From 88a74608a9184940b391c4e4b9bd4b2f2ef26156 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Orestis Malaspinas <orestis.malaspinas@hesge.ch>
Date: Mon, 24 Feb 2020 17:39:31 +0100
Subject: [PATCH] aj <-> bj
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@@ -2856,8 +2856,7 @@ Comme on l’a vu précédemment, les nombres complexes peuvent se voir
comme une “notation†de ${\real}^2$. On peut ainsi les représenter
sur un plan bidimensionnel (voir la @fig:complexPlane).
-{#fig:complexPlane width="35.00000%"}
+{#fig:complexPlane width="35.00000%"}
La somme de deux nombres complexes s’interprête également facilement de
façon graphique. On peut le voir sur la @fig:complexPlaneSum.
@@ -3223,39 +3222,39 @@ $$\sin(\theta+\phi)=\sin(\theta)\cos(\phi)+\cos(\theta)\sin(\phi).$$ Il
vient $$\begin{aligned}
f(t)=\sum_{j=0}^\infty A_j\left(\sin(j\omega t)\cos(\phi_j)+\cos(j\omega t)\sin(\phi_j)\right).\end{aligned}$$
En renommant $$\begin{aligned}
-a_j&\equiv A_j\cos(\phi_j),\\
-b_j&\equiv A_j\sin(\phi_j),\end{aligned}$$ on obtient
-$$f(t)=\sum_{j=0}^\infty \left(a_j\sin(j\omega t)+b_j\cos(j\omega t)\right). $${#eq:decomp_sincos}
+a_j&\equiv A_j\sin(\phi_j),\\
+b_j&\equiv A_j\cos(\phi_j),\end{aligned}$$ on obtient
+$$f(t)=\sum_{j=0}^\infty \left(a_j\cos(j\omega t)+b_j\sin(j\omega t)\right). $${#eq:decomp_sincos}
On a ainsi transformé une équation où on devait déterminer une amplitude
et une phase, ce qui est plutôt compliqué, en une autre équation où on
doit déterminer uniquement deux amplitude. Par ailleurs, comme $\cos$ et
$\sin$ sont indépendants, on peut calculer les $a_j$ et $b_j$ de façon
également indépendantes.
-Nous voulons à présent calculer $a_n$ et $b_n$ pour avoir les
+Nous voulons à présent calculer $a_j$ et $b_j$ pour avoir les
coordonnées de $f$ dans la base des $\sin$ et des $\cos$. Pour ce faire,
nous allons tenter de trouver les amplitudes $a_j,b_j$ tels que les
$a_j\cos(j\omega t)$ et $b_j\sin(j\omega t)$ approximent au mieux la
fonction $f$.
Nous allons considérer les fonctions d’erreur suivantes
-$$E^s_j=\int_0^T(f(t)-a_j\sin(j\omega t))^2{\mathrm{d}}t,\quad E^c_j=\int_0^T(f(t)-b_j\cos(j\omega t))^2{\mathrm{d}}t.$$
+$$E^s_j=\int_0^T(f(t)-b_j\sin(j\omega t))^2{\mathrm{d}}t,\quad E^c_j=\int_0^T(f(t)-a_j\cos(j\omega t))^2{\mathrm{d}}t.$$
Puis on va déterminer $a_j,b_j$ tels que $E_j^s$ et $E_j^c$ sont
minimales. Pour ce faire on va utiliser les dérivées et déterminer nos
coefficients en résolvant les équations
-$${\frac{{\mathrm{d}}E^s_j}{{\mathrm{d}}a_j}}=0,$${#eq:deriv_aj}
-$${\frac{{\mathrm{d}}E^c_j}{{\mathrm{d}}b_j}}=0.$${#eq:deriv_bj}
+$${\frac{{\mathrm{d}}E^c_j}{{\mathrm{d}}a_j}}=0.$${#eq:deriv_aj}
