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@@ -627,9 +627,10 @@ Dessiner les lignes de champs pour un charge positive seule et une charge négat
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On ne dessine qu'une quantité limitées de lignes de champs, bien qu'il en existe une infinité.
-En général la densité de lignes de champs est proportionnelle à l'intensité du champs
+La *densité* de lignes de champs est proportionnelle à l'intensité du champs
électrique dans cette région de l'espace (plus elles sont denses plus le champs électrique
-est important).
+est important). Cette propriété des lignes de champs électrique sera très utile plus tard il
+faut donc bien s'en souvenir.
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@@ -737,12 +738,50 @@ $$
$$
où $S_\perp=S\cdot \theta$ est la projection de $\vec S$ sur la direction du champs électrique (la surface $S$ multipliée par le vecteur unitaire perpendiculaire à la surface) et $E_\perp$ la projection de $\vec E$ sur la direction normale à la surface $S$.
+Comme nous l'avons discuté plus haut, le champs électrique se représente
+avec les lignes de champs. Plus le champs est intense, plus les lignes sont
+rapprochées. Ainsi le nombre de le champs électrique $E$ est proportionnel à
+la densité des lignes traversant $S_\perp$,
+$$
+N\sim E\cdot S_\perp=\Phi_E.
+$$
Le théorème de Gauss implique le flux total de champs électrique sur une surface **fermée**.
-Prenons un cas simplifié pour commencer, où la surface fermée est un *cube*. On souhaite calculé
-le flux total passant dans la surface du cube (voir @fig:flux_cube).
+Prenons un cas simplifié pour commencer, où la surface fermée est un *cube*. On souhaite calculer
+le flux total passant u travers de la surface du cube (voir @fig:flux_cube) et le champs électrique est *uniforme*.
+
+{#fig:flux_cube width=80%}
+
+Pour ce faire nous numérotons les facettes du cube $\Delta S_1$, $\Delta S_2$, ..., $\Delta S_6$ (voir @fig:flux_cube),
+et l'angle entre le champs électrique et chacune des normales des facettes correspondantes, $\theta_1$, $\theta_2$, ..., $\theta_6$.
+Le flux total sera donné par
+\begin{align}
+\Phi_E&=\Delta S_1 E \cos\theta_1+\Delta S_2 E \cos\theta_2+\Delta S_3 E \cos\theta_3+\Delta S_4 E \cos\theta_4+\Delta S_5 E \cos\theta_5+\Delta S_6 E \cos\theta_6\nonumber\\
+&=\sum_{i=1}^6E\Delta S_i\cdos\theta_i.
+\end{align}
+Comme nous avons vu plus haut, le nombre de lignes de champs
+partant d'une charge positive et arrivant sur une charge négative
+sont proportionnelles à la charge. Ainsi le nombre **net** (la différence entre celle entrantes
+et celles sortantes) de lignes
+de champs pointant vers l'extérieur d'une surface fermée est proportionnel
+à la charge à l'intérieur de la surface, $Q_\mathrm{int}$. La constante de
+proportionnalité est $1/\epsilon_0$. On a donc finalement
+$$
+\sum_i E\Delta S_i\cdos\theta_i=\frac{Q_\mathrm{int}}{\epsilon_0}.
+$$
+En l'occurrence, on a aucune charge à l'intérieur du cube et on peut voir assez facilement
+que dans le cas où $E$ est homogène et aligné avec une face du cube, on a:
+$$
+E\cos \pi + E\cos 0+ 4\cos\pi/2= -E+E=0.
+$$
+En fait cette relation se généralise à n'importe quelle surface fermée.
+Si on numérote les $N$ facettes d'une surface **fermée**, $\{\Delta S_i\}_{i=1}^N$,
+et l'angle entre la normale de la $i$-ème facette avec le champs $E$, $\{\theta_i\}_{i=1}^N$
+on peut écrire la **loi de Gauss**
+$$
+\sum_i^N E\Delta S_i\cdos\theta_i=\frac{Q_\mathrm{int}}{\epsilon_0}.
+$$
+
-{#fig:flux_a width=80%}
-Pour ce faire nous numérotons les facettes du cube $\Delta S_1$, $\Delta S_2$, ..., $\Delta S_6$ (voir @fig:delta_cube)