<!-- \begin{align*} -->
+<!-- n = \frac{Q}{e} -->
+<!-- \end{align*} -->
 
-On sait que la masse perdue $m_{perdue}$ vaut :
+<!-- On sait que la masse perdue $m_{perdue}$ vaut : -->
 
-\begin{align*}
-m_{perdue}=m_e\cdot n
-\end{align*}
+<!-- \begin{align*} -->
+<!-- m_{perdue}=m_e\cdot n -->
+<!-- \end{align*} -->
 
-Pour savoir le pourcentage de masse perdu, il suffit de faire :
+<!-- Pour savoir le pourcentage de masse perdu, il suffit de faire : -->
 
-\begin{align*}
-100\cdot(1-\frac{m-m_{perdue}}{m}) = 100\cdot(1-\frac{m-n\cdot m_e}{m}) = 100\cdot(1-\frac{m-\frac{m_e\cdot Q}{e}}{m})
-\end{align*}
+<!-- \begin{align*} -->
+<!-- 100\cdot(1-\frac{m-m_{perdue}}{m}) = 100\cdot(1-\frac{m-n\cdot m_e}{m}) = 100\cdot(1-\frac{m-\frac{m_e\cdot Q}{e}}{m}) -->
+<!-- \end{align*} -->
 
-Ce qui nous donne :
+<!-- Ce qui nous donne : -->
 
-\begin{align*}
-&100\cdot(1-\frac{10^{-2}-\frac{9\cdot10^{-31}\cdot10^{-6}}{1.6022\cdot10^{-19}}}{10^{-2}}) = 100\cdot(1-\frac{10^{-2}-\frac{9\cdot10^{-37}}{1.6022\cdot10^{-19}}}{10^{-2}})\\=100\cdot(1-\frac{10^{-2}-\frac{9}{1.6022}\cdot10^{-18}}{10^{-2}})=100\cdot (1-1+\frac{9}{1.6022}\cdot10^{-16})\\
-&= 100\cdot \frac{9}{1.6022}\cdot10^{-16}=\frac{9}{1.6022}\cdot10^{-14}\approx5.62\cdot10^{-14}\%
-\end{align*}
+<!-- \begin{align*} -->
+<!-- &100\cdot(1-\frac{10^{-2}-\frac{9\cdot10^{-31}\cdot10^{-6}}{1.6022\cdot10^{-19}}}{10^{-2}}) = 100\cdot(1-\frac{10^{-2}-\frac{9\cdot10^{-37}}{1.6022\cdot10^{-19}}}{10^{-2}})\\=100\cdot(1-\frac{10^{-2}-\frac{9}{1.6022}\cdot10^{-18}}{10^{-2}})=100\cdot (1-1+\frac{9}{1.6022}\cdot10^{-16})\\ -->
+<!-- &= 100\cdot \frac{9}{1.6022}\cdot10^{-16}=\frac{9}{1.6022}\cdot10^{-14}\approx5.62\cdot10^{-14}\% -->
+<!-- \end{align*} -->
 
-Notre objet a donc perdu environ $5.62\cdot10^{-14}\%$ de sa masse.
+<!-- Notre objet a donc perdu environ $5.62\cdot10^{-14}\%$ de sa masse. -->
 
-## Ex 2: {.unnumbered}
+<!-- ## Ex 2: {.unnumbered} -->
 
 
-\begin{align*}
-E&=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{r^2}\\
-Q_1&=-5\mu C=-5\cdot10^{-6}C\qquad Q_2=7\mu C=7\cdot10^{-6}C\\
-d&=10cm=10^{-1}m
-\end{align*}
+<!-- \begin{align*} -->
+<!-- E&=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{r^2}\\ -->
+<!-- Q_1&=-5\mu C=-5\cdot10^{-6}C\qquad Q_2=7\mu C=7\cdot10^{-6}C\\ -->
+<!-- d&=10cm=10^{-1}m -->
+<!-- \end{align*} -->
 
 
-Pour calculer le champs électrique résultant entre deux charges, on se sert du principe de superposition :
+<!-- Pour calculer le champs électrique résultant entre deux charges, on se sert du principe de superposition : -->
 
