From 9749e2848dd76943449ab116fbe6ec45ad6b1574 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Orestis Malaspinas <orestis.malaspinas@hesge.ch>
Date: Mon, 3 Apr 2017 17:27:28 +0200
Subject: [PATCH] correction date

---
 README.md               |   2 ++
 cours.tex               |  44 ++++++++++++-------------
 tpFourier/mydata.txt    | Bin 0 -> 72498 bytes
 tpFourier/tpFourier.tex |  70 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 4 files changed, 94 insertions(+), 22 deletions(-)
 create mode 100644 tpFourier/mydata.txt
 create mode 100644 tpFourier/tpFourier.tex

diff --git a/README.md b/README.md
index 05e8af0..9fda9b0 100644
--- a/README.md
+++ b/README.md
@@ -1,3 +1,5 @@
 # Mathématiques pour deuxième année ITI
 
 Ce projet contient la tentative de polycopié du cours de Mathématiques pour la filière ITI de hepia.
+
+Un bonus de 0.1 points sur la note de l'examen sera obtenu pour tout pull request réussi.
\ No newline at end of file
diff --git a/cours.tex b/cours.tex
index 72a33b9..3afa941 100644
--- a/cours.tex
+++ b/cours.tex
@@ -2457,7 +2457,7 @@ b_j&\equiv A_j\sin(\phi_j),
 \end{align}
 on obtient
 \begin{equation}
- f(t)=\sum_{j=0}^\infty \left(a_j\cos(j\omega t)+b_j\sin(j\omega t)\right). \label{eq_decomp_sincos}
+ f(t)=\sum_{j=0}^\infty \left(a_j\sin(j\omega t)+b_j\cos(j\omega t)\right). \label{eq_decomp_sincos}
 \end{equation}
 On a donc transformé une équation où on devait déterminer une amplitude et une phase, ce qui est très compliqué, en une autre
 équation où on doit déterminer uniquement deux amplitude. Par ailleurs, comme $\cos$ et $\sin$ sont indépendants,
@@ -2469,7 +2469,7 @@ que les $a_j\cos(j\omega t)$ et $b_j\sin(j\omega t)$ approximent au mieux la fon
 
 On va donc considérer les fonctions d'erreur suivantes
 \begin{equation}
- E^s_j=\int_0^T(f(t)-b_j\sin(j\omega t))^2\dd t,\quad E^c_j=\int_0^T(f(t)-a_j\cos(j\omega t))^2\dd t.
+ E^s_j=\int_0^T(f(t)-a_j\sin(j\omega t))^2\dd t,\quad E^c_j=\int_0^T(f(t)-b_j\cos(j\omega t))^2\dd t.
 \end{equation}
 Puis on va déterminer $a_j,b_j$ tels que $E_j^s$ et $E_j^c$ sont minimales. Pour ce faire on va utiliser les dérivées
 et déterminer nos coefficients en résolvant les équations
@@ -2479,22 +2479,22 @@ et déterminer nos coefficients en résolvant les équations
 \end{align}
 Pour l'équation \eqref{eq_deriv_aj}, on a 
 \begin{align}
- \dDeriv{E^c_j}{a_j}&=\dDeriv{\int_0^T(f(t)-a_j\cos(j\omega t))^2\dd t}{a_j},\nonumber\\
- &=\underbrace{\dDeriv{(\int_0^Tf^2(t)\dd t)}{a_j}}_{=0}+\dDeriv{(a_j^2\int_0^T(\cos^2(j\omega t)\dd t))}{a_j}-\dDeriv{(2a_j\int_0^T(f(t)\cos(j\omega t)\dd t))}{a_j},\nonumber\\
- &=2a_j\int_0^T\cos^2(j\omega t)\dd t-2\int_0^Tf(t)\cos(j\omega t)\dd t,\nonumber\\
- &=2a_j\frac{T}{2}-2\int_0^T\cos(j\omega t)f(t)\dd t.
+ \dDeriv{E^c_j}{b_j}&=\dDeriv{\int_0^T(f(t)-b_j\cos(j\omega t))^2\dd t}{b_j},\nonumber\\
+ &=\underbrace{\dDeriv{(\int_0^Tf^2(t)\dd t)}{b_j}}_{=0}+\dDeriv{(b_j^2\int_0^T(\cos^2(j\omega t)\dd t))}{b_j}-\dDeriv{(2b_j\int_0^T(f(t)\cos(j\omega t)\dd t))}{b_j},\nonumber\\
+ &=2b_j\int_0^T\cos^2(j\omega t)\dd t-2\int_0^Tf(t)\cos(j\omega t)\dd t,\nonumber\\
+ &=2b_j\frac{T}{2}-2\int_0^T\cos(j\omega t)f(t)\dd t.
 \end{align}
 Finalement on obtient
 \begin{equation}
- a_j=\frac{2}{T}\int_0^T\cos(j\omega t)f(t)\dd t.
+ b_j=\frac{2}{T}\int_0^T\cos(j\omega t)f(t)\dd t.
 \end{equation}
-Pour $b_j$ on a de façon similaire 
+Pour $a_j$ on a de façon similaire 
 \begin{equation}
- b_j=\frac{2}{T}\int_0^T\sin(j\omega t)f(t)\dd t.
+ a_j=\frac{2}{T}\int_0^T\sin(j\omega t)f(t)\dd t.
 \end{equation}
 En particulier si $j=0$, on a 
 \begin{equation}
-b_0=0,\quad a_0=\frac{2}{T}\int_0^T f(t)\dd t.
+a_0=0,\quad b_0=\frac{2}{T}\int_0^T f(t)\dd t.
 \end{equation}
 On constate que $a_0/2$ correspond à la valeur moyenne de $f(t)$ dans $[0,T]$. Cela 
 permet d'approximer des fonctions dons la valeur moyenne n'est pas nulle (les sinus et cosinus ont toujours
@@ -2518,8 +2518,8 @@ Cela est dû à la propriété d'othorgonalité des fonctions sinus/cosinus.
