diff --git a/cours.md b/cours.md
index 873f5b8c02f84f8581e576456bf0ae5702774746..d5e6aa2ab6b13b9dd840063db2baf25490f876ce 100644
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@@ -27,7 +27,7 @@ Fonctions
Une fonction $f$ de façon générale est un objet qui prend un (ou
plusieurs) paramètres et qui lui (leur) associe (associent) un résultat. $$\mbox{résultat}=f(\mbox{paramètres}).$$
-Nous pouvons aussi exprimer cette notion de la manière suivante. Considérons deux ensembles $A$ et $B$. Supposons qu'à chaque élément $x\in A$ est associé un élément dans $B$ que nous notons par $f(x)$. Alors on dit que $f$ est une fonction ou une application (de $A$ dans $B$). A ce niveau A et B sont arbitraires mais dans la suite nous allons nous intéresser surtout du cas où $A=\subset\mathbr{R}$. Les valeurs de $f$ constituent les {\it images} de $x$.
+Nous pouvons aussi exprimer cette notion de la manière suivante. Considérons deux ensembles $A$ et $B$. Supposons qu'à chaque élément $x\in A$ est associé un élément dans $B$ que nous notons par $f(x)$. Alors on dit que $f$ est une fonction ou une application (de $A$ dans $B$). A ce niveau A et B sont arbitraires mais dans la suite nous allons nous intéresser surtout du cas où $A=\subset\real$. Les valeurs de $f$ constituent les *images* de $x$.
---
Exemple (Fonctions, généralités) +.#
@@ -91,16 +91,16 @@ Domaine de définition
Définition (Domaine de définition) +.#
-Le domaine de définition, noté $D\subset{\mathbb{R}}$, d’une fonction
+Le domaine de définition, noté $D\subset{\real}$, d’une fonction
$f$, est l’ensemble de valeurs où $f$ admet une image.
---
Exemple (Domaine de définition) +.#
-1. Le domaine de définition de $f(x)=x$ est $D={\mathbb{R}}$.
+1. Le domaine de définition de $f(x)=x$ est $D={\real}$.
-2. Le domaine de définition de $f(x)=1/x$ est $D={\mathbb{R}}^\ast$.
+2. Le domaine de définition de $f(x)=1/x$ est $D={\real}^\ast$.
3. Le domaine de définition de $f(x)=\sqrt{x+1}/(x-10)$ est
$D=[-1;10[\cup]10;\infty[$.
@@ -110,7 +110,7 @@ Exemple (Domaine de définition) +.#
Limites
-------
-Soit $f$ une fonction et $D\subseteq{\mathbb{R}}$ non-vide et soient $a$ et $b$ deux réels.
+Soit $f$ une fonction et $D\subseteq{\real}$ non-vide et soient $a$ et $b$ deux réels.
### Limite
@@ -119,7 +119,8 @@ Définition (Limite) +.#
Pour $f$ définie en $D$, on dit que $b$ est la
limite de $x$ en $a$ si si au fur et à mesure que $x$ se rapproche de $a$, $f(x)$ se raproche de $b$ et nous notons $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=b$.
C’est-à-dire pour tout voisinage de $b$ qui contient toutes les valeurs
-de $f(x)$ nous avons un voisinage de $a$ qui contient les valeurs de $x$ (suffisament proches de $a$). C'est pas bon!!!! Fais un $epsilon$ , $delta$ pour que ça soit clair. De toute façon tu travailles dans $\mathbr{R}$ un espace métrique.
+de $f(x)$ nous avons un voisinage de $a$ qui contient les valeurs de $x$ (suffisament proches de $a$).
+<!-- TODO C'est pas bon!!!! Fais un $epsilon$ , $delta$ pour que ça soit clair. De toute façon tu travailles dans $\real$ un espace métrique. -->
Remarque +.#
Il n'est pas nécessaire que $a\in D$. Mais si c'est le cas et donc
@@ -266,7 +267,7 @@ Si $f$ est dérivable en $a$ alors $f$ est continue en $a$.
