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@@ -3062,7 +3062,7 @@ Exercice (Fréquence cumulée) +.#
Jusqu’ici le nombre de valeurs étudiées était limité et il est assez
simple d’avoir une vue d’ensemble de la distribution des valeurs des
-caractères de notre population. Il est plus aisé d’utiliser une nombre
+caractères de notre population. Mais en général il est plus aisé d’utiliser une nombre
de valeurs beaucoup plus restreint permettant de résumer les différents
caractères et nous allons en voir deux différents qui nous donne une
tendance dite centrale: la moyenne, la médiane.
@@ -3096,7 +3096,7 @@ $$\bar{x}_{\textrm{salaire}}=\frac{35\cdot40000+20\cdot50000+5\cdot60000+1\cdot1
On remarque ici que la moyenne des salaires donne une impression erronée
de la situation car elle est très sensible aux valeurs extrême de la
distribution. En effet, tous les salaires à l’exception d’un sont
-inférieurs à la moyenne. En effet, si on retire le salaire d’un million
+inférieurs à la moyenne. Il suffit de retirer le salaire d’un million
de notre ensemble de valeurs, la moyenne de l’échantillon restant
devient
$$\bar{x}_{\textrm{salaire}}=\frac{35\cdot40000+20\cdot50000+5\cdot60000}{60}=45000.$$
@@ -3104,11 +3104,11 @@ La différence est de l’ordre de $25\%$ par rapport aux $60'000$ CHF
obtenus avec toute la population. Il est donc nécessaire d’utiliser une
autre mesure pour illustrer mieux le salaire caractéristique de notre
population. De façon plus générale la moyenne est peu robuste à des
-valeurs extrêmes dans l’étude d’échantillon.
+valeurs extrêmes dans l’étude d’échantillons.
Une mesure qui est plus parlante est la *médiane*, notée $\tilde{x}$. La
médiane se définit comme la valeur $\tilde{x}$ qui est telle que la
-moitié des individus de la population sont ont un $x_i\leq \tilde{x}$ et
+moitié des individus de la population ont un $x_i\leq \tilde{x}$ et
le reste est telle que $x_i\geq\tilde{x}$.
Pour l’exemple des salaires le salaire médian est de $40000 CHF$, ce qui
@@ -3123,7 +3123,7 @@ d’exécution[^7]).
### Mesures de dispersion
Nous avons vu deux mesures donnant une tendance générale des caractères
-d’une population. Hors cette valeur ne nous dit absolument rien sur la
+d’une population. Hors ces valeurs ne nous disent absolument rien sur la
manière dont ces caractères sont distribués. Sont-ils proches de la
moyenne ou de la médiane? Ou en sont-ils au contraire éloignés? Nous
allons voir deux mesures différentes dans cette sous-section: la
@@ -3134,12 +3134,12 @@ Hors, comme on l’a vu dans la sous-section précédente l’écart à la
moyenne $x_i-\bar{x}$ est nul en moyenne. Cette grandeurs ne nous
apprend rien. On peut donc s’intéresser plutôt à la moyenne de l’écart
quadratique $(x_i-\bar{x})^2$ qui est une quantité toujours positive et
-donc la moyenne sera de cette écart quadratique aura toujours une valeur
-qui sera positive ou nulle (elle sera nulle uniquement si
+dont la moyenne aura toujours une valeur
+positive ou nulle (elle sera nulle uniquement si
$x_i-\bar{x}=0,\forall i$)[^8]. On définit donc la *variance*, $v$,
comme étant la moyenne des écarts quadratiques
$$v=\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{k-1}n_i(x_i-\bar{x})^2.$$ Si on considère
-plutôt la racine carrée de la variance, on obtient *l’écart-type*
+la racine carrée de la variance, on obtient *l’écart-type*
$$s=\sqrt{v}.$$
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@@ -3148,18 +3148,18 @@ Exercice (Variance, écart-type) +.#
Démontrer les relations suivantes
-1. On peut également calculer la variance avec la fréquence
+1. On peut également calculer la variance avec les fréquences
$$v=\sum_{i=0}^{k-1}f_i(x_i-\bar{x})^2.$$
2. On peut également calculer la variance à l’aide de la formule
suivante
- $$v=\frac{1}{n}\left(\sum_{i=0}^{k-1}n_ix_i^2\right)-\bar{x}^2.$$
+ $$v=\frac{1}{n}\left(\sum_{i=0}^{k-1}n_ix_i^2\right)-\bar{x}^2= \bar{x^2}-\bar{x}^2$$
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Pour l’exemple du salaire on obtient pour la variance $$\begin{aligned}
- v&=\frac{1}{61}\left(35\cdot(40000-60656)^2+35\cdot(50000-60656)^2\right.\nonumber\\
- &\quad\quad\left.+35\cdot(60000-60656)^2+35\cdot(1000000-60656)^2\right)\nonumber\\
+ v&=\frac{1}{61}\left(35\cdot(40000-60656)^2+20\cdot(50000-60656)^2\right.\nonumber\\
+ &\quad\quad\left.+5\cdot(60000-60656)^2+1\cdot(1000000-60656)^2\right)\nonumber\\
&=1.4747\cdot 10^{10},\end{aligned}$$ et l’écart-type
$$s=\sqrt{v}=121440.$$