diff --git a/cours.md b/cours.md index 9bb62f11e92a94b32dfadc591a08180551e3d7e6..ecfa54c6eb43b40ef36dc82b9e553c34d5fedc60 100644 --- a/cours.md +++ b/cours.md @@ -542,7 +542,7 @@ Théorème (Théorème fondamental du calcul intégral) +.# En définissant à présent l’intégrale à l’aide de la notion de primitive, nous avons que pour $a,b\in{\real}$ et $a<b$ -$$\int_a^b f(x){\mathrm{d}}x=\left.F\right|_a^b=F(b)-F(a).$$ +$$\int_a^b f(x){\mathrm{d}}x=\left.F\right|_a^b=F(b)-F(a).$${#eq:thm_fond} On dit que $x$ est la variable d’intégration. Elle est dite “muette” car elle disparaît après que l’intégrale ait été effectuée. On peut donc @@ -558,7 +558,8 @@ effet, remplaçons $F$ par $G=F+C$, il vient $$\int_a^b f(x){\mathrm{d}}x=G(b)-G(a)=F(b)+C-F(a)-C=F(b)-F(a).$$ --- -Il suit de (2.9) que + +Il suit de l'@eq:thm_fond que $$\int_a^af(x){\mathrm{d}}x=F(a)-F(a)=0$$ et que $$\int_a^bf(x){\mathrm{d}}x= -\int_b^af(x){\mathrm{d}}x$$ @@ -677,7 +678,7 @@ Une primitive d'une fonction de la forme $f(x)f'(x)$ se calcule aisement $$\int f(x)f'(x){\mathrm{d}}x=\frac{1}{2}f(x)^2+c.$$ Nous calculons par exemple -$$\int \sin(x)\cos(x){\mathrm{d}}x=\frac{1}{2}\sin^2(x)+c=-\frac{1}{2}\cos^2(x)+c'.$$ +$$\int \sin(x)\cos(x){\mathrm{d}}x=\frac{1}{2}\sin^2(x)+c=-\frac{1}{2}\cos^2(x)+c'.$${#eq:sin_cos} #### Inverse de la dérivation logarithmique @@ -758,7 +759,7 @@ Solution +.# On voit que le résultat de l’intégration par partie nous redonne l’intégrale de départ. Ceci nous permet -d’évaluer directement la dite intégrale pour retrouver le résultat (2.30) +d’évaluer directement la dite intégrale pour retrouver le résultat de l'@eq:sin_cos ---