 En multipliant l'équation \eqref{eq_decomp_sincos} par $\frac{2}{T}\sin(k \omega t)$ et en intégrant 
 entre $0$ et $T$, on obtient
  \begin{align}
-\frac{2}{T}\int_0^T f(t)\sin(k\omega t)\dd t&=\frac{2}{T}\sum_{j=0}^\infty \left(a_j\underbrace{\int_0^T\cos(j\omega t)\sin(k\omega t)\dd t}_{=0}+b_j\underbrace{\int_0^T\sin(j\omega t)\sin(k \omega t)}_{=\frac{T}{2}\delta_{jk}}\right),\nonumber\\
-\frac{2}{T}\int_0^T f(t)\sin(k\omega t)\dd t&=\sum_{j=0}^\infty b_j \delta_{jk}=b_k,
+\frac{2}{T}\int_0^T f(t)\sin(k\omega t)\dd t&=\frac{2}{T}\sum_{j=0}^\infty \left(b_j\underbrace{\int_0^T\cos(j\omega t)\sin(k\omega t)\dd t}_{=0}+a_j\underbrace{\int_0^T\sin(j\omega t)\sin(k \omega t)\dd t}_{=\frac{T}{2}\delta_{jk}}\right),\nonumber\\
+\frac{2}{T}\int_0^T f(t)\sin(k\omega t)\dd t&=\sum_{j=0}^\infty a_j \delta_{jk}=a_k,
 \end{align}
 où $\delta_{jk}$ est le ``delta de Kronecker'', dont la définition est
 \begin{equation}
@@ -2532,8 +2532,8 @@ où $\delta_{jk}$ est le ``delta de Kronecker'', dont la définition est
 En multipliant l'équation \eqref{eq_decomp_sincos} par $\frac{2}{T}\cos(k \omega t)$ et en intégrant 
 entre $0$ et $T$, on obtient
  \begin{align}
-\frac{2}{T}\int_0^T f(t)\cos(k\omega t)\dd t&=\frac{2}{T}\sum_{j=0}^\infty \left(a_j\underbrace{\int_0^T\cos(j\omega t)\sin(k\omega t)\dd t}_{=\frac{T}{2}\delta_{jk}}+b_j\underbrace{\int_0^T\sin(j\omega t)\sin(k \omega t)}_{=0}\right),\nonumber\\
-\frac{2}{T}\int_0^T f(t)\cos(k\omega t)\dd t&=\sum_{j=0}^\infty a_j \delta_{jk}=a_k.
+\frac{2}{T}\int_0^T f(t)\cos(k\omega t)\dd t&=\frac{2}{T}\sum_{j=0}^\infty \left(a_j\underbrace{\int_0^T\cos(j\omega t)\sin(k\omega t)\dd t}_{=0}+b_j\underbrace{\int_0^T\cos(j\omega t)\cos(k \omega t)\dd t}_{=\frac{T}{2}\delta_{jk}}\right),\nonumber\\
+\frac{2}{T}\int_0^T f(t)\cos(k\omega t)\dd t&=\sum_{j=0}^\infty b_j \delta_{jk}=b_k.
 \end{align}
 
 \subsubsection{Les séries de Fourier en notations complexes}
@@ -2543,9 +2543,9 @@ Cette écriture nous fait penser qu'il pourrait être possible de réécrire cet
 de nouveaux coefficients $c_n$,
 \begin{equation}
  c_n=\left\{\begin{array}{ll}
-                \frac{a_n+ib_n}{2}, & $\mbox{ si }$n<0\\
-                \frac{a_0}{2},      & $\mbox{ si }$n=0\\
-                \frac{a_n-ib_n}{2}, & $\mbox{ si }$n>0
+                \frac{b_n+ia_n}{2}, & $\mbox{ si }$n<0\\
+                \frac{b_0}{2},      & $\mbox{ si }$n=0\\
+                \frac{b_n-ia_n}{2}, & $\mbox{ si }$n>0
                \end{array}\right.
 \end{equation}
 Avec cette notation, on peut réécrire l'équation \eqref{eq_decomp_sincos} (exercice) comme
@@ -2594,7 +2594,7 @@ ainsi que la notation $\omega_j=j\omega$, on peut réécrire cette équation
      &=\frac{1}{2\pi}\sum_{j=-\infty}^\infty (\Delta \omega_j)\fh(\omega_j) e^{i\omega_j t}.
 \end{align}
 Maintenant pour passer dans le cas où la fonction n'est pas périodique (la période est infinie), nous
-devons prendre la limite $\omega_j\rightarrow 0$ dans l'équation précédente, et on voit apparaître une somme de Riemann
+devons prendre la limite $\Delta \omega_j\rightarrow 0$ dans l'équation précédente, et on voit apparaître une somme de Riemann
 \begin{align}
  f(t)&=\frac{1}{2\pi}\sum_{j=-\infty}^\infty \lim\limits_{\Delta \omega_j\rightarrow 0}\Delta \omega_j\fh(\omega_j) e^{i\omega_j t},\nonumber\\
  &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty \fh(\omega) e^{i\omega t}\dd\omega.
@@ -2830,9 +2830,9 @@ Montrons à présent que la transformée inverse discrète de la transformée de
 discrète donne bien la suite de départ
 \begin{align}
  f[n]&=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} \fh[k] e^{\frac{2\pi i k n}{N}},\nonumber\\
- &=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} \sum_{m=0}^{N-1} f[m] e^{-\frac{2\pi k m}{N}} e^{\frac{2\pi i k n}{N}},\nonumber\\
- &=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} \sum_{m=0}^{N-1} f[m] e^{\frac{2\pi k (n-m)}{N}},\nonumber\\
- &=\frac{1}{N}\sum_{m=0}^{N-1} f[m] \sum_{k=0}^{N-1} e^{\frac{2\pi k (n-m)}{N}},\nonumber\\
+ &=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} \sum_{m=0}^{N-1} f[m] e^{-\frac{2\pi i k m}{N}} e^{\frac{2\pi i k n}{N}},\nonumber\\
+ &=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} \sum_{m=0}^{N-1} f[m] e^{\frac{2\pi i k (n-m)}{N}},\nonumber\\
+ &=\frac{1}{N}\sum_{m=0}^{N-1} f[m] \sum_{k=0}^{N-1} e^{\frac{2\pi i k (n-m)}{N}},\nonumber\\
  &=\frac{1}{N}\sum_{m=0}^{N-1} f[m] N \delta_{nm},\nonumber\\
  &=f[n].
 \end{align}
@@ -2867,7 +2867,7 @@ La transformée de Fourier discrète étant un échantillonage de la transformé
 à temps discret, toutes les propriétés discutées pour la transformée de Fourier à temps
 discret restent valides. En particulier la transformée de Fourier discrète est périodique, de période $N$
 \begin{equation}
- f[n]=f[n+N].
