diff --git a/02_lois_de_newton.md b/02_lois_de_newton.md index 322e5b72c9d086500113503e1544d9e1f8d3f79d..a1f1f4d3f5b2214b3186142f46c4a7aae314be40 100644 --- a/02_lois_de_newton.md +++ b/02_lois_de_newton.md @@ -1096,6 +1096,63 @@ $$ --- +Exercice (Mouvement parabolique) # + +Comparer la position d'un objet $\vec s_\mathrm{exact}$ +$$ +\vec s_\mathrm{exact}=\vectwo{\frac{1}{2}\vec a_x t^2+v_{0x} t}{\frac{1}{2}\vec a_y t^2+\vec v_{0y} t}, +$$ +soumis à une accélération +$$ +\vec a=\vectwo{0}{-10}\m/\s^2, +$$ +et +$$ +\vec v_0=\vectwo{1}{1}\m/\s, +$$ +après un temps $t=0.2\s$ et ce qu'on obtient avec l'équation de Verlet pour +$\delta t=0.1$ et $\delta t=0.05$. + +--- + +--- + +Solution (Mouvement parabolique) # + +Après $t=0.2\s$ l'ojet se trouve à +$$ +\vec s_\mathrm{exact}=\vectwo{0.2}{0.0}\m. +$$ +Pour l'approximation de Verlet, on doit d'abord initialiser le problème, soit calculer $\vec s_0=\vec s(t=0)$ et $\vec s_1(t=\delta t)$. +On a +$$ +\vec s_0=\vectwo{0}{0}\m, +$$ +et pour $\delta t=0.1$ +$$ +\vec s_1(\delta t=0.1)=\vec s_0+\delta t\vec v(t_0)+\vec a\delta t^2=\vectwo{0.1}{0.1}+\vectwo{0.0}{-0.01\cdot 10}=\vectwo{0.1}{0.0}\m. +$$ +On obtient donc pour $\vec s_2(t=2\delta 2)$ on a +$$ +\vec s_2(\delta t=0.1)=2\vec s_1-\vec s_0+\vec a\delta t^2=\vectwo{0.2}{0.0}+\vectwo{0.0}{-0.01\cdot 10}=\vectwo{0.2}{-0.1}\m. +$$ +De même pour $\delta t=0.05$ on a +$$ +\vec s_1(\delta t=0.05)=\vec s_0+\delta t\vec v(t_0)+\vec a\delta t^2=\vectwo{0.05}{0.05}+\vectwo{0.0}{-0.0025\cdot 10}=\vectwo{0.05}{0.0025}\m. +$$ +Et ensuite les différentes étape $\vec s_2=\vec s(t=2\delta t)$, +$\vec s_3=\vec s(t=3\delta t)$, $\vec s_4=\vec s(t=4\delta t)$ +\begin{align} +\vec s_2(\delta t=0.05)&=2\vec s_1-\vec s_0+\vec a\delta t^2=\vectwo{0.1}{0.05}+\vectwo{0.0}{-0.0025\cdot 10}=\vectwo{0.1}{0.025}\m,\\ +\vec s_3(\delta t=0.05)&=2\vec s_2-\vec s_1+\vec a\delta t^2=\vectwo{0.2}{0.05}-\vectwo{0.1}{0.025}+\vectwo{0.0}{-0.0025}=\vectwo{0.15}{0.0}\m,\\ +\vec s_4(\delta t=0.05)&=2\vec s_3-\vec s_2+\vec a\delta t^2=\vectwo{0.3}{0.0}-\vectwo{0.1}{0.025}+\vectwo{0.0}{-0.0025}=\vectwo{0.2}{-0.05}\m. +\end{align} +On voit que bien que $\vec s_4(\delta t = 0.05)=\vectwo{0.2}{-0.05}$ soit toujours faux par rapport à la solution exacte, elle est plus proche de la solution que $\vec s_2(\delta t=0.1)=\vectwo{0.2}{-0.1}$. On constate également que si on a pas d'accélération, la position trouvée est **exacte**. + +--- + +--- + Travail pratique (Mouvement des particules) # 1. Implémenter le mouvement des particules en utilisant les formules ci-dessus.