diff --git a/Makefile b/Makefile
index c541f482b80479fa7246402ea55110241cb8ba41..e3f79a13ad2a4302b04bcd11692c5d6875edfcba 100644
--- a/Makefile
+++ b/Makefile
@@ -1,11 +1,11 @@
default:
- pandoc -s -S -o test.pdf cours.md --filter=/home/malaspor/.cabal/bin/pandoc-crossref --template=default.latex --latex-engine pdflatex
+ pandoc -s -o cours.pdf cours.md --filter=pandoc-numbering --filter=$(PANDOC_CROSSREF)pandoc-crossref --template=./default.latex --pdf-engine pdflatex
latex:
- pandoc -s -S -o test.tex cours.md --filter=/home/malaspor/.cabal/bin/pandoc-crossref --template=./default.latex
+ pandoc -s -S -o cours.tex cours.md --filter=/home/malaspor/.cabal/bin/pandoc-crossref --template=./default.latex
epub:
- pandoc -s -S -o test.epub cours.md --filter=/home/malaspor/.cabal/bin/pandoc-crossref -t epub3
+ pandoc -s -S -o cours.epub cours.md --filter=/home/malaspor/.cabal/bin/pandoc-crossref -t epub3
htmlc:
- pandoc -s -S -o test.html cours.md --filter=/home/malaspor/.cabal/bin/pandoc-crossref --mathml -t html5
\ No newline at end of file
+ pandoc -s -S -o cours.html cours.md --filter=/home/malaspor/.cabal/bin/pandoc-crossref --mathml -t html5
diff --git a/cours.md b/cours.md
index bc2b21d8b6f2b351494a6d897acfe4ec841876bf..2faa87ecf74faf180e73e5f831d9e47568fe4cf2 100644
--- a/cours.md
+++ b/cours.md
@@ -1,8 +1,8 @@
---
author:
- Orestis Malaspinas
-title: Résumé du cours de Mathématiques
-autoSectionLabels: true
+title: Résumé du cours de mathématiques
+autoSectionLabels: false
autoEqnLabels: true
eqnPrefix:
- "éq."
@@ -26,8 +26,11 @@ Fonctions
---------
Une fonction $f$ de façon générale est un objet qui prend un (ou
-plusieurs) paramètres et qui lui (leur) associent un (ou plusieurs)
-résultats. $$\mbox{résultat}=f(\mbox{paramètres}).$$
+plusieurs) paramètres et qui lui (leur) associe (associent) un unique résultat. $$\mbox{résultat}=f(\mbox{paramètres}).$$
+
+---
+
+Exemple (Fonctions, généralités) +.#
1. La tension $U$ est une fonction de la résistance $R$ et du courant
$I$ $$\begin{aligned}
@@ -39,6 +42,8 @@ résultats. $$\mbox{résultat}=f(\mbox{paramètres}).$$
entier $x$ rend le prochain entier qui commence par la même lettre
que $x$. $$f(2)=10,\ f(3)=13,\ ...$$
+---
+
Dans ce cours nous allons nous intéresser à des fonctions à un seul
paramètre (aussi appelé variable). Si on note la variable $x$ et le
résultat $y$, de façon générale on peut écrire $$y = f(x).$$ Si par
@@ -46,6 +51,10 @@ ailleurs on a une fonction $g$ et une fonction $f$, on peut effectuer
des compositions de fonction, qu’on note $g\circ f$, ou encore
$$y=g(f(x)).$$
+---
+
+Exemple (Fonctions) +.#
+
1. Soit $f(x)=2\cdot x$ et $g(x)=\sqrt{x}$, alors la composition des
deux fonctions $$f(g(x))=f(\sqrt{x})=2\sqrt{x}.$$
@@ -53,10 +62,17 @@ $$y=g(f(x)).$$
avec trois fonctions $f(x)=2x^2+3$, $g(x)=\cos(2\cdot x)$, et
$h(x)=1/x$ $$f(g(h(x)))=f(g(1/x))=f(\cos(2/x))=2\cos^2(2/x)+3.$$
+---
+
Pour certaines fonctions, notons les $f(x)$, on peut également définir
une fonction inverse que l’on note $f^{-1}(x)$ dont la composition donne
la variable de départ $$f(f^{-1}(x))=x.$$
+
+---
+
+Exemple (Fonction inverse) +.#
+
1. Soient $f(x)=2\cdot x$ et $f^{-1}(x)=x/2$, alors la composition des
deux fonctions $$f(f^{-1}(x))=f(x/2)=2x/2=x.$$
@@ -65,12 +81,20 @@ la variable de départ $$f(f^{-1}(x))=x.$$
$\sqrt{x}$ est l’inverse de $x^2$ uniquement pour les réels
positifs. $f(x)=x^2$ n’a pas d’inverse pour les $x$ négatifs.