Propriétés +.#
Soient $f$ et $g$ deux fonctions dérivables (dont les dérivées sont $f'$
-et $g'$), et $a\in{\mathbb{R}}$, alors
+et $g'$), et $a\in{\real}$, alors
1. $(f+g)'=f'+g'$.
@@ -280,7 +281,7 @@ et $g'$), et $a\in{\mathbb{R}}$, alors
Il existe quelques dérivées importantes que nous allons utiliser
régulièrement dans la suite de ce cours. En supposons que
-$C\in {\mathbb{R}}$, nous avons
+$C\in {\real}$, nous avons
1. $f(x)=x^n$, $f'(x)=nx^{n-1}$ .
@@ -358,7 +359,7 @@ Interprétation géométrique
Dans ce chapitre nous nous intéressons au calcul d’aires sous une
fonction $f$. La fonction $f$ satisfait les hypothèses suivantes.
-1. $f(x)$ est bornée dans l’intervalle $[a,b]\in{\mathbb{R}}$.
+1. $f(x)$ est bornée dans l’intervalle $[a,b]\in{\real}$.
2. $f(x)$ est continue presque partout.
@@ -462,17 +463,17 @@ du calcul d’une dérivée.
Définition (Primitive) +.#
Soit $f$ une fonction. On dit que $F$ est la primitive de $f$ sur
-l’intervalle $D\subseteq{\mathbb{R}}$ si $F'(x)=f(x)$ $\forall x\in D$.
+l’intervalle $D\subseteq{\real}$ si $F'(x)=f(x)$ $\forall x\in D$.
Si $F$ est une primitive de $f$, alors on peut définir la fonction $G$
-telle que $G(x)=F(x)+C$, $\forall C\in{\mathbb{R}}$ qui est aussi une
+telle que $G(x)=F(x)+C$, $\forall C\in{\real}$ qui est aussi une
primitive de $f$. On dit donc que la primitive de $f$ est définie à une
constante additive près. En effet, si $F'=f$ on a
$$G'=F'+\underbrace{C'}_{=0}=F'=f.$$
Théorème (Unicité) +.#
-S’il existe $a\in D$ et $b\in{\mathbb{R}}$ alors il existe une unique
+S’il existe $a\in D$ et $b\in{\real}$ alors il existe une unique
primitive $F$ telle que $F(a)=b$.
---
@@ -494,7 +495,7 @@ fonctions $F(x)$ telles que $F'(x)=f(x)$*):
1. $F(x)=\int x^2{\mathrm{d}}x$.
-2. $F(x)=\int x^n{\mathrm{d}}x$, $n\in {\mathbb{R}}\backslash\{-1\}$.
+2. $F(x)=\int x^n{\mathrm{d}}x$, $n\in {\real}\backslash\{-1\}$.
3. $F(x)=\int \sqrt{x}{\mathrm{d}}x$.
@@ -510,7 +511,7 @@ Maintenant que vous avez calculé toutes ces primitives de base, nous
pouvons récapituler des formules qui seront importantes pour la suite:
1. $\int x^n{\mathrm{d}}x=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$,
- $n\in {\mathbb{R}}\backslash\{-1\}$.
+ $n\in {\real}\backslash\{-1\}$.
2. $\int \frac{1}{x}{\mathrm{d}}x=\ln(x)+C$.
@@ -523,7 +524,7 @@ pouvons récapituler des formules qui seront importantes pour la suite:
Théorème (Théorème fondamental du calcul intégral) +.#
En définissant à présent l’intégrale à l’aide de la notion
-de primitive, nous avons que pour $a,b\in{\mathbb{R}}$ et $a<b$
+de primitive, nous avons que pour $a,b\in{\real}$ et $a<b$
$$\int_a^b f(x){\mathrm{d}}x=\left.F\right|_a^b=F(b)-F(a).$$
On dit que $x$ est la variable d’intégration. Elle est dite “muette” car
@@ -552,7 +553,7 @@ est la primitive de $f$ telle que $G(a)=0$.
