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From: Orestis Malaspinas <orestis.malaspinas@hesge.ch>
Date: Thu, 21 Nov 2019 13:52:17 +0100
Subject: [PATCH] updated convolutions

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 cours.md | 88 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++----
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@@ -880,19 +880,95 @@ les réseaux de neurones convolutifs entre autres.
 
 La convolution de deux fonctions intégrables, $f(t)$, et $g(t)$, notée $f\ast g$ se définit comme
 \begin{equation}
-(f\ast g)(t)=\int_{-\infty}^\infty f(\tau)f(t-\tau)\dd \tau.
+(f\ast g)(x)=\int_{-\infty}^\infty f(x-t)g(t)\dd t.
 \end{equation}
-On constate que le membre de gauche de l'équation ci-dessus n'est rien d'autrequ'une fonction de $t$.
-Pour chaque valeur de $t=t_0$, on calcule l'intégrale,
+On constate que le membre de gauche de l'équation ci-dessus n'est rien d'autre qu'une fonction de $x$.
+Pour chaque valeur de $x=x_0$, on calcule l'intégrale,
 \begin{equation}
-\int_{-\infty}^\infty f(\tau)f(t_0-\tau)\dd \tau.
+\int_{-\infty}^\infty f(x_0-t)g(t)\dd t.
 \end{equation}
 
-On peut interprêter la convolution comme la moyenne de $f(\tau)$ pondérée par la fonction $g(-\tau)$.
+---
 
-### La convolution discrète
+Exercice (Commutativité) +.#
+
+Démontrer que le produit de convolution est commutatif, soit
+\begin{equation}
+(f\ast g)(x)=(g\ast f)(x).
+\end{equation}
+
+Indication: utiliser la substitution $\tau=x-t$.
+
+---
+
+Afin de pouvoir interpêter un peu
+ce que cela veut dire, il est intéressant de faire un calcul
+"simple" pour se faire une idée.
+
+---
+
+Exercice +.#
+
+Calculer la convolution du signal $f(t)$
+
+\begin{equation}
+f(t)=\left\{\begin{array}{ll}
+                1,&\mbox{ si }t\in[0,1]\\
+                0,&\mbox{ sinon.}
+               \end{array}\right.
+\end{equation}
+
+Indication: faites un dessin de ce que représente la convolution de ce $f$ avec lui-même.
+
+---
 
+#### Interprétation avec les mains
+
+Afin d'interpréter ce que représente le produit de convolution, introduisons la fonction delta de Dirac, $\delta_a(x)$. Cette fonction est un peu particulière, elle vaut zéro partout sauf en $0$ (où elle est "infinie"), et son
+intégrale vaut $1$
+\begin{equation}
+\int_{-\infty}^\infty\delta(x)\dd x=1.
+\end{equation}
+Même si cela peut sembler étrange, on peut tenter de construire une telle fonction en prenant une suite de rectangles, centrés en $0$,
+dont la surface vaut 1. Puis on rend ces rectangles de plus en plus fins, en imposant que la surface vaut toujours 1 et le tour est joué.
+
+Cette fonction est intéressante, car elle a la propriété suivante lorsqu'on l'utilise pour effectuer des convolutions.
+\begin{equation}
+\int_{-\infty}^\infty f(y)\delta(y-x)\dd y=f(x).
+\end{equation}
+En d'autre termes cette intégrale est égale à la valeur de $f$ au point où l'argument du $\delta$ est nul.
+
+A présent, si nous considérons la convolution de $f(t)$ avec
+la fonction $\delta(t-a)=\delta_a$, on obtient
+\begin{equation}
+(f\ast\delta_a)(x)=\int_{-\infty}^\infty f(x-t)\delta(t-a)\dd t=f(x-a).
+\end{equation}
+En fait la convolution d'une fonction $f$ avec le delta de Dirac centré en $a$ ne fait que translater la fonction $f$ d'une distance $a$.
+
+En effectuant à présent la convolution avec une combinaison linéaire de $\delta$ de Dirac
+\begin{equation}
+(f\ast(\alpha\cdot \delta_a+\beta\cdot \delta_b))(x)=\int_{-\infty}^\infty f(x-y)(\alpha\cdot\delta(y-a)+\beta\cdot\delta(y-b))\dd y=\alpha\cdot f(x-a)+\beta\cdot f(x-b).
+\end{equation}
+La convolution est donc la moyenne pondérée de $f$ translatée en $a$ et en $b$ par $\alpha$ et $\beta$ respectivement.
+
+On voit que de façon générale, qu'on peut interpréter la convolution de deux fonctions $f(t)$ et $g(t)$ comme la moyenne de $f(t)$ pondérée par la fonction $g(t)$.
+
+#### Le lien avec les filtres
+
+Il se trouve que dans le cas où le filtre est linéaire (filtrer la combinaison de deux signaux
+est la même chose que de faire la combinaison linéaires des signaux filtrés)
+et indépendant du temps (les translations temporelles n'ont aucun effet sur lui)
+alors on peut lier la convolution et le filtrage.
+
+Si on définit la réponse impulsionnelle d'un filtre, $h(t)$, le filtrage d'un signal $s(t)$,
+noté $f(s)$, n'est autre que la convolution de $h(t)$ avec $s(t)$
+\begin{equation}
+f(s)=(s\ast h)(x)=\int_{-\infty}^\infty f(x-t)g(t)\dd t.
+\end{equation}
+
+### La convolution discrète
 
+En se rappelant que l'intégrale n'est rien d'autre qu'une somme un peu plus compliquée
 
 Intégration numérique
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