From c655d2380376565969e0f0897138caf552ede586 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Orestis Malaspinas <orestis.malaspinas@hesge.ch>
Date: Sun, 15 Mar 2020 22:08:12 +0100
Subject: [PATCH] first draft stating

---
 covid/00_macros.md  |  5 +++
 covid/01_covid.md   | 82 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 covid/Makefile      | 38 +++++++++++++++++++++
 covid/metadata.yaml | 23 +++++++++++++
 4 files changed, 148 insertions(+)
 create mode 100644 covid/00_macros.md
 create mode 100644 covid/01_covid.md
 create mode 100644 covid/Makefile
 create mode 100644 covid/metadata.yaml

diff --git a/covid/00_macros.md b/covid/00_macros.md
new file mode 100644
index 0000000..7dd8daa
--- /dev/null
+++ b/covid/00_macros.md
@@ -0,0 +1,5 @@
+  \newcommand{\ux}{\bm{x}}
+  \newcommand{\dd}{\mathrm{d}}
+  \newcommand{\real}{\mathbb{R}}
+  \newcommand{\grad}{\mathrm{grad}}
+  
\ No newline at end of file
diff --git a/covid/01_covid.md b/covid/01_covid.md
new file mode 100644
index 0000000..66052b1
--- /dev/null
+++ b/covid/01_covid.md
@@ -0,0 +1,82 @@
+# Modélisation d'épidémies
+
+**Avertissement:** Dans cette brève introduction nous n'avons pas la prétention
+de présenter des modèles très précis ayant une grande valeur prédictive.
+L'objectif est plutôt de se familiariser avec le concept de modèle mathématique
+ainsi que d'étudier un modèle simplifié de propagation d'épidémieet de voir quels peuvent
+être les effets de la quarantaine sur une propagation libre.
+
+## L'exponentielle
+
+Un modèle mathématique d'une épidémie est une abstraction mathématique de la réalité permettant
+de faire des prédictions sur l'évolution du nombre de personne atteinte et leur guérison possible
+guérison. Elle permet ainsi de prévoir l'effet des politiques publiques pour contenir
+les épidémies: quarantaine, vaccination, ...
+
+Imaginons d'abord un modèle très simple où nous considérons une fonction, $M(t)$, 
+qui donne le nombre nombre d'individus ayant contracté une maladie en fonction
+du temps. La valeur $M_0=M(0)$ est le nombre de malades le jour où la maladie
+se déclare pour la première fois. On aimerait décrire l'évolution
+de cette maladie. Pour ce faire, nous allons écrire une équation
+qui va représenter le taux de variation de $M(t)$, soit $M'(t)$, la dérivée de $M(t)$.
+
+Supposons dans notre modèle très simplifié, que chaque personne malade
+contamine exactement deux personnes saines en un temps $\delta t$. 
+Supposons également qu'il y a une infinité
+de personnes saines (c'est pas très réaliste mais cela simplifie les choses pour le moment).
+Nous avons donc que le nombre de personne infectées au temps $t+\delta t$, $M(t+\delta t)$
+est donné par
+$$
+M(t+\delta t)=M(t)+\delta t \cdot 2\cdot M(t).
+$$
+A gauche de cette équation nous avons le nombre de malades au temps $t+\delta t$ qui
+est donné par le nombre de malade le jour $t$, auquel on additionne le nombre de nouveaux malades
+qu'ils ont contaminés en une journée (2 fois leur nombre).
+
+Si $\delta t$ est un jour, et que nous avons au premier jour une seul malade, $M(0)=1$,
+on a la suite suivante
+\begin{align}
+M(0)&=1\mbox{ malades},\\
+M(1)&=M(0)+1\cdot 2 M(0)=1 + 2=3\mbox{ malades},\\
+M(2)&=M(1)+1\cdot 2 M(1)=3 + 6=9\mbox{ malades},\\
+M(3)&=M(2)+1\cdot 2 M(2)=9 + 18=27\mbox{ malades},\\
+\vdots&
+\end{align}
+On peut facilement se convainque qu'au bout de $n$ jours, le
+nombre de malades a atteint $3^n$. On a une croissance **exponentielle**
+du nombre de malades.
