diff --git a/.gitlab-ci.yml b/.gitlab-ci.yml
index 5a3b3cd7630653c493327c344e31d2a9a87934bd..def8c0fcb48d9970469958b1135571446d34828b 100644
--- a/.gitlab-ci.yml
+++ b/.gitlab-ci.yml
@@ -35,7 +35,7 @@ build_only:
script:
- make
- make deploy
- - rsync -avz mti malaspinas@129.194.185.180:/www/
+ - rsync -avzz mti malaspinas@129.194.185.180:/www/
build_artifacts:
script:
diff --git a/cours.md b/cours.md
index e349d438d06919d3d0c326f623be0f2714e321d7..593841c22bfdd2d0f52fa7ee26fe91595cb52a14 100644
--- a/cours.md
+++ b/cours.md
@@ -2856,8 +2856,7 @@ Comme on l’a vu précédemment, les nombres complexes peuvent se voir
comme une “notation†de ${\real}^2$. On peut ainsi les représenter
sur un plan bidimensionnel (voir la @fig:complexPlane).
-{#fig:complexPlane width="35.00000%"}
+{#fig:complexPlane width="35.00000%"}
La somme de deux nombres complexes s’interprête également facilement de
façon graphique. On peut le voir sur la @fig:complexPlaneSum.
@@ -3223,39 +3222,39 @@ $$\sin(\theta+\phi)=\sin(\theta)\cos(\phi)+\cos(\theta)\sin(\phi).$$ Il
vient $$\begin{aligned}
f(t)=\sum_{j=0}^\infty A_j\left(\sin(j\omega t)\cos(\phi_j)+\cos(j\omega t)\sin(\phi_j)\right).\end{aligned}$$
En renommant $$\begin{aligned}
-a_j&\equiv A_j\cos(\phi_j),\\
-b_j&\equiv A_j\sin(\phi_j),\end{aligned}$$ on obtient
-$$f(t)=\sum_{j=0}^\infty \left(a_j\sin(j\omega t)+b_j\cos(j\omega t)\right). $${#eq:decomp_sincos}
+a_j&\equiv A_j\sin(\phi_j),\\
+b_j&\equiv A_j\cos(\phi_j),\end{aligned}$$ on obtient
+$$f(t)=\sum_{j=0}^\infty \left(a_j\cos(j\omega t)+b_j\sin(j\omega t)\right). $${#eq:decomp_sincos}
On a ainsi transformé une équation où on devait déterminer une amplitude
et une phase, ce qui est plutôt compliqué, en une autre équation où on
doit déterminer uniquement deux amplitude. Par ailleurs, comme $\cos$ et
$\sin$ sont indépendants, on peut calculer les $a_j$ et $b_j$ de façon
également indépendantes.
-Nous voulons à présent calculer $a_n$ et $b_n$ pour avoir les
+Nous voulons à présent calculer $a_j$ et $b_j$ pour avoir les
coordonnées de $f$ dans la base des $\sin$ et des $\cos$. Pour ce faire,
nous allons tenter de trouver les amplitudes $a_j,b_j$ tels que les
$a_j\cos(j\omega t)$ et $b_j\sin(j\omega t)$ approximent au mieux la
fonction $f$.
Nous allons considérer les fonctions d’erreur suivantes
-$$E^s_j=\int_0^T(f(t)-a_j\sin(j\omega t))^2{\mathrm{d}}t,\quad E^c_j=\int_0^T(f(t)-b_j\cos(j\omega t))^2{\mathrm{d}}t.$$
+$$E^s_j=\int_0^T(f(t)-b_j\sin(j\omega t))^2{\mathrm{d}}t,\quad E^c_j=\int_0^T(f(t)-a_j\cos(j\omega t))^2{\mathrm{d}}t.$$
Puis on va déterminer $a_j,b_j$ tels que $E_j^s$ et $E_j^c$ sont
minimales. Pour ce faire on va utiliser les dérivées et déterminer nos
coefficients en résolvant les équations
-$${\frac{{\mathrm{d}}E^s_j}{{\mathrm{d}}a_j}}=0,$${#eq:deriv_aj}
-$${\frac{{\mathrm{d}}E^c_j}{{\mathrm{d}}b_j}}=0.$${#eq:deriv_bj}
+$${\frac{{\mathrm{d}}E^c_j}{{\mathrm{d}}a_j}}=0.$${#eq:deriv_aj}
+$${\frac{{\mathrm{d}}E^s_j}{{\mathrm{d}}b_j}}=0,$${#eq:deriv_bj}
Pour l'@eq:deriv_aj, on a $$\begin{aligned}
