diff --git a/cours.md b/cours.md index 09261301b5675cfeae08a2859b5ed5b668e5b750..36aaad6a74c5edc817b8a79822f15d1417461ce9 100644 --- a/cours.md +++ b/cours.md @@ -455,7 +455,7 @@ Interprétation physique Supposons que nous ayons une fonction, $x(t)$, qui donne la position d’un objet pour un intervalle de temps $t\in[a,b]$. Nous pouvons aisément en déduire la vitesse $v(t)$ de l’objet, comme étant la -variation de $x(t)$ pour tout $t$. Autrement dit $v(t)=x'(t)$. +variation de $x(t)$ quand $t$ varie. Autrement dit $v(t)=x'(t)$. Supposons à présent que nous ne connaissions que la vitesse $v(t)$ de notre objet. Afin de déduire sa position nous prendrions un certain @@ -465,9 +465,9 @@ pendant l’intervalle $\delta t_i$ et ainsi de suite. Afin d’améliorer l’approximation de la distance parcourue nous diminuerions la valeur de $\delta t_i$ jusqu’à ce que $\delta t_i\rightarrow 0$. -Nous voyons donc que cette méthode, n’est autre qu’une façon “intuitive” -d’intégrer la vitesse afin de trouver la position. Et que donc -l’intégrale et la dérivée sont étroitement liée. La vitesse étant la +Nous voyons ainsi que cette méthode, n’est autre qu’une façon “intuitive” +d’intégrer la vitesse afin de trouver la position. Et que +l’intégrale et la dérivée sont étroitement liées: la vitesse étant la dérivée de la position et la position étant l’intégrale de la vitesse. Primitive @@ -483,14 +483,14 @@ Soit $f$ une fonction. On dit que $F$ est la primitive de $f$ sur l’intervalle $D\subseteq{\real}$ si $F'(x)=f(x)$ $\forall x\in D$. Si $F$ est une primitive de $f$, alors on peut définir la fonction $G$ -telle que $G(x)=F(x)+C$, $\forall C\in{\real}$ qui est aussi une -primitive de $f$. On dit donc que la primitive de $f$ est définie à une +telle que $G(x)=F(x)+C$, $C\in{\real}$ qui est aussi une +primitive de $f$. On dit que la primitive de $f$ est définie à une constante additive près. En effet, si $F'=f$ on a $$G'=F'+\underbrace{C'}_{=0}=F'=f.$$ Théorème (Unicité) +.# -S’il existe $a\in D$ et $b\in{\real}$ alors il existe une unique +Pour $a\in D$ et $b\in{\real}$ il existe une unique primitive $F$ telle que $F(a)=b$. --- @@ -507,7 +507,7 @@ que $C=0$ et donc la primitive est unique et vaut $F(x)=x^2/2$. Exercices (Primitives) +.# -Calculez les primitives suivantes (*Indication: Il s’agit de trouver les +Calculez les primitives suivantes (*indication: il s’agit de trouver les fonctions $F(x)$ telles que $F'(x)=f(x)$*): 1. $F(x)=\int x^2{\mathrm{d}}x$.