+
+Ce qu'on a fait ici comme modèle est un modèle compartimental (on a compartimenté la population):
+on a divisé la population en une classe, celle des malades $M(t)$. Puis
+on a adjoint une règle d'évolution à cette classe: chaque jour chaque malade infecte
+deux nouvelles personnes. Ce modèle est très simpliste mais il illustre très bien
+comment on constuit un modèle d'épidémie.
+
+Par ailleurs, on peut se rendre compte que l'équation que nous avons écrite plus
+haut décrit l'évolution du *taux de variation* de $M(t)$. En effet, en réarrangeant les termes de cette équation, on a que
+$$
+\underbrace{\frac{M(t+\delta t)-M(t)}{\delta t}}_{\mbox{taux de variation}}=2M(t).
+$$
+Si nous prenons la limite pour $\delta t\rightarrow 0$ des deux côtés
+nous obtenons
+$$
+M'(t)=2M(t).
+$$
+Ceci est une **équation différentielle**.
+
+
+## Modèles compartimentaux
+
+Les modèles compartimentaux, créés autour des années 1920, sont des modèles
+mathématiques permettant de représenter la propagation des épidémies.
+Ces modèles divisent une population en plusieurs *classes* épidémiologiques (compartiments)
+comme les individus sains mais susceptibles d'être infectés, les individus infectieux, et
+les individus guéris (qui ont acquis une immunité suite à une infection). Ces trois compartiements
+sont notés respectivement, $S$, $I$, et $R$. Il en existe d'autres, mais nous ne les
+discuteront pas dans le cadre de cette petite introduction.
+
+Une fois les compartiments définis, il est nécessaire de définir les *règles* permettant de passer d'un compartiment à l'autre. Dans le cas à trois classes ci-dessus, 
+
+Les modèles les plus avancés sont actuellement utilisés pour Ils sont actuellemen
+
+
diff --git a/covid/Makefile b/covid/Makefile
new file mode 100644
index 0000000..a8c40c5
--- /dev/null
+++ b/covid/Makefile
@@ -0,0 +1,38 @@
+STYLES := css/tufte-css/tufte.css \
+	css/pandoc.css \
+	css/pandoc-solarized.css \
+	css/tufte-extra.css
+
+OPTIONS = --toc
+OPTIONS += --filter=pandoc-numbering
+OPTIONS += --filter=pandoc-crossref
+
+PDFOPTIONS = --highlight-style kate
+PDFOPTIONS += --pdf-engine pdflatex
+PDFOPTIONS += --number-sections
+PDFOPTIONS += --template=../default.latex
+
+
+HTMLOPTIONS += -t html5
+HTMLOPTIONS += -c ../css/tufte-css/tufte.css
+HTMLOPTIONS += --self-contained
+HTMLOPTIONS += --mathjax=../MathJax.js
+
+all:  covid.pdf covid.html
+
+# %.tex: %.md
+# 	pandoc -s $(OPTIONS) $(PDFOPTIONS) -o $@ $<
+
+covid.pdf: 00_macros.md 01_covid.md 
+	pandoc -s $(OPTIONS) $(PDFOPTIONS) -o $@ $^ --metadata-file metadata.yaml
+
+covid.html: 00_macros.md 01_covid.md
+	pandoc -s $(OPTIONS) $(HTMLOPTIONS) -o $@ $^ --metadata-file metadata.yaml
+
+deploy: all
+	mkdir -p ../mti
+	cp covid.html ../mti/index.html
+	cp covid.pdf ../mti/covid.pdf
+
+clean:
+	rm -f *.html *.pdf
diff --git a/covid/metadata.yaml b/covid/metadata.yaml
new file mode 100644
index 0000000..c2a99dc
--- /dev/null
+++ b/covid/metadata.yaml
@@ -0,0 +1,23 @@
+---
+author:
+- Orestis Malaspinas
+title: Mathématiques en technologie de l'Information
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+  - "éq."
+  - "éqs."
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+
+
+
+
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