From 28c6c6cdbfba5c1f051b5dba9259902b7e9e5b08 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Orestis Malaspinas <orestis.malaspinas@hesge.ch>
Date: Thu, 9 Mar 2017 16:17:50 +0100
Subject: [PATCH] Corrections transformees de fourier
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cours.tex | 34 +++++++++++++++++-----------------
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index 72a33b9..ca778a8 100644
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+++ b/cours.tex
@@ -2457,7 +2457,7 @@ b_j&\equiv A_j\sin(\phi_j),
\end{align}
on obtient
\begin{equation}
- f(t)=\sum_{j=0}^\infty \left(a_j\cos(j\omega t)+b_j\sin(j\omega t)\right). \label{eq_decomp_sincos}
+ f(t)=\sum_{j=0}^\infty \left(a_j\sin(j\omega t)+b_j\cos(j\omega t)\right). \label{eq_decomp_sincos}
\end{equation}
On a donc transformé une équation où on devait déterminer une amplitude et une phase, ce qui est très compliqué, en une autre
équation où on doit déterminer uniquement deux amplitude. Par ailleurs, comme $\cos$ et $\sin$ sont indépendants,
@@ -2469,7 +2469,7 @@ que les $a_j\cos(j\omega t)$ et $b_j\sin(j\omega t)$ approximent au mieux la fon
On va donc considérer les fonctions d'erreur suivantes
\begin{equation}
- E^s_j=\int_0^T(f(t)-b_j\sin(j\omega t))^2\dd t,\quad E^c_j=\int_0^T(f(t)-a_j\cos(j\omega t))^2\dd t.
+ E^s_j=\int_0^T(f(t)-a_j\sin(j\omega t))^2\dd t,\quad E^c_j=\int_0^T(f(t)-b_j\cos(j\omega t))^2\dd t.
\end{equation}
Puis on va déterminer $a_j,b_j$ tels que $E_j^s$ et $E_j^c$ sont minimales. Pour ce faire on va utiliser les dérivées
et déterminer nos coefficients en résolvant les équations
@@ -2479,22 +2479,22 @@ et déterminer nos coefficients en résolvant les équations
\end{align}
Pour l'équation \eqref{eq_deriv_aj}, on a
\begin{align}
- \dDeriv{E^c_j}{a_j}&=\dDeriv{\int_0^T(f(t)-a_j\cos(j\omega t))^2\dd t}{a_j},\nonumber\\
- &=\underbrace{\dDeriv{(\int_0^Tf^2(t)\dd t)}{a_j}}_{=0}+\dDeriv{(a_j^2\int_0^T(\cos^2(j\omega t)\dd t))}{a_j}-\dDeriv{(2a_j\int_0^T(f(t)\cos(j\omega t)\dd t))}{a_j},\nonumber\\
- &=2a_j\int_0^T\cos^2(j\omega t)\dd t-2\int_0^Tf(t)\cos(j\omega t)\dd t,\nonumber\\
- &=2a_j\frac{T}{2}-2\int_0^T\cos(j\omega t)f(t)\dd t.
+ \dDeriv{E^c_j}{b_j}&=\dDeriv{\int_0^T(f(t)-b_j\cos(j\omega t))^2\dd t}{b_j},\nonumber\\
+ &=\underbrace{\dDeriv{(\int_0^Tf^2(t)\dd t)}{b_j}}_{=0}+\dDeriv{(b_j^2\int_0^T(\cos^2(j\omega t)\dd t))}{b_j}-\dDeriv{(2b_j\int_0^T(f(t)\cos(j\omega t)\dd t))}{b_j},\nonumber\\
+ &=2b_j\int_0^T\cos^2(j\omega t)\dd t-2\int_0^Tf(t)\cos(j\omega t)\dd t,\nonumber\\
+ &=2b_j\frac{T}{2}-2\int_0^T\cos(j\omega t)f(t)\dd t.
\end{align}
Finalement on obtient
\begin{equation}
- a_j=\frac{2}{T}\int_0^T\cos(j\omega t)f(t)\dd t.
+ b_j=\frac{2}{T}\int_0^T\cos(j\omega t)f(t)\dd t.
\end{equation}
-Pour $b_j$ on a de façon similaire
+Pour $a_j$ on a de façon similaire
\begin{equation}
- b_j=\frac{2}{T}\int_0^T\sin(j\omega t)f(t)\dd t.
+ a_j=\frac{2}{T}\int_0^T\sin(j\omega t)f(t)\dd t.
\end{equation}
En particulier si $j=0$, on a
\begin{equation}
-b_0=0,\quad a_0=\frac{2}{T}\int_0^T f(t)\dd t.
