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@@ -26,6 +26,7 @@ urlcolor: blue
\newcommand{\remarque}{\textbf{Remarque }}
\newcommand{\proprietes}{\textbf{Propriétés }}
\newcommand{\propriete}{\textbf{Propriété }}
+\newcommand{\grad}{\mathrm{grad}}
# Rappel
@@ -1421,7 +1422,7 @@ L'idée de ce type de méthodes est, contrairement aux méthodes de la section p
connaissances *locales* que nous pouvons avoir sur la fonction. Cette connsaissance loale
a en général comme effet une *convergence* plus rapide de l'algorithme de recherche de zéros.
-### Méthode de Newton (ou *Newton-Raphson")
+### Méthode de Newton (ou *Newton-Raphson*)
La méthode de Newton est également une méthode itérative, qui nécessite que la fonction $g(x)$ soit non seulement continue mais également dérivable.
Revenons sur la méthode de la sécante. Il s'agissait de choisir deux points, $a < b$, et de déterminer la droite, $y(x)$, passant par $g(a)$ et $g(b)$,
@@ -1457,7 +1458,7 @@ En revanche les contraintes pour sa convergence sont plus strictes que pour les
---
-Remarques (non-convergence ou convergence lente) +.#
+Remarque (non-convergence ou convergence lente) +.#
Il y a un certain nombre de cas où la méthode de Newton ne converge pas.
@@ -1498,6 +1499,9 @@ Exercice +.#
## En plusieurs dimensions
Quand notre fonction de coût dépend de plusieurs arguments, on dit que c'est une fonction *multivariée*, $f(\vec x)$, avec $\vec x\in\real^n$.
+
+{#fig:selle width="50%"}
+
On peut également l'écrire de façon plus explicite (et aussi plus longue) comme
\begin{equation}
f(\vec x)=f(x_1, x_2, ..., x_n).
@@ -1509,10 +1513,10 @@ f:\real^n\rightarrow \real.
---
-Exemple +.# (Régression linéaire)
+Exemple (Régression linéaire) +.#
Dans le cas de la régression linéaire, si la droite ne passe pas par l'origine, nous avons que
-la fonction de coût dépent de la pente de la droite, ainsi que de son ordonnée l'origine
+la fonction de coût qui dépend de deux variables, $a$, et $b$ (et plus uniquement de $a$)
\begin{equation}
f(a,b)=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N \left(a\cdot x_i+b - y_i\right)^2.
@@ -1520,7 +1524,259 @@ f(a,b)=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N \left(a\cdot x_i+b - y_i\right)^2.
---
-### Les drivées en plusieurs dimensions
+### Les dérivées en plusieurs dimensions
+
+La dérivé d'une fonction à une seule variable peut se représenter comme
+\begin{equation}
+f'(a)=\frac{\dd f}{\dd x}(a)=\lim_{\dd x\rightarrow 0}\frac{f(a+\dd x)-f(a)}{\dd x}.
+\end{equation}
+La notation ici n'est pas tout à fait usuelle. L'idée est de se rappeler que ce $\dd x$ est une toute petite variation
+de $x$, et $\dd f$, une toute petite variation de $f$ en $a$. On voit immédiatement que cette quantité est la pente
+de $f$ en $a$. Lorsque nous étudions une fonction à plusieurs variables, nous pouvons faire le même raisonnement pour chaque variable indépendemment.
+Ainsi, nous calculons sa dérivée dans chacune des directions $x$, $y$, ...
+
+Cette vision de la dérivée comme une variation de $f$, $\dd f$, divisée par une petite variation de $x$, $\dd x$, permet
+d'avoir une interprétation sur la variation locale de $f(x)$. En effet, la variation de $f(a)$ est donnée par
+$$
+\dd f=f'(a)\dd x,
+$$
+ou encore
+$$
+f(a+\dd x)=f(a)+f'(a)\dd x.
+$$
+
+#### Les dérivées partielles
+
+Pour une fonction à deux variable, $f(x,y)$, dont le domaine de définition est
+\begin{equation}
+f:\real^2\rightarrow \real,
+\end{equation}
+on définit la **dérivée partielle** de $f$ par rapport à $x$ ou à $y$
+\begin{align}
+\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)&=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h},\\
+\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)&=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}.
+\end{align}
+Comme on le voit ici, pour chaque dérivée partielle, on ne fait varier qu'une seule variable, les autres sont considérées comme des constantes.
+
+---
+
+Exemple (Dérivée partielle) +.#
+
+Les dérivée partielles de la fonction
+$$
+f(x,y)=x^2\cdot y+3,
+$$
+sont données par
+\begin{align}
+\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)&=2xy,\\
+\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)&=x^2.
+\end{align}
+
+---
+
+Pour une fonction $f$ dépendant d'un nombre $n$ de variables, la notation est la suivante.
+Soit $f(\vec x)$ avec $\vec x=\{x_i\}_{i=1}^n$, ou $\vec x\in\real^n$, on définit la dérivée
+par rapport à la $i$-ème composante de $\vec x$ comme
+$$
+\frac{\partial f}{\partial x_i}(x_1,x_2,...,x_i,...,x_n)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x_1,x_2,...,x_i+h,...,x_n)-f(x_1,x_2,...,x_i,...,x_n)}{h}.