Propriétés +.#
Soient $f$ et $g$ deux fonctions intégrables sur un intervalle
-$D=[a,b]\subseteq{\mathbb{R}}$, $c\in[a,b]$, et $\alpha\in{\mathbb{R}}$.
+$D=[a,b]\subseteq{\real}$, $c\in[a,b]$, et $\alpha\in{\real}$.
On a
1. La dérivée et l’intégrale “s’annulent”
@@ -640,7 +641,7 @@ fonctions particulières.
#### Polynômes
Les polynômes s’intègrent terme à terme. Pour
-$\{a_i\}_{i=0}^{n}\in{\mathbb{R}}$ $$\begin{aligned}
+$\{a_i\}_{i=0}^{n}\in{\real}$ $$\begin{aligned}
&\int a_0 + a_1 x + a_2 x^2+\cdots+a_{n-1} x^{n-1}+a_{n} x^{n}{\mathrm{d}}x\\
=&\int a_0{\mathrm{d}}x + \int a_1 x{\mathrm{d}}x + \int a_2 x^2{\mathrm{d}}x+\cdots+\int a_{n-1} x^{n-1}{\mathrm{d}}x+\int a_{n} x^{n}{\mathrm{d}}x\\
=&a_0 x + \frac{a_1}{2}x^2+\frac{a_2}{3}x^3+\cdots+\frac{a_n}{n+1}x^{n+1}+c.\end{aligned}$$
@@ -1288,10 +1289,10 @@ version approximative et la discuter
Théorème (Existence et unicité) +.#
-Soit $D\subseteq{\mathbb{R}}$ le domaine de définition de la fonction
-$y$. Soit $y:D\rightarrow E\subseteq {\mathbb{R}}$ une fonction à valeur
+Soit $D\subseteq{\real}$ le domaine de définition de la fonction
+$y$. Soit $y:D\rightarrow E\subseteq {\real}$ une fonction à valeur
réelle continue et dérivable sur $D$, et
-$f:D\times E\rightarrow F\subseteq{\mathbb{R}}$ une fonction continue
+$f:D\times E\rightarrow F\subseteq{\real}$ une fonction continue
sur $D\times E$. Alors, le système suivant (également appelé problème de
Cauchy) $$\begin{aligned}
&y'=f(y,x),\\
@@ -1540,7 +1541,7 @@ Il existe des équations particulières qui peuvent se ramener à des
Une classe particulière sont les équations de Bernouilli, qui s’écrit
$$y'(x)+a(x)\cdot y(x)+b(x)\cdot y^n(x)=0,$${#eq:bernouilli} où
-$r\in{\mathbb{R}}$.
+$r\in{\real}$.
Cette équation peut également être réécrite sous la forme
$$\frac{y'(x)}{y^n(x)}+\frac{a(x)}{y^{n-1}(x)}+b(x)=0.$${#eq:bernouilli_2}
@@ -1620,7 +1621,7 @@ différentielles que nous savons résoudre. Cela sera toujours des
De façon générale ces équations s’écrivent
$$a(x)y''(x)+b(x)y'(x)+c(x)y(x)=d(x),$$ où
-$a,b,c,d:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}}$ sont des fonctions
+$a,b,c,d:{\real}\rightarrow{\real}$ sont des fonctions
réelles. Avant de résoudre l’équation générale, nous allons considérer
des plus simples.
@@ -1640,7 +1641,7 @@ Propriétés +.#
Ces propriétés sont à démontrer en exercice.
1. Soit $f(x)$ une solution de l'@eq:edo2_cch, alors
- on a aussi que pour $C\in{\mathbb{R}}$ $Cf(x)$ est également
+ on a aussi que pour $C\in{\real}$ $Cf(x)$ est également
solution de @eq:edo2_cch.