+ \fh[k]=\fh[k+N].
 \end{equation}
 A démontrer en exercice.
 
diff --git a/tpFourier/mydata.txt b/tpFourier/mydata.txt
new file mode 100644
index 0000000000000000000000000000000000000000..137ee761c50bd13aaf37d06f5a6c78077a1bcfa5
GIT binary patch
literal 72498
zcmXriGc_|dO4T(q<}%bXFtIcPF}02L%nXbzQ*{kZGP!h(^-Rn`DonJE^o)!R3_&U~
zxpd9-j17z}Kx(v2^vukRj6uvyE?px%LnBMDB3(m0V@p#Lh<ZakV>3gr>AFUGrp895
z5Md)dQ*#3_TiZ;}z|tIQshOUssUgHtLp?(yGmx-xCYLVAjUWR}wL#`tfHh`v>6+-7
z7@B|#H_<lLv$V7XiJN3{nHlMs>YC`88ybM*Od<LW4L~k6)i&3&G_VAj1@a@vr4ZL?
zo9S5^fSC|+12aRAX~w!1AkUaXJqdD@3D{A(MtUZuCLpI8XL1?onHiXZj5pRc(lax&
z1gU@+V`6Lsa)Yt1p`M|sB~-bgo~a4QM3AVlu>mMBjWf9n^-K&bAd1cO49zS-!X_ZI
z4ULV!s<qAZ%q@*TL2L?AZ48bbV{KDC3j;%_jfQ%L#ztUUv<>x4Ex}$k&g8PxGcz{?
zxz9w~T+iIx80LLrJ#$kduszy_dWMEzD~&U`O!SPvPBqas)H4HFZIa1lYNlsos%@-i
zWMK-j%Q%zELeIzo>~<4fGd*Ji2s4w*RL|Jd7!-7%bYoy(3epdXLJK`3b3?G>b&d5b
zjm$vSnr3nt>lvDufZd~QtY=~hGaQthEX~1swGH*mO-(^2f{ZcJvxG#ywuzp(0oXuD
zNLv_KfISXME5?>!o#2Q!F*F2oKqi`j6AL)PjLgj-%FXo5q3+G((zO7kd5}0LL75nX
z0~=(#sh*J;#Dlt~dS(U?2ZJKP$P64n#=0hYMn)E(kTC%X8=8UrZK7?WX9P)wCZJ$7
zH8%#u0w@(5nOlIJ1$LvcnI%ZvMAsY?8sI?6<kB_MGdBZ!1mqZFV?%H#fz=zDLR<g}
z17icYt>y+`uYw}k%o1!ODD9i;8Cx2I%mhWJ1w0=c>RA|@fkRc-NYB6&9+KvIM&=e^
ztF%q^OwCO|@dOG2Lp>u)bBKCFJ!1=S8UjU#B`7h26@gNV3D{bYIH=G77Y@dttYQvH
z+2A~DX$~nrK;?unIJbk;gVG|{J*K*bdX^>zASZxR891CwbPe@P%*{Zd1WwN;hLGR@
z#kK*&8gRIqLlTOvk)EZoA=p)5VKZ~EaoQGo7Lfb_@)0P<n?VA`SkKrHmWM!zz!aQw
zOm)rmOpIWOz*Nr|62aP*dPYXz@PedYQ;4vxnVy9uBz_^0WCZpmC}|j2n1Jm8xy8f+
zDr~7|Vqpx*@1PP(&)D1)>|9-AJ##aVV^Ku4kwgta`ao)pwULbgl`v2nwN3O8HX7?0
zLLI1$>_E70bdi07<acdkzw08xN*6h-4D}45L92@#w1#?y(1_4RjtEOVShQ&y>KVYJ
z%|Z_n#oEYG3<?KRNP5slP7k^!da(2ZstXY52a(>ijr2?q=?#%Sbq)2*5a|<<o<Zgy
z(la9c>!PK9Sbot)%P+9(rE3T(i6QlyA*gTyWpGfQM#_w!Y5<aVK@}7{?;_=OT~j@j
zybdcHw2{jO6Fpc_qH74suOOSiRS2x$0hLGag2zw~R!o7)BX}{TizwB!kxMmDA}|Nn
zA||?~dWcfcNDo$Mf@&f}p=k(;R<H}Sjr0uRWh^*2AZ0Qrx)EhEya)#c0ip;u(ldmX
z_`1j?KB9sEwMY;Z1fo9CMy^i~)eopxgI7O@%1RrhvI5m=y2!N}yzT>~7LcbvB?YK#
zg4C0sTn4Wv5!I?La<z)6gmsZCVM9G=jjfAZV;g~LY>++1pfrF~y~7#<+Ga?N0eH&+
zlxE>A2T<7vZD)Y$ad<le(JawLYnB)qL0U1OtO9SvfXY&6t4ABH)njZ4ZW@8yh}uem
zwyJcITUDUu7pP`}q(4v<glMPfBDd2(7J@SasK_@qgVgJpT!=;>D74{?Ktz*K7rDs@
zY7jykr;Xge1XcIY_9!T<;O$YQ_Ny*R`_&j!^@Eyux}cH-R!xE$o{+||E^^}-)XcF2
zSAk}_W_o6(;Fgm~CYQOMrI8W1^ajO=CAeY&HJ<b=OpU<Rw6>X^5yYdQbY-SzXaQ-o
zg335ENR<XM+t?6XkD7q$F;ht8oyi4CH{doqs7$diHUOm>a0AiO09;*}fNBYI3usNF
zYo=#pXb!3;K=r<f5u`B%ZdO=WfNNtDZ8K2a4Q}p$8}J4uU>6ueECRb1EN*554q#JI
z0GmLJ1dAJ5n1d^1P`|+(<{WUE2Ni;#YTpuEf`h7eLp>8%8Zy)~hg5dPAg>ykK^p(M
zMtbJv;QA0;kXagl8_uA5-^dtJdxKP)7()C9E+W7xz^V<5z|I0SsEsUOs=>uQti@t#
zU;%O~xOHX>Y2JcVn?YJ+U_*=yAx%P1A!z{aznEllSr~$fdlRs&Ab%L?8JdE-NXDS7
z2FXR>KsB(0wAH|^8gT0mq})Q!#01)KG}ALNhP9?l^bF0xje1ZFn^>5F;sERh6KLZc
zRCrlHx>KMofPopLdjZN2u$GY}sPPW=6DXBH5-F%X4Xr&uzB4fgH?xg1xeT~W^el`_
