From c8fdbe38b2fea4a95c8cae543e34aa91e1bbdd78 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Orestis Malaspinas <orestis.malaspinas@hesge.ch>
Date: Mon, 2 Mar 2020 22:00:46 +0100
Subject: [PATCH] started splitting. missing a lot of stuff
---
01_rappel.md | 340 +++
02_integrales.md | 743 +++++++
03_optimisation.md | 720 +++++++
04_edo.md | 914 ++++++++
05_fourier.md | 967 +++++++++
06_probas_stats.md | 1293 +++++++++++
07_remerciements.md | 7 +
cours.md | 4999 -------------------------------------------
8 files changed, 4984 insertions(+), 4999 deletions(-)
create mode 100644 01_rappel.md
create mode 100644 02_integrales.md
create mode 100644 03_optimisation.md
create mode 100644 04_edo.md
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diff --git a/01_rappel.md b/01_rappel.md
new file mode 100644
index 0000000..b50c3a8
--- /dev/null
+++ b/01_rappel.md
@@ -0,0 +1,340 @@
+# Rappel
+
+## Fonctions
+
+Une fonction $f$ de façon générale est un objet qui prend un (ou plusieurs) paramètres et qui lui (leur) associe un résultat
+$$
+\mbox{résultat}=f(\mbox{paramètres}).
+$$
+Nous pouvons aussi exprimer cette notion de la manière suivante. Considérons deux ensembles $A$ et $B$. Supposons qu'à chaque élément $x\in A$ est associé un élément dans $B$ que nous notons par $f(x)$. Alors on dit que $f$ est une fonction ou une application (de $A$ dans $B$). A ce niveau A et B sont arbitraires mais dans la suite nous allons nous intéresser surtout du cas où $A\subseteq\real$. $A$ est le *domaine de définition* de $f$. Les valeurs de $f$ constituent les *images* de $x$.
+
+---
+
+Exemple (Fonctions, généralités) +.#
+
+1. La tension $U$ est une fonction de la résistance $R$ et du courant
+ $I$ $$\begin{aligned}
+ U=f(R,I)=R\cdot I.\end{aligned}$$
+
+2. Une fonction peut être quelque chose de beaucoup plus général (qu’on
+ ne peut pas forcément représenter simplement avec des opérateurs
+ mathématiques). Prenons le cas de la fonction qui pour un nombre
+ entier $x$ rend le prochain entier dont le nom commence par la même lettre
+ que $x$. $$f(2)=10,\ f(3)=13,\ ...$$
+
+---
+
+Dans ce cours nous allons nous intéresser à des fonctions à un seul
+paramètre (aussi appelé variable). Si on note la variable $x$ et le
+résultat $y$, de façon générale on peut écrire $$y = f(x).$$ Si par
+ailleurs on a une fonction $g$ et une fonction $f$, on peut effectuer
+des compositions de fonction, qu’on note $g\circ f$, ou encore
+$$y=g(f(x)).$$
+
+---
+
+Exemple (Fonctions) +.#
+
+1. Soit $f(x)=2\cdot x$ et $g(x)=\sqrt{x}$, alors la composition des
+ deux fonctions $$(f\circ g)(x)=f(g(x))=f(\sqrt{x})=2\sqrt{x}.$$
+
+2. On peut composer un nombre arbitraire de fonctions. Voyons le cas
+ avec trois fonctions $f(x)=2x^2+3$, $g(x)=\cos(2\cdot x)$, et
+ $h(x)=1/x$ $$f(g(h(x)))=f(g(1/x))=f(\cos(2/x))=2\cos^2(2/x)+3.$$
+
+---
+
+Pour certaines fonctions, notons les $f(x)$, on peut également définir
+une fonction inverse que l’on note $f^{-1}(x)$ dont la composition donne
+la variable de départ $$f(f^{-1}(x))=x.$$
+
+---
+
+Exemple (Fonction inverse) +.#
+
+1. Soient $f(x)=2\cdot x$ et $f^{-1}(x)=x/2$, alors la composition des
+ deux fonctions $$f(f^{-1}(x))=f(x/2)=2x/2=x.$$
+
+2. Soient $f(x)=x^2$ et $f^{-1}(x)=\sqrt{x}$, alors la composition des
+ deux fonctions $$f(f^{-1}(x))=f(\sqrt{x})=|x|.$$ On a donc que
+ $\sqrt{x}$ est l’inverse de $x^2$ uniquement pour les réels
+ positifs. $f(x)=x^2$ n’a pas d’inverse pour les $x$ négatifs.
+ On peut se convaincre qu'une fonction ne peu admettre une inverse que si elle
+ elle satisfait la condition $x_1\neq x_2 \rightarrow f(x_1)\neq f(x_2)$.
+ Dans notre exemple $-1\neq 1$ mais $(f(-1)=f(1)=1$
+
+---
+
+## Domaine de définition
+
+
+Définition (Domaine de définition) +.#
+
+Le domaine de définition, noté $D\subset{\real}$, d’une fonction
+$f$, est l’ensemble de valeurs où $f$ admet une image.
+
+---
+
+Exemple (Domaine de définition) +.#
+
+1. Le domaine de définition de $f(x)=x$ est $D={\real}$.
+
+2. Le domaine de définition de $f(x)=1/x$ est $D={\real}^\ast$.
+
+3. Le domaine de définition de $f(x)=\sqrt{x+1}/(x-10)$ est
+ $D=[-1;10[\cup]10;\infty[$.
+
+---
+
+## Limites
+
+Soit $f$ une fonction et $D\subseteq{\real}$ non-vide et soient $a$ et $b$ deux réels.
+
+### Limite
+
+Définition (Limite) +.#
+
+Pour $f$ définie en $D$, on dit que $b$ est la
+limite de $x$ en $a$ si si au fur et à mesure que $x$ se rapproche de $a$, $f(x)$ se rapproche de $b$ et nous notons $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=b$.
+C’est-à -dire pour tout voisinage de $b$ qui contient toutes les valeurs
+de $f(x)$ nous avons un voisinage de $a$ qui contient les valeurs de $x$ (suffisamment proches de $a$).
+
+La définition mathématique plus stricte est:
+
+*Pour tout $\varepsilon > 0$, il existe un $\delta >0$, tel que, pour tout $x\in D$ tel que $|x-a|<\delta$, on ait $|f(x)-a|<\varepsilon$.*
+
+Ou encore quand le but est d'écrire ça de la façon la plus compacte possible
+
+$$\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0\ |\ \forall x\in D,\ |x-a|<\delta\Rightarrow|f(x)-b|<\varepsilon.$$
+
+Remarque +.#
+
+Il n'est pas nécessaire que $a\in D$. Mais si c'est le cas et donc
+$f$ est définie en $a$ alors on a $\lim\limits_{x\rightarrow a}=f(a)$.
+
+---
+
+Exemple (Limite) +.#
+
+Si $f(x)=x$, alors $\lim\limits_{x\rightarrow 0}f(x)=0$.
+
+---
+
+Définition (Limite, asymptote) +.#
+
+Pour $f$ définie en $D$,
+on dit que la limite de $f(x)$ en $a$ est égale à l’infini si pour tout $c>0$ l’intervalle
+$[c;\infty[$ contient toutes les valeurs de $f(x)$ pour $x$ suffisamment proche de
+$a$. On dit aussi que $f$ tend vers l'infini.
+
+---
+
+Exemple (Limite, asymptote) +.#
+
+Si $f(x)=1/x^2$, alors $\lim\limits_{x\rightarrow 0}f(x)=\infty$.
+
+---
+
+### Limite à gauche, limite à droite
+
+Il est possible que le comportement de certaines fonctions
+soit différent selon qu’on approche $a$ par la gauche ou par la
+droite (i.e. $f(x)=1/x$, pour $a=0$).
+
+On note la limite à droite $\lim\limits_{x\rightarrow a^+} f(x)$ ou
+$\lim\limits_{x\rightarrow a,x>a} f(x)$ et
+$\lim\limits_{x\rightarrow a^-} f(x)$ ou
+$\lim\limits_{x\rightarrow a,x<a} f(x)$ la limite à gauche de la
+fonction $f$ en $a$.
+
+Si la fonction $f$ admet une limite en $a$, alors les deux limites
+sont égales.
+
+Exemple (Limite à gauche/droite) +.#
+
+Si $f(x)=1/x$, alors $\lim\limits_{x\rightarrow 0^+} f(x)=\infty$ et
+$\lim\limits_{x\rightarrow 0^-} f(x)=-\infty$.
+
+### Comportement asymptotique
+
+Dans certains cas il peut être intéressant d’étudier le comportement des
+fonctions quand $x\rightarrow\pm\infty$. Dans ces cas-là on dit qu’on
+s’intéresse au comportement *asymptotique* d’une fonction. Ce concept
+est particulièrement pertinent quand on étudie une fonction qui a la
+forme d’une fraction $$h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}.$$ Si on s’intéresse au
+comportement à l’infini de cette fonction on va prendre sa “limiteâ€
+lorsque $x\rightarrow\infty$
+$$\lim_{x\rightarrow\infty} h(x)=\lim_{x\rightarrow\infty}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right).$$
+Un exemple peut être $f(x)=x-1$, $g(x)=x+1$ et donc $h(x)=(x-1)/(x+1)$
+$$\lim_{x\rightarrow\infty} \frac{x-1}{x+1}=\lim_{x\rightarrow\infty} \frac{x(1-1/x)}{x(1+1/x)}=1.$$
+De même quand on a $f(x)=3x^4-5x^3+1$, $g(x)=1$ et donc
+$h(x)=3x^4-5x^3+1$. Il vient donc
+$$\lim_{x\rightarrow\infty} 3x^4-5x^3+1=\lim_{x\rightarrow\infty}3x^4\left(1-\frac{5}{3x}+\frac{1}{3x^4}\right)=\infty.$$
+
+Si nous compliquons un peu l’exemple et que nous avons
+$f(x)=x^3+3x^2+1$, $g(x)=x^2$ et donc $h(x)=(x^3+3x^2+1)/x^2$
+$$\lim_{x\rightarrow\infty} (x^3+3x^2+1)/x^2=\lim_{x\rightarrow\infty} x=\infty.$$
+Un cas encore un peu plus complexe serait
+$f(x)=3x^3+1$, $g(x)=4x^3+2x^2+x$
+$$
+\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{3x^3(1+1/3x^3)}{4x^3(1+1/2x^+1/4x^2)}=\frac{3}{4}.$$
+
+Ce genre d’estimations est imporant en informatique lors de l’analyse de
+performance des algorithmes. On peut prendre l’exemple des algorithmes
+de tri “bubble sort†et “quick sortâ€. Leur complexité respective moyenne
+est de $n^2$ et de $n\log(n)$, quand $n$ est le nombre d’éléments de la
+chaîne à trier. Si on fait le rapport pour de ces deux complexités on a
+$$\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{n^2}{n\log(n)}=\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{n}{\log(n)}.$$
+On peut simplement voir que ce rapport va tendre vers l’infini en
+dessinant la courbe $n/\log(n)$. Il existe un moyen “analytiqueâ€
+d’évaluer ce rapport. Tout nombre $n$ peut s’écrire avec une précision
+$p$ comme $$n=A\cdot 10^{p-1},$$ où $p$ est le nombre de chiffres
+significatifs qu’on veut représenter, et $1\leq A< 10$. On a également
+que[^1]
+$$\log(A)=\log\left(\frac{1+y}{1-y}\right)=2\sum_{k=0}^\infty \frac{y^{2k+1}}{2k+1},$$
+avec $y=(A-1)/(A+1)$. On a finalement que
+$$\log(n)=\log(A\cdot 10^{p-1})=(p-1)\log(10)+2\sum_{k=0}^\infty \frac{y^{2k+1}}{2k+1}.$$
+La valeur de $y$ étant quelque chose de proche de 0, la somme converge
+vite vers une valeur finie et on peut faire l’approximation
+$$\log(n)\cong(p-1)\log(10),$$ pour $n$ grand (ce qui est équivalent Ã
+$p$ grand). On a donc que finalement le rapport $n/\log(n)$ va comme
+$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{\log(n)}=\frac{A}{\log(10)}\cdot\lim_{p\rightarrow\infty}\frac{10^{p-1}}{(p-1)}=\frac{A}{\log(10)}\cdot\lim_{p\rightarrow\infty}\frac{10^{p-1}}{p}=\infty.$$
+
+## Continuité
+
+Définition (Continuité) +.#
+
+Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert $D$ contenant
+$a$. On dit que $f$ est continue en $a$ si et seulement si
+$\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)$.
+
+Propriétés (Fonctions continues) +.#
+
+Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues en $a$ et $b$ un réel:
+
+1. $f+g$ est continue en $a$.
+
+2. $b f$ est continue en $a$.
+
+3. si $g(a)\neq 0$, $f/g$ est continue en $a$.
+
+4. $h=g\circ f$ est continue en $a$.
+
+Définition (Continuité sur un intervalle) +.#
+
+Une fonction $f$ est dite continue dans un intervalle $D=]a;b[$ si et
+seulement si elle est continue en tout point de $D$. De plus, elle est
+continue sur $D=[a,b]$ si elle est continue sur $]a;b[$ et continue Ã
+droite en $a$ et à gauche en $b$.
+
+Théorème (Valeurs intermédiaires) +.#
+
+Soit $f$ une fonction continue
+sur $D$, et $a,b$ deux points contenus dans $D$ tels que $a<b$ et
+$f(a)<f(b)$, alors $$\forall y\in [f(a);f(b)],\ \exists\ c\in [a,b] |f(c)=y.$$
+Nous pouvons bien sûr énoncer un résultat similaire dans le cas $f(a9>f(b)$.
+
+## Dérivées
+
+Définition (Dérivée en un point) +.#
+
+Soit $f$ une fonction définie sur $D$ et $a\in D$. On dit que $f$ est
+dérivable en $a$ s’il existe un $b$ (appelé la dérivée de $f$ en $a$)
+tel que $$\begin{aligned}
+&\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=b,\hbox{ ou}\\
+&\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=b.\end{aligned}$$
+
+Définition (Dérivée sur un intervalle) +.#
+
+Si $f$ est dérivable en tout point de $D=]a;b[$, alors on définit $f'$
+la fonction dérivée de $f$ dans l’intervalle $D$ qui associe en tout
+point $x$ de $D$ la valeur dérivée de $f$.
+
+Propriété +.#
+
+Si $f$ est dérivable en $a$ alors $f$ est continue en $a$.
+
+Propriétés +.#
+
+Soient $f$ et $g$ deux fonctions dérivables sur $D$ (dont les dérivées sont $f'$
+et $g'$), et $a\in{\real}$, alors
+
+1. $(f+g)'=f'+g'$.
+
+2. $(af)'=a f'$.
+
+3. $(f\cdot g)'=f'g+fg'$.
+
+4. Si $g$ ne s'annule pas $(f/g)'=(f'g-fg')/g^2$.
+
+5. $(g\circ f)'=(g'\circ f)\cdot f'$, autrement dit pour $x\in D$, $(g(f(x)))'=g'(f(x)\cdot f'(x)$.
+
+Il existe quelques dérivées importantes que nous allons utiliser
+régulièrement dans la suite de ce cours. En supposons que
+$C\in {\real}$, nous avons
+
+1. $f(x)=x^n$, $f'(x)=nx^{n-1}$ .
+
+2. $f(x)=e^{C x}$, $f'(x)=Ce^{Cx}$.
+
+3. $f(x)=\ln(x)$, $f'(x)=1/x$.
+
+4. $f(x)=C$, $f'(x)=0$.
+
+5. $f(x)=\sin(x)$, $f'(x)=\cos(x)$.
+
+6. $f(x)=\cos(x)$, $f'(x)=-\sin(x$).
+
+Définition (Dérivée seconde) +.#
+
+Si $f'$ est dérivable sur $D$, alors sa dérivée, notée $f''$, est
+appelée la dérivée seconde de $f$.
+
+### Variation des fonctions
+
+Propriétés (Croissance/décroissance) +.#
+
+Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $D$
+
+1. Si $f'>0$ sur $D$, alors $f$ est croissante sur $D$.
+
+2. Si $f'<0$ sur $D$, alors $f$ est décroissante sur $D$.
+
+3. Si $f'=0$ sur $D$, alors $f$ est constante sur $D$.
+
+Définition (Maximum/minimum local) +.#
+
+Une fonction admet un maximum local (respectivement minimum local) sur
+un intervalle $D=]a;b[$ s’il existe un $x_0\in D$ tel que $f(x_0)\geq f(x)$
+(respectivement $f(x_0)\leq f(x)$) pour tout $x\in D$.
+
+Propriété (Maximum/minimum) +.#
+
+Soient $f$ une fonction dérivable sur $D=]a;b[$ et $x_0\in D$. On dit que $f$
+admet un extremum en $x_0$ si $f'(x_0)=0$. De plus si
+$f'(x_0)=0$ et $f'$ change de signe en $x_0$ alors $f(x_0)$ est un
+maximum ou un minimum de $f$.
+
+## Etude de fonction
+
+Effectuer l’étude de fonction de la fonction suivante
+$$f(x)=\frac{x^3}{x^2-4}.$$
+
+1. Déterminer le domaine de définition.
+
+2. Déterminer la parité de la fonction. Rappel: $$\begin{aligned}
+ f(-x)&=f(x),\ \mbox{paire},\\
+ f(-x)&=-f(x),\ \mbox{impaire}.
+ \end{aligned}$$
+
+3. Trouver les zéros de la fonction (Indication: trouver les $x$ tels
+ que $f(x)=0$).
+
+4. Trouver les éventuelles asymptotes verticales ou discontinuités,
+ ainsi que les asymptotes affines.
+
+5. Calculer $f'(x)$ et déterminer sa croissance et points critiques
+ (déterminer où la fonction est croissante, décroissante, atteint un
+ extremum, etc).
+
+6. Faire un croquis de $f(x)$.
\ No newline at end of file
diff --git a/02_integrales.md b/02_integrales.md
new file mode 100644
index 0000000..c87a730
--- /dev/null
+++ b/02_integrales.md
@@ -0,0 +1,743 @@
+# Intégrales
+
+## Interprétation géométrique
+
+Dans ce chapitre nous nous intéressons au calcul d’aires sous une
+fonction $f$. La fonction $f$ satisfait les hypothèses suivantes.
+
+1. $f(x)$ est bornée dans l’intervalle $[a,b]\in{\real}$.
+
+2. $f(x)$ est continue presque partout.
+
+Nous définissions également l’infimum de $f$ sur un intervalle
+$[x_0,x_1]$, noté $$\inf\limits_{[x_0,x_1]} f(x)$$ comme étant la plus grande valeur
+bornant par dessous toutes les valeurs prises par $f(x)$ dans
+l’intervalle $[x_0,x_1]$. Le suprémum sur un intervalle $[x_0,x_1]$,
+noté $$\sup\limits_{[x_0,x_1]} f(x)$$ comme étant la plus petite valeur bornant par
+dessus toutes les valeurs prises par $f(x)$ dans l’intervalle
+$[x_0,x_1]$.
+
+Finalement nous définissons une subdivision
+$$\Delta_n=\{a=x_0<x_1<...<x_{n-1}<x_{n}=b\}$$ est une suite finie
+contenant $n+1$ termes dans $[a,b]$.
+
+On peut à présent approximer l’aire sous la fonction $f(x)$ dans
+l’intervalle $[a,b]$ de plusieurs façons:
+
+1. $A^i(n)=\sum_{i=0}^{n-1} \inf\limits_{[x_i,x_{i+1}]} f(x)\cdot (x_{i+1}-x_i)$
+ comme étant l’aire inférieure.
+
+2. $A^s(n)=\sum_{i=0}^{n-1} \sup\limits_{[x_i,x_{i+1}]} f(x)\cdot (x_{i+1}-x_i)$
+ comme étant l’aire supérieure.
+
+3. $A^R(n)=\sum_{i=0}^{n-1} f(\xi_i)\cdot (x_{i+1}-x_i)$, $\xi_i\in [x_i,x_{i+1}]$
+
+1 et 2 sont les sommes de Darboux, 3 est une somme de Riemann qui, dépendant des choix des $\xi_i$, peut être égale à 1 ou à 2.
+
+L’aire de sous la fonction $f(x)$ est donnée par la limite pour
+$n\rightarrow\infty$ de $A^i$ ou $A^s$ (si elle existe). Dans ce cas $n\rightarrow\infty$ $A^R$ (pris en sandwich entre $A^i$ et $A^n$)
+nous donne aussi l'aire sous la fonction.
+
+Remarque +.#
+
+1. Ces sommes peuvent être positives ou négatives en fonction du signe
+ de $f$.
+
+2. Une implantation informatique est immédiate, en particulier pour la somme de Riemann.
+
+Définition (Intégrabilité au sens de Riemann) +.#
+
+Une fonction est dite intégrable au sens de Riemann si
+$$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}A^i(n)=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}A^s(n)=\int_a^b f(x){\mathrm{d}}x.$$
+
+Dans la formule
+$$\int_a^b f(x){\mathrm{d}}x,$$
+$x$ est appelée
+variable d’intégration, $a$ et $b$ sont les bornes d’intégration. Pour
+des raisons de consistance dans les notations la variable d’intégration
+ne peut être désignée avec le même symbole qu’une des bornes
+d’intégration.
+
+---
+
+Exemple (Intégration de Riemann) +.#
+
+Intégrer de $f(x)=x$ dans intervalle $[0,1]$.
+
+---
+
+---
+
+Solution (Intégration de Riemann) +.#
+
+Il est élémentaire de calculer que cette aire vaut $1/2$ (c’est l’aire d’un
+triangle rectangle de côté 1). Néanmoins, évaluons également cette aire
+à l’aide de $A^i$ et $A^s$. Commençons par subdiviser $[0,1]$ en $n$
+intervalles égaux de longueur $\delta=1/n$. Comme $f(x)$ est strictement
+croissante, on a que $\inf\limits_{[x_i,x_{i+1}]}f(x)=f(x_i)$ et que
+$\sup\limits_{[x_i,x_{i+1}]}f(x)=f(x_{i+1})$. On a donc que
+
+1. $A^i(n)=\delta\sum_{i=0}^{n-1} x_i=\delta\sum_{i=0}^{n-1}\frac{i}{n}=\frac{n(n-1)}{2n^2}=\frac{n-1}{2n}$[^2].
+ Et donc en prenant la limite pour $n\rightarrow\infty$ il vient
+ $$A^i=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{n-1}{2n}=\frac{1}{2}.$$
+
+2. $A^s(n)=\delta\sum_{i=0}^{n-1} x_{i+1}=\delta\sum_{i=0}^{n-1}\frac{i+1}{n}=\delta\sum_{i=0}^{n}\frac{i}{n}=\frac{n(n+1)}{2n^2}=\frac{n+1}{2n}$.
+ Et donc en prenant la limite pour $n\rightarrow\infty$ il vient
+ $$A^s=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{n+1}{2n}=\frac{1}{2}.$$
+
+---
+
+---
+
+Exemple (Intégration de Riemann de $x^2$) +.#
+
+Calculer l’aire sous la courbe de $f(x)=x^2$ dans intervalle $[0,1]$.
+
+Indication: $\sum_{i=0}^n i^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1).$
+
+---
+
+Interprétation physique
+-----------------------
+
+Supposons que nous ayons une fonction, $x(t)$, qui donne la position
+d’un objet pour un intervalle de temps $t\in[a,b]$. Nous pouvons
+aisément en déduire la vitesse $v(t)$ de l’objet, comme étant la
+variation de $x(t)$ quand $t$ varie. Autrement dit $v(t)=x'(t)$.
+
+Supposons à présent que nous ne connaissions que la vitesse $v(t)$ de
+notre objet. Afin de déduire sa position nous prendrions un certain
+nombre d’intervalles de temps $\delta t_i=t_{i+1}-t_i$ que nous
+multiplierions par $v(t_i)$ afin de retrouver la distance parcourue
+pendant l’intervalle $\delta t_i$ et ainsi de suite. Afin d’améliorer
+l’approximation de la distance parcourue nous diminuerions la valeur de
+$\delta t_i$ jusqu’à ce que $\delta t_i\rightarrow 0$.
+
+Nous voyons ainsi que cette méthode, n’est autre qu’une façon “intuitiveâ€
+d’intégrer la vitesse afin de trouver la position. Et que
+l’intégrale et la dérivée sont étroitement liées: la vitesse étant la
+dérivée de la position et la position étant l’intégrale de la vitesse.
+
+Primitive
+---------
+
+Si maintenant nous essayons de généraliser le calcul de l’intégrale
+d’une fonction, il s’avère que le calcul d’une intégrale est l’inverse
+du calcul d’une dérivée.
+
+Définition (Primitive) +.#
+
+Soit $f$ une fonction. On dit que $F$ est une primitive de $f$ sur
+l’intervalle $D\subseteq{\real}$ si $F'(x)=f(x)$ $\forall x\in D$.
+
+Si $F$ est une primitive de $f$, alors on peut définir la fonction $G$
+telle que $G(x)=F(x)+C$, $C\in{\real}$ qui est aussi une
+primitive de $f$. On voit que la primitive de $f$ est définie à une
+constante additive près. En effet, si $F'=f$ on a
+$$G'=F'+\underbrace{C'}_{=0}=F'=f.$$
+
+Théorème (Unicité) +.#
+
+Pour $a\in D$ et $b\in{\real}$ il existe une unique
+primitive $F$ telle que $F(a)=b$.
+
+---
+
+Illustration (Unicité) +.#
+
+Soit $f(x)=x$, alors l’ensemble de primitives correspondantes est
+$G=x^2/2+C$. Si nous cherchons la primitive telle que $G(0)=0$, il vient
+que $C=0$ et donc la primitive est unique et vaut $F(x)=x^2/2$.
+
+---
+
+---
+
+Exercices (Primitives) +.#
+
+Calculez les primitives suivantes (*indication: il s’agit de trouver les
+fonctions $F(x)$ telles que $F'(x)=f(x)$*):
+
+1. $F(x)=\int x^2{\mathrm{d}}x$.
+
+2. $F(x)=\int x^n{\mathrm{d}}x$, $n\in {\real}\backslash\{-1\}$.
+
+3. $F(x)=\int \sqrt{x}{\mathrm{d}}x$.
+
+4. $F(x)=\int \frac{1}{x}{\mathrm{d}}x$.
+
+5. $F(x)=\int \exp(x){\mathrm{d}}x$.
+
+6. $F(x)=\int \sin(x){\mathrm{d}}x$.
+
+---
+
+Maintenant que vous avez calculé toutes ces primitives de base, nous
+pouvons récapituler des formules qui seront importantes pour la suite:
+
+1. $\int x^n{\mathrm{d}}x=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$,
+ $n\in {\real}\backslash\{-1\}$.
+
+2. $\int \frac{1}{x}{\mathrm{d}}x=\ln(x)+C$.
+
+3. $\int \exp(x){\mathrm{d}}x=\exp(x)+C$.
+
+4. $\int \sin(x){\mathrm{d}}x=-\cos(x)+C$.
+
+5. $\int \cos(x){\mathrm{d}}x=\sin(x)+C$.
+
+Théorème (Théorème fondamental du calcul intégral) +.#
+
+En définissant à présent l’intégrale à l’aide de la notion
+de primitive, nous avons que pour $a,b\in{\real}$ et $a<b$
+$$\int_a^b f(x){\mathrm{d}}x=\left.F\right|_a^b=F(b)-F(a).$${#eq:thm_fond}
+
+On dit que $x$ est la variable d’intégration. Elle est dite “muette†car
+elle disparaît après que l’intégrale ait été effectuée. On peut donc
+écrire l’équation ci-dessus de façon équivalente en remplaçant le
+symbole $x$ par n’importe quelle autre lettre (sauf $a,b,f,F$).
+
+---
+
+Remarque +.#
+
+On notera que la constante additive $C$ a disparu de cette formule. En
+effet, remplaçons $F$ par $G=F+C$, il vient
+$$\int_a^b f(x){\mathrm{d}}x=G(b)-G(a)=F(b)+C-F(a)-C=F(b)-F(a).$$
+
+---
+
+Il suit de l'@eq:thm_fond que
+$$\int_a^af(x){\mathrm{d}}x=F(a)-F(a)=0$$ et que
+$$\int_a^bf(x){\mathrm{d}}x= -\int_b^af(x){\mathrm{d}}x$$
+
+Nous pouvons à présent définir la fonction $G(x)$ telle que
+$$G(x)=\int_a^xf(y){\mathrm{d}}y=F(x)-F(a).$$ Il suit que $G(x)$
+est la primitive de $f$ telle que $G(a)=0$.
+
+Propriétés +.#
+
+Soient $f$ et $g$ deux fonctions intégrables sur un intervalle
+$D=[a,b]\subseteq{\real}$, $c\in[a,b]$, et $\alpha\in{\real}$.
+On a
+
+1. La dérivée et l’intégrale “s’annulentâ€
+ $$\left(\int_a^x f(x){\mathrm{d}}x\right)'=\left(F(x)-F(a)\right)'=F'(x)-\left(F(a)\right)'=F'(x)=f(x).$$
+
+2. La fonction $h=f+g$ admet aussi une primitive sur $D$, et on a
+ $$\int_a^b(f(x)+g(x)){\mathrm{d}}x=\int_a^b f(x){\mathrm{d}}x+\int_a^b g(x){\mathrm{d}}x.$$
+
+3. La fonction $h=\alpha f$ admet aussi une primitive sur $D$, et on a
+ $$\int_a^b\alpha f(x){\mathrm{d}}x=\alpha\int_a^b f(x){\mathrm{d}}x.$$
+
+4. Relation de Chasles (faire la démonstration en exercice)
+ $$\int_a^c f(x){\mathrm{d}}x=\int_a^b f(x){\mathrm{d}}x+\int_b^c f(x){\mathrm{d}}x.$$
+ De cette relation on déduit qu’on peut calculer l’intégrale d’une
+ fonction continue par morceaux sur $[a,b]$.
+
+5. Si $f$ est paire alors
+ $$\int_{-a}^a f(x){\mathrm{d}}x = 2\int_0^a f(x){\mathrm{d}}x.$$
+
+6. Si $f$ est impaire alors $$\int_{-a}^a f(x){\mathrm{d}}x = 0.$$
+
+### Intégrales impropres
+
+Si une des bornes d’intégration ou si la fonction à intégrer admet une
+discontinuité à des points bien définis, nous parlons intégrales
+impropres.
+
+Lorsqu’une borne d’intégration est infinie, alors nous pouvons avoir les
+cas de figures suivants $$\begin{aligned}
+ &\int_a^\infty f(x){\mathrm{d}}x=\lim\limits_{b\rightarrow\infty}\int_a^b f(x){\mathrm{d}}x,\\
+ &\int_{-\infty}^b f(x){\mathrm{d}}x=\lim\limits_{a\rightarrow\infty}\int_{-a}^b f(x){\mathrm{d}}x,\\
+ &\int_{-\infty}^\infty f(x){\mathrm{d}}x=\lim\limits_{a\rightarrow\infty}\int_{-a}^a f(x){\mathrm{d}}x.\end{aligned}$$
+
+---
+
+Exemple (Intégrale impropre) +.#
+
+Calculer l’intégrale suivante
+$$\int_0^\infty e^{-ax}{\mathrm{d}}x,\quad a>0.$$
+
+Solution (Intégrale impropre) +.#
+
+Nous pouvons réécrire
+l’intégrale ci-dessus comme
+$$\int_0^\infty e^{-ax}{\mathrm{d}}x=\lim\limits_{b\rightarrow \infty}\int_0^b e^{-ax}{\mathrm{d}}x=-\frac{1}{a}\lim\limits_{b\rightarrow\infty}\left[e^{-ax}\right]_0^b=-\frac{1}{a}\left[\lim\limits_{b\rightarrow \infty}e^{-ab}-1\right]=\frac{1}{a}.$$
+
+---
+
+---
+
+Exercice +.#
+
+Calculer l’intégrale suivante
+$$\int_1^\infty \frac{1}{x^2}{\mathrm{d}}x.$$
+
+---
+
+Lorsque nous avons une discontinuité dans la fonction $f$ au point
+$c\in[a,b]$ nous avons
+$$\int_a^b f(x){\mathrm{d}}x = \lim\limits_{\varepsilon\rightarrow 0}\int_a^{c-\varepsilon} f(x){\mathrm{d}}x +\int_{c+\varepsilon}^b f(x){\mathrm{d}}x.$$
+
+Exercice +.#
+
+Montrer que $$\int_{-1}^2\frac{1}{x}=\ln{2}.$$
+
+Définition (Valeur moyenne) +.#
+
+Soit une fonction $f$ admettant une primitive sur $[a,b]$ avec $a<b$,
+alors la valeur moyenne $\bar{f}$ de cette fonction sur $[a,b]$, est définie par
+$$\bar{f}=\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x){\mathrm{d}}x.$$
+
+Méthodes d’intégration
+----------------------
+
+Dans cette section, nous allons étudier différentes méthodes pour
+intégrer des fonctions.
+
+### Intégration de fonctions usuelles et cas particuliers
+
+Le calcul d’une primitive ou d’une intégrale n’est en général pas une
+chose aisée. Nous connaissons les formules d’intégration pour certaines
+fonctions particulières.
+
+#### Polynômes
+
+Les polynômes s’intègrent terme à terme. Pour
+$(\{a_i\}_{i=0}^{n}\in{\real}$ $$\begin{aligned}
+ &\int a_0 + a_1 x + a_2 x^2+\cdots+a_{n-1} x^{n-1}+a_{n} x^{n}{\mathrm{d}}x\\
+ =&\int a_0{\mathrm{d}}x + \int a_1 x{\mathrm{d}}x + \int a_2 x^2{\mathrm{d}}x+\cdots+\int a_{n-1} x^{n-1}{\mathrm{d}}x+\int a_{n} x^{n}){\mathrm{d}}x\\
+ =&a_0 x + \frac{a_1}{2}x^2+\frac{a_2}{3}x^3+\cdots+\frac{a_n}{n+1}x^{n+1}+c.\end{aligned}$$
+
+---
+
+Exercice +.#
+
+Intégrer la fonction suivante
+$$\int (x+2)(x^3+3x^2+4x-3){\mathrm{d}}x.$$
+
+---
+
+#### Application de la règle de chaîne pour l’intégration
+
+Une primitive d'une fonction de la forme $f(x)f'(x)$ se calcule aisément
+$$\int f(x)f'(x){\mathrm{d}}x=\frac{1}{2}f(x)^2+c.$$
+
+Nous calculons par exemple
+$$\int \sin(x)\cos(x){\mathrm{d}}x=\frac{1}{2}\sin^2(x)+c=-\frac{1}{2}\cos^2(x)+c'.$${#eq:sin_cos}
+
+#### Inverse de la dérivation logarithmique
+
+Une primitive de la forme
+$$\int \frac{f'(x)}{f(x)}{\mathrm{d}}x=\ln(f(x))+c.$$
+
+---
+
+Exemple +.#
+
+Calculer la primitive suivante
+$$
+\int \frac{1}{x}{\mathrm{d}}x.
+$$
+
+Solution +.#
+
+Le calcul de la primitive de suivante
+$$\int \frac{1}{x}{\mathrm{d}}x=\int \frac{(x)'}{x}{\mathrm{d}}x=\ln(x)+c.$$
+
+---
+
+#### Règle de chaîne
+
+Une des façons les plus simples de calculer une primitive est
+de reconnaître la règle de chaîne dans le terme à intégrer
+$$\int g'(f(x))f'(x){\mathrm{d}}x=\int [g(f(x))]' {\mathrm{d}}x=g(f(x))+c.$$
+
+Illustration +.#
+
+Si $g$ est définie comme $g(x)=x^{-1}$ et $f(x)=3x^2+2$, alors la
+primitive
+$$\int \frac{f'(x)}{g'(f(x))}{\mathrm{d}}x=\int -\frac{6 x}{(3x^2+2)^2}{\mathrm{d}}x=\frac{1}{3x^2+2}+c.$$
+
+### Intégration par parties
+
+La dérivation d’un produit de fonctions $f\cdot g$ s’écrit
+$$(f(x)g(x))'=f'(x) g(x)+f(x) g'(x).$$ En intégrant cette équation on
+obtient
+$$f(x)g(x)=\int f'(x) g(x){\mathrm{d}}x+\int f(x) g'(x){\mathrm{d}}x.$$
+Une primitive de la forme $\int f'(x) g(x){\mathrm{d}}x$ peut ainsi se
+calculer de la façon suivante
+$$\int f'(x) g(x){\mathrm{d}}x=f(x)g(x)-\int f(x) g'(x){\mathrm{d}}x.$$
+De façon similaire si nous nous intéressons à une intégrale définie
+$$\int_a^b f'(x) g(x){\mathrm{d}}x=\left.(f(x)g(x))\right|_a^b-\int_a^b f(x) g'(x){\mathrm{d}}x.$$
+Le choix des fonctions est complètement arbitraire. Néanmoins, le but de
+cette transformation est de remplacer une intégrale par une autre dont
+on connaîtrait la solution.
+
+Des “règles†pour utiliser cette technique seraient que
+
+1. $g'$ soit facile à calculer et aurait une forme plus simple que $g$.
+
+2. $\int f'{\mathrm{d}}x$ soit facile à calculer et aurait une forme
+ plus simple que $f'$.
+
+---
+
+Exemple +.#
+
+Calculer les primitives suivantes
+
+1. $\int x e^x{\mathrm{d}}x$.
+
+2. $\int \cos(x)\sin(x){\mathrm{d}}x$.
+
+Solution +.#
+
+1. $\int x e^x{\mathrm{d}}x$. $g(x)=x$, $f'(x)=e^x$ et donc $g'(x)=1$,
+ $f(x)=e^x$. Il vient
+ $$\int x e^x=x e^x-\int e^x{\mathrm{d}}x=x e^x-e^x+c.$$
+
+2. $\int \cos(x)\sin(x){\mathrm{d}}x$. $g= \cos(x)$, $f'(x)=\sin(x)$ et
+ donc $g'(x)=-\sin(x)$, $f(x)=-\cos(x)$. Il vient $$\begin{aligned}
+ &\int \cos(x)\sin(x){\mathrm{d}}x=\sin^2(x)-\int \cos(x)\sin(x){\mathrm{d}}x\nonumber\\
+ \Rightarrow &\int \cos(x)\sin(x){\mathrm{d}}x=\frac{1}{2}\sin^2(x).
+ \end{aligned}$$
+
+On voit que le résultat de l’intégration par
+partie nous redonne l’intégrale de départ. Ceci nous permet
+d’évaluer directement la dite intégrale pour retrouver le résultat de l'@eq:sin_cos
+
+---
+
+Il est également possible d’enchaîner plusieurs intégrations par
+parties.
+
+---
+
+Exemple +.#
+
+Calculer l’intégrale de $\int x^2 e^x{\mathrm{d}}x$.
+
+Solution +.#
+
+En posant $g(x)=x^2$,
+$f'(x)=e^x$ et donc $g'(x)=2x$, $f(x)=e^x$. Il vient
+$$\int x^2 e^x{\mathrm{d}}x=x^2e^x-2\int x e^x{\mathrm{d}}x.$$ On pose
+de façon similaire $g(x)=x$, $f'(x)=e^x$ et donc $g'(x)=1$, $f(x)=e^x$
+et il vient
+$$\int x^2 e^x{\mathrm{d}}x=x^2e^x-2\left(x e^x -\int e^x{\mathrm{d}}x\right)=x^2e^x-2x e^x +2e^x+c.$$
+
+---
+
+---
+
+Exercice +.#
+
+Calculer les primitives suivantes
+
+1. $\int \ln(x){\mathrm{d}}x$
+
+2. $\int x^2 \sin(x){\mathrm{d}}x$
+
+3. $\int e^x\sin(x){\mathrm{d}}x$
+
+---
+
+### Intégration par changement de variables
+
+On observe que la dérivation de la composition de deux fonctions $F$ et
+$g$ est donnée par
+$$(F\circ g)'=(f\circ g)\cdot g',\mbox{ ou } [F(g(y))]'=f(g(y))\cdot g'(y),$$
+où $f=F'$. Si nous intégrons cette relation on obtient $$\begin{aligned}
+ \int_a^b f(g(y))g'(y){\mathrm{d}}y = \int_a^b [F(g(y))]'{\mathrm{d}}y=\left.F(g(y))\right|_a^b=F(g(b))-F(g(a))=\int_{g(a)}^{g(b)}f(x){\mathrm{d}}x.\end{aligned}$$
+Cette relation nous mène au théorème suivant.
+
+Théorème (Intégration par changement de variables) +.#
+
+Soit $f$ une fonction continue presque partout, et $g$ une fonction dont
+la dérivée est continue presque partout sur un intervalle $[a,b]$. Soit
+également l’image de $g$ contenue dans le domaine de définition de $f$.
+Alors
+$$\int_a^b f(g(x))g'(x){\mathrm{d}}x = \int_{g(a)}^{g(b)}f(z){\mathrm{d}}z.$$
+
+Nous utilisons ce théorème de la façon suivante. L’idée est de remplacer
+la fonction $g(x)$ par $z$. Puis il faut également remplacer
+${\mathrm{d}}x$ par ${\mathrm{d}}z$ où nous avons que
+${\mathrm{d}}x={\mathrm{d}}z/g'(x)$. Finalement, il faut changer les
+bornes d’intégration par $a\rightarrow g(a)$ et $b\rightarrow g(b)$. Si
+on ne calcule pas l’intégrale mais la primitive, on ne modifie
+(évidemment) pas les bornes d’intégration, mais en revanche pour trouver
+la primitive il faut également appliquer la transformation $x=g^{-1}(z)$
+sur la solution.
+
+---
+
+Exemple (Changement de variable) +.#
+
+Intégrer par changement de variables $\int_1^3 6x\ln(x^2){\mathrm{d}}x$.
+
+Solution (Changement de variable) +.#
+
+En définissant $z=x^2$, nous avons ${\mathrm{d}}x={\mathrm{d}}z/(2x)$.
+Les bornes d’intégration deviennent $z(1)=1^2=1$ et $z(3)=3^2=9$. On
+obtient donc $$\begin{aligned}
+ \int_1^3 6x\ln(x^2){\mathrm{d}}x&=\int_1^9 6x\ln(z)\frac{1}{2x}{\mathrm{d}}z=\int_1^9\ln(z){\mathrm{d}}z\nonumber\\
+ &=3\left[z\ln(z)-z\right]_1^9=3(9\ln(9)-9-\ln(1)+1)=27\ln(9)-24.
+ \end{aligned}$$
+
+---
+
+---
+
+Exercice +.#
+
+Calculer les primitives suivantes par changement de variable
+
+1. $\int \frac{1}{5x-7}{\mathrm{d}}x$
+
+2. $\int \sin(3-7x){\mathrm{d}}x$
+
+3. $\int x e^{x^2}{\mathrm{d}}x$
+
+---
+
+## Le produit de convolution
+
+Les convolutions sont très utilisées pour le traitement du signal, le traitement d'images et
+les réseaux de neurones convolutifs entre autres.
+
+### La convolution continue
+
+La convolution de deux fonctions intégrables, $f(t)$, et $g(t)$, notée $f\ast g$ se définit comme
+\begin{equation}
+(f\ast g)(x)=\int_{-\infty}^\infty f(x-t)g(t)\dd t.
+\end{equation}
+On constate que le membre de gauche de l'équation ci-dessus n'est rien d'autre qu'une fonction de $x$.
+Pour chaque valeur de $x=x_0$, on calcule l'intégrale,
+\begin{equation}
+\int_{-\infty}^\infty f(x_0-t)g(t)\dd t.
+\end{equation}
+
+---
+
+Exercice (Commutativité) +.#
+
+Démontrer que le produit de convolution est commutatif, soit
+\begin{equation}
+(f\ast g)(x)=(g\ast f)(x).
+\end{equation}
+
+Indication: utiliser la substitution $\tau=x-t$.
+
+---
+
+Afin de pouvoir interpêter un peu
+ce que cela veut dire, il est intéressant de faire un calcul
+"simple" pour se faire une idée.
+
+---
+
+Exercice +.#
+
+Calculer la convolution du signal $f(t)$
+
+\begin{equation}
+f(t)=\left\{\begin{array}{ll}
+ 1,&\mbox{ si }t\in[0,1]\\
+ 0,&\mbox{ sinon.}
+ \end{array}\right.
+\end{equation}
+
+Indication: faites un dessin de ce que représente la convolution de ce $f$ avec lui-même.
+
+---
+
+#### Interprétation avec les mains
+
+Afin d'interpréter ce que représente le produit de convolution, introduisons la fonction delta de Dirac, $\delta_a(x)$. Cette fonction est un peu particulière, elle vaut zéro partout sauf en $0$ (où elle est "infinie"), et son
+intégrale vaut $1$
+\begin{equation}
+\int_{-\infty}^\infty\delta(x)\dd x=1.
+\end{equation}
+Même si cela peut sembler étrange, on peut tenter de construire une telle fonction en prenant une suite de rectangles, centrés en $0$,
+dont la surface vaut 1. Puis on rend ces rectangles de plus en plus fins, en imposant que la surface vaut toujours 1 et le tour est joué.
+
+Cette fonction est intéressante, car elle a la propriété suivante lorsqu'on l'utilise pour effectuer des convolutions.
+\begin{equation}
+\int_{-\infty}^\infty f(y)\delta(y-x)\dd y=f(x).
+\end{equation}
+En d'autre termes cette intégrale est égale à la valeur de $f$ au point où l'argument du $\delta$ est nul.
+
+A présent, si nous considérons la convolution de $f(t)$ avec
+la fonction $\delta(t-a)=\delta_a$, on obtient
+\begin{equation}
+(f\ast\delta_a)(x)=\int_{-\infty}^\infty f(x-t)\delta(t-a)\dd t=f(x-a).
+\end{equation}
+En fait la convolution d'une fonction $f$ avec le delta de Dirac centré en $a$ ne fait que translater la fonction $f$ d'une distance $a$.
+
+En effectuant à présent la convolution avec une combinaison linéaire de $\delta$ de Dirac
+\begin{equation}
+(f\ast(\alpha\cdot \delta_a+\beta\cdot \delta_b))(x)=\int_{-\infty}^\infty f(x-y)(\alpha\cdot\delta(y-a)+\beta\cdot\delta(y-b))\dd y=\alpha\cdot f(x-a)+\beta\cdot f(x-b).
+\end{equation}
+La convolution est donc la moyenne pondérée de $f$ translatée en $a$ et en $b$ par $\alpha$ et $\beta$ respectivement.
+
+On voit que de façon générale, qu'on peut interpréter la convolution de deux fonctions $f(t)$ et $g(t)$ comme la moyenne de $f(t)$ pondérée par la fonction $g(t)$.
+
+#### Le lien avec les filtres
+
+Il se trouve que dans le cas où le filtre est linéaire (filtrer la combinaison de deux signaux
+est la même chose que de faire la combinaison linéaires des signaux filtrés)
+et indépendant du temps (les translations temporelles n'ont aucun effet sur lui)
+alors on peut lier la convolution et le filtrage.
+
+Si on définit la réponse impulsionnelle d'un filtre, $h(t)$, le filtrage d'un signal $s(t)$,
+noté $f(s)$, n'est autre que la convolution de $h(t)$ avec $s(t)$
+\begin{equation}
+f(s)=(s\ast h)(x)=\int_{-\infty}^\infty f(x-t)g(t)\dd t.
+\end{equation}
+
+<!-- ### La convolution discrète
+
+En se rappelant que l'intégrale n'est rien d'autre qu'une somme un peu plus compliquée -->
+
+Intégration numérique
+---------------------
+
+Dans certains cas, il est impossible d’évaluer analytiquement une
+intégrale ou alors elle est très compliquée à calculer. Dans ce cas, on
+va approximer l’intégrale et donc commettre une erreur.
+
+Pour ce faire on subdivise l’espace d’intégration $[a,b]$ en $N$ pas
+équidistants (pour simplifier) $\delta x=(b-a)/N$, et on approxime
+l’intégrale par une somme finie
+$$\int_a^bf(x){\mathrm{d}}x=\sum_{i=0}^{N-1} \delta x f(a+i\delta x) g_i+E(a,b,\delta x)\cong\sum_{i=0}^{N-1} \delta x f(a+i\delta x) g_i,$$
+où $g_i$ est un coefficient qui va dépendre de la méthode d’intégration
+que nous allons utiliser, $E$ est l’erreur commise par l’intégration
+numérique et va dépendre des bornes d’intégration, de $\delta x$ (du
+nombre de pas d’intégration), de la forme de $f(x)$ (combien est
+“gentilleâ€) et finalement de la méthode d’intégration.
+
+### Erreur d’une méthode d’intégration
+
+D’une façon générale plus $\delta x$ est petit ($N$ est grand) plus
+l’erreur sera petite et donc l’intégration sera précise (et plus le
+calcul sera long). Néanmoins, comme la précision des machines sur
+lesquelles nous évaluons les intégrales est finie, si $\delta x$ devient
+proche de la précision de la machine des erreurs d’arrondi vont dégrader
+dramatiquement la précision de l’intégration.
+
+---
+
+Remarque +.#
+
+De façon générale il est difficile de connaître à l’avance la valeur
+exacte de $E$. En revanche on est capable de déterminer **l’ordre**
+de l’erreur.
+
+---
+
+---
+
+Définition (Ordre d'une méthode) +.#
+
+On dit qu’une méthode d’intégration est d’ordre $k$, si l’erreur commise
+par la méthode varie proportionnellement à $\delta x^k$. On note qu’une
+erreur est d’ordre $k$ par le symbole $\mathcal{O}(\delta x^k)$.
+Exemple: si une méthode est d’ordre deux, alors en diminuant $\delta x$
+d’un facteur $2$, l’erreur sera elle divisée par $2^2=4$. Si une méthode
+est d’ordre $3$, alors en diminuant $\delta x$ d’un facteur $2$, nous
+aurons que l’erreur est divisée par un facteur $2^3=8$. Etc.
+
+---
+
+Comme le calcul d’une intégrale de façon numérique ne donne en général
+pas un résultat exact, mais un résultat qui va dépendre d’un certain
+nombre de paramètres utilisés pour l’intégration, il faut définir un
+critère qui va nous dire si notre intégrale est calculée avec une
+précision suffisante.
+
+Notons $I(N,a,b,f,g)$ l’approximation du calcul de l’intégrale
+entre $a$ et $b$ de la fonction $f$ avec une résolution $N$ pour la
+méthode d’intégration $g$
+$$I(N,a,b,f,g)=\sum_{i=0}^{N-1} \delta x f(a+i\delta x) g_i,$$ où $g_i$
+est encore à préciser. Afin de déterminer si le nombre de points que
+nous avons choisi est suffisant, après avoir évalué $I(N,a,b,f,g)$, nous
+évaluons $I(2\cdot N,a,b,f,g)$. En d’autres termes nous évaluons
+l’intégrales de la même fonction avec la même méthode mais avec un
+nombre de points deux fois plus élevé. Puis, nous pouvons définir
+$\varepsilon(N)$ comme étant l’erreur relative de notre intégration avec
+une résolution $N$ et $2\cdot N$
+$$\varepsilon(N)\equiv\left|\frac{I(2N)-I(N)}{I(2N)}\right|.$$ Si Ã
+présent nous choisissons un $\varepsilon_0>0$ (mais plus grand que la
+précision machine), nous pouvons dire que le calcul numérique de notre
+intégrale a **convergé** (on parle de **convergence** du calcul
+également) pour une résolution $N$ quand $\varepsilon(N)<\varepsilon_0$.
