Les équations sont mal alignées

exercices/champs_electrique.md

@@ -63,11 +63,9 @@ uniforme $E=10^3\mathrm{N}/\mathrm{C}$ avec une face perpendiculaire au champs
 ## Ex 1: {.unnumbered}
 
 \begin{align*}
-e = 1.6022\cdot10^{-19}C\qquad m_e = 9\cdot 10^{-31}kg
-\\
-m = 10g = 10^{-2}kg
-\\
-Q = 1\mu C= 10^{-6}C
+e&= 1.6022\cdot10^{-19}C\qquad m_e = 9\cdot 10^{-31}kg\\
+m&= 10g = 10^{-2}kg\\
+Q&= 1\mu C= 10^{-6}C
 \end{align*}
 
 Pour gagner une charge de $1\mu C$, il faut perdre un certain nombre d'électrons $n$. On sait que la charge de l'électron est de $-e$. Il suffit donc de calculer le poids des électrons perdus. On commence par calculer $n$ :
@@ -91,8 +89,8 @@ Pour savoir le pourcentage de masse perdu, il suffit de faire :
 Ce qui nous donne :
 
 \begin{align*}
-100\cdot(1-\frac{10^{-2}-\frac{9\cdot10^{-31}\cdot10^{-6}}{1.6022\cdot10^{-19}}}{10^{-2}}) = 100\cdot(1-\frac{10^{-2}-\frac{9\cdot10^{-37}}{1.6022\cdot10^{-19}}}{10^{-2}})\\=100\cdot(1-\frac{10^{-2}-\frac{9}{1.6022}\cdot10^{-18}}{10^{-2}})=100\cdot (1-1+\frac{9}{1.6022}\cdot10^{-16})\\
-= 100\cdot \frac{9}{1.6022}\cdot10^{-16}=\frac{9}{1.6022}\cdot10^{-14}\approx5.62\cdot10^{-14}\%
+&100\cdot(1-\frac{10^{-2}-\frac{9\cdot10^{-31}\cdot10^{-6}}{1.6022\cdot10^{-19}}}{10^{-2}}) = 100\cdot(1-\frac{10^{-2}-\frac{9\cdot10^{-37}}{1.6022\cdot10^{-19}}}{10^{-2}})\\=100\cdot(1-\frac{10^{-2}-\frac{9}{1.6022}\cdot10^{-18}}{10^{-2}})=100\cdot (1-1+\frac{9}{1.6022}\cdot10^{-16})\\
+&= 100\cdot \frac{9}{1.6022}\cdot10^{-16}=\frac{9}{1.6022}\cdot10^{-14}\approx5.62\cdot10^{-14}\%
 \end{align*}
 
 Notre objet a donc perdu environ $5.62\cdot10^{-14}\%$ de sa masse.
@@ -101,34 +99,34 @@ Notre objet a donc perdu environ $5.62\cdot10^{-14}\%$ de sa masse.
 
 
 \begin{align*}
-E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{r^2}\\
-Q_1=-5\mu C=-5\cdot10^{-6}C\qquad Q_2=7\mu C=7\cdot10^{-6}C\\
-d=10cm=10^{-1}m
+E&=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{r^2}\\
+Q_1&=-5\mu C=-5\cdot10^{-6}C\qquad Q_2=7\mu C=7\cdot10^{-6}C\\
+d&=10cm=10^{-1}m
 \end{align*}
 
 
 Pour calculer le champs électrique résultant entre deux charges, on se sert du principe de superposition :
 
 \begin{align*}
-E=\sum_{i} E_i\\
-E = E_1+E_2
+E&=\sum_{i} E_i\\
+E&= E_1+E_2
 \end{align*}
 
 On a donc :
 
 \begin{align*}
-E_1 = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q_1}{(\frac{d}{2})^2}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q_1}{\frac{d^2}{4}}\\
-E_2 = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q_2}{(\frac{d}{2})^2}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q_2}{\frac{d^2}{4}}\\
+E_1&= \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q_1}{(\frac{d}{2})^2}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q_1}{\frac{d^2}{4}}\\
+E_2&= \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q_2}{(\frac{d}{2})^2}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q_2}{\frac{d^2}{4}}\\
 \end{align*}
 