z4GatvKn1FyiG?9Z1SDXf04j%#4NS}|K|<yrF$GgSOEY5&Q*$m8Jxc=+Pyl5MQ*#Sr
zGmsF(BqKdj12YR_kV%#xT?Pue270CzmL`@aAVm<9jPy(`EsV@8xJ>mx<`{q#85>%d
zSQvwZASM~=nHm{e7#M&=ASM~<85kKFnS#|o3<4!Ab0Z@QkV%GMqZEwv%#92z4UM==
z^$Z~f8R!|AS(=-ffkYq%8S0ssm{^#AMc@WmTACRcn{%1!89@v()H63RGcp7jZ3Hn0
z9M48(Afv$o1`4{ydIlC|24H6!K}<5xGc&gYg_0?#0|W|OPym=(n45vjHU?`{Fw!%#
zFfcZ;1ow<U)`7y?)X><($P^?5F$q*$fWi{w0uzuT0|gU3Lklw#OOQz>5R-I`^(@Sd
zOie+4F@g9_*GSL8(AdZf6mljIqYU-TEG-O-4Y^G9z-kN>z-<IW12d3)rVyhn^^6R`
z83I&18|xXFf*Yl#pi<KU-0=k!PoUBaT=<ykf&v&^f`Gf8mZso(9h7*@AT1|wzA}LH
z4NXAqGy^y6L8cq&LHgTfpt29r>jDXz=oy%SGcCASfs_p(abrCT18{>H-1;^K=QUGM
z=gHC>oWaaMB{-y8VhXA&EKR|=)>PM0&%y*;2!WkwVF>P+foc|WOLI_}2o^RphV+9$
z8Oan}P=GvYq-SIa5eKzF!5TpxGBD5uWmIVY6x4XPFoqW6#(HMv;9LuGvZ0=#3Ap3}
z`P{$++)Dx5W@-u<3eYvzvw&C(7Pd5p1U)ETASE%#Y*Q0Rw;9y(H3W|=n1Xul=9Z>l
z*Xx?<8CZf_WneQ*O(1m+sEc9>c8M8CwUHUP8v*L6n;L^lC$MUBBXFq!a-W$IxW+Nd
z<kB_JGqEr?GO^$?(*vgpaMrXmx3sjh1PQ^Dlc9x)p)nV@-2_hKhI$6(h87keeb6+n
z3mQ){H8%pQ0;f6!BRyjikf%ZVASQwO{f4GS#^zjRdeAfua)POWv6%@-2<!$>o;ENu
zH#P%_KuiJ^PbLNy#vsF?X<XM3RG6BA^??-`fU=o^xq&4}A2f~Y8tWMv8kn1d+-V9{
z1<DD=rY2@aU?HfhKz$fvQxgL&Gd(j%&NI|AF*UL@1-a7<;waGAm7$5DG02@}P@@d=
z%ndCJ%|RBLL5wocGcY$ZGdJQg(=&&dq-&sOWN2b$1QvoA1rjl|Fa)^(tP7GojZ7>J
zz(Qa#1yG7IH8upfzyfZPnUSTLg(;UAtROeivoyD`Gyuhw1=LN(dd3!}#^AuSfS6>g
zXK7+)W)4yWE65G>%#AE8EJ4;;LfixzdNMFG1i2DgkQ?e*m>HN_fE-{6F-X@)&)C4+
z(#Vv{99EE<=vkN=gUWw%Jp+hA2B1hcG%x_EfjY@Z&&0^Yz!<CzVv;GiM`~`wWv&M;
z$3eBZfq}7!AxH>f61WsIG&KQ<KuiLKu7#PoIY<Ozkb$0sfu)HVNDZ_c2Zgt}rG+s_
z5wsvT0ELpNkp-7IERh?40?E+W3?u?E2-G|_GBh;;X)}g|w~?Nqp*bkR&Gleu+yLZm
zQ*)4Y#t<igDqaIiBU6y!#t@?nL4Gnb2Z_MaxS^h<fr%y9E6{@6K+oL3$iful0$4c?
z>f;)knt%cYmd1_rOe{@I3_*bjw$4BSG+b$JVQI-_t_Mrw26~pJ#%87<m&4Myk)EZ2
znV})bbW@0<K(&&&vAH40Rq!-!XlQO`2?}vo8aLFlv^2H=2QVUyTN)aIl7Ts>yaQ)`
z13fbn69cespotvhWphKYtIQ#h2P$1Hj14V7rh{Doa=L+mfvE+^>E>V|P<?7{U}|X&
zawjyAgTva;$e7C<md15W^~{Y-49!9Mpo!c_&(zG+)CjB%Vv>=bk(r5wB`EA*Y1~N9
zz|h3d3=}NTG;XYCW@=_(0*XCo8V7}ng@w5RSO{VgD2*9`V!;BI#*OtXEDeke4Y@2}
zX&f{>Wo!Uy2wCVEfFnl12&Blw$N;1WVvsH<v6x$!nR8iy5(FsZ4D?J5%?vG#Kq8P}
zGSV|PH#fHctAQ8<O1}msM#jb<MNpFr^(@SdO^i)J1Fn#?X`*LjVrpp!7J--qa+869
zxdq4tU=eUpZe(F<U<9%c+FSuS%E;8n*o?~p)?P8xGqNx<G_wGSfHi{Jc^2j-=0+wU
zA&9F$eN+<*GmxX8sT@?ani-j!fPw{)%ngl<%nd+JfF^SjJp%(%6BCdNV9DHE&(y%&
z#1!OZXfij_Gd4ChG6A^>Y#Z3+=4KWU!x72c!r0sd>;zacH`W8Sp)5eIf+llAJp)5S
zGgFWVG?jxAqKO&A$FO8>02&-KHvu^TmduUx%#AI~%`CYrV9DH2&%)Bu*chY;n#w`r
z0mh)xmCHg8n#>LKj14V~z>WgPm4N~{b6A*w!T^@aLG_@Ci7Ci`&{S@$XKrF_YzP*C
zhq<AtxrqrV%n_;Fz|!0Z6vxn#9MrKeF|;%Uxe}Vp4fTvcaSVz*Xeu|+GcYkWHV2D<
zgA<(1K&b^}9keJ11-ZGUsWF!&ER~ypMj?z0!6I-cfs&oM0Z0+VBqKdjBTGX|Q;-PQ
zzX}GRPy*FSmWV`dZeVF-XvAfSXpx&47#bQ`fJ7kXfT~vm3j?qS#2nC2k+F%9p(U3k
ztVIqQyD+mbG69J|Tx6hUXklt<0@4N+09TwArWR%f<{(87lMM9CER0MoK#HIRIY`97
z$P{EWtROekGqf-=H#Ow4)Poh|hI*zJCKi?;lb}f))L}I?Hv{<=mcoreT^UnwC_z)W