+
+### Méthode des rectangles
+
+Pour la méthode des rectangles, nous allons calculer l’intégrale en
+approximant l’aire sous la fonction par une somme de rectangles, comme
+nous l’avons fait pour la définition de l’intégration au sens de
+Riemann. La différence principale est que nous ne regarderons pas les
+valeurs minimales ou maximales de $f$ sur les subdivisions de l’espace,
+mais uniquement les valeurs sur les bornes. Cette approximation donne
+donc la formule suivante $$\begin{aligned}
+ \int_a^bf(x){\mathrm{d}}x&\cong\sum_{i=0}^{N-1} \delta x f(a+i\cdot\delta x)+\mathcal{O}(\delta x),\\
+ &\cong\sum_{i=1}^{N} \delta x f(a+i\cdot\delta x)+\mathcal{O}(\delta x)\end{aligned}$${#eq:rect_gauche}
+Cette méthode est d’ordre $1$. Une exception s’applique cependant
+concernant l’ordre de l’intégration. Si la fonction à intégrer est une
+constante $f(x)=c$, alors l’intégration est exacte.
+
+Dans les deux cas ci-dessus on a évalué la fonction sur une des bornes.
+On peut améliorer la précision en utilisant le “point du milieu†pour
+évaluer l’aire du rectangle. L’approximation devient alors
+$$\begin{aligned}
+ \int_a^bf(x){\mathrm{d}}x&\cong\sum_{i=0}^{N-1} \delta x f(a+(i+1/2)\cdot\delta x)+\mathcal{O}(\delta x^2).\end{aligned}$$
+Cette astuce permet d’améliorer la précision de la méthode à très faible
+coût. En effet, la précision de la méthode des rectangles est améliorée
+et devient d’ordre 2. Elle est exacte pour les fonctions linéaires $f(x)=c\cdot x + d$.
+
+### Méthode des trapèzes
+
+Pour la méthode des trapèzes, nous allons calculer l’intégrale en
+approximant l’aire sous la fonction par une somme de trapèzes. Pour
+rappel l’aire d’un trapèze, dont les côtés parallèles sont de longueurs
+$c$ et $d$ et la hauteur $h$, est donnée pas $$A=(c+d)h/2.$$ Cette
+approximation donne donc la formule suivante
+$$\int_a^bf(x){\mathrm{d}}x\cong\sum_{i=0}^{N-1} \delta x \frac{f(a+i\cdot\delta x)+f(a+(i+1)\cdot\delta x)}{2}+\mathcal{O}(\delta x^2).$$
+Cette méthode est d’ordre $2$. Cette méthode d’intégration est aussi exacte
+pour les fonctions linéaires $f(x)=c\cdot x + d$.
+
+### Méthode de Simpson
+
+Pour cette méthode, on approxime la fonction à intégrer dans un
+intervalle par une parabole.
+
+Commençons par évaluer l’intégrale à l’aide d’une subdivision dans
+l’ensemble $[a,b]$.
+
+L’idée est la suivante. On pose $f(x)=c\cdot x^2+d\cdot x+e$ et il
+faut déterminer $c$, $d$, et $e$. Il faut donc choisir 3
+points dans l’intervalle $[a,b]$ pour déterminer ces constantes. On
+choisit comme précédemment $f(a)$, $f(b)$, et le troisième point est
+pris comme étant le point du milieu $(f(a+b)/2)$. On se retrouve ainsi
+avec trois équations à trois inconnues $$\begin{aligned}
+ f(a)&=c\cdot a^2+d\cdot a+e,\\
+ f(b)&=c\cdot b^2+d\cdot b+e,\\
+ f((a+b)/2)&=\frac{c}{4}\cdot (a+b)^2+\frac{d}{2}\cdot (a+b)+e.\end{aligned}$$
+En résolvant ce système (nous n’écrivons pas la solution ici) nous
+pouvons à présent évaluer l’intégrale $$\begin{aligned}
+ I&=\int_a^b f(x){\mathrm{d}}x\cong\int_a^b (cx^2+dx+e){\mathrm{d}}x,\nonumber\\
+ &=\frac{b-a}{6}(f(a)+f(b)+4f((a+b)/2))+\mathcal{O}(\delta x^4).\end{aligned}$$
+
+On peut généraliser et affiner cette formule en rajoutant des
+intervalles comme précédemment et en répétant cette opération pour
+chaque intervalle.
+
+Il vient donc que $$\begin{aligned}
+ I&=\frac{\delta x}{6}\sum_{i=0}^{N-1}\left[f(a+i\cdot \delta x)+f(a+(i+1)\cdot\delta x)\right.\nonumber\\
+ &\left.+4f(a+(i+1/2)\cdot\delta x)\right]+\mathcal{O}(\delta x^4).\end{aligned}$$
+
+Cette méthode permet d’évaluer exactement les intégrales des polynômes d’ordre 3,
+$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$.
\ No newline at end of file
diff --git a/03_optimisation.md b/03_optimisation.md
new file mode 100644
index 0000000..9fc28a3
--- /dev/null
+++ b/03_optimisation.md
@@ -0,0 +1,720 @@
+# Optimisation
+
+## La régression linéaire
+
+Lors d'une régression linéaire, le but est de trouver la droite, $y(x)=a\cdot x + b$, qui passe au mieux au travers d'un nuage de $N$ points $(x_i, y_i)$,
+$i=1,...,N$ (voir @fig:reg).
+
+{#fig:reg width=70%}
+
+Pour déterminer l'équation de cette droite, nous devons donc trouver les coefficients $a$ et $b$ tels que la droite
+passe au plus proche des points. Nous devons d'abord définir ce que signifie mathématiquement "passe au mieux par au travaers du nuage de points".
+Une façon de mesurer la "qualité" d'une droite est de mesurer la somme des distances au carré entre les points $(x_i,y_i)$ et
+la droite $y(x)=a\cdot x + b$ pour des valeurs de $a$ et $b$ données, soit
+$$
+E(a,b)=\sum_{i=1}^N (y(x_i)-y_i)^2.
+$$
+Nous cherchons par conséquent à minimiser $E(a,b)$ sous la contrainte que $y(x)$ est une droite. Pour simplifier encore plus le problème mathématique,
+nous pouvons rajouter comme contrainte que la droite $y(x)$ passe par le point $(0,0)$, on a donc que $y(x)=a\cdot x$ (l'ordonnée à l'origine est nulle, $b=0$) et que
+$$
+E(a)=\sum_{i=1}^N (y(x_i)-y_i)^2,
+$$
+est indépendant de $b$. En résumé nous cherchons à résoudre le problème mathématique
+\begin{align}
+&\min_{a\in\real} E(a) = \min_{a \in\real} \sum_{i=1}^N (y(x_i)-y_i)^2,\\
+&\mbox{où }y(x)=a\cdot x, \quad \mbox{(contrainte)}.
+\end{align}
+On peut réécrire la fonction $E(a)$ comme
+\begin{align}
+E(a)&=\sum_{i=1}^N \left(y^2(x_i)-2\cdot y_i\cdot y(x_i)+y_i^2\right)=\sum_{i=1}^N \left(a^2\cdot x_i^2-2\cdot a\cdot x_i\cdot y_i+y_i^2\right),\nonumber\\
+ &=a^2\sum_{i=1}^Nx_i^2 + 2a\sum_{i=1}^Nx_iy_i+\sum_{i=1}^Ny_i^2.
+\end{align}
+Les $x_i$ et $y_i$ étant connus, nous cherchons $a$, tel que $E(a)$ soit minimal. $E(a)$ est en fait l'équation d'une parabole: elle a la forme
+$$
+E(a)=B\cdot a^2-2C\cdot a + D,
+$$
+avec $B=\sum_{i=1}^Nx_i^2$, $C=\sum_{i=1}^Nx_iy_i$, et $D=\sum_{i=1}^N y_i^2$. $B$ étant forcément positif cette parabole sera **convexe** et donc
+nous sommes assurés qu'il existe un minimum pour $E(a)$. Une façon de déterminer $a$, tel que $E(a)$ est minimal est d'utiliser la dérivée.
+On a l'équation $E'(a)=0$ à résoudre:
+\begin{align}
+E'(a)&=0,\nonumber\\
+2\cdot B\cdot a-2\cdot C&=0,\nonumber\\
+a &= \frac{C}{B}=\frac{\sum_{i=1}^Nx_iy_i}{\sum_{i=1}^Nx_i^2}.
+\end{align}
+
+---
+
+Exemple +.#
+
+Soient les 4 points $(0, 0.1)$, $(1, 0.3)$, $(2, 0.3)$ et $(3, 0.4)$. La fonction d'erreur $E(a)$ s'écrit
+$$
+E(a)=14\cdot a^2-4.2\cdot a + 0.35.
+$$
+On peut la représenter comme sur la @fig:e_a et on constate qu'elle possède un minimum proche de $a=0$.
+
+![La fonction $E(a)=14a^2-4.2a+0.35$ pour $a\in[-1,1]$. On voit bien qu'elle possède un minimum proche de $a=0$.](figs/e_a.svg){#fig:e_a width=70%}
+
+En résolvant $E'(a)=0$, on obtient $a=4.2/24=0.15$. On a que l'équation de la droite passant par $(0,0)$ et au plus proche de nos 4 points est
+$$
+y(x)=0.15\cdot x.
+$$
+On peut observer le résultat de la régression sur la @fig:regression_ex, où on voit les 4 points (en noir), ainsi que la droite obtenue (en trait bleu).
+
+{#fig:regression_ex width=70%}
+
+---
+
+La régression linéaire est un problème **d'optimisation continu** (par opposition aux problèmes **d'optimisation discrets**).
+Ce genre de problème, bien que possédant un espace de recherche infini,
+est bien souvent plus simple à résoudre que les problèmes d'optimisation discrets, car il possède un cadre théorique mieux défini.
+
+Pour le résoudre, nous avons commencé par construire un modèle mathématique.
+Nous avons défini une fonction à minimiser, $E(a)$, et ajouté une contraite, la forme de $y(x)$. Puis, il a suffi de trouver le minimum de $E(a)$
+sous la contrainte et le tour était joué.
+
+## L'optimisation mathématique
+
+Suite à ces deux exemples, nous allons essayer de définir de façon assez théorique comment formuler mathématiquement un problème d'optimisation.
+Il existe deux types disctincts de problèmes d'optimisation:
+
+1. L'optimisation continue.
+2. L'optimisation discrète (souvent appelée optimisation combinatoire).
+
+Dans ce chapitre nous ne parlerons que del'optimisation continue.
+
+### L'optimisation continue
+
+L'optimisation continue ou *programme mathématique continu* est un programme d'optimisation soumis à certaines contraintes.
+On peut l'exprimer de la façon suivante.
+
+Soit $f:\real^n\rightarrow\real$ une fonction objectif (ou fontion de coût), on cherche $\vec x_0\in\real^n$, tel que $f(\vec x_0)\leq f(\vec x)$ pour $\vec x$ certaines conditions: **les contraintes**. Celles-ci sont en général des égalités strictes ou des inégalités qui peuvent s'exprimer de la façon suivante.
+Soient $m$ fonctions $g_i:\real^n\rightarrow\real$
+\begin{align}
+&g_i(\vec x)\leq 0,\quad i=1,...,m.
+\end{align}
+Si $m=0$ on a à faire à un problème d'optimisation sans contraintes. On peut résumer tout cela comme
+\begin{align*}
+&\min_{\vec x\in\real^n}f(\vec x),\\
+&g_i(\vec x)\leq 0,\quad i=1,...,m,\\
+&\mbox{pour }m\geq 0.
+\end{align*}
+Les contraintes limitent l'espace des solutions et forment un sous-ensemble, noté $A$, de $\real^n$ ($A\subseteq\real^n$).
+
+Une des difficultés pour déterminer le minimum d'une fonction coût est l'existence de plusieurs minima locaux.
+Un **minimum local**, $\vec x^\ast\in A$, est tel que pour une région proche de $\vec x^\ast$, on a que $f(\vec x)\geq f(\vec x^\ast)$.
+Un exemple d'une telle fonction, est une fonction de Ackley. En une dimension, elle est de la forme (voir la @fig:ackley)
+$$
+f(x)=-20e^{-0.2*\sqrt{0.5x^2}}-e^{0.5(\cos(2\pi x))}+e+20.
+$$
+
+{#fig:ackley width=70%}
+
+On constate la présence d'un grand nombre de minima locaux qui rendent la recherche du minimum global (se trouvant en $x=0$) particulièrement compliqué à déterminer.
+
+L'optimisation continue est très communément utilisée en apprentissage automatique (machine learning), en particulier pour
+optimiser les poids des réseaux de neurones.
+
+## Optimisation continue
+
+Dans cette section, nous allons considérer des problèmes purement continus.
+Nous allons dans un premier temps considérer une fonction opbjectif, $f$,
+$$
+f:D\rightarrow\real,\quad D\subseteq \real,
+$$
+dont nous allons chercher le minimum (pour autant qu'il existe). Nous allons supposer que
+$f$ est une fonction continue et dérivable.
+
+### Minimum local/global
+
+Comme vous le savez, le minimum (ou le maximum) d'une fonction, se situe à un endroit où sa dérivée est nulle.
+On recherche donc, $x$, tel que
+$$
+f'(x)=0.
+$$
+Mais cette contrainte sur $f'(x)$ n'est pas suffisante pour garantir de trouver un minimum.
+En effet, si $f'(x)=0$, peut également vouloir dire qu'on se trouve sur un point d'inflexion
+ou sur un maximum.
+On peut assez facilement, discriminer ces deux cas, en considérant la deuxième dérivée de $f$.
+En effet, nous avons à faire à un minimum seulement si
+$$
+f''(x)>0.
+$$
+Les cas où $f''(x)=0$ est un point d'inflexion et $f''(x)<0$ est un maximum.
+
+Un autre problème beaucoup plus compliqué à résoudre est de déterminer un minimum **global**.
+En effet, comme pour la fonction de Ackley (voir la @fig:ackley), une fonction peut posséder un grand nombre de minimam **locaux** (où
+$f'(x)=0$ et $f''(x)>0$) mais qui n'est pas un mimumum global.
+
+Mathématiquement un *minimum local* se définit comme $x^\ast$ tel qu'il existe $\delta>0$ et que $f(x^\ast)\leq f(x)$, pour
+$x\in[x^\ast-\delta,x^\ast+delta]$. Un *minimum global* est un $x^\ast$ tel que $\forall x\in D$, $f(x^\ast)\leq f(x)$.
+
+En fait, il n'existe pas de méthode pour déterminer un minimum global, pour n'importe quelle fonction.
+Nous somme assurés de le trouver, uniquement si $f$ est une fonction convexe partout ($f''(x)>0 \ \forall x$).
+
+## Algorithmes de recherche des zéros d'une fonction
+
+Comme nous venons de le voir, lors de la recherche d'un minimum, il est nécessaire de trouver le point $x^\ast$
+où $f'(x^\ast)=0$. Le problème est donc de déterminer les zéros de la fonction $f'(x)$. Pour avoir un maximum de généralité,
+nous allons considérer une fonction $g(x)$ et chercher ses zéros, soit
+$$
+\{x\in\real|g(x)=0\}.
+$$
+Dans des cas simples (des fonctions polynomiales de degré 2 ou 3, ou des fonctions inversibles) on peut trouver
+analytiquement les zéros. En revanche, pour des fonctions plus complexes, ou "implicites" (on ne peut pas mettre
+l'équation $g(x)=0$ sous la forme $x=...$) la détermination des zéros est beaucoup plus difficile et nécessite l'utilisation
+de **méthodes itératives**. Nous allons en voir quelques unes.
+
+## Méthodes par raffienement d'intervalles
+
+### Méthode de la bissection
+
+{#fig:bissection_method width=50%}
+
+Afin de déterminer le zéro d'une fonction, une des méthodes les plus simple est la méthode de la bissection.
+Il s'agit de choisir deux points, $a_1$ et $b_1$, $b_1>a_1$, tels que le signe de $g(a_1)$ et $g(b_1)$ est différent.
+Si cela est le cas, nous aommes assurés de l'existence d'au moins un zéro si la fonction $g(x)$ est continue
+(en vertu du théorème de la valeur intermédiaire). Ensuite, nous allons calculer la valeur se situant "au milieu"
+entre $a_1$ et $b_1$
+$$
+c_1=\frac{b_1+a_1}{2}.
+$$
+Puis, nous évaluons $g(c_1)$ et si ce n'est pas un zéro, étudions son signe. Si le signe $g(c_1)$ est différent de celui de $g(a_1)$, nous remplaçons
+$b_1$ par $c_1$ et recommençons. Si le signe de $g(c_1)$ est différent de celui de $g(b_1)$, nous remplaçons $a_1$ par $c_1$.
+Nous itérons cette méthode jusqu'à ce que nous ayons atteint une valeur "siffisamment proche" (nous vons une précision acceptable pour nous)
+de zéro. Une façon d'exprimer "proche" est de considérer la taille de l'intervalle $b_1-a_1$ et de le comparer avec une précision $\varepsilon>0$ que nous
+aurons choisie
+$$
+b_1-a_1<\varepsilon.
+$$
+
+Au pire des cas, cette méthode nous rapproche de $(b_1+a_1)/2$ du zéro à chaque itération. Après $n$ itération, nous somme donc à une
+distance maximale du zéro de $(b_1+a_1)/2^n$. On dit que cette méthode est d'ordre $1$ (on divise l'intervalle de recherche par 2 et la précision par 2
+à chaque itération).
+
+---
+
+Exercice (Racice de polynôme) +.#
+
+Déterminer la racine du polynôme $x^4+x^3+x^2-1$ avec $a_1=0.5$ et $b_1=1$ (faire au maximum 6 itérations).
+
+---
+
+### Méthode de la fausse position (*regula falsi*)
+
+{#fig:false_position_method width=50%}
+
+Une méthode un peu plus avancée est la méthode de la fausse position (voir la @fig:false_position_method). Dans cette méthode qui est relativement similaire à celle de la bissection,
+mais au lieu de diviser l'intervalle en deux parts égales à chaque itération on va choisir les point $c$, comme étant le point
+où la droite reliant $g(a_1)$ et $g(b_1)$ coupe l'axe horizontal (le zéro de la droite entre $g(a_1)$ et $g(b_1)$). Le reste de l'algorithme reste exactement le même.
+On choisit deux points, $a_1$ et $b_1$, où le signe de $f$ est différent, puis ont construit la droite passant par $g(a_1)$ et $g(b_1)$
+$$
+y=\frac{g(b_1)-g(a_1)}{b_1-a_1}(x-a_1) + g(a_1).
+$$
+On cherche le point, $c$, où $y(c)=0$
+$$
+\frac{g(b_1)-g(a_1)}{b_1-a_1}(c-a_1) + g(a_1)=0.
+$$
+Cette équation s'inverse aisément et on obtient
+$$
+c_1=a_1-\frac{b_1-a_1}{g(b_1)-g(a_1)}g(a_1).
+$$
+Puis, comme pour la méthode de la bissection, on compare les signes de $g(c_1)$ avec $g(a_1)$ et $g(b_1)$ et on remplace $a_1$ ou $b_1$ par $c_1$
+si $g(c_1)$ a un signe différent de $g(b_1)$ ou $g(a_1)$ respectivement.
+
+Il est important de noter que si la fonction est continue, et que $a_1$ et $b_1$ sont choisis tels que $g(a_1)$ et $g(b_1)$ sont de signes opposés,
+alors cette méthode convergera **toujours**.
+
+La méthode de la fausse position est plus efficace que la méthode de la bissection, elle est superlinéaire (d'ordre plus grand que un).
+
+---
+
+Exercice +.#
+
+Déterminer le zéro positif de la fonction
+$$
+x^2-25=0,
+$$
+à l'aide de la méthode de la fausse position.
+
+---
+
+### Méthode de la sécante
+
+{#fig:secant_method width=50%}
+
+La méthode de la sécante (voir la @fig:secant_method) est très similaire à la méthode de la fausse position. La seule différence se situe dans la dernière étape de l'algorithme.
+Plutôt que choisir de remplacer $a_1$ ou $b_1$ par $c_1$, on remplace toujours la dernière valeur calculée.
+Ainsi après avoir choisi $a < b$, avec $g(a)$ et $g(b)$ avec des signes différents, on calcule
+une suite de $x_i$, avec $x_0=a$, $x_1=b$, tels que
+$$
+x_{i+1}=x_{i-1}-\frac{x_i-x_{i-1}}{g(x_i)-g(x_{i-1})}g(x_{i-1}), \quad i\geq 2.
+$$
+
+La méthode de la sécante ne garantit pas la convergence, contrairement à la méthode de la bissection et de la fausse position.
+En revanche elle est plus efficace, lorsque qu'elle converge, que ces deux méthodes.
+
+---
+
+Exercice +.#
+
+Déterminer le zéro positif de la fonction
+$$
+x^2-25=0,
+$$
+à l'aide de la méthode de la sécante.
+
+---
+
+### Recherche de la fourchette intiale
+
+Dans les méthodes ci-dessus, nous avons supposé que nous avions une fonction $g(x)$ continue, ainsi qu'un intervalle, $[a,b]$,
+avec
+\begin{equation}
+g(a)<0,\quad g(b)>0.
+\end{equation}
+Mais, nous n'avons pas encore vu de méthode pour déterminer les valeur de la fourchette $a,b$.
+
+---
+
+Remarque +.#
+
+On peut procéder de façon très similaire pour $[a,b]$ tel que
+
+\begin{equation}
+g(a)>0,\quad g(b)>0.
+\end{equation}
+
+Il suffit de prendre remplacer $g(x)\rightarrow -g(x)$.
+
+---
+
+Les méthodes pour déterminer la fourchette initiales sont également des *méthodes itératives*.
+
+La plus simple qu'on puisse imaginer est de partir d'un point initial $a$ (choisi aus hasard par exemple).
+On suppose que $g(a)<0$ (sinon voir la remarque ci-dessus).
+Puis on choisir deux *hyperparamètres*: $\delta x$ et $k$[^10]. Ensuite on calcule $b=a+k\cdot \delta x$.
+Si $f(b)>0$, on a terminé. Sinon on recommence avec $k\rightarrow 2\cdot k$ et $b\rightarrow k\cdot b$.
+
+## Méthodes de descentes locales
+
+L'idée de ce type de méthodes est, contrairement aux méthodes de la section précédente, d'utiliser des
+connaissances *locales* que nous pouvons avoir sur la fonction. Cette connsaissance loale
+a en général comme effet une *convergence* plus rapide de l'algorithme de recherche de zéros.
+
+### Méthode de Newton (ou *Newton-Raphson*)
+
+La méthode de Newton est également une méthode itérative, qui nécessite que la fonction $g(x)$ soit non seulement continue mais également dérivable.
+Revenons sur la méthode de la sécante. Il s'agissait de choisir deux points, $a < b$, et de déterminer la droite, $y(x)$, passant par $g(a)$ et $g(b)$,
+\begin{equation*}
+y=\frac{g(b)-g(a)}{b-a}(x-a) + g(a).
+\end{equation*}
+Il se trouve que $g(b)-g(a)/(b-a)$ n'est autre qu'une approximation avec une formule de *différences finies*
+de la dérivée de $g$ et $a$, $g'(a)$. Si la fonction $g$ est dérivable, on peut simplement remplacer ce terme par $g'(a)$
+et on obtient
+$$
+y=g'(a)(x-a) + g(a).
+$$
+Puis on détermine $c$, tel que $y(c)=0$
+$$
+0=g'(a)(c-a) + g(a),
+$$
+et on obtient
+$$
+c=a - \frac{g(a)}{g'(a)}.
+$$
+
+On peut donc généraliser l'algorithme. En partant d'un point $x_0=a$, on construit la suite
+$$
+x_{i+1}=x_n-\frac{g(x_i)}{g'(x_i)}, \ i\geq 0.
+$$
+On s'arrête lorsque le zéro est déterminé avec une précision suffisante, ou que la variation entre deux itérations successives est assez petite. Ce qui revient à choisir un $\varepsilon>0$, tel que
+$$
+|g(x_n)| < \varepsilon,\quad |x_n-x_{n-1}| < \varepsilon.
+$$
+
+Lorsque qu'elle converge la mtéhode de Newton est la plus efficace de toutes celles que nous avons vues. On dit qu'elle est d'ordre $2$.
+En revanche les contraintes pour sa convergence sont plus strictes que pour les méthodes vues précédemment.
+
+---
+
+Remarque (non-convergence ou convergence lente) +.#
+
+Il y a un certain nombre de cas où la méthode de Newton ne converge pas.
+
+1. S'il existe un $n$ tel que $g'(x_n)=0$ alors la suite diverge.
+2. La suite peut entrer dans un cycle.
+3. La dérivée est mal définie proche du zéro (ou sur le zéro).
+4. Elle peut converger très lentement si la dérivée de la fonction est nulle sur le zéro.
+5. A chaque point de départ ne correspond qu'un zéro. Si la fonction possède plusieurs zéros, il n'y a pas moyen de le savoir avec un seul point de départ. Il faut alors en essayer plusieurs.
+
+---
+
+---
+
+Exercice +.#
+
+Déterminer le zéro de la fonction
+$$
+x^2-25=0,
+$$
+à l'aide de la méthode de Newton.
+
+---
+
+### Résumé
+
+A l'aide des méthodes vues ci-dessus, on peut déterminer un zéro d'une fonction (s'il existe).
+Ces méthodes sont également utilisables pour calculer le minimum d'une fonction comme nous l'avons discuté plus haut.
+Il suffit de remplacer $g(x)$ par $f'(x)$ et le tour est joué.
+
+---
+
+Exercice +.#
+
+Écrire l'algorithme de Newton pour le cas de la minimisation d'une fonction $f(x)$ quelconque, mais continuement dérivable 2 fois.
+
+---
+
+## En plusieurs dimensions
+
+Quand notre fonction de coût dépend de plusieurs arguments, on dit que c'est une fonction *multivariée*, $f(\vec x)$, avec $\vec x\in\real^n$.
+
+{#fig:selle width="50%"}
+
+On peut également l'écrire de façon plus explicite (et aussi plus longue) comme
+\begin{equation}
+f(\vec x)=f(x_1, x_2, ..., x_n).
+\end{equation}
+Bien que la fonction de coût prenne en argument plusieurs variables, elle retourne uniquement un réel
+\begin{equation}
+f:\real^n\rightarrow \real.
+\end{equation}
+
+---
+
+Exemple (Régression linéaire) +.#
+
+Dans le cas de la régression linéaire, si la droite ne passe pas par l'origine, nous avons que
+la fonction de coût qui dépend de deux variables, $a$, et $b$ (et plus uniquement de $a$)
+
+\begin{equation}
+f(a,b)=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N \left(a\cdot x_i+b - y_i\right)^2.
+\end{equation}
+
+---
+
+### Les dérivées en plusieurs dimensions
+
+La dérivé d'une fonction à une seule variable peut se représenter comme
+\begin{equation}
+f'(a)=\frac{\dd f}{\dd x}(a)=\lim_{\dd x\rightarrow 0}\frac{f(a+\dd x)-f(a)}{\dd x}.
+\end{equation}
+La notation ici n'est pas tout à fait usuelle. L'idée est de se rappeler que ce $\dd x$ est une toute petite variation
+de $x$, et $\dd f$, une toute petite variation de $f$ en $a$. On voit immédiatement que cette quantité est la pente
+de $f$ en $a$. Lorsque nous étudions une fonction à plusieurs variables, nous pouvons faire le même raisonnement pour chaque variable indépendemment.
+Ainsi, nous calculons sa dérivée dans chacune des directions $x$, $y$, ...
+
+Cette vision de la dérivée comme une variation de $f$, $\dd f$, divisée par une petite variation de $x$, $\dd x$, permet
+d'avoir une interprétation sur la variation locale de $f(x)$. En effet, la variation de $f(a)$ est donnée par
+$$
+\dd f=f'(a)\dd x,
+$$
+ou encore
+$$
+f(a+\dd x)=f(a)+f'(a)\dd x.
+$$
+
+#### Les dérivées partielles
+
+Pour une fonction à deux variable, $f(x,y)$, dont le domaine de définition est
+\begin{equation}
+f:\real^2\rightarrow \real,
+\end{equation}
+on définit la **dérivée partielle** de $f$ par rapport à $x$ ou à $y$
+\begin{align}
+\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)&=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h},\\
+\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)&=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}.
+\end{align}
+Comme on le voit ici, pour chaque dérivée partielle, on ne fait varier qu'une seule variable, les autres sont considérées comme des constantes.
+
+---
+
+Exemple (Dérivée partielle) +.#
+
+Les dérivée partielles de la fonction
+$$
+f(x,y)=x^2\cdot y+3,
+$$
+sont données par
+\begin{align}
+\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)&=2xy,\\
+\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)&=x^2.
+\end{align}
+
+---
+
+Pour une fonction $f$ dépendant d'un nombre $n$ de variables, la notation est la suivante.
+Soit $f(\vec x)$ avec $\vec x=\{x_i\}_{i=1}^n$, ou $\vec x\in\real^n$, on définit la dérivée
+par rapport à la $i$-ème composante de $\vec x$ comme
+$$
+\frac{\partial f}{\partial x_i}(x_1,x_2,...,x_i,...,x_n)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x_1,x_2,...,x_i+h,...,x_n)-f(x_1,x_2,...,x_i,...,x_n)}{h}.
+$$
+
+---
+
+Remarque +.#
+
+Pour une fonction à une seule variable, $f(x)$, on a que
+$$
+f'(x)=\frac{\dd f}{\dd x}(x)=\frac{\partial f}{\partial x}(x).
+$$
+
+---
+
+De façon similaire à ce qui se passe pour les fonction à une seule variables, nous pouvons définir les dérivées secondes
+pour les façon à une seule variable. Pour une fonction à deux variables, on a en fait quatre dérivées secondes
+\begin{align}
+&\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x,y),\\
+&\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(x,y),\\
+&\frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}(x,y),\\
+&\frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x,y).
+\end{align}
+
+---
+
+Remarque +.#
+
+Si $f$ est dérivable en $x$ et $y$, on a que
+$$
+\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(x,y)=\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}(x,y).
+$$
+
+---
+
+---
+
+Exemple (Dérivées partielles deuxièmes) +.#
+
+Pour la fonction $f(x,y)=x^2-y^2$, on a
+\begin{align}
+\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x,y)=\frac{\partial (2\cdot x)}{\partial x}(x,y)=2,\\
+\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(x,y)=\frac{\partial (-2\cdot y)}{\partial x}(x,y)=0,\\
+\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}(x,y)=\frac{\partial (2\cdot x)}{\partial y}(x,y)=0,\\
+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x,y)=\frac{\partial (-2\cdot y)}{\partial y}(x,y)=-2.
+\end{align}
+
+---
+
+On peut également généraliser pour des fonction à $n$ variables où la deuxième dérivée partielle
+par rapport aux variables $x_i$, $x_j$ s'écrit
+$$
+\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j}(x,y).
+$$
+
+
+#### Le gradient
+
+Pour une fonction à deux variables, $f(x,y)$, on a vu qu'on peut calculer ses dérivées partielles par rapport à $x$ et $y$
+$$
+\frac{\partial f}{\partial x}, \quad \frac{\partial f}{\partial y}.
+$$
+Une construction mathématique possible est d'écrire un vecteur avec ces deux quantités
+$$
+\grad f(x,y)=\vec \nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y), \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\right)^\mathrm{T}.
+$$
+Le symbole *nabla*, $\vec \nabla$, est une notation un peu étrange. Il représente un vecteur contenant toutes les
+dérivées partielles
+$$
+\vec \nabla = \left(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}\right)^\mathrm{T}.
+$$
+Cette notation est très utile pour se souvenir de ce qu'est un gradient, car on peut l'écrire un peu comme le "produit" entre
+l'opérateur $\vec \nabla$ et $f$
+$$
+\vec \nabla f= \left(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}\right)^\mathrm{T}f=\left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right)^\mathrm{T}.
+$$
+On peut généraliser cette notation pour $n$ variables Ã
+$$
+\vec \nabla=\left(\frac{\partial}{\partial x_1}, \frac{\partial}{\partial x_2}, ..., \frac{\partial}{\partial x_n}\right)^\mathrm{T}.
+$$
+et
+$$
+\vec \nabla f=\left(\frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2}, ..., \frac{\partial f}{\partial x_n}\right)^\mathrm{T}.
+$$
+
+---
+
+Exemple (Gradient d'une fonction à deux variables) +.#
+
+Pour la fonction $f(x,y)=x^2-y^2$, le gradient est donné par
+$$
+\vec \nabla f=\left(2x, -2y\right)^\mathrm{T}.
+$$
+
+Graphiquement, ceci est un *champds de vecteur* est peut se représenter comme
+
+{width="50%"}
+
+---
+
+Revenons à nos fonctions à deux variables. Le gradient d'une fonction a une très grande utilité pratique. En effet, il nous donne la variation de $f$
+dans chacun des direction de l'espace. On peut donc (un peu comme on avait fait pour les fonctions à une dimensions)
+se poser la question de la variation de $f$ dans une direction particulière, $\vec v$. Comme nous connaissons le taux de variation
+de $f$ dans chacune des directions, nous pouvons définir la **dérivée directionnelle** de $f$ en un point $(a,b)$, comme
+$$
+(\vec \nabla_{\vec v} f)(a,b)=(\vec \nabla f)(a,b)\cdot \vec v,
+$$
+où $\vec v=(v_1,v_2)^\mathrm{T}$.
+Cette grandeur représente la variation de $f(a,b)$ dans une direction particulière, $\vec v$. Comme pour les fonctions à une variable on peut écrire
+que
+$$
+f(a + v_1, b + v_2)=f(a,b)+\vec v\cdot (\vec \nabla f(a,b)).
+$$
+
+Cette dérivée directionnelle va nous permettre d'interpréter ce que représente le gradient d'une fonction.
+
+En fait, le gradient a une interprétation très intéressante. Ce n'est rien d'autre que la direction de la pente la plus élevée
+sur chaque point de la fonction. C'est la direction, si vous faites de la randonnée en montagne,
+qui vous permettra de monter le long de la pente la plus raide en chaque point.
+
+A l'inverse, imaginez que vous êtes un skieur et que votre montagne est décrite par la fonction $f(\vec x)$. Le vecteur $-\vec \nabla f$
+est la direction dans laquelle vous descendez si vous suivez tout droit la pente la plus raide.
+
+Pour s'en convaincre essayons de prendre le problème à l'envers. On cherche la dérivée directionnelle $\vec \nabla_{\vec v} f$, telle que celle ci-soit maximale,
+pour tous les vecteur $\vec v$ de longueur $1$. En d'autres termes
+$$
+\max_{||\vec v||=1} \vec v\cdot \vec \nabla f.
+$$
+Il faut à présent se rappeler que le produit scalaire de deux vecteurs peut s'écrire
+$$
+\vec a\cdot\vec b=||a||\cdot ||b||\cdot \cos\theta,
+$$
+avec $\theta$ l'angle entre $\vec a$ et $\vec b$. De ceci, on déduit que
+la valeur maximale de $\vec v\cdot \vec \nabla f$ est atteinte quand $\vec v$ est aligné avec
+$\nabla f$, ce qui ne se produit que quand $\vec v$ a la valeur
+$$
+\vec v^\ast=\frac{\nabla f}{||\nabla f||}.
+$$
+La variation maximale est donc atteinte quand on suit le vecteur pointé par
+$\nabla f$. Par ailleurs, la dérivée directionnelle dans la direction
+de $\vec v^\ast$, on a
+\begin{align}
+\vec\nabla_{\vec v^\ast}\cdot (\vec \nabla f)=\frac{\nabla f \cdot f}{||\vec \nabla f||}=||\vec\nabla f||.
+\end{align}
+Le taux de variation maximal est donc la longueur du vecteur $\vec \nabla f$.
+
+---
+
+Remarque (Généralisation) +.#
+
+Tout ce que nous venons d'écrire ici se généralise à un nombre arbitraire de dimensions.
+
+---
+
+#### Le lien avec les problème d'optimisation
+
+Un cas qui nous intéresse particulièrement ici, est lorsque que le gradient d'une fonction est nul
+$$
+\nabla f(x,y)=\vec 0.
+$$
+Cela veut dire que si nous trouvons un tel point $(x,y)$ la variation de la fonction localement (sa "pente") sera nulle.
+Exactement comme pour le cas à une seule variable cela ne suffit pas pour déterminer si nous avons à faire Ã
+un minimum, un maximum, ou un point d'inflexion. Un exemple typique est la fonction
+$$
+f(x,y)=x^2-y^2.
+$$
+Bien que $\nabla f(0,0)=\vec 0$, nous voyons sur la @fig:selle que bien que nous ayons un minimum
+dans la direction $x$, nous avons un maximum dans la direction $y$. On se retrouve dans un cas où nous avons un point-selle.
+
+Pour pouvoir en dire plus il nous faut étudier les deuxièmes dérivées de $f(x,y)$ comme pour
+le cas unidimensionnel.
+
+Prenons un exemple, où (voir @fig:cubic_multi pour voir à quoi elle ressemble)
+$$
+f(x,y)=x^2+4y^3-12y-2.
+$$
+
+{#fig:cubic_multi width="50%"}
+
+Le gradient de $f(x,y)$ est donné par
+\begin{align}
+\frac{\partial f}{\partial x}&=2x,\\
+\frac{\partial f}{\partial y}&=12y^2-12.
+\end{align}
+
+Les coordonnées $(x,y)$ où $\vec \nabla f=\vec 0$ sont données par
+\begin{align}
+2x=0\Leftrightarrow x = 0,\\
+12y^2-12=0\Leftrightarrow y_\pm=\pm 1.
+\end{align}
+
+On a donc deux points $(x,y_{-})=(0,-1)$ et $(x,y_{+})=1$ qui satisfont $\vec\nabla f=0$.
+Essayons de connaître la nature de ces points. Sont-il des maxima, minima, ou des point-selle?
+
+Sur la @fig:cubic_multi, on voit que le point $(0, -1)$ est un point selle, et le point
+$(0,1)$ est un minimum. Nous allons à présent essayer de voir ce que cela veut dire mathématiquement
+sans avoir besoin de regarder le graphe de cette fonction.
+Inspirés par ce que nous savons des points critiques en une dimensions, nous allons étudier
+les deuxièmes dérivées
+\begin{align}
+\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}&=2,\\
+\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}&=0,\\
+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}&=24y.
+\end{align}
+En substituant les valeur $(0, -1)$ et $(0, 1)$ dans les deuxièmes dérivées,
+on obtient
+\begin{align}
+&\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(0,1)=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(0,-1)=2,\\
+&\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(0,1)=\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(0,-1)=0,\\
+&\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(0,1)=24,\quad\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(0,-1)=-24.
+\end{align}
+On voit ici, que pour les deux points $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}>0$, on a donc que
+dans la direction $x$ ces deux points sont des minimas. Mais cela ne suffit pas pour en faire
+des minimas locaux. Il faut également étudier ce qui se passe dans la direction $y$. Dans ce
+cas précis, on a qu'en $(0,1)$ nous avons une valeur positive (c'est donc un minimum) et en
+$(0,-1)$ la valeur est négative (c'est donc un maximum).
+
+Pour récapituler:
+
+- En $(0,1)$ c'est un minimum pour $x$ et un minimum pour $y$. Et donc c'est un minimum local.
+- En $(0,-1)$ c'est un minimum pour $x$ et un maximum pour $y$. Et donc c'est un point-selle.
+
+Globalement, pour avoir un min/max, il faut que les deuxièmes dérivées dans chacune des
+directions donnent la même interprétation pour pouvoir conclure à un minimum/maximum. Sinon
+c'est un point-selle.
+
+
+
+
+### La descente de gradient
+
+Revenons à présent à l'optimisation d'une fonction de coût $f(\vec x)$. Pour simplifier considérons
+la fonction
+$$
+f(x,y)=x^2+y^2.
+$$
+Nous pouvons facilement nous convaincre que cette fonction possède un minimum en $(0,0)$ en la dessinant.
+On peut aussi aisément vérifier que $\nabla f(0,0)=\vec 0$. En effet,
+$$
+\nabla f(x,y)=(2x, 2y),
+$$
+et donc
+$$
+\nabla f(0,0)=(0, 0).
+$$
+Même si cela ne suffit pas à prouver mathématique que $\vec 0$ est le minimum de cette fonction nous nous en satisferons.
+
+---
+
+Question +.#
+
+Avec ce qui précède, voyez-vous une façon de trouver le minimum de la fonction $f(x,y)$?
+
+---
+
+Une méthode pour trouver le minimum de $f(x,y)$ est la méthode de la *descente de gradient*.
\ No newline at end of file
diff --git a/04_edo.md b/04_edo.md
new file mode 100644
index 0000000..e5743c4
--- /dev/null
+++ b/04_edo.md
@@ -0,0 +1,914 @@
+Équations différentielles ordinaires
+====================================
+
+Introduction
+------------
+
+Pour illustrer le concept d’équations différentielles, nous allons
+considérer pour commencer des systèmes qui évoluent dans le temps
+(évolution d’une population, taux d’intérêts, circuits électriques,
+...).
+
+### Mouvement rectiligne uniforme
+
+Imaginons que nous connaissons la fonction décrivant le vitesse d’une
+particule au cours du temps et notons la $v(t)$. Nous savons également
+que la vitesse d’une particule est reliée à l’évolution au cours du temps
+de sa position. Cette dernière peut être notée, $x(t)$. En particulier,
+nous avons que la vitesse n’est rien d’autre que la dérivée de la
+position. On peut donc écrire une équation reliant la vitesse à la
+position $$x'(t)=v(t).$$ Cette équation est appelée *équation
+différentielle*, car elle fait intervenir non seulement les fonctions
+$x(t)$ et $v(t)$, mais également la dérivée de la fonction $x(t)$. Si
+maintenant nous précisons ce que vaut la fonction $v(t)$ nous pourrons
+résoudre cette équation. Comme le nom de la sous-section le laisse
+entendre, nous nous intéressons à un mouvement rectiligne uniforme, qui décrit
+le mouvement d’un objet qui se déplace Ã
+vitesse constante, $$v(t)=v.$$ Nous cherchons ainsi à résoudre
+l’équation différentielle $$x'(t)=v.$$ Ou en d’autres termes, nous
+cherchons la fonction dont la dérivée donne une constante[^3]. Vous savez sans
+doute que l’ensemble de fonctions satisfaisant la contrainte précédente
+est $$x(t)=v\cdot t+B,$$ où $B$ est une constante arbitraire. Cette solution
+générale n’est pas
+unique, car nous obtenons une infinité de solutions (comme quand nous avons
+calculé la primitive d’une fonction au chapitre précédent). Afin de
+trouver une solution unique, nous devons imposer une condition, typiquement une “condition initialeâ€
+à notre équation différentielle. En effet, si nous imposons la condition
+initiale $$x(t_0)=x_0,$$ il vient
+$$x(t_0)=x_0=v\cdot t_0+B \Leftrightarrow B=x_0-v\cdot t_0.$$
+Finalement, la solution du problème différentiel est donnée par
+$$x(t)=v\cdot (t-t_0)+x_0.$$
+
+Remarque +.#
+
+La solution de l’équation différentielle $$x'(t)=v,\ x(t_0)=x_0,$$
+revient à calculer $$\begin{aligned}
+ \int x'(t){\mathrm{d}}t=\int v {\mathrm{d}}t,\\
+ x(t)=v\cdot t + B.\end{aligned}$$
+
+### Mouvement rectiligne uniformément accéléré
+
+Dans le cas du mouvement rectiligne d’un objet dont on le connaît que
+l’accélération, $a(t)$, on peut également écrire une équation
+différentielle qui décrirait l’évolution de la position de l’objet en
+fonction du temps. En effet, l’accélération d’un objet est la deuxième
+dérivée de la position, soit $$x''(t)=a(t),$$ ou encore la première
+dérivée de la vitesse. $$\begin{aligned}
+v'(t)&=a(t),\\
+x'(t)&=v(t).\end{aligned}$$
+
+Par simplicité supposons que l’accélération est constante, $a(t)=a$, donc que le mouvement est uniformément accéléré.
+On
+doit résoudre[^4] $$x''(t)=a,$$ ou $$\begin{aligned}
+v'(t)&=a,\\
+x'(t)&=v(t).\end{aligned}$${#eq:xpv} Pour résoudre ce système
+d’équations nous résolvons la première équation
+pour $v(t)$ pour trouver $$v(t)=a\cdot t+C.$$ En substituant ce résultat dans
+l’@eq:xpv, on a $$x'(t)=a\cdot t+C.$$ On peut ainsi
+directement intégrer des deux côtés comme vu dans la sous-section
+précédente $$\begin{aligned}
+ \int x'(t){\mathrm{d}}t&=\int (a\cdot t+C){\mathrm{d}}t,\nonumber\\
+ x(t)&=\frac{a}{2}\cdot t^2+C\cdot t + D.\end{aligned}$$ On voit que
+la position d’un objet en mouvement rectiligne uniformément accéléré est
+donné par une parabole. Cette équation a néanmoins encore deux
+constantes indéterminées. Pour les déterminer, on doit imposer deux
+conditions initiales. Une possibilité est d’imposer une condition
+initiale par équation $$v(t_0)=v_0,\mbox{ et } x(t_0)=x_0.$$ On obtient
+$$v(t_0)=v_0=a\cdot t_0+C \Leftrightarrow C=v_0-a\cdot t_0,$$ et
+$$x(t_0)=x_0=\frac{a}{2}\cdot t_0^2+D \Leftrightarrow D=x_0-\frac{a}{2}\cdot t_0^2.$$
+Finalement la solution est donnée par
+$$x(t)=\frac{a}{2}\cdot (t^2-t_0^2)+v_0\cdot (t-t_0)+x_0.$$
+
+Remarque +.#
+
+La solution du problème différentiel peut également se calculer de
+la façon suivante $$x''(t)=a,\ x(t_0)=x_0,\ v(t_0)=v_0.$$ revient Ã
+calculer $$\begin{aligned}
+ \int \int x''=\int \int a,\\
+ x(t)=\frac{a}{2}t^2+C\cdot t + D.\end{aligned}$$
+
+### Évolution d’une population
+
+Imaginons une colonie de bactéries dont nous connaissons le taux de
+reproduction $r$. Nous connaissons le nombre de ces bactéries au temps
+$t$, qui est donné par $n(t)$. Nous souhaitons connaître la population
+au temps $t+\delta t$. On a donc
+$$n(t+\delta t)=n(t)+(r\delta t)\cdot n(t)=n(t)(1+r\delta t).$${#eq:evolpop}
+Imaginons que le taux de reproduction $r=1/3600 s^{-1}$, que la
+population à un temps donné $t_0$ est de $n(t_0)=1000$, et qu’on veuille
+connaître la population après $\delta t=1h=3600s$. Il vient alors
+$$n(t_0+3600)=(1+1/3600 \cdot 3600)\cdot n(t_0)=2\cdot1000=2000.$$
+Imaginons maintenant que nous voulions calculer la population après
+$\delta t=2h=7200s$. Nous avons deux façons de faire. Soit nous
+utilisons le résultat précédent $n(t_1)=2000$ avec $t_1=t_0+3600$ et
+évaluons la population après une heure supplémentaire
+($\delta t_1=3600s$)
+$$n(t_1+3600)=(1+1/3600 \cdot 3600)\cdot n(t_1)=2\cdot 2000=4000.$${#eq:comp}
+Soit nous reprenons l’équation de départ (voir l'@eq:evolpop) et nous
+obtenons
+$$n(t_0+7200)=(1+1/3600 \cdot 7200)\cdot n(t_0)=3\cdot 1000=3000.$$ On
+voit que ces deux résultats ne sont pas égaux. Effectuer deux itérations
+de notre algorithme discret avec un pas d’itération de $\delta t$, ne
+correspond pas à effectuer une seule itération avec un pas deux fois
+plus grand ($2\delta t$). Néanmoins cela devrait être le cas pour
+$\delta t\rightarrow 0$.
+
+Pour nous en convaincre faisons l’exercice suivant. Reprenons l’@eq:comp que vous pouvons réécrire comme
+$$n(t_0+2\delta t)=n(t_1+\delta t)=(1+r\delta t) n(t_1)=(1+r \delta t)(1+r \delta t) n(t_0)=(1+r\delta t)^2 n(t_0).$$
+Si à présent nous comparons les résultats obtenus pour
+$\delta t_1=2\delta t$ dans l’@eq:evolpop on a
+$$\begin{aligned}
+ n_1&=(1+r\delta t)^2 n(t_0)=(1+2r\delta t+(r\delta t)^2) n(t_0),\\
+ n_2&=(1+2r\delta t) n(t_0).\end{aligned}$$ On trouve donc finalement
+que $n_2-n_1=(r\delta t)^2n(t_0)$. On a donc que la différence tend bien
+vers 0 quand $\delta t$ tend vers 0.
+
+Afin de voir plus en détail ce qu’il se passe lorsque
+$\delta t\rightarrow 0$, reprenons l’équation de départ
+(l'@eq:evolpop), divisons la par $\delta t$ et arrangeons les
+termes. Il vient $$\frac{n(t+\delta t)-n(t)}{\delta t}=r\cdot n(t).$$ En
+prenant la limite $\delta t\rightarrow 0$ on voit apparaître la dérivée
+dans le membre de gauche de l’équation ci-dessus
+$$\lim\limits_{\delta t\rightarrow 0} \frac{n(t+\delta t)-n(t)}{\delta t}=n'(t)=r\cdot n(t).$${#eq:cont}
+On voit qu’on a construit ici une équation différentielle à partir d’un
+système discret.
+
+Nous pouvons à présent résoudre l’équation différentielle ci-dessus en
+se souvenant que la fonction dont la dérivée est proportionnelle à la
+fonction de départ est l’exponentielle. Il vient
+$$n(t)=C\exp(r t),$${#eq:sol_pop} où $C$ est une constante. Il est
+en effet élémentaire de montrer que cette solution satisfait l’@eq:cont. On voit également qu’il nous manque une condition pour
+avoir l’unicité de la solution ci-dessus (on ne connaît toujours pas
+$C$). La constante peut-être obtenue à l’aide d’une condition initiale
+(correspondant au $n(t_0)$ de tout à l’heure). Si $n(t_0)=n_0$, nous trouvons
+pour $C$ $$n(t_0)=C\exp(r t_0)=n_0 \Leftrightarrow C=n_0\exp(-r t_0).$$
+substituant cette relation dans l'@eq:sol_pop, on
+obtient $$n(t)=n_0\exp(r (t-t_0)).$$
+
+### Autres illustrations de l’utilisation des équations différentielles
+
+La plupart des systèmes naturels (ou moins naturels) peuvent être
+décrits à l’aide d’équations différentielles. Nous allons en écrire
+quelques exemples ci-dessous.
+
+#### Systèmes proies-prédateurs
+
+Considérons un système où nous avons des prédateurs (des guépards) et
+des proies (des antilopes)[^5]. Supposons que les antilopes se
+reproduisent exponentiellement vite et que leur seul moyen de mourir est
+de se faire manger par les guépards et que la chance de se faire manger
+est proportionnelle au nombre de guépards. Les guépards meurent
+exponentiellement vite de faim et se reproduisent proportionnellement au
+nombre d’antilopes se trouvant dans le système.