+$$
+
+---
+
+Remarque +.#
+
+Pour une fonction à une seule variable, $f(x)$, on a que
+$$
+f'(x)=\frac{\dd f}{\dd x}(x)=\frac{\partial f}{\partial x}(x).
+$$
+
+---
+
+De façon similaire à ce qui se passe pour les fonction à une seule variables, nous pouvons définir les dérivées secondes
+pour les façon à une seule variable. Pour une fonction à deux variables, on a en fait quatre dérivées secondes
+\begin{align}
+&\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x,y),\\
+&\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(x,y),\\
+&\frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}(x,y),\\
+&\frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x,y).
+\end{align}
+
+---
+
+Remarque +.#
+
+Si $f$ est dérivable en $x$ et $y$, on a que
+$$
+\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(x,y)=\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}(x,y).
+$$
+
+---
+
+---
+
+Exemple (Dérivées partielles deuxièmes) +.#
+
+Pour la fonction $f(x,y)=x^2-y^2$, on a
+\begin{align}
+\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x,y)=\frac{\partial (2\cdot x)}{\partial x}(x,y)=2,\\
+\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(x,y)=\frac{\partial (-2\cdot y)}{\partial x}(x,y)=0,\\
+\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}(x,y)=\frac{\partial (2\cdot x)}{\partial y}(x,y)=0,\\
+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x,y)=\frac{\partial (-2\cdot y)}{\partial y}(x,y)=-2.
+\end{align}
+
+---
+
+On peut également généraliser pour des fonction à $n$ variables où la deuxième dérivée partielle
+par rapport aux variables $x_i$, $x_j$ s'écrit
+$$
+\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j}(x,y).
+$$
+
+
+#### Le gradient
+
+Pour une fonction à deux variables, $f(x,y)$, on a vu qu'on peut calculer ses dérivées partielles par rapport à $x$ et $y$
+$$
+\frac{\partial f}{\partial x}, \quad \frac{\partial f}{\partial y}.
+$$
+Une construction mathématique possible est d'écrire un vecteur avec ces deux quantités
+$$
+\grad f(x,y)=\vec \nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y), \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\right)^\mathrm{T}.
+$$
+Le symbole *nabla*, $\vec \nabla$, est une notation un peu étrange. Il représente un vecteur contenant toutes les
+dérivées partielles
+$$
+\vec \nabla = \left(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}\right)^\mathrm{T}.
+$$
+Cette notation est très utile pour se souvenir de ce qu'est un gradient, car on peut l'écrire un peu comme le "produit" entre
+l'opérateur $\vec \nabla$ et $f$
+$$
+\vec \nabla f= \left(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}\right)^\mathrm{T}f=\left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right)^\mathrm{T}.
+$$
+On peut généraliser cette notation pour $n$ variables à
+$$
+\vec \nabla=\left(\frac{\partial}{\partial x_1}, \frac{\partial}{\partial x_2}, ..., \frac{\partial}{\partial x_n}\right)^\mathrm{T}.
+$$
+et
+$$
+\vec \nabla f=\left(\frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2}, ..., \frac{\partial f}{\partial x_n}\right)^\mathrm{T}.
+$$
+
+---
+
+Exemple (Gradient d'une fonction à deux variables) +.#
+
+Pour la fonction $f(x,y)=x^2-y^2$, le gradient est donné par
+$$
+\vec \nabla f=\left(2x, -2y\right)^\mathrm{T}.
+$$
+
+Graphiquement, ceci est un *champds de vecteur* est peut se représenter comme
+
+{width="50%"}
+
+---
+
+Revenons à nos fonctions à deux variables. Le gradient d'une fonction a une très grande utilité pratique. En effet, il nous donne la variation de $f$
+dans chacun des direction de l'espace. On peut donc (un peu comme on avait fait pour les fonctions à une dimensions)
+se poser la question de la variation de $f$ dans une direction particulière, $\vec v$. Comme nous connaissons le taux de variation
+de $f$ dans chacune des directions, nous pouvons définir la **dérivée directionnelle** de $f$ en un point $(a,b)$, comme
+$$
+(\vec \nabla_{\vec v} f)(a,b)=(\vec \nabla f)(a,b)\cdot \vec v,
+$$
+où $\vec v=(v_1,v_2)^\mathrm{T}$.
+Cette grandeur représente la variation de $f(a,b)$ dans une direction particulière, $\vec v$. Comme pour les fonctions à une variable on peut écrire
+que
+$$
+f(a + v_1, b + v_2)=f(a,b)+\vec v\cdot (\vec \nabla f(a,b)).
+$$
+
+Cette dérivée directionnelle va nous permettre d'interpréter ce que représente le gradient d'une fonction.