zp`N9&g`ok+a99dA0tJPk0azczO`wjjxgjVYSi)N5AV--S7=f&Vrf>s2Lt{&bGZ6{g
z!oa}N4CEJR0tZ#EmY_n#64q1!m0^}<mX;vDKodB)dN;5DIRKWvjrA-H4UJ4e)<K&p
zpfM^_P=d3BHB~_Mq$Q}`WeH2(phlg6v86f4Y_LzjS<}qO(9#T)P@oAMRQj7(fTIPP
zzCmN0hDPQf2SB@=p!(gy(#R5&ED-72%*+BDa?tc`pl4udU}_998k)R8<(09exse%{
zr5-eWgJu~G%#6Vzu+(H>YHDNxvJINN!97(_h;cEDg3%Bd4FN1602&qpj~#-_CD3S{
zHmGKX^j1NgQF9~k+&O6G(Z~$eM>Pel6aWtkYFp?T7=nA9CZHiF1Ms*ZcsRh+05p~b
z>OJcj8G^^mLDN)*29W+IsKagsp4A6UQW_b9ySbnqIA~zo3_Ka8ZK-E$44!BNiJR-0
zL53zk1A!*yFjGK-o6y-fT@%o(3wRt1G(c!%32_!^pxFfKOA}Ck6+Bw14QlUz`_mx9
zjr7cnAcK#fB@UM0AvTaWsDg%!B!KE%3-CNUWI7H!S`BiFg$3B3;0a1&W5~2Cs5@^0
z9-sve<rzW-Zb2&uOwA$l>7cN(gboK9>KQ@C?7?AWU<9@WG-zjT31Na1gGQIYW739t
z#*k4I@Z_~QWcu7#*HX{i1ma&%q=7oSptuALrNU+{L8Ip8pnx^j22I?7hk3v@ni_-0
zuOT+VMp8k|2e8jUW5DJXkYQg?uo^%YacG<9nV5jbCBehmme55cpdnLJu$7=ePfI;h
z$dCkR<k<i+*kJ@-QDSKcPFA3066R*GwIHC*JS6ZzjxjO^k3WITG1fCS0gw5B#4RmM
z!QKE3hnhgf-a*D#8iEIlz+N(ejq94}SwLpU!Gj-WCXl$&HqtW(5357Wwlo7T!T^nl
z7#M=n9%wAbLeJa;G7}6=E8qwRN2d{ZQXDkuYi0<ZsQ_gk0|RZ)$e0mi<OUQ6CJ^_4
zoMvVTj&+c2mU`yU>;iIxA=qM&IJhYZNts4^My4j9WDFS<HwC9sQ?T){`CvmmLs<Bk
z=$RP6BHl>Pz#I}bp!FFh;4va&NKS){H-ii@1<$d9>@)#&WI%QrgQgV0UI7V%d-b5a
zYYbY~V*!gC15<Fb7}kR@(z7%)H8nF+FwnEKv@ihoW}po%(9D^cv4Ih2@WR{_)OELj
zcb$#&%neM8EX_f^3o|1NGh<K-8PWDKG%z<ZH3xNX4b2S9K`m8iBTUyo&)nF+!~oQ?
z294-}TgcGn7^t;xY-R>-l$e^En45#lgtp5-O)di?QwtN&h>y8}A!r!YLJ!tNGte`)
zG%++bQZUjp1WoFKdokb^4oJD7p{bE6$QMQiW|rol1~|B(0k#J;-eYW{0GbvxvoHjA
zx8UtJGYboIQ)AG`xq*eLA;>YXh8$>~$<Wlq0%W?Sp^>>Is9OPQpcsILt&9x~%uFmn
zA!7;}@I~#tSQuEC8(JtB>sgqXnSi?^&{iI(XJcq;XkiS}Xl8C`Y6h|q+Ta6qJ`F5Q
zEEEj&%#1;uIYh?>R7e?{SQ>*{&n6~D#^C6M_HhjK3=Iv9%|M}TZe(N#jwNVc2h`9s
zGc`4|05|%L%?v=@5OA1*{9tNeY++^y@}Gr~si6@lK%vb;(8#fcxv7OIC|MXAnplGT
z2W=>t=vkPV8C#fxrVWfuL4#>r7O;*#Xd=PT(#TN3P|wuR$jk&}9kl5P9;CLkurvV;
zq#K%=gN6Y?YY0HmqyW-qYHDb%V5(<sY-D5v(g$r$nt((sK@$)rpeC-70l1e0?n{6I
z(a6XU6f8!1Mka=q7NB^CjuRN@nVOrK8<>KfX<%Xj>0N>Su3)5RWMp7sWCWHow=gsU
zbp^n^bkLB8xtX!Kp``+NoYlev)cS>vlj$1hSy-4DT7namxv7N_xQz=PO)%86G_y1_
zwFKn{0}E(B4Pu>vp1G-^0VvW9L2IZWT_5Nm8mQfGWNv8z8hJIgumE>cptB;NAx<L;
zLko~Mjg3tpMjC>`3+w<RLo;I|a|O_{22&GDP>;_LVx6I$k%6&=xe+L0Elog~8r0JQ
zdk^Gc3j;$7b2E@W0|QG-q^_Ego}sygr70wh8CzHygF*!y&|o1;BO_x&OOOc$#wG^F
zpm2efFQ6W^fr*(RsCY3qGqMEreW1mQ0jNW1W^4|MVFOb`Q;;)Z9Xe2V%Glh*5Y*YV
zFgG$W0~rY|UJUdM4a_Xf3_%&w(7+hd5rlXTG^A;4VP<LwN=PQA2B2{XOQfM`GXrxI
zV^G31F)%i?0QEVb#fy=iv6+d1DLCPR=GY)|(C`G!n3)?Ig2L0t7&I=)WvK@p>i`vJ
zrWOV!Mj(fpfO06vP_RBwa<MeCG&KW7ySb^kAvjo|g$t-cH#9UgGzNR#3^c?6s$)SB
z0g4(66Jt>F1a%?JjVwSNC}`mV9!|0}2bGb=dIrW87UrOUfsT!U3JF6aGcyHaJu^!q
z(Ad4D9-?qDH#D*|Gg5$*2!^1*hL<fy7KR3(=rhqX2bm3uTWGHmJV$P7WNM;ds%K<r
zVPFR8aYD-$Q$2G-b4yc8kb_MPOfA5@c39y8nt(7hG6GAQ8(M<Kt3lJ7U=JFDhEI(w
z!G)5!vAHoQO~48lLp^f~LrZX2n;AlTuh7E9K+o9H%)-n96t~7^Mh4(Gg7!y2D^LuL
zEG-p`L5tc9z#{>$!o^t6*wV<v+zjMSP}vI}0fBZ=K_l*lh8Cuvio@K%(gNf?XyIZA