- {\frac{{\mathrm{d}}E^c_j}{{\mathrm{d}}b_j}}&={\frac{{\mathrm{d}}\int_0^T(f(t)-b_j\cos(j\omega t))^2{\mathrm{d}}t}{{\mathrm{d}}b_j}},\nonumber\\
- &=\underbrace{{\frac{{\mathrm{d}}(\int_0^Tf^2(t){\mathrm{d}}t)}{{\mathrm{d}}b_j}}}_{=0}+{\frac{{\mathrm{d}}(b_j^2\int_0^T(\cos^2(j\omega t){\mathrm{d}}t))}{{\mathrm{d}}b_j}}-{\frac{{\mathrm{d}}(2b_j\int_0^T(f(t)\cos(j\omega t){\mathrm{d}}t))}{{\mathrm{d}}b_j}},\nonumber\\
- &=2b_j\int_0^T\cos^2(j\omega t){\mathrm{d}}t-2\int_0^Tf(t)\cos(j\omega t){\mathrm{d}}t,\nonumber\\
- &=2b_j\frac{T}{2}-2\int_0^T\cos(j\omega t)f(t){\mathrm{d}}t.\end{aligned}$$
+ {\frac{{\mathrm{d}}E^c_j}{{\mathrm{d}}a_j}}&={\frac{{\mathrm{d}}\int_0^T(f(t)-a_j\cos(j\omega t))^2{\mathrm{d}}t}{{\mathrm{d}}a_j}},\nonumber\\
+ &=\underbrace{{\frac{{\mathrm{d}}(\int_0^Tf^2(t){\mathrm{d}}t)}{{\mathrm{d}}a_j}}}_{=0}+{\frac{{\mathrm{d}}(a_j^2\int_0^T(\cos^2(j\omega t){\mathrm{d}}t))}{{\mathrm{d}}a_j}}-{\frac{{\mathrm{d}}(2a_j\int_0^T(f(t)\cos(j\omega t){\mathrm{d}}t))}{{\mathrm{d}}a_j}},\nonumber\\
+ &=2a_j\int_0^T\cos^2(j\omega t){\mathrm{d}}t-2\int_0^Tf(t)\cos(j\omega t){\mathrm{d}}t,\nonumber\\
+ &=2a_j\frac{T}{2}-2\int_0^T\cos(j\omega t)f(t){\mathrm{d}}t.\end{aligned}$$
Finalement on obtient
-$$b_j=\frac{2}{T}\int_0^T\cos(j\omega t)f(t){\mathrm{d}}t.$$ Pour $a_j$
+$$a_j=\frac{2}{T}\int_0^T\cos(j\omega t)f(t){\mathrm{d}}t.$$ Pour $a_j$
on a de façon similaire
-$$a_j=\frac{2}{T}\int_0^T\sin(j\omega t)f(t){\mathrm{d}}t.$$ En
+$$b_j=\frac{2}{T}\int_0^T\sin(j\omega t)f(t){\mathrm{d}}t.$$ En
particulier si $j=0$, on a
-$$a_0=0,\quad b_0=\frac{2}{T}\int_0^T f(t){\mathrm{d}}t.$$ On constate
+$$b_0=0,\quad a_0=\frac{2}{T}\int_0^T f(t){\mathrm{d}}t.$$ On constate
que $b_0/2$ correspond à la valeur moyenne de $f(t)$ dans $[0,T]$. Cela
permet d’approximer des fonctions dont la valeur moyenne n’est pas nulle
(les sinus et cosinus ont toujours des moyennes nulles).
@@ -3300,9 +3299,9 @@ somme de façon plus concise à l’aide des nombres complexes
($e^{i\theta}=\cos\theta+i\cdot\sin\theta$). Effectivement cette
réécriture est possible. Pour ce faire il faut définir de nouveaux
coefficients $c_n$, $$c_n=\left\{\begin{array}{ll}
- \frac{b_n+ia_n}{2}, & \mbox{ si }n<0\\
- \frac{b_0}{2}, & \mbox{ si }n=0\\
- \frac{b_n-ia_n}{2}, & \mbox{ si }n>0
+ \frac{a_n+ib_n}{2}, & \mbox{ si }n<0\\
+ \frac{a_0}{2}, & \mbox{ si }n=0\\
+ \frac{a_n-ib_n}{2}, & \mbox{ si }n>0
\end{array}\right.$$ Avec cette notation, on peut
réécrire l'@eq:decomp_sincos (exercice) comme
$$f(t)=\sum_{j=-\infty}^\infty c_je^{ij\omega t}.$$ En multipliant cette
diff --git a/examen/intOpt2020.md.gpg b/examen/intOpt2020.md.gpg
index 043dfff2b6c50e40522d23d4eb49e780e8d9fd1d..e1dc9d1ba12f972fe2d398b2f9c31d351afd45fd 100644
Binary files a/examen/intOpt2020.md.gpg and b/examen/intOpt2020.md.gpg differ
diff --git a/examen/intOpt2020rattrap.md.gpg b/examen/intOpt2020rattrap.md.gpg
new file mode 100644
index 0000000000000000000000000000000000000000..7d8de8922106cf78b1bd4603752b512baa392cd6
Binary files /dev/null and b/examen/intOpt2020rattrap.md.gpg differ