+$${\frac{{\mathrm{d}}E^s_j}{{\mathrm{d}}b_j}}=0,$${#eq:deriv_bj}
Pour l'@eq:deriv_aj, on a $$\begin{aligned}
- {\frac{{\mathrm{d}}E^c_j}{{\mathrm{d}}b_j}}&={\frac{{\mathrm{d}}\int_0^T(f(t)-b_j\cos(j\omega t))^2{\mathrm{d}}t}{{\mathrm{d}}b_j}},\nonumber\\
- &=\underbrace{{\frac{{\mathrm{d}}(\int_0^Tf^2(t){\mathrm{d}}t)}{{\mathrm{d}}b_j}}}_{=0}+{\frac{{\mathrm{d}}(b_j^2\int_0^T(\cos^2(j\omega t){\mathrm{d}}t))}{{\mathrm{d}}b_j}}-{\frac{{\mathrm{d}}(2b_j\int_0^T(f(t)\cos(j\omega t){\mathrm{d}}t))}{{\mathrm{d}}b_j}},\nonumber\\
- &=2b_j\int_0^T\cos^2(j\omega t){\mathrm{d}}t-2\int_0^Tf(t)\cos(j\omega t){\mathrm{d}}t,\nonumber\\
- &=2b_j\frac{T}{2}-2\int_0^T\cos(j\omega t)f(t){\mathrm{d}}t.\end{aligned}$$
+ {\frac{{\mathrm{d}}E^c_j}{{\mathrm{d}}a_j}}&={\frac{{\mathrm{d}}\int_0^T(f(t)-a_j\cos(j\omega t))^2{\mathrm{d}}t}{{\mathrm{d}}a_j}},\nonumber\\
+ &=\underbrace{{\frac{{\mathrm{d}}(\int_0^Tf^2(t){\mathrm{d}}t)}{{\mathrm{d}}a_j}}}_{=0}+{\frac{{\mathrm{d}}(a_j^2\int_0^T(\cos^2(j\omega t){\mathrm{d}}t))}{{\mathrm{d}}a_j}}-{\frac{{\mathrm{d}}(2a_j\int_0^T(f(t)\cos(j\omega t){\mathrm{d}}t))}{{\mathrm{d}}a_j}},\nonumber\\
+ &=2a_j\int_0^T\cos^2(j\omega t){\mathrm{d}}t-2\int_0^Tf(t)\cos(j\omega t){\mathrm{d}}t,\nonumber\\
+ &=2a_j\frac{T}{2}-2\int_0^T\cos(j\omega t)f(t){\mathrm{d}}t.\end{aligned}$$
Finalement on obtient
-$$b_j=\frac{2}{T}\int_0^T\cos(j\omega t)f(t){\mathrm{d}}t.$$ Pour $a_j$
+$$a_j=\frac{2}{T}\int_0^T\cos(j\omega t)f(t){\mathrm{d}}t.$$ Pour $a_j$
on a de façon similaire
-$$a_j=\frac{2}{T}\int_0^T\sin(j\omega t)f(t){\mathrm{d}}t.$$ En
+$$b_j=\frac{2}{T}\int_0^T\sin(j\omega t)f(t){\mathrm{d}}t.$$ En
particulier si $j=0$, on a
-$$a_0=0,\quad b_0=\frac{2}{T}\int_0^T f(t){\mathrm{d}}t.$$ On constate
+$$b_0=0,\quad a_0=\frac{2}{T}\int_0^T f(t){\mathrm{d}}t.$$ On constate
que $b_0/2$ correspond à la valeur moyenne de $f(t)$ dans $[0,T]$. Cela
permet d’approximer des fonctions dont la valeur moyenne n’est pas nulle
(les sinus et cosinus ont toujours des moyennes nulles).
@@ -3300,9 +3299,9 @@ somme de façon plus concise à l’aide des nombres complexes
($e^{i\theta}=\cos\theta+i\cdot\sin\theta$). Effectivement cette
réécriture est possible. Pour ce faire il faut définir de nouveaux
coefficients $c_n$, $$c_n=\left\{\begin{array}{ll}
- \frac{b_n+ia_n}{2}, & \mbox{ si }n<0\\
- \frac{b_0}{2}, & \mbox{ si }n=0\\
- \frac{b_n-ia_n}{2}, & \mbox{ si }n>0
+ \frac{a_n+ib_n}{2}, & \mbox{ si }n<0\\
+ \frac{a_0}{2}, & \mbox{ si }n=0\\
+ \frac{a_n-ib_n}{2}, & \mbox{ si }n>0
\end{array}\right.$$ Avec cette notation, on peut
réécrire l'@eq:decomp_sincos (exercice) comme
$$f(t)=\sum_{j=-\infty}^\infty c_je^{ij\omega t}.$$ En multipliant cette
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