znhP~Fumr^{s0cI$^_robR#3E?8=ILJD}Yu*nVK7dVjWtz80wiCn;RN}3l~sc2fGE@
zku}saH#D{c#U7-)Ze+=22Ff*NCPs#)=A*q^Ed82Mq0tZ+4S~@R7!85Z5Eu=C(GVC7
zfzc2c4S~@R7!85Z5Eu=C(GVC7fzc2c4S~@R7!85Z5Eu=C(GVC7fzc2c4S~@R7!85Z
z5Eu=C(GVC7fzc2c4S~@R7!85Z5Eu=C(GVC7fzc2c4S~@R7!85Z5Eu=C(GVC7fzc2c
z4j};ASp_-@(!>~Y$iFd{0qiUoOFhsLQ{cVU2tm-9tft_j<&acbfKJqc9Jq~82|5Vf
z7<?ojl1k9wITnyD$VQ-Z=fKt*fVLxoPWk~IDPV*!0d$y=nI&W+J+fj$J!2DN@TCDL
zW?1M!&SN)5QfsMaY+?pJ(GS%Trj{1qGY*gqFx3N{j|Ms@71<4-19L&Up;1*@8iLP4
zKsMAw&)CQSvgaD%1#>+!6LawK1IVrdoi1+yK3EjV0MNO!#*od~2>q6N#uktR$&vMg
zPU(T1e~P3ZbW*4pWdA-wKj{286JyXOZ)Ep__B%qijUyXi0opAOIlmBL0(gHh<fK|;
zCx8w*HnISpr)YvuY@}yq3Eni1WUQ&4p@|`SiqSRKGc`7ZY{y4v2k&JCpSX+cT4O!X
z!Fiw~9FR-}9T^PXtB({{;PYg`ry(K<f)5TehHSJ)*aSNA*T4kbRhD|7lV?FG0LdoM
zDMhB>qa2O6K-*|x*+Um{SRQDnK9Y5y^U=&8Cj=lRLt{My6X@}_NNxZf8U#6|0y$(s
z`y-)eXCu^_=owm?LXK}h2!gf@8iP+9Kym=+>~SNo$B+bdE%Xdcpf^(>^n(rtHh~=0
zfaF#~(6IpE<M5Fq0dz8xDdhZJWMR-&Y76jb1<0ZndgcZe;8cecj-aFCEzKb3&?4Lb
z+7fSonGQ_MOu_jc*$+mbLz=*c<st`{A*k#DpCp2$)=1C9%mjS!C{p4C?RYmcf*Pxf
zRLofzTY^(PvKK(dhM1ayGdYSd=x}mN@X5|7!k}aEA>m*$x*c;k)Qh8j7!85Z5Eu=C
z(GVC7fzc2c4S~@R7!85Z5Eu=C(GVC7fzc2c4S~@R7!85Z5Eu=C(GVC7fzc2c4S~@R
z7!85Z5Eu=C(GVC7fzc2c4S~@R7!85Z5Eu=C(GVC7fzc2c4S~@R7!85Z5Eu=C(GVC7
zfzc2c4S~@R7!85Z5Eu=C(GVC7fzc2c4S~@R7!85Z5Eu=C(GVC7fzc2c4S~@R7!85Z
z5Eu=C(GVC7fzc2c4S~@R7!85Z5Eu=C(GVC7fzc2c4S~@R7!85Z5Eu=C(GVC7fzc2c
z4FPgPz);W7z!-Ffxp5{J_@s95dH<k8-;E7G2ca8favACwn41`;>KYp9TId;@g3sDE
z&g6m|;hw5%Xsm0fXKDmF=|7XpLeJC?a^SwMsh)|YCHUNSkRg`fv+0erO+n}6gKf#=
z(lypIG&2PqPY*K0+|nF$(!Oyf7x>6`u&cC<^~@~6wu2pLWMTm}P}^M3*uVnhK#)re
z^$Z|q!Rs37nHU*?t`RWK<TBSYGB$viZKP*r3bx)D<Pvl6LFz`@hI)qP79hn&nOr7%
zCdTF<^GtNj^eha(Cwzm9Hq|pX0w1w%tZk@g0tpAO*`|i(V3+8EJPf`|0HoYR&&<FC
z>^WT{Jqt@yP_TjRG_V9KH_|oIGc_>)S!$fg1wL;c;zC0`OG{&@YEwO9OCyl)O?1um
z%uK<?f!u9k3T7MWnu8n;R*(rkl3v?b&)n3~$PnZpqf9R7$@JhDGt@IQf?SmVHo*{l
zy1uctiJm1q_#j8tgCbJfQqR)Z&?HsY&?J)!bV-0Y_#AjpkeFD4nc%oFFae+9ZlZ0b
zXKDgY4kn<)V{Bmt@(W0{r4drxSQ<kT0qFd76L8W1xzPyZ0&sML5}T<BDD1&eY;I@<
z@`tfD=t2ariN={+W_lJThTwnzB|8&Kkmrp-v1VuqKI<M7JH`-wAb%Pf8H0Rbq-&{X
zZfOct3^^_z6e`-FllQ^5G8lo3HaCFSu5G4gX$ZN-0%VAV0XWHkQmnZF%tk{!BLlGS
zjkS&Rj4Z)P1{Cp-1NOmzXrX6f2KKQ@CYO<(xfvu8Xq)Pp!c;>J-UlfLr4mDPkXu0^
zZmMT$VGK?ix~6&t7T~agq#h$k%!3?m2uY5R%wq_??!W}>7I5+b8DpqtVG2Hd-w1R|
zf-(3u0#J~f>6sdU%>jk2fr%wJJVAkI4ppOVtY>U)2#N_)a4Ir10y_<q;LIVR56a)>
z24EAxL2hIUa;_05`YnyXhv<XSmWes|z6Fq5%=9cRA(05WgTM%KIRr?#g#kDMK&F^M
zN+5791m|Or8OCN{Gr+mT%oL(e*HX{O7-9=3f<Tu9fTPn$&%gv+h=EHhOH*+E0_Sg7
zY=RQAsR1}4fO3Zs_?`_=n3(ICm_Z5&P}o|6Gcwo|BU7+2$P`lpbFfZOkz#BFO)JKF
z#zx@4HwMKr=(+(=w$V1yGc`2?WdkEnDQ0R02_IcEJwpRnbb|7M890A~N&{na3y|R;
zw;1ag8-jD0k+zARv6%rVevCk+goUvsD2W(>;>XkklxaZ9P4rC6;3b)X8Ca)bCKu%9
z0&ukGn&?3kWOC`6=vkUufC?Cpk1UMA7nOiafm~<+4n{*gV>56f0*M>z89;8KFw!;F
zGqnKcEs!|mrUQ^)L05nn!patM>z`45qaiRF0;3@?8UmvsFd71*Aut*OqaiRF0;3@?
z8UmvsFd71*Aut*OqaiRF0;3@?8UmvsFd71*Aut*OqaiRF0;3@?8UmvsFd71*Aut*O
zqaiRF0;3@?8UmvsFd71*Aut*OqaiRF0;3@?8UmvsFd71*Aut*OqaiRF0;3@?8Umvs
zFd71*Aut*OqhK@yMnhmU1V%$(Gz3ONU^E0qLtr!nMnhmU1V%$(Gz3ONV5EhBnIYte
zKG0EAhK7cg7LY@y6clug^(>4Hpy#M*8|fLC8W@02QZvd_P*5<{voy3Yg`6O!YpQ2v
zVPFP6H_jL&X{2XvXbL$e3v>dRiHV^x_zX0VPF)kw@qb2;)5Ji>lUW!VfsZ@`Nh%oW
znHrl~7=cb81D)MwWMpUrKFADgtht_<iMa{n_$~0+f(C}*Bf3D6x@LOj#zrRQpaZTz
zr-zvu8Jd6(!~#hwSm>FUTbM%5P182jGq<!fFa({VWdd=nfu*?-_z*%PT~j?%Lla9w
zurVM>&>3{b77$}W2bdWfnL!UDR8UZ`1O<X6{4g{V0}EsDd1GL&C|K$lTNpymEi=_K
zH#0Ve8>?%qXJTYw20pS3bO4%xiJ_?x=+HZ`P7^&tV?ztD1C6yU^(-unjKQaffxTj`
zXKZX?XaqW840MW{nX!R|F(|k|lDbBE24+TP2B5RTjKN0-8k&R8`2tBQSb~nwGXS59
zXRHf4mdyx!Od42D!BEf8#KahUP@9pqxt^t&xiR#(G6e-tESZ`cLQVz)oq}j-Yz}u2
z=wLMy15+b#h=Edqk(m+rL_ToXf{u<fHvqc<bnKY9si_gz7?7l{g`S0}2_(coX9k)Z
z7@5LDNWn<Y#L@&B@Y=?DmKFv`lAsd<4b7k@K^lWjnKXx<HwaF*pxA^2pRTc<rKynt
z!nNjl=0+Cg;FB#)bWQZkEG^8;K*z6v9Hd~RXKZ3<08g5RMivmKLxM=bNYBg?8lQ%G
z28PCFV1I(6%vjIB2p%ioBQ=dIKnV=26MU?uDfl2Z&?%RO#s(H9;N#gq2@DiMCXi$T
zJ6;ofq#8&k=%_<uLj&+paUh+hMrMZKC;~|;fX<yXG&TXb-WZ%6EKN+oF%L1;(#XsJ
z>`&17g~mn(u;cW=A!KM~3OO$hWURR*<jg;?sS4nuH;qieu7@7J2|aNSob8QFEKDF?