+---
+
Domaine de définition
---------------------
+Définition (Domaine de définition) +.#
+
Le domaine de définition, noté $D\subseteq{\mathbb{R}}$, d’une fonction
$f$, est l’ensemble de valeurs où $f$ admet une image.
+---
+
+Exemple (Domaine de définition) +.#
+
1. Le domaine de définition de $f(x)=x$ est $D={\mathbb{R}}$.
2. Le domaine de définition de $f(x)=1/x$ est $D={\mathbb{R}}^\ast$.
@@ -78,6 +102,8 @@ $f$, est l’ensemble de valeurs où $f$ admet une image.
3. Le domaine de définition de $f(x)=\sqrt{x+1}/(x-10)$ est
$D=[-1;10[\cup]10;\infty[$.
+---
+
Limites
-------
@@ -86,22 +112,39 @@ Soit $f$ une fonction et $D\subseteq{\mathbb{R}}$ non-vide et non réduit
### Limite
+Définition (Limite) +.#
+
Pour $f$ définie en $D$, sauf peut-être en $a$, on dit que $b$ est la
limite de $x$ en $a$ si $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=b$.
C’est-à -dire si on a un voisinage de $b$ qui contient toutes la valeurs
de $f(x)$ pour $x$ proche de $a$.
-Si $f$ est définie en $a$ alors on a
-$\lim\limits_{x\rightarrow a}=f(a)$.
+Remarque +.#
+
+Si $f$ est définie en $a$ alors on a $\lim\limits_{x\rightarrow a}=f(a)$.
-1. Si $f(x)=x$, alors $\lim\limits_{x\rightarrow 0}f(x)=0$.
+---
+
+Exemple (Limite) +.#
+
+Si $f(x)=x$, alors $\lim\limits_{x\rightarrow 0}f(x)=0$.
+
+---
+
+Définition (Limite, asymptote) +.#
Pour $f$ définie en $D$, sauf peut-être en $a$, et $c$ un réel positif.
On dit que la limite de $f(x)$ en $a$ tend vers l’infini si l’intervalle
$[c;\infty[$ contient toutes les valeurs de $f(x)$ pour $x$ proche de
$a$.
-1. Si $f(x)=1/x^2$, alors $\lim\limits_{x\rightarrow 0}f(x)=\infty$.
+---
+
+Exemple (Limite, asymptote) +.#
+
+Si $f(x)=1/x^2$, alors $\lim\limits_{x\rightarrow 0}f(x)=\infty$.
+
+---
### Limite à gauche, limite à droite
@@ -109,17 +152,19 @@ Pour certaines fonctions, il est possible que le comportement de
celles-ci soit différent selon qu’on approche par la gauche ou par la
droite (i.e. $f(x)=1/x$).
-On note la limite à droite $\lim\limits{x\rightarrow a^+} f(x)$ ou
+On note la limite à droite $\lim\limits_{x\rightarrow a^+} f(x)$ ou
$\lim\limits_{x\rightarrow a,x>a} f(x)$ et
-$\lim\limits{x\rightarrow a^-} f(x)$ ou
+$\lim\limits_{x\rightarrow a^-} f(x)$ ou
$\lim\limits_{x\rightarrow a,x<a} f(x)$ la limite à gauche de la
fonction $f$ en $a$.