-\begin{align*}
-E&=\sum_{i} E_i\\
-E&= E_1+E_2
-\end{align*}
+<!-- \begin{align*} -->
+<!-- E&=\sum_{i} E_i\\ -->
+<!-- E&= E_1+E_2 -->
+<!-- \end{align*} -->
 
-On a donc :
+<!-- On a donc : -->
 
-\begin{align*}
-E_1&= \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q_1}{(\frac{d}{2})^2}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q_1}{\frac{d^2}{4}}\\
-E_2&= \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q_2}{(\frac{d}{2})^2}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q_2}{\frac{d^2}{4}}\\
-\end{align*}
+<!-- \begin{align*} -->
+<!-- E_1&= \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q_1}{(\frac{d}{2})^2}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q_1}{\frac{d^2}{4}}\\ -->
+<!-- E_2&= \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q_2}{(\frac{d}{2})^2}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q_2}{\frac{d^2}{4}}\\ -->
+<!-- \end{align*} -->
 
-Ce qui nous donne :
+<!-- Ce qui nous donne : -->
 
-\begin{align*}
-E&=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q_1}{\frac{d^2}{4}}+\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q_2}{\frac{d^2}{4}}\\
-E&=\frac{1}{4\pi\epsilon_0\cdot\frac{d^2}{4}}\cdot(Q_1 + Q_2)\\
-E&=\frac{1}{4\pi\epsilon_0\cdot\frac{(10^{-1})^2}{4}}\cdot(-5\cdot10^{-6} + 7\cdot10^{-6})\\
-E&=\frac{1}{\pi\epsilon_0\cdot10^{-2}}\cdot2\cdot10^{-6}\\
-E&=\frac{1}{\pi\epsilon_0}\cdot2\cdot10^{-4}\approx {7.19\cdot10^{6}}\frac{N}{C}
-\end{align*}
+<!-- \begin{align*} -->
+<!-- E&=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q_1}{\frac{d^2}{4}}+\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q_2}{\frac{d^2}{4}}\\ -->
+<!-- E&=\frac{1}{4\pi\epsilon_0\cdot\frac{d^2}{4}}\cdot(Q_1 + Q_2)\\ -->
+<!-- E&=\frac{1}{4\pi\epsilon_0\cdot\frac{(10^{-1})^2}{4}}\cdot(-5\cdot10^{-6} + 7\cdot10^{-6})\\ -->
+<!-- E&=\frac{1}{\pi\epsilon_0\cdot10^{-2}}\cdot2\cdot10^{-6}\\ -->
+<!-- E&=\frac{1}{\pi\epsilon_0}\cdot2\cdot10^{-4}\approx {7.19\cdot10^{6}}\frac{N}{C} -->
+<!-- \end{align*} -->
 
-La valeur de notre champs électrique entre nos deux charges est donc environ de ${7.19\cdot10^{6}}\frac{N}{C}$.
+<!-- La valeur de notre champs électrique entre nos deux charges est donc environ de ${7.19\cdot10^{6}}\frac{N}{C}$. -->
 
-## Ex 3: {.unnumbered}
+<!-- ## Ex 3: {.unnumbered} -->
 
 
-\begin{align*}
-q_e&=-e=-1.6022\cdot10^{-19}C\qquad m_e = 9\cdot 10^{-31}kg\\
-a&=100\frac{m}{s^2}\\
-F&=Eq=m\cdot a
-\end{align*}
+<!-- \begin{align*} -->
+<!-- q_e&=-e=-1.6022\cdot10^{-19}C\qquad m_e = 9\cdot 10^{-31}kg\\ -->
+<!-- a&=100\frac{m}{s^2}\\ -->
+<!-- F&=Eq=m\cdot a -->
+<!-- \end{align*} -->
 
 
-Pour trouver la valeur de notre champs électrique, on doit déterminer la force subie par notre électron :
+<!-- Pour trouver la valeur de notre champs électrique, on doit déterminer la force subie par notre électron : -->
 
-\begin{align*}
-F=m_e\cdot a
-\end{align*}
+<!-- \begin{align*} -->
+<!-- F=m_e\cdot a -->
+<!-- \end{align*} -->
 