 Ce qui nous donne :
 
 \begin{align*}
-E =\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q_1}{\frac{d^2}{4}}+\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q_2}{\frac{d^2}{4}}\\
-E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0\cdot\frac{d^2}{4}}\cdot(Q_1 + Q_2)\\
-E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0\cdot\frac{(10^{-1})^2}{4}}\cdot(-5\cdot10^{-6} + 7\cdot10^{-6})\\
-E=\frac{1}{\pi\epsilon_0\cdot10^{-2}}\cdot2\cdot10^{-6}\\
-E=\frac{1}{\pi\epsilon_0}\cdot2\cdot10^{-4}\approx {7.19\cdot10^{6}}\frac{N}{C}
+E&=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q_1}{\frac{d^2}{4}}+\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q_2}{\frac{d^2}{4}}\\
+E&=\frac{1}{4\pi\epsilon_0\cdot\frac{d^2}{4}}\cdot(Q_1 + Q_2)\\
+E&=\frac{1}{4\pi\epsilon_0\cdot\frac{(10^{-1})^2}{4}}\cdot(-5\cdot10^{-6} + 7\cdot10^{-6})\\
+E&=\frac{1}{\pi\epsilon_0\cdot10^{-2}}\cdot2\cdot10^{-6}\\
+E&=\frac{1}{\pi\epsilon_0}\cdot2\cdot10^{-4}\approx {7.19\cdot10^{6}}\frac{N}{C}
 \end{align*}
 
 La valeur de notre champs électrique entre nos deux charges est donc environ de ${7.19\cdot10^{6}}\frac{N}{C}$.
@@ -137,9 +135,9 @@ La valeur de notre champs électrique entre nos deux charges est donc environ de
 
 
 \begin{align*}
-q_e=-e=-1.6022\cdot10^{-19}C\qquad m_e = 9\cdot 10^{-31}kg\\
-a=100\frac{m}{s^2}\\
-F=Eq=m\cdot a
+q_e&=-e=-1.6022\cdot10^{-19}C\qquad m_e = 9\cdot 10^{-31}kg\\
+a&=100\frac{m}{s^2}\\
+F&=Eq=m\cdot a
 \end{align*}
 
 
@@ -152,16 +150,16 @@ F=m_e\cdot a
 On connaît également la relation entre la force subie et le champs électrique :
 
 \begin{align*}
-F=E\cdot q_e \and F=m_e\cdot a \Leftrightarrow E\cdot q_e=m_e\cdot a\\
-E=\frac{m_e\cdot a}{q_e}
+F&=E\cdot q_e \and F=m_e\cdot a \Leftrightarrow E\cdot q_e=m_e\cdot a\\
+E&=\frac{m_e\cdot a}{q_e}
 \end{align*}
 
 
 Ce qui nous donne :
 
 \begin{align*}
-E=\frac{9\cdot 10^{-31}\cdot 100}{-1.6022\cdot10^{-19}}=\frac{9\cdot 10^{-29}}{-1.6022\cdot10^{-19}}\\
-E=\frac{9}{-1.6022}\cdot 10^{-10}\approx -5.62\cdot10^{-10}\frac{N}{C}
+E&=\frac{9\cdot 10^{-31}\cdot 100}{-1.6022\cdot10^{-19}}=\frac{9\cdot 10^{-29}}{-1.6022\cdot10^{-19}}\\
+E&=\frac{9}{-1.6022}\cdot 10^{-10}\approx -5.62\cdot10^{-10}\frac{N}{C}
 \end{align*}
 