2. Soient $f(x)$ et $g(x)$ deux solutions de l’équation
@@ -1649,7 +1650,7 @@ Ces propriétés sont à démontrer en exercice.
3. De ces deux propriétés, on déduit la propriété suivante. Soient
$f(x)$ et $g(x)$ deux solutions de l'@eq:edo2_cch,
- et $C_1,C_2\in{\mathbb{R}}$, alors on a que $h(x)=C_1f(x)+C_2g(x)$
+ et $C_1,C_2\in{\real}$, alors on a que $h(x)=C_1f(x)+C_2g(x)$
sont solution de l'@eq:edo2_cch.
---
@@ -1703,7 +1704,7 @@ $\Delta < 0$.
#### Le cas $\Delta>0$
-Dans ce cas, on a que $\lambda_1,\lambda_2\in{\mathbb{R}}$ sont réels.
+Dans ce cas, on a que $\lambda_1,\lambda_2\in{\real}$ sont réels.
La solution est donc donnée par (comme on l’a vu au paravent)
$$y(x)=C_1e^{\lambda_1 x}+C_2e^{\lambda_2 x}.$$
@@ -1712,7 +1713,7 @@ $$y(x)=C_1e^{\lambda_1 x}+C_2e^{\lambda_2 x}.$$
Dans ce cas, on a que $\lambda_1=\lambda_2=\lambda=-b/(2a)$ et est réel.
Dans ce cas-là les choses se compliquent un peu. Si on utilisait
directement la formule ci-dessus, on aurait $$y(x)=Ce^{\lambda x},$$
-avec $C\in{\mathbb{R}}$. Par contre, cette solution ne peut pas
+avec $C\in{\real}$. Par contre, cette solution ne peut pas
satisfaire deux conditions initiales comme nous avons vu précédemment.
Il fau donc travailler un peu plus. Supposons que $y(x)$ est donné par
la fonction suivante $$y(x)=z(x)e^{\lambda x},$$ avec $z(x)$ une
@@ -1737,7 +1738,7 @@ exponentielle, on a $$\begin{aligned}
y_1&=e^{(u+iv)x}=e^{ux}e^{ivx},\\
y_2&=e^{(u-iv)x}=e^{ux}e^{-ivx}.\end{aligned}$$ En se rappelant de la
linéarité des solutions des EDO linéaires, on peut écrire la forme
-générale de la solution comme ($C_1,C_2\in {\mathbb{R}}$)
+générale de la solution comme ($C_1,C_2\in {\real}$)
$$y=C_1y_1+C_2y_2=C_1e^{ux}e^{ivx}+C_2e^{ux}e^{-ivx}=e^{ux}(C_1e^{ivx}+C_2e^{-ivx}).$${#eq:sol2}
En utilisant la formule d’Euler $$\begin{aligned}
@@ -1899,12 +1900,12 @@ seront beaucoup utilisés dans cette section.