+a_0=0,\quad b_0=\frac{2}{T}\int_0^T f(t)\dd t.
\end{equation}
On constate que $a_0/2$ correspond à la valeur moyenne de $f(t)$ dans $[0,T]$. Cela
permet d'approximer des fonctions dons la valeur moyenne n'est pas nulle (les sinus et cosinus ont toujours
@@ -2518,8 +2518,8 @@ Cela est dû à la propriété d'othorgonalité des fonctions sinus/cosinus.
En multipliant l'équation \eqref{eq_decomp_sincos} par $\frac{2}{T}\sin(k \omega t)$ et en intégrant
entre $0$ et $T$, on obtient
\begin{align}
-\frac{2}{T}\int_0^T f(t)\sin(k\omega t)\dd t&=\frac{2}{T}\sum_{j=0}^\infty \left(a_j\underbrace{\int_0^T\cos(j\omega t)\sin(k\omega t)\dd t}_{=0}+b_j\underbrace{\int_0^T\sin(j\omega t)\sin(k \omega t)}_{=\frac{T}{2}\delta_{jk}}\right),\nonumber\\
-\frac{2}{T}\int_0^T f(t)\sin(k\omega t)\dd t&=\sum_{j=0}^\infty b_j \delta_{jk}=b_k,
+\frac{2}{T}\int_0^T f(t)\sin(k\omega t)\dd t&=\frac{2}{T}\sum_{j=0}^\infty \left(b_j\underbrace{\int_0^T\cos(j\omega t)\sin(k\omega t)\dd t}_{=0}+a_j\underbrace{\int_0^T\sin(j\omega t)\sin(k \omega t)\dd t}_{=\frac{T}{2}\delta_{jk}}\right),\nonumber\\
+\frac{2}{T}\int_0^T f(t)\sin(k\omega t)\dd t&=\sum_{j=0}^\infty a_j \delta_{jk}=a_k,
\end{align}
où $\delta_{jk}$ est le ``delta de Kronecker'', dont la définition est
\begin{equation}
@@ -2532,8 +2532,8 @@ où $\delta_{jk}$ est le ``delta de Kronecker'', dont la définition est
En multipliant l'équation \eqref{eq_decomp_sincos} par $\frac{2}{T}\cos(k \omega t)$ et en intégrant
entre $0$ et $T$, on obtient
\begin{align}
-\frac{2}{T}\int_0^T f(t)\cos(k\omega t)\dd t&=\frac{2}{T}\sum_{j=0}^\infty \left(a_j\underbrace{\int_0^T\cos(j\omega t)\sin(k\omega t)\dd t}_{=\frac{T}{2}\delta_{jk}}+b_j\underbrace{\int_0^T\sin(j\omega t)\sin(k \omega t)}_{=0}\right),\nonumber\\
-\frac{2}{T}\int_0^T f(t)\cos(k\omega t)\dd t&=\sum_{j=0}^\infty a_j \delta_{jk}=a_k.
+\frac{2}{T}\int_0^T f(t)\cos(k\omega t)\dd t&=\frac{2}{T}\sum_{j=0}^\infty \left(a_j\underbrace{\int_0^T\cos(j\omega t)\sin(k\omega t)\dd t}_{=0}+b_j\underbrace{\int_0^T\cos(j\omega t)\cos(k \omega t)\dd t}_{=\frac{T}{2}\delta_{jk}}\right),\nonumber\\
+\frac{2}{T}\int_0^T f(t)\cos(k\omega t)\dd t&=\sum_{j=0}^\infty b_j \delta_{jk}=b_k.
\end{align}
\subsubsection{Les séries de Fourier en notations complexes}
@@ -2543,9 +2543,9 @@ Cette écriture nous fait penser qu'il pourrait être possible de réécrire cet
de nouveaux coefficients $c_n$,
\begin{equation}
c_n=\left\{\begin{array}{ll}
- \frac{a_n+ib_n}{2}, & $\mbox{ si }$n<0\\
- \frac{a_0}{2}, & $\mbox{ si }$n=0\\
- \frac{a_n-ib_n}{2}, & $\mbox{ si }$n>0
+ \frac{b_n+ia_n}{2}, & $\mbox{ si }$n<0\\
+ \frac{b_0}{2}, & $\mbox{ si }$n=0\\
+ \frac{b_n-ia_n}{2}, & $\mbox{ si }$n>0
\end{array}\right.
\end{equation}
Avec cette notation, on peut réécrire l'équation \eqref{eq_decomp_sincos} (exercice) comme
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