-On connaît également la relation entre la force subie et le champs électrique :
+<!-- On connaît également la relation entre la force subie et le champs électrique : -->
 
-\begin{align*}
-F&=E\cdot q_e \and F=m_e\cdot a \Leftrightarrow E\cdot q_e=m_e\cdot a\\
-E&=\frac{m_e\cdot a}{q_e}
-\end{align*}
+<!-- \begin{align*} -->
+<!-- F&=E\cdot q_e \and F=m_e\cdot a \Leftrightarrow E\cdot q_e=m_e\cdot a\\ -->
+<!-- E&=\frac{m_e\cdot a}{q_e} -->
+<!-- \end{align*} -->
 
 
-Ce qui nous donne :
+<!-- Ce qui nous donne : -->
 
-\begin{align*}
-E&=\frac{9\cdot 10^{-31}\cdot 100}{-1.6022\cdot10^{-19}}=\frac{9\cdot 10^{-29}}{-1.6022\cdot10^{-19}}\\
-E&=\frac{9}{-1.6022}\cdot 10^{-10}\approx -5.62\cdot10^{-10}\frac{N}{C}
-\end{align*}
+<!-- \begin{align*} -->
+<!-- E&=\frac{9\cdot 10^{-31}\cdot 100}{-1.6022\cdot10^{-19}}=\frac{9\cdot 10^{-29}}{-1.6022\cdot10^{-19}}\\ -->
+<!-- E&=\frac{9}{-1.6022}\cdot 10^{-10}\approx -5.62\cdot10^{-10}\frac{N}{C} -->
+<!-- \end{align*} -->
 
 
-## Ex 4: {.unnumbered}
+<!-- ## Ex 4: {.unnumbered} -->
 
 
-\begin{align*}
-E&=\sum_{i} \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q_i}{r_i^2}=\sum_{i} k\frac{Q_i}{r_i^2}\\
-E&= E_1+E_2 = 0 \frac{N}{C}\\
-r_1&= \frac{r}{3}\qquad r_2 = \frac{2}{3}\cdot r
-\end{align*}
+<!-- \begin{align*} -->
+<!-- E&=\sum_{i} \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q_i}{r_i^2}=\sum_{i} k\frac{Q_i}{r_i^2}\\ -->
+<!-- E&= E_1+E_2 = 0 \frac{N}{C}\\ -->
+<!-- r_1&= \frac{r}{3}\qquad r_2 = \frac{2}{3}\cdot r -->
+<!-- \end{align*} -->
 
 
-On souhaite connaître le rapport entre $Q_1$ et $Q_2$, on commence donc par poser l'équation suivante :
+<!-- On souhaite connaître le rapport entre $Q_1$ et $Q_2$, on commence donc par poser l'équation suivante : -->
 
-\begin{align*}
-E = E_1 + E_2 = k\cdot \frac{Q_1}{\frac{r}{3}^2}+k\cdot \frac{Q_2}{(\frac{2}{3}\cdot r)^2}\\
-E=k\cdot(\frac{Q_1}{\frac{r}{3}^2}+\frac{Q_2}{(\frac{2}{3}\cdot r)^2})
-\end{align*}
+<!-- \begin{align*} -->
+<!-- E = E_1 + E_2 = k\cdot \frac{Q_1}{\frac{r}{3}^2}+k\cdot \frac{Q_2}{(\frac{2}{3}\cdot r)^2}\\ -->
+<!-- E=k\cdot(\frac{Q_1}{\frac{r}{3}^2}+\frac{Q_2}{(\frac{2}{3}\cdot r)^2}) -->
+<!-- \end{align*} -->
 
-On va donc isoler le rapport $\frac{Q_1}{Q_2}$, en sachant que $E=0$, ce qui nous donne :
+<!-- On va donc isoler le rapport $\frac{Q_1}{Q_2}$, en sachant que $E=0$, ce qui nous donne : -->
 