### Les nombres réels
-L’ensemble des nombres réels, noté ${\mathbb{R}}$, possède un certain
+L’ensemble des nombres réels, noté ${\real}$, possède un certain
nombre de fonctions (opérateurs) tels que l’addition, la soustraction,
la multiplication, la division, etc qui prennent un couple de nombres
réels et rendent un autre nombre réel $$\begin{aligned}
-& +:{\mathbb{R}}\times{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\\
-& \cdot:{\mathbb{R}}\times{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\\\end{aligned}$$
+& +:{\real}\times{\real}\rightarrow{\real},\\
+& \cdot:{\real}\times{\real}\rightarrow{\real},\\\end{aligned}$$
On peut donc noter l’addition de deux nombres réels $7$ et $2$ et de la
définition de l’addition on a $$+(7,2)=9.$$ On lui préfère la notation
$$+(7,2)=7+2=9.$$ Intéressons nous plus particulièrement à la
@@ -1917,21 +1918,21 @@ $$\begin{aligned}
### Les couples de nombres réels
-Intéressons-nous à présent à un ensemble plus grand que ${\mathbb{R}}$,
-soit ${\mathbb{R}}^2\equiv{\mathbb{R}}\times{\mathbb{R}}$. Cet ensemble
+Intéressons-nous à présent à un ensemble plus grand que ${\real}$,
+soit ${\real}^2\equiv{\real}\times{\real}$. Cet ensemble
est l’ensemble des des couples de nombres réels. Notons les nombres
-$z\in{\mathbb{R}}^2$ comme
-$$z=(a,b)\mbox{ tel que } a\in{\mathbb{R}}, \mbox{ et } b\in{\mathbb{R}}.$$
+$z\in{\real}^2$ comme
+$$z=(a,b)\mbox{ tel que } a\in{\real}, \mbox{ et } b\in{\real}.$$
Sur ces nombres on peut définir à nouveau l’addition, la soustraction,
la multiplication, ... $$\begin{aligned}
-& +:{\mathbb{R}}^2\times{\mathbb{R}}^2\rightarrow{\mathbb{R}}^2,\\
-& \cdot:{\mathbb{R}}^2\times{\mathbb{R}}^2\rightarrow{\mathbb{R}}^2.\end{aligned}$$
+& +:{\real}^2\times{\real}^2\rightarrow{\real}^2,\\
+& \cdot:{\real}^2\times{\real}^2\rightarrow{\real}^2.\end{aligned}$$
On peut les écrire sous la forme de leurs équivalents des nombres réels
sous la forme
$$(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d),$${#eq:add}
$$(a,b)\cdot(c,d)=(a\cdot c-b\cdot d,a\cdot d+b\cdot c).$${#eq:mult}
-On voit assez facilement que l’addition sur ${\mathbb{R}}^2$ a une forme
-très similaire à celle sur ${\mathbb{R}}$ du point de vue de ses
+On voit assez facilement que l’addition sur ${\real}^2$ a une forme
+très similaire à celle sur ${\real}$ du point de vue de ses
propriétés telles que la commutativité ou l’associativité. Cela est
moins clair pour la multiplication. Il est néanmoins assez simple de
vérifier la commutativité $$\begin{aligned}
@@ -1940,7 +1941,7 @@ vérifier la commutativité $$\begin{aligned}
Exercice +.#
-Vérifier l’associativité du produit sur notre ensemble ${\mathbb{R}}^2$.
+Vérifier l’associativité du produit sur notre ensemble ${\real}^2$.
Regardons à présent ce qu’il se passe si on étudie les ensemble de
nombres où le deuxième nombre est nul tels que $(a,0)$. Si on additionne
@@ -1952,9 +1953,9 @@ $$(a,0)\cdot(b,0)=(a\cdot b-0\cdot 0,a\cdot 0+0\cdot b)=(a\cdot b,0).$$
On voit que pour la multiplication également les ensembles de nombres
dont le deuxième est nul, se comporte comme un nombre réel standard.
-En fait on peut montrer que ce sous-ensemble de ${\mathbb{R}}^2$ se
-comporte exactement comme ${\mathbb{R}}$. Il se trouve que
-${\mathbb{R}}^2$ est un ensemble de nombre plus grand que ${\mathbb{R}}$
+En fait on peut montrer que ce sous-ensemble de ${\real}^2$ se
+comporte exactement comme ${\real}$. Il se trouve que
+${\real}^2$ est un ensemble de nombre plus grand que ${\real}$
et qui le contient entièrement.
### Les nombres complexes
@@ -1990,7 +1991,7 @@ Pour $z=a+ib$, on a donc ${\mathrm{Re}}(z)=a$ et ${\mathrm{Im}}(z)=b$.
#### Interprétation géométrique
Comme on l’a vu précédemment, les nombres complexes peuvent se voir
-comme une “notation” de ${\mathbb{R}}^2$. On peut donc les représenter
+comme une “notation” de ${\real}^2$. On peut donc les représenter
sur un plan bidimensionnel (voir la @fig:complexPlane).