 
@@ -169,9 +167,9 @@ E=\frac{9}{-1.6022}\cdot 10^{-10}\approx -5.62\cdot10^{-10}\frac{N}{C}
 
 
 \begin{align*}
-E=\sum_{i} \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q_i}{r_i^2}=\sum_{i} k\frac{Q_i}{r_i^2}\\
-E = E_1+E_2 = 0 \frac{N}{C}\\
-r_1 = \frac{r}{3}\qquad r_2 = \frac{2}{3}\cdot r
+E&=\sum_{i} \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q_i}{r_i^2}=\sum_{i} k\frac{Q_i}{r_i^2}\\
+E&= E_1+E_2 = 0 \frac{N}{C}\\
+r_1&= \frac{r}{3}\qquad r_2 = \frac{2}{3}\cdot r
 \end{align*}
 
 
@@ -185,14 +183,14 @@ E=k\cdot(\frac{Q_1}{\frac{r}{3}^2}+\frac{Q_2}{(\frac{2}{3}\cdot r)^2})
 On va donc isoler le rapport $\frac{Q_1}{Q_2}$, en sachant que $E=0$, ce qui nous donne :
 
 \begin{align*}
-E=k\cdot(\frac{Q_1}{\frac{r}{3}^2}+\frac{Q_2}{(\frac{2}{3}\cdot r)^2})=0\\
-0=\frac{Q_1}{\frac{r^2}{3^2}}+\frac{Q_2}{\frac{2}{3}^2\cdot r^2}\\
-0=\frac{Q_1}{\frac{1}{3^2}\cdot r^2}+\frac{Q_2}{\frac{2}{3}^2\cdot r^2}\\
-0=\frac{Q_1}{\frac{1}{3^2}}+\frac{Q_2}{(\frac{2}{3})^2}\\
-0=3^2\cdot Q_1+(\frac{3}{2})^2\cdot Q_2\\
-0=36\cdot Q_1+9\cdot Q_2\\
--36\cdot Q_1=9\cdot Q_2\\
-\frac{Q_1}{Q_2}=-\frac{9}{36}=-\frac{1}{4}
+E&=k\cdot(\frac{Q_1}{\frac{r}{3}^2}+\frac{Q_2}{(\frac{2}{3}\cdot r)^2})=0\\
+0&=\frac{Q_1}{\frac{r^2}{3^2}}+\frac{Q_2}{\frac{2}{3}^2\cdot r^2}\\
+0&=\frac{Q_1}{\frac{1}{3^2}\cdot r^2}+\frac{Q_2}{\frac{2}{3}^2\cdot r^2}\\
+0&=\frac{Q_1}{\frac{1}{3^2}}+\frac{Q_2}{(\frac{2}{3})^2}\\
+0&=3^2\cdot Q_1+(\frac{3}{2})^2\cdot Q_2\\
+0&=36\cdot Q_1+9\cdot Q_2\\
+-36\cdot Q_1&=9\cdot Q_2\\
+\frac{Q_1}{Q_2}&=-\frac{9}{36}=-\frac{1}{4}
 \end{align*}
 
 Le rapport entre nos deux charges est donc $\frac{Q_1}{Q_2}=-\frac{1}{4}$.
@@ -201,37 +199,37 @@ Le rapport entre nos deux charges est donc $\frac{Q_1}{Q_2}=-\frac{1}{4}$.
 
 
 \begin{align*}
-S_{face} = 10cm \cdot 10cm = 10^{-2}m^2\\
-E = 10^3\frac{N}{C}\\
-\Phi_E=\sum_{i=1}^{6} \Phi_{E_i}=\sum_{i=1}^{6} ES_{face}\cos{\theta_i}
+S_{face} &= 10cm \cdot 10cm = 10^{-2}m^2\\
+E &= 10^3\frac{N}{C}\\
+\Phi_E&=\sum_{i=1}^{6} \Phi_{E_i}=\sum_{i=1}^{6} ES_{face}\cos{\theta_i}
 \end{align*}
 