-\begin{align*}
-E&=k\cdot(\frac{Q_1}{\frac{r}{3}^2}+\frac{Q_2}{(\frac{2}{3}\cdot r)^2})=0\\
-0&=\frac{Q_1}{\frac{r^2}{3^2}}+\frac{Q_2}{\frac{2}{3}^2\cdot r^2}\\
-0&=\frac{Q_1}{\frac{1}{3^2}\cdot r^2}+\frac{Q_2}{\frac{2}{3}^2\cdot r^2}\\
-0&=\frac{Q_1}{\frac{1}{3^2}}+\frac{Q_2}{(\frac{2}{3})^2}\\
-0&=3^2\cdot Q_1+(\frac{3}{2})^2\cdot Q_2\\
-0&=36\cdot Q_1+9\cdot Q_2\\
--36\cdot Q_1&=9\cdot Q_2\\
-\frac{Q_1}{Q_2}&=-\frac{9}{36}=-\frac{1}{4}
-\end{align*}
+<!-- \begin{align*} -->
+<!-- E&=k\cdot(\frac{Q_1}{\frac{r}{3}^2}+\frac{Q_2}{(\frac{2}{3}\cdot r)^2})=0\\ -->
+<!-- 0&=\frac{Q_1}{\frac{r^2}{3^2}}+\frac{Q_2}{\frac{2}{3}^2\cdot r^2}\\ -->
+<!-- 0&=\frac{Q_1}{\frac{1}{3^2}\cdot r^2}+\frac{Q_2}{\frac{2}{3}^2\cdot r^2}\\ -->
+<!-- 0&=\frac{Q_1}{\frac{1}{3^2}}+\frac{Q_2}{(\frac{2}{3})^2}\\ -->
+<!-- 0&=3^2\cdot Q_1+(\frac{3}{2})^2\cdot Q_2\\ -->
+<!-- 0&=36\cdot Q_1+9\cdot Q_2\\ -->
+<!-- -36\cdot Q_1&=9\cdot Q_2\\ -->
+<!-- \frac{Q_1}{Q_2}&=-\frac{9}{36}=-\frac{1}{4} -->
+<!-- \end{align*} -->
 
-Le rapport entre nos deux charges est donc $\frac{Q_1}{Q_2}=-\frac{1}{4}$.
+<!-- Le rapport entre nos deux charges est donc $\frac{Q_1}{Q_2}=-\frac{1}{4}$. -->
 
-## Ex 5: {.unnumbered}
+<!-- ## Ex 5: {.unnumbered} -->
 
 
-\begin{align*}
-S_{face} &= 10cm \cdot 10cm = 10^{-2}m^2\\
-E &= 10^3\frac{N}{C}\\
-\Phi_E&=\sum_{i=1}^{6} \Phi_{E_i}=\sum_{i=1}^{6} ES_{face}\cos{\theta_i}
-\end{align*}
+<!-- \begin{align*} -->
+<!-- S_{face} &= 10cm \cdot 10cm = 10^{-2}m^2\\ -->
+<!-- E &= 10^3\frac{N}{C}\\ -->
+<!-- \Phi_E&=\sum_{i=1}^{6} \Phi_{E_i}=\sum_{i=1}^{6} ES_{face}\cos{\theta_i} -->
+<!-- \end{align*} -->
 
 
-Pour calculer le flux passant à travers la surface de notre cube, il nous faut déterminer les différents angles $\theta_i$. On sait que l'une des faces (que l'on appellera face n°1) est perpendiculaire au champs, par conséquent, on sait que le vecteur normal de cette surface forme un angle nul avec le champs. On peut donc déduire les autres angles :
+<!-- Pour calculer le flux passant à travers la surface de notre cube, il nous faut déterminer les différents angles $\theta_i$. On sait que l'une des faces (que l'on appellera face n°1) est perpendiculaire au champs, par conséquent, on sait que le vecteur normal de cette surface forme un angle nul avec le champs. On peut donc déduire les autres angles : -->
 