{#fig:baseCart width="35.00000%"}
De façon générale le vecteur $v=(v_1,v_2)$ est représenté implicitement
par (voir la @fig:baseCart) $$v=v_1\cdot e_1+v_2\cdot e_2.$$ On
-dit que $e_1$ et $e_2$ forme une *base* de l’espace ${\mathbb{R}}^2$. En
-d’autre terme n’importe quel vecteur $v\in{\mathbb{R}}^2$ peut être
+dit que $e_1$ et $e_2$ forme une *base* de l’espace ${\real}^2$. En
+d’autre terme n’importe quel vecteur $v\in{\real}^2$ peut être
exprimé comme une combinaison linéaire de $e_1$ et $e_2$.
Néanmoins, le choix de la base $e_1$ et $e_2$ est totalement arbitraire.
@@ -2234,12 +2235,12 @@ $$\sum_{i=1}^n \alpha_iv_i=0 \Rightarrow \alpha_i=0,\ \forall i.$$
Exemple (Famille libre) +.#
-1. $\{e_1\}$ est une famille libre de ${\mathbb{R}}^2$.
+1. $\{e_1\}$ est une famille libre de ${\real}^2$.
-2. $\{e_1,e_2\}$ est une famille libre de ${\mathbb{R}}^2$.
+2. $\{e_1,e_2\}$ est une famille libre de ${\real}^2$.
3. $\{e_1,e_2,v\}$, avec $v=(1,1)$ n’est pas une famille libre de
- ${\mathbb{R}}^2$. En effet,
+ ${\real}^2$. En effet,
$$1\cdot e_1+1\cdot e_2-1\cdot v=(0,0).$$
4. $\{\sin(x),\cos(x)\}$ est une famille libre. On em peut pas écrire
@@ -2257,14 +2258,14 @@ linéaire des vecteur $e_i$.
Illustration (Familles génératrices) +.#
-1. $\{e_1\}$ n’est une famille génératrice de ${\mathbb{R}}^2$. On ne
+1. $\{e_1\}$ n’est une famille génératrice de ${\real}^2$. On ne
peut pas représenter tous les vecteurs de la forme $v=(0,v_2)$,
$v_2\neq 0$.
-2. $\{e_1,e_2\}$ est une famille génératrice de ${\mathbb{R}}^2$.
+2. $\{e_1,e_2\}$ est une famille génératrice de ${\real}^2$.
3. $\{e_1,e_2,v\}$, avec $v=(1,1)$ est une famille génératrice de
- ${\mathbb{R}}^2$.
+ ${\real}^2$.
Définition (Base) +.#
@@ -2278,10 +2279,10 @@ Les $\alpha_i$ sont appelé les coordonnées de $v$ dans la base $B$.
Illustration (Base de $\real ^2$) +.#
-1. $\{e_1,e_2\}$ est une base de ${\mathbb{R}}^2$.
+1. $\{e_1,e_2\}$ est une base de ${\real}^2$.
2. $\{e_1,e_2,e_3\}$, avec $e_3=(1,1)$, n’est pas une base de
- ${\mathbb{R}}^2$, car ce n’est pas une famille libre. On a par
+ ${\real}^2$, car ce n’est pas une famille libre. On a par
exemple que l’élément $v=(0,0)$ peut se représenter avec les
coordonnées $\alpha=(0,0,0)$ et également les coordonnées
$\beta=(1,1,-1)$.