+
+Avec ces hypothèses, on peut écrire le système d’équations suivant ($a$
+est le nombre d’antilopes, et $g$ le nombre de guépards)
+$$\begin{aligned}
+\frac{{\mathrm{d}}a}{{\mathrm{d}}t}&= \underbrace{k_a a(t)}_{(1)}-\underbrace{k_{g,a}g(t) a(t)}_{(2)},\\
+\frac{{\mathrm{d}}g}{{\mathrm{d}}t}&= -\underbrace{k_g g(t)}_{(3)} +\underbrace{k_{a,g} a(t)g(t)}_{(4)}\end{aligned}$$
+Le terme $(1)$ représente la reproduction des antilopes avec taux $k_a$.
+Le terme $(2)$ représente la mort des antilopes qui se font manger par
+les guépards avec un taux $k_{g,a}$ (la chance qu’un guépard rencontre
+une antilope). Le terme $(3)$ est la mort des guépards avec un taux
+$k_g$. Finalement le terme $(4)$ est la reproduction des guépards
+proportionnelle au nombre d’antilopes avec un taux $k_{a,g}$.
+
+Nous avons à faire ici à un système d’équations différentielles. Nous
+n’allons pas nous intéresser aux détails de larésolution de ce système mais
+simplement étudier le comportement de la solution (voir la @fig:lkA et @fig:lkB).
+
+<div id="fig:lk">
+{#fig:lkA width="50%"}
+{#fig:lkB width=50%}
+
+Deux représentation du système de Lotka--Volterra.
+</div>
+
+#### Circuits électriques: le circuit RC
+
+Supposons que nous ayons le circuit RC de la Fig. @fig:rc, où nous
+avons une résistance (de résistance $R$) branchée en série avec une
+capacité (de capacité électrique $C$). Sur ce circuit nous avons une
+source qui délivre une tension $U$. Nous avons également un interrupteur
+qui quand il est en position $(a)$ relie le circuit RC Ã la source, ce
+qui a pour effet de chargé la capacité. En position $(b)$ la capacité se
+décharge et son énergie est dissipée dans la résistance.
+
+{#fig:rc width="50.00000%"}
+
+Nous souhaitons étudier la variation de la chute de tension dans la
+capacité $U_c$ lorsque:
+
+1. nous mettons l’interrupteur en position $(a)$.
+
+2. puis lorsque la capacité est chargée, nous mettons l’interrupteur en
+ position $(b)$.
+
+Les chutes de tension dans la capacité et la résistance sont
+respectivement données par $$U_C=Q/C,\quad U_R=R I,$$ où $Q$ est la
+charge de la capacité et $I$ le courant traversant la résistance. Nous
+avons par la loi de Kirchoff que $$U=U_C+U_R.$${#eq:tot_tension} De
+plus le courant traversant la résistance est donné par $$I(t)=Q'(t).$$
+En combinant ces équations, nous obtenons
+$$U_C'(t)+\frac{U_C(t)}{RC}=\frac{U}{RC}.$$ Nous avons également la
+condition initiale $U_C(0)=0$ (la tension au moment de la mise de
+l’interrupteur en position $(a)$ est nulle).
+
+Lors de la mise de l’interrupteur en position $(b)$ nous avons
+simplement que l'@eq:tot_tension devient
+$$0=U_C+U_R.$${#eq:tot_tension_0} On a donc que l’équation
+différentielle pour l’évolution de la chute de tension dans la capacité
+devient $$U_C'(t)+\frac{U_C(t)}{RC}=0.$$ Et la condition initiale
+devient $U_C(0)=U$.
+
+Pour cette dernière équation nous avons déjà calculé une solution très
+similaire et on a $$U_C(t)=U\exp(-t/(RC)).$$ La tension dans la capacité
+va décroître exponentiellement vite. Pour le cas de l’interrupteur en
+position $(a)$ la solution est $$U_C(t)=U(1-\exp(-t/(RC))).$$ La tension
+augmente exponentiellement au début, puis au fur et à mesure que la
+capacité se charge il devient de plus en plus difficile de la charger.
+L’augmentation de la tension se fait donc de plus en plus lentement
+jusqu’à devenir une asymptote horizontale en $U$.
+
+#### Taux d’intérêts composés
+
+Nous voulons étudier l’augmentation d’un capital $c(t)$ au cours du
+temps qui est soumis à un taux d’intérêt annuel $r$ qui est composé
+après chaque intervalle $\delta t$. On peut également inclure des
+dépôts/retraits $d$ sur l’intervalle $\delta t$. La valeur du capital
+après un intervalle $\delta t$ est de
+$$c(t+\delta t)=c(t)+(r\delta t )c(t)+d\delta t.$${#eq:cap_discr}
+Supposons qu’on a un capital de départ $1000 \mathrm{CHF}$, un taux
+d’intérêts annuel de $1\%$ et un dépôt annuel de $100\mathrm{CHF}$.
+Après deux mois ($\delta t=2/12=1/6$) le capital devient
+$$c(1/6)=1000+0.01/6\cdot 1000 +100/6=1018.3\mathrm{CHF}.$$ Si
+maintenant, nous voulons avoir la valeur du capital à n’importe quel
+moment dans le temps, nous allons prendre $\delta t\rightarrow 0$. En
+divisant l'@eq:cap_discr par $\delta t$, et en
+réarrangeant les termes, on obtient $$c'(t)=rc(t)+d.$$ En supposant que
+$c(t=0)=c_0$ (le capital initial), cette équation différentielle a pour
+solution $$c(t)=\frac{d}{r}(e^{rt}-1)+c_0e^{r t}.$$ Cette solution a
+pour les paramètres précédents la forme suivante sur une période de 100
+ans.
+
+{#fig:interets width="50.00000%"}
+
+Définitions et théorèmes principaux
+-----------------------------------
+
+Définition (Équation différentielle ordinaire) +.#
+
+Soit $y$ une fonction dérivable $n$ fois et dépendant d’une seule
+variable. Une **équation différentielle ordinaire** est un équation de
+la forme $$F(x,y,y',y'',...,y^{(n)})=0,$$ où $F$ est une fonction, et
+$y'$, $y''$, ..., $y^{(n)}$ sont les dérivées première, deuxième, ...,
+$n$-ème de $y$.
+
+---
+
+Illustation +.#
+
+L’équation suivante est une équation différentielle ordinaire
+$$y''+4y'+8y+3x^2+9=0.$$
+
+---
+
+Afin de résoudre cette équation, nous cherchons une solution de la forme
+$y=f(x)$. On dit également que nous cherchons à intégrer l’équation
+différentielle.
+
+Afin de classifier les équation différentielles, considérons les
+définitions suivantes
+
+Définition (Ordre) +.#
+
+L’ordre d’une équation différentielle est l’ordre le plus haut des
+dérivées de $y$ qui y apparaissent. L’ordre de l’équation différentielle
+$F(x,y,y',y'',...,y^{(n)})=0$ est de $n$, si $n\neq 0$.
+
+Illustration +.#
+
+L’équation différentielle suivante est d’ordre $3$
+$$4y'''+x\cdot y'+4y+6x=0.$$
+
+Définition (Condition initiale) +.#
+
+Une condition initiale pour une équation différentielle d’ordre $n$, est
+un ensemble de valeurs, $y_0$, $y_1$, ..., $y_{n-1}$ donnée telles que
+pour une valeur $x_0$ donnée on a
+$$y(x_0)=y_0,\ y'(x_0)=y_1,\ ...,\ y^{(n-1)}(x_0)=y_{n-1}.$$
+
+Nous souhaitons maintenant savoir sous quelles conditions une équation
+différentielle admet une solution et si elle est unique. Nous n’allons
+pas vraiment écrire ni démontrer le théorème d’existence et d’unicité
+des équations différentielles ordinaires, mais simplement en donner une
+version approximative et la discuter
+
+---
+
+Théorème (Existence et unicité) +.#
+
+Soit $D\subseteq{\real}$ le domaine de définition de la fonction
+$y$. Soit $y:D\rightarrow E\subseteq {\real}$ une fonction à valeur
+réelle continue et dérivable sur $D$, et
+$f:D\times E\rightarrow F\subseteq{\real}$ une fonction à deux variables continue
+sur $D\times E$. Alors, le système suivant (également appelé problème de
+Cauchy) $$\begin{aligned}
+ &y'=f(y,x),\\
+ &y(x=x_0)=y_0,
+ \end{aligned}$$ admet une unique solution $y(x)$.
+
+---
+
+Ce théorème peut être étendu à une équation d’un ordre arbitraire, $n$,
+possédant $n-1$ conditions initiales. En effet, n’importe quel équation
+différentielle d’un ordre $n$ peut être réécrite sous la forme de $n$
+équations différentielles d’ordre $1$. Pour illustrer cette propriété
+considérons l’équation différentielle suivante $$y''+3y'+y+3x=0.$$ Si
+nous définissons $z=y'$, nous avons le système suivant à résoudre
+$$\begin{aligned}
+ y'=z,\\
+ z'+3y'+y+3x=0.\end{aligned}$$ Nous voyons que ce système est d’ordre 1,
+mais que nous avons augmenté le nombre d’équations à résoudre.
+
+Cette propriété peut se généraliser de la façon suivante. Soit une
+équation différentielle d’ordre $n$ $$F(x,y,y',...,y^{(n)})=0.$$ Nous
+pouvons définir $z_i=y^{(i-1)}$ et on aura donc que $z_{i+1}=z_i'$. On
+peut ainsi réécrire l’équation différentielle d’ordre $n$ comme étant
+$$\begin{aligned}
+ &z_{i+1}=z_i',\ i=1,...,n-1\\
+ F(x,y,y',..,y^{(n)})=0 \Rightarrow &G(x,z_1,z_2,...,z_n)=0.\end{aligned}$$
+
+Jusqu’ici $F$ peut être totalement arbitraire. Essayons de classifier un
+peu les équations différentielles en fonction des propriétés de $F$.
+
+---
+
+Définition (Linéarité) +.#
+
+Une équation différentielle ordinaire d’ordre $n$ est dite linéaire si
+on peut l’écrire sous la forme
+$$a_0(x)\cdot y(x)+a_1(x)\cdot y'(x)+...+a_n(x)\cdot y^{(n)}(x)=b(x).$$
+Si les coefficients $a_i$ ne dépendent pas de $x$, alors l’équation est
+dite à **coefficients constants**.
+
+---
+
+L’équation ci-dessus a les propriétés suivantes
+
+1. Les $a_i$ ne dépendent que de $x$ (ils ne peuvent pas dépendre de
+ $y$).
+
+2. Les $y$ et toutes leur dérivées ont un degré polynomial de 1.
+
+Illustration +.#
+
+L’équation suivante est linéaire $$y''+4x\cdot y'=e^x.$$
+L’équation
+suivante n’est pas linéaire $$y\cdot y''+4x\cdot y'=e^x.$$
+
+Définition (Homogénéité) +.#
+
+Une équation différentielle ordinaire est dite homogène si le terme
+dépendant uniquement de $x$ est nul. Dans le cas où nous avons à faire Ã
+une équation différentielle linéaire, cela revient à dire que $b(x)=0$.
+
+Illustration (Homogénéité) +.#
+
+Les équations suivantes sont homogènes $$\begin{aligned}
+ &y''+4x\cdot y\cdot y'+3x^2\cdot y^3=0,\\
+ &2y'''+5x^2\cdot y'=0.
+ \end{aligned}$$ Les équations suivantes ne le sont pas
+$$\begin{aligned}
+ &y''+4x\cdot y\cdot y'+3x^2\cdot y^3=4x+2,\\
+ &2y'''+5x^2\cdot y'=1.
+ \end{aligned}$$
+
+---
+
+Exercice (Homogénéité) +.#
+
+Pour chacune de ces équations différentielles ordinaires
+donner tous les qualificatifs possibles. Si l’équation est inhomogène
+donner l’équation homogène associée. $$\begin{aligned}
+ &y^{(4)}+4x^2 y=0,\\
+ &y'+4x^2 y^2=3x+2,\\
+ &\frac{1}{y+1}y''+4x^2 y^2=0,\\
+ &y'=y,\\
+ &4y''+4x y=1.
+ \end{aligned}$$
+
+---
+
+La solution des équations différencielles inhomogènes se
+trouve de la façon suivante.
+
+1. Trouver la solution générale de l’équation différentielle homogène associée,
+ notons-la $y_h(x)$.
+
+2. Trouver une solution particulière à l’équation inhomogène, notons-la
+ $y_0(x)$.
+
+La solution sera donnée par la somme de ces deux solutions
+$$y=y_h+y_0.$$
+
+Techniques de résolution d’équations différentielles ordinaires d’ordre 1
+-------------------------------------------------------------------------
+
+Ici nous considérerons uniquement les équations différentielles
+ordinaires d’ordre 1. Pour certains types d’équations différentielles,
+il existe des techniques standard pour les résoudre. Nous allons en voir
+un certain nombre.
+
+### Équations à variables séparables
+
+---
+
+Définition (Équations à variable séparables) +.#
+
+On dit qu’une équation différentielle d’ordre 1 est à variables
+séparables, si elle peut s’écrire sous la forme suivante
+$$y' a(y)=b(x).$$
+
+---
+
+---
+
+Illustration +.#
+
+L’équation suivante est à variables séparables
+$$e^{x^2+y^2(x)}y'(x)=1.$$
+
+---
+
+Pour ce genre d’équations, la solution se trouve de la façon suivante.
+Nous commençons par écrire la dérivée, $y'={\mathrm{d}}y/{\mathrm{d}}x$
+et on obtient $$\begin{aligned}
+ \frac{{\mathrm{d}}y}{{\mathrm{d}}x} a(y)=b(x),\\
+ a(y){\mathrm{d}}y=b(x){\mathrm{d}}x.\end{aligned}$$ On peut maintenant
+simplement intégrer des deux côtés et on obtient
+$$\int a(y){\mathrm{d}}y=\int b(x){\mathrm{d}}x.$$ Si nous parvenons Ã
+résoudre les intégrales nous obtenons une solution pour $y(x)$ (cette
+solution n’est peut-être pas explicite). Il existe le cas simple où
+$a(y)=1$ et il vient $$y=\int b(x){\mathrm{d}}x.$$
+
+---
+
+Exemple +.#
+
+Résoudre l’équation différentielle suivante $$n'(t)=r\cdot n(t).$$
+
+Solution +.#
+
+En
+écrivant $n'={\mathrm{d}}n /{\mathrm{d}}t$, on réécrit l’équation
+différentielle sous la forme
+$$\frac{1}{n} {\mathrm{d}}n=r{\mathrm{d}}t,$$ qu’on intègre
+$$\begin{aligned}
+\int \frac{1}{n} {\mathrm{d}}n&=\int r{\mathrm{d}}t,\nonumber\\
+\ln(n)&=r\cdot t+C,\nonumber\\
+n(t)&=e^{r\cdot t+C}=A\cdot e^{r\cdot t},\end{aligned}$$ où $A=e^C$.
+
+---
+
+---
+
+Exercice +.#
+
+1. Résoudre l’équation différentielle suivante $$c'(t)=rc(t)+d.$$
+
+2. Résoudre l’équation différentielle suivante
+ $$x\cdot y(x) \cdot y'(x)=1.$$
+
+---
+
+### Équations linéaires {#sec:eq_lin}
+
+Pour une équation du type $$y'(x)=a(x)\cdot y(x)+b(x),$${#eq:lin}
+on doit résoudre le problème en deux parties.
+
+supposons que nous connaissons une
+solution “particulière†à cette équation. Notons la $y_p$. Si nous
+faisons maintenant le changement de variables $y=y_h+y_p$ et remplaçons
+ce changement de variables dans l’équation ci-dessus nous obtenons
+$$y_p'(x)+y_h'(x)=a(x)\cdot y_p(x)+a(x)\cdot y_h(x)+b(x).$${#eq:lin_hp}
+Comme $y_p$ est solution de l'@eq:lin on a
+$$y_p'(x)=a(x)\cdot y_p(x)+b(x).$$ En remplaçant cette relation dans
+l'@eq:lin_hp il vient $$y_h'(x)=a(x)\cdot y_h(x).$$
+Cette équation différentielle n’est rien d’autre que l’équation homogène
+correspondant à @eq:lin.
+
+Nous voyons qu’une équation inhomogène se résout en trouvant la
+solution générale à l’équation homogène correspondante et en y ajoutant
+une solution particulière.
+
+Revenons donc à la résolution de l’équation différentielle linéaire
+d’ordre un. La première partie de la résolution consiste à résoudre
+l’équation homogène associée à l'@eq:lin
+$$y'(x)=a(x)\cdot y(x).$$ Cette équation se résout par séparation des
+variables. La solution est donc $$y_h(x)=Ce^{\int a(x){\mathrm{d}}x}.$$
+Puis nous devons chercher une solution dite particulière de l’équation
+inhomogène. Pour ce faire nous utilisons la méthode de la variation de
+la constante. Il s’agit de trouver une solution particulière qui aura la
+même forme que la solution de l’équation homogène, où $C$ dépendra de
+$x$ (d'où le nom de méthode de variation de la constante)
+$$y_p(x)=C(x)e^{\int a(x){\mathrm{d}}x}.$$ En remplaçant cette équation
+dans l'@eq:lin, on obtient $$\begin{aligned}
+ C'(x)e^{\int a(x){\mathrm{d}}x}+C(x)\cdot a(x)e^{\int a(x){\mathrm{d}}x}&=a(x)\cdot C(x) e^{\int a(x){\mathrm{d}}x}+b(x),\nonumber\\
+ C'(x)&=\frac{b(x)}{e^{\int a(x){\mathrm{d}}x}}.
+ \end{aligned}$$ Il nous reste donc à résoudre cette équation
+différentielle pour $C(x)$ qui est une équation à variables séparables où
+on aurait un $a(c)=1$. On intègre donc directement cette équation
+pour obtienir
+$$C(x)=\int \frac{b(x)}{e^{\int a(x){\mathrm{d}}x}}{\mathrm{d}}x.$$
+Finalement, on a que la solution de l’équation générale de l’équation
+inhomogène est
+$$y=y_p+y_h=\left(\int \frac{b(x)}{e^{\int a(x){\mathrm{d}}x}}{\mathrm{d}}x+C\right)e^{\int a(x){\mathrm{d}}x}.$$
+
+Exemple +.#
+
+Résoudre l’équation suivante
+$$U_C'(t)+\frac{U_C(t)}{RC}=\frac{U}{RC}.$${#eq:rc_inhom}
+
+Solution +.#
+
+On
+commence par résoudre l’équation homogène
+$${U_C}_h'(t)+\frac{{U_C}_h(t)}{RC}=0.$$ D’où on obtient
+$${U_C}_h=A\cdot e^{-\frac{1}{RC} t}.$$ Puis par variations des
+constantes, on essaie de déterminer la solution particulière de la forme
+$${U_C}_p=B(t)\cdot e^{-\frac{1}{RC} t}.$$ En remplaçant cette forme de
+solution dans l'@eq:rc_inhom, on obtient
+$$B'(t)=\frac{U}{RC}\cdot e^{\frac{1}{RC} t}.$$ Qui donne par
+intégration $$B(t)=U e^{\frac{1}{RC} t}+D.$$ Finalement, il vient que
+$$U_c(t)=\left(U e^{\frac{1}{RC} t}+D+A\right)e^{-\frac{1}{RC}t}=U+(D+A)e^{-\frac{1}{RC}t}=U+Ce^{-\frac{1}{RC}t},$$
+où $C=D+A$. Pour le cas de la charge du condensateur, on a de plus
+$U_c(0)=0$. On peut donc fixer la constante $C=-U$.
+
+Résoudre les équations différentielles suivantes
+
+Exercice +.#
+
+1. $$y'+2y=t^2$$
+
+2. $$y'+y=\frac{1}{1+e^t}.$$
+
+### Équations de Bernouilli
+
+Il existe des équations particulières qui peuvent se ramener à des
+équations linéaires via des changements de variables.
+
+Une classe particulière sont les équations de Bernouilli, qui s’écrit
+$$y'(x)+a(x)\cdot y(x)+b(x)\cdot y^n(x)=0,$${#eq:bernouilli} où
+$r\in{\real}$.
+
+Cette équation peut être réécrite sous la forme
+$$\frac{y'(x)}{y^n(x)}+\frac{a(x)}{y^{n-1}(x)}+b(x)=0.$${#eq:bernouilli_2}
+
+Dans ce cas là , en effectuant le changement de variable suivant
+$$z=y^{1-n},$$ on obtient (exercice)
+$$z'(x)+(1-n)a(x)\cdot z(x)+(1-n)b(x)=0.$$ On a donc ramené l’équation
+de Bernouilli à une équation linéaire que nous savons résoudre à l’aide
+de la méthode de la section @sec:eq_lin.
+
+---
+
+Exemple +.#
+
+Résoudre l’équation de Bernouilli suivante $$y'-y-x\cdot y^6=0.$$
+
+Solution +.#
+
+Avec
+la substitution $z=y^5$, on obtient $$z'-5z+5x=0.$$ Cette équation se
+résout en trouvant d’abord la solution de l’équation
+homogène $$z_h'-5z_h=0,$$ qui est donnée par $$z_h=Ae^{5x}.$$ En
+remarquant qu’une solution particulière à $z_p'-5z_p+5x=0$, peut être de
+la forme $z_p=x+B$ (avec $B$ une constante) on obtient $$\begin{aligned}
+ 1-5(x+B)+5x=0,\nonumber\\
+ 1-5B=0\Rightarrow B=\frac{1}{5}.\end{aligned}$$ Et finalement
+$$z=z_h+z_p=Ae^{5x}+x+\frac{1}{5}.$$ Il nous reste à présent à calculer
+$y=z^{1/5}$ et on a $$y=\left(Ae^{5x}+x+\frac{1}{5}\right)^{1/5}.$$
+
+---
+
+### Équation de Riccati
+
+L’équation de Riccati qui est de la forme
+$$y'(x)+a(x)+b(x)\cdot y(x)+c(x)\cdot y^2(x)=0,$${#eq:riccati} et
+est donc quadratique en $y$. On notera que c’est une équation de
+Bernouilli (avec $n=2$ et qui est inhomogène).
+
+Cette équation a une propriété intéressante. Si nous connaissons une
+solution particulière à l’équation inhomogène, notons la $y_p$, alors la
+solution générale peut être trouvée de la façon suivante.
+
+Faisons le changement de variable suivant $y=y_h+y_p$. L’équation
+ce-dessus devient donc
+$$y_p'+y_h'+a(x)+b(x)\cdot y_p+b(x)\cdot y_h+c(x)\cdot (y_p^2+2y_p(x)y_h(x)+y_h^2)=0.$$
+En utilisant que $y_p$ est solution de l’équation de Riccati, on a
+$$y_h'+a(x)+(b(x)+2y_p(x)c(x))\cdot y_h+c(x)\cdot y_h^2=0.$$ Cette
+équation est une équation de Bernouilli avec $n=2$. On sait donc comment
+la résoudre.
+
+--
+
+Exercice +.#
+
+Résoudre l’équation de Riccati suivante $$y'+y^2-\frac{2}{x^2}=0.$$
+Indication: la solution particulière a la forme $y=\frac{a}{x}$, avec
+$a$ une constante.
+
+--
+
+De plus, ce genre d’équation peut-être transformée via un changement de
+variables en une équation linéaire d’ordre deux. Si $c(x)$ est
+dérivable, alors on peut faire le changement de variables suivant
+$$v=y\cdot c(x),$$ et on a donc que $$v'=y' c+y c'.$$ En insérant ces
+relations dans l'@eq:riccati, il vient
+$$v'(x)+d(x)+e(x)\cdot v(x)+v^2(x)=0,$${#eq:riccati_2} où nous
+avons nommé $d(x)=a(x)\cdot c(x)$ et $e(x)=\frac{c'(x)}{c(x)}+b(x)$. Si
+à présent nous faisons un autre changement de variables
+$$v(x)=-\frac{z'(x)}{z(x)},$$ on obtient que l’équation ci-dessus peut
+se réécrire comme
+$$z''(x)+e(x)\cdot z'(x)+d(x)\cdot z(x)=0.$${#eq:riccati_3}
+L’équation de Riccati (une équation d’ordre un non-linéaire et
+inhomogène) est ainsi transformée en une équation linéaire d’ordre deux.
+
+Equations différentielles ordinaires d’ordre deux
+-------------------------------------------------
+
+Dans cette section, nous allons étudier des cas particuliers d’équations
+différentielles que nous savons intégrer. Cela sera toujours des
+équations linéaires.
+
+De façon générale ces équations s’écrivent
+$$a(x)y''(x)+b(x)y'(x)+c(x)y(x)=d(x),$$ où
+$a,b,c,d:{\real}\rightarrow{\real}$ sont des fonctions
+réelles. Avant de résoudre l’équation générale, nous allons considérer
+des plus simples.
+
+### EDO d’ordre deux homogène à coefficients constants
+
+Ce genre d’équations s’écrit sous la forme
+$$a y''(x)+by'(x)+cy(x)=0.$${#eq:edo2_cch} Voyons maintenant
+comment résoudre cette équation.
+
+Ces équations ont des propriétés intéressantes dûes à la linéarité de
+l’équation différentielle.
+
+---
+
+Propriétés +.#
+
+Ces propriétés (qui caractérisent le mot "linéaires") sont à démontrer en exercice.
+
+1. Soit $f(x)$ une solution de l'@eq:edo2_cch, alors
+ pour $C\in{\real}$ $Cf(x)$ est également
+ solution de @eq:edo2_cch.
+
+2. Soient $f(x)$ et $g(x)$ deux solutions de l’équation
+ @eq:edo2_cch, alors $h(x)=f(x)+g(x)$
+ est également solution de @eq:edo2_cch.
+
+3. De ces deux propriétés, on déduit la propriété suivante. Soient
+ $f(x)$ et $g(x)$ deux solutions de l'@eq:edo2_cch,
+ et $C_1,C_2\in{\real}$, $h(x)=C_1f(x)+C_2g(x)$
+ est aussi solution de l'@eq:edo2_cch.
+
+---
+
+Afin de simplifier la discussion prenons une EDO d’ordre deux Ã
+coefficients constants particulière $$y''+3y'+2y=0.$${#eq:edo2_ex}
+On va supposer que cette équation a pour solution une fonction de la
+forme $y(x)=e^{\lambda x}$. Substituons cette forme de solution dans
+l’équation de départ, on obtient $$\begin{aligned}
+ \lambda^2 e^{\lambda x}+3\lambda e^{\lambda x}+2\lambda^2 e^{\lambda x}=0,\nonumber\\
+ \lambda^2+3\lambda +2=0,\end{aligned}$$s où on a utilisé que
+$e^{\lambda x}$ ne peut jamais s’annuler pour le simplifier entre les
+deux lignes. La seconde ligne ci-dessus, s’appelle le polynôme
+caractéristique de notre EDO d’ordre 2.
+
+Il nous reste à présent à déterminer $\lambda$ ce qui est un simple
+problème d’algèbre. Le polynome ci-dessus se factorise simplement en
+$$(\lambda+1)(\lambda+2)=0,$$ on a donc pour solution $\lambda=-1$, et
+$\lambda=-2$.
+
+On a donc immédiatement deux solutions à notre équation différentielle
+$$y_1(x)=e^{-x},\quad y_2(x)=e^{-2x}.$$ On vérifie aisément que ces deux
+équations vérifient l'@eq:edo2_ex. Précédemment, nous
+avons vu que la linéarité de ces équations différentielles, faisait
+qu’on pouvait contrsuire des solutions plus générales. En effet, on peut
+montrer que la solution la plus générale à cette EDO est
+$$y(x)=C_1 y_1(x)+C_2y_2(x)=C_1e^{-x}+C_2e^{-2x}.$$ On constate qu’il y
+a deux constantes à déterminer pour avoir une solution unique. Pour ce
+faire il faudra donner deux conditions initiales. Une sur $y(x)$ et une
+sur $y'(x)$. Par exemple on pourrait avoir $y(0)=1$ et $y'(0)=0$ et on
+obtient $$\begin{aligned}
+ C_1+C_2&=1,\\
+ -C_1-2C_2&=0.\end{aligned}$$ Ce système d’équations ordinaires a pour
+solution $$C_1=2,\quad C_2=-1.$$ On a donc finalement
+$$y(x)=2e^{-x}-e^{-2x}.$$
+
+A présent, nous pouvons généraliser cette méthode pour l’équation
+@eq:edo2_cch $$a y''(x)+by'(x)+cy(x)=0.$$ En faisans la même
+subsitution que précédemment, $y=e^{\lambda x}$, on a $$\begin{aligned}
+ &a \lambda^2e^{\lambda x}+b\lambda e^{\lambda x} +ce^{\lambda x}=0,\\
+ &a \lambda^2+\lambda b+c=0.\end{aligned}$$ L’équation ci-dessus doit
+être résolue pour $\lambda$. Nous savons comment résoudre ce genre
+d’équation du second degré. La solution est donnée par
+$$\lambda=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a},$$ où $\Delta = b^2-4ac$. On a
+ deux solutions $$\begin{aligned}
+ \lambda_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a},\\
+ \lambda_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}.\end{aligned}$$
+
+Il y a trois cas possibles: $\Delta > 0$, $\Delta = 0$,
+$\Delta < 0$.
+
+#### Le cas $\Delta>0$
+
+Dans ce cas, on a que $\lambda_1,\lambda_2\in{\real}$ sont réels.
+La solution est donc donnée par (comme on l’a vu au paravant)
+$$y(x)=C_1e^{\lambda_1 x}+C_2e^{\lambda_2 x}.$$
+
+#### Le cas $\Delta=0$
+
+Ici, $\lambda_1=\lambda_2=\lambda=-b/(2a)$ et $\lambda$ est réel.
+Dans ce cas-là les choses se compliquent un peu. Si on utilisait
+directement la formule ci-dessus, on aurait $$y(x)=Ce^{\lambda x},$$
+avec $C\in{\real}$. Par contre, cette solution ne peut pas
+satisfaire deux conditions initiales comme nous avons vu précédemment.
+Il fau donc travailler un peu plus. Supposons que $y(x)$ est donné par
+la fonction suivante $$y(x)=z(x)e^{\lambda x},$$ avec $z(x)$ une
+fonction réelle. En substituant cela dans l’équation générale, on a
+$$az''+(2\lambda a+b)z'+(a\lambda^2+b\lambda+c)z=0.$$ En utilant que
+$\lambda=-b/(2a)$ et $\Delta =0$ il vient $$z''=0.$$ La solution de
+cette équation est $$z=C_1+xC_2.$$ On obtient donc comme solution
+générale de l’équation différentielle $$y(x)=(C_1+C_2 x)e^{\lambda x}.$$
+
+#### Le cas $\Delta<0$
+
+Dans ce cas-là , on a deux solutions complexes (la racine d’une nombre
+négatif n’est pas réelle). Les racines sont de la forme
+$$\begin{aligned}
+ \lambda_1=\frac{-b+i\sqrt{|b^2-4ac|}}{2a},
+ \lambda_2=\frac{-b-i\sqrt{|b^2-4ac|}}{2a},\end{aligned}$$ où $i$ est l'unité
+imaginaire. En écrivant $u=-b/(2a)$ et $v=\sqrt{|b^2-4ac|}/(2a)$,
+on peut écrire $\lambda_1=u+iv$ et $\lambda_2=u-iv$. On a donc que
+$\lambda_2$ est le complexe conjugué de $\lambda_1$, ou
+$\lambda_1=\bar{\lambda}_2$. En utilisant ces notations dans notre
+exponentielle, on a $$\begin{aligned}
+ y_1&=e^{(u+iv)x}=e^{ux}e^{ivx},\\
+ y_2&=e^{(u-iv)x}=e^{ux}e^{-ivx}.\end{aligned}$$ En se rappelant de la
+linéarité des solutions des EDO linéaires, on peut écrire la forme
+générale de la solution comme ($C_1,C_2\in {\real}$)
+$$y=C_1y_1+C_2y_2=C_1e^{ux}e^{ivx}+C_2e^{ux}e^{-ivx}=e^{ux}(C_1e^{ivx}+C_2e^{-ivx}).$${#eq:sol2}
+
+En utilisant la formule d’Euler $$\begin{aligned}
+ e^{ivx}&=(\cos(vx)+i\sin(vx)),\\
+ e^{-ivx}&=e^{ux}(\cos(vx)-i\sin(vx)),\end{aligned}$$ on peut réécrire
+l'@eq:sol2 comme $$\begin{aligned}
+ y&=e^{ux}\left(C_1(\cos(vx)+i\sin(vx))+C_2(\cos(vx)-i\sin(vx))\right),\nonumber\\
+ &=e^{ux}\left((C_1+C_2)\cos(vx)+i(C_1-C_2)\sin(vx))\right),\nonumber\\
+ &=e^{ux}\left(C_3\cos(vx)+C_4\sin(vx))\right),\end{aligned}$$ où on a
+définit $C_3\equiv C_1+C_2$ et $C_4\equiv i(C_1-C_2)$.
+
+Résoudre les EDO d’ordre 2 à coefficiens constants suivantes:
+
+1. $y''+y'+y=0$,
+
+2. $y''+4y'+5y=0$, $y(0)=1$, $y'(0)=0$.
+
+3. $y''+5y'+6y=0$, $y(0)=2$, $y'(0)=3$.
+
+4. $2y''-5y'+2y=0$, $y(0)=0$, $y'(0)=1$.
+
+Résolution numérique d’équations différentielles ordinaires
+-----------------------------------------------------------
+
+Pour la plupart des problèmes d’ingénierie classique, les solutions des
+équations différentielles sont trop compliquées à calculer
+analytiquement (si elles sont calculables). Il est donc nécessaire d’en
+obtenir des solutions approximées numériquement.
+
+### Problématique
+
+Le problème à résoudre est une EDO avec condition initiale qui peut
+s’écrire de la façon suivante $$y'=F(t,y),\quad y(t_0)=y_0,$$ où $F$ est
+une fonction de $y$ et de $t$, et où $y_0$ est la condition initiale.
+Nous cherchons donc à connaître l’évolution de $y(t)$ pour $t>t_0$.
+
+### Méthode de résolution: la méthode d’Euler
+
+Afin de résoudre ce genre de problème numériquement il existe une grande
+quantité de techniques. Ici nous allons en considérer une relativement
+simple, afin d’illustrer la méthodologie (vous en verrez une autre dans
+le TP).
+
+Nous cherchons donc à évaluer $y(t=t_0+\delta t)$, étant donné $y_0$,
+$\delta t$ et $F(t,y)$. Intégrons donc simplement notre EDO entre $t_0$
+et $t_0+\delta t$ dans un premier temps et on obtient
+$$\int_{t_0}^{t_0+\delta t} y' {\mathrm{d}}t=\int_{t_0}^{t_0+\delta t} F(t,y){\mathrm{d}}t.$$
+Le théorème fondamental du calcul intégral nous dit que cette équation
+peut s’écrire
+ $$y(t_0+\delta t)-y(t_0)=\int_{t_0}^{t_0+\delta t} F(t,y){\mathrm{d}}t,$$
+ $$y(t_0+\delta t)-y_0=\int_{t_0}^{t_0+\delta t} F(t,y){\mathrm{d}}t.$${#eq:edo_app_gen}
+Ont doit donc intégrer le membre de droite de cette équation. Pour ce
+faire nous pouvons utiliser une des techniques vues dans le chapitre
+précédent. Par exemple, on peut choisir la méthode des rectangle Ã
+gauche. Cette équation devient $$\begin{aligned}
+ &y(t_0+\delta t)-y_0=\delta t F(t_0,y(t_0)),\nonumber\\
+ &y(t_0+\delta t)=y_0+\delta t F(t_0,y(t_0)).\end{aligned}$$ Cette
+dernière équation nous permet donc d’évaluer $y(t_0+\delta t)$
+connaissant $y_0$. Cette méthode s’appelle “méthode d’Euler†et est une
+dite *explicite*, car $y(t_0+\delta t)$ ne dépend que de la valeur de
+$y$ évaluée au temps $t_0$.
+
+Si plutôt que d’utiliser la méthode des rectangle à gauche pour
+approximer l’intégrale de l'@eq:edo_app_gen, nous
+utilisons la méthodes des rectangles à droite on a
+$$y(t_0+\delta t)=y_0+\delta t F(t_0+\delta t,y(t_0+\delta t)).$$ Dans
+ce cas, on voit que la valeur $y(t_0+\delta t)$ est calculée par rapport
+à la valeur d’elle même. Dépendant de la forme de $F$ on ne peut pas
+résoudre cette équation explicitement. On a donc à faire à une équation
+sous forme *implicite*. Cette façon d’approximer une EDO est dite
+méthode d’Euler implicite.
+
+Sans entrer dans les détails, la différence entre une méthode explicite
+et une méthode implicite est une question de stabilité numérique. En
+effet, les méthodes explicites peuvent devenir numériquement instables
+(la solution numérique s’éloigne exponentiellement vite de la solution
+de l’EDO) si $\delta t$ devient “trop grand†(la contrainte du la taille
+de $\delta t$ s’appelle CFL, pour Courant-Friedrich-Lévy). Les méthodes
+implicites ne souffrent pas de ce problème de stabilité, en revanche
+elles sont plus coûteuses en temps de calcul et en complexité
+algorithmique, étant donné qu’elles requièrent la résolution d’une
+équation implicite.
+
+Notre but initial était de connaître l’évolution de $y(t)$ pour $t>t_0$.
+Pour déterminer la valeur de $y(t_1)$ avec $t_N=t_0+N\delta t$, il
+suffit donc d’effectuer $N$ pas de la méthode d’intégration choisie (ici
+la méthode d’Euler explicite). On a donc que
+$$y(t_0+N\delta t)=y_0+\delta t\sum_{i=1}^{N}F(t_i,y_i),$$ où
+$t_i=t_0+i\cdot\delta t$ et $y_i=y(t_i)$. Le deuxième terme du membre de
+droite de cette équation est la même que la formule d’intégration en
+plusieurs pas pour la méthode du rectangle (voir l’équation
+@eq:rect_gauche). On a vu que cette méthode a une erreur
+d’ordre $\delta t$. On peut en conclure que l’erreur que la précision de
+la méthode d’Euler est également d’ordre $\mathcal{O}(\delta t)$.
+
+### Méthode de résolution: la méthode de Verlet
+
+Cette méthode d’intégration est utilisée pour l’intégration numérique
+d’EDO d’ordre deux avec une forme particulière qui est donnée par
+$$x''(t)=a(x(t)),$${#eq:x2} où $F$ est une fonction de $x(t)$. On a
+également les conditions initiales $x(t_0)=x_0$ et $x'(t_0)=v_0$. Cette
+forme d’équation différentielle est bien connue en physique sous la
+forme $\vec F=m\vec a$, qui peut s’écrire $$\begin{aligned}
+ &\vec{F}=m \vec a(t)=m \vec x''(t),\nonumber\\
+ &\frac{\vec{F}}{m}= \vec x''(t),\end{aligned}$$ qui est de la forme de
+l’EDO de départ de l'@eq:x2. La force peut avoir
+différentes forme. Cela peut être la forme de gravité $\vec F=m \vec g$,
+de frottement $\vec F=-\zeta \vec v=-\zeta x'(t)$, etc ou une
+combinaison de toutes ces forces.
+
+Dans la section précédente, nous avons vu l’algorithme d’Euler pour
+résoudre des EDO. Cette méthode a pour avantage sa simplicité de codage,
+son faible coût de calcul, mais a pour désavantage son manque de
+précision. Dans un certain nombres d’applications, telles que les
+moteurs physiques pour les graphismes dans les jeux vidéos, ce manque de
+précision est inacceptable et une meilleure méthode doit être utilisée.
+Dans le TP vous avez vu les méthodes de Runge-Kutta. Ces méthodes
+améliorent la précision de façon spectaculaire, mais ont en général un
+coû de calcul trop élevé.
+
+La méthode de Verlet qu’on va voir ci-dessous est augmente combine un
+faible coût de calcul et une amélioration notable de la précision. Elle
+est en effet très répandue dans l’industrie du jeu vidéo pour intégrer
+les équations différentielles omniprésentes dans les moteurs physiques.
+
+La méthode de Verlet s’écrit (en utilisant les notations de la section
+précédente)
+$$x(t_{n+1})=x(t_n)+\delta t v(t_n)+\frac{1}{2}\delta t^2 a(x(t_n)).$${#eq:verlet_gen}
+Considérons d’abord le terme $v(t_n)$. Ce terme est approximé ici comme
+$$v(t_n) = \frac{x(t_{n+1})-x(t_{n-1})}{2\delta t}.$$ En remplaçant
+cette approximation dans l’équation ci-dessus, il vient
+ $$x(t_{n+1})=x(t_n)+\frac{x(t_{n+1})-x(t_{n-1})}{2}+\frac{1}{2}\delta t^2 a(x(t_n)),$$
+ $$2x(t_{n+1})=2x(t_n)+x(t_{n+1})-x(t_{n-1})+\delta t^2 a(x(t_n)),$$
+ $$x(t_{n+1})=2x(t_n)-x(t_{n-1})+\delta t^2 a(x(t_n)).$${#eq:verlet_novel}
+
+On voit ici que cette formule est inutilisable pour évaluer $x(t_1)$ (ce
+qui veut dire que $n=0$ dans le cas ce-dessus), car elle fait intervenir
+$x(t_{-1})$ dans le membre de droite. Pour résoudre ce problème il
+suffit d’évaluer $x(t_1)$ grâce à l'@eq:verlet_gen où
+$n=0$ $$\begin{aligned}
+ x(t_{1})&=x(t_0)+\delta t v(t_0)+\frac{1}{2}\delta t^2 a(x(t_0)),\nonumber\\
+ x(t_{1})&=x_0+\delta t v_0+\frac{1}{2}\delta t^2 a(x_0),\end{aligned}$$
+où $x_0$ et $v_0$ sont les conditions initiales de notre problème.
+Esuite les itérations suivantes ($n>0$) sont calculables directement
+avec l'@eq:verlet_novel. Un autre avantage
+considérable de ce modèle est qu’il est très simple d’y inclure une
+force de frottement proportionnelle à la vitesse. Sans entrer dans les
+détails de la dérivation du schéma on a
+$$x(t_{n+1})=(2-\delta t\zeta)x(t_n)-(1-\delta t\zeta)x(t_{n-1})+\delta t^2 a(x(t_n)).$$
\ No newline at end of file
diff --git a/05_fourier.md b/05_fourier.md
new file mode 100644
index 0000000..444a07e
--- /dev/null
+++ b/05_fourier.md
@@ -0,0 +1,967 @@
+Transformées de Fourier
+=======================
+
+Rappel sur les nombres complexes
+--------------------------------
+
+Dans cette section, on fait un rappel sur les nombres complexes qui
+seront beaucoup utilisés dans la suite.
+
+### Les nombres réels
+
+L’ensemble des nombres réels, noté ${\real}$, est doté d'un certain
+nombre de fonctions (opérateurs) tels que l’addition,
+la multiplication etc qui prennent un couple de nombres
+réels et rendent un autre nombre réel $$\begin{aligned}
+& +:{\real}\times{\real}\rightarrow{\real},\\
+& \ \cdot:{\real}\times{\real}\rightarrow{\real},\\\end{aligned}$$
+De la définition de l’addition de deux nombres réels il vient par exemple que
+$$+(7,2)=9.$$ On préfère la notation
+$$+(7,2)=7+2=9.$$ Intéressons nous plus particulièrement à la
+multiplication et à l’addition. Ces opérations ont les propriétés
+d’associativité et de commutativité. Cela veut dire que
+$$\begin{aligned}
+ &(a+b)+c=a+(b+c), &(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c),\\
+ &\quad\quad\quad\quad\quad\quad\mbox{ et }&\nonumber\\
+ &a+b=b+a,&a\cdot b=b\cdot a.\end{aligned}$$
+
+### Les couples de nombres réels
+
+Intéressons-nous à présent à un ensemble plus grand que ${\real}$,
+soit ${\real}^2\equiv{\real}\times{\real}$. Cet ensemble
+est l’ensemble des des couples de nombres réels. Notons les nombres
+$z\in{\real}^2$ comme
+$$z=(a,b)\mbox{ tel que } a\in{\real}, \mbox{ et } b\in{\real}.$$
+Sur ces nombres on peut définir à nouveau l’addition,
+la multiplication, ... $$\begin{aligned}
+& +:{\real}^2\times{\real}^2\rightarrow{\real}^2,\\
+& \cdot:{\real}^2\times{\real}^2\rightarrow{\real}^2.\end{aligned}$$
+On peut les écrire sous la forme de leurs équivalents des nombres réels
+comme
+$$(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d),$${#eq:add}
+$$(a,b)\cdot(c,d)=(a\cdot c-b\cdot d,a\cdot d+b\cdot c).$${#eq:mult}
+On voit assez facilement que l’addition sur ${\real}^2$ a une forme
+très similaire à celle sur ${\real}$ du point de vue de ses
+propriétés telles que la commutativité ou l’associativité. Cela est
+moins clair pour la multiplication. Il est néanmoins assez simple de
+vérifier la commutativité $$\begin{aligned}
+(a,b)\cdot(c,d)&=(a\cdot c-b\cdot d,a\cdot d+b\cdot c)\nonumber\\
+&=(c\cdot a-d\cdot b,d\cdot a+c\cdot b)=(c,d)\cdot (a,b).\end{aligned}$$
+
+Exercice +.#
+
+Vérifier l’associativité du produit sur notre ensemble ${\real}^2$.
+
+Regardons à présent ce qui se passe si on étudie les ensemble de
+nombres dans ${\real}^2$ où le deuxième nombre du couple est nul tels que $(a,0)$. Si on additionne
+deux tels nombres ont obtient $$(a,0)+(b,0)=(a+b,0).$$ On constate donc
+que ce genre de nombre se comporte exactement comme un nombre réel
+normal du point de vue de l’addition. Que se passe-t-il quand on
+multiplie deux tels nombres
+$$(a,0)\cdot(b,0)=(a\cdot b-0\cdot 0,a\cdot 0+0\cdot b)=(a\cdot b,0).$$
+On voit que pour la multiplication également les ensembles de nombres
+dont le deuxième est nul, se comporte comme un nombre réel standard.
+
+En fait on peut montrer que ce sous-ensemble de ${\real}^2$ se
+comporte exactement comme ${\real}$. Il se trouve donc que
+${\real}^2$ est un ensemble plus grand que ${\real}$
+et qui le contient entièrement.
+
+### Les nombres complexes
+
+Afin de simplifier les notations et les calculs, on peut introduire une
+notation différente. Introduisons donc le *nombre imaginaire* $i$ tel
+que $$(a,b)=a+i\cdot b.$$ On va maintenant définir l’ensemble des
+nombres complexes $z\in{\mathbb{C}}$ comme tout nombre qui peut s’écrire
+sous la forme $$z=a+i\cdot b.$$ Avec l’addition que nous avons définie Ã
+l'@eq:add, nous avons avec la nouvelle notation
+$$(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)\Leftrightarrow(a+i\cdot b)+(c+i\cdot d)=(a+c)+i(b+d).$$
+On constate que les nombres multipliés par $i$ sépare nos couples de
+nombres (les empêche “de se mélangerâ€),
+
+Pour la multiplication nous avons de même par la définition (équation
+@eq:mult)
+$$(a,b)\cdot(c,d)=(ac-bd,ad+bc)\Leftrightarrow(a+i\cdot b)\cdot(c+i\cdot d)=(ac-bd)+i(ad+bc).$${#eq:res_mult}
+Si maintenant nous utilisons la multiplication de manière classique avec
+notre nouvelle notation (on distribue le produit comme pour les réels)
+$$(a+i\cdot b)\cdot(c+i\cdot d)=ac+i^2\cdot bd+i(ad+bc).$$ On constate
+donc que pour que cette équation soit égale à l’équation
+@eq:res_mult on doit avoir que $i^2=-1$. Il se trouve que c’est
+la définition formelle du nombre imaginaire. Dans les réels $i$ ne peut
+pas exister. En revanche dans l’espace plus grand des complexes $i$ a
+une existence tout à fait naturelle et raisonnable. En fait le nombre
+$i$ est associé au couple $(0,1)$ comme on voit par $(0,19\cdot (0,1)=(-1,0)$.
+
+On appelle partie réelle d’un nombre complexe $z$, la partie pas
+multipliée par $i$ (on la note ${\mathrm{Re}}(z)$) et partie
+imaginaire celle multipliée par $i$ (on la note ${\mathrm{Im}}(z)$).
+Pour $z=a+ib$, on a donc ${\mathrm{Re}}(z)=a$ et ${\mathrm{Im}}(z)=b$.
+
+#### Interprétation géométrique
+
+Comme on l’a vu précédemment, les nombres complexes peuvent se voir
+comme une “notation†de ${\real}^2$. On peut ainsi les représenter
+sur un plan bidimensionnel (voir la @fig:complexPlane).
+
+{#fig:complexPlane width="35.00000%"}
+
+La somme de deux nombres complexes s’interprête également facilement de
+façon graphique. On peut le voir sur la @fig:complexPlaneSum.
+Il s’agit en fait de simplement faire la somme des vecteurs représentant
+chacun des nombres complexes à sommer.
+
+{#fig:complexPlaneSum width="50.00000%"}
+
+Pour la multiplication cela s’avère un peu plus difficile à interpréter.
+Pour cela il est plus simple de passer par une représentation via des
+sinus et des cosinus (en coordonnées polaires) des nombres complexes
+(voir la @fig:complexPlaneCyl.
+
+{#fig:complexPlaneCyl width="35.00000%"}
+
+En utilisant la représentation en termes de $\vartheta$ et $r$, on a que
+$z=r(\cos\vartheta+i\sin\vartheta)=a+ib$. On a immédiatement les
+relations suivantes entre ces deux représentations $$\begin{aligned}
+ r=\sqrt{a^2+b^2},\\
+ \cos\vartheta=\frac{a}{r},\\
+ \sin\vartheta=\frac{b}{r}.\end{aligned}$$ On dit que $r$ est le
+*module* de $z$ (aussi noté $|z|$) et que $\vartheta$ est son *argument*
+(aussi noté $\arg(z)$).
+
+Si à présent on définit $z_1=r_1(\cos\vartheta_1+i\sin\vartheta_1)$ et
+$z_2=r_2(\cos\vartheta_2+i\sin\vartheta_2)$, on a que $z_3=z_1\cdot z_2$
+devient $$\begin{aligned}
+ z_3=r_1r_2\left(\cos\vartheta_1\cos\vartheta_2-\sin\vartheta_1\sin\vartheta_2+i\left(\cos\vartheta_1\sin\vartheta_2+\cos\vartheta_2\sin\vartheta_1\right)\right).\end{aligned}$$
+En utilisant les relations trigonométriques suivantes $$\begin{aligned}
+ \cos\vartheta_1\cos\vartheta_2-\sin\vartheta_1\sin\vartheta_2&=\cos(\theta_1+\theta_2),\\
+ \cos\vartheta_1\sin\vartheta_2+\cos\vartheta_2\sin\vartheta_1&=\sin(\theta_1+\theta_2),\end{aligned}$$
+il vient $$\begin{aligned}
+ z_3=r_1r_2\left(\cos(\vartheta_1+\vartheta_2)+i(\sin(\vartheta_1+\vartheta_2)\right).\end{aligned}$$
+On a donc comme interprétation géométrique que le produit de deux
+nombres complexe donne un nombre complexe dont la longueur (module) est le
+produit des longueurs des nombres complexes originaux et dont
+l’orientation (argument) est la somme des angles des nombres complexes originaux.