Si la fonction $f$ admet une limite en $a$, alors les deux limites
doivent être égales.
-1. Si $f(x)=1/x$, alors $\lim\limits_{x\rightarrow 0^+} f(x)=\infty$ et
- $\lim\limits_{x\rightarrow 0^-} f(x)=-\infty$.
+Exemple (Limite à gauche/droite) +.#
+
+Si $f(x)=1/x$, alors $\lim\limits_{x\rightarrow 0^+} f(x)=\infty$ et
+$\lim\limits_{x\rightarrow 0^-} f(x)=-\infty$.
### Asymptotes
@@ -164,10 +209,14 @@ $$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{\log(n)}=\frac{A}{\log(10)}\cdot\lim_{n\righ
Continuité
----------
+Définition (Continuité) +.#
+
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert $D$ contenant
$a$. On dit que $f$ est continue en $a$ si et seulement si
$\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)$.
+Propriétés (Fonctions continues) +.#
+
Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues en $a$ alors et $b$ un réel:
1. $f+g$ est continue en $a$.
@@ -178,30 +227,42 @@ Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues en $a$ alors et $b$ un réel:
4. $h=g\circ f$ est continue en $a$.
+Définition (Continuité sur un intervalle) +.#
+
Une fonction $f$ est dite continue dans un intervalle $D=]a;b[$ si et
seulement si elle est continue en tout point de $D$. De plus, elle est
continue sur $D=[a,b]$ si elle est continue sur $]a;b[$ et continue Ã
droite en $a$ et à gauche en $b$.
-\[Théorème des valeurs intermédiaires\] Soit $f$ une fonction continue
+Théorème (Valeurs intermédiaires) +.#
+
+Soit $f$ une fonction continue
sur $D$, et $a,b$ deux points contenus dans $D$ tels que $a<b$ et
$f(a)<f(b)$, alors $$\forall y\in [f(a);f(b)],\ \exists\ c|f(c)=y.$$
Dérivées
--------
+Définition (Dérivée en un point) +.#
+
Soit $f$ une fonction définie sur $D$ et $a\in D$. On dit que $f$ est
dérivable en $a$ s’il existe un $b$ (appelé la dérivée de $f$ en $a$)
tel que $$\begin{aligned}
&\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=b,\hbox{ ou}\\
&\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=b.\end{aligned}$$
+Définition (Dérivée sur un intervalle) +.#
+
Si $f$ est dérivable en tout point de $D=]a;b[$, alors on définit $f'$
la fonction dérivée de $f$ dans l’intervalle $D$ qui associe en tout
point $x$ de $D$ la valeur dérivée de $f$.
+Propriété +.#
+
Si $f$ est dérivable en $a$ alors $f$ est continue en $a$.
+Propriétés +.#
+
Soient $f$ et $g$ deux fonctions dérivables (dont les dérivées sont $f'$
et $g'$), et $a\in{\mathbb{R}}$, alors
@@ -231,11 +292,15 @@ $C\in {\mathbb{R}}$, nous avons
6. $f(x)=\cos(x)$, $f'(x)=-\sin(x$).
+Définition (Dérivée seconde) +.#
+
Si $f'$ est dérivable sur $D$, alors sa dérivée, notée $f''$, est
appelée la dérivée seconde de $f$.
### Variation des fonctions
+Propriétés (Croissance/décroissance) +.#
+
Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $D$
1. Si $f'>0$ sur $D$, alors $f$ est croissante sur $D$.
@@ -244,10 +309,14 @@ Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $D$
3. Si $f'=0$ sur $D$, alors $f$ est constante sur $D$.
+Définition (Maximum/minimum local) +.#
+
Une fonction admet un maximum local (respectivement minimum local) sur
un intervalle $D=]a;b[$ s’il existe un $x_0$ tel que $f(x_0)\geq f(x)$
(respectivement $f(x_0)\leq f(x)$) pour tout $x\in D$.
