From a0153f4f13fa4e221fbbae06d8e2ea3b6d89ea9e Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: malaspinas <andreas.malaspinas@gmail.com>
Date: Sun, 4 Mar 2018 09:17:20 +0200
Subject: [PATCH] Update cours.md
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cours.md | 26 +++++++++++++-------------
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index 36aaad6..7b841d4 100644
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+++ b/cours.md
@@ -862,8 +862,8 @@ Dans certains cas, il est impossible d’évaluer analytiquement une
intégrale ou alors elle est très compliquée à calculer. Dans ce cas, on
va approximer l’intégrale et donc commettre une erreur.
-Pour ce faire on va subdiviser l’espace d’intégration $[a,b]$ en $N$ pas
-équidistants (pour simplifier) $\delta x=(b-a)/N$, et approximer
+Pour ce faire on subdivise l’espace d’intégration $[a,b]$ en $N$ pas
+équidistants (pour simplifier) $\delta x=(b-a)/N$, et on approxime
l’intégrale par une somme finie
$$\int_a^bf(x){\mathrm{d}}x=\sum_{i=0}^{N-1} \delta x f(a+i\delta x) g_i+E(a,b,\delta x)\cong\sum_{i=0}^{N-1} \delta x f(a+i\delta x) g_i,$$
où $g_i$ est un coefficient qui va dépendre de la méthode d’intégration
@@ -877,7 +877,7 @@ nombre de pas d’intégration), de la forme de $f(x)$ (combien est
D’une façon générale plus $\delta x$ est petit ($N$ est grand) plus
l’erreur sera petite et donc l’intégration sera précise (et plus le
calcul sera long). Néanmoins, comme la précision des machines sur
-lesquelles nous évaluons les intégrale est finie, si $\delta x$ devient
+lesquelles nous évaluons les intégrales est finie, si $\delta x$ devient
proche de la précision de la machine des erreurs d’arrondi vont dégrader
dramatiquement la précision de l’intégration.
@@ -886,7 +886,7 @@ dramatiquement la précision de l’intégration.
Remarque +.#
De façon générale il est difficile de connaître à l’avance la valeur
-exacte de $E$. En revanche on est en capable de déterminer **l’ordre**
+exacte de $E$. En revanche on est capable de déterminer **l’ordre**
de l’erreur.
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@@ -911,7 +911,7 @@ nombre de paramètres utilisés pour l’intégration, il faut définir un
critère qui va nous dire si notre intégrale est calculée avec une
précision suffisante.
-Si nous notons $I(N,a,b,f,g)$ l’approximation du calcul de l’intégrale
+Notons $I(N,a,b,f,g)$ l’approximation du calcul de l’intégrale
entre $a$ et $b$ de la fonction $f$ avec une résolution $N$ pour la
méthode d’intégration $g$
$$I(N,a,b,f,g)=\sum_{i=0}^{N-1} \delta x f(a+i\delta x) g_i,$$ où $g_i$
@@ -950,7 +950,7 @@ $$\begin{aligned}
\int_a^bf(x){\mathrm{d}}x&\cong\sum_{i=0}^{N-1} \delta x f(a+(i+1/2)\cdot\delta x)+\mathcal{O}(\delta x^2).\end{aligned}$$
Cette astuce permet d’améliorer la précision de la méthode à très faible
coût. En effet, la précision de la méthode des rectangles est améliorée
-et devient d’ordre 2.
+et devient d’ordre 2. Elle est exacte pour les fonctions linéaires $f(x)=c\cdot x + d$.
### Méthode des trapèzes
@@ -960,22 +960,22 @@ rappel l’aire d’un trapèze, dont les côtés parallèles sont de longueurs
$c$ et $d$ et la hauteur $h$, est donnée pas $$A=(c+d)h/2.$$ Cette
approximation donne donc la formule suivante
$$\int_a^bf(x){\mathrm{d}}x\cong\sum_{i=0}^{N-1} \delta x \frac{f(a+i\cdot\delta x)+f(a+(i+1)\cdot\delta x)}{2}+\mathcal{O}(\delta x^2).$$
-Cette méthode est d’ordre $2$. Cette méthode d’intégration est exacte
+Cette méthode est d’ordre $2$. Cette méthode d’intégration est aussi exacte
pour les fonctions linéaires $f(x)=c\cdot x + d$.
### Méthode de Simpson
-Pour cette approximation, on approxime la fonction à intégrer dans un
+Pour cette méthode, on approxime la fonction à intégrer dans un
intervalle par une parabole.
Commençons par évaluer l’intégrale à l’aide d’une subdivision dans
l’ensemble $[a,b]$.
-L’idée est la suivante. On pose $f(x)=c\cdot x^2+d\cdot x+e$. Donc, il
-nous faut déterminer $c$, $d$, et $e$. Il nous faut donc choisir 3
+L’idée est la suivante. On pose $f(x)=c\cdot x^2+d\cdot x+e$ et il
+faut déterminer $c$, $d$, et $e$. Il faut donc choisir 3
points dans l’intervalle $[a,b]$ pour déterminer ces constantes. On
choisit comme précédemment $f(a)$, $f(b)$, et le troisième point est
-pris comme étant le point du milieu $(f(a+b)/2)$. On se retrouve donc
+pris comme étant le point du milieu $(f(a+b)/2)$. On se retrouve ainsi
avec trois équations à trois inconnues $$\begin{aligned}
f(a)&=c\cdot a^2+d\cdot a+e,\\
f(b)&=c\cdot b^2+d\cdot b+e,\\
@@ -985,7 +985,7 @@ pouvons à présent évaluer l’intégrale $$\begin{aligned}
I&=\int_a^b f(x){\mathrm{d}}x\cong\int_a^b (cx^2+dx+e){\mathrm{d}}x,\nonumber\\
&=\frac{b-a}{6}(f(a)+f(b)+4f((a+b)/2))+\mathcal{O}(\delta x^4).\end{aligned}$$
-On peut donc généraliser affiner cette formule en rajoutant des
+On peut généraliser et affiner cette formule en rajoutant des
intervalles comme précédemment et en répétant cette opération pour
chaque intervalle.
@@ -993,7 +993,7 @@ Il vient donc que $$\begin{aligned}
I&=\frac{\delta x}{6}\sum_{i=0}^{N-1}\left[f(a+i\cdot \delta x)+f(a+(i+1)\cdot\delta x)\right.\nonumber\\
&\left.+4f(a+(i+1/2)\cdot\delta x)\right]+\mathcal{O}(\delta x^4).\end{aligned}$$
-Cette méthode permet d’évaluer exactement des polynômes d’ordre 4,
+Cette méthode permet d’évaluer exactement les intégrales des polynômes d’ordre 3,
$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$.
Équations différentielles ordinaires
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