+
+En fait, le gradient a une interprétation très intéressante. Ce n'est rien d'autre que la direction de la pente la plus élevée
+sur chaque point de la fonction. C'est la direction, si vous faites de la randonnée en montagne,
+qui vous permettra de monter le long de la pente la plus raide en chaque point.
+
+A l'inverse, imaginez que vous êtes un skieur et que votre montagne est décrite par la fonction $f(\vec x)$. Le vecteur $-\vec \nabla f$
+est la direction dans laquelle vous descendez si vous suivez tout droit la pente la plus raide.
+
+Pour s'en convaincre essayons de prendre le problème à l'envers. On cherche la dérivée directionnelle $\vec \nabla_{\vec v} f$, telle que celle ci-soit maximale,
+pour tous les vecteur $\vec v$ de longueur $1$. En d'autres termes
+$$
+\max_{||\vec v||=1} \vec v\cdot \vec \nabla f.
+$$
+Il faut à présent se rappeler que le produit scalaire de deux vecteurs peut s'écrire
+$$
+\vec a\cdot\vec b=||a||\cdot ||b||\cdot \cos\theta,
+$$
+avec $\theta$ l'angle entre $\vec a$ et $\vec b$. De ceci, on déduit que
+la valeur maximale de $\vec v\cdot \vec \nabla f$ est atteinte quand $\vec v$ est aligné avec
+$\nabla f$, ce qui ne se produit que quand $\vec v$ a la valeur
+$$
+\vec v^\ast=\frac{\nabla f}{||\nabla f||}.
+$$
+La variation maximale est donc atteinte quand on suit le vecteur pointé par
+$\nabla f$. Par ailleurs, la dérivée directionnelle dans la direction
+de $\vec v^\ast$, on a
+\begin{align}
+\vec\nabla_{\vec v^\ast}\cdot (\vec \nabla f)=\frac{\nabla f \cdot f}{||\vec \nabla f||}=||\vec\nabla f||.
+\end{align}
+Le taux de variation maximal est donc la longueur du vecteur $\vec \nabla f$.
+
+---
+
+Remarque (Généralisation) +.#
+
+Tout ce que nous venons d'écrire ici se généralise à un nombre arbitraire de dimensions.
+
+---
+
+#### Le lien avec les problème d'optimisation
+
+Un cas qui nous intéresse particulièrement ici, est lorsque que le gradient d'une fonction est nul
+$$
+\nabla f(x,y)=\vec 0.
+$$
+Cela veut dire que si nous trouvons un tel point $(x,y)$ la variation de la fonction localement (sa "pente") sera nulle.
+Exactement comme pour le cas à une seule variable cela ne suffit pas pour déterminer si nous avons à faire à
+un minimum, un maximum, ou un point d'inflexion. Un exemple typique est la fonction
+$$
+f(x,y)=x^2-y^2.
+$$
+Bien que $\nabla f(0,0)=\vec 0$, nous voyons sur la @fig:selle que bien que nous ayons un minimum
+dans la direction $x$, nous avons un maximum dans la direction $y$. On se retrouve dans un cas où nous avons un point
+d'inflexion.
+
+Pour pouvoir en dire plus il nous faut étudier les deuxièmes dérivées de $f(x,y)$ comme pour
+le cas unidimensionnel.
+
+### La descente de gradient
+
+Revenons à présent à l'optimisation d'une fonction de coût $f(\vec x)$. Pour simplifier considérons
+la fonction
+$$
+f(x,y)=x^2+y^2.
+$$
+Nous pouvons facilement nous convaincre que cette fonction possède un minimum en $(0,0)$ en la dessinant.
+On peut aussi aisément vérifier que $\nabla f(0,0)=\vec 0$. En effet,
+$$
+\nabla f(x,y)=(2x, 2y),
+$$
+et donc
+$$
+\nabla f(0,0)=(0, 0).
+$$
+Même si cela ne suffit pas à prouver mathématique que $\vec 0$ est le minimum de cette fonction nous nous en satisferons.
+
+---
+
+Question +.#
+
+Avec ce qui précède, voyez-vous une façon de trouver le minimum de la fonction $f(x,y)$?
+
+---
+
+Une méthode pour trouver le minimum de $f(x,y)$ est la méthode de la *descente de gradient*.
@@ -2098,6 +2354,8 @@ $$z'(x)+(1-n)a(x)\cdot z(x)+(1-n)b(x)=0.$$ On a donc ramené l’équation
de Bernouilli à une équation linéaire que nous savons résoudre à l’aide
de la méthode de la section @sec:eq_lin.
+---
+
Exemple +.#
Résoudre l’équation de Bernouilli suivante $$y'-y-x\cdot y^6=0.$$
@@ -2115,6 +2373,8 @@ la forme $z_p=x+B$ (avec $B$ une constante) on obtient $$\begin{aligned}
$$z=z_h+z_p=Ae^{5x}+x+\frac{1}{5}.$$ Il nous reste à présent à calculer
$y=z^{1/5}$ et on a $$y=\left(Ae^{5x}+x+\frac{1}{5}\right)^{1/5}.$$
+---
+
### Équation de Riccati
L’équation de Riccati qui est de la forme