+Propriété (Maximum/minimum) +.#
+
Soit $f$ une fonction dérivable sur $D=]a;b[$ et $x_0\in D$. Si $f$
admet un maximum ou un minimum en $x_0$ alors $f'(x_0)=0$. De plus si
$f'(x_0)=0$ et $f'$ change de signe en $x_0$ alors $f(x_0)$ est un
@@ -315,21 +384,31 @@ l’intervalle $[a,b]$ de deux façon:
L’aire de sous la fonction $f(x)$ est donnée par la limite pour
$n\rightarrow\infty$ de $A^i$ ou $A^s$ (si elle existe).
+Remarque +.#
+
1. Ces sommes peuvent être positives ou négatives en fonction du signe
de $f$.
2. Une implantation informatique est immédiate.
+Définition (Intégrabilité au sens de Riemann) +.#
+
Une fonction est dite intégrable au sens de Riemann si
-$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}A^i(n)=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}A^s(n)=\int_a^b f(x){\mathrm{d}}x$.
+$$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}A^i(n)=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}A^s(n)=\int_a^b f(x){\mathrm{d}}x.$$
-Dans la formule $\int_a^b f(x){\mathrm{d}}x$ Ici $x$ est appelée
+Dans la formule
+$$\int_a^b f(x){\mathrm{d}}x,$$
+$x$ est appelée
variable d’intégration, $a$ et $b$ sont les bornes d’intégration. Pour
des raisons de consistance dans les notations la variable d’intégration
ne peut être désignée avec le même symbole qu’une des bornes
d’intégration.
-Intégration de $f(x)=x$ dans intervalle $[0,1]$.
+Exemple (Intégration de Riemann) +.#
+
+Intégrer de $f(x)=x$ dans intervalle $[0,1]$.
+
+Solution (Intégration de Riemann) +.#
Il est trivial de calculer que cette aire vaut $1/2$ (c’est l’aire d’un
triangle rectangle de côté 1). Néanmoins, évaluons également cette aire
@@ -378,6 +457,8 @@ Si maintenant nous essayons de généraliser le calcul de l’intégrale
d’une fonction, il s’avère que le calcul d’une intégrale est l’inverse
du calcul d’une dérivée.
+Définition (Primitive) +.#
+
Soit $f$ une fonction. On dit que $F$ est la primitive de $f$ sur
l’intervalle $D\subseteq{\mathbb{R}}$ si $F'(x)=f(x)$ $\forall x\in D$.
@@ -387,13 +468,25 @@ primitive de $f$. On dit donc que la primitive de $f$ est définie à une
constante additive près. En effet, si $F'=f$ on a
$$G'=F'+\underbrace{C'}_{=0}=F'=f.$$
+Théorème (Unicité) +.#
+
S’il existe $a\in D$ et $b\in{\mathbb{R}}$ alors il existe une unique
primitive $F$ telle que $F(a)=b$.
+---
+
+Exemple (Unicité) +.#
+
Soit $f(x)=x$, alors l’ensemble de primitives correspondantes est
$G=x^2/2+C$. Si nous cherchons la primitive telle que $G(0)=0$, il vient
que $C=0$ et donc la primitive est unique et vaut $F(x)=x^2/2$.
+---
+
+---
+
+Exercices (Primitives) +.#
+
Calculez les primitives suivantes (*Indication: Il s’agit de trouver les
fonctions $F(x)$ telles que $F'(x)=f(x)$*):
@@ -409,6 +502,8 @@ fonctions $F(x)$ telles que $F'(x)=f(x)$*):
6. $F(x)=\int \sin(x){\mathrm{d}}x$.
+---
+
Maintenant que vous avez calculé toutes ces primitives de base, nous
pouvons récapituler des formules qui seront importantes pour la suite: