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index bae05e48e2be943123f22280431f839c92cb6bb9..0bce51cb07e0189ccb03c4dee7e6a01f8d98d3a4 100644
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@@ -2875,6 +2875,10 @@ caractères de la population. Dans le cas continu le nombre d’individus
d’un caractère correspondrait à une subdivision en $k$ parties de
l’ensemble des valeurs possibles pour le dit caractère.
+---
+
+Illustration +.#
+
1. Cas discret: On étudie la distribution de salaires annuels dans une
entreprise. Les salaires possibles sont $40'000$, $50'000$, $60'000$
et $1'000'000$ de CHF.
@@ -2900,6 +2904,8 @@ l’ensemble des valeurs possibles pour le dit caractère.
- 23 exécutions ont pris entre 53 et 54 secondes.
+---
+
Pour représenter de façon un peu plus parlante ces valeurs, deux
méthodes principales existent: le tableau ou le graphique. Pour
illustrer les exemples précédents sous forme de tableau on obtient pour
@@ -2950,7 +2956,9 @@ La population totale, $n$, est donnée par $$n=\sum_{i=0}^{k-1}n_i.$$ On
peut donc définir la fréquence d’un caractère $i$, $f_i$ comme
$$f_i=\frac{n_i}{n}.$$
-[Fréquence]{}
+---
+
+Exemple (Fréqunces) +.#
Les tableaux de fréquence des deux exemples précédents sont donnés par
@@ -2978,10 +2986,14 @@ Les tableaux de fréquence des deux exemples précédents sont donnés par
: Tableau des temps d'exécution et la fréquence des temps d'exécution. {#tbl:exec_freq}
+---
+
La fréquence possède un certain nombre de propriétés que nous
retrouverons dans les sections suivantes qui sont assez intuitives
-[Propriétés de la fréquence]{}
+---
+
+Propriété (Propriétés de la fréquence) +.#
1. Les fréquences sont toujours dans l’intervalle $[0,1]$
$$0\leq f_i\leq 1.$$
@@ -2989,6 +3001,8 @@ retrouverons dans les sections suivantes qui sont assez intuitives
2. La somme de toutes les fréquences donne toujours $1$
$$\sum_{i=0}^{k-1} f_i = 1.$$
+---
+
Relié avec la propriété $2$ ci-dessus, il peut également être
intéressant d’obtenir la *fréquence cumulée*, notée $F(x)$, d’un
caractère qui se définit comme la fréquence des individus qui présentent
@@ -3014,7 +3028,7 @@ tableaux @tbl:salaires et @tbl:exec (voir le
: Tableau des temps d'exécution et la fréquence et fréquences cumulées des temps d'exécution. {#tbl:exec_freqcum}
-[Fréquence cumulée]{}
+Exercice (Fréquence cumulée) +.#
1. Tracer les graphes de la fréquence cumulée pour les deux exemples
que nous avons vus.
@@ -3036,17 +3050,27 @@ formule suivante $$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{k-1}x_i\cdot n_i.$$ La
moyenne peut également être calculée via les fréquences
$$\bar{x}=\sum_{i=0}^{k-1}f_i\cdot x_i.$$
-[Propriétés de la moyenne]{}
+---
+
+Exercice (Propriétés de la moyenne) +.#
1. Démontrer la relation précédente.
2. Démontrer que la moyenne des écart $x_i-\bar{x}$ est nulle.
-[Moyenne]{}
+---
+
+---
+
+Illustration (Moyenne) +.#
Pour l’exemple des salaires la moyenne est donnée par
$$\bar{x}_{\textrm{salaire}}=\frac{35\cdot40000+20\cdot50000+5\cdot60000+1\cdot1000000}{61}=60656.$$
+
+---
+
+
On remarque ici que la moyenne des salaires donne une impression erronée
de la situation car elle est très sensible aux valeurs extrême de la
distribution. En effet, tous les salaires à l’exception d’un sont
@@ -3068,7 +3092,7 @@ le reste est telle que $x_i\geq\tilde{x}$.
Pour l’exemple des salaires le salaire médian est de $40000 CHF$, ce qui
reflète beaucoup mieux la distribution des salaire de notre population.
-[Moyenne, médiane]{}
+Exercice (Moyenne, médiane) +.#
Calculer la moyenne et la médiane pour l’exemple du temps d’exécution
(prendre la borne inférieure des intervalles pour chaque temps
@@ -3096,7 +3120,9 @@ $$v=\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{k-1}n_i(x_i-\bar{x})^2.$$ Si on considère
plutôt la racine carrée de la variance, on obtient *l’écart-type*
$$s=\sqrt{v}.$$
-[Variance, écart-type]{}
+---
+
+Exercice (Variance, écart-type) +.#
Démontrer les relations suivantes
@@ -3107,17 +3133,23 @@ Démontrer les relations suivantes
suivante
$$v=\frac{1}{n}\left(\sum_{i=0}^{k-1}n_ix_i^2\right)-\bar{x}^2.$$
+---
+
Pour l’exemple du salaire on obtient pour la variance $$\begin{aligned}
v&=\frac{1}{61}\left(35\cdot(40000-60656)^2+35\cdot(50000-60656)^2\right.\nonumber\\
&\quad\quad\left.+35\cdot(60000-60656)^2+35\cdot(1000000-60656)^2\right)\nonumber\\
&=1.4747\cdot 10^{10},\end{aligned}$$ et l’écart-type
$$s=\sqrt{v}=121440.$$
-[Variance, écart-type]{}
+---
+
+Exercice (Variance, écart-type) +.#
Calculer la variance et l’écart type à partir des valeurs du benchmark
de l’application.
+---
+
Encore une fois on constate que la valeur de l’écart-type des salaires
est très dépendante de la valeur extrême de la distribution (1000000
CHF). Si on l’enlève la valeur de l’écart type est de $s=6455$ (un
@@ -3136,11 +3168,16 @@ $Q_3=0.75$, le nombre d’individus entre $0.25$ et $0.75$ est donné par
$$\frac{Q_3-Q_1}{2}.$$ Cette valeurs est appelée l’intervalle
semi-inter-quartile.
-[Semi-inter quartile]{}
+
+---
+
+Exercice (Semi-inter quartile) +.#
Calculer les intervalles semi-inter-quartiles des exemples que nous
avons vus plus tôt dans le cours.
+---
+
Exemple du jeu de dé
--------------------
@@ -3152,6 +3189,10 @@ Avant de commencer à étudier les probabilités du lancer de dé, et les
questions qu’on peut se poser, faisons d’abord un peu de vocabulaire qui
sera utile pour la suite.
+---
+
+Définition +.#
+
- L’ensemble des résultats possibles du lancer de dé est
$\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$ et cet ensemble est appelé l’*univers* du
lancer de dé.
@@ -3177,6 +3218,8 @@ sera utile pour la suite.
- Si $A$ est un événement, on note $p(A)$ la *probabilité* que $A$
soit réalisé.
+---
+
Le calcul des *probabilités* de réalisation de certains événement est
reliée à la *fréquence* que nous avons introduit dans la section
précédente. Soit un univers $\Omega$ et $A$, $B$ deux événements tels
@@ -3307,7 +3350,11 @@ $$p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)=p(A)+p(B)-p(\emptyset)=p(A)+p(B).$$
Tous ces concepts que nous avons vus précédemments peuvent être vus
comme la conséquences des trois axiomes des probabilités suivants
-[Axiomes des probabilités]{} Soit $\Omega$ un univers. La probabilité de
+---
+
+Définition (Axiomes des probabilités) +.#
+
+Soit $\Omega$ un univers. La probabilité de
réaliser un événement $A\subseteq\Omega$ est une fonction $p(A)$ qui
associe à tout événement de $A$ un nombre réel, qui satisfait les 3
axiomes suivants
@@ -3321,8 +3368,14 @@ axiomes suivants
évéenements incompatibles est égale à la somme de réalisation de
chacun d’entre eux.
+---
+
De ces axiomes découlent tout un tas de théorèmes
+---
+
+Théorème +.#
+
Pour $A,B\subseteq\Omega$ et $\Omega$ un univers et $p$ une probabilité.
1. $p(B\cap\bar A)=p(B)-p(B\cap A).$
@@ -3343,6 +3396,8 @@ Pour $A,B\subseteq\Omega$ et $\Omega$ un univers et $p$ une probabilité.
9. $\forall A$, $0\leq p(A)\leq 1.$
+---
+
### Probabilités conditionnelles
Imaginons à présent que nous ayons une information supplémentaire
@@ -3373,7 +3428,9 @@ fait être vue comme la définition de la probabilité conditionnelle. Si
$p(B)\neq0$ alors on appelle probabilité conditionnelle le nombre
$p(A|B)$, tel que $$p(A|B)=\frac{p(A\cap B)}{p(B)}.$$
-[Probabilités conditionnelles]{}
+---
+
+Exercice (Probabilités conditionnelles) +.#
Sur une population de 1000 hommes qui naissent, 922 atteignent l’âge de
50 ans et 665 l’âge de 70 ans.
@@ -3387,6 +3444,8 @@ Sur une population de 1000 hommes qui naissent, 922 atteignent l’âge de
3. Quelle est la probabilité qu’un homme de 50 ans soit encore en vie à
70?
+---
+
### Evénements indépendants
Prenons maintenant le cas “pathologique” où nous cherchons la
@@ -3412,7 +3471,11 @@ du dé ne va en rien influencer le résultat du deuxieme tirage. Tout
comme un tirage de l’euromillions d’une semaine ne va pas influencer le
résultat de celui de la semaine suivante.
-[Evénements indépendants]{} On jette une pièce de monnaie deux fois de
+---
+
+Exercice (Evénements indépendants) +.#
+
+On jette une pièce de monnaie deux fois de
suite. Les résultats possible pour chaque jet sont: $P$, ou $F$.
1. Ecrivez l’univers des événements.
@@ -3424,6 +3487,8 @@ suite. Les résultats possible pour chaque jet sont: $P$, ou $F$.
4. Est-ce que les jets sont indépendants?
+---
+
### Tirages multiples
Jusqu’ici on a lancé le dé une fois et calculé la probabilité liée à ce
@@ -3511,6 +3576,10 @@ $6$ ou $6$ si on a d’abord tiré $2$). La probabilité de tirer $2$ ou $6$
est de $1/3$, puis la probabilité de tirer le nombre restant est de
$1/6$. On a donc que $$p(A)=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{18}.$$
+---
+
+Exercice +.#
+
1. Calculer la probabilité d’obtenir $2$ comme la somme des deux
nombres tirés par deux dés.
@@ -3530,6 +3599,8 @@ $1/6$. On a donc que $$p(A)=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{18}.$$
$n$ fois? Pouvez-vous généraliser pour un tirage aléatoire offrant
$m$ possibilités qu’on tire $n$ fois?
+---
+
### La distribution multinomiale
Plus nous allon rajouter des tirages successifs plus il va être
@@ -3577,6 +3648,10 @@ De façon complètement générale ce genre de probabilité se calcule grâce
à la *distribution multinomiale*
$$p([n_1,...,n_k])=\frac{n!}{n_1!\cdots n_k!}p_1^{n_1}\cdots p_k^{n_k}.$$
+---
+
+Exercice +.#
+
On lance un dé parfait 10 fois. Quelle est la probabilité d’obtenir:
1. 10 fois 6?
@@ -3585,6 +3660,8 @@ On lance un dé parfait 10 fois. Quelle est la probabilité d’obtenir:
3. 2 fois 1, 2 fois 2, 2 fois 3, 1 fois 4, 1 fois 5, et 1 fois 6?
+---
+
Exemple du lotto
----------------
@@ -3639,15 +3716,21 @@ a tiré $2$ ou $5$) parmi 5. Les deux probabilités sont donc données
respectivement par $p(\{2,5\})=\frac{2}{6}$ puis par
$p(\{5,2\}\backslash \{2\mbox{ ou }5)=\frac{1}{5}$.
+---
+
+Exerice +.#
+
1. Le jeu Euromillions consiste en un tirage de 5 numéros parmi 50
possible, puis par le tirage de 2 “étoiles” parmi 11 possibles.
Déterminez la probabilité de trouver la bonne combinaison à un
tirage.
-2. Le jeu du swiss lotto, consiste au tirage de 5 numéros parmi 42
+2. Le jeu du swiss lotto, consiste au tirage de 6 numéros parmi 42
possibles, puis au tirage d’un numéros parmi 6. Calculez la
probabilité de gagner au swiss lotto.
+---
+
Quelques exercices
------------------
@@ -3763,16 +3846,28 @@ dans un intervalle $I$ est reliée à la probabilité d’obtenir un
événement $D$ qui serait la préimage de $\alpha$ ou d’un intervalle $I$.
On peut noter dans le cas général qu’on a $D=X^{-1}(I)$.
+---
+
+Définition (Variable aléatoire) +.#
+
On dit que la fonction $X:\Omega\rightarrow{\mathbb{R}}$ est une
*variable aléatoire* si la préimage de $X$ sur tout intervalle,
$I\subseteq{\mathbb{R}}$, est un événement $A\in \Omega$. La probabilité
que $X$ prenne une valeur dans l’intervalle $I$ est égale à la
probabilité de réaliser l’événement $A$ $$p(X\in I)=p(A).$$
+---
+
+---
+
+Définition (Fonction de répartition) +.#
+
On dit que la fonction $F:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}}$ est une
*fonction de répartition* si $F(x)=p(X\leq x)$ pour tout
$x\in{\mathbb{R}}$.
+---
+
Nous distinguons deux sortes de variables aléatoires différentes: les
variables aléatoires discrètes et continues. Nous les discuterons
brièvement dans les deux sous-sections suivantes.
@@ -4045,9 +4140,9 @@ Remerciements
=============
Je voudrais remercier (par ordre alphabétique) les étudiants du cours
-qui ont contribué à améliorer ce polycopié. Merci à Messieurs
-Gay-Balmaz, Ibanez, Lovino et Sousa. En espérant que cette liste
-continuera à s’allonger avec les années.
+qui ont contribué à améliorer ce polycopié. En espérant que cette liste
+continuera à s’allonger avec les années.Merci à Messieurs
+Gay-Balmaz, Ibanez, Lovino et Sousa. Je voudrais également remercier A. Malaspinas pour sa relecture et ses corrections.
[^1]: Pour ceux que ça intéresse cette série s’obtient à l’aide d’une
série de Taylor.