diff --git a/cours.tex b/cours.tex index ff8c7c6b96df50ff46efbc37b54c8f8e43485aea..97cf31e3661e5a52ce2ab863cf5f38cc3ccdc5f9 100644 --- a/cours.tex +++ b/cours.tex @@ -898,6 +898,64 @@ Cette méthode permet d'évaluer exactement des polynômes d'ordre 3, $f(x)=ax^3 Pour illustrer le concept d'équations différentielles, nous allons considérer pour commencer des systèmes qui évoluent dans le temps (évolution d'une population, taux d'intérêts, circuits électriques, ...). +\subsection{Mouvement rectiligne uniforme} + +Imaginons que nous connaissons la fonction décrivant le vitesse d'une particle au cours du temps et +notons la $v(t)$. Nous savons également que la vitesse d'une particule est relié à l'évolution au cours du temps +de sa position. Cette dernière peut être notée, $x(t)$. +En particulier, nous avons que la vitesse n'est rien d'autre que la dérivée de la position. On peut onc écrire +une équation reliant la vitesse à la position +\begin{equation} + x'(t)=v(t). +\end{equation} +Cette équation est appelée \textit{équation différentielle}, car elle fait intervernir non seulement les fonctions $x(t)$ et $v(t)$, mais également +la dérivée de la fonction $x(t)$. Si maintenant nous précisons ce que vaut la fonction $v(t)$ nous pourrons résoudre cette équation. +Comme le nom de la sous-section le laisse entendre, nous nous intéressons à un mouvement rectiligne uniforme, qui a la particularité +de décrire le mouvement d'un objet qui se déplace à vitesse constante. On a donc +\begin{equation} + v(t)=v. +\end{equation} +Nous cherchons donc à résoudre l'équation différentielle +\begin{equation} + x'(t)=v. +\end{equation} +Ou en d'autres termes, nous cherchons la fonction dont la dérivée donne $C$\footnote{Cette formulation devrait vous rappeler ce que nous avons vu au chapitre précédent}. +Vous savez sans doute que l'ensemble de fonctions satisfaisant la contrainte précédente est +\begin{equation} + x(t)=v\cdot t+B, +\end{equation} +où $B$ est une constante arbitraire. On a donc la solution générale de cette équation différentielle qui n'est pas unique, mais qui donne une infinité +de solution (comme quand nous avons calculé la primitive d'une fonction au chapitre précédent). Afin de trouver une solution unique, +nous devons imposer une ``condition intiale'' à notre équation différentielle. En effet, si nous imposons la condition intiale +\begin{equation} + x(t_0)=x_0, +\end{equation} +il vient +\begin{equation} + x(t_0)=x_0=v\cdot t_0+B \Leftrightarrow B=x_0-v\cdot t_0. +\end{equation} +Finalement, la solution de l'équation différentielle est donnée par +\begin{equation} + x(t)=v\cdot (t-t_0)+x_0. +\end{equation} + +\begin{remarque} +La solution de l'équation différentielle +\begin{equation} + x'(t)=v,\ x(t_0)=x_0, +\end{equation} +revient à calculer +\begin{align*} + \int x'(t)\dd t=\int v \dd t,\\ + x(t)=v\cdot t + B. +\end{align*} +\end{remarque} + +\subsection{Mouvement rectiligne uniformément accéléré} + +Dans le cas du mouvement rectiligne d'un objet + + \subsection{Évolution d'une population} Imaginons une colonie de bactéries dont nous connaissons le taux de reproduction $r$. Nous connaissons le nombre de