-\begin{align*}
-\theta_1 &= 0\\
-\theta_2 &= \frac{\pi}{2}\\
-\theta_3 &= \pi\\
-\theta_4 &= \frac{\pi}{2}\\
-\theta_5 &= \frac{\pi}{2}\\
-\theta_6 &= \frac{\pi}{2}
-\end{align*}
+<!-- \begin{align*} -->
+<!-- \theta_1 &= 0\\ -->
+<!-- \theta_2 &= \frac{\pi}{2}\\ -->
+<!-- \theta_3 &= \pi\\ -->
+<!-- \theta_4 &= \frac{\pi}{2}\\ -->
+<!-- \theta_5 &= \frac{\pi}{2}\\ -->
+<!-- \theta_6 &= \frac{\pi}{2} -->
+<!-- \end{align*} -->
 
-Ce qui nous donne les flux suivants pour chacune des faces :
+<!-- Ce qui nous donne les flux suivants pour chacune des faces : -->
 
-\begin{align*}
-\Phi_{E_1} &= ES_{face}\cos\theta_1 = 10^3\cdot10^{-2} \cos 0 = 10 \frac{N\cdot m^2}{C}\\
-\Phi_{E_2} &= ES_{face}\cos\theta_2 = 10^3\cdot10^{-2} \cos \frac{\pi}{2} = 0 \frac{N\cdot m^2}{C}\\
-\Phi_{E_3} &= ES_{face}\cos\theta_3 = 10^3\cdot10^{-2} \cos \pi = -10 \frac{N\cdot m^2}{C}\\
-\Phi_{E_4} &= ES_{face}\cos\theta_4 = 10^3\cdot10^{-2} \cos \frac{\pi}{2} = 0 \frac{N\cdot m^2}{C}\\
-\Phi_{E_5} &= ES_{face}\cos\theta_5 = 10^3\cdot10^{-2} \cos \frac{\pi}{2} = 0 \frac{N\cdot m^2}{C}\\
-\Phi_{E_6} &= ES_{face}\cos\theta_6 = 10^3\cdot10^{-2} \cos \frac{\pi}{2} = 0 \frac{N\cdot m^2}{C}
-\end{align*}
+<!-- \begin{align*} -->
+<!-- \Phi_{E_1} &= ES_{face}\cos\theta_1 = 10^3\cdot10^{-2} \cos 0 = 10 \frac{N\cdot m^2}{C}\\ -->
+<!-- \Phi_{E_2} &= ES_{face}\cos\theta_2 = 10^3\cdot10^{-2} \cos \frac{\pi}{2} = 0 \frac{N\cdot m^2}{C}\\ -->
+<!-- \Phi_{E_3} &= ES_{face}\cos\theta_3 = 10^3\cdot10^{-2} \cos \pi = -10 \frac{N\cdot m^2}{C}\\ -->
+<!-- \Phi_{E_4} &= ES_{face}\cos\theta_4 = 10^3\cdot10^{-2} \cos \frac{\pi}{2} = 0 \frac{N\cdot m^2}{C}\\ -->
+<!-- \Phi_{E_5} &= ES_{face}\cos\theta_5 = 10^3\cdot10^{-2} \cos \frac{\pi}{2} = 0 \frac{N\cdot m^2}{C}\\ -->
+<!-- \Phi_{E_6} &= ES_{face}\cos\theta_6 = 10^3\cdot10^{-2} \cos \frac{\pi}{2} = 0 \frac{N\cdot m^2}{C} -->
+<!-- \end{align*} -->
 
-En sommant on obtient, le flux total suivant :
+<!-- En sommant on obtient, le flux total suivant : -->
 
-\begin{align*}
-\Phi_E&=\sum_{i=1}^{6} \Phi_{E_i}=\sum_{i=1}^{6} ES_{face}\cos{\theta_i}\\
-\Phi_E&=10 + 0 - 10 + 0 + 0 + 0 = 0 \frac{N\cdot m^2}{C}
-\end{align*}
+<!-- \begin{align*} -->
+<!-- \Phi_E&=\sum_{i=1}^{6} \Phi_{E_i}=\sum_{i=1}^{6} ES_{face}\cos{\theta_i}\\ -->
+<!-- \Phi_E&=10 + 0 - 10 + 0 + 0 + 0 = 0 \frac{N\cdot m^2}{C} -->
+<!-- \end{align*} -->