 
 Pour calculer le flux passant à travers la surface de notre cube, il nous faut déterminer les différents angles $\theta_i$. On sait que l'une des faces (que l'on appellera face n°1) est perpendiculaire au champs, par conséquent, on sait que le vecteur normal de cette surface forme un angle nul avec le champs. On peut donc déduire les autres angles :
 
 \begin{align*}
-\theta_1 = 0\\
-\theta_2 = \frac{\pi}{2}\\
-\theta_3 = \pi\\
-\theta_4 = \frac{\pi}{2}\\
-\theta_5 = \frac{\pi}{2}\\
-\theta_6 = \frac{\pi}{2}
+\theta_1 &= 0\\
+\theta_2 &= \frac{\pi}{2}\\
+\theta_3 &= \pi\\
+\theta_4 &= \frac{\pi}{2}\\
+\theta_5 &= \frac{\pi}{2}\\
+\theta_6 &= \frac{\pi}{2}
 \end{align*}
 
 Ce qui nous donne les flux suivants pour chacune des faces :
 
 \begin{align*}
-\Phi_{E_1} = ES_{face}\cos\theta_1 = 10^3\cdot10^{-2} \cos 0 = 10 \frac{N\cdot m^2}{C}\\
-\Phi_{E_2} = ES_{face}\cos\theta_2 = 10^3\cdot10^{-2} \cos \frac{\pi}{2} = 0 \frac{N\cdot m^2}{C}\\
-\Phi_{E_3} = ES_{face}\cos\theta_3 = 10^3\cdot10^{-2} \cos \pi = -10 \frac{N\cdot m^2}{C}\\
-\Phi_{E_4} = ES_{face}\cos\theta_4 = 10^3\cdot10^{-2} \cos \frac{\pi}{2} = 0 \frac{N\cdot m^2}{C}\\
-\Phi_{E_5} = ES_{face}\cos\theta_5 = 10^3\cdot10^{-2} \cos \frac{\pi}{2} = 0 \frac{N\cdot m^2}{C}\\
-\Phi_{E_6} = ES_{face}\cos\theta_6 = 10^3\cdot10^{-2} \cos \frac{\pi}{2} = 0 \frac{N\cdot m^2}{C}
+\Phi_{E_1} &= ES_{face}\cos\theta_1 = 10^3\cdot10^{-2} \cos 0 = 10 \frac{N\cdot m^2}{C}\\
+\Phi_{E_2} &= ES_{face}\cos\theta_2 = 10^3\cdot10^{-2} \cos \frac{\pi}{2} = 0 \frac{N\cdot m^2}{C}\\
+\Phi_{E_3} &= ES_{face}\cos\theta_3 = 10^3\cdot10^{-2} \cos \pi = -10 \frac{N\cdot m^2}{C}\\
+\Phi_{E_4} &= ES_{face}\cos\theta_4 = 10^3\cdot10^{-2} \cos \frac{\pi}{2} = 0 \frac{N\cdot m^2}{C}\\
+\Phi_{E_5} &= ES_{face}\cos\theta_5 = 10^3\cdot10^{-2} \cos \frac{\pi}{2} = 0 \frac{N\cdot m^2}{C}\\
+\Phi_{E_6} &= ES_{face}\cos\theta_6 = 10^3\cdot10^{-2} \cos \frac{\pi}{2} = 0 \frac{N\cdot m^2}{C}
 \end{align*}
 
 En sommant on obtient, le flux total suivant :
 
 \begin{align*}
-\Phi_E=\sum_{i=1}^{6} \Phi_{E_i}=\sum_{i=1}^{6} ES_{face}\cos{\theta_i}\\
-\Phi_E=10 + 0 - 10 + 0 + 0 + 0 = 0 \frac{N\cdot m^2}{C}
+\Phi_E&=\sum_{i=1}^{6} \Phi_{E_i}=\sum_{i=1}^{6} ES_{face}\cos{\theta_i}\\
+\Phi_E&=10 + 0 - 10 + 0 + 0 + 0 = 0 \frac{N\cdot m^2}{C}
 \end{align*}