+
+Cette propriété du produit nous amène à la notation sous forme
+d’exponentielle des nombres complexes. L’exponentielle, possède la
+propriété intéressante suivante $$e^a e^b=e^{a+b}.$$ Ou encore quand on
+multiplie deux nombres représentés par une exponentielle, on peut
+représenter le résultat par l’exponentielle de la somme de leurs
+arguments. Comme pour les nombre complexes en somme. Il en découle des ces considérations
+que
+$$z=re^{i\vartheta}=r(\cos\vartheta+i\sin\vartheta).$$
+
+On peut démontrer de façon plus rigoureuse cette relation grâce aux
+équations différentielles. On a vu dans le chapitre précédent que
+l’équation différentielle $$f'(x)=\alpha f(x),\quad f(0)=r.$$ a pour
+solution $f(x)=e^{\alpha x}$ ($\alpha\in{\mathbb{C}}$). Si on remplace
+$\alpha$ par $i$, on a $f=e^{ix}$. Par ailleurs, avec $\alpha=i$, on
+peut également vérifier que $f(x)=r(\cos x+i\sin x)$ satisfait
+l’équation différentielle ci-dessus. On a donc bien que les deux formes
+sont égales.Remarquons que $e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x), x\in \real$ est la fameuse formule d'Euler.
+
+#### Quelques notations et définitions
+
+Pour la suite de ce cours, nous allons avoir besoin d’un certain nombre
+de notations et de définition. En particulier, nous allons noter
+$\bar{z}$ le nombre complexe conjugué de $z$. Soit $z=a+ib$, son
+complexe conjugué ${\bar{z}}$ est donné par ${\bar{z}}=a-ib$. On voit
+que le complexe conjugué a la même partie réelle que le nombre de
+départ, mais une partie imaginaire opposée.
+
+Lors de l’utilisation de la notation polaire d’un nombre complexe, nous
+avons que le nombre complexe conjugué est de module égal, mais
+d’argument opposé. En d’autres termes, si $z=re^{i\vartheta}$, alors
+${\bar{z}}=re^{-i\vartheta}$.
+
+On peut également écrire le module d’un nombre complexe à l’aide de la
+notation du complexe conjugué. Il est donné par
+$$|z|=\sqrt{z{\bar{z}}}.$$ Finalement, on peut également exprimer les
+parties réelle et imaginaires d’un nombre complexe à l’aide de la
+notation du complexe conjugué
+$${\mathrm{Re}}(z)=\frac{1}{2}(z+{\bar{z}}),\quad {\mathrm{Im}}(z)=\frac{1}{2i}(z-{\bar{z}}).$$
+
+---
+
+Exercice +.#
+
+Démontrer ces trois relations.
+
+---
+
+Rajoutons encore la relation entre $e^{i\theta}$ et les $\cos,\sin$.
+$$\begin{aligned}
+ \cos(\theta)=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2},\\
+ \sin(\theta)=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}.\end{aligned}$$
+
+---
+
+Exercice +.#
+
+Démontrer ces relations.
+
+---
+
+### Espaces vectoriels
+
+Ici nous introduisons de façon très simplifiée le concept d’espace
+vectoriel et certaines notions d’algèbre linéaire. Pour ce faire nous
+allons considérer un ensemble $V$ muni d’une addition et d’une multiplication par un scalaire, c'est à dire par un nombre appartenant
+Ã un ensemble $E$. Dans notre cas $E$
+sera ${\real}$ ou ${\mathbb{C}}$ (l'ensemble des nombres complexes) principalement.
+
+Définition +.#
+
+On appelle espace vectoriel sur $E$, un ensemble $V$, dont les éléments
+appelés vecteurs et notés $v$, sont sont munis des opérations
+$+$ (l’addition) et $\cdot$ (la multiplication par un scalaire) qui ont les
+propriétés suivantes
+
+- Â
+
+ 1. L’addition est associative et commutative. Soient $u,v,w\in V$,
+ alors $$u+v=v+u,\quad \mbox{ et }\quad (u+v)+w=u+(v+w).$$
+
+ 2. L’addition admet un élément neutre additif, noté $0_V$, tel que
+ $$0_V+v=v.$$
+
+ 3. Tout $v$ admet un opposé, noté $-v$ tel que $$v+(-v)=0_V.$$
+
+- Â
+
+ 1. La multiplication par un scalaire est distributive à gauche sur
+ l’addition (et à droite sur $E$). Pour $u,v\in V$ et
+ $\alpha\in E$, on a
+ $$\alpha\cdot(u+v)=\alpha\cdot u+\alpha\cdot v.$$
+
+ 2. La multiplication est associative par rapport à la
+ multiplication de $E$. Soient $\alpha,\beta\in E$
+ $$(\alpha\cdot\beta)\cdot v=\alpha\cdot(\beta\cdot v).$$
+
+ 3. La multiplication par un scalaire admet un élément neutre, noté
+ $1$, pour la multiplication à gauche $$1 \cdot v=v.$$
+
+
+Exemple (Espaces vectoriels) +.#
+
+1. L’espace nul, $v=0$.
+
+2. $V={\real}$ ou
+ $V={\mathbb{C}}$ avec $E=\real$.
+
+3. Espaces de $n-uplets$. Soit $V$ un espace vectoriel sur $E$.L’espace des $n-$uplets. Pour t$n>0$, l’ensemble des $n-$uplets
+ d’éléments de $V$, $v=(v_1,v_2,...,v_n),\ \{v_i\in E\}_1^n$,
+ est noté $V^n$. Sur cet espace l’addition se définit ($u,v\in V^n$)
+ $$u+v=(u_1+v_1,u_2+v_2,...,u_v+v_n),$$ et la mutliplication par un
+ scalaire $\alpha\in E$
+ $$\alpha v=(\alpha v_1,\alpha v_2,...,\alpha v_n).$$ On a donc que
+ l’élément neutre de l’addition est le vecteur
+ $0_{E^n}=\underbrace{(0,0,...,0)}_{n}$. L’élément opposé de $v$ est
+ $-v=(-v_1,-v_2,...,-v_n)$.
+
+ Si $V={\real}$, alors on a l’espace Euclidien. Vous avez
+ l’habitude de l’utiliser en 2D ou 3D quand vous considérez des
+ vecteurs. Dans ce cas ${\real}^2$ ou ${\real}^3$ avec
+ l’addition classique et la multiplication par un réel
+ forme un espace vectoriel.
+
+4. Dans ce qui suit dans ce cours, nous allons utiliser encore un autre
+ espace vectoriel un peu moins intuitif que ceux que nous avons vus
+ jusqu’ici. Il s’agit de l’espace des fonctions, ou espace
+ fonctionnel. Nous définissons les applications de $W$ dans $V$ comme
+ un espace vectoriel dans $E$ avec l’addition et la multiplication
+ par un scalaire définis commme suit. Soient $f:W\rightarrow V$ et
+ $g:W\rightarrow V$, avec $\alpha\in E$, alors $$\begin{aligned}
+ &(f+g)(x)=f(x)+g(x), \quad \forall x\in W,\\
+ &(\alpha\cdot f)(x)=\alpha\cdot f(x), \quad \forall x\in W.
+ \end{aligned}$$
+
+5. Espace des applications linéaires. Soit $f$ une fonction de
+ $f:W\rightarrow V$, avec $W,V$ des espaces vectoriels sur $E$, alors
+ une application est dite linéaire si $$\begin{aligned}
+ &f(x+y)=f(x)+f(y),\quad \forall x,y\in W,\\
+ &f(\alpha \cdot x)=\alpha \cdot f(x),\quad \forall \alpha\in E,\ \mbox{et}\ x\in W.
+ \end{aligned}$$
+
+### Base
+
+Nous avons introduit la notion très générale d’espace vectoriel et
+nous avons présenté quelques exemples. Reprenons l’exemple de l’espace
+Euclidien, soit l’espace des vecteurs comme vous en avez l’habitude.
+Limitons nous au cas où les vecteur sont bidimensionnels, soit
+$v=(v_1,v_2)$ avec $v_1,v_2\in{\real}$. D’habitude ces vecteurs
+sont représentés dans le système de coordonnées cartésien où on a deux
+vecteurs (de base) définis comme $e_1=(1,0)$ et $e_2=(0,1)$ qui sont
+implicites. Par exemple, si $u=(4,5)$ cela signifie implicitement que
+$$u=4\cdot e_1+5\cdot e_2.$$
+
+{#fig:baseCart width="35.00000%"}
+
+De façon générale tout vecteur $v=(v_1,v_2)$ est représenté implicitement
+par (voir la @fig:baseCart) $$v=v_1\cdot e_1+v_2\cdot e_2.$$ On
+dit que $e_1$ et $e_2$ forme une *base* de l’espace ${\real}^2$. En
+d’autres termes n’importe quel vecteur $v\in{\real}^2$ peut être
+exprimé comme une combinaison linéaire de $e_1$ et $e_2$.
+
+Néanmoins, le choix de la base $e_1$ et $e_2$ est totalement arbitraire.
+N’importe quelle autre paire de vecteurs (qui n’on pas la même
+direction) peut être utilisée pour représenter un vecteur quelconque
+dans le plan (voir la @fig:baseNonCart).
+
+{#fig:baseNonCart width="35.00000%"}
+
+Cette écriture en fonction de vecteurs de base, permet de faire
+facilement les additions de vecteurs
+$$w=u+v=u_1\cdot e_1+u_2\cdot e_2+v_1\cdot e_1+v_2\cdot e_2=(u_1+v_1)\cdot e_1+(u_2+v_2)\cdot e_2.$$
+
+---
+
+Illustration (Exemples de bases d'espaces vectoriels) +.#
+
+1. Pour l’espace des fonctions polynomiales $f(x)=\sum_{i=0}^Na_ix^i$
+ les fonction $e_i=x^i$ forment une base.
+
+2. Pour l’espace vectoriel des fonctions périodiques les fonctions
+ $\sin$ et $\cos$ forment une base (voir plus de détails dans ce qui
+ suit).
+
+---
+
+Plus formellement nous allons introduire un certain nombre de concepts
+mathématiques pour définir une base. Considérons toujours $V$ un espace
+vectoriel sur $E$.
+
+Définition (Famille libre) +.#
+
+Soient $\{\alpha_i\}_{i=1}^n\in E$. On dit qu’un ensemble de vecteurs
+$\{v_i\}_{i=1}^n\in V$ est une famille libre si
+$$\sum_{i=1}^n \alpha_iv_i=0 \Rightarrow \alpha_i=0,\ \forall i.$$
+
+Exemple (Famille libre) +.#
+
+1. $\{e_1\}$ est une famille libre de ${\real}^2$.
+
+2. $\{e_1,e_2\}$ est une famille libre de ${\real}^2$.
+
+3. $\{e_1,e_2,v\}$, avec $v=(1,1)$ n’est pas une famille libre de
+ ${\real}^2$. En effet,
+ $$1\cdot e_1+1\cdot e_2-1\cdot v=(0,0).$$
+
+4. $\{\sin(x),\cos(x)\}$ est une famille libre. On ne peut pas écrire
+ $\sin(x)=\alpha\cos(x)+\beta$. Il n’y a pas de relation linéaire qui
+ relie les deux. La relation est non-linéaire
+ $\sin(x)=\sqrt{1-\cos^2(x)}$.
+
+Définition (Famille génératrice) +.#
+
+On dit qu’un ensemble de vecteurs $\{e_i\}_{i=1}^n\in V$ est une famille
+génératrice si
+$$\forall\ v\in V,\quad \exists \{\alpha_i\}_{i=1}^n\in E,\quad \mbox{t.q.}\quad v=\sum_{i=1}^n\alpha_i\cdot e_i.$$
+En d’autres termes, tout $v\in V$ peut s’exprimer comme une combinaison
+linéaire des vecteur $e_i$.
+
+Illustration (Familles génératrices) +.#
+
+1. $\{e_1\}$ n’est pas une famille génératrice de ${\real}^2$. On ne
+ peut pas représenter les vecteurs de la forme $v=(0,v_2)$,
+ $v_2\neq 0$.
+
+2. $\{e_1,e_2\}$ est une famille génératrice de ${\real}^2$.
+
+3. $\{e_1,e_2,v\}$, avec $v=(1,1)$ est une famille génératrice de
+ ${\real}^2$.
+
+Définition (Base) +.#
+
+Un ensemble de vecteurs $B=\{e_i\}_{i=1}^n$ forme une base si c’est une
+famille génératrice et une famille libre. En d’autres termes cela
+signifie qu’un vecteur $v\in V$ peut se représenter comme une
+combinaison linéaire de $\{e_i\}_{i=1}^n$ et que cette représentation
+est unique
+$$\forall v\in V, \quad !\exists \{\alpha_i\}_{i=1}^n\in E,\quad t.q.\quad v=\sum_{i=1}^n\alpha_i v_i.$$
+Les $\alpha_i$ sont appelé les coordonnées de $v$ dans la base $B$.
+
+Illustration (Base de $\real ^2$) +.#
+
+1. $\{e_1,e_2\}$ est une base de ${\real}^2$.
+
+2. $\{e_1,e_2,e_3\}$, avec $e_3=(1,1)$, n’est pas une base de
+ ${\real}^2$, car ce n’est pas une famille libre. On a par
+ exemple que l’élément $v=(0,0)$ peut se représenter avec les
+ coordonnées $\alpha=(0,0,0)$ et également les coordonnées
+ $\beta=(1,1,-1)$.
+
+### Introduction générale sur les séries de Fourier
+
+Dans cette sous section, nous allons voir de façon très générale les
+concepts de la représentation de série de Fourier de fonctions.
+
+#### Considérations historiques
+
+Historiquement, les séries de Fourier sont apparues lorsque les
+mathématiciens/physiciens du 18-19ème siècles ont essayé de résoudre des
+équations différentielles particulières. En particulier, il y avait
+l’équation de la propagation d’ondes
+$${\frac{\partial^2 \rho}{\partial t^2}}=\alpha^2\left({\frac{\partial^2 \rho}{\partial x^2}}+{\frac{\partial^2 \rho}{\partial y^2}}+{\frac{\partial^2 \rho}{\partial z^2}}\right),$${#eq:ondes}
+où $\rho$ est l’amplitude de l’onde et $\alpha$ la vitesse de
+propagation. On a également l’équation de la chaleur
+$${\frac{\partial T}{\partial t}}=\kappa\left({\frac{\partial^2 T}{\partial x^2}}+{\frac{\partial^2 T}{\partial y^2}}+{\frac{\partial^2 T}{\partial z^2}}\right),$$
+où $T$ est la température et $\kappa$ la diffusivité thermique.
+
+Ces équations ont une structure particulière. En effet, d’une part elles
+sont linéaires. Soient $\rho_1$ et $\rho_2$ deux solutions de l’équation
+@eq:ondes, on a que la somme $\rho_1+\rho_2$ est également
+solution de @eq:ondes. Cette structure d’équation différentielle
+impose des contraintes assez fortes sur la forme des solutions.
+
+Par ailleurs, le fait que les dérivées à différents ordres apparaissent
+dans la même équation, cela impose que les fonctions et leurs dérivées Ã
+différents ordres soient reliées entre elles. Les fonctions qu’on
+connaît qui ont ces propriétés sont l’exponentielle et les fonctions
+sinus ou cosinus. Dans le cas de propagation d’ondes, on voit qu’on a
+uniquement des deuxièmes dérivées, et on en déduit que les fonctions
+importantes seront des sinus et des cosinus.
+
+On constate que le choix du sinus ou du cosinus pour représenter ces
+solutions ne tombe pas du ciel. Il est dicté par les propriétés des
+équations que nous tentons de résoudre. En fait, nous mettons à notre
+disposition des outils mathématiques appropriés pour résoudre des
+problèmes physiques existant et qui ont des contraintes particulières.
+
+#### Décomposition de signaux périodiques
+
+Nous allons considérer une fonction $f(t)$ qui est une fonction
+périodique, de période $T$, de pulsation $\omega=2\pi/T$ et de fréquence
+$\nu=1/T$. La périodicité signifie que
+$$f(t+T)=f(t),\quad \forall t.$$ Nous cherchons à décomposer $f$ en un
+ensemble potentiellement infini de fonctions périodiques. Notons cet
+ensemble de fonctions $\{g_j\}_{j=0}^\infty$, où $g_j$ est une fonction
+périodique. En fait on cherche une décomposition où pour un ensemble
+unique de $\{\alpha_j\}_{j=0}^\infty$
+$$f(t)=\sum_{j=0}^\infty \alpha_j g_j(t).$$ Cette décomposition nous
+fait penser furieusement à une décomposition dans une base particulière,
+où les $g_j$ sont les vecteurs de la base et les $\alpha_j$ sont les
+coordonnées de $f$ dans la base des $g_j$.
+
+La fonction de départ $f$ ayant une période $T$, on a obligatoirement
+que les fonctions $g_j$ ont une période qui doit être une fraction
+entière de la période, $T/j$. Ces fonctions $g_j(t)$ peuvent en général
+avoir une forme quelconque, avec l’unique contrainte qu’elles sont
+périodiques avec période $T/j$. Ça pourrait être un signal carré,
+triangulaire, etc. Dans les cas qui nous intéresse, on a un choix
+naturel qui s’impose comme fonctions périodiques: les sinus et cosinus.
+
+Pour commencer, imaginons que nous voulions décomposer (approximer) $f$
+en une somme de $g_j\sim A_j\sin(j\omega t+\phi_j)$. On peut jouer sur
+deux degrés de libertés des sinus dont la période est imposée, soit
+l’amplitude $A_j$ et la phase $\phi_j$. On va donc écrire $f(t)$ comme
+$$f(t)=\sum_{j=0}^\infty A_j\sin(j\omega t+\phi_j).$${#eq:sin_phase_ampl}
+Cette forme n’est pas pratique du tout comme décomposition, en
+particulier à cause de la phase $\phi_j$. On utilise alors la relation
+trigonométrique (déjà utilisée pour interpréter le produit de deux
+nombres complexes)
+$$\sin(\theta+\phi)=\sin(\theta)\cos(\phi)+\cos(\theta)\sin(\phi).$$ Il
+vient $$\begin{aligned}
+ f(t)=\sum_{j=0}^\infty A_j\left(\sin(j\omega t)\cos(\phi_j)+\cos(j\omega t)\sin(\phi_j)\right).\end{aligned}$$
+En renommant $$\begin{aligned}
+a_j&\equiv A_j\sin(\phi_j),\\
+b_j&\equiv A_j\cos(\phi_j),\end{aligned}$$ on obtient
+$$f(t)=\sum_{j=0}^\infty \left(a_j\cos(j\omega t)+b_j\sin(j\omega t)\right). $${#eq:decomp_sincos}
+On a ainsi transformé une équation où on devait déterminer une amplitude
+et une phase, ce qui est plutôt compliqué, en une autre équation où on
+doit déterminer uniquement deux amplitude. Par ailleurs, comme $\cos$ et
+$\sin$ sont indépendants, on peut calculer les $a_j$ et $b_j$ de façon
+également indépendantes.
+
+Nous voulons à présent calculer $a_j$ et $b_j$ pour avoir les
+coordonnées de $f$ dans la base des $\sin$ et des $\cos$. Pour ce faire,
+nous allons tenter de trouver les amplitudes $a_j,b_j$ tels que les
+$a_j\cos(j\omega t)$ et $b_j\sin(j\omega t)$ approximent au mieux la
+fonction $f$.
+
+Nous allons considérer les fonctions d’erreur suivantes
+$$E^s_j=\int_0^T(f(t)-b_j\sin(j\omega t))^2{\mathrm{d}}t,\quad E^c_j=\int_0^T(f(t)-a_j\cos(j\omega t))^2{\mathrm{d}}t.$$
+Puis on va déterminer $a_j,b_j$ tels que $E_j^s$ et $E_j^c$ sont
+minimales. Pour ce faire on va utiliser les dérivées et déterminer nos
+coefficients en résolvant les équations
+$${\frac{{\mathrm{d}}E^c_j}{{\mathrm{d}}a_j}}=0.$${#eq:deriv_aj}
+$${\frac{{\mathrm{d}}E^s_j}{{\mathrm{d}}b_j}}=0,$${#eq:deriv_bj}
+Pour l'@eq:deriv_aj, on a $$\begin{aligned}
+ {\frac{{\mathrm{d}}E^c_j}{{\mathrm{d}}a_j}}&={\frac{{\mathrm{d}}\int_0^T(f(t)-a_j\cos(j\omega t))^2{\mathrm{d}}t}{{\mathrm{d}}a_j}},\nonumber\\
+ &=\underbrace{{\frac{{\mathrm{d}}(\int_0^Tf^2(t){\mathrm{d}}t)}{{\mathrm{d}}a_j}}}_{=0}+{\frac{{\mathrm{d}}(a_j^2\int_0^T(\cos^2(j\omega t){\mathrm{d}}t))}{{\mathrm{d}}a_j}}-{\frac{{\mathrm{d}}(2a_j\int_0^T(f(t)\cos(j\omega t){\mathrm{d}}t))}{{\mathrm{d}}a_j}},\nonumber\\
+ &=2a_j\int_0^T\cos^2(j\omega t){\mathrm{d}}t-2\int_0^Tf(t)\cos(j\omega t){\mathrm{d}}t,\nonumber\\
+ &=2a_j\frac{T}{2}-2\int_0^T\cos(j\omega t)f(t){\mathrm{d}}t.\end{aligned}$$
+Finalement on obtient
+$$a_j=\frac{2}{T}\int_0^T\cos(j\omega t)f(t){\mathrm{d}}t.$$ Pour $a_j$
+on a de façon similaire
+$$b_j=\frac{2}{T}\int_0^T\sin(j\omega t)f(t){\mathrm{d}}t.$$ En
+particulier si $j=0$, on a
+$$b_0=0,\quad a_0=\frac{2}{T}\int_0^T f(t){\mathrm{d}}t.$$ On constate
+que $b_0/2$ correspond à la valeur moyenne de $f(t)$ dans $[0,T]$. Cela
+permet d’approximer des fonctions dont la valeur moyenne n’est pas nulle
+(les sinus et cosinus ont toujours des moyennes nulles).
+
+Les coefficients $a_j,b_j$ peuvent être calculés directement à partir de
+$f(t)$, comme nous venons de le voir. Nous pouvons obtenir le même
+résultat, en utilisant les relations suivantes (exercice)
+$$\begin{aligned}
+ \int_0^T \sin(k \omega t)\sin(j \omega t){\mathrm{d}}t&=\delta_{jk} \frac{T}{2},\\
+ \int_0^T \cos(k \omega t)\cos(j \omega t){\mathrm{d}}t&=\delta_{jk} \frac{T}{2},\\
+ \int_0^T \sin(k \omega t)\cos(j \omega t){\mathrm{d}}t&=0,\end{aligned}$$
+qui s’obtiennent en utilisant les relations trigonométriques suivantes
+$$\begin{aligned}
+ \sin\theta\sin\phi&= \frac{1}{2}\left(\cos(\theta-\phi)-\cos(\theta+\phi)\right),\\
+ \cos\theta\cos\phi&= \frac{1}{2}\left(\cos(\theta-\phi)+\cos(\theta+\phi)\right),\\
+ \sin\theta\cos\phi&= \frac{1}{2}\left(\sin(\theta+\phi)+\sin(\theta-\phi)\right).\end{aligned}$$
+
+Cela est dû à la propriété d’othorgonalité des fonctions sinus/cosinus.
+En multipliant l'@eq:decomp_sincos par
+$\frac{2}{T}\sin(k \omega t)$ et en intégrant entre $0$ et $T$, on
+obtient $$\begin{aligned}
+\frac{2}{T}\int_0^T f(t)\sin(k\omega t){\mathrm{d}}t&=\frac{2}{T}\sum_{j=0}^\infty \left(b_j\underbrace{\int_0^T\cos(j\omega t)\sin(k\omega t){\mathrm{d}}t}_{=0}+a_j\underbrace{\int_0^T\sin(j\omega t)\sin(k \omega t){\mathrm{d}}t}_{=\frac{T}{2}\delta_{jk}}\right),\nonumber\\
+\frac{2}{T}\int_0^T f(t)\sin(k\omega t){\mathrm{d}}t&=\sum_{j=0}^\infty a_j \delta_{jk}=a_k,\end{aligned}$$
+où $\delta_{jk}$ est le “delta de Kroneckerâ€, dont la définition est
+$$\delta_{jk}=\left\{\begin{array}{ll}
+ 1,&\mbox{ si }j=k\\
+ 0,&\mbox{ sinon.}
+ \end{array}\right.$$
+
+En multipliant l'@eq:decomp_sincos par
+$\frac{2}{T}\cos(k \omega t)$ et en intégrant entre $0$ et $T$, on
+obtient $$\begin{aligned}
+\frac{2}{T}\int_0^T f(t)\cos(k\omega t){\mathrm{d}}t&=\frac{2}{T}\sum_{j=0}^\infty \left(a_j\underbrace{\int_0^T\cos(j\omega t)\sin(k\omega t){\mathrm{d}}t}_{=0}+b_j\underbrace{\int_0^T\cos(j\omega t)\cos(k \omega t){\mathrm{d}}t}_{=\frac{T}{2}\delta_{jk}}\right),\nonumber\\
+\frac{2}{T}\int_0^T f(t)\cos(k\omega t){\mathrm{d}}t&=\sum_{j=0}^\infty b_j \delta_{jk}=b_k.\end{aligned}$$
+
+#### Les séries de Fourier en notations complexes
+
+Comme on le voit dans l'@eq:decomp_sincos, on
+décompose $f(t)$ en une somme contenant des sinus et des cosinus. Cette
+écriture nous fait penser qu’il pourrait être possible de réécrire cette
+somme de façon plus concise à l’aide des nombres complexes
+($e^{i\theta}=\cos\theta+i\cdot\sin\theta$). Effectivement cette
+réécriture est possible. Pour ce faire il faut définir de nouveaux
+coefficients $c_n$, $$c_n=\left\{\begin{array}{ll}
+ \frac{a_n+ib_n}{2}, & \mbox{ si }n<0\\
+ \frac{a_0}{2}, & \mbox{ si }n=0\\
+ \frac{a_n-ib_n}{2}, & \mbox{ si }n>0
+ \end{array}\right.$$ Avec cette notation, on peut
+réécrire l'@eq:decomp_sincos (exercice) comme
+$$f(t)=\sum_{j=-\infty}^\infty c_je^{ij\omega t}.$$ En multipliant cette
+relation par $\frac{1}{T}e^{-ik\omega t}$ et en intégrant entre
+$-\frac{T}{2}$ et $\frac{T}{2}$, on obtient
+$$\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-ik\omega t}{\mathrm{d}}t=\frac{1}{T}\sum_{j=-\infty}^\infty c_j\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}e^{ij\omega t}e^{-ik\omega t}{\mathrm{d}}t.$$
+Pour évaluer le membre de droite de cette équation nous transformons les
+exponentielles en sinus/cosinus. L’intégrale du membre de droite devient
+$$\begin{aligned}
+\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}e^{ij\omega t}e^{-ik\omega t}{\mathrm{d}}t&=\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\left(\cos(j\omega t)+i\sin(j\omega t)\right)\left(\cos(-k\omega t)+i\sin(-k\omega t)\right){\mathrm{d}}t,\nonumber\\
+&=\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\left(\cos(j\omega t)\cos(k\omega t)+\sin(j\omega t)\sin(k\omega t)\right.\nonumber\\
+&\quad\quad\left.-i(\cos(j\omega t)\sin(k\omega t)+\cos(k\omega t)\sin(j\omega t))\right){\mathrm{d}}t,\nonumber\\
+&=T\delta_{jk}.\end{aligned}$$ En remplaçant cette relation dans
+l’équation ci-dessus[^6], on a
+$$\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-ik\omega t}{\mathrm{d}}t=\sum_{j=-\infty}^\infty c_j\delta_{jk}=c_k.$${#eq:ck}
+Cette relation nous dit comment évaluer les coefficients $c_k$ de la
+série de Fourier de $f(t)$.
+
+On notera que pour une fonction périodique, on obtient des coefficients
+de la série de Fourier qui sont discrets.
+
+La série de Fourier pour une fonction quelconque: la transformée de Fourier
+---------------------------------------------------------------------------
+
+Il est possible d’écrire de telles séries pour des fonctions
+non-périodiques. Pour ce faire, il faut prendre la limite
+$T\rightarrow\infty$. Pour ce faire on va écrire
+$$f(t)=\sum_{j=-\infty}^\infty c_je^{ij\omega t},$$ où on remplace le
+coefficient $c_j$ par l'@eq:ck. On obtient
+$$f(t)=\sum_{j=-\infty}^\infty \left(\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-ij\omega t}{\mathrm{d}}t\right) e^{ij\omega t}.$$
+En utilisant la relation
+$$\frac{1}{T}=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{\omega(j-j+1)}{2\pi}=\frac{\omega(j+1)}{2\pi}-\frac{\omega j}{2\pi},$$
+ainsi que la notation $\omega_j=j\omega$, on peut réécrire cette
+équation $$\begin{aligned}
+ f(t)&=\sum_{j=-\infty}^\infty \frac{1}{2\pi}(\omega_{j+1}-\omega_j)\underbrace{\left(\int_{-\frac{\pi}{\Delta \omega_j}}^{\frac{\pi}{\Delta \omega_j}}f(t)e^{-i\omega_j t}{\mathrm{d}}t\right)}_{\equiv {\hat{f}}(\omega_j)} e^{i\omega_j t},\nonumber\\
+ &=\frac{1}{2\pi}\sum_{j=-\infty}^\infty (\Delta \omega_j){\hat{f}}(\omega_j) e^{i\omega_j t}.\end{aligned}$$
+Maintenant pour passer dans le cas où la fonction n’est pas périodique
+(la période est infinie), nous devons prendre la limite
+$\Delta \omega_j\rightarrow 0$ dans l’équation précédente, et on voit
+apparaître une somme de Riemann $$\begin{aligned}
+ f(t)&=\frac{1}{2\pi}\sum_{j=-\infty}^\infty \lim\limits_{\Delta \omega_j\rightarrow 0}\Delta \omega_j{\hat{f}}(\omega_j) e^{i\omega_j t},\nonumber\\
+ &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty {\hat{f}}(\omega) e^{i\omega t}{\mathrm{d}}\omega.\end{aligned}$$
+A présent, nous avons deux opérateurs que nous allons nommer. Nous avons
+la transformée de Fourier
+$${\hat{f}}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}{\mathrm{d}}t,$${#eq:fourier_transform}
+et la transformée de Fourier inverse
+$$f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty {\hat{f}}(\omega) e^{i\omega t}{\mathrm{d}}\omega.$${#eq:inverse_fourier_transform}
+On a immédiatement qu’appliquer la transformée de Fourier et la
+transformée de Fourier inverse sur une fonction $f(t)$, nous donne la
+fonction originale $f(t)$.
+
+La fonction $f(t)$ doit satisfaire un certain nombre de contraintes pour
+pouvoir calculer sa transformée de Fourier:
+
+1. Elle doit être de carré intégrable
+ $$\int_{-\infty}^\infty |f(t)|^2{\mathrm{d}}t < \infty$$
+
+2. Elle doit avoir un nombre fini d’extrema (ne doit pas varier trop
+ vite).
+
+3. Elle doit avoir un nombre fini de discontinuités.
+
+---
+
+Exercice +.#
+
+Calculer les transformées de Fourier des fonctions suivantes
+
+1. Le pulse symétrique $$f(t)=\left\{\begin{array}{ll}
+ 1,&\mbox{ si }-t_c<t<t_c\\
+ 0,&\mbox{ sinon.}
+ \end{array}\right.$$
+2. Le pulse asymétrique $$f(t)=\left\{\begin{array}{ll}
+ 1,&\mbox{ si } 0<t<2t_c\\
+ 0,&\mbox{ sinon.}
+ \end{array}\right.$$
+3. L’exponentielle décroissante $$f(t)=\left\{\begin{array}{ll}
+ e^{-at},&\mbox{ si } t>0\\
+ 0,&\mbox{ sinon.}
+ \end{array}\right.$$
+
+---
+
+---
+
+Exercice +.#
+
+Calculer les transformées de Fourier inverse de la fonction suivante
+
+1. Le pulse symétrique $$f(\omega)=\left\{\begin{array}{ll}
+ 1,&\mbox{ si }-\omega_c<\omega<\omega_c\\
+ 0,&\mbox{ sinon.}
+ \end{array}\right.$$
+
+---
+
+### Propriétés des transformées de Fourier
+
+La transformée de Fourier possède plusieurs propriétés intéressantes.
+
+Propriété +.#
+
+1. Linéarité. Soit une fonction $h(t)=af(t)+bg(t)$, alors sa
+ transformée de Fourier est donnée par
+ $${\hat{h}}(\omega)=a{\hat{f}}(\omega)+b{\hat{g}}(\omega).$$
+
+2. Translation temporelle. Soit une fonction $g(t)=f(t+t_0)$, alors sa
+ transformée de Fourier est donnée par
+ $${\hat{g}}(\omega)={\hat{f}}(\omega)e^{i\omega t_0}.$$
+
+3. Modulation en fréquence. Soit $\omega_0\in{\real}$ et une
+ fonction $g(t)=e^{-i\omega_0 t}f(t)$, alors sa transformée de
+ Fourier est donnée par
+ $${\hat{g}}(\omega)={\hat{f}}(\omega+\omega_0).$$
+
+4. Contraction temporelle. Soit $a\in{\real}^\ast$ et $g(t)=f(at)$
+ alors sa transformée de Fourier est donnée par
+ $${\hat{g}}(\omega)=\frac{1}{|a|}{\hat{f}}(\omega/a).$$ En
+ particulier, on a la propriété d’inversion du temps quand $a=-1$, on
+ a $h(t)=f(-t)\Rightarrow{\hat{h}}(\omega)={\hat{f}}(-\omega)$.
+
+5. Spectres de fonctions paires/impaires. Soit $f(t)$ une fonction
+ paire (impaire), alors ${\hat{f}}(\omega)$ sera une fonction paire
+ (impaire).
+
+La transformée de Fourier à temps discret (TFTD)
+------------------------------------------------
+
+Nous allons maintenant plus considérer une fonction continue, mais une
+série de valeurs discrètes. Notons $f[n]$ une série de nombres, avec
+$n\in{\mathbb{N}}$. Nous voulons définir l’équivalent de la transformée
+de Fourier de l'@eq:fourier_transform pour ce genre de
+séries de points. Une façon naturelle de définir l’équivalent à temps
+discret de cette équation est
+$${\hat{f}}(\omega)=\sum_{n=-\infty}^\infty f[n] e^{-i\omega n}.$${#eq:tftd}
+Pour les fonctions à "temps continu" et non périodiques, nous
+savons que la transformée de Fourier est continue et en général non
+périodique. Pour le cas de la transformée de Fourier à temps discret la
+transformée de Fourier sera périodique, soit
+$${\hat{f}}(\omega+2\pi)={\hat{f}}(\omega).$$ Nous démontrons cette
+relation par la définition de la TFTD
+$${\hat{f}}(\omega+2\pi)=\sum_{n=-\infty}^\infty f[n] e^{-i(\omega+2\pi) n}=\underbrace{e^{-i2\pi}}_{=1}\sum_{n=-\infty}^\infty f[n] e^{-i\omega n}={\hat{f}}(\omega).$$
+D’une certaine façon nous voyons que nous avons une similarité entre la
+transformée de Fourier à temps discret et les séries de Fourier. Cette
+similarité va devenir plus claire dans ce qui suit.
+
+Pour définir la transformée de Fourier en temps discret inverse, nous
+nous inspirons de la version en temps continu (voir l’équation
+@eq:inverse_fourier_transform) et on a
+$$f[n]=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi{\hat{f}}(\omega)e^{i\omega n}{\mathrm{d}}\omega. $${#eq:tftdi}
+Pour prouver cette relation, il suffit de remplacer l’équation
+@eq:tftd dans cette relation, et il vient
+$$f[n]=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi \left(\sum_{m=-\infty}^\infty f[m] e^{-i\omega m}\right) e^{i\omega n}{\mathrm{d}}\omega.$$
+En supposant que la somme converge, nous pouvons intervertir la somme et
+l’intégrale et on a $$\begin{aligned}
+ f[n]&=\frac{1}{2\pi}\left(\sum_{m=-\infty}^\infty f[m] \int_{-\pi}^\pi e^{-i\omega (m-n)} {\mathrm{d}}\omega\right),\nonumber\\
+ &=\frac{1}{2\pi}\left(\sum_{m=-\infty}^\infty f[m] \delta_{mn} 2\pi\right),\nonumber\\
+ &=f[n].\nonumber\end{aligned}$$
+
+
+Exercice +.#
+
+Calculer les transformées de Fourier (inverses quand c’est approprié) en
+temps discret des fonctions suivantes
+
+1. Le pulse symétrique $${\hat{f}}(\omega)=\left\{\begin{array}{ll}
+ 1,&\mbox{ si }-\omega_c<\omega<\omega_c\\
+ 0,&\mbox{ sinon.}
+ \end{array}\right.$$
+
+2. Le pulse discret $$f[n]=\left\{\begin{array}{ll}
+ 1,&\mbox{ si }n=0\\
+ 0,&\mbox{ sinon.}
+ \end{array}\right.$$
+
+Il est intéressant de noter qu’on peut représenter une suite discrète et
+infinie de points par une fonction continue et périodique.
+
+La transformée de Fourier discrète
+----------------------------------
+
+### Motivation
+
+Pourquoi avons-nous besoin d’encore une transformée de Fourier? Nous
+avons déjà vu la transformée de Fourier de fonctions périodiques, de
+fonctions non-périodiques, ainsi que de fonctions à temps discret.
+Néanmoins, même dans le cas de la transformée de Fourier à temps
+discret, la transformée de Fourier est une fonction continue. Cela n’est
+évidemment pas pratique ni même utilisable dans un ordinateur. C’est
+pourquoi il est nécessaire de définir une transformée de Fourier
+discrète qui aura les propriétés suivantes
+
+1. Elle transformera un signal discret de longueur finie.
+
+2. La transformée de Fourier sera discrète et de longueur finie.
+
+### Applications
+
+Avant de voir en détail comment on calcule la transformée de Fourier
+discrète, on peut discuter quelle sont ses applications. La TFD est
+utilisée tout le temps en traitement du signal. En gros c’est une
+approximation de la transformée de Fourier à temps discret. A chaque
+fois qu’on désire connaître le comportement d’une fonction dans l’espace
+spectral, on utilisera la TFD. Un exemple typique est l’application pour
+téléphones portables Shazam que vous connaissez sans doute. Le but de
+cette application est l’identification de chansons. Elle fonctionne de
+la façon suivante. Dans un premier temps elle enregistre un signal
+sonore. Puis avec ce signal sonore elle crée un spectrogramme (une sorte
+d’emprunte digitale de la chanson) qui est obtenu à l’aide de TFD.
+Finalement le spectrogramme est comparé avec une base de donnée de
+spectrogrammes et la chanson peut ainsi être identifiée. Une autre
+application est le filtrage de signaux. Comme vous l’avez vu (ou verrez)
+dans les travaux pratiques, la TFD rend très simple le filtrage de
+fréquences (ou de bande de fréquences). En effet, il suffit d’ôter de la
+TFD d’un signal les amplitudes voulues et d’effectuer la transformée de
+Fourier discrète inverse (TFDI) du signal filtré. Ce genre
+d’applications est très utilisé dans le domaine de la compression de
+données (jpg, mp3, ...).
+
+### La transformée de Fourier discrète à proprement parler
+
+Soit $f[n]$ un séquence de $N$ points, $n=0..N-1$. Pour se
+ramener au cas de la transformée de Fourier à temps discret, on peut
+aussi se dire qu’on a une séquence infinie de points, mais où $f[n]=0$,
+pour $n\geq N$. On dit qu’on a $N$ échantillons de $f$.
+
+Avec cette définition il est simple de calculer la transformée de
+Fourier à temps discret
+$${\hat{f}}(\omega)=\sum_{n=0}^{N-1} f[n] e^{-i\omega n}.$${#eq:tftd_fini}
+On note que la somme à présent ne se fait plus dans l’intervalle
+$(-\infty,\infty)$, mais uniquement entre $[0,N-1]$, car le signal est
+de longueur finie.
+
+On représente donc un signal de longueur finie $f[n]$ ($n=0,..,N-1$) par
+une fonction continue de la pulsation, ${\hat{f}}(\omega)$. Les deux
+représentations sont équivalentes. On en déduit que l’information
+contenue dans un nombre fini de points, est la même que dans une
+fonction continue (et donc contenant une infinité de points). Une partie
+de l’information contenue dans la fonction continue doit être
+redondante...
+
+L’idée à présent va être d’enlever toute l’information redondante de
+${\hat{f}}(\omega)$ en échantillonnant ${\hat{f}}$ et en gardant
+uniquement $N$ échantillons de ${\hat{f}}$. La fréquence
+d’échantillonage sera de $2\pi/N$ et le domaine d’échantillonage sera
+$[-\pi,\pi)$.
+
+Nous pouvons à présent définir mathématiquement cet échantillonage de
+${\hat{f}}(\omega)$ comme étant une suite de points, notée
+$\{{\hat{f}}(\omega_k)\}_{k=0}^{N-1}$, où $\omega_k=2\pi k/N$. Cette
+suite sera notée ${\hat{f}}[k]$ et appelée la *transformée de Fourier
+discrète* de $f[n]$.
+
+On a donc que la transformée de Fourier discrète de $f[n]$ est donnée
+par $${\hat{f}}[k]=\sum_{n=0}^{N-1} f[n] e^{-i\omega_k n}
+ =\sum_{n=0}^{N-1} f[n] e^{-\frac{2\pi i n k}{N}}.$${#eq:tfd}
+En s’inspirant de définition de la transformée de Fourier inverse Ã
+temps discret de ${\hat{f}}(\omega)$ (voir l’équation
+@eq:tftdi), on a que la transformée de Fourier discrète inverse
+est donnée par
+$$f[n]=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} {\hat{f}}[k] e^{i\omega_k n}
+ =\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} {\hat{f}}[k] e^{\frac{2\pi i k n}{N}}.$$
+Montrons à présent que la transformée inverse discrète de la transformée
+de Fourier discrète donne bien la suite de départ $$\begin{aligned}
+ f[n]&=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} {\hat{f}}[k] e^{\frac{2\pi i k n}{N}},\nonumber\\
+ &=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} \sum_{m=0}^{N-1} f[m] e^{-\frac{2\pi i k m}{N}} e^{\frac{2\pi i k n}{N}},\nonumber\\
+ &=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} \sum_{m=0}^{N-1} f[m] e^{\frac{2\pi i k (n-m)}{N}},\nonumber\\
+ &=\frac{1}{N}\sum_{m=0}^{N-1} f[m] \sum_{k=0}^{N-1} e^{\frac{2\pi i k (n-m)}{N}},\nonumber\\
+ &=\frac{1}{N}\sum_{m=0}^{N-1} f[m] N \delta_{nm},\nonumber\\
+ &=f[n].\end{aligned}$$ Cette relation montre qu’on a bien la même
+information dans la suite de longueur finie ${\hat{f}}[k]$ que dans
+$f[n]$. On a donc enlevé avec succès toute information redondante
+contenue dans ${\hat{f}}(\omega)$.
+
+On peut maintenant de façon simple implanter la transformée de Fourier
+discrète sur un ordinateur car on a discrétisé toutes les étapes du
+calcul. Néanmoins les formules ci-dessus ne sont pas d’une grande
+efficacité. En effet, on peut montrer que la complexité de l’équation
+@eq:tfd est de l’ordre $N^2$.
+
+On peut écrire l'@eq:tfd comme un produit
+matrice-vecteur sous la forme suivante
+$$
+\begin{array}{l}
+ \underbrace{
+ \begin{pmatrix} {\hat{f}}[0] \\ {\hat{f}}[1] \\ f[2] \\ \vdots \\ {\hat{f}}[N-1]
+ \end{pmatrix}
+ }_{\hat{\vec{f}}} =
+ \underbrace{
+ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1\\
+ 1 & w & w^2 & \cdots & w^{N-1}\\
+ 1 & w^2 & w^4 & \cdots & w^{2(N-1)}\\
+ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots &\\
+ 1 & w^{N-1} & w^{2(N-1)} & \cdots & w^{(N-1)^2}
+ \end{pmatrix}}_{\underline{\underline{W}}}\cdot
+\end{array}
+\underbrace{
+\begin{pmatrix}
+f[0] \\ f[1] \\ f[2] \\ \vdots \\ f[N-1]
+\end{pmatrix}}_{\vec{f}},
+$$
+où $w = e^{-\frac{2 \pi i}{N}}$. On peut donc de façon plus compacte
+l’écrire
+$$
+\hat{\vec{f}}=\underline{\underline{W}}\cdot \vec{f}.
+$$
+Les éléments de la matrice
+$\underline{\underline{W}}$ peuvent être précalculés et il reste donc à calculer uniquement
+le produit matrice vecteur $\underline{\underline{W}}\cdot\vec{f}$. Pour ce faire il faut
+pour chaque ligne de $\hat{\vec{f}}$ faire le calcul de $N$ produits et
+$N$ sommes (donc une complexité $N$). Comme il y a $N$ lignes Ã
+$\hat{\vec{f}}$, la complexité est $N\cdot N$.
+
+Il existe des algorithmes beaucoup plus efficaces pour effectuer de
+genre de calculs que nous allons brièvement discuter maintenant. Ils
+réduisent la complexité algorithmique à $N\log(N)$ en général. Nous
+allons brièvement discuter un de ces algorithmes dans la sous-section
+@sec:tfr.
+
+La transformée de Fourier discrète étant un échantillonage de la
+transformée de Fourier à temps discret, toutes les propriétés discutées
+pour la transformée de Fourier à temps discret restent valides. En
+particulier la transformée de Fourier discrète est périodique, de
+période $N$ $${\hat{f}}[k]={\hat{f}}[k+N].$$
+
+---
+
+Exercice +.#
+
+A démontrer en exercice.
+
+---
+
+### La transformée de Fourier rapide {#sec:tfr}
+
+L’algorithme présenté ici est une version “simplifiée†de l’algorithme
+de Cooley-Tukey (publié en 1965). Cet algorithme a en fait été “inventéâ€
+par Gauss en 1805 quand il essayait d’interpoler la trajectoires
+d’astéroides dans le système solaire.
+
+L’idée de l’algorithme radix-2 est d’abord de séparer le signal en deux
+parties. D’une part les indices pairs et d’autres part les indices
+impairs $$\begin{aligned}
+ &\left\{f[2m]\right\}_{m=0}^{N/2-1}=\left\{f[0],f[2],...,f[N-2]\right\},\\
+ &\left\{f[2m+1]\right\}_{m=0}^{N/2-1}=\left\{f[1],f[3],...,f[N-1]\right\}.\end{aligned}$$
+Puis les transformées de Fourier discrètes de chacune de ces sous-suites
+sont calculées et combinées pour avoir la transformée de Fourier du
+signal en entier. En fait on va appliquer cette décomposition de façon
+récursive sur chacune des deux parties. On fait donc l’hypothèse que la
+longueur du signal est une puissance de 2. Ce n’est en pratique pas un
+problème, car on peut facilement rajouter des “zéros†dans notre signal
+pour avoir un signal d’une longueur d’une puissance de 2.
+
+Commençons donc par réécrire la transformée de Fourier ${\hat{f}}[k]$
+lorsqu’on a décomposé le signal en deux sous-signaux $$\begin{aligned}
+ f[k]&=\sum_{m=0}^{N/2-1} f[2m]e^{-\frac{2\pi i (2m) k}{N}}+\sum_{m=0}^{N/2-1}
+ f[2m+1]e^{-\frac{2\pi i (2m+1) k}{N}},\nonumber\\
+ &=\sum_{m=0}^{N/2-1} f[2m]e^{-\frac{2\pi i m k}{N/2}}+e^{-\frac{2\pi i k}{N}}\sum_{m=0}^{N/2-1} f[2m+1]e^{-\frac{2\pi i m k}{N/2}},\nonumber\\
+ &=\hat{p}[k]+e^{-\frac{2\pi i k}{N}}\hat{j}[k],\end{aligned}$$ où nous
+avons défini les transformées de Fourier discrètes des parties paires et
+impaires $p[k]$ et $\hat{j}[k]$ $$\begin{aligned}
+ \hat{p}[k]&=\sum_{m=0}^{N/2-1} f[2m]e^{-\frac{2\pi i m k}{N/2}},\\
+ \hat{j}[k]&=\sum_{m=0}^{N/2-1} f[2m+1]e^{-\frac{2\pi i m k}{N/2}}.\end{aligned}$$
+La transformée de Fourier discrète étant périodique (comme l’est la
+transformée de Fourier à temps discret), nous avons les propriétés
+suivantes $$\begin{aligned}
+ \hat{p}[k]&=\hat{p}[k+N/2],\\
+ \hat{j}[k]&=\hat{j}[k+N/2].\end{aligned}$$ De plus, nous avons que
+$$e^{-\frac{2\pi i (k+N/2)}{N}}=e^{-\pi i}e^{-\frac{2\pi i k}{N}}=-e^{-\frac{2\pi i k}{N}}.$$
+Avec ces propriétés il est aisé de réécrire
+$${\hat{f}}[k]=\left\{\begin{array}{ll}
+ \hat{p}[k]+e^{-\frac{2\pi i k}{N}} \hat{j}[k],&\mbox{ si }0\leq k<N/2\\
+ \hat{p}[k]-e^{-\frac{2\pi i k}{N}} \hat{j}[k],&\mbox{ si }N/2\leq k<N
+ \end{array}\right.$$ On a donc réduit le nombre de
+calculs nécessaires pour calculer ${\hat{f}}[k]$ d’un facteur 2. En
+continuant cette procédure jusqu’à $N=2$ on peut montrer qu’on réduit la
+complexité algorithmique à $N\log N$ (mais on ne le démontrera pas dans
+ce cours).
+
+### Fréquence d’échantillonage
+
+Une question primordiale dans le calcul des transformée de Fourier (ou
+de l’analyse spectrale plus généralement) est la question de
+l’échantillonage du signal que nous souhaitons analyser. Dans le monde
+réel un signal sonore, une image,... est considéré comme une quantité
+continue (il est représentée par une infinité de valeur). Lorsque nous
+souhaitons faire une analyse spectrale sur un ordinateur de ce signal,
+il est nécessaire de le digitaliser: de le rendre discret. Dès lors une
+question très importante est de savoir quelle est la fréquence Ã
+laquelle on va enregistrer les valeurs de notre suite temporelle afin de
+garder toute l’information contenue dans le signal original.
+
+En termes mathématiques, nous avons un signal $f(t)$ que nous
+enregistrons entre $t_0$ et $t_{N-1}$. Nous voulons le transformer en un
+signal de longueur $N$ finie, $f(t_n)$ avec $0\leq n \leq N-1$ afin de
+pouvoir le représenter sur un support numérique. Pour simplifier on va
+supposer que l’enregistrement se fait à intervalle régulier,
+$\delta t=\frac{t_{N-1}-t_0}{N-1}$. On a donc que $t_n=t_0+\delta t n$.
+La question qu’on se pose est quelle doit être la valeur de $N$ pour ne
+pas perdre d’information sur $f(t)$ quand on échantillonne. En d’autres
+termes à partir de quel nombre $N$ d’échantillons la transformée de
+Fourier discrète de $f[n]$ ne change plus.
+
+Le théorème de Shannon-Nyquist nous dit que pour pouvoir représenter
+exactement un signal avec une fréquence maximale $F_c=1/\delta t_c$,
+alors on doit l’échantillonner avec une fréquence
+$1/\delta t_e=F_e\geq 2F_c$. De façon similaire, si on choisit un signal
+et qu’on peut l’échantillonner avec une certaine précision (on détermine
+la fréquence maximale, $F_c$ qu’on veut pouvoir représenter dans le
+signal) on a simplement besoin de choisir une fréquence d’échantillonage
+$F_e\geq 2F_c$. Nous notons $F_N=2F_c$ la fréquence de Nyquist. En
+prenant $F_e=F_N$ on a que $N=1/F_e=1/F_N$ et que l’échantillonage
+permet de représenter les fréquences plus petites que $F_N/2$. Si la
+fréquence d’échantillonage est plus petite que la fréquence de Nyquist
+de notre signal, on verra apparaître le phénomène de *repliement de
+spectre* (aliasing en anglais).
\ No newline at end of file
diff --git a/06_probas_stats.md b/06_probas_stats.md
new file mode 100644
index 0000000..f2243e1
--- /dev/null
+++ b/06_probas_stats.md
@@ -0,0 +1,1293 @@
+Probabilités et statistiques
+============================
+
+Introduction à la statistique descriptive
+-----------------------------------------
+
+En statistique, une *population* est un ensemble d’objets (d’individus)
+possédant un ou plusieurs *caractères* communs. L’étude des caractères
+d’une population a pour but de révéler des tendances au sein de la
+population. Ces études sont particulièrement intéressantes quand le
+nombre d’individus de notre population est trop élevé pour pouvoir être
+analysé en entier. On prélève alors un échantillon "représentatif" de
+notre population au hasard et on mène l’analyse statistique sur ce sous
+ensemble. Les éventuelles conclusions de l’étude statistique sur
+le sous ensemble seront ensuite appliquées à l’ensemble de la population.
+Grâce au calcul des probabilités nous pourrons avoir une confiance
+plus ou moins grande dans les conclusions tirées en fonction de la
+taille de l’échantillon. En effet plus celui-ci sera grand, plus la
+confiance dans les résultats sera élevée.
+
+Un exemple de ce genre d’étude qui est très à la mode ces temps est le
+sondage (concernant le résultat d’élections ou de votations). Les
+sondeurs tentent en questionnant un sous-ensemble d’environ 1000
+d’électeurs d’un pays (citoyens de plus de 18, moitié d’hommes et de
+femmes plus ou moins, ...) de prévoir les résultats d’élections ou de
+votations où participeront des millions d’électeurs potentiels. Il faut
+avouer que la tâche semble pour le moins complexe. Et la plus grande
+difficulté tient dans le “représentatif de la populationâ€.
+
+### Représentations
+
+Il existe différentes façon de représenter les caractères d’une
+population selon que sa nature est *discrète* ou *continue*. Dans le cas
+discret d’un caractère pouvant prendre $k\in{\mathbb{N}}$ valeur
+différentes $\{x_i\}_{i=0}^{k-1}$, on représente le nombre d’individus
+pouvant prendre la valeur $x_i$ par le nombre $n_i$. On a donc un
+ensemble $\{n_i\}_{i=0}^{k-1}$ d’individus pour les $k$ valeurs des
+caractères de la population. Dans le cas continu le nombre d’individus
+d’un caractère correspondrait à une subdivision en $k$ parties de
+l’ensemble des valeurs possibles pour le dit caractère.
+
+---
+
+Illustration +.#
+
+1. Cas discret: On étudie la distribution de salaires annuels dans une
+ entreprise. Les salaires possibles sont $40'000$, $50'000$, $60'000$
+ et $1'000'000$ CHF.
+
+ - Il y a 35 personnes payées $40'000$ CHF.
+
+ - Il y a 20 personnes payées $50'000$ CHF.
+
+ - Il y a 5 personnes payées $60'000$ CHF.
+
+ - Il y a 1 personne payée $1'000'000$ CHF.
+
+2. Cas continu: Lors du benchmark d’une application, $A$, nous
+ effectuons plusieurs mesures (la population) du temps d’exécution
+ (le caractère) de l’application. Les résultats obtenus sont les
+ suivants:
+
+ - 7 exécutions ont pris entre 50 et 51 secondes.
+
+ - 12 exécutions ont pris entre 51 et 52 secondes.
+
+ - 8 exécutions ont pris entre 52 et 53 secondes.
+
+ - 23 exécutions ont pris entre 53 et 54 secondes.
+
+---
+
+Pour représenter de façon un peu plus parlante ces valeurs, deux
+méthodes principales existent: le tableau ou le graphique. Pour
+illustrer les exemples précédents sous forme de tableau on obtient pour
+le cas des salaires (voir Tabl. @fig:salaires)
+
+ Salaire Nombre de salariés
+ --------- --------------------
+ 40000 35
+ 50000 20
+ 60000 5
+ 1000000 1
+
+ : Tableau du nombre de salariés par salaire. {#tbl:salaires}
+
+et du benchmark de l’application (voir Tabl. @fig:exec)
+
+ Temps d’exécution Nombre
+ ------------------- --------
+ \[50,51) 7
+ \[51,52) 12
+ \[52,53) 8
+ \[53,54) 23
+
+ : Tableau du temps d'exécution et du nombre d'exécutions. {#tbl:exec}
+
+Sous forme de graphique on peut représenter le tableau des salaires sous
+la forme d’un graphique bâton (voir Fig. @fig:salaires)
+
+{#fig:salaires width="50.00000%"}
+
+ou d’un histogramme pour le temps d’exécution de l’application (voir
+Fig. @fig:exec).
+
+{#fig:exec width="50.00000%"}
+
+### Fréquences
+
+Plutôt que de faire apparaître le nombre d’individus d’une population
+possédant un caractère, il peut être plus intéressant de
+faire intervenir la *fréquence* ou le nombre relatif à la place. En
+effet, la fréquence donne immédiatement la proportion d’individus plutôt
+qu’un nombre absolu qui n’est pas forcément très interprétable tout
+seul.
+
+La population totale, $n$, est donnée par $$n=\sum_{i=0}^{k-1}n_i.$$ On
+peut donc définir la fréquence d’un caractère $i$, $f_i$ comme
+$$f_i=\frac{n_i}{n}.$$
+
+---
+
+Exemple (Fréqunces) +.#
+
+Les tableaux de fréquence des deux exemples précédents sont donnés par
+
+1. Cas discret: la population totale est de $$n=35+20+5+1=61.$$
+
+ Salaire Nombre de salariés Fréquence
+ --------- -------------------- ----------------------
+ 40000 35 $35/61\cong0.573770$
+ 50000 20 $20/61\cong0.327869$
+ 60000 5 $5/61\cong0.081967$
+ 1000000 1 $1/61\cong0.016393$
+
+ : Tableau des salaires, du nombre de salariés et la fréquence.
+
+2. Cas continu: la population totale est de $$n=7+12+8+23=50.$$ Le
+ tableau @tbl:exec_freq affiche les différentes fréquences des
+ temps d’exécution.
+
+ Temps d’exécution Nombre Fréquence
+ ------------------- -------- --------------
+ \[50,51) 7 $7/50=0.14$
+ \[51,52) 12 $12/50=0.24$
+ \[52,53) 8 $8/50=0.16$
+ \[53,54) 23 $23/50=0.46$
+
+ : Tableau des temps d'exécution et la fréquence des temps d'exécution. {#tbl:exec_freq}
+
+---
+
+La fréquence possède un certain nombre de propriétés que nous
+retrouverons dans les sections suivantes qui sont assez intuitives
+
+---
+
+Propriété (Propriétés de la fréquence) +.#
+
+1. Les fréquences sont toujours dans l’intervalle $[0,1]$
+ $$0\leq f_i\leq 1.$$
+
+2. La somme de toutes les fréquences donne toujours $1$
+ $$\sum_{i=0}^{k-1} f_i = 1.$$
+
+---
+
+Relié avec la propriété $2$ ci-dessus, il peut également être
+intéressant d’obtenir la *fréquence cumulée*, notée $F(x)$, d’un
+caractère qui se définit comme la fréquence des individus qui présentent
+une valeur de caractère $x_i\leq x$. Les tableaux correspondants aux
+tableaux @tbl:salaires et @tbl:exec (voir le
+@tbl:salaires_freqcum et le @tbl:exec_freqcum)
+
+ Salaire Nombre de salariés Fréquence Fréquence cumulée
+ --------- -------------------- ---------------------- ----------------------------
+ 40000 35 $35/61\cong0.573770$ $35/61\cong0.573770$
+ 50000 20 $20/61\cong0.327869$ $(20+35)/61\cong0.90164$
+ 60000 5 $5/61\cong0.081967$ $(20+35+5)/61\cong0.98361$
+ 1000000 1 $1/61\cong0.016393$ $(20+35+5+1)/61=1$
+
+ : Tableau des salaires, du nombre de salariés, et la fréquence et fréquence cumulée des salaires. {#tbl:salaires_freqcum}
+
+ Temps d’exécution Nombre Fréquence Fréquence cumulée
+ ------------------- -------- ---------------- ----------------------
+ \[50,51) 7 $7/50=0.14$ $7/50=0.14$
+ \[51,52) 12 $12/50=0.24$ $(7+12)/50=0.38$
+ \[52,53) 8 $8/50=0.16$ $(7+12+8)/50=0.54$
+ \[53,54) 23 $23/50=0.46$ $(7+12+8+23)/50=1$
+
+ : Tableau des temps d'exécution et la fréquence et fréquences cumulées des temps d'exécution. {#tbl:exec_freqcum}
+
+Exercice (Fréquence cumulée) +.#
+
+1. Tracer les graphes de la fréquence cumulée pour les deux exemples
+ que nous avons vus.
+
+2. Que pouvons-nous déduire de la forme de la fonction (croissance,
+ valeur maximale)?
+
+### Mesures de tendance centrale
+
+Jusqu’ici le nombre de valeurs étudiées était limité et il est assez
+simple d’avoir une vue d’ensemble de la distribution des valeurs des
+caractères de notre population. Mais en général il est plus aisé d’utiliser une nombre
+de valeurs beaucoup plus restreint permettant de résumer les différents
+caractères et nous allons en voir deux différents qui nous donne une
+tendance dite centrale: la moyenne, la médiane.
+
+La *moyenne*, notée $\bar{x}$ d’un jeu de données s’obtient par la
+formule suivante $$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{k-1}x_i\cdot n_i.$$ La
+moyenne peut également être calculée via les fréquences
+$$\bar{x}=\sum_{i=0}^{k-1}f_i\cdot x_i.$$
+
+---
+
+Exercice (Propriétés de la moyenne) +.#
+
+1. Démontrer la relation précédente.
+
+2. Démontrer que la moyenne des écart $x_i-\bar{x}$ est nulle.
+
+---
+
+---
+
+Illustration (Moyenne) +.#
+
+Pour l’exemple des salaires la moyenne est donnée par
+$$\bar{x}_{\textrm{salaire}}=\frac{35\cdot40000+20\cdot50000+5\cdot60000+1\cdot1000000}{61}=60656.$$
+
+---
+
+On remarque ici que la moyenne des salaires donne une impression erronée
+de la situation car elle est très sensible aux valeurs extrême de la
+distribution. En effet, tous les salaires à l’exception d’un sont
+inférieurs à la moyenne. Il suffit de retirer le salaire d’un million
+de notre ensemble de valeurs, la moyenne de l’échantillon restant
+devient
+$$\bar{x}_{\textrm{salaire}}=\frac{35\cdot40000+20\cdot50000+5\cdot60000}{60}=45000.$$
+La différence est de l’ordre de $25\%$ par rapport aux $60'000$ CHF
+obtenus avec toute la population. Il est donc nécessaire d’utiliser une
+autre mesure pour illustrer mieux le salaire caractéristique de notre
+population. De façon plus générale la moyenne est peu robuste à des
+valeurs extrêmes dans l’étude d’échantillons.
+
+Une mesure qui est plus parlante est la *médiane*, notée $\tilde{x}$. La
+médiane se définit comme la valeur $\tilde{x}$ qui est telle que la
+moitié des individus de la population ont un $x_i\leq \tilde{x}$ et
+le reste est telle que $x_i\geq\tilde{x}$.
+
+Pour l’exemple des salaires le salaire médian est de $40000 CHF$, ce qui
+reflète beaucoup mieux la distribution des salaire de notre population.
+
+Exercice (Moyenne, médiane) +.#
+
+Calculer la moyenne et la médiane pour l’exemple du temps d’exécution
+(prendre la borne inférieure des intervalles pour chaque temps
+d’exécution[^7]).
+
+### Mesures de dispersion
+
+Nous avons vu deux mesures donnant une tendance générale des caractères
+d’une population. Hors ces valeurs ne nous disent absolument rien sur la
+manière dont ces caractères sont distribués. Sont-ils proches de la
+moyenne ou de la médiane? Ou en sont-ils au contraire éloignés? Nous
+allons voir deux mesures différentes dans cette sous-section: la
+variance (écart-type), et l’intervalle inter-quartile.
+
+Nous cherchons d’abord à calculer la moyenne des écarts à la moyenne.
+Hors, comme on l’a vu dans la sous-section précédente l’écart à la
+moyenne $x_i-\bar{x}$ est nul en moyenne. Cette grandeurs ne nous
+apprend rien. On peut donc s’intéresser plutôt à la moyenne de l’écart
+quadratique $(x_i-\bar{x})^2$ qui est une quantité toujours positive et
+dont la moyenne aura toujours une valeur
+positive ou nulle (elle sera nulle uniquement si
+$x_i-\bar{x}=0,\forall i$)[^8]. On définit donc la *variance*, $v$,
+comme étant la moyenne des écarts quadratiques
+$$v=\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{k-1}n_i(x_i-\bar{x})^2.$$ Si on considère
+la racine carrée de la variance, on obtient *l’écart-type*
+$$s=\sqrt{v}.$$
+
+---
+
+Exercice (Variance, écart-type) +.#
+
+Démontrer les relations suivantes
+
+1. On peut également calculer la variance avec les fréquences
+ $$v=\sum_{i=0}^{k-1}f_i(x_i-\bar{x})^2.$$
+
+2. On peut également calculer la variance à l’aide de la formule
+ suivante
+ $$v=\frac{1}{n}\left(\sum_{i=0}^{k-1}n_ix_i^2\right)-\bar{x}^2= \bar{x^2}-\bar{x}^2$$
+
+---
+
+Pour l’exemple du salaire on obtient pour la variance $$\begin{aligned}
+ v&=\frac{1}{61}\left(35\cdot(40000-60656)^2+20\cdot(50000-60656)^2\right.\nonumber\\
+ &\quad\quad\left.+5\cdot(60000-60656)^2+1\cdot(1000000-60656)^2\right)\nonumber\\
+ &=1.4747\cdot 10^{10},\end{aligned}$$ et l’écart-type
+$$s=\sqrt{v}=121440.$$
+
+---
+
+Exercice (Variance, écart-type) +.#
+
+Calculer la variance et l’écart type à partir des valeurs du benchmark
+de l’application.
+
+---
+
+Encore une fois on constate que la valeur de l’écart-type des salaires
+est très dépendante de la valeur extrême de la distribution (1000000
+CHF). Si on l’enlève la valeur de l’écart type est de $s=6455$ (un
+facteur 20 plus petit que la valeur sur la population complète).
+
+Comme pour la moyenne et la médiane nous pouvons définir des valeurs
+plus représentatives. A partir de la fréquence cumulée, $F$, on peut
+définir deux grandeurs, $Q_i\in\{x_i\}_{i=0}^{k-1}$ et
+$\alpha_i\in[0,1]$ telles que $$F(Q_i)=\alpha_i.$$ En d’autres termes
+$Q_i$ est la valeur pour laquelle la fréquence cumulée vaut $\alpha_i$.
+$Q_i$ correspond donc au nombre d’individus dont la fréquence cumulée
+est de $\alpha_i$. En particulier si $\alpha_i=1/2$, alors
+$Q_i=\tilde{x}$ ($Q_i$ est la médiane). Il est commun d’avoir
+$Q_i\in[0.25,0.5,0.75]$, on parle alors de quartiles. Avec $Q_1=0.25$ et
+$Q_3=0.75$, le nombre d’individus entre $0.25$ et $0.75$ est donné par
+$$\frac{Q_3-Q_1}{2}.$$ Cette valeurs est appelée l’intervalle
+semi-inter-quartile.
+
+
+---
+
+Exercice (Semi-inter quartile) +.#
+
+Calculer les intervalles semi-inter-quartiles des exemples que nous
+avons vus plus tôt dans le cours.
+
+---
+
+Probabilités: Exemple du jeu de dé
+----------------------------------
+
+On considère un dé à 6 faces. Le lancer de dé est une *expérience
+aléatoire*, car on ne peut dire quel sera le résultat avant d’avoir
+effectué l’expérience.
+
+Avant de commencer à étudier les probabilités du lancer de dé, et les
+questions qu’on peut se poser, faisons d’abord un peu de vocabulaire qui
+sera utile pour la suite.
+
+---
+
+Définition +.#
+
+- L’ensemble des résultats possibles du lancer de dé est
+ $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$ et cet ensemble est appelé l’*univers* du
+ lancer de dé.
+- Chaque résultat possible du lancer de dé ($1$, $2$, etc), noté
+ $\omega\in\Omega$, est appelé une *éventualité*.
+- Un ensemble de résultats possibles, par exemple tous les résultats
+ pairs du lancer de dé $A=\{2, 4, 6\}\in\Omega$, s’appelle un
+ *événement*. Un événement composé d’une seule éventualité est appelé
+ *événement élémentaire*.
+- On dit que l’événement $A$ est *réalisé* si on obtient $2$, $4$, ou
+ $6$ en lançant le dé.
+- *L’événement certain* est l’univers en entier. On est certain de
+ réaliser l’événement.
+- *L’événement impossible* est l’ensemble vide, $A=\emptyset$. Il
+ correspondrait à l’événement obtenir $7$ ou plus en lançant un dé
+ par exemple.
+- Si $A$ est un événement, on note $p(A)$ la *probabilité* que $A$
+ soit réalisé.
+
+---
+
+Le calcul des *probabilités* de réalisation de certains événement est
+reliée à la *fréquence* que nous avons introduit dans la section
+précédente. Soit un univers $\Omega$ et $A$, $B$ deux événements tels
+que $A\cap B=\emptyset$. On effectue $N$ expériences, donc $\Omega$
+est réalisé $N$ fois. De plus on constate qu’on réalise $A$, $K$ fois et
+$B$, $M$ fois. On a donc les fréquences suivantes que $A$, $B$ et
+$\Omega$ se réalisent $$\begin{aligned}
+ f(A)&=\frac{K}{N},\\
+ f(B)&=\frac{M}{N},\\
+ f(\Omega)&=\frac{N}{N}=1,\\
+ f(A\cup B)&=\frac{M+K}{N}=f(A)+f(B).\end{aligned}$$ Les *probabilités*
+de réalisation des événements ci-dessus peutvent être vues comme le
+passage à la limite $N\rightarrow\infty$ tel que
+$p(A),p(B)\in{\real}$ et $$\begin{aligned}
+ p(A)&=\lim_{\substack{N\rightarrow\infty,\\ K/N<\infty}}\frac{K}{N},\\
+ p(B)&=\lim_{\substack{N\rightarrow\infty,\\ M/N<\infty}}\frac{M}{N},\\
+ p(\Omega)&=1,\\
+ p(A\cup B)&=p(A)+p(B).\end{aligned}$$
+
+Si maintenant nous voulons connaître la probabilité de tirer $6$, ou
+encore la probabilité de réaliser $A=\{6\}$. Cela est assez intuitif
+pour le cas du dé. Nous avons $6$ éléments dans l’univers du lancer de
+dé. La probabilité de réaliser $A=\{6\}$ est donc $$p(6)=\frac{1}{6}.$$
+Pour le cas du lancer de dé, on dit qu’on a un processus qui est
+*équiprobable*. En effet, la probabilité de réaliser chacun des
+événements élémentaires est la même. On a en effet la même probabilité
+de tirer $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, ou $6$.
+
+Si à présent, on se pose la question de la probabilité de réaliser un
+tirage pair, $A=\{2,4,6\}$, alors on trouve
+$$p(\mbox{tirer un nombre pair})=\frac{1}{2}.$$ De façon générale pour
+le lancer de dé, on a que la probabilité de réaliser l’événement $A$
+est[^9]
+$$p(A)=\frac{\mbox{nombre d'éléments dans }A}{\mbox{nombre d'éléments dans }\Omega}.$$
+
+Si maintenant, on veut savoir quelle est la probabilité de tirer
+n’importe quel élément dans l’univers, on a
+$$p(\Omega)=\frac{\mbox{nombre d'éléments dans }\Omega}{\mbox{nombre d'éléments dans }\Omega}=1.$$
+De même la probabilité de réaliser l’événement impossible est de
+$$p(\emptyset)=\frac{\mbox{nombre d'éléments dans }\emptyset}{\mbox{nombre d'éléments dans }\Omega}=0.$$
+On voit ici une propriété fondamentale des probabilités qui est que
+$0\leq p(A)\leq 1,\ \forall A$.
+
+La probabilité de ne pas tirer un 6 donc de réaliser l’événement
+$\bar A=\{1,2,3,4,5\}$ est donnée par $1$ moins la probabilité de
+réaliser $A=\{6\}$, il vient $$p(\bar A)=1-p(A)=\frac{5}{6}.$$ De même
+la probabilité de tirer un nombre impair, est donnée par $1$ moins la
+probabilité de réaliser l’événement pair
+$$p(\{1,3,5\})=1-p(\{2,4,6\})=\frac{1}{2}.$$
+
+### Evénements disjoints {#sec:disjoints}
+
+Considérons maintenant deux événements, $A=\{1,2\}$ et $B=\{3,4,5\}$.
+Comme $A$ et $B$ n’ont pas d’éléments en commun, on dit que c’est deux
+événements *disjoints*. Les probabilités de réalisation de ces
+événements sont donc $$\begin{aligned}
+ p(A)&=\frac{2}{6}=\frac{1}{3},\\
+ p(B)&=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}.\end{aligned}$$ On va se poser deux
+questions à présent
+
+1. On cherche à savoir quelle est la probabilité de réaliser $A$ ou de
+ réaliser $B$, donc de tirer un dé dont le résultat sera dans
+ l’ensemble $C=A\cup B=\{1,2,3,4,5\}$. Le résultat est
+ $$p(C)=\frac{5}{6}.$$ Une coincidence intéressante (qui n’est en
+ fait pas une coincidence) est que
+ $$p(C)=p(A)+p(B)=\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{5}{6}.$$
+
+2. On cherche à savoir quelle est la probabilité de réaliser $A$ et
+ réaliser $B$ en même temps, donc de tirer un dé qui sera dans
+ l’ensemble $C=A\cap B=\emptyset$. Ici on a déjà vu que la
+ probabilité $p(\emptyset)=0$.
+
+On voit donc que si des événements sont disjoints, alors la probabilité
+de réaliser l’un ou l’autre des événements est simplement la somme des
+probabilités de réaliser chacun des événements. Inversément la
+probabilité de réaliser les deux événements en même temps est nulle.
+
+Nous pouvons facilement décomposer $A$ en deux sous événements
+élémentaires, $A=\{1\}\cup \{2\}$. On a donc une autre façon de calculer
+$p(A)$
+$$p(A)=p(\{1\})+p(\{2\})=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}.$$
+On a que la probabilité de réaliser un événement est la somme des
+événements élémentaires qui le composent.
+
+### Evénements complémentaires
+
+Considérons de nouveau l’événement $A=\{1,2\}$ et cette fois l’événement
+$B=\Omega\backslash \{1,2\}=\{3,4,5,6\}$. L’événement $B$ est appelé
+*l’événement complémentaire* de $A$. Il est noté $B=\bar A$. Les
+probabilité de réaliser $A$ ou de réaliser $\bar A$ est la même chose
+que de réaliser l’événement certain, car $A\cup \bar A=\Omega$. On
+vérifie aisément dans ce cas que $$\Omega=\{1,2\}\cup\{3,4,5,6\}$$ et $$p(A\cup \bar A)=p(\Omega)=1.$$ De plus de ce qu’on a vu
+précédemment, on a que $$p(A\cup \bar A)=p(A)+p(\bar A).$$ En combinant
+ces deux derniers résultats, il vient que $$p(A)+p(\bar A)=1.$$ On en
+déduit que $$p(A)=1-p(\bar A)=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}.$$ Dans ce cas
+on peut également calculer à priori $p(B)$
+$$p(B)=\frac{\mbox{nombre d'éléments dans }B}{\mbox{nombre d'éléments dans }\Omega}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.$$
+Ce résultat est très important car on calcule facilement $p(\bar A)$ si
+on connaît $p(A)$.
+
+### Evénements non-disjoints
+
+Considérons de nouveau l’événement $A=\{1,2\}$ et cette fois
+$B=\{2,3,4,5\}$. Les probabilités de réaliser les événements respectifs
+sont $$\begin{aligned}
+ p(A)&=\frac{1}{3},\\
+ p(B)&=\frac{2}{3}.\end{aligned}$$ La probabilité de réaliser $A$ et $B$
+est maintenant la probabilité de réaliser $C=A\cap B=\{2\}$
+$$p(C)=\frac{1}{6}.$$ Si on cherche à présent la probabilité de réaliser
+$A$ ou $B$, $D=A\cup B=\{1,2,3,4,5\}$, on voit aisément que
+$$p(D)=\frac{5}{6}.$$ Comme $A$ et $B$ ne sont pas disjoints ont
+constate $$\frac{5}{6}=p(D)\neq p(A)+p(B)=1.$$ L’inégalité est dûe au
+fait que dans le cas où on fait la somme $p(A)+p(B)$ on compte à double
+la probabilité de tirer l’éventualité $2$, qui est l’intersection de $A$
+et de $B$. Afin de corriger donc le calcul de $p(D)$ Ã partir de la
+somme $p(A)+p(B)$ il suffit d’enlever la probabilité de tirer
+l’intersection $C$. On a donc
+$$\frac{5}{6}=p(D)= p(A)+p(B)-p(C)=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}.$$ De façon
+complètement générale, on a la relation suivante pour calculer la
+probabilité de réaliser l’union de deux événement $A$ et $B$
+$$p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B).$$ Il en suit immédiatement que si
+$A\cap B=\emptyset$, alors
+$$p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)=p(A)+p(B)-p(\emptyset)=p(A)+p(B).$$
+
+### Axiomes des probabilités
+
+Tous ces concepts que nous avons vus précédemments peuvent être vus
+comme la conséquences des trois axiomes des probabilités suivants
+
+---
+
+Définition (Axiomes des probabilités) +.#
+
+Soit $\Omega$ un univers. La probabilité de
+réaliser un événement $A\subseteq\Omega$ est une fonction $p(A)$ qui
+associe à tout événement de $A$ un nombre réel, qui satisfait les 3
+axiomes suivants
+
+1. Une probabilité est TOUJOURS positive $$p(A)\geq 0.$$
+
+2. La probabilité de l’événement certain vaut 1 $$p(\Omega)=1.$$
+
+3. Soit $B\subseteq\Omega$. Si $A\cap B=\emptyset$, alors
+ $$p(A\cup B)=p(A)+p(B).$$ La probabilité de réalisation de deux
+ évéenements incompatibles est égale à la somme de réalisation de
+ chacun d’entre eux.
+
+---
+
+De ces axiomes découlent tout un tas de théorèmes
+
+---
+
+Théorème +.#
+
+Pour $A,B\subseteq\Omega$ et $\Omega$ un univers et $p$ une probabilité.
+
+1. $p(B\cap\bar A)=p(B)-p(B\cap A).$
+
+2. $p(\emptyset)=0.$
+
+3. $p(\bar A)=1-p(A).$
+
+4. $p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B).$
+
+5. $p(\bar A\cap \bar B)=1-p(A\cup B).$
+
+6. Si $A$ et $B$ sont disjoints, alors $p(A\cup B)=p(A)+p(B).$
+
+7. Si $A\subseteq B$, alors $p(B\cap \bar A)=p(B)-p(A).$
+
+8. Si $A\subseteq B$, alors $p(A)\leq p(B).$
+
+9. $\forall A$, $0\leq p(A)\leq 1.$
+
+---
+
+### Probabilités conditionnelles
+
+Imaginons à présent que nous ayons une information supplémentaire
+lorsque nous lançons notre dé. Supposons par exemple que nous sachions
+lorsque nous lançons le dé que le résultat est pair. A partir de là la
+probabilité de tirer un $6$ est de
+$$p(6\mbox{ sachant que le résultat du lancer est un nombre pair})=1/3,$$
+alors que sans l’information sur la parité nous aurions eu $p(6)=1/6$.
+
+Lorsque nous rajoutons comme condition la réalisation préalable d’un
+événement $B$ à la réalisation d’un événement $A$, nous parlons de
+probabilité conditionnelle, notée $P(A|B)$ (probabilité conditionnelle
+de $A$ sachant que $B$ s’est produit).
+
+Essayons à présent de voir comment nous pouvons calculer de façon
+générale les probabilités conditionnelles avec notre exemple ci-dessus.
+Nous avons donc que nous cherchons à calculer $p(A|B)=p(6|{2,4,6})$.
+Nous avons dans ce cas que $p(A)=1/6$, $p(B)=1/2$ et
+$p(A\cap B)=p(6)=1/6$. Par ailleurs, nous pouvons remarquer que
+$$p(A|B)=\frac{1}{3}=\frac{p(A\cap B)}{p(B)}=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}}.$$
+Nous pouvons vérifier cette relation sur un exemple un peu plus
+compliqué. Soit $A={1,2,4}$ et $B={2,4,6}$. La probabilité
+conditionnelle $p(A|B)$ revient au calcul de la probabilité de
+$p(A\cap B|B)=p({2,4}|{2,4,6})=2/3$. Avec notre formule, nous avons
+$p(A\cap B)=1/3$ et $p(B)=1/2$. Il vient donc
+$$p(A|B)=\frac{p(A\cap B)}{p(B)}=\frac{2}{3}.$$ Cette formule peut en
+fait être vue comme la définition de la probabilité conditionnelle. Si
+$p(B)\neq0$ alors on appelle probabilité conditionnelle le nombre
+$p(A|B)$, tel que $$p(A|B)=\frac{p(A\cap B)}{p(B)}.$$
+
+---
+
+Exercice (Probabilités conditionnelles) +.#
+
+Sur une population de 1000 hommes qui naissent, 922 atteignent l’âge de
+50 ans et 665 l’âge de 70 ans.
+
+1. Quelle est la probabilité qu’un homme qui vient de naître soit
+ encore en vie à 50 ans?
+
+2. Quelle est la probabilité qu’un homme qui vient de naître soit
+ encore en vie à 70 ans?
+
+3. Quelle est la probabilité qu’un homme de 50 ans soit encore en vie Ã
+ 70?
+
+---
+
+### Evénements indépendants
+
+Prenons maintenant le cas “pathologique†où nous cherchons la
+probabilité conditionnelle $p(A|B)$, mais où la réalisation de $B$ n’a
+aucune influence sur la réalisation de $A$. On a donc $$p(A|B)=p(A).$$
+Il vient $$p(A|B)=\frac{p(A\cap B)}{p(B)}=p(A).$$ On en déduit que
+$$p(A\cap B)=p(A)\cdot p(B).$${#eq:indep} On calcule aussi
+$p(B|A)$
+$$p(B|A)=\frac{p(A\cap B)}{p(A)}=\frac{p(A)\cdot p(B)}{p(A)}=p(B).$$
+Donc si $A$ ne dépend pas de $B$, alors la réciproque est vraie
+aussi. Les événements qui satisfont la propriété de l’équation
+@eq:indep sont appelés indépendants. Dans le cas contraire ils
+sont appelé dépendants.
+
+Afin d’illustrer l’indépendance, prenons à nouveau le jet de dé.
+Supposons que nous effectuions deux tirages de suite et que l’événement
+$A$ soit “tirer un 6 au premier tirage†et que l’événement $B$ soit
+“tirer un $2$ au deuxième tirageâ€. On a que
+$$p(A)=\frac{1}{6},\quad p(B)=\frac{1}{6},\quad p(A\cap B)=\frac{1}{36}.$$
+On a donc bien $p(A\cap B)=p(A)\cdot p(B)$ et les événements sont
+indépendants. Cela semble bien naturel étant donné que le premier tirage
+du dé ne va en rien influencer le résultat du deuxieme tirage. Tout
+comme un tirage de l’euromillions d’une semaine ne va pas influencer le
+résultat de celui de la semaine suivante.
+
+---
+
+Exercice (Evénements indépendants) +.#
+
+On jette une pièce de monnaie deux fois de
+suite. Les résultats possible pour chaque jet sont: $P$, ou $F$.
+
+1. Ecrivez l’univers des événements.
+
+2. Calculez les probabilités des événements $A$ “face au premier jetâ€,
+ $B$ “pile au second jetâ€.
+
+3. Calculez la probabilité $p(A\cap B)$.
+
+4. Est-ce que les jets sont indépendants?
+
+---
+
+### Tirages multiples
+
+Jusqu’ici on a lancé le dé une fois et calculé la probabilité liée à ce
+lancer unique. A présent, on va tirer le dé plusieurs fois et calculer
+les probabilités d’obtenir des séquences de réalisations. Pour notre
+exemple on va prendre un cas où on tire le dé deux fois successivement.
+Ce type de tirage est appelé *tirage successif avec remise*, car les
+deux tirages sont successifs et indépendants entre eux (on va tirer deux
+fois le même dé). L’univers de cette expérience est la combinaison de
+tous les résultats obtenus avec chacun des dés
+$$\Omega=\{11,12,13,14,15,16,21,22,23,24,25,26,...,61,62,63,64,65,66\}.$$
+Il y a $6\times 6=6^2=36$ résultats possibles à ce tirage. Il faut noter
+ici que l’ordre dans lequel le tirage a lieu est important; le tirage
+$26$ est différent du tirage $62$. On verra par la suite des exemples où
+cela n’est pas le cas.
+
+On cherche à savoir quelle est la probabilité d’obtenir l’événement
+$A=\{26\}$.
+
+Comme précédemment la probabilité de réaliser l’événement $A$ est le
+nombre d’éléments dans $A$ divisé par le nombre d’éléments dans
+$\Omega$. La probabilité est donc immédiatement obtenue
+$$p(A)=\frac{1}{36}.$$ Une autre façon de visualiser ce genre de
+réalisation est de l’écrire sous forme d’arbre (voir la figure
+@fig:arbre).
+
+{#fig:arbre width="\textwidth"}
+
+Comme pour le cas à un tirage, tout tirage successif de dés est
+équiprobable et la probabilité de chaque tirage est de $1/36$.
+
+Une autre façon de calculer la probabilité d’obtenir $A=\{26\}$ est de
+constater que la probabilié d’obtenir ce tirage succesif est la
+probabilité de tirer $2$, puis la probabilité de tirer $6$. La
+probabilité de cet enchaînement est obtenu en multipliant les événements
+élémentaires
+$$p(\{26\})=p(\{2\})\cdot p(\{6\})=\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}.$$
+
+{#fig:arbre2 width="\textwidth"}
+
+Afin de calculer la probabilité du tirage $26$ il suffit de suivre le
+chemin menant de la racine à la feuille correspondante et de multiplier
+les probabilités inscrites sur chacune des branches.
+
+Si à présent, nous voulons savoir quelle est la probabilité de tirer un
+$2$ ou un $4$ avec le premier dé et un nombre pair avec le second, on a
+trois façons de calculer le résultat. La façon compliquée, où on compte
+toutes les possibilités. L’événement précédent s’écrit
+$$A=\{22,24,26,42,44,46\}.$$ On a donc que $p(A)$ est donné par
+$$p(A)=\frac{\mbox{nombre d'éléments dans }A}{\mbox{nombre d'éléments dans }\Omega}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}.$$
+L’autre façon (plus simple) est d’utiliser la propriété du produit des
+probabilité. Nous savons que la probabilité de tirer un $2$ ou un $4$
+avec le premier dé est de $1/3$, puis la probabilité de tirer un nombre
+pair avec le deuxième est de $1/2$. On a donc finalement que
+$$p(A)=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{6}.$$ Finalement, on peut
+aussi utiliser la représentation sous forme d’arbre où on somme
+simplement les probabilités de chacun des éléments de $A$ (voir figure
+@fig:arbre3).
+
+{#fig:arbre3 width="\textwidth"}
+
+Comme vu dans la section @sec:disjoints, il suffit de prendre la
+somme des probabilités des événements élémentaires $$\begin{aligned}
+ p(A)&=p(\{22\})+p(\{24\})+p(\{26\})+p(\{42\})+p(\{44\})+p(\{46\})\nonumber\\
+ &=\frac{1}{36}+\frac{1}{36}+\frac{1}{36}+\frac{1}{36}+\frac{1}{36}+\frac{1}{36}\nonumber\\
+ &=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}.\end{aligned}$$
+
+Si à présent l’ordre dans lequel les dés sont tirés n’a plus
+d’importance le calcul de probabilités change un peu. On désire savoir
+quelle est la probabilité d’obtenir $26$ dans un ordre arbitraire. On
+peut donc obtenir cette combinaison en tirant $26$ ou en tirant $62$. On
+a donc $A=\{26,62\}$. La probabilité de réaliser $A$ est donc
+$$p(A)=\frac{2}{36}=\frac{1}{18}.$$ On peut calculer cette probabilité
+de nouveau avec l’arbre ou en comptant. Une façon de nouveau plus simple
+dans bien des cas est d’utiliser les produits de probabilités. La
+probabilité de tirer $26$ ou $62$ est la probabilité de tirer d’abord
+$2$ ou $6$, puis de tirer le nombre restant ($2$ si on a d’abord tiré
+$6$ ou $6$ si on a d’abord tiré $2$). La probabilité de tirer $2$ ou $6$
+est de $1/3$, puis la probabilité de tirer le nombre restant est de
+$1/6$. On a donc que $$p(A)=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{18}.$$
+
+---
+
+Exercice +.#
+
+1. Calculer la probabilité d’obtenir $2$ comme la somme des deux
+ nombres tirés par deux dés.
+
+2. Calculer la probabilité d’obtenir $3,4,5,6,7,8,9,10,11,12$ comme la
+ somme des deux nombres tirés par deux dés.
+
+3. Calculer la probabilité d’obtenir $7$ comme la somme des deux
+ nombres tirés par deux dés.
+
+4. Calculer la probabilité d’obtenir $6$ soit avec 1 soit avec 2 dés.
+
+5. Déterminer le nombre de combinaisons possibles avec 3, 4, 5 dés.
+ Pouvez vous généraliser à $n$ dés?
+
+6. Soit un tirage aléatoire offrant 2 possibilités (pile ou face par
+ exemple). Quel est le nombre de combinaisons possibles si on tire
+ $n$ fois? Pouvez-vous généraliser pour un tirage aléatoire offrant
+ $m$ possibilités qu’on tire $n$ fois?
+
+---
+
+### La distribution multinomiale
+
+Plus nous allon rajouter des tirages successifs plus il va être
+compliqué de calculer les probabilités de tirer une certaine combinaison
+de nombres. Il existe néanmoins une formule qui généralise les tirages
+successifs avec remise. Prenons le cas où nous avons un dé qui ne donne
+pas chaque nombre de façon équiprobable, mais avec probabilité
+$\{p_i\}_{i=1}^6$. Nous souhaitons savoir quelle est la probabilité de
+tirer deux fois le 1 et une fois le 2 lors de trois tirages successifs.
+
+Dans ce tirage l’ordre dans lequel sont obtenus ces tirages ne sont pas
+importants. Il y a donc les tirages possibles qui sont admissibles
+$$[112]=\{112, 121, 211\}.$$ On a donc que la probabilité associée est
+de $$p([112])=p(112)+p(121)+p(211).$$ Ces trois probabilités sont
+données par $$\begin{aligned}
+ p(112)&=p_1\cdot p_1\cdot p_2=p_1^2\cdot p_2,\\
+ p(121)&=p_1\cdot p_2\cdot p_1=p_1^2\cdot p_2,\\
+ p(211)&=p_2\cdot p_1\cdot p_1=p_1^2\cdot p_2.\end{aligned}$$ Les
+tirages étant indépendants on a que la probabilité de
+tirer $1$ ou $2$ est indépendante du moment où ils sont tirés et donc
+ces trois probabilités sont égales.
+
+Finalement la probabilité de tirer deux 1 et un 2 est de
+$$p([112])=p(112)+p(121)+p(211)=3\cdot p_1^2\cdot p_2.$$ A présent
+nous considérons la probabilité de tirer $[1123]$ en 4 tirages. Les
+tirages possibles sont
+$$[1123]=\{1123, 1132, 1213, 1231, 1312, 1321, 2113, 2131, 2311, 3112, 3121, 3211\}.$$
+Il y a donc 12 tirages possibles pour cette combinaison. De plus les
+tirages étant indépendants on a que toutes ces combinaisons sont
+équiprobables avec probabilité $$p(1123)=p_1^2p_2p_3.$$ Finalement on a
+$$p([1123])=12 p_1^2p_2p_3.$$ Si nous définissons $n_i$ le nombre de
+fois où on obtient le résultat $i$ et qu’on cherche la probabilité de
+réaliser le tirage $[n_1,n_2,...,n_k]$, on constate que la probabilité
+de réaliser le tirage est proportionnelle Ã
+$p_1^{n_1}p_2^{n_2}\cdots p_6^{n_6}$. Il nous reste à déterminer le
+facteur multiplicatif venant devant. Pour le cas du tirage $1,1,2$, nous
+avons $[n_1n_2]$ avec $n_1=2$ et $n_2=1$ et le facteur devant le produit
+des probabilités est donné par $3$. Pour le tirage $1,1,2,3$ il est de
+$12$ et nous avons $n_1=2$, $n_2=1$, $n_3=1$. Nous pouvons écrire
+$$3=\frac{3!}{1!2!}\mbox{ et } 12=\frac{4!}{1!1!2!}.$$ En fait on peut
+constater que $$\frac{n!}{n_1!n_2!\cdots n_6!},$$ avec
+$n=\sum_{i=1}^6 n_i$. On a donc que
+$$p([n_1,n_2,...,n_6])=\frac{n!}{n_1!\cdots n_6!}p_1^{n_1}\cdots p_6^{n_6}.$$
+De façon complètement générale ce genre de probabilité se calcule grâce
+Ã la *distribution multinomiale*
+$$p([n_1,...,n_k])=\frac{n!}{n_1!\cdots n_k!}p_1^{n_1}\cdots p_k^{n_k}.$$
+
+---
+
+Exercice +.#
+
+On lance un dé parfait 10 fois. Quelle est la probabilité d’obtenir:
+
+1. 10 fois 6?
+
+2. 4 fois 3, 3 fois 2 et 3 fois 1?
+
+3. 2 fois 1, 2 fois 2, 2 fois 3, 1 fois 4, 1 fois 5, et 1 fois 6?
+
+---
+
+Exemple du lotto
+----------------
+
+Dans un lotto on a dans une urne (souvent une machine spécialement conçue contenant de petites bales numérotées)
+un nombre de jetons numérotés, disons
+pour l’exemple entre 1 et 6, qui sont tirés successivement. Une fois un
+jeton tiré, il ne sera pas remis dans le sac. On appelle ce genre de
+tirage *sans remise*. Contrairement au cas des dés vus dans la section
+précédente qui était ‘*avec remise*. On tire un nombre fixé de jetons,
+disons 3. On souhaite déterminer la probabilité d’obtenir une suite
+donnée de 2 numéros, disons $25$. Disons aussi que pour cet exemple l’ordre du
+tirage a de l’importance (ce qui n’est pas le cas du lotto).
+
+Afin de calculer cette probabilité le fait qu’on effectue un tirage avec
+remise est primordial. En effet considérons le cas initial illustré dans
+la @fig:loto.
+
+{#fig:loto height="1.8truecm"}
+
+Pendant le premier tirage, nous tirons le numéro 2 (voir figure
+@fig:loto2). Notons que le tirage du 2 a une probabilité
+$\frac{1}{6}$.
+
+{#fig:loto2 height="1.8truecm"}
+
+Il est donc enlevé du sac et il nous reste uniquement 5 chiffres parmi
+lesquels choisir (les chiffres $1$, $3$, $4$, $5$, et $6$, comme dans la
+@fig:loto3).
+
+{#fig:loto3 height="1.8truecm"}
+
+Comme il ne nous reste que 5 chiffres, la probabilité de tirer un des
+nombres restant, disons le $5$, est de $\frac{1}{5}$ (voir la figure
+@fig:loto4).
+
+{#fig:loto4 height="1.8truecm"}
+
+Le 5 sera lui aussi retiré et il ne restera que 4 numéros dans le sac et
+ainsi de suite.
+
+On voit donc que la probabilité de tirer la suite ordonnée $25$ est de
+$$p(\{25\})=p(\{2\})\cdot p(\{5\})=\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{5}=\frac{1}{30}.$$
+A présent, si nous considérons que l’ordre n’a pas d’importance, on a
+comme dans la section précédente que l’événement qui nous intéresse est
+$A=\{25,52\}$. On peut donc décomposer ce cas en 2 et dire qu’on a dans
+un premier temps la probabilité de tirer $2$ ou $5$ parmi $6$ nombres,
+puis on a la probabilité de tirer le $5$ ou le $2$ (respectivement si on
+a tiré $2$ ou $5$) parmi 5. Les deux probabilités sont donc données
+respectivement par $p(\{2,5\})=\frac{2}{6}$ puis par
+$p(\{5,2\}\backslash \{2\mbox{ ou }5)=\frac{1}{5}$ pour trouver la probabilité $\frac{1}{15}$.
+
+---
+
+Exerice +.#
+
+1. Le jeu Euromillions consiste en un tirage de 5 numéros parmi 50
+ possible, puis par le tirage de 2 “étoiles†parmi 11 possibles.
+ Déterminez la probabilité de trouver la bonne combinaison à un
+ tirage.
+
+2. Le jeu du swiss lotto, consiste au tirage de 6 numéros parmi 42
+ possibles, puis au tirage d’un numéros parmi 6. Calculez la
+ probabilité de gagner au swiss lotto.
+
+---
+
+Quelques exercices
+------------------
+
+Afin de continuer avec ces concepts de tirages aléatoires avec ou sans
+remise de suites ordonnées ou non, nous allons faire quelques exercices.
+Il peut se révéler utile de dessiner un arbre pour ces exercices.
+
+1. Dans une urne se trouvent 2 boules blanches et 3 boules noires. On
+ tire successivement deux boules sans remise. Calculer et comparer
+ les probabilités des deux événements suivants
+
+ - Tirer deux boules de même couleur.
+
+ - Tirer deux boules de couleurs différentes.
+
+2. Une bille, lâchée en $O$ tombe dans l’une des trois boîtes $A$, $B$,
+ ou $C$. A chaque bifurcation, la bille tombe à gauche avec la
+ probabilité de 0.25 et à droite avec la probabilité de 0.75 (voir
+ @fig:bille)
+
+ {#fig:bille height="2.8truecm"}
+
+ - Calculer les probabilités $p(A)$, $p(B)$, $p(C)$ pour qu’une
+ bille lâchée de O tombe respectivement dans la boîte $A$, $B$ ou
+ $C$.
+
+ - On lâche deux billes en $O$. Calculer la probabilité pour que
+ les deux billes tombent dans la même boîte.
+
+ - On lâche trois billes en $O$. Calculer la probabilité d’avoir
+ une bille dans chaque boîte.
+
+ - On lâche dix billes en $O$. Calculer la probabilité d’avoir au
+ moins trois billes dans la boîte B.
+
+3. A la naissance, la probabilité qu’un enfant soit un garçon est de
+ $p(G)=0.514$.
+
+ - Calculer et la probabilité qu’un enfant soit une fille.
+
+ - On considère la naissance de deux enfants. Calculer et la
+ probabilité que les deux enfants soient de même sexe.
+
+ - On considère la naissance de deux enfants. Calculer et la
+ probabilité que les deux enfants soient de sexes différents.
+
+Variables aléatoires
+--------------------
+
+Lors d’une expérience aléatoire, il est assez commun de relier chaque
+événement de l’univers, $A\in\Omega$, à un nombre réel,
+$X(A)\in{\real}$. Cette relation est définie par une fonction qui
+porte le nom de variable aléatoire et peut s’écrire mathématiquement
+sous la forme $$X:\Omega\rightarrow {\real}.$$ Afin de mieux
+comprendre ce concept voyons quelques exemples
+
+1. Lors d’un jet de dé unique l’univers est défini par
+ $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$. On peut de façon assez naturelle définir
+ notre variable aléatoire comme $$X:i\rightarrow i.$$
+
+2. Si nous lançons une pièce de monnaie les deux issues possibles sont
+ pile $p$, ou face $f$ ($\Omega={p,f}$). Nous pouvons définir la
+ variable aléatoire $X$ comme $$X:\left\{\begin{array}{l}
+ p\rightarrow 0\\
+ f\rightarrow 1
+ \end{array}\right.$$
+
+3. Si nous lançons une pièce de monnaie à deux reprises, les issues
+ possibles sont $(p,p)$, $(p,f)$, $(f,p)$, $(f,f)$. Nous pouvons
+ définir la variable aléatoire $X$ comme $$X:\left\{\begin{array}{l}
+ (p,p)\rightarrow 0\\
+ (p,f)\rightarrow 1\\
+ (f,p)\rightarrow 1\\
+ (f,f)\rightarrow 2
+ \end{array}\right.$$
+
+Comme nous nous sommes posés la question de connaître la probabilité
+d’obtenir un certain résultat lors d’une expérience aléatoire, il en va
+de même avec la probabilité que la variable aléatoire $X$ prenne une
+valeur donnée, $\alpha\in{\real}$ ou prenne une valeur incluse dans
+un intervalle $I\subseteq{\real}$.
+
+Pour illustrer ce qui se passe, intéressons-nous au dernier exemple
+ci-dessus avec le double pile ou face. On se pose les questions
+suivantes
+
+1. Quelle est la probabilité que $X$ prenne la valeur $1$?
+
+2. Quelle est la probabilité que $X$ prenne une valeur incluse dans
+ $I=[0.6,3]$?
+
+3. Quelle est la probabilité que $X$ prenne une valeur inférieure Ã
+ $2$?
+
+Prenons ces trois questions une par une
+
+1. Les deux façons d’obtenir $X=1$ est d’avoir les tirages $(p,f)$ ou
+ $(f,p)$, soit $A=\{(p,f), (f,p)\}$. Les probabilités de chacun des
+ événements de l’univers étants équiprobables on a
+ $$p(X=1)=p(A)=1/2.$$
+
+2. Le seul événement donnant un $X$ qui n’est pas dans l’intervalle
+ $J=[0.6,3]$ est $B=(p,p)$ ($X(B)=0$). On a donc que
+ $$p(0.6\leq X\leq 3)=p(\bar B)=1-p(B)=\frac{3}{4}.$$
+
+3. De façon similaire les trois événements donnant $X<2$ sont dans
+ $C=\{(p,p), (p,f), (f,p)\}$. On a donc $$p(X<2)=p(C)=\frac{3}{4}.$$
+
+On constate au travers de ces trois exemples que la probabilité que la
+variable aléatoire $X$ prenne une valeur particulière $\alpha$ ou soit
+dans un intervalle $I$ est reliée à la probabilité d’obtenir un
+événement $D$ qui serait la préimage de $\alpha$ ou d’un intervalle $I$.
+On peut noter dans le cas général qu’on a $D=X^{-1}(I)$.
+
+---
+
+Définition (Variable aléatoire) +.#
+
+On dit que la fonction $X:\Omega\rightarrow{\real}$ est une
+*variable aléatoire* si la préimage de $X$ sur tout intervalle,
+$I\subseteq{\real}$, est un événement $A\in \Omega$. La probabilité
+que $X$ prenne une valeur dans l’intervalle $I$ est égale à la
+probabilité de réaliser l’événement $A$ $$p(X\in I)=p(A).$$
+
+---
+
+---
+
+Définition (Fonction de répartition) +.#
+
+On dit que la fonction $F:{\real}\rightarrow{\real}$ est une
+*fonction de répartition* si $F(x)=p(X\leq x)$ pour tout
+$x\in{\real}$.
+
+---
+
+Nous distinguons deux sortes de variables aléatoires: les
+variables aléatoires discrètes et continues. Nous les discuterons
+brièvement dans les deux sous-sections suivantes.
+
+Nombres aléatoires
+------------------
+
+Les nombres aléatoires, bien que pas directement reliés aux
+probabilités, sont utilisés dans un certain nombre de domaines qui vont
+de la cryptographie aux simulations physiques. Nous allons voir une
+introduction simplifiée à la génération de nombres aléatoires sur un
+ordinateur et les différentes problématiques reliées à leur génération.
+
+Une très bonne référence concernant les nombre aléatoires est le site
+`http://www.random.org`.
+
+### Générateurs algorithmiques: une introduction (très) générale
+
+Le but des générateurs de nombres aléatoires est de produire une suite
+de nombres entiers, ($n\in{\mathbb{N}}$) $$\{X_0,X_1,...,X_n\},$$ avec
+$X_i\in A$, où $A=[0,m]$, avec $m\in {\mathbb{N}}$ (dans le cas de la
+fonction `rand()` de $C$, $M$ est donné par la constante prédéfinie
+`RAND_MAX` qui and certains cas est $2^{31}-1$). La probabilité de tirer
+chacun des nombres dans l’intervalle $A$ est égale. On dit que la
+distribution des nombres est uniforme. De plus, les nombres tirés ne
+doivent pas dépendre de l’histoire des nombres tirés précédemment et on dit que les nombres sont idépendants.
+
+Si on veut maintenant plutôt tirer des nombres réels uniformément
+distribués entre $[0,1]$, il suffit de diviser les nombres $X_i$ par $m$
+après chaque tirage. De façon similaire, si nous voulons tirer des
+nombres dans l’intervalle $[\alpha,\beta]$, on utilise la formule de
+remise à l’échelle suivante $$N_i=\alpha+(\beta-\alpha)X_i/m.$$ Il faut
+remarquer que pour que cette formule puisse est utilisée il est
+nécessaire que $(\beta-\alpha)<M$.
+
+Les transformations que je donne ici ne sont pas toujours celles
+implémentées. En effet, il existe des transformations beaucoup plus
+efficaces d’un point de vue computationnel pour changer l’intervalle des
+nombres aléatoires.
+
+Sans entrer dans les détails, la génération de nombres aléatoires
+n’ayant pas une distribution uniforme s’obtient en effectuant une
+transformation un peu plus complexe que celle ci-dessus en partant
+toujours de la suite de nombres aléatoires entiers.
+
+Les nombres aléatoires produits de façon algorithmique (donc avec un
+ordinateur) ne peuvent pas être vraiment aléatoires, car ils sont obtenus
+avec une machine déterministe (les opérations faites à l’aide d’un
+ordinateur sont par définition reproductibles avec une chance d’erreur
+quasiment nulle). On parle donc de nombre pseudo-aléatoires.
+
+Néanmoins, bien que ces chiffres ne soient pas vraiment aléatoires, ils
+peuvent posséder des propriétés qui les rendent satisfaisants pour la
+plupart des applications. Cette suite de nombres doit avoir des
+propriétés particulières quand $m\rightarrow\infty$. Sans entrer pour le
+moment trop dans les détails, on veut par exemple que la moyenne des
+nombres tirés soit $m/2$, que la corrélation entre des sous-suites de
+nombres soit nulle, ou encore qu’il n’existe pas de séquence qui se
+répète (ou au moins que la période de répétition soit très très longue).
+Néanmoins, il est assez compliqué de définir des tests très robustes
+pour évaluer la qualité des nombres aléatoires algorithmiques.
+
+### Les générateurs congruenciels linéaires {#sec:congr}
+
+Pendant très longtemps, les générateurs de nombres aléatoires
+algorithmiques ont été des générateurs congruenciels linéaires, dont la
+génération est donné par la formule suivante. Soit $X_i$ un nombre
+aléatoire, alors le prochain nombre de la série est donné par
+$$X_{i+1}=(aX_i+c)\mod m,$$ où $a$, $c$ et $m$ sont des paramètres de
+notre générateur. On constate que la seule partie éventuellement
+aléatoire de n’importe quelle séquence est la valeur initiale de notre
+séquence $X_0$ (aussi appelée *graine*). Tous les autres nombres obtenus
+sont déterministes. Pour chaque valeur de graine, on aura toujours la
+même séquence de nombre tirés.
+
+Il est très important de noter que la qualité des nombres aléatoires
+obtenus sont extrêmement dépendants des valeurs de $a$, $c$ et $m$
+choisies (et des relations entre elles). Si par exemple, on choisit
+$a=1$, $c=1$, $m=10$ et $X_0=0$, on va avoir comme suite de nombre
+aléatoire $$\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,0,1,2,3,...\},$$ ce qui n’est pas très
+aléatoire vous en conviendrez... Il est donc très important de tenter
+d’optimiser les valeurs $a$, $c$ et $m$ pour avoir des séquences aussi
+“aléatoires†que possible.
+
+Une première chose à remarquer c’est que $m$ sera la valeur maximale de
+la période de notre générateur de nombre aléatoire (la période est le
+nombre de tirages qu’il faudra effectuer pour que la série se répète
+exactement).
+
+Quelques paramètres utilisés dans des générateurs connus sont par
+exemple
+
+- la fonction `rand()` du langage $C$
+ $$a=1103515245,\quad c=12345,\quad m=2^{32}.$$
+
+- la fonction `drand()` du langage $C$
+ $$a=25214903917,\quad c=11,\quad m=2^{48}.$$
+
+- le générateur `RANDU` des ordinateurs IBM des années 1960
+ $$a=65539,\quad c=0,\quad m=2^{32}.$$
+
+Ce genre de générateur de nombres aléatoires est très efficace d’un
+point de vue computationnel mais la qualité des nombres aléatoires est en général
+insuffisante. Plusieurs améliorations ont été proposées. Par
+exemple, pour chaque étape, on peut générer $k$ nombres aléatoires avec
+un générateur congruentiel linéaire et combiner les nombres.
+
+La méthode probablement la plus populaire consiste à utiliser des
+récurrences matricielles sur la représentation binaire des nombres. Soit
+$\tilde X_i$ la représentation sur $k$ bits de $X_i$, alors
+$\tilde X_{i+1}$ est donné par $$\tilde X_{i+1}=A \tilde X_i \mod 2,$$
+où $A$ est une matrice $k\times k$. Ce genre de générateur a l’énorme
+avantage d’être extrêmement efficace. Ils sont à la base de l’algorithme
+Mersenne Twister. Ces générateurs ont généralement une période
+extrêmement longue (qui a la particularité d’être un nombre premier de
+type Mersenne dont la forme est $m=2^l-1$, avec $l\in{\mathbb{N}}$).
+
+Bien que ne soyant pas parfaits ces générateurs ont aussi le grand avantage
+d’être très rapides et peu gourmands en ressources de calcul. La
+facilité de description et d’utilisation de tels générateurs, permet des
+tests très poussés quant à leur qualités et leurs limites par la
+communauté scientifique. Finalement, les besoins de débuggage de codes,
+la reproductibilité d’une série de nombres aléatoires peut être d’un
+grand secours.
+
+### Les générateurs physiques
+
+Une autre façon de générer des nombres aléatoires, serait d’utiliser des
+phénomènes physiques qui contiennent de façon inhérente des processus
+aléatoires. On peut imaginer lancer un dé “à la mainâ€, mesurer les
+émissions radioactives d’atomes (mesurer leur spin), etc... Ou encore
+effectuer des lancer de jeux aussi peu biaisés que possibles (roulette,
+dé, etc).
+
+Néanmoins, cette façon de faire a un certain nombre de désavantages. Le
+premier est que l’acquisition des données “en temps réel†de ces
+processus est en général plusieurs ordres de grandeurs trop lente par
+rapport aux besoins pratiques. Par rapport à un générateur algorithmique
+très peu coûteux, un dispositif “physique†peut être très coûteux en
+espèces sonnantes et trébuchantes.
+
+Il a néanmoins été envisagé de stocker de très grandes quantités de
+nombres aléatoires sur un support quelconque et de les fournir Ã
+l’utilisateur quand cela s’avère nécessaire. Le problème principal qui a
+été révélé par cette façon de faire est que le processus de mesure des
+différents processus est loin d’être parfait et engendre des biais
+importants dans la qualité des nombres obtenus ce qui les rend souvent
+en pratique moins bons que les nombres obtenus avec des générateurs de
+nombres pseudo-aléatoires...
+
+### Comment décider si une suite de nombres pseudo-aléatoires peut être considérée comme aléatoire
+
+Cette question est extrêmement compliquée. Pour simplifier considérons
+le tirage de nombres entiers $X_i\in \{0,1\}$. Les tirages aléatoires
+sont uniformément distribués, on a donc que $p(0)=p(1)=1/2$. Supposons
+qu’on obtient une suite de 10 nombres avec deux générateurs différents
+$$\begin{aligned}
+ X&=\{0,0,1,1,1,0,1,0,1,0\},\\
+ Y&=\{0,0,0,0,0,0,0,0,0,0\}.\end{aligned}$$ On voit que la suite $Y$
+semble beaucoup moins aléatoire que la suite $X$. En effet, la
+probabilité de tirer 10 fois 0 en 10 tirages est de
+$p(Y)=1/2^{10}=1/1024$, alors que la probabilité d’avoir autant de 0 que
+de 1 est de $1/2$. De façon générale on aimerait que la répartition
+soit $35\%$-$65\%$ avec une probabilité de $90\%$.
+
+Néanmoins, ce critère n’est pas suffisant. En effet la suite
+$$Z=\{0,1,0,1,0,1,0,1,0,1\},$$ satisfait bien le critère ci-dessus. En
+revanche la probabilité de n’avoir pas deux tirages $0$ ou $1$ de suite
+est très faible (moins de $5\%$).
+
+De ces constatations on peut dire qu’un générateur de nombres
+pseudo-aléatoires est de bonne qualité si les tirages qui sont effectués
+vérifient les propriétés du tirage avec une forte probabilité. On
+constate que cette définition est vague. En particulier la définition de
+“forte†est pas très précise. Il faut cependant noter que souvent nous
+sommes intéressés à des suites qui ont une longueur $n$. Donc pour
+$n\rightarrow\infty$ on va vouloir que les probabilités vont toutes
+tendre vers $1$.
+
+Néanmoins, il est certain qu’aucun générateur ne peut être parfait. En
+effet, les nombres étant toujours représentés avec une précision finie,
+il est impossible d’être capable de représenter exactement toutes les
+propriétés d’une série de nombres vraiment aléatoires avec un générateur
+pseudo-aléatoire. On va donc plutôt considérer une autre définition pour
+la qualité d’un générateur algorithmique.
+
+Considérons une simulation nécessitant la génération de nombres
+aléatoires. Un “bon†générateur de nombres pseudo-aléatoire produit une
+série de nombres qui peut être utilisée en lieu et place de vrai nombres
+aléatoires sans que la simulation n’en soit affectée. Par exemple, le
+calcul du nombre $\pi$ vu dans les exercices doit être trouvé avec la
+précision désirée avec le générateur de nombre pseudo-aléatoires pour
+que celui-ci soit considéré comme bon.
+
+### Quelques règles générales
+
+La règle précédente bien que satisfaisante, n’est pas forcément simple Ã
+tester. En effet, il ne permet pas de prévoir la qualité d’un générateur
+a priori. Il nous faut donc quelques qualités minimales pour les
+générateurs de nombres aléatoires.
+
+#### La périodicité
+
+Tout générateur de nombres pseudo-aléatoires va à un moment ou un autre
+devenir périodique (la séquence de nombres générés vont se répéter Ã
+l’infini). Notons la période du générateur aléatoire $T$. Il est évident
+que dès qu’on atteint un nombre de tirages équivalent à la période
+(${\mathrm{card}}(X)\sim T$), on va avoir des nombres pseudo-aléatoires
+qui ne sont plus du tout satisfaisants. En fait on peut montrer que des
+problèmes apparaissent dès que le nombre de tirages atteint un nombre
+équivalent à $T^{1/3}$. Une condition primordiale pour avoir un “bonâ€
+générateur de nombres pseudo-aléatoire est donc une période élevée. Pour
+des générateurs aléatoires modernes, un période $T<2^{100}$ n’est pas
+considérée comme satisfaisante pour la plupart des applications.
+
+Évidemment il est impossible de tester la périodicité de tels
+générateurs de façon expérimentale ($2^{100}\sim 10^{30}$). Cela ne peut
+se faire que par des études analytiques approfondies. Comme expliqué
+dans la @sec:congr la période maximale d’un générateur
+congruentiel linéaire est $m$. Dans les 3 exemples donnés la période est
+respectivement de $2^{32}$, $2^{48}$, ou $2^{32}$. Ils ne devraient donc
+plus être utilisés dans des applications modernes. A titre de
+comparaison le générateur Mersenne Twister possède une période de
+$2^{19937}-1$.
+
+Il est évident que la période à elle seule ne suffit pas à déterminer si
+un générateur de nombres pseudo-aléatoires est bon. En particulier on
+peut prendre un générateur congruentiel, où $$X_{i+1}=(X_i+1)\mod m,$$
+avec $m$ aussi grand qu’on veut (disons $m=2^{2000}$ par exemple) mais
+la séquence de nombres générés ne sera absolument pas aléatoire, étant
+donné qu’on aura
+$$X=\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ..., 2^{2000}-1, 0, 1, 2, ...\},$$ si
+$X_0=0$. Cela pourrait ne pas être problématique en soi, si la séquence
+avec une graine $X_0=1$ n’était pas si similaire
+$$X=\{1, 2, 3, 4, 5, 6, ..., 2^{2000}-1, 0, 1, 2, ...\}.$$ Il est donc
+nécessaire d’avoir d’autres critères que la seule période. C’est le
+sujet de la sous-section suivante.
+
+#### La discrépance
+
+Afin d’éliminer les générateurs de nombres pseudo-aléatoires comme
+l’exemple qu’on vient de citer, il faut étudier la répartition des
+nombres. Sans tomber dans le cas pathologique de la section précédente,
+on peut imaginer des nombres qui ont l’air aléatoires, mais qui ont un
+biais. Reprenons l’exemple du tirage entre $[0,1]$. Nous pouvons
+imaginer une suite très longue sans période avec des tirages aléatoires,
+mais avec beaucoup plus de 0 que de 1, ce qui évidemment serait
+problématique.
+
+On doit donc trouver un moyen de tester la répartition des nombres de
+façon plus quantitative. Une façon de le faire est de considérer
+l’ensemble des $k-$uplets de nombres définis par
+$$X^k=\{X_1,X_2, ..., X_k\},$$ où $X_0$ est supposé tiré uniformément
+dans l’ensemble de départ (ici supposons que c’est $[0,1]$ à titre
+d’exemple). En prenant toutes les graines existantes, on attend d’un bon
+générateur qu’il recouvre tout l’espace des résultats possibles pour les
+$k-$uplets formés avec des nombres aléatoires dans $[0,1]^k$. En
+d’autres termes, il faut que des graines différentes génèrent des
+$k-$uplets différents pour toutes valeurs de $k$.
+
+De nouveau ce genre de tests est très compliqué à tester
+expérimentalement pour $k$ de l’ordre de la période du générateur de
+nombres aléatoires. Des analyses théoriques sont dès lors primordiales,
+mais bien en dehors du champs de ce cours...
+
+Il existe beaucoup d’autres possiblités (il y a des recommandations
+sur le site `http://www.random.org`) pour tester des nombres aléatoires.
\ No newline at end of file
diff --git a/07_remerciements.md b/07_remerciements.md
new file mode 100644
index 0000000..2968290
--- /dev/null
+++ b/07_remerciements.md
@@ -0,0 +1,7 @@
+Remerciements
+=============
+
+Je voudrais remercier (par ordre alphabétique) les étudiants du cours
+qui ont contribué à améliorer ce polycopié. En espérant que cette liste
+continuera à s’allonger avec les années. Merci à Messieurs
+Borel, Gay-Balmaz, Ibanez, Lovino et Sousa. Je voudrais également remercier A. Malaspinas pour sa relecture et ses corrections.
\ No newline at end of file
diff --git a/cours.md b/cours.md
index ec1a936..c7c4f9b 100644
--- a/cours.md
+++ b/cours.md
@@ -20,5007 +20,8 @@ urlcolor: blue
\newcommand{\ux}{\bm{x}}
\newcommand{\dd}{\mathrm{d}}
\newcommand{\real}{\mathbb{R}}
-\newcommand{\integer}{\mathbb{Z}}
-\newcommand{\definition}{\textbf{Definition }}
-\newcommand{\exemples}{\textbf{Exemples }}
-\newcommand{\remarque}{\textbf{Remarque }}
-\newcommand{\proprietes}{\textbf{Propriétés }}
-\newcommand{\propriete}{\textbf{Propriété }}
\newcommand{\grad}{\mathrm{grad}}
-# Rappel
-
-## Fonctions
-
-Une fonction $f$ de façon générale est un objet qui prend un (ou plusieurs) paramètres et qui lui (leur) associe un résultat
-$$
-\mbox{résultat}=f(\mbox{paramètres}).
-$$
-Nous pouvons aussi exprimer cette notion de la manière suivante. Considérons deux ensembles $A$ et $B$. Supposons qu'à chaque élément $x\in A$ est associé un élément dans $B$ que nous notons par $f(x)$. Alors on dit que $f$ est une fonction ou une application (de $A$ dans $B$). A ce niveau A et B sont arbitraires mais dans la suite nous allons nous intéresser surtout du cas où $A\subseteq\real$. $A$ est le *domaine de définition* de $f$. Les valeurs de $f$ constituent les *images* de $x$.
-
----
-
-Exemple (Fonctions, généralités) +.#
-
-1. La tension $U$ est une fonction de la résistance $R$ et du courant
- $I$ $$\begin{aligned}
- U=f(R,I)=R\cdot I.\end{aligned}$$
-
-2. Une fonction peut être quelque chose de beaucoup plus général (qu’on
- ne peut pas forcément représenter simplement avec des opérateurs
- mathématiques). Prenons le cas de la fonction qui pour un nombre
- entier $x$ rend le prochain entier dont le nom commence par la même lettre
- que $x$. $$f(2)=10,\ f(3)=13,\ ...$$
-
----
-
-Dans ce cours nous allons nous intéresser à des fonctions à un seul
-paramètre (aussi appelé variable). Si on note la variable $x$ et le
-résultat $y$, de façon générale on peut écrire $$y = f(x).$$ Si par
-ailleurs on a une fonction $g$ et une fonction $f$, on peut effectuer
-des compositions de fonction, qu’on note $g\circ f$, ou encore
-$$y=g(f(x)).$$
-
----
-
-Exemple (Fonctions) +.#
-
-1. Soit $f(x)=2\cdot x$ et $g(x)=\sqrt{x}$, alors la composition des
- deux fonctions $$(f\circ g)(x)=f(g(x))=f(\sqrt{x})=2\sqrt{x}.$$
-
-2. On peut composer un nombre arbitraire de fonctions. Voyons le cas
- avec trois fonctions $f(x)=2x^2+3$, $g(x)=\cos(2\cdot x)$, et
- $h(x)=1/x$ $$f(g(h(x)))=f(g(1/x))=f(\cos(2/x))=2\cos^2(2/x)+3.$$
-
----
-
-Pour certaines fonctions, notons les $f(x)$, on peut également définir
-une fonction inverse que l’on note $f^{-1}(x)$ dont la composition donne
-la variable de départ $$f(f^{-1}(x))=x.$$
-
----
-
-Exemple (Fonction inverse) +.#
-
-1. Soient $f(x)=2\cdot x$ et $f^{-1}(x)=x/2$, alors la composition des
- deux fonctions $$f(f^{-1}(x))=f(x/2)=2x/2=x.$$
-
-2. Soient $f(x)=x^2$ et $f^{-1}(x)=\sqrt{x}$, alors la composition des
- deux fonctions $$f(f^{-1}(x))=f(\sqrt{x})=|x|.$$ On a donc que
- $\sqrt{x}$ est l’inverse de $x^2$ uniquement pour les réels
- positifs. $f(x)=x^2$ n’a pas d’inverse pour les $x$ négatifs.
- On peut se convaincre qu'une fonction ne peu admettre une inverse que si elle
- elle satisfait la condition $x_1\neq x_2 \rightarrow f(x_1)\neq f(x_2)$.
- Dans notre exemple $-1\neq 1$ mais $(f(-1)=f(1)=1$
-
----
-
-## Domaine de définition
-
-
-Définition (Domaine de définition) +.#
-
-Le domaine de définition, noté $D\subset{\real}$, d’une fonction
-$f$, est l’ensemble de valeurs où $f$ admet une image.
-
----
-
-Exemple (Domaine de définition) +.#
-
-1. Le domaine de définition de $f(x)=x$ est $D={\real}$.
-
-2. Le domaine de définition de $f(x)=1/x$ est $D={\real}^\ast$.
-
-3. Le domaine de définition de $f(x)=\sqrt{x+1}/(x-10)$ est
- $D=[-1;10[\cup]10;\infty[$.
-
----
-
-## Limites
-
-Soit $f$ une fonction et $D\subseteq{\real}$ non-vide et soient $a$ et $b$ deux réels.
-
-### Limite
-
-Définition (Limite) +.#
-
-Pour $f$ définie en $D$, on dit que $b$ est la
-limite de $x$ en $a$ si si au fur et à mesure que $x$ se rapproche de $a$, $f(x)$ se rapproche de $b$ et nous notons $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=b$.
-C’est-à -dire pour tout voisinage de $b$ qui contient toutes les valeurs
-de $f(x)$ nous avons un voisinage de $a$ qui contient les valeurs de $x$ (suffisamment proches de $a$).
-
-La définition mathématique plus stricte est:
-
-*Pour tout $\varepsilon > 0$, il existe un $\delta >0$, tel que, pour tout $x\in D$ tel que $|x-a|<\delta$, on ait $|f(x)-a|<\varepsilon$.*
-
-Ou encore quand le but est d'écrire ça de la façon la plus compacte possible
-
-$$\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0\ |\ \forall x\in D,\ |x-a|<\delta\Rightarrow|f(x)-b|<\varepsilon.$$
-
-Remarque +.#
-
-Il n'est pas nécessaire que $a\in D$. Mais si c'est le cas et donc
-$f$ est définie en $a$ alors on a $\lim\limits_{x\rightarrow a}=f(a)$.
-
----
-
-Exemple (Limite) +.#
-
-Si $f(x)=x$, alors $\lim\limits_{x\rightarrow 0}f(x)=0$.
-
----
-
-Définition (Limite, asymptote) +.#
-
-Pour $f$ définie en $D$,
-on dit que la limite de $f(x)$ en $a$ est égale à l’infini si pour tout $c>0$ l’intervalle
-$[c;\infty[$ contient toutes les valeurs de $f(x)$ pour $x$ suffisamment proche de
-$a$. On dit aussi que $f$ tend vers l'infini.
-
----
-
-Exemple (Limite, asymptote) +.#
-
-Si $f(x)=1/x^2$, alors $\lim\limits_{x\rightarrow 0}f(x)=\infty$.
-
----
-
-### Limite à gauche, limite à droite
-
-Il est possible que le comportement de certaines fonctions
-soit différent selon qu’on approche $a$ par la gauche ou par la
-droite (i.e. $f(x)=1/x$, pour $a=0$).
-
-On note la limite à droite $\lim\limits_{x\rightarrow a^+} f(x)$ ou
-$\lim\limits_{x\rightarrow a,x>a} f(x)$ et
-$\lim\limits_{x\rightarrow a^-} f(x)$ ou
-$\lim\limits_{x\rightarrow a,x<a} f(x)$ la limite à gauche de la
-fonction $f$ en $a$.
-
-Si la fonction $f$ admet une limite en $a$, alors les deux limites
-sont égales.
-
-Exemple (Limite à gauche/droite) +.#
-
-Si $f(x)=1/x$, alors $\lim\limits_{x\rightarrow 0^+} f(x)=\infty$ et
-$\lim\limits_{x\rightarrow 0^-} f(x)=-\infty$.
-
-### Comportement asymptotique
-
-Dans certains cas il peut être intéressant d’étudier le comportement des
-fonctions quand $x\rightarrow\pm\infty$. Dans ces cas-là on dit qu’on
-s’intéresse au comportement *asymptotique* d’une fonction. Ce concept
-est particulièrement pertinent quand on étudie une fonction qui a la
-forme d’une fraction $$h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}.$$ Si on s’intéresse au
-comportement à l’infini de cette fonction on va prendre sa “limiteâ€
-lorsque $x\rightarrow\infty$
-$$\lim_{x\rightarrow\infty} h(x)=\lim_{x\rightarrow\infty}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right).$$
-Un exemple peut être $f(x)=x-1$, $g(x)=x+1$ et donc $h(x)=(x-1)/(x+1)$
-$$\lim_{x\rightarrow\infty} \frac{x-1}{x+1}=\lim_{x\rightarrow\infty} \frac{x(1-1/x)}{x(1+1/x)}=1.$$
-De même quand on a $f(x)=3x^4-5x^3+1$, $g(x)=1$ et donc
-$h(x)=3x^4-5x^3+1$. Il vient donc
-$$\lim_{x\rightarrow\infty} 3x^4-5x^3+1=\lim_{x\rightarrow\infty}3x^4\left(1-\frac{5}{3x}+\frac{1}{3x^4}\right)=\infty.$$
-
-Si nous compliquons un peu l’exemple et que nous avons
-$f(x)=x^3+3x^2+1$, $g(x)=x^2$ et donc $h(x)=(x^3+3x^2+1)/x^2$
-$$\lim_{x\rightarrow\infty} (x^3+3x^2+1)/x^2=\lim_{x\rightarrow\infty} x=\infty.$$
-Un cas encore un peu plus complexe serait
-$f(x)=3x^3+1$, $g(x)=4x^3+2x^2+x$
-$$
-\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{3x^3(1+1/3x^3)}{4x^3(1+1/2x^+1/4x^2)}=\frac{3}{4}.$$
-
-Ce genre d’estimations est imporant en informatique lors de l’analyse de
-performance des algorithmes. On peut prendre l’exemple des algorithmes
-de tri “bubble sort†et “quick sortâ€. Leur complexité respective moyenne
-est de $n^2$ et de $n\log(n)$, quand $n$ est le nombre d’éléments de la
-chaîne à trier. Si on fait le rapport pour de ces deux complexités on a
-$$\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{n^2}{n\log(n)}=\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{n}{\log(n)}.$$
-On peut simplement voir que ce rapport va tendre vers l’infini en
-dessinant la courbe $n/\log(n)$. Il existe un moyen “analytiqueâ€
-d’évaluer ce rapport. Tout nombre $n$ peut s’écrire avec une précision
-$p$ comme $$n=A\cdot 10^{p-1},$$ où $p$ est le nombre de chiffres
-significatifs qu’on veut représenter, et $1\leq A< 10$. On a également
-que[^1]
-$$\log(A)=\log\left(\frac{1+y}{1-y}\right)=2\sum_{k=0}^\infty \frac{y^{2k+1}}{2k+1},$$
-avec $y=(A-1)/(A+1)$. On a finalement que
-$$\log(n)=\log(A\cdot 10^{p-1})=(p-1)\log(10)+2\sum_{k=0}^\infty \frac{y^{2k+1}}{2k+1}.$$
-La valeur de $y$ étant quelque chose de proche de 0, la somme converge
-vite vers une valeur finie et on peut faire l’approximation
-$$\log(n)\cong(p-1)\log(10),$$ pour $n$ grand (ce qui est équivalent Ã
-$p$ grand). On a donc que finalement le rapport $n/\log(n)$ va comme
-$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{\log(n)}=\frac{A}{\log(10)}\cdot\lim_{p\rightarrow\infty}\frac{10^{p-1}}{(p-1)}=\frac{A}{\log(10)}\cdot\lim_{p\rightarrow\infty}\frac{10^{p-1}}{p}=\infty.$$
-
-## Continuité
-
-Définition (Continuité) +.#
-
-Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert $D$ contenant
-$a$. On dit que $f$ est continue en $a$ si et seulement si
-$\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)$.
-
-Propriétés (Fonctions continues) +.#
-
-Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues en $a$ et $b$ un réel:
-
-1. $f+g$ est continue en $a$.
-
-2. $b f$ est continue en $a$.
-
-3. si $g(a)\neq 0$, $f/g$ est continue en $a$.
-
-4. $h=g\circ f$ est continue en $a$.
-
-Définition (Continuité sur un intervalle) +.#
-
-Une fonction $f$ est dite continue dans un intervalle $D=]a;b[$ si et
-seulement si elle est continue en tout point de $D$. De plus, elle est
-continue sur $D=[a,b]$ si elle est continue sur $]a;b[$ et continue Ã
-droite en $a$ et à gauche en $b$.
-
-Théorème (Valeurs intermédiaires) +.#
-
-Soit $f$ une fonction continue
-sur $D$, et $a,b$ deux points contenus dans $D$ tels que $a<b$ et
-$f(a)<f(b)$, alors $$\forall y\in [f(a);f(b)],\ \exists\ c\in [a,b] |f(c)=y.$$
-Nous pouvons bien sûr énoncer un résultat similaire dans le cas $f(a9>f(b)$.
-
-## Dérivées
-
-Définition (Dérivée en un point) +.#
-
-Soit $f$ une fonction définie sur $D$ et $a\in D$. On dit que $f$ est
-dérivable en $a$ s’il existe un $b$ (appelé la dérivée de $f$ en $a$)
-tel que $$\begin{aligned}
-&\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=b,\hbox{ ou}\\
-&\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=b.\end{aligned}$$
-
-Définition (Dérivée sur un intervalle) +.#
-
-Si $f$ est dérivable en tout point de $D=]a;b[$, alors on définit $f'$
-la fonction dérivée de $f$ dans l’intervalle $D$ qui associe en tout
-point $x$ de $D$ la valeur dérivée de $f$.
-
-Propriété +.#
-
-Si $f$ est dérivable en $a$ alors $f$ est continue en $a$.
-
-Propriétés +.#
-
-Soient $f$ et $g$ deux fonctions dérivables sur $D$ (dont les dérivées sont $f'$
-et $g'$), et $a\in{\real}$, alors
-
-1. $(f+g)'=f'+g'$.
-
-2. $(af)'=a f'$.
-
-3. $(f\cdot g)'=f'g+fg'$.
-
-4. Si $g$ ne s'annule pas $(f/g)'=(f'g-fg')/g^2$.
-
-5. $(g\circ f)'=(g'\circ f)\cdot f'$, autrement dit pour $x\in D$, $(g(f(x)))'=g'(f(x)\cdot f'(x)$.
-
-Il existe quelques dérivées importantes que nous allons utiliser
-régulièrement dans la suite de ce cours. En supposons que
-$C\in {\real}$, nous avons
-
-1. $f(x)=x^n$, $f'(x)=nx^{n-1}$ .
-
-2. $f(x)=e^{C x}$, $f'(x)=Ce^{Cx}$.
-
-3. $f(x)=\ln(x)$, $f'(x)=1/x$.
-
-4. $f(x)=C$, $f'(x)=0$.
-
-5. $f(x)=\sin(x)$, $f'(x)=\cos(x)$.
-
-6. $f(x)=\cos(x)$, $f'(x)=-\sin(x$).
-
-Définition (Dérivée seconde) +.#
-
-Si $f'$ est dérivable sur $D$, alors sa dérivée, notée $f''$, est
-appelée la dérivée seconde de $f$.
-
-### Variation des fonctions
-
-Propriétés (Croissance/décroissance) +.#
-
-Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $D$
-
-1. Si $f'>0$ sur $D$, alors $f$ est croissante sur $D$.
-
-2. Si $f'<0$ sur $D$, alors $f$ est décroissante sur $D$.
-
-3. Si $f'=0$ sur $D$, alors $f$ est constante sur $D$.
-
-Définition (Maximum/minimum local) +.#
-
-Une fonction admet un maximum local (respectivement minimum local) sur
-un intervalle $D=]a;b[$ s’il existe un $x_0\in D$ tel que $f(x_0)\geq f(x)$
-(respectivement $f(x_0)\leq f(x)$) pour tout $x\in D$.
-
-Propriété (Maximum/minimum) +.#
-
-Soient $f$ une fonction dérivable sur $D=]a;b[$ et $x_0\in D$. On dit que $f$
-admet un extremum en $x_0$ si $f'(x_0)=0$. De plus si
-$f'(x_0)=0$ et $f'$ change de signe en $x_0$ alors $f(x_0)$ est un
-maximum ou un minimum de $f$.
-
-## Etude de fonction
-
-Effectuer l’étude de fonction de la fonction suivante
-$$f(x)=\frac{x^3}{x^2-4}.$$
-
-1. Déterminer le domaine de définition.
-
-2. Déterminer la parité de la fonction. Rappel: $$\begin{aligned}
- f(-x)&=f(x),\ \mbox{paire},\\
- f(-x)&=-f(x),\ \mbox{impaire}.
- \end{aligned}$$
-
-3. Trouver les zéros de la fonction (Indication: trouver les $x$ tels
- que $f(x)=0$).
-
-4. Trouver les éventuelles asymptotes verticales ou discontinuités,
- ainsi que les asymptotes affines.
-
-5. Calculer $f'(x)$ et déterminer sa croissance et points critiques
- (déterminer où la fonction est croissante, décroissante, atteint un
- extremum, etc).
-
-6. Faire un croquis de $f(x)$.
-
-# Intégrales
-
-## Interprétation géométrique
-
-Dans ce chapitre nous nous intéressons au calcul d’aires sous une
-fonction $f$. La fonction $f$ satisfait les hypothèses suivantes.
-
-1. $f(x)$ est bornée dans l’intervalle $[a,b]\in{\real}$.
-
-2. $f(x)$ est continue presque partout.
-
-Nous définissions également l’infimum de $f$ sur un intervalle
-$[x_0,x_1]$, noté $$\inf\limits_{[x_0,x_1]} f(x)$$ comme étant la plus grande valeur
-bornant par dessous toutes les valeurs prises par $f(x)$ dans
-l’intervalle $[x_0,x_1]$. Le suprémum sur un intervalle $[x_0,x_1]$,
-noté $$\sup\limits_{[x_0,x_1]} f(x)$$ comme étant la plus petite valeur bornant par
-dessus toutes les valeurs prises par $f(x)$ dans l’intervalle
-$[x_0,x_1]$.
-
-Finalement nous définissons une subdivision
-$$\Delta_n=\{a=x_0<x_1<...<x_{n-1}<x_{n}=b\}$$ est une suite finie
-contenant $n+1$ termes dans $[a,b]$.
-
-On peut à présent approximer l’aire sous la fonction $f(x)$ dans
-l’intervalle $[a,b]$ de plusieurs façons:
-
-1. $A^i(n)=\sum_{i=0}^{n-1} \inf\limits_{[x_i,x_{i+1}]} f(x)\cdot (x_{i+1}-x_i)$
- comme étant l’aire inférieure.
-
-2. $A^s(n)=\sum_{i=0}^{n-1} \sup\limits_{[x_i,x_{i+1}]} f(x)\cdot (x_{i+1}-x_i)$
- comme étant l’aire supérieure.
-
-3. $A^R(n)=\sum_{i=0}^{n-1} f(\xi_i)\cdot (x_{i+1}-x_i)$, $\xi_i\in [x_i,x_{i+1}]$
-
-1 et 2 sont les sommes de Darboux, 3 est une somme de Riemann qui, dépendant des choix des $\xi_i$, peut être égale à 1 ou à 2.
-
-L’aire de sous la fonction $f(x)$ est donnée par la limite pour
-$n\rightarrow\infty$ de $A^i$ ou $A^s$ (si elle existe). Dans ce cas $n\rightarrow\infty$ $A^R$ (pris en sandwich entre $A^i$ et $A^n$)
-nous donne aussi l'aire sous la fonction.
-
-Remarque +.#
-
-1. Ces sommes peuvent être positives ou négatives en fonction du signe
- de $f$.
-
-2. Une implantation informatique est immédiate, en particulier pour la somme de Riemann.
-
-Définition (Intégrabilité au sens de Riemann) +.#
-
-Une fonction est dite intégrable au sens de Riemann si
-$$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}A^i(n)=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}A^s(n)=\int_a^b f(x){\mathrm{d}}x.$$
-
-Dans la formule
-$$\int_a^b f(x){\mathrm{d}}x,$$
-$x$ est appelée
-variable d’intégration, $a$ et $b$ sont les bornes d’intégration. Pour
-des raisons de consistance dans les notations la variable d’intégration
-ne peut être désignée avec le même symbole qu’une des bornes
-d’intégration.
-
----
-
-Exemple (Intégration de Riemann) +.#
-
-Intégrer de $f(x)=x$ dans intervalle $[0,1]$.
-
----
-
----
-
-Solution (Intégration de Riemann) +.#
-
-Il est élémentaire de calculer que cette aire vaut $1/2$ (c’est l’aire d’un
-triangle rectangle de côté 1). Néanmoins, évaluons également cette aire
-à l’aide de $A^i$ et $A^s$. Commençons par subdiviser $[0,1]$ en $n$
-intervalles égaux de longueur $\delta=1/n$. Comme $f(x)$ est strictement
-croissante, on a que $\inf\limits_{[x_i,x_{i+1}]}f(x)=f(x_i)$ et que
-$\sup\limits_{[x_i,x_{i+1}]}f(x)=f(x_{i+1})$. On a donc que
-
-1. $A^i(n)=\delta\sum_{i=0}^{n-1} x_i=\delta\sum_{i=0}^{n-1}\frac{i}{n}=\frac{n(n-1)}{2n^2}=\frac{n-1}{2n}$[^2].
- Et donc en prenant la limite pour $n\rightarrow\infty$ il vient
- $$A^i=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{n-1}{2n}=\frac{1}{2}.$$
-
-2. $A^s(n)=\delta\sum_{i=0}^{n-1} x_{i+1}=\delta\sum_{i=0}^{n-1}\frac{i+1}{n}=\delta\sum_{i=0}^{n}\frac{i}{n}=\frac{n(n+1)}{2n^2}=\frac{n+1}{2n}$.
- Et donc en prenant la limite pour $n\rightarrow\infty$ il vient
- $$A^s=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{n+1}{2n}=\frac{1}{2}.$$
-
----
-
----
-
-Exemple (Intégration de Riemann de $x^2$) +.#
-
-Calculer l’aire sous la courbe de $f(x)=x^2$ dans intervalle $[0,1]$.
-
-Indication: $\sum_{i=0}^n i^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1).$
-
----
-
-Interprétation physique
------------------------
-
-Supposons que nous ayons une fonction, $x(t)$, qui donne la position
-d’un objet pour un intervalle de temps $t\in[a,b]$. Nous pouvons
-aisément en déduire la vitesse $v(t)$ de l’objet, comme étant la
-variation de $x(t)$ quand $t$ varie. Autrement dit $v(t)=x'(t)$.
-
-Supposons à présent que nous ne connaissions que la vitesse $v(t)$ de
-notre objet. Afin de déduire sa position nous prendrions un certain
-nombre d’intervalles de temps $\delta t_i=t_{i+1}-t_i$ que nous
-multiplierions par $v(t_i)$ afin de retrouver la distance parcourue
-pendant l’intervalle $\delta t_i$ et ainsi de suite. Afin d’améliorer
-l’approximation de la distance parcourue nous diminuerions la valeur de
-$\delta t_i$ jusqu’à ce que $\delta t_i\rightarrow 0$.
-
-Nous voyons ainsi que cette méthode, n’est autre qu’une façon “intuitiveâ€
-d’intégrer la vitesse afin de trouver la position. Et que
-l’intégrale et la dérivée sont étroitement liées: la vitesse étant la
-dérivée de la position et la position étant l’intégrale de la vitesse.
-
-Primitive
----------
-
-Si maintenant nous essayons de généraliser le calcul de l’intégrale
-d’une fonction, il s’avère que le calcul d’une intégrale est l’inverse
-du calcul d’une dérivée.
-
-Définition (Primitive) +.#
-
-Soit $f$ une fonction. On dit que $F$ est une primitive de $f$ sur
-l’intervalle $D\subseteq{\real}$ si $F'(x)=f(x)$ $\forall x\in D$.
-
-Si $F$ est une primitive de $f$, alors on peut définir la fonction $G$
-telle que $G(x)=F(x)+C$, $C\in{\real}$ qui est aussi une
-primitive de $f$. On voit que la primitive de $f$ est définie à une
-constante additive près. En effet, si $F'=f$ on a
-$$G'=F'+\underbrace{C'}_{=0}=F'=f.$$
-
-Théorème (Unicité) +.#
-
-Pour $a\in D$ et $b\in{\real}$ il existe une unique
-primitive $F$ telle que $F(a)=b$.
-
----
-
-Illustration (Unicité) +.#
-
-Soit $f(x)=x$, alors l’ensemble de primitives correspondantes est
-$G=x^2/2+C$. Si nous cherchons la primitive telle que $G(0)=0$, il vient
-que $C=0$ et donc la primitive est unique et vaut $F(x)=x^2/2$.
-
----
-
----
-
-Exercices (Primitives) +.#
-
-Calculez les primitives suivantes (*indication: il s’agit de trouver les
-fonctions $F(x)$ telles que $F'(x)=f(x)$*):
-
-1. $F(x)=\int x^2{\mathrm{d}}x$.
-
-2. $F(x)=\int x^n{\mathrm{d}}x$, $n\in {\real}\backslash\{-1\}$.
-
-3. $F(x)=\int \sqrt{x}{\mathrm{d}}x$.
-
-4. $F(x)=\int \frac{1}{x}{\mathrm{d}}x$.
-
-5. $F(x)=\int \exp(x){\mathrm{d}}x$.
-
-6. $F(x)=\int \sin(x){\mathrm{d}}x$.
-
----
-
-Maintenant que vous avez calculé toutes ces primitives de base, nous
-pouvons récapituler des formules qui seront importantes pour la suite:
-
-1. $\int x^n{\mathrm{d}}x=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$,
- $n\in {\real}\backslash\{-1\}$.
-
-2. $\int \frac{1}{x}{\mathrm{d}}x=\ln(x)+C$.
-
-3. $\int \exp(x){\mathrm{d}}x=\exp(x)+C$.
-
-4. $\int \sin(x){\mathrm{d}}x=-\cos(x)+C$.
-
-5. $\int \cos(x){\mathrm{d}}x=\sin(x)+C$.
-
-Théorème (Théorème fondamental du calcul intégral) +.#
-
-En définissant à présent l’intégrale à l’aide de la notion
-de primitive, nous avons que pour $a,b\in{\real}$ et $a<b$
-$$\int_a^b f(x){\mathrm{d}}x=\left.F\right|_a^b=F(b)-F(a).$${#eq:thm_fond}
-
-On dit que $x$ est la variable d’intégration. Elle est dite “muette†car
-elle disparaît après que l’intégrale ait été effectuée. On peut donc
-écrire l’équation ci-dessus de façon équivalente en remplaçant le
-symbole $x$ par n’importe quelle autre lettre (sauf $a,b,f,F$).
-
----
-
-Remarque +.#
-
-On notera que la constante additive $C$ a disparu de cette formule. En
-effet, remplaçons $F$ par $G=F+C$, il vient
-$$\int_a^b f(x){\mathrm{d}}x=G(b)-G(a)=F(b)+C-F(a)-C=F(b)-F(a).$$
-
----
-
-Il suit de l'@eq:thm_fond que
-$$\int_a^af(x){\mathrm{d}}x=F(a)-F(a)=0$$ et que
-$$\int_a^bf(x){\mathrm{d}}x= -\int_b^af(x){\mathrm{d}}x$$
-
-Nous pouvons à présent définir la fonction $G(x)$ telle que
-$$G(x)=\int_a^xf(y){\mathrm{d}}y=F(x)-F(a).$$ Il suit que $G(x)$
-est la primitive de $f$ telle que $G(a)=0$.
-
-Propriétés +.#
-
-Soient $f$ et $g$ deux fonctions intégrables sur un intervalle
-$D=[a,b]\subseteq{\real}$, $c\in[a,b]$, et $\alpha\in{\real}$.
-On a
-
-1. La dérivée et l’intégrale “s’annulentâ€
- $$\left(\int_a^x f(x){\mathrm{d}}x\right)'=\left(F(x)-F(a)\right)'=F'(x)-\left(F(a)\right)'=F'(x)=f(x).$$
-
-2. La fonction $h=f+g$ admet aussi une primitive sur $D$, et on a
- $$\int_a^b(f(x)+g(x)){\mathrm{d}}x=\int_a^b f(x){\mathrm{d}}x+\int_a^b g(x){\mathrm{d}}x.$$
-
-3. La fonction $h=\alpha f$ admet aussi une primitive sur $D$, et on a
- $$\int_a^b\alpha f(x){\mathrm{d}}x=\alpha\int_a^b f(x){\mathrm{d}}x.$$
-
-4. Relation de Chasles (faire la démonstration en exercice)
- $$\int_a^c f(x){\mathrm{d}}x=\int_a^b f(x){\mathrm{d}}x+\int_b^c f(x){\mathrm{d}}x.$$
- De cette relation on déduit qu’on peut calculer l’intégrale d’une
- fonction continue par morceaux sur $[a,b]$.
-
-5. Si $f$ est paire alors
- $$\int_{-a}^a f(x){\mathrm{d}}x = 2\int_0^a f(x){\mathrm{d}}x.$$
-
-6. Si $f$ est impaire alors $$\int_{-a}^a f(x){\mathrm{d}}x = 0.$$
-
-### Intégrales impropres
-
-Si une des bornes d’intégration ou si la fonction à intégrer admet une
-discontinuité à des points bien définis, nous parlons intégrales
-impropres.
-
-Lorsqu’une borne d’intégration est infinie, alors nous pouvons avoir les
-cas de figures suivants $$\begin{aligned}
- &\int_a^\infty f(x){\mathrm{d}}x=\lim\limits_{b\rightarrow\infty}\int_a^b f(x){\mathrm{d}}x,\\
- &\int_{-\infty}^b f(x){\mathrm{d}}x=\lim\limits_{a\rightarrow\infty}\int_{-a}^b f(x){\mathrm{d}}x,\\
- &\int_{-\infty}^\infty f(x){\mathrm{d}}x=\lim\limits_{a\rightarrow\infty}\int_{-a}^a f(x){\mathrm{d}}x.\end{aligned}$$
-
----
-
-Exemple (Intégrale impropre) +.#
-
-Calculer l’intégrale suivante
-$$\int_0^\infty e^{-ax}{\mathrm{d}}x,\quad a>0.$$
-
-Solution (Intégrale impropre) +.#
-
-Nous pouvons réécrire
-l’intégrale ci-dessus comme
-$$\int_0^\infty e^{-ax}{\mathrm{d}}x=\lim\limits_{b\rightarrow \infty}\int_0^b e^{-ax}{\mathrm{d}}x=-\frac{1}{a}\lim\limits_{b\rightarrow\infty}\left[e^{-ax}\right]_0^b=-\frac{1}{a}\left[\lim\limits_{b\rightarrow \infty}e^{-ab}-1\right]=\frac{1}{a}.$$
-
----
-
----
-
-Exercice +.#
-
-Calculer l’intégrale suivante
-$$\int_1^\infty \frac{1}{x^2}{\mathrm{d}}x.$$
-
----
-
-Lorsque nous avons une discontinuité dans la fonction $f$ au point
-$c\in[a,b]$ nous avons
-$$\int_a^b f(x){\mathrm{d}}x = \lim\limits_{\varepsilon\rightarrow 0}\int_a^{c-\varepsilon} f(x){\mathrm{d}}x +\int_{c+\varepsilon}^b f(x){\mathrm{d}}x.$$
-
-Exercice +.#
-
-Montrer que $$\int_{-1}^2\frac{1}{x}=\ln{2}.$$
-
-Définition (Valeur moyenne) +.#
-
-Soit une fonction $f$ admettant une primitive sur $[a,b]$ avec $a<b$,
-alors la valeur moyenne $\bar{f}$ de cette fonction sur $[a,b]$, est définie par
-$$\bar{f}=\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x){\mathrm{d}}x.$$
-
-Méthodes d’intégration
-----------------------
-
-Dans cette section, nous allons étudier différentes méthodes pour
-intégrer des fonctions.
-
-### Intégration de fonctions usuelles et cas particuliers
-
-Le calcul d’une primitive ou d’une intégrale n’est en général pas une
-chose aisée. Nous connaissons les formules d’intégration pour certaines
-fonctions particulières.
-
-#### Polynômes
-
-Les polynômes s’intègrent terme à terme. Pour
-$(\{a_i\}_{i=0}^{n}\in{\real}$ $$\begin{aligned}
- &\int a_0 + a_1 x + a_2 x^2+\cdots+a_{n-1} x^{n-1}+a_{n} x^{n}{\mathrm{d}}x\\
- =&\int a_0{\mathrm{d}}x + \int a_1 x{\mathrm{d}}x + \int a_2 x^2{\mathrm{d}}x+\cdots+\int a_{n-1} x^{n-1}{\mathrm{d}}x+\int a_{n} x^{n}){\mathrm{d}}x\\
- =&a_0 x + \frac{a_1}{2}x^2+\frac{a_2}{3}x^3+\cdots+\frac{a_n}{n+1}x^{n+1}+c.\end{aligned}$$
-
----
-
-Exercice +.#
-
-Intégrer la fonction suivante
-$$\int (x+2)(x^3+3x^2+4x-3){\mathrm{d}}x.$$
-
----
-
-#### Application de la règle de chaîne pour l’intégration
-
-Une primitive d'une fonction de la forme $f(x)f'(x)$ se calcule aisément
-$$\int f(x)f'(x){\mathrm{d}}x=\frac{1}{2}f(x)^2+c.$$
-
-Nous calculons par exemple
-$$\int \sin(x)\cos(x){\mathrm{d}}x=\frac{1}{2}\sin^2(x)+c=-\frac{1}{2}\cos^2(x)+c'.$${#eq:sin_cos}
-
-#### Inverse de la dérivation logarithmique
-
-Une primitive de la forme
-$$\int \frac{f'(x)}{f(x)}{\mathrm{d}}x=\ln(f(x))+c.$$
-
----
-
-Exemple +.#
-
-Calculer la primitive suivante
-$$
-\int \frac{1}{x}{\mathrm{d}}x.
-$$
-
-Solution +.#
-
-Le calcul de la primitive de suivante
-$$\int \frac{1}{x}{\mathrm{d}}x=\int \frac{(x)'}{x}{\mathrm{d}}x=\ln(x)+c.$$
-
----
-
-#### Règle de chaîne
-
-Une des façons les plus simples de calculer une primitive est
-de reconnaître la règle de chaîne dans le terme à intégrer
-$$\int g'(f(x))f'(x){\mathrm{d}}x=\int [g(f(x))]' {\mathrm{d}}x=g(f(x))+c.$$
-
-Illustration +.#
-
-Si $g$ est définie comme $g(x)=x^{-1}$ et $f(x)=3x^2+2$, alors la
-primitive
-$$\int \frac{f'(x)}{g'(f(x))}{\mathrm{d}}x=\int -\frac{6 x}{(3x^2+2)^2}{\mathrm{d}}x=\frac{1}{3x^2+2}+c.$$
-
-### Intégration par parties
-
-La dérivation d’un produit de fonctions $f\cdot g$ s’écrit
-$$(f(x)g(x))'=f'(x) g(x)+f(x) g'(x).$$ En intégrant cette équation on
-obtient
-$$f(x)g(x)=\int f'(x) g(x){\mathrm{d}}x+\int f(x) g'(x){\mathrm{d}}x.$$
-Une primitive de la forme $\int f'(x) g(x){\mathrm{d}}x$ peut ainsi se
-calculer de la façon suivante
-$$\int f'(x) g(x){\mathrm{d}}x=f(x)g(x)-\int f(x) g'(x){\mathrm{d}}x.$$
-De façon similaire si nous nous intéressons à une intégrale définie
-$$\int_a^b f'(x) g(x){\mathrm{d}}x=\left.(f(x)g(x))\right|_a^b-\int_a^b f(x) g'(x){\mathrm{d}}x.$$
-Le choix des fonctions est complètement arbitraire. Néanmoins, le but de
-cette transformation est de remplacer une intégrale par une autre dont
-on connaîtrait la solution.
-
-Des “règles†pour utiliser cette technique seraient que
-
-1. $g'$ soit facile à calculer et aurait une forme plus simple que $g$.
-
-2. $\int f'{\mathrm{d}}x$ soit facile à calculer et aurait une forme
- plus simple que $f'$.
-
----
-
-Exemple +.#
-
-Calculer les primitives suivantes
-
-1. $\int x e^x{\mathrm{d}}x$.
-
-2. $\int \cos(x)\sin(x){\mathrm{d}}x$.
-
-Solution +.#
-
-1. $\int x e^x{\mathrm{d}}x$. $g(x)=x$, $f'(x)=e^x$ et donc $g'(x)=1$,
- $f(x)=e^x$. Il vient
- $$\int x e^x=x e^x-\int e^x{\mathrm{d}}x=x e^x-e^x+c.$$
-
-2. $\int \cos(x)\sin(x){\mathrm{d}}x$. $g= \cos(x)$, $f'(x)=\sin(x)$ et
- donc $g'(x)=-\sin(x)$, $f(x)=-\cos(x)$. Il vient $$\begin{aligned}
- &\int \cos(x)\sin(x){\mathrm{d}}x=\sin^2(x)-\int \cos(x)\sin(x){\mathrm{d}}x\nonumber\\
- \Rightarrow &\int \cos(x)\sin(x){\mathrm{d}}x=\frac{1}{2}\sin^2(x).
- \end{aligned}$$
-
-On voit que le résultat de l’intégration par
-partie nous redonne l’intégrale de départ. Ceci nous permet
-d’évaluer directement la dite intégrale pour retrouver le résultat de l'@eq:sin_cos
-
----
-
-Il est également possible d’enchaîner plusieurs intégrations par
-parties.
-
----
-
-Exemple +.#
-
-Calculer l’intégrale de $\int x^2 e^x{\mathrm{d}}x$.
-
-Solution +.#
-
-En posant $g(x)=x^2$,
-$f'(x)=e^x$ et donc $g'(x)=2x$, $f(x)=e^x$. Il vient
-$$\int x^2 e^x{\mathrm{d}}x=x^2e^x-2\int x e^x{\mathrm{d}}x.$$ On pose
-de façon similaire $g(x)=x$, $f'(x)=e^x$ et donc $g'(x)=1$, $f(x)=e^x$
-et il vient
-$$\int x^2 e^x{\mathrm{d}}x=x^2e^x-2\left(x e^x -\int e^x{\mathrm{d}}x\right)=x^2e^x-2x e^x +2e^x+c.$$
-
----
-
----
-
-Exercice +.#
-
-Calculer les primitives suivantes
-
-1. $\int \ln(x){\mathrm{d}}x$
-
-2. $\int x^2 \sin(x){\mathrm{d}}x$
-
-3. $\int e^x\sin(x){\mathrm{d}}x$
-
----
-
-### Intégration par changement de variables
-
-On observe que la dérivation de la composition de deux fonctions $F$ et
-$g$ est donnée par
-$$(F\circ g)'=(f\circ g)\cdot g',\mbox{ ou } [F(g(y))]'=f(g(y))\cdot g'(y),$$
-où $f=F'$. Si nous intégrons cette relation on obtient $$\begin{aligned}
- \int_a^b f(g(y))g'(y){\mathrm{d}}y = \int_a^b [F(g(y))]'{\mathrm{d}}y=\left.F(g(y))\right|_a^b=F(g(b))-F(g(a))=\int_{g(a)}^{g(b)}f(x){\mathrm{d}}x.\end{aligned}$$
-Cette relation nous mène au théorème suivant.
-
-Théorème (Intégration par changement de variables) +.#
-
-Soit $f$ une fonction continue presque partout, et $g$ une fonction dont
-la dérivée est continue presque partout sur un intervalle $[a,b]$. Soit
-également l’image de $g$ contenue dans le domaine de définition de $f$.
-Alors
-$$\int_a^b f(g(x))g'(x){\mathrm{d}}x = \int_{g(a)}^{g(b)}f(z){\mathrm{d}}z.$$
-
-Nous utilisons ce théorème de la façon suivante. L’idée est de remplacer
-la fonction $g(x)$ par $z$. Puis il faut également remplacer
-${\mathrm{d}}x$ par ${\mathrm{d}}z$ où nous avons que
-${\mathrm{d}}x={\mathrm{d}}z/g'(x)$. Finalement, il faut changer les
-bornes d’intégration par $a\rightarrow g(a)$ et $b\rightarrow g(b)$. Si
-on ne calcule pas l’intégrale mais la primitive, on ne modifie
-(évidemment) pas les bornes d’intégration, mais en revanche pour trouver
-la primitive il faut également appliquer la transformation $x=g^{-1}(z)$
-sur la solution.
-
----
-
-Exemple (Changement de variable) +.#
-
-Intégrer par changement de variables $\int_1^3 6x\ln(x^2){\mathrm{d}}x$.
-
-Solution (Changement de variable) +.#
-
-En définissant $z=x^2$, nous avons ${\mathrm{d}}x={\mathrm{d}}z/(2x)$.
-Les bornes d’intégration deviennent $z(1)=1^2=1$ et $z(3)=3^2=9$. On
-obtient donc $$\begin{aligned}
- \int_1^3 6x\ln(x^2){\mathrm{d}}x&=\int_1^9 6x\ln(z)\frac{1}{2x}{\mathrm{d}}z=\int_1^9\ln(z){\mathrm{d}}z\nonumber\\
- &=3\left[z\ln(z)-z\right]_1^9=3(9\ln(9)-9-\ln(1)+1)=27\ln(9)-24.
- \end{aligned}$$
-
----
-
----
-
-Exercice +.#
-
-Calculer les primitives suivantes par changement de variable
-
-1. $\int \frac{1}{5x-7}{\mathrm{d}}x$
-
-2. $\int \sin(3-7x){\mathrm{d}}x$
-
-3. $\int x e^{x^2}{\mathrm{d}}x$
-
----
-
-## Le produit de convolution
-
-Les convolutions sont très utilisées pour le traitement du signal, le traitement d'images et
-les réseaux de neurones convolutifs entre autres.
-
-### La convolution continue
-
-La convolution de deux fonctions intégrables, $f(t)$, et $g(t)$, notée $f\ast g$ se définit comme
-\begin{equation}
-(f\ast g)(x)=\int_{-\infty}^\infty f(x-t)g(t)\dd t.
-\end{equation}
-On constate que le membre de gauche de l'équation ci-dessus n'est rien d'autre qu'une fonction de $x$.
-Pour chaque valeur de $x=x_0$, on calcule l'intégrale,
-\begin{equation}
-\int_{-\infty}^\infty f(x_0-t)g(t)\dd t.
-\end{equation}
-
----
-
-Exercice (Commutativité) +.#
-
-Démontrer que le produit de convolution est commutatif, soit
-\begin{equation}
-(f\ast g)(x)=(g\ast f)(x).
-\end{equation}
-
-Indication: utiliser la substitution $\tau=x-t$.
-
----
-
-Afin de pouvoir interpêter un peu
-ce que cela veut dire, il est intéressant de faire un calcul
-"simple" pour se faire une idée.
-
----
-
-Exercice +.#
-
-Calculer la convolution du signal $f(t)$
-
-\begin{equation}
-f(t)=\left\{\begin{array}{ll}
- 1,&\mbox{ si }t\in[0,1]\\
- 0,&\mbox{ sinon.}
- \end{array}\right.
-\end{equation}
-
-Indication: faites un dessin de ce que représente la convolution de ce $f$ avec lui-même.
-
----
-
-#### Interprétation avec les mains
-
-Afin d'interpréter ce que représente le produit de convolution, introduisons la fonction delta de Dirac, $\delta_a(x)$. Cette fonction est un peu particulière, elle vaut zéro partout sauf en $0$ (où elle est "infinie"), et son
-intégrale vaut $1$
-\begin{equation}
-\int_{-\infty}^\infty\delta(x)\dd x=1.
-\end{equation}
-Même si cela peut sembler étrange, on peut tenter de construire une telle fonction en prenant une suite de rectangles, centrés en $0$,
-dont la surface vaut 1. Puis on rend ces rectangles de plus en plus fins, en imposant que la surface vaut toujours 1 et le tour est joué.
-
-Cette fonction est intéressante, car elle a la propriété suivante lorsqu'on l'utilise pour effectuer des convolutions.
-\begin{equation}
-\int_{-\infty}^\infty f(y)\delta(y-x)\dd y=f(x).
-\end{equation}
-En d'autre termes cette intégrale est égale à la valeur de $f$ au point où l'argument du $\delta$ est nul.
-
-A présent, si nous considérons la convolution de $f(t)$ avec
-la fonction $\delta(t-a)=\delta_a$, on obtient
-\begin{equation}
-(f\ast\delta_a)(x)=\int_{-\infty}^\infty f(x-t)\delta(t-a)\dd t=f(x-a).
-\end{equation}
-En fait la convolution d'une fonction $f$ avec le delta de Dirac centré en $a$ ne fait que translater la fonction $f$ d'une distance $a$.
-
-En effectuant à présent la convolution avec une combinaison linéaire de $\delta$ de Dirac
-\begin{equation}
-(f\ast(\alpha\cdot \delta_a+\beta\cdot \delta_b))(x)=\int_{-\infty}^\infty f(x-y)(\alpha\cdot\delta(y-a)+\beta\cdot\delta(y-b))\dd y=\alpha\cdot f(x-a)+\beta\cdot f(x-b).
-\end{equation}
-La convolution est donc la moyenne pondérée de $f$ translatée en $a$ et en $b$ par $\alpha$ et $\beta$ respectivement.
-
-On voit que de façon générale, qu'on peut interpréter la convolution de deux fonctions $f(t)$ et $g(t)$ comme la moyenne de $f(t)$ pondérée par la fonction $g(t)$.
-
-#### Le lien avec les filtres
-
-Il se trouve que dans le cas où le filtre est linéaire (filtrer la combinaison de deux signaux
-est la même chose que de faire la combinaison linéaires des signaux filtrés)
-et indépendant du temps (les translations temporelles n'ont aucun effet sur lui)
-alors on peut lier la convolution et le filtrage.
-
-Si on définit la réponse impulsionnelle d'un filtre, $h(t)$, le filtrage d'un signal $s(t)$,
-noté $f(s)$, n'est autre que la convolution de $h(t)$ avec $s(t)$
-\begin{equation}
-f(s)=(s\ast h)(x)=\int_{-\infty}^\infty f(x-t)g(t)\dd t.
-\end{equation}
-
-<!-- ### La convolution discrète
-
-En se rappelant que l'intégrale n'est rien d'autre qu'une somme un peu plus compliquée -->
-
-Intégration numérique
----------------------
-
-Dans certains cas, il est impossible d’évaluer analytiquement une
-intégrale ou alors elle est très compliquée à calculer. Dans ce cas, on
-va approximer l’intégrale et donc commettre une erreur.
-
-Pour ce faire on subdivise l’espace d’intégration $[a,b]$ en $N$ pas
-équidistants (pour simplifier) $\delta x=(b-a)/N$, et on approxime
-l’intégrale par une somme finie
-$$\int_a^bf(x){\mathrm{d}}x=\sum_{i=0}^{N-1} \delta x f(a+i\delta x) g_i+E(a,b,\delta x)\cong\sum_{i=0}^{N-1} \delta x f(a+i\delta x) g_i,$$
-où $g_i$ est un coefficient qui va dépendre de la méthode d’intégration
-que nous allons utiliser, $E$ est l’erreur commise par l’intégration
-numérique et va dépendre des bornes d’intégration, de $\delta x$ (du
-nombre de pas d’intégration), de la forme de $f(x)$ (combien est
-“gentilleâ€) et finalement de la méthode d’intégration.
-
-### Erreur d’une méthode d’intégration
-
-D’une façon générale plus $\delta x$ est petit ($N$ est grand) plus
-l’erreur sera petite et donc l’intégration sera précise (et plus le
-calcul sera long). Néanmoins, comme la précision des machines sur
-lesquelles nous évaluons les intégrales est finie, si $\delta x$ devient
-proche de la précision de la machine des erreurs d’arrondi vont dégrader
-dramatiquement la précision de l’intégration.
-
----
-
-Remarque +.#
-
-De façon générale il est difficile de connaître à l’avance la valeur
-exacte de $E$. En revanche on est capable de déterminer **l’ordre**
-de l’erreur.
-
----
-
----
-
-Définition (Ordre d'une méthode) +.#
-
-On dit qu’une méthode d’intégration est d’ordre $k$, si l’erreur commise
-par la méthode varie proportionnellement à $\delta x^k$. On note qu’une
-erreur est d’ordre $k$ par le symbole $\mathcal{O}(\delta x^k)$.
-Exemple: si une méthode est d’ordre deux, alors en diminuant $\delta x$
-d’un facteur $2$, l’erreur sera elle divisée par $2^2=4$. Si une méthode
-est d’ordre $3$, alors en diminuant $\delta x$ d’un facteur $2$, nous
-aurons que l’erreur est divisée par un facteur $2^3=8$. Etc.
-
----
-
-Comme le calcul d’une intégrale de façon numérique ne donne en général
-pas un résultat exact, mais un résultat qui va dépendre d’un certain
-nombre de paramètres utilisés pour l’intégration, il faut définir un
-critère qui va nous dire si notre intégrale est calculée avec une
-précision suffisante.
-
-Notons $I(N,a,b,f,g)$ l’approximation du calcul de l’intégrale
-entre $a$ et $b$ de la fonction $f$ avec une résolution $N$ pour la
-méthode d’intégration $g$
-$$I(N,a,b,f,g)=\sum_{i=0}^{N-1} \delta x f(a+i\delta x) g_i,$$ où $g_i$
-est encore à préciser. Afin de déterminer si le nombre de points que
-nous avons choisi est suffisant, après avoir évalué $I(N,a,b,f,g)$, nous
-évaluons $I(2\cdot N,a,b,f,g)$. En d’autres termes nous évaluons
-l’intégrales de la même fonction avec la même méthode mais avec un
-nombre de points deux fois plus élevé. Puis, nous pouvons définir
-$\varepsilon(N)$ comme étant l’erreur relative de notre intégration avec
-une résolution $N$ et $2\cdot N$
-$$\varepsilon(N)\equiv\left|\frac{I(2N)-I(N)}{I(2N)}\right|.$$ Si Ã
-présent nous choisissons un $\varepsilon_0>0$ (mais plus grand que la
-précision machine), nous pouvons dire que le calcul numérique de notre
-intégrale a **convergé** (on parle de **convergence** du calcul
-également) pour une résolution $N$ quand $\varepsilon(N)<\varepsilon_0$.
-
-### Méthode des rectangles
-
-Pour la méthode des rectangles, nous allons calculer l’intégrale en
-approximant l’aire sous la fonction par une somme de rectangles, comme
-nous l’avons fait pour la définition de l’intégration au sens de
-Riemann. La différence principale est que nous ne regarderons pas les
-valeurs minimales ou maximales de $f$ sur les subdivisions de l’espace,
-mais uniquement les valeurs sur les bornes. Cette approximation donne
-donc la formule suivante $$\begin{aligned}
- \int_a^bf(x){\mathrm{d}}x&\cong\sum_{i=0}^{N-1} \delta x f(a+i\cdot\delta x)+\mathcal{O}(\delta x),\\
- &\cong\sum_{i=1}^{N} \delta x f(a+i\cdot\delta x)+\mathcal{O}(\delta x)\end{aligned}$${#eq:rect_gauche}
-Cette méthode est d’ordre $1$. Une exception s’applique cependant
-concernant l’ordre de l’intégration. Si la fonction à intégrer est une
-constante $f(x)=c$, alors l’intégration est exacte.
-
-Dans les deux cas ci-dessus on a évalué la fonction sur une des bornes.
-On peut améliorer la précision en utilisant le “point du milieu†pour
-évaluer l’aire du rectangle. L’approximation devient alors
-$$\begin{aligned}
- \int_a^bf(x){\mathrm{d}}x&\cong\sum_{i=0}^{N-1} \delta x f(a+(i+1/2)\cdot\delta x)+\mathcal{O}(\delta x^2).\end{aligned}$$
-Cette astuce permet d’améliorer la précision de la méthode à très faible
-coût. En effet, la précision de la méthode des rectangles est améliorée
-et devient d’ordre 2. Elle est exacte pour les fonctions linéaires $f(x)=c\cdot x + d$.
-
-### Méthode des trapèzes
-
-Pour la méthode des trapèzes, nous allons calculer l’intégrale en
-approximant l’aire sous la fonction par une somme de trapèzes. Pour
-rappel l’aire d’un trapèze, dont les côtés parallèles sont de longueurs
-$c$ et $d$ et la hauteur $h$, est donnée pas $$A=(c+d)h/2.$$ Cette
-approximation donne donc la formule suivante
-$$\int_a^bf(x){\mathrm{d}}x\cong\sum_{i=0}^{N-1} \delta x \frac{f(a+i\cdot\delta x)+f(a+(i+1)\cdot\delta x)}{2}+\mathcal{O}(\delta x^2).$$
-Cette méthode est d’ordre $2$. Cette méthode d’intégration est aussi exacte
-pour les fonctions linéaires $f(x)=c\cdot x + d$.
-
-### Méthode de Simpson
-
-Pour cette méthode, on approxime la fonction à intégrer dans un
-intervalle par une parabole.
-
-Commençons par évaluer l’intégrale à l’aide d’une subdivision dans
-l’ensemble $[a,b]$.
-
-L’idée est la suivante. On pose $f(x)=c\cdot x^2+d\cdot x+e$ et il
-faut déterminer $c$, $d$, et $e$. Il faut donc choisir 3
-points dans l’intervalle $[a,b]$ pour déterminer ces constantes. On
-choisit comme précédemment $f(a)$, $f(b)$, et le troisième point est
-pris comme étant le point du milieu $(f(a+b)/2)$. On se retrouve ainsi
-avec trois équations à trois inconnues $$\begin{aligned}
- f(a)&=c\cdot a^2+d\cdot a+e,\\
- f(b)&=c\cdot b^2+d\cdot b+e,\\
- f((a+b)/2)&=\frac{c}{4}\cdot (a+b)^2+\frac{d}{2}\cdot (a+b)+e.\end{aligned}$$
-En résolvant ce système (nous n’écrivons pas la solution ici) nous
-pouvons à présent évaluer l’intégrale $$\begin{aligned}
- I&=\int_a^b f(x){\mathrm{d}}x\cong\int_a^b (cx^2+dx+e){\mathrm{d}}x,\nonumber\\
- &=\frac{b-a}{6}(f(a)+f(b)+4f((a+b)/2))+\mathcal{O}(\delta x^4).\end{aligned}$$
-
-On peut généraliser et affiner cette formule en rajoutant des
-intervalles comme précédemment et en répétant cette opération pour
-chaque intervalle.
-
-Il vient donc que $$\begin{aligned}
- I&=\frac{\delta x}{6}\sum_{i=0}^{N-1}\left[f(a+i\cdot \delta x)+f(a+(i+1)\cdot\delta x)\right.\nonumber\\
- &\left.+4f(a+(i+1/2)\cdot\delta x)\right]+\mathcal{O}(\delta x^4).\end{aligned}$$
-
-Cette méthode permet d’évaluer exactement les intégrales des polynômes d’ordre 3,
-$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$.
-
-# Optimisation
-
-## La régression linéaire
-
-Lors d'une régression linéaire, le but est de trouver la droite, $y(x)=a\cdot x + b$, qui passe au mieux au travers d'un nuage de $N$ points $(x_i, y_i)$,
-$i=1,...,N$ (voir @fig:reg).
-
-{#fig:reg width=70%}
-
-Pour déterminer l'équation de cette droite, nous devons donc trouver les coefficients $a$ et $b$ tels que la droite
-passe au plus proche des points. Nous devons d'abord définir ce que signifie mathématiquement "passe au mieux par au travaers du nuage de points".
-Une façon de mesurer la "qualité" d'une droite est de mesurer la somme des distances au carré entre les points $(x_i,y_i)$ et
-la droite $y(x)=a\cdot x + b$ pour des valeurs de $a$ et $b$ données, soit
-$$
-E(a,b)=\sum_{i=1}^N (y(x_i)-y_i)^2.
-$$
-Nous cherchons par conséquent à minimiser $E(a,b)$ sous la contrainte que $y(x)$ est une droite. Pour simplifier encore plus le problème mathématique,
-nous pouvons rajouter comme contrainte que la droite $y(x)$ passe par le point $(0,0)$, on a donc que $y(x)=a\cdot x$ (l'ordonnée à l'origine est nulle, $b=0$) et que
-$$
-E(a)=\sum_{i=1}^N (y(x_i)-y_i)^2,
-$$
-est indépendant de $b$. En résumé nous cherchons à résoudre le problème mathématique
-\begin{align}
-&\min_{a\in\real} E(a) = \min_{a \in\real} \sum_{i=1}^N (y(x_i)-y_i)^2,\\
-&\mbox{où }y(x)=a\cdot x, \quad \mbox{(contrainte)}.
-\end{align}
-On peut réécrire la fonction $E(a)$ comme
-\begin{align}
-E(a)&=\sum_{i=1}^N \left(y^2(x_i)-2\cdot y_i\cdot y(x_i)+y_i^2\right)=\sum_{i=1}^N \left(a^2\cdot x_i^2-2\cdot a\cdot x_i\cdot y_i+y_i^2\right),\nonumber\\
- &=a^2\sum_{i=1}^Nx_i^2 + 2a\sum_{i=1}^Nx_iy_i+\sum_{i=1}^Ny_i^2.
-\end{align}
-Les $x_i$ et $y_i$ étant connus, nous cherchons $a$, tel que $E(a)$ soit minimal. $E(a)$ est en fait l'équation d'une parabole: elle a la forme
-$$
-E(a)=B\cdot a^2-2C\cdot a + D,
-$$
-avec $B=\sum_{i=1}^Nx_i^2$, $C=\sum_{i=1}^Nx_iy_i$, et $D=\sum_{i=1}^N y_i^2$. $B$ étant forcément positif cette parabole sera **convexe** et donc
-nous sommes assurés qu'il existe un minimum pour $E(a)$. Une façon de déterminer $a$, tel que $E(a)$ est minimal est d'utiliser la dérivée.
-On a l'équation $E'(a)=0$ à résoudre:
-\begin{align}
-E'(a)&=0,\nonumber\\
-2\cdot B\cdot a-2\cdot C&=0,\nonumber\\
-a &= \frac{C}{B}=\frac{\sum_{i=1}^Nx_iy_i}{\sum_{i=1}^Nx_i^2}.
-\end{align}
-
----
-
-Exemple +.#
-
-Soient les 4 points $(0, 0.1)$, $(1, 0.3)$, $(2, 0.3)$ et $(3, 0.4)$. La fonction d'erreur $E(a)$ s'écrit
-$$
-E(a)=14\cdot a^2-4.2\cdot a + 0.35.
-$$
-On peut la représenter comme sur la @fig:e_a et on constate qu'elle possède un minimum proche de $a=0$.
-
-![La fonction $E(a)=14a^2-4.2a+0.35$ pour $a\in[-1,1]$. On voit bien qu'elle possède un minimum proche de $a=0$.](figs/e_a.svg){#fig:e_a width=70%}
-
-En résolvant $E'(a)=0$, on obtient $a=4.2/24=0.15$. On a que l'équation de la droite passant par $(0,0)$ et au plus proche de nos 4 points est
-$$
-y(x)=0.15\cdot x.
-$$
-On peut observer le résultat de la régression sur la @fig:regression_ex, où on voit les 4 points (en noir), ainsi que la droite obtenue (en trait bleu).
-
-{#fig:regression_ex width=70%}
-
----
-
-La régression linéaire est un problème **d'optimisation continu** (par opposition aux problèmes **d'optimisation discrets**).
-Ce genre de problème, bien que possédant un espace de recherche infini,
-est bien souvent plus simple à résoudre que les problèmes d'optimisation discrets, car il possède un cadre théorique mieux défini.
-
-Pour le résoudre, nous avons commencé par construire un modèle mathématique.
-Nous avons défini une fonction à minimiser, $E(a)$, et ajouté une contraite, la forme de $y(x)$. Puis, il a suffi de trouver le minimum de $E(a)$
-sous la contrainte et le tour était joué.
-
-## L'optimisation mathématique
-
-Suite à ces deux exemples, nous allons essayer de définir de façon assez théorique comment formuler mathématiquement un problème d'optimisation.
-Il existe deux types disctincts de problèmes d'optimisation:
-
-1. L'optimisation continue.
-2. L'optimisation discrète (souvent appelée optimisation combinatoire).
-
-Dans ce chapitre nous ne parlerons que del'optimisation continue.
-
-### L'optimisation continue
-
-L'optimisation continue ou *programme mathématique continu* est un programme d'optimisation soumis à certaines contraintes.
-On peut l'exprimer de la façon suivante.
-
-Soit $f:\real^n\rightarrow\real$ une fonction objectif (ou fontion de coût), on cherche $\vec x_0\in\real^n$, tel que $f(\vec x_0)\leq f(\vec x)$ pour $\vec x$ certaines conditions: **les contraintes**. Celles-ci sont en général des égalités strictes ou des inégalités qui peuvent s'exprimer de la façon suivante.
-Soient $m$ fonctions $g_i:\real^n\rightarrow\real$
-\begin{align}
-&g_i(\vec x)\leq 0,\quad i=1,...,m.
-\end{align}
-Si $m=0$ on a à faire à un problème d'optimisation sans contraintes. On peut résumer tout cela comme
-\begin{align*}
-&\min_{\vec x\in\real^n}f(\vec x),\\
-&g_i(\vec x)\leq 0,\quad i=1,...,m,\\
-&\mbox{pour }m\geq 0.
-\end{align*}
-Les contraintes limitent l'espace des solutions et forment un sous-ensemble, noté $A$, de $\real^n$ ($A\subseteq\real^n$).
-
-Une des difficultés pour déterminer le minimum d'une fonction coût est l'existence de plusieurs minima locaux.
-Un **minimum local**, $\vec x^\ast\in A$, est tel que pour une région proche de $\vec x^\ast$, on a que $f(\vec x)\geq f(\vec x^\ast)$.
-Un exemple d'une telle fonction, est une fonction de Ackley. En une dimension, elle est de la forme (voir la @fig:ackley)
-$$
-f(x)=-20e^{-0.2*\sqrt{0.5x^2}}-e^{0.5(\cos(2\pi x))}+e+20.
-$$
-
-{#fig:ackley width=70%}
-
-On constate la présence d'un grand nombre de minima locaux qui rendent la recherche du minimum global (se trouvant en $x=0$) particulièrement compliqué à déterminer.
-
-L'optimisation continue est très communément utilisée en apprentissage automatique (machine learning), en particulier pour
-optimiser les poids des réseaux de neurones.
-
-## Optimisation continue
-
-Dans cette section, nous allons considérer des problèmes purement continus.
-Nous allons dans un premier temps considérer une fonction opbjectif, $f$,
-$$
-f:D\rightarrow\real,\quad D\subseteq \real,
-$$
-dont nous allons chercher le minimum (pour autant qu'il existe). Nous allons supposer que
-$f$ est une fonction continue et dérivable.
-
-### Minimum local/global
-
-Comme vous le savez, le minimum (ou le maximum) d'une fonction, se situe à un endroit où sa dérivée est nulle.
-On recherche donc, $x$, tel que
-$$
-f'(x)=0.
-$$
-Mais cette contrainte sur $f'(x)$ n'est pas suffisante pour garantir de trouver un minimum.
-En effet, si $f'(x)=0$, peut également vouloir dire qu'on se trouve sur un point d'inflexion
-ou sur un maximum.
-On peut assez facilement, discriminer ces deux cas, en considérant la deuxième dérivée de $f$.
-En effet, nous avons à faire à un minimum seulement si
-$$
-f''(x)>0.
-$$
-Les cas où $f''(x)=0$ est un point d'inflexion et $f''(x)<0$ est un maximum.
-
-Un autre problème beaucoup plus compliqué à résoudre est de déterminer un minimum **global**.
-En effet, comme pour la fonction de Ackley (voir la @fig:ackley), une fonction peut posséder un grand nombre de minimam **locaux** (où
-$f'(x)=0$ et $f''(x)>0$) mais qui n'est pas un mimumum global.
-
-Mathématiquement un *minimum local* se définit comme $x^\ast$ tel qu'il existe $\delta>0$ et que $f(x^\ast)\leq f(x)$, pour
-$x\in[x^\ast-\delta,x^\ast+delta]$. Un *minimum global* est un $x^\ast$ tel que $\forall x\in D$, $f(x^\ast)\leq f(x)$.
-
-En fait, il n'existe pas de méthode pour déterminer un minimum global, pour n'importe quelle fonction.
-Nous somme assurés de le trouver, uniquement si $f$ est une fonction convexe partout ($f''(x)>0 \ \forall x$).
-
-## Algorithmes de recherche des zéros d'une fonction
-
-Comme nous venons de le voir, lors de la recherche d'un minimum, il est nécessaire de trouver le point $x^\ast$
-où $f'(x^\ast)=0$. Le problème est donc de déterminer les zéros de la fonction $f'(x)$. Pour avoir un maximum de généralité,
-nous allons considérer une fonction $g(x)$ et chercher ses zéros, soit
-$$
-\{x\in\real|g(x)=0\}.
-$$
-Dans des cas simples (des fonctions polynomiales de degré 2 ou 3, ou des fonctions inversibles) on peut trouver
-analytiquement les zéros. En revanche, pour des fonctions plus complexes, ou "implicites" (on ne peut pas mettre
-l'équation $g(x)=0$ sous la forme $x=...$) la détermination des zéros est beaucoup plus difficile et nécessite l'utilisation
-de **méthodes itératives**. Nous allons en voir quelques unes.
-
-## Méthodes par raffienement d'intervalles
-
-### Méthode de la bissection
-
-{#fig:bissection_method width=50%}
-
-Afin de déterminer le zéro d'une fonction, une des méthodes les plus simple est la méthode de la bissection.
-Il s'agit de choisir deux points, $a_1$ et $b_1$, $b_1>a_1$, tels que le signe de $g(a_1)$ et $g(b_1)$ est différent.
-Si cela est le cas, nous aommes assurés de l'existence d'au moins un zéro si la fonction $g(x)$ est continue
-(en vertu du théorème de la valeur intermédiaire). Ensuite, nous allons calculer la valeur se situant "au milieu"
-entre $a_1$ et $b_1$
-$$
-c_1=\frac{b_1+a_1}{2}.
-$$
-Puis, nous évaluons $g(c_1)$ et si ce n'est pas un zéro, étudions son signe. Si le signe $g(c_1)$ est différent de celui de $g(a_1)$, nous remplaçons
-$b_1$ par $c_1$ et recommençons. Si le signe de $g(c_1)$ est différent de celui de $g(b_1)$, nous remplaçons $a_1$ par $c_1$.
-Nous itérons cette méthode jusqu'à ce que nous ayons atteint une valeur "siffisamment proche" (nous vons une précision acceptable pour nous)
-de zéro. Une façon d'exprimer "proche" est de considérer la taille de l'intervalle $b_1-a_1$ et de le comparer avec une précision $\varepsilon>0$ que nous
-aurons choisie
-$$
-b_1-a_1<\varepsilon.
-$$
-
-Au pire des cas, cette méthode nous rapproche de $(b_1+a_1)/2$ du zéro à chaque itération. Après $n$ itération, nous somme donc à une
-distance maximale du zéro de $(b_1+a_1)/2^n$. On dit que cette méthode est d'ordre $1$ (on divise l'intervalle de recherche par 2 et la précision par 2
-à chaque itération).
-
----
-
-Exercice (Racice de polynôme) +.#
-
-Déterminer la racine du polynôme $x^4+x^3+x^2-1$ avec $a_1=0.5$ et $b_1=1$ (faire au maximum 6 itérations).
-
----
-
-### Méthode de la fausse position (*regula falsi*)
-
-{#fig:false_position_method width=50%}
-
-Une méthode un peu plus avancée est la méthode de la fausse position (voir la @fig:false_position_method). Dans cette méthode qui est relativement similaire à celle de la bissection,
-mais au lieu de diviser l'intervalle en deux parts égales à chaque itération on va choisir les point $c$, comme étant le point
-où la droite reliant $g(a_1)$ et $g(b_1)$ coupe l'axe horizontal (le zéro de la droite entre $g(a_1)$ et $g(b_1)$). Le reste de l'algorithme reste exactement le même.
-On choisit deux points, $a_1$ et $b_1$, où le signe de $f$ est différent, puis ont construit la droite passant par $g(a_1)$ et $g(b_1)$
-$$
-y=\frac{g(b_1)-g(a_1)}{b_1-a_1}(x-a_1) + g(a_1).
-$$
-On cherche le point, $c$, où $y(c)=0$
-$$
-\frac{g(b_1)-g(a_1)}{b_1-a_1}(c-a_1) + g(a_1)=0.
-$$
-Cette équation s'inverse aisément et on obtient
-$$
-c_1=a_1-\frac{b_1-a_1}{g(b_1)-g(a_1)}g(a_1).
-$$
-Puis, comme pour la méthode de la bissection, on compare les signes de $g(c_1)$ avec $g(a_1)$ et $g(b_1)$ et on remplace $a_1$ ou $b_1$ par $c_1$
-si $g(c_1)$ a un signe différent de $g(b_1)$ ou $g(a_1)$ respectivement.
-
-Il est important de noter que si la fonction est continue, et que $a_1$ et $b_1$ sont choisis tels que $g(a_1)$ et $g(b_1)$ sont de signes opposés,
-alors cette méthode convergera **toujours**.
-
-La méthode de la fausse position est plus efficace que la méthode de la bissection, elle est superlinéaire (d'ordre plus grand que un).
-
----
-
-Exercice +.#
-
-Déterminer le zéro positif de la fonction
-$$
-x^2-25=0,
-$$
-à l'aide de la méthode de la fausse position.
-
----
-
-### Méthode de la sécante
-
-{#fig:secant_method width=50%}
-
-La méthode de la sécante (voir la @fig:secant_method) est très similaire à la méthode de la fausse position. La seule différence se situe dans la dernière étape de l'algorithme.
-Plutôt que choisir de remplacer $a_1$ ou $b_1$ par $c_1$, on remplace toujours la dernière valeur calculée.
-Ainsi après avoir choisi $a < b$, avec $g(a)$ et $g(b)$ avec des signes différents, on calcule
-une suite de $x_i$, avec $x_0=a$, $x_1=b$, tels que
-$$
-x_{i+1}=x_{i-1}-\frac{x_i-x_{i-1}}{g(x_i)-g(x_{i-1})}g(x_{i-1}), \quad i\geq 2.
-$$
-
-La méthode de la sécante ne garantit pas la convergence, contrairement à la méthode de la bissection et de la fausse position.
-En revanche elle est plus efficace, lorsque qu'elle converge, que ces deux méthodes.
-
----
-
-Exercice +.#
-
-Déterminer le zéro positif de la fonction
-$$
-x^2-25=0,
-$$
-à l'aide de la méthode de la sécante.
-
----
-
-### Recherche de la fourchette intiale
-
-Dans les méthodes ci-dessus, nous avons supposé que nous avions une fonction $g(x)$ continue, ainsi qu'un intervalle, $[a,b]$,
-avec
-\begin{equation}
-g(a)<0,\quad g(b)>0.
-\end{equation}
-Mais, nous n'avons pas encore vu de méthode pour déterminer les valeur de la fourchette $a,b$.
-
----
-
-Remarque +.#
-
-On peut procéder de façon très similaire pour $[a,b]$ tel que
-
-\begin{equation}
-g(a)>0,\quad g(b)>0.
-\end{equation}
-
-Il suffit de prendre remplacer $g(x)\rightarrow -g(x)$.
-
----
-
-Les méthodes pour déterminer la fourchette initiales sont également des *méthodes itératives*.
-
-La plus simple qu'on puisse imaginer est de partir d'un point initial $a$ (choisi aus hasard par exemple).
-On suppose que $g(a)<0$ (sinon voir la remarque ci-dessus).
-Puis on choisir deux *hyperparamètres*: $\delta x$ et $k$[^10]. Ensuite on calcule $b=a+k\cdot \delta x$.
-Si $f(b)>0$, on a terminé. Sinon on recommence avec $k\rightarrow 2\cdot k$ et $b\rightarrow k\cdot b$.
-
-## Méthodes de descentes locales
-
-L'idée de ce type de méthodes est, contrairement aux méthodes de la section précédente, d'utiliser des
-connaissances *locales* que nous pouvons avoir sur la fonction. Cette connsaissance loale
-a en général comme effet une *convergence* plus rapide de l'algorithme de recherche de zéros.
-
-### Méthode de Newton (ou *Newton-Raphson*)
-
-La méthode de Newton est également une méthode itérative, qui nécessite que la fonction $g(x)$ soit non seulement continue mais également dérivable.
-Revenons sur la méthode de la sécante. Il s'agissait de choisir deux points, $a < b$, et de déterminer la droite, $y(x)$, passant par $g(a)$ et $g(b)$,
-\begin{equation*}
-y=\frac{g(b)-g(a)}{b-a}(x-a) + g(a).
-\end{equation*}
-Il se trouve que $g(b)-g(a)/(b-a)$ n'est autre qu'une approximation avec une formule de *différences finies*
-de la dérivée de $g$ et $a$, $g'(a)$. Si la fonction $g$ est dérivable, on peut simplement remplacer ce terme par $g'(a)$
-et on obtient
-$$
-y=g'(a)(x-a) + g(a).
-$$
-Puis on détermine $c$, tel que $y(c)=0$
-$$
-0=g'(a)(c-a) + g(a),
-$$
-et on obtient
-$$
-c=a - \frac{g(a)}{g'(a)}.
-$$
-
-On peut donc généraliser l'algorithme. En partant d'un point $x_0=a$, on construit la suite
-$$
-x_{i+1}=x_n-\frac{g(x_i)}{g'(x_i)}, \ i\geq 0.
-$$
-On s'arrête lorsque le zéro est déterminé avec une précision suffisante, ou que la variation entre deux itérations successives est assez petite. Ce qui revient à choisir un $\varepsilon>0$, tel que
-$$
-|g(x_n)| < \varepsilon,\quad |x_n-x_{n-1}| < \varepsilon.
-$$
-
-Lorsque qu'elle converge la mtéhode de Newton est la plus efficace de toutes celles que nous avons vues. On dit qu'elle est d'ordre $2$.
-En revanche les contraintes pour sa convergence sont plus strictes que pour les méthodes vues précédemment.
-
----
-
-Remarque (non-convergence ou convergence lente) +.#
-
-Il y a un certain nombre de cas où la méthode de Newton ne converge pas.
-
-1. S'il existe un $n$ tel que $g'(x_n)=0$ alors la suite diverge.
-2. La suite peut entrer dans un cycle.
-3. La dérivée est mal définie proche du zéro (ou sur le zéro).
-4. Elle peut converger très lentement si la dérivée de la fonction est nulle sur le zéro.
-5. A chaque point de départ ne correspond qu'un zéro. Si la fonction possède plusieurs zéros, il n'y a pas moyen de le savoir avec un seul point de départ. Il faut alors en essayer plusieurs.
-
----
-
----
-
-Exercice +.#
-
-Déterminer le zéro de la fonction
-$$
-x^2-25=0,
-$$
-à l'aide de la méthode de Newton.
-
----
-
-### Résumé
-
-A l'aide des méthodes vues ci-dessus, on peut déterminer un zéro d'une fonction (s'il existe).
-Ces méthodes sont également utilisables pour calculer le minimum d'une fonction comme nous l'avons discuté plus haut.
-Il suffit de remplacer $g(x)$ par $f'(x)$ et le tour est joué.
-
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-
-Exercice +.#
-
-Écrire l'algorithme de Newton pour le cas de la minimisation d'une fonction $f(x)$ quelconque, mais continuement dérivable 2 fois.
-
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-
-## En plusieurs dimensions
-
-Quand notre fonction de coût dépend de plusieurs arguments, on dit que c'est une fonction *multivariée*, $f(\vec x)$, avec $\vec x\in\real^n$.
-
-{#fig:selle width="50%"}
-
-On peut également l'écrire de façon plus explicite (et aussi plus longue) comme
-\begin{equation}
-f(\vec x)=f(x_1, x_2, ..., x_n).
-\end{equation}
-Bien que la fonction de coût prenne en argument plusieurs variables, elle retourne uniquement un réel
-\begin{equation}
-f:\real^n\rightarrow \real.
-\end{equation}
-
----
-
-Exemple (Régression linéaire) +.#
-
-Dans le cas de la régression linéaire, si la droite ne passe pas par l'origine, nous avons que
-la fonction de coût qui dépend de deux variables, $a$, et $b$ (et plus uniquement de $a$)
-
-\begin{equation}
-f(a,b)=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N \left(a\cdot x_i+b - y_i\right)^2.
-\end{equation}
-
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-
-### Les dérivées en plusieurs dimensions
-
-La dérivé d'une fonction à une seule variable peut se représenter comme
-\begin{equation}
-f'(a)=\frac{\dd f}{\dd x}(a)=\lim_{\dd x\rightarrow 0}\frac{f(a+\dd x)-f(a)}{\dd x}.
-\end{equation}
-La notation ici n'est pas tout à fait usuelle. L'idée est de se rappeler que ce $\dd x$ est une toute petite variation
-de $x$, et $\dd f$, une toute petite variation de $f$ en $a$. On voit immédiatement que cette quantité est la pente
-de $f$ en $a$. Lorsque nous étudions une fonction à plusieurs variables, nous pouvons faire le même raisonnement pour chaque variable indépendemment.
-Ainsi, nous calculons sa dérivée dans chacune des directions $x$, $y$, ...
-
-Cette vision de la dérivée comme une variation de $f$, $\dd f$, divisée par une petite variation de $x$, $\dd x$, permet
-d'avoir une interprétation sur la variation locale de $f(x)$. En effet, la variation de $f(a)$ est donnée par
-$$
-\dd f=f'(a)\dd x,
-$$
-ou encore
-$$
-f(a+\dd x)=f(a)+f'(a)\dd x.
-$$
-
-#### Les dérivées partielles
-
-Pour une fonction à deux variable, $f(x,y)$, dont le domaine de définition est
-\begin{equation}
-f:\real^2\rightarrow \real,
-\end{equation}
-on définit la **dérivée partielle** de $f$ par rapport à $x$ ou à $y$
-\begin{align}
-\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)&=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h},\\
-\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)&=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}.
-\end{align}
-Comme on le voit ici, pour chaque dérivée partielle, on ne fait varier qu'une seule variable, les autres sont considérées comme des constantes.
-
----
-
-Exemple (Dérivée partielle) +.#
-
-Les dérivée partielles de la fonction
-$$
-f(x,y)=x^2\cdot y+3,
-$$
-sont données par
-\begin{align}
-\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)&=2xy,\\
-\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)&=x^2.
-\end{align}
-
----
-
-Pour une fonction $f$ dépendant d'un nombre $n$ de variables, la notation est la suivante.
-Soit $f(\vec x)$ avec $\vec x=\{x_i\}_{i=1}^n$, ou $\vec x\in\real^n$, on définit la dérivée
-par rapport à la $i$-ème composante de $\vec x$ comme
-$$
-\frac{\partial f}{\partial x_i}(x_1,x_2,...,x_i,...,x_n)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x_1,x_2,...,x_i+h,...,x_n)-f(x_1,x_2,...,x_i,...,x_n)}{h}.
-$$
-
----
-
-Remarque +.#
-
-Pour une fonction à une seule variable, $f(x)$, on a que
-$$
-f'(x)=\frac{\dd f}{\dd x}(x)=\frac{\partial f}{\partial x}(x).
-$$
-
----
-
-De façon similaire à ce qui se passe pour les fonction à une seule variables, nous pouvons définir les dérivées secondes
-pour les façon à une seule variable. Pour une fonction à deux variables, on a en fait quatre dérivées secondes
-\begin{align}
-&\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x,y),\\
-&\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(x,y),\\
-&\frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}(x,y),\\
-&\frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x,y).
-\end{align}
-
----
-
-Remarque +.#
-
-Si $f$ est dérivable en $x$ et $y$, on a que
-$$
-\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(x,y)=\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}(x,y).
-$$
-
----
-
----
-
-Exemple (Dérivées partielles deuxièmes) +.#
-
-Pour la fonction $f(x,y)=x^2-y^2$, on a
-\begin{align}
-\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x,y)=\frac{\partial (2\cdot x)}{\partial x}(x,y)=2,\\
-\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(x,y)=\frac{\partial (-2\cdot y)}{\partial x}(x,y)=0,\\
-\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}(x,y)=\frac{\partial (2\cdot x)}{\partial y}(x,y)=0,\\
-\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x,y)=\frac{\partial (-2\cdot y)}{\partial y}(x,y)=-2.
-\end{align}
-
----
-
-On peut également généraliser pour des fonction à $n$ variables où la deuxième dérivée partielle
-par rapport aux variables $x_i$, $x_j$ s'écrit
-$$
-\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j}(x,y).
-$$
-
-
-#### Le gradient
-
-Pour une fonction à deux variables, $f(x,y)$, on a vu qu'on peut calculer ses dérivées partielles par rapport à $x$ et $y$
-$$
-\frac{\partial f}{\partial x}, \quad \frac{\partial f}{\partial y}.
-$$
-Une construction mathématique possible est d'écrire un vecteur avec ces deux quantités
-$$
-\grad f(x,y)=\vec \nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y), \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\right)^\mathrm{T}.
-$$
-Le symbole *nabla*, $\vec \nabla$, est une notation un peu étrange. Il représente un vecteur contenant toutes les
-dérivées partielles
-$$
-\vec \nabla = \left(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}\right)^\mathrm{T}.
-$$
-Cette notation est très utile pour se souvenir de ce qu'est un gradient, car on peut l'écrire un peu comme le "produit" entre
-l'opérateur $\vec \nabla$ et $f$
-$$
-\vec \nabla f= \left(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}\right)^\mathrm{T}f=\left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right)^\mathrm{T}.
-$$
-On peut généraliser cette notation pour $n$ variables Ã
-$$
-\vec \nabla=\left(\frac{\partial}{\partial x_1}, \frac{\partial}{\partial x_2}, ..., \frac{\partial}{\partial x_n}\right)^\mathrm{T}.
-$$
-et
-$$
-\vec \nabla f=\left(\frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2}, ..., \frac{\partial f}{\partial x_n}\right)^\mathrm{T}.
-$$
-
----
-
-Exemple (Gradient d'une fonction à deux variables) +.#
-
-Pour la fonction $f(x,y)=x^2-y^2$, le gradient est donné par
-$$
-\vec \nabla f=\left(2x, -2y\right)^\mathrm{T}.
-$$
-
-Graphiquement, ceci est un *champds de vecteur* est peut se représenter comme
-
-{width="50%"}
-
----
-
-Revenons à nos fonctions à deux variables. Le gradient d'une fonction a une très grande utilité pratique. En effet, il nous donne la variation de $f$
-dans chacun des direction de l'espace. On peut donc (un peu comme on avait fait pour les fonctions à une dimensions)
-se poser la question de la variation de $f$ dans une direction particulière, $\vec v$. Comme nous connaissons le taux de variation
-de $f$ dans chacune des directions, nous pouvons définir la **dérivée directionnelle** de $f$ en un point $(a,b)$, comme
-$$
-(\vec \nabla_{\vec v} f)(a,b)=(\vec \nabla f)(a,b)\cdot \vec v,
-$$
-où $\vec v=(v_1,v_2)^\mathrm{T}$.
-Cette grandeur représente la variation de $f(a,b)$ dans une direction particulière, $\vec v$. Comme pour les fonctions à une variable on peut écrire
-que
-$$
-f(a + v_1, b + v_2)=f(a,b)+\vec v\cdot (\vec \nabla f(a,b)).
-$$
-
-Cette dérivée directionnelle va nous permettre d'interpréter ce que représente le gradient d'une fonction.
-
-En fait, le gradient a une interprétation très intéressante. Ce n'est rien d'autre que la direction de la pente la plus élevée
-sur chaque point de la fonction. C'est la direction, si vous faites de la randonnée en montagne,
-qui vous permettra de monter le long de la pente la plus raide en chaque point.
-
-A l'inverse, imaginez que vous êtes un skieur et que votre montagne est décrite par la fonction $f(\vec x)$. Le vecteur $-\vec \nabla f$
-est la direction dans laquelle vous descendez si vous suivez tout droit la pente la plus raide.
-
-Pour s'en convaincre essayons de prendre le problème à l'envers. On cherche la dérivée directionnelle $\vec \nabla_{\vec v} f$, telle que celle ci-soit maximale,
-pour tous les vecteur $\vec v$ de longueur $1$. En d'autres termes
-$$
-\max_{||\vec v||=1} \vec v\cdot \vec \nabla f.
-$$
-Il faut à présent se rappeler que le produit scalaire de deux vecteurs peut s'écrire
-$$
-\vec a\cdot\vec b=||a||\cdot ||b||\cdot \cos\theta,
-$$
-avec $\theta$ l'angle entre $\vec a$ et $\vec b$. De ceci, on déduit que
-la valeur maximale de $\vec v\cdot \vec \nabla f$ est atteinte quand $\vec v$ est aligné avec
-$\nabla f$, ce qui ne se produit que quand $\vec v$ a la valeur
-$$
-\vec v^\ast=\frac{\nabla f}{||\nabla f||}.
-$$
-La variation maximale est donc atteinte quand on suit le vecteur pointé par
-$\nabla f$. Par ailleurs, la dérivée directionnelle dans la direction
-de $\vec v^\ast$, on a
-\begin{align}
-\vec\nabla_{\vec v^\ast}\cdot (\vec \nabla f)=\frac{\nabla f \cdot f}{||\vec \nabla f||}=||\vec\nabla f||.
-\end{align}
-Le taux de variation maximal est donc la longueur du vecteur $\vec \nabla f$.
-
----
-
-Remarque (Généralisation) +.#
-
-Tout ce que nous venons d'écrire ici se généralise à un nombre arbitraire de dimensions.
-
----
-
-#### Le lien avec les problème d'optimisation
-
-Un cas qui nous intéresse particulièrement ici, est lorsque que le gradient d'une fonction est nul
-$$
-\nabla f(x,y)=\vec 0.
-$$
-Cela veut dire que si nous trouvons un tel point $(x,y)$ la variation de la fonction localement (sa "pente") sera nulle.
-Exactement comme pour le cas à une seule variable cela ne suffit pas pour déterminer si nous avons à faire Ã
-un minimum, un maximum, ou un point d'inflexion. Un exemple typique est la fonction
-$$
-f(x,y)=x^2-y^2.
-$$
-Bien que $\nabla f(0,0)=\vec 0$, nous voyons sur la @fig:selle que bien que nous ayons un minimum
-dans la direction $x$, nous avons un maximum dans la direction $y$. On se retrouve dans un cas où nous avons un point-selle.
-
-Pour pouvoir en dire plus il nous faut étudier les deuxièmes dérivées de $f(x,y)$ comme pour
-le cas unidimensionnel.
-
-Prenons un exemple, où (voir @fig:cubic_multi pour voir à quoi elle ressemble)
-$$
-f(x,y)=x^2+4y^3-12y-2.
-$$
-
-{#fig:cubic_multi width="50%"}
-
-Le gradient de $f(x,y)$ est donné par
-\begin{align}
-\frac{\partial f}{\partial x}&=2x,\\
-\frac{\partial f}{\partial y}&=12y^2-12.
-\end{align}
-
-Les coordonnées $(x,y)$ où $\vec \nabla f=\vec 0$ sont données par
-\begin{align}
-2x=0\Leftrightarrow x = 0,\\
-12y^2-12=0\Leftrightarrow y_\pm=\pm 1.
-\end{align}
-
-On a donc deux points $(x,y_{-})=(0,-1)$ et $(x,y_{+})=1$ qui satisfont $\vec\nabla f=0$.
-Essayons de connaître la nature de ces points. Sont-il des maxima, minima, ou des point-selle?
-
-Sur la @fig:cubic_multi, on voit que le point $(0, -1)$ est un point selle, et le point
-$(0,1)$ est un minimum. Nous allons à présent essayer de voir ce que cela veut dire mathématiquement
-sans avoir besoin de regarder le graphe de cette fonction.
-Inspirés par ce que nous savons des points critiques en une dimensions, nous allons étudier
-les deuxièmes dérivées
-\begin{align}
-\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}&=2,\\
-\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}&=0,\\
-\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}&=24y.
-\end{align}
-En substituant les valeur $(0, -1)$ et $(0, 1)$ dans les deuxièmes dérivées,
-on obtient
-\begin{align}
-&\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(0,1)=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(0,-1)=2,\\
-&\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(0,1)=\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(0,-1)=0,\\
-&\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(0,1)=24,\quad\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(0,-1)=-24.
-\end{align}
-On voit ici, que pour les deux points $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}>0$, on a donc que
-dans la direction $x$ ces deux points sont des minimas. Mais cela ne suffit pas pour en faire
-des minimas locaux. Il faut également étudier ce qui se passe dans la direction $y$. Dans ce
-cas précis, on a qu'en $(0,1)$ nous avons une valeur positive (c'est donc un minimum) et en
-$(0,-1)$ la valeur est négative (c'est donc un maximum).
-
-Pour récapituler:
-
-- En $(0,1)$ c'est un minimum pour $x$ et un minimum pour $y$. Et donc c'est un minimum local.
-- En $(0,-1)$ c'est un minimum pour $x$ et un maximum pour $y$. Et donc c'est un point-selle.
-
-Globalement, pour avoir un min/max, il faut que les deuxièmes dérivées dans chacune des
-directions donnent la même interprétation pour pouvoir conclure à un minimum/maximum. Sinon
-c'est un point-selle.
-
-
-
-
-### La descente de gradient
-
-Revenons à présent à l'optimisation d'une fonction de coût $f(\vec x)$. Pour simplifier considérons
-la fonction
-$$
-f(x,y)=x^2+y^2.
-$$
-Nous pouvons facilement nous convaincre que cette fonction possède un minimum en $(0,0)$ en la dessinant.
-On peut aussi aisément vérifier que $\nabla f(0,0)=\vec 0$. En effet,
-$$
-\nabla f(x,y)=(2x, 2y),
-$$
-et donc
-$$
-\nabla f(0,0)=(0, 0).
-$$
-Même si cela ne suffit pas à prouver mathématique que $\vec 0$ est le minimum de cette fonction nous nous en satisferons.
-
----
-
-Question +.#
-
-Avec ce qui précède, voyez-vous une façon de trouver le minimum de la fonction $f(x,y)$?
-
----
-
-Une méthode pour trouver le minimum de $f(x,y)$ est la méthode de la *descente de gradient*.
-
-
-
-Équations différentielles ordinaires
-====================================
-
-Introduction
-------------
-
-Pour illustrer le concept d’équations différentielles, nous allons
-considérer pour commencer des systèmes qui évoluent dans le temps
-(évolution d’une population, taux d’intérêts, circuits électriques,
-...).
-
-### Mouvement rectiligne uniforme
-
-Imaginons que nous connaissons la fonction décrivant le vitesse d’une
-particule au cours du temps et notons la $v(t)$. Nous savons également
-que la vitesse d’une particule est reliée à l’évolution au cours du temps
-de sa position. Cette dernière peut être notée, $x(t)$. En particulier,
-nous avons que la vitesse n’est rien d’autre que la dérivée de la
-position. On peut donc écrire une équation reliant la vitesse à la
-position $$x'(t)=v(t).$$ Cette équation est appelée *équation
-différentielle*, car elle fait intervenir non seulement les fonctions
-$x(t)$ et $v(t)$, mais également la dérivée de la fonction $x(t)$. Si
-maintenant nous précisons ce que vaut la fonction $v(t)$ nous pourrons
-résoudre cette équation. Comme le nom de la sous-section le laisse
-entendre, nous nous intéressons à un mouvement rectiligne uniforme, qui décrit
-le mouvement d’un objet qui se déplace Ã
-vitesse constante, $$v(t)=v.$$ Nous cherchons ainsi à résoudre
-l’équation différentielle $$x'(t)=v.$$ Ou en d’autres termes, nous
-cherchons la fonction dont la dérivée donne une constante[^3]. Vous savez sans
-doute que l’ensemble de fonctions satisfaisant la contrainte précédente
-est $$x(t)=v\cdot t+B,$$ où $B$ est une constante arbitraire. Cette solution
-générale n’est pas
-unique, car nous obtenons une infinité de solutions (comme quand nous avons
-calculé la primitive d’une fonction au chapitre précédent). Afin de
-trouver une solution unique, nous devons imposer une condition, typiquement une “condition initialeâ€
-à notre équation différentielle. En effet, si nous imposons la condition
-initiale $$x(t_0)=x_0,$$ il vient
-$$x(t_0)=x_0=v\cdot t_0+B \Leftrightarrow B=x_0-v\cdot t_0.$$
-Finalement, la solution du problème différentiel est donnée par
-$$x(t)=v\cdot (t-t_0)+x_0.$$
-
-Remarque +.#
-
-La solution de l’équation différentielle $$x'(t)=v,\ x(t_0)=x_0,$$
-revient à calculer $$\begin{aligned}
- \int x'(t){\mathrm{d}}t=\int v {\mathrm{d}}t,\\
- x(t)=v\cdot t + B.\end{aligned}$$
-
-### Mouvement rectiligne uniformément accéléré
-
-Dans le cas du mouvement rectiligne d’un objet dont on le connaît que
-l’accélération, $a(t)$, on peut également écrire une équation
-différentielle qui décrirait l’évolution de la position de l’objet en
-fonction du temps. En effet, l’accélération d’un objet est la deuxième
-dérivée de la position, soit $$x''(t)=a(t),$$ ou encore la première
-dérivée de la vitesse. $$\begin{aligned}
-v'(t)&=a(t),\\
-x'(t)&=v(t).\end{aligned}$$
-
-Par simplicité supposons que l’accélération est constante, $a(t)=a$, donc que le mouvement est uniformément accéléré.
-On
-doit résoudre[^4] $$x''(t)=a,$$ ou $$\begin{aligned}
-v'(t)&=a,\\
-x'(t)&=v(t).\end{aligned}$${#eq:xpv} Pour résoudre ce système
-d’équations nous résolvons la première équation
-pour $v(t)$ pour trouver $$v(t)=a\cdot t+C.$$ En substituant ce résultat dans
-l’@eq:xpv, on a $$x'(t)=a\cdot t+C.$$ On peut ainsi
-directement intégrer des deux côtés comme vu dans la sous-section
-précédente $$\begin{aligned}
- \int x'(t){\mathrm{d}}t&=\int (a\cdot t+C){\mathrm{d}}t,\nonumber\\
- x(t)&=\frac{a}{2}\cdot t^2+C\cdot t + D.\end{aligned}$$ On voit que
-la position d’un objet en mouvement rectiligne uniformément accéléré est
-donné par une parabole. Cette équation a néanmoins encore deux
-constantes indéterminées. Pour les déterminer, on doit imposer deux
-conditions initiales. Une possibilité est d’imposer une condition
-initiale par équation $$v(t_0)=v_0,\mbox{ et } x(t_0)=x_0.$$ On obtient
-$$v(t_0)=v_0=a\cdot t_0+C \Leftrightarrow C=v_0-a\cdot t_0,$$ et
-$$x(t_0)=x_0=\frac{a}{2}\cdot t_0^2+D \Leftrightarrow D=x_0-\frac{a}{2}\cdot t_0^2.$$
-Finalement la solution est donnée par
-$$x(t)=\frac{a}{2}\cdot (t^2-t_0^2)+v_0\cdot (t-t_0)+x_0.$$
-
-Remarque +.#
-
-La solution du problème différentiel peut également se calculer de
-la façon suivante $$x''(t)=a,\ x(t_0)=x_0,\ v(t_0)=v_0.$$ revient Ã
-calculer $$\begin{aligned}
- \int \int x''=\int \int a,\\
- x(t)=\frac{a}{2}t^2+C\cdot t + D.\end{aligned}$$
-
-### Évolution d’une population
-
-Imaginons une colonie de bactéries dont nous connaissons le taux de
-reproduction $r$. Nous connaissons le nombre de ces bactéries au temps
-$t$, qui est donné par $n(t)$. Nous souhaitons connaître la population
-au temps $t+\delta t$. On a donc
-$$n(t+\delta t)=n(t)+(r\delta t)\cdot n(t)=n(t)(1+r\delta t).$${#eq:evolpop}
-Imaginons que le taux de reproduction $r=1/3600 s^{-1}$, que la
-population à un temps donné $t_0$ est de $n(t_0)=1000$, et qu’on veuille
-connaître la population après $\delta t=1h=3600s$. Il vient alors
-$$n(t_0+3600)=(1+1/3600 \cdot 3600)\cdot n(t_0)=2\cdot1000=2000.$$
-Imaginons maintenant que nous voulions calculer la population après
-$\delta t=2h=7200s$. Nous avons deux façons de faire. Soit nous
-utilisons le résultat précédent $n(t_1)=2000$ avec $t_1=t_0+3600$ et
-évaluons la population après une heure supplémentaire
-($\delta t_1=3600s$)
-$$n(t_1+3600)=(1+1/3600 \cdot 3600)\cdot n(t_1)=2\cdot 2000=4000.$${#eq:comp}
-Soit nous reprenons l’équation de départ (voir l'@eq:evolpop) et nous
-obtenons
-$$n(t_0+7200)=(1+1/3600 \cdot 7200)\cdot n(t_0)=3\cdot 1000=3000.$$ On
-voit que ces deux résultats ne sont pas égaux. Effectuer deux itérations
-de notre algorithme discret avec un pas d’itération de $\delta t$, ne
-correspond pas à effectuer une seule itération avec un pas deux fois
-plus grand ($2\delta t$). Néanmoins cela devrait être le cas pour
-$\delta t\rightarrow 0$.
-
-Pour nous en convaincre faisons l’exercice suivant. Reprenons l’@eq:comp que vous pouvons réécrire comme
-$$n(t_0+2\delta t)=n(t_1+\delta t)=(1+r\delta t) n(t_1)=(1+r \delta t)(1+r \delta t) n(t_0)=(1+r\delta t)^2 n(t_0).$$
-Si à présent nous comparons les résultats obtenus pour
-$\delta t_1=2\delta t$ dans l’@eq:evolpop on a
-$$\begin{aligned}
- n_1&=(1+r\delta t)^2 n(t_0)=(1+2r\delta t+(r\delta t)^2) n(t_0),\\
- n_2&=(1+2r\delta t) n(t_0).\end{aligned}$$ On trouve donc finalement
-que $n_2-n_1=(r\delta t)^2n(t_0)$. On a donc que la différence tend bien
-vers 0 quand $\delta t$ tend vers 0.
-
-Afin de voir plus en détail ce qu’il se passe lorsque
-$\delta t\rightarrow 0$, reprenons l’équation de départ
-(l'@eq:evolpop), divisons la par $\delta t$ et arrangeons les
-termes. Il vient $$\frac{n(t+\delta t)-n(t)}{\delta t}=r\cdot n(t).$$ En
-prenant la limite $\delta t\rightarrow 0$ on voit apparaître la dérivée
-dans le membre de gauche de l’équation ci-dessus
-$$\lim\limits_{\delta t\rightarrow 0} \frac{n(t+\delta t)-n(t)}{\delta t}=n'(t)=r\cdot n(t).$${#eq:cont}
-On voit qu’on a construit ici une équation différentielle à partir d’un
-système discret.
-
-Nous pouvons à présent résoudre l’équation différentielle ci-dessus en
-se souvenant que la fonction dont la dérivée est proportionnelle à la
-fonction de départ est l’exponentielle. Il vient
-$$n(t)=C\exp(r t),$${#eq:sol_pop} où $C$ est une constante. Il est
-en effet élémentaire de montrer que cette solution satisfait l’@eq:cont. On voit également qu’il nous manque une condition pour
-avoir l’unicité de la solution ci-dessus (on ne connaît toujours pas
-$C$). La constante peut-être obtenue à l’aide d’une condition initiale
-(correspondant au $n(t_0)$ de tout à l’heure). Si $n(t_0)=n_0$, nous trouvons
-pour $C$ $$n(t_0)=C\exp(r t_0)=n_0 \Leftrightarrow C=n_0\exp(-r t_0).$$
-substituant cette relation dans l'@eq:sol_pop, on
-obtient $$n(t)=n_0\exp(r (t-t_0)).$$
-
-### Autres illustrations de l’utilisation des équations différentielles
-
-La plupart des systèmes naturels (ou moins naturels) peuvent être
-décrits à l’aide d’équations différentielles. Nous allons en écrire
-quelques exemples ci-dessous.
-
-#### Systèmes proies-prédateurs
-
-Considérons un système où nous avons des prédateurs (des guépards) et
-des proies (des antilopes)[^5]. Supposons que les antilopes se
-reproduisent exponentiellement vite et que leur seul moyen de mourir est
-de se faire manger par les guépards et que la chance de se faire manger
-est proportionnelle au nombre de guépards. Les guépards meurent
-exponentiellement vite de faim et se reproduisent proportionnellement au
-nombre d’antilopes se trouvant dans le système.
-
-Avec ces hypothèses, on peut écrire le système d’équations suivant ($a$
-est le nombre d’antilopes, et $g$ le nombre de guépards)
-$$\begin{aligned}
-\frac{{\mathrm{d}}a}{{\mathrm{d}}t}&= \underbrace{k_a a(t)}_{(1)}-\underbrace{k_{g,a}g(t) a(t)}_{(2)},\\
-\frac{{\mathrm{d}}g}{{\mathrm{d}}t}&= -\underbrace{k_g g(t)}_{(3)} +\underbrace{k_{a,g} a(t)g(t)}_{(4)}\end{aligned}$$
-Le terme $(1)$ représente la reproduction des antilopes avec taux $k_a$.
-Le terme $(2)$ représente la mort des antilopes qui se font manger par
-les guépards avec un taux $k_{g,a}$ (la chance qu’un guépard rencontre
-une antilope). Le terme $(3)$ est la mort des guépards avec un taux
-$k_g$. Finalement le terme $(4)$ est la reproduction des guépards
-proportionnelle au nombre d’antilopes avec un taux $k_{a,g}$.
-
-Nous avons à faire ici à un système d’équations différentielles. Nous
-n’allons pas nous intéresser aux détails de larésolution de ce système mais
-simplement étudier le comportement de la solution (voir la @fig:lkA et @fig:lkB).
-
-<div id="fig:lk">
-{#fig:lkA width="50%"}
-{#fig:lkB width=50%}
-
-Deux représentation du système de Lotka--Volterra.
-</div>
-
-#### Circuits électriques: le circuit RC
-
-Supposons que nous ayons le circuit RC de la Fig. @fig:rc, où nous
-avons une résistance (de résistance $R$) branchée en série avec une
-capacité (de capacité électrique $C$). Sur ce circuit nous avons une
-source qui délivre une tension $U$. Nous avons également un interrupteur
-qui quand il est en position $(a)$ relie le circuit RC Ã la source, ce
-qui a pour effet de chargé la capacité. En position $(b)$ la capacité se
-décharge et son énergie est dissipée dans la résistance.
-
-{#fig:rc width="50.00000%"}
-
-Nous souhaitons étudier la variation de la chute de tension dans la
-capacité $U_c$ lorsque:
-
-1. nous mettons l’interrupteur en position $(a)$.
-
-2. puis lorsque la capacité est chargée, nous mettons l’interrupteur en
- position $(b)$.
-
-Les chutes de tension dans la capacité et la résistance sont
-respectivement données par $$U_C=Q/C,\quad U_R=R I,$$ où $Q$ est la
-charge de la capacité et $I$ le courant traversant la résistance. Nous
-avons par la loi de Kirchoff que $$U=U_C+U_R.$${#eq:tot_tension} De
-plus le courant traversant la résistance est donné par $$I(t)=Q'(t).$$
-En combinant ces équations, nous obtenons
-$$U_C'(t)+\frac{U_C(t)}{RC}=\frac{U}{RC}.$$ Nous avons également la
-condition initiale $U_C(0)=0$ (la tension au moment de la mise de
-l’interrupteur en position $(a)$ est nulle).
-
-Lors de la mise de l’interrupteur en position $(b)$ nous avons
-simplement que l'@eq:tot_tension devient
-$$0=U_C+U_R.$${#eq:tot_tension_0} On a donc que l’équation
-différentielle pour l’évolution de la chute de tension dans la capacité
-devient $$U_C'(t)+\frac{U_C(t)}{RC}=0.$$ Et la condition initiale
-devient $U_C(0)=U$.
-
-Pour cette dernière équation nous avons déjà calculé une solution très
-similaire et on a $$U_C(t)=U\exp(-t/(RC)).$$ La tension dans la capacité
-va décroître exponentiellement vite. Pour le cas de l’interrupteur en
-position $(a)$ la solution est $$U_C(t)=U(1-\exp(-t/(RC))).$$ La tension
-augmente exponentiellement au début, puis au fur et à mesure que la
-capacité se charge il devient de plus en plus difficile de la charger.
-L’augmentation de la tension se fait donc de plus en plus lentement
-jusqu’à devenir une asymptote horizontale en $U$.
-
-#### Taux d’intérêts composés
-
-Nous voulons étudier l’augmentation d’un capital $c(t)$ au cours du
-temps qui est soumis à un taux d’intérêt annuel $r$ qui est composé
-après chaque intervalle $\delta t$. On peut également inclure des
-dépôts/retraits $d$ sur l’intervalle $\delta t$. La valeur du capital
-après un intervalle $\delta t$ est de
-$$c(t+\delta t)=c(t)+(r\delta t )c(t)+d\delta t.$${#eq:cap_discr}
-Supposons qu’on a un capital de départ $1000 \mathrm{CHF}$, un taux
-d’intérêts annuel de $1\%$ et un dépôt annuel de $100\mathrm{CHF}$.
-Après deux mois ($\delta t=2/12=1/6$) le capital devient
-$$c(1/6)=1000+0.01/6\cdot 1000 +100/6=1018.3\mathrm{CHF}.$$ Si
-maintenant, nous voulons avoir la valeur du capital à n’importe quel
-moment dans le temps, nous allons prendre $\delta t\rightarrow 0$. En
-divisant l'@eq:cap_discr par $\delta t$, et en
-réarrangeant les termes, on obtient $$c'(t)=rc(t)+d.$$ En supposant que
-$c(t=0)=c_0$ (le capital initial), cette équation différentielle a pour
-solution $$c(t)=\frac{d}{r}(e^{rt}-1)+c_0e^{r t}.$$ Cette solution a
-pour les paramètres précédents la forme suivante sur une période de 100
-ans.
-
-{#fig:interets width="50.00000%"}
-
-Définitions et théorèmes principaux
------------------------------------
-
-Définition (Équation différentielle ordinaire) +.#
-
-Soit $y$ une fonction dérivable $n$ fois et dépendant d’une seule
-variable. Une **équation différentielle ordinaire** est un équation de
-la forme $$F(x,y,y',y'',...,y^{(n)})=0,$$ où $F$ est une fonction, et
-$y'$, $y''$, ..., $y^{(n)}$ sont les dérivées première, deuxième, ...,
-$n$-ème de $y$.
-
----
-
-Illustation +.#
-
-L’équation suivante est une équation différentielle ordinaire
-$$y''+4y'+8y+3x^2+9=0.$$
-
----
-
-Afin de résoudre cette équation, nous cherchons une solution de la forme
-$y=f(x)$. On dit également que nous cherchons à intégrer l’équation
-différentielle.
-
-Afin de classifier les équation différentielles, considérons les
-définitions suivantes
-
-Définition (Ordre) +.#
-
-L’ordre d’une équation différentielle est l’ordre le plus haut des
-dérivées de $y$ qui y apparaissent. L’ordre de l’équation différentielle
-$F(x,y,y',y'',...,y^{(n)})=0$ est de $n$, si $n\neq 0$.
-
-Illustration +.#
-
-L’équation différentielle suivante est d’ordre $3$
-$$4y'''+x\cdot y'+4y+6x=0.$$
-
-Définition (Condition initiale) +.#
-
-Une condition initiale pour une équation différentielle d’ordre $n$, est
-un ensemble de valeurs, $y_0$, $y_1$, ..., $y_{n-1}$ donnée telles que
-pour une valeur $x_0$ donnée on a
-$$y(x_0)=y_0,\ y'(x_0)=y_1,\ ...,\ y^{(n-1)}(x_0)=y_{n-1}.$$
-
-Nous souhaitons maintenant savoir sous quelles conditions une équation
-différentielle admet une solution et si elle est unique. Nous n’allons
-pas vraiment écrire ni démontrer le théorème d’existence et d’unicité
-des équations différentielles ordinaires, mais simplement en donner une
-version approximative et la discuter
-
----
-
-Théorème (Existence et unicité) +.#
-
-Soit $D\subseteq{\real}$ le domaine de définition de la fonction
-$y$. Soit $y:D\rightarrow E\subseteq {\real}$ une fonction à valeur
-réelle continue et dérivable sur $D$, et
-$f:D\times E\rightarrow F\subseteq{\real}$ une fonction à deux variables continue
-sur $D\times E$. Alors, le système suivant (également appelé problème de
-Cauchy) $$\begin{aligned}
- &y'=f(y,x),\\
- &y(x=x_0)=y_0,
- \end{aligned}$$ admet une unique solution $y(x)$.
-
----
-
-Ce théorème peut être étendu à une équation d’un ordre arbitraire, $n$,
-possédant $n-1$ conditions initiales. En effet, n’importe quel équation
-différentielle d’un ordre $n$ peut être réécrite sous la forme de $n$
-équations différentielles d’ordre $1$. Pour illustrer cette propriété
-considérons l’équation différentielle suivante $$y''+3y'+y+3x=0.$$ Si
-nous définissons $z=y'$, nous avons le système suivant à résoudre
-$$\begin{aligned}
- y'=z,\\
- z'+3y'+y+3x=0.\end{aligned}$$ Nous voyons que ce système est d’ordre 1,
-mais que nous avons augmenté le nombre d’équations à résoudre.
-
-Cette propriété peut se généraliser de la façon suivante. Soit une
-équation différentielle d’ordre $n$ $$F(x,y,y',...,y^{(n)})=0.$$ Nous
-pouvons définir $z_i=y^{(i-1)}$ et on aura donc que $z_{i+1}=z_i'$. On
-peut ainsi réécrire l’équation différentielle d’ordre $n$ comme étant
-$$\begin{aligned}
- &z_{i+1}=z_i',\ i=1,...,n-1\\
- F(x,y,y',..,y^{(n)})=0 \Rightarrow &G(x,z_1,z_2,...,z_n)=0.\end{aligned}$$
-
-Jusqu’ici $F$ peut être totalement arbitraire. Essayons de classifier un
-peu les équations différentielles en fonction des propriétés de $F$.
-
----
-
-Définition (Linéarité) +.#
-
-Une équation différentielle ordinaire d’ordre $n$ est dite linéaire si
-on peut l’écrire sous la forme
-$$a_0(x)\cdot y(x)+a_1(x)\cdot y'(x)+...+a_n(x)\cdot y^{(n)}(x)=b(x).$$
-Si les coefficients $a_i$ ne dépendent pas de $x$, alors l’équation est
-dite à **coefficients constants**.
-
----
-
-L’équation ci-dessus a les propriétés suivantes
-
-1. Les $a_i$ ne dépendent que de $x$ (ils ne peuvent pas dépendre de
- $y$).
-
-2. Les $y$ et toutes leur dérivées ont un degré polynomial de 1.
-
-Illustration +.#
-
-L’équation suivante est linéaire $$y''+4x\cdot y'=e^x.$$
-L’équation
-suivante n’est pas linéaire $$y\cdot y''+4x\cdot y'=e^x.$$
-
-Définition (Homogénéité) +.#
-
-Une équation différentielle ordinaire est dite homogène si le terme
-dépendant uniquement de $x$ est nul. Dans le cas où nous avons à faire Ã
-une équation différentielle linéaire, cela revient à dire que $b(x)=0$.
-
-Illustration (Homogénéité) +.#
-
-Les équations suivantes sont homogènes $$\begin{aligned}
- &y''+4x\cdot y\cdot y'+3x^2\cdot y^3=0,\\
- &2y'''+5x^2\cdot y'=0.
- \end{aligned}$$ Les équations suivantes ne le sont pas
-$$\begin{aligned}
- &y''+4x\cdot y\cdot y'+3x^2\cdot y^3=4x+2,\\
- &2y'''+5x^2\cdot y'=1.
- \end{aligned}$$
-
----
-
-Exercice (Homogénéité) +.#
-
-Pour chacune de ces équations différentielles ordinaires
-donner tous les qualificatifs possibles. Si l’équation est inhomogène
-donner l’équation homogène associée. $$\begin{aligned}
- &y^{(4)}+4x^2 y=0,\\
- &y'+4x^2 y^2=3x+2,\\
- &\frac{1}{y+1}y''+4x^2 y^2=0,\\
- &y'=y,\\
- &4y''+4x y=1.
- \end{aligned}$$
-
----
-
-La solution des équations différencielles inhomogènes se
-trouve de la façon suivante.
-
-1. Trouver la solution générale de l’équation différentielle homogène associée,
- notons-la $y_h(x)$.
-
-2. Trouver une solution particulière à l’équation inhomogène, notons-la
- $y_0(x)$.
-
-La solution sera donnée par la somme de ces deux solutions
-$$y=y_h+y_0.$$
-
-Techniques de résolution d’équations différentielles ordinaires d’ordre 1
--------------------------------------------------------------------------
-
-Ici nous considérerons uniquement les équations différentielles
-ordinaires d’ordre 1. Pour certains types d’équations différentielles,
-il existe des techniques standard pour les résoudre. Nous allons en voir
-un certain nombre.
-
-### Équations à variables séparables
-
----
-
-Définition (Équations à variable séparables) +.#
-
-On dit qu’une équation différentielle d’ordre 1 est à variables
-séparables, si elle peut s’écrire sous la forme suivante
-$$y' a(y)=b(x).$$
-
----
-
----
-
-Illustration +.#
-
-L’équation suivante est à variables séparables
-$$e^{x^2+y^2(x)}y'(x)=1.$$
-
----
-
-Pour ce genre d’équations, la solution se trouve de la façon suivante.
-Nous commençons par écrire la dérivée, $y'={\mathrm{d}}y/{\mathrm{d}}x$
-et on obtient $$\begin{aligned}
- \frac{{\mathrm{d}}y}{{\mathrm{d}}x} a(y)=b(x),\\
- a(y){\mathrm{d}}y=b(x){\mathrm{d}}x.\end{aligned}$$ On peut maintenant
-simplement intégrer des deux côtés et on obtient
-$$\int a(y){\mathrm{d}}y=\int b(x){\mathrm{d}}x.$$ Si nous parvenons Ã
-résoudre les intégrales nous obtenons une solution pour $y(x)$ (cette
-solution n’est peut-être pas explicite). Il existe le cas simple où
-$a(y)=1$ et il vient $$y=\int b(x){\mathrm{d}}x.$$
-
----
-
-Exemple +.#
-
-Résoudre l’équation différentielle suivante $$n'(t)=r\cdot n(t).$$
-
-Solution +.#
-
-En
-écrivant $n'={\mathrm{d}}n /{\mathrm{d}}t$, on réécrit l’équation
-différentielle sous la forme
-$$\frac{1}{n} {\mathrm{d}}n=r{\mathrm{d}}t,$$ qu’on intègre
-$$\begin{aligned}
-\int \frac{1}{n} {\mathrm{d}}n&=\int r{\mathrm{d}}t,\nonumber\\
-\ln(n)&=r\cdot t+C,\nonumber\\
-n(t)&=e^{r\cdot t+C}=A\cdot e^{r\cdot t},\end{aligned}$$ où $A=e^C$.
-
----
-
----
-
-Exercice +.#
-
-1. Résoudre l’équation différentielle suivante $$c'(t)=rc(t)+d.$$
-
-2. Résoudre l’équation différentielle suivante
- $$x\cdot y(x) \cdot y'(x)=1.$$
-
----
-
-### Équations linéaires {#sec:eq_lin}
-
-Pour une équation du type $$y'(x)=a(x)\cdot y(x)+b(x),$${#eq:lin}
-on doit résoudre le problème en deux parties.
-
-supposons que nous connaissons une
-solution “particulière†à cette équation. Notons la $y_p$. Si nous
-faisons maintenant le changement de variables $y=y_h+y_p$ et remplaçons
-ce changement de variables dans l’équation ci-dessus nous obtenons
-$$y_p'(x)+y_h'(x)=a(x)\cdot y_p(x)+a(x)\cdot y_h(x)+b(x).$${#eq:lin_hp}
-Comme $y_p$ est solution de l'@eq:lin on a
-$$y_p'(x)=a(x)\cdot y_p(x)+b(x).$$ En remplaçant cette relation dans
-l'@eq:lin_hp il vient $$y_h'(x)=a(x)\cdot y_h(x).$$
-Cette équation différentielle n’est rien d’autre que l’équation homogène
-correspondant à @eq:lin.
-
-Nous voyons qu’une équation inhomogène se résout en trouvant la
-solution générale à l’équation homogène correspondante et en y ajoutant
-une solution particulière.
-
-Revenons donc à la résolution de l’équation différentielle linéaire
-d’ordre un. La première partie de la résolution consiste à résoudre
-l’équation homogène associée à l'@eq:lin
-$$y'(x)=a(x)\cdot y(x).$$ Cette équation se résout par séparation des
-variables. La solution est donc $$y_h(x)=Ce^{\int a(x){\mathrm{d}}x}.$$
-Puis nous devons chercher une solution dite particulière de l’équation
-inhomogène. Pour ce faire nous utilisons la méthode de la variation de
-la constante. Il s’agit de trouver une solution particulière qui aura la
-même forme que la solution de l’équation homogène, où $C$ dépendra de
-$x$ (d'où le nom de méthode de variation de la constante)
-$$y_p(x)=C(x)e^{\int a(x){\mathrm{d}}x}.$$ En remplaçant cette équation
-dans l'@eq:lin, on obtient $$\begin{aligned}
- C'(x)e^{\int a(x){\mathrm{d}}x}+C(x)\cdot a(x)e^{\int a(x){\mathrm{d}}x}&=a(x)\cdot C(x) e^{\int a(x){\mathrm{d}}x}+b(x),\nonumber\\
- C'(x)&=\frac{b(x)}{e^{\int a(x){\mathrm{d}}x}}.
- \end{aligned}$$ Il nous reste donc à résoudre cette équation
-différentielle pour $C(x)$ qui est une équation à variables séparables où
-on aurait un $a(c)=1$. On intègre donc directement cette équation
-pour obtienir
-$$C(x)=\int \frac{b(x)}{e^{\int a(x){\mathrm{d}}x}}{\mathrm{d}}x.$$
-Finalement, on a que la solution de l’équation générale de l’équation
-inhomogène est
-$$y=y_p+y_h=\left(\int \frac{b(x)}{e^{\int a(x){\mathrm{d}}x}}{\mathrm{d}}x+C\right)e^{\int a(x){\mathrm{d}}x}.$$
-
-Exemple +.#
-
-Résoudre l’équation suivante
-$$U_C'(t)+\frac{U_C(t)}{RC}=\frac{U}{RC}.$${#eq:rc_inhom}
-
-Solution +.#
-
-On
-commence par résoudre l’équation homogène
-$${U_C}_h'(t)+\frac{{U_C}_h(t)}{RC}=0.$$ D’où on obtient
-$${U_C}_h=A\cdot e^{-\frac{1}{RC} t}.$$ Puis par variations des
-constantes, on essaie de déterminer la solution particulière de la forme
-$${U_C}_p=B(t)\cdot e^{-\frac{1}{RC} t}.$$ En remplaçant cette forme de
-solution dans l'@eq:rc_inhom, on obtient
-$$B'(t)=\frac{U}{RC}\cdot e^{\frac{1}{RC} t}.$$ Qui donne par
-intégration $$B(t)=U e^{\frac{1}{RC} t}+D.$$ Finalement, il vient que
-$$U_c(t)=\left(U e^{\frac{1}{RC} t}+D+A\right)e^{-\frac{1}{RC}t}=U+(D+A)e^{-\frac{1}{RC}t}=U+Ce^{-\frac{1}{RC}t},$$
-où $C=D+A$. Pour le cas de la charge du condensateur, on a de plus
-$U_c(0)=0$. On peut donc fixer la constante $C=-U$.
-
-Résoudre les équations différentielles suivantes
-
-Exercice +.#
-
-1. $$y'+2y=t^2$$
-
-2. $$y'+y=\frac{1}{1+e^t}.$$
-
-### Équations de Bernouilli
-
-Il existe des équations particulières qui peuvent se ramener à des
-équations linéaires via des changements de variables.
-
-Une classe particulière sont les équations de Bernouilli, qui s’écrit
-$$y'(x)+a(x)\cdot y(x)+b(x)\cdot y^n(x)=0,$${#eq:bernouilli} où
-$r\in{\real}$.
-
-Cette équation peut être réécrite sous la forme
-$$\frac{y'(x)}{y^n(x)}+\frac{a(x)}{y^{n-1}(x)}+b(x)=0.$${#eq:bernouilli_2}
-
-Dans ce cas là , en effectuant le changement de variable suivant
-$$z=y^{1-n},$$ on obtient (exercice)
-$$z'(x)+(1-n)a(x)\cdot z(x)+(1-n)b(x)=0.$$ On a donc ramené l’équation
-de Bernouilli à une équation linéaire que nous savons résoudre à l’aide
-de la méthode de la section @sec:eq_lin.
-
----
-
-Exemple +.#
-
-Résoudre l’équation de Bernouilli suivante $$y'-y-x\cdot y^6=0.$$
-
-Solution +.#
-
-Avec
-la substitution $z=y^5$, on obtient $$z'-5z+5x=0.$$ Cette équation se
-résout en trouvant d’abord la solution de l’équation
-homogène $$z_h'-5z_h=0,$$ qui est donnée par $$z_h=Ae^{5x}.$$ En
-remarquant qu’une solution particulière à $z_p'-5z_p+5x=0$, peut être de
-la forme $z_p=x+B$ (avec $B$ une constante) on obtient $$\begin{aligned}
- 1-5(x+B)+5x=0,\nonumber\\
- 1-5B=0\Rightarrow B=\frac{1}{5}.\end{aligned}$$ Et finalement
-$$z=z_h+z_p=Ae^{5x}+x+\frac{1}{5}.$$ Il nous reste à présent à calculer
-$y=z^{1/5}$ et on a $$y=\left(Ae^{5x}+x+\frac{1}{5}\right)^{1/5}.$$
-
----
-
-### Équation de Riccati
-
-L’équation de Riccati qui est de la forme
-$$y'(x)+a(x)+b(x)\cdot y(x)+c(x)\cdot y^2(x)=0,$${#eq:riccati} et
-est donc quadratique en $y$. On notera que c’est une équation de
-Bernouilli (avec $n=2$ et qui est inhomogène).
-
-Cette équation a une propriété intéressante. Si nous connaissons une
-solution particulière à l’équation inhomogène, notons la $y_p$, alors la
-solution générale peut être trouvée de la façon suivante.
-
-Faisons le changement de variable suivant $y=y_h+y_p$. L’équation
-ce-dessus devient donc
-$$y_p'+y_h'+a(x)+b(x)\cdot y_p+b(x)\cdot y_h+c(x)\cdot (y_p^2+2y_p(x)y_h(x)+y_h^2)=0.$$
-En utilisant que $y_p$ est solution de l’équation de Riccati, on a
-$$y_h'+a(x)+(b(x)+2y_p(x)c(x))\cdot y_h+c(x)\cdot y_h^2=0.$$ Cette
-équation est une équation de Bernouilli avec $n=2$. On sait donc comment
-la résoudre.
-
---
-
-Exercice +.#
-
-Résoudre l’équation de Riccati suivante $$y'+y^2-\frac{2}{x^2}=0.$$
-Indication: la solution particulière a la forme $y=\frac{a}{x}$, avec
-$a$ une constante.
-
---
-
-De plus, ce genre d’équation peut-être transformée via un changement de
-variables en une équation linéaire d’ordre deux. Si $c(x)$ est
-dérivable, alors on peut faire le changement de variables suivant
-$$v=y\cdot c(x),$$ et on a donc que $$v'=y' c+y c'.$$ En insérant ces
-relations dans l'@eq:riccati, il vient
-$$v'(x)+d(x)+e(x)\cdot v(x)+v^2(x)=0,$${#eq:riccati_2} où nous
-avons nommé $d(x)=a(x)\cdot c(x)$ et $e(x)=\frac{c'(x)}{c(x)}+b(x)$. Si
-à présent nous faisons un autre changement de variables
-$$v(x)=-\frac{z'(x)}{z(x)},$$ on obtient que l’équation ci-dessus peut
-se réécrire comme
-$$z''(x)+e(x)\cdot z'(x)+d(x)\cdot z(x)=0.$${#eq:riccati_3}
-L’équation de Riccati (une équation d’ordre un non-linéaire et
-inhomogène) est ainsi transformée en une équation linéaire d’ordre deux.
-
-Equations différentielles ordinaires d’ordre deux
--------------------------------------------------
-
-Dans cette section, nous allons étudier des cas particuliers d’équations
-différentielles que nous savons intégrer. Cela sera toujours des
-équations linéaires.
-
-De façon générale ces équations s’écrivent
-$$a(x)y''(x)+b(x)y'(x)+c(x)y(x)=d(x),$$ où
-$a,b,c,d:{\real}\rightarrow{\real}$ sont des fonctions
-réelles. Avant de résoudre l’équation générale, nous allons considérer
-des plus simples.
-
-### EDO d’ordre deux homogène à coefficients constants
-
-Ce genre d’équations s’écrit sous la forme
-$$a y''(x)+by'(x)+cy(x)=0.$${#eq:edo2_cch} Voyons maintenant
-comment résoudre cette équation.
-
-Ces équations ont des propriétés intéressantes dûes à la linéarité de
-l’équation différentielle.
-
----
-
-Propriétés +.#
-
-Ces propriétés (qui caractérisent le mot "linéaires") sont à démontrer en exercice.
-
-1. Soit $f(x)$ une solution de l'@eq:edo2_cch, alors
- pour $C\in{\real}$ $Cf(x)$ est également
- solution de @eq:edo2_cch.
-
-2. Soient $f(x)$ et $g(x)$ deux solutions de l’équation
- @eq:edo2_cch, alors $h(x)=f(x)+g(x)$
- est également solution de @eq:edo2_cch.
-
-3. De ces deux propriétés, on déduit la propriété suivante. Soient
- $f(x)$ et $g(x)$ deux solutions de l'@eq:edo2_cch,
- et $C_1,C_2\in{\real}$, $h(x)=C_1f(x)+C_2g(x)$
- est aussi solution de l'@eq:edo2_cch.
-
----
-
-Afin de simplifier la discussion prenons une EDO d’ordre deux Ã
-coefficients constants particulière $$y''+3y'+2y=0.$${#eq:edo2_ex}
-On va supposer que cette équation a pour solution une fonction de la
-forme $y(x)=e^{\lambda x}$. Substituons cette forme de solution dans
-l’équation de départ, on obtient $$\begin{aligned}
- \lambda^2 e^{\lambda x}+3\lambda e^{\lambda x}+2\lambda^2 e^{\lambda x}=0,\nonumber\\
- \lambda^2+3\lambda +2=0,\end{aligned}$$s où on a utilisé que
-$e^{\lambda x}$ ne peut jamais s’annuler pour le simplifier entre les
-deux lignes. La seconde ligne ci-dessus, s’appelle le polynôme
-caractéristique de notre EDO d’ordre 2.
-
-Il nous reste à présent à déterminer $\lambda$ ce qui est un simple
-problème d’algèbre. Le polynome ci-dessus se factorise simplement en
-$$(\lambda+1)(\lambda+2)=0,$$ on a donc pour solution $\lambda=-1$, et
-$\lambda=-2$.
-
-On a donc immédiatement deux solutions à notre équation différentielle
-$$y_1(x)=e^{-x},\quad y_2(x)=e^{-2x}.$$ On vérifie aisément que ces deux
-équations vérifient l'@eq:edo2_ex. Précédemment, nous
-avons vu que la linéarité de ces équations différentielles, faisait
-qu’on pouvait contrsuire des solutions plus générales. En effet, on peut
-montrer que la solution la plus générale à cette EDO est
-$$y(x)=C_1 y_1(x)+C_2y_2(x)=C_1e^{-x}+C_2e^{-2x}.$$ On constate qu’il y
-a deux constantes à déterminer pour avoir une solution unique. Pour ce
-faire il faudra donner deux conditions initiales. Une sur $y(x)$ et une
-sur $y'(x)$. Par exemple on pourrait avoir $y(0)=1$ et $y'(0)=0$ et on
-obtient $$\begin{aligned}
- C_1+C_2&=1,\\
- -C_1-2C_2&=0.\end{aligned}$$ Ce système d’équations ordinaires a pour
-solution $$C_1=2,\quad C_2=-1.$$ On a donc finalement
-$$y(x)=2e^{-x}-e^{-2x}.$$
-
-A présent, nous pouvons généraliser cette méthode pour l’équation
-@eq:edo2_cch $$a y''(x)+by'(x)+cy(x)=0.$$ En faisans la même
-subsitution que précédemment, $y=e^{\lambda x}$, on a $$\begin{aligned}
- &a \lambda^2e^{\lambda x}+b\lambda e^{\lambda x} +ce^{\lambda x}=0,\\
- &a \lambda^2+\lambda b+c=0.\end{aligned}$$ L’équation ci-dessus doit
-être résolue pour $\lambda$. Nous savons comment résoudre ce genre
-d’équation du second degré. La solution est donnée par
-$$\lambda=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a},$$ où $\Delta = b^2-4ac$. On a
- deux solutions $$\begin{aligned}
- \lambda_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a},\\
- \lambda_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}.\end{aligned}$$
-
-Il y a trois cas possibles: $\Delta > 0$, $\Delta = 0$,
-$\Delta < 0$.
-
-#### Le cas $\Delta>0$
-
-Dans ce cas, on a que $\lambda_1,\lambda_2\in{\real}$ sont réels.
-La solution est donc donnée par (comme on l’a vu au paravant)
-$$y(x)=C_1e^{\lambda_1 x}+C_2e^{\lambda_2 x}.$$
-
-#### Le cas $\Delta=0$
-
-Ici, $\lambda_1=\lambda_2=\lambda=-b/(2a)$ et $\lambda$ est réel.
-Dans ce cas-là les choses se compliquent un peu. Si on utilisait
-directement la formule ci-dessus, on aurait $$y(x)=Ce^{\lambda x},$$
-avec $C\in{\real}$. Par contre, cette solution ne peut pas
-satisfaire deux conditions initiales comme nous avons vu précédemment.
-Il fau donc travailler un peu plus. Supposons que $y(x)$ est donné par
-la fonction suivante $$y(x)=z(x)e^{\lambda x},$$ avec $z(x)$ une
-fonction réelle. En substituant cela dans l’équation générale, on a
-$$az''+(2\lambda a+b)z'+(a\lambda^2+b\lambda+c)z=0.$$ En utilant que
-$\lambda=-b/(2a)$ et $\Delta =0$ il vient $$z''=0.$$ La solution de
-cette équation est $$z=C_1+xC_2.$$ On obtient donc comme solution
-générale de l’équation différentielle $$y(x)=(C_1+C_2 x)e^{\lambda x}.$$
-
-#### Le cas $\Delta<0$
-
-Dans ce cas-là , on a deux solutions complexes (la racine d’une nombre
-négatif n’est pas réelle). Les racines sont de la forme
-$$\begin{aligned}
- \lambda_1=\frac{-b+i\sqrt{|b^2-4ac|}}{2a},
- \lambda_2=\frac{-b-i\sqrt{|b^2-4ac|}}{2a},\end{aligned}$$ où $i$ est l'unité
-imaginaire. En écrivant $u=-b/(2a)$ et $v=\sqrt{|b^2-4ac|}/(2a)$,
-on peut écrire $\lambda_1=u+iv$ et $\lambda_2=u-iv$. On a donc que
-$\lambda_2$ est le complexe conjugué de $\lambda_1$, ou
-$\lambda_1=\bar{\lambda}_2$. En utilisant ces notations dans notre
-exponentielle, on a $$\begin{aligned}
- y_1&=e^{(u+iv)x}=e^{ux}e^{ivx},\\
- y_2&=e^{(u-iv)x}=e^{ux}e^{-ivx}.\end{aligned}$$ En se rappelant de la
-linéarité des solutions des EDO linéaires, on peut écrire la forme
-générale de la solution comme ($C_1,C_2\in {\real}$)
-$$y=C_1y_1+C_2y_2=C_1e^{ux}e^{ivx}+C_2e^{ux}e^{-ivx}=e^{ux}(C_1e^{ivx}+C_2e^{-ivx}).$${#eq:sol2}
-
-En utilisant la formule d’Euler $$\begin{aligned}
- e^{ivx}&=(\cos(vx)+i\sin(vx)),\\
- e^{-ivx}&=e^{ux}(\cos(vx)-i\sin(vx)),\end{aligned}$$ on peut réécrire
-l'@eq:sol2 comme $$\begin{aligned}
- y&=e^{ux}\left(C_1(\cos(vx)+i\sin(vx))+C_2(\cos(vx)-i\sin(vx))\right),\nonumber\\
- &=e^{ux}\left((C_1+C_2)\cos(vx)+i(C_1-C_2)\sin(vx))\right),\nonumber\\
- &=e^{ux}\left(C_3\cos(vx)+C_4\sin(vx))\right),\end{aligned}$$ où on a
-définit $C_3\equiv C_1+C_2$ et $C_4\equiv i(C_1-C_2)$.
-
-Résoudre les EDO d’ordre 2 à coefficiens constants suivantes:
-
-1. $y''+y'+y=0$,
-
-2. $y''+4y'+5y=0$, $y(0)=1$, $y'(0)=0$.
-
-3. $y''+5y'+6y=0$, $y(0)=2$, $y'(0)=3$.
-
-4. $2y''-5y'+2y=0$, $y(0)=0$, $y'(0)=1$.
-
-Résolution numérique d’équations différentielles ordinaires
------------------------------------------------------------
-
-Pour la plupart des problèmes d’ingénierie classique, les solutions des
-équations différentielles sont trop compliquées à calculer
-analytiquement (si elles sont calculables). Il est donc nécessaire d’en
-obtenir des solutions approximées numériquement.
-
-### Problématique
-
-Le problème à résoudre est une EDO avec condition initiale qui peut
-s’écrire de la façon suivante $$y'=F(t,y),\quad y(t_0)=y_0,$$ où $F$ est
-une fonction de $y$ et de $t$, et où $y_0$ est la condition initiale.
-Nous cherchons donc à connaître l’évolution de $y(t)$ pour $t>t_0$.
-
-### Méthode de résolution: la méthode d’Euler
-
-Afin de résoudre ce genre de problème numériquement il existe une grande
-quantité de techniques. Ici nous allons en considérer une relativement
-simple, afin d’illustrer la méthodologie (vous en verrez une autre dans
-le TP).
-
-Nous cherchons donc à évaluer $y(t=t_0+\delta t)$, étant donné $y_0$,
-$\delta t$ et $F(t,y)$. Intégrons donc simplement notre EDO entre $t_0$
-et $t_0+\delta t$ dans un premier temps et on obtient
-$$\int_{t_0}^{t_0+\delta t} y' {\mathrm{d}}t=\int_{t_0}^{t_0+\delta t} F(t,y){\mathrm{d}}t.$$
-Le théorème fondamental du calcul intégral nous dit que cette équation
-peut s’écrire
- $$y(t_0+\delta t)-y(t_0)=\int_{t_0}^{t_0+\delta t} F(t,y){\mathrm{d}}t,$$
- $$y(t_0+\delta t)-y_0=\int_{t_0}^{t_0+\delta t} F(t,y){\mathrm{d}}t.$${#eq:edo_app_gen}
-