zgC4;NwjX4r0wkq?5AXw(CMHHk7M5URK(dg-I3e+?3ptL{04`~$XKrq42{{K3aw?|<
z<fuB3P6hDMoZzDqLCFMkHYX(cXDTS@f{*8fWqa@eod(c@NEH+m%=JKrbV82ugdEdp
z0d^h8qoBw)FfoOsA<!v|mZp$1L_v}YhI*j$Iw2?RK~L<27c~mtQ#;Mf!C6oja&9Li
zSAkp$KD*P%5+n&Zz0=eZoWQ`wDj4d4&hP{U8R$$!Lvssb@F9QT)TaOihDN3as0Vt2
z1J=aAzzkY2g3t7X!~!_=8R~(OEhL#hPxb_7N056IAg6mmq7ZVvr!lyU2iXbAyyj+x
z;D`W)E$EO>L@{oxXJBGx4n8RncGM@xSdd0g1pqqk(*%^@KsrGOeu9Gw<WEqb7+acx
z50V5WFe4K~NNECctuFZBPeV(PQ6Nb}QxkLW(WoGu3Z{DIhGx)`8+rgJI1z&-!H0mF
zf~yix@n&jbX#}p3z>+3<hL)!0kg(PUon&ZY362G@Bq+p;jiHBGg3kmsLS!V!xuD?F
zCP9Uir7@(A0XbGd!AuWyIw-gVGlrfI3Q5GEz%>M&6l)4es-Swsz|shj;vpx6g2NVi
zR;W4n6i2XwKy`@;q&_v)1|Jw|0xnI!feSt~6n4la=-5zmOL)3ffSer)aRVsb8k(Dc
zt4NSeQ1xYDYzZmXp+|^9l0U??21cfk!!E)8G&F{tqY5b#3@y#U*&cS9C^)r&jfEU2
z3NC6u6}o}31-KFfhmbDhR8fdE+MqOJi709mO!Po!i-NNU`1DG1Lkn=4F$HB_P^_3k
zPHhEc2XjL+1F%=XA!MOvZeU>yNg1H{G%^Jz8L*w8=7*878T>3;6LS+Y=sC0s3gEiU
z%nTeW#-MOEGPHo6-U`ZLrg|0zCgAcHRP%z49tArHY_5r(nVEqBq>Kk2!D(U!E|kCy
zveW||LkjkaG4vo(aEO2<4fQ~Wk%9xk2-H|IF$R}WU{e(g^*~3Gf-62yz#E#HSb|*(
z(h16frUpikgO8y{lfqj9y5Q4E&7kMaf{GeTNR<dS*HF*M)W8g!nL);y8kid)5}3Ij
z=%i9ewG28o)W{N2YJ(C2sB$%fRyv@_2Ax<6%E(|-6^!*v%}g!8=foO8&MigMWzeHb
z!Br%vj5jv7FaifONUJX7{8C734jg>YMj=QN)ci2EGzPcHz$wAh1bR#=sNMh{Woim`
zA;>ERW{_lR2y!jtJW~sZPSA;_rk0Q*6=W>*SW|HR1nIOeHZp{s;i{mZ3pv{qoTfmM
v#%9I_;3g|rC-{I<Q^>idkRwh_z;!fO5^~C^F{p+D731cH29VQZjWW3aB<<L^

literal 0
HcmV?d00001

diff --git a/tpFourier/tpFourier.tex b/tpFourier/tpFourier.tex
new file mode 100644
index 0000000..c7d3db1
--- /dev/null
+++ b/tpFourier/tpFourier.tex
@@ -0,0 +1,70 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage[french]{babel}
+\usepackage{amsfonts,bm,amsmath,amssymb,graphicx,verbatim}
+\usepackage{cancel}
+
+\newcommand{\dd}{\mathrm{d}}
+\newcommand{\hf}{\hat{f}}
+\newcommand{\real}{\mathbb{R}}
+\newcommand{\integer}{\mathbb{Z}}
+\newcommand{\definition}{\textbf{Definition }}
+\newcommand{\exemples}{\textbf{Exemples }}
+\newcommand{\remarque}{\textbf{Remarque }}
+\newcommand{\proprietes}{\textbf{Propriétés }}
+\newcommand{\propriete}{\textbf{Propriété }}
+
+\title{Travaux pratiques: Transformées de Fourier}
+% \author{Orestis Malaspinas}
+\date{A rendre pour le 24.04.2017}
+
+\begin{document}
+\maketitle
+
+\section*{Travaux pratiques: Transformées de Fourier}
+
+Le but de ce travail est d'essayer de comprendre comment utiliser les transformées de Fourier dans différentes applications,
+en particulier le filtrage. Pour ce faire, nous allons considérer une fonction analytique ``simple'' (dont
+la transformée de Fourier est facile à calculer) et la manipuler avec les fonctions préimplantées dans Matlab/Octave de
+transformées de Fourier: \texttt{fft} et \texttt{ifft} (il s'agit donc également d'essayer de comprendre comment les manipuler). 
+Ces fonctions représentent respectivement les transformées de Fourier et transformées de Fourier inverses rapides.
+
+Dans un premier temps, nous allons considérer la fonction
+\begin{equation}
+ f(t)=\cos(2\pi t)+0.9\cos(2\pi 10 t).
+\end{equation}
+Calculez analytiquement les coefficients de la série de Fourier de cette fonction
+et la dessinez pour $t=0..10$ avec $\delta t=0.025$ le pas entre deux points.
+
+Une fois que cette étape est effectuée, utilisez la fonction \texttt{fft}, pour 
+calculer la transformée de Fourier, $\hf$, de $f$. Pour ce faire,
+il faut ``\'echantillonner $f$ (choisir le pas de temps qu'on veut pour représenter 
+$f(t)$ numériquement). Un bon choix est de prendre $\delta t=0.025$.
+Représentez le module de transformée de Fourier sur un graphique en fonction de la fréquence, $\nu$\footnote{Indication: l'amplitude de la transformée de Fourier doit être normalisée par le 
+nombre échantillons de la fonction. De plus vous allez constater que le spectre se trouve représenté deux fois dans le vecteur donné par la fonction \texttt{fft}, à vous de tout remettre à l'échelle comme il faut}.
+Qu'observez-vous? Le résultat est-il cohérent avec le résultat analytique? 
+Reconstruire $f(t)$ à partir de $\hf(\nu)$ avec la fonction \texttt{ifft}. Superposer la fonction obtenue avec avec la fonction originale, que note-t-on?
+Refaites ces étapes en utilisant $\delta t=0.05,0.1$ que notez-vous? Comment expliquer le phénomène?
+
+En principe, vous avez dû trouver un spectre avec deux pics. Ôtez le premier 
+pic, puis le second et avec \texttt{ifft} 
+calculez les transformées de Fourier inverses et représentez les superposées à la fonction originale\footnote{Il faut ``filtrer'' dans le monde des fréquences et effectuer la tranformées de Fourier inverse pour avoir 
+le signal dans le temps. Attention le spectre est présent à double.}. Discutez les résultats.
+
+Chargez le fichier \texttt{mydata.txt} qui contient deux colonnes. Le temps $t$, et une fonction $h(t)$. Représentez la fonction sur un graphique.
+Calculez la transformée de Fourier de cette fonction avec \texttt{fft} et faites un graphique de $\hat{h}(\nu)$. Filtrez toutes les fréquences $\nu>10$ de $\hat{h}(\nu)$ dans 
+l'espace spectral. Reconstruisez la la fonction dans l'espace temporel depuis la fonction filtrée. Superposez
+le résultat avec la fonction originale. Que constatez-vous? Comparez le résultat avec la fonction $f(t)$.
+
+
+\section*{Remarques}
+
+Le travail peut-être effectué en groupe de deux. 
+Déposez le rapport et le code sur le site du cours s'il vous plaît, cela simplifie mon administration (et évite les problèmes avec les étudiants qui 
+ne mettent pas de nom sur le rapport...).
+
+La note sera une combinaison entre le code rendu et le rapport (moitié/moitié). 
+
+
+
+\end{document}
-- 
GitLab