@@ -2551,12 +2552,12 @@ Propriété +.#
transformée de Fourier est donnée par
$${\hat{g}}(\omega)={\hat{f}}(\omega)e^{i\omega t_0}.$$
-3. Modulation en fréquence. Soit $\omega_0\in{\mathbb{R}}$ et une
+3. Modulation en fréquence. Soit $\omega_0\in{\real}$ et une
fonction $g(t)=e^{-i\omega_0 t}f(t)$, alors sa transformée de
Fourier est donnée par
$${\hat{g}}(\omega)={\hat{f}}(\omega+\omega_0).$$
-4. Contraction temporelle. Soit $a\in{\mathbb{R}}^\ast$ et $g(t)=f(at)$
+4. Contraction temporelle. Soit $a\in{\real}^\ast$ et $g(t)=f(at)$
alors sa transformée de Fourier est donnée par
$${\hat{g}}(\omega)=\frac{1}{|a|}{\hat{f}}(\omega/a).$$ En
particulier, on a la propriété d’inversion du temps quand $a=-1$, on
@@ -3235,7 +3236,7 @@ $\Omega$ se réalisent $$\begin{aligned}
f(A\cup B)&=\frac{M+K}{N}=f(A)+f(B).\end{aligned}$$ Les *probabilités*
de réalisation des événements ci-dessus peutvent être vues comme le
passage à la limite $N\rightarrow\infty$ tel que
-$p(A),p(B)\in{\mathbb{R}}$ et $$\begin{aligned}
+$p(A),p(B)\in{\real}$ et $$\begin{aligned}
p(A)&=\lim_{\substack{N\rightarrow\infty,\\ K/N<\infty}}\frac{K}{N},\\
p(B)&=\lim_{\substack{N\rightarrow\infty,\\ M/N<\infty}}\frac{M}{N},\\
p(\Omega)&=1,\\
@@ -3785,9 +3786,9 @@ Variables aléatoires
Lors d’une expérience aléatoire, il est assez commun de relier chaque
événement de l’univers, $A\in\Omega$, à un nombre réel,
-$X(A)\in{\mathbb{R}}$. Cette relation est définie par une fonction qui
+$X(A)\in{\real}$. Cette relation est définie par une fonction qui
porte le nom de variable aléatoire et peut s’écrire mathématiquement
-sous la forme $$X:\Omega\rightarrow {\mathbb{R}}.$$ Afin de mieux
+sous la forme $$X:\Omega\rightarrow {\real}.$$ Afin de mieux
comprendre ce concept voyons quelques exemples
1. Lors d’un jet de dé unique l’univers est défini par
@@ -3813,8 +3814,8 @@ comprendre ce concept voyons quelques exemples
Comme nous nous sommes posés la question de connaître la probabilité
d’obtenir un certain résultat lors d’une expérience aléatoire, il en va
de même avec la probabilité que la variable aléatoire $X$ prenne une
-valeur donnée, $\alpha\in{\mathbb{R}}$ ou prenne une valeur incluse dans
-un intervalle $I\subseteq{\mathbb{R}}$.
+valeur donnée, $\alpha\in{\real}$ ou prenne une valeur incluse dans
+un intervalle $I\subseteq{\real}$.
Pour illustrer ce qui se passe, intéressons-nous au dernier exemple
ci-dessus avec le double pile ou face. On se pose les questions
@@ -3852,9 +3853,9 @@ On peut noter dans le cas général qu’on a $D=X^{-1}(I)$.
Définition (Variable aléatoire) +.#
-On dit que la fonction $X:\Omega\rightarrow{\mathbb{R}}$ est une
+On dit que la fonction $X:\Omega\rightarrow{\real}$ est une
*variable aléatoire* si la préimage de $X$ sur tout intervalle,
-$I\subseteq{\mathbb{R}}$, est un événement $A\in \Omega$. La probabilité
+$I\subseteq{\real}$, est un événement $A\in \Omega$. La probabilité
que $X$ prenne une valeur dans l’intervalle $I$ est égale à la
probabilité de réaliser l’événement $A$ $$p(X\in I)=p(A).$$
@@ -3864,9 +3865,9 @@ probabilité de réaliser l’événement $A$ $$p(X\in I)=p(A).$$
Définition (Fonction de répartition) +.#
-On dit que la fonction $F:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}}$ est une
+On dit que la fonction $F:{\real}\rightarrow{\real}$ est une
*fonction de répartition* si $F(x)=p(X\leq x)$ pour tout
-$x\in{\mathbb{R}}$.
+$x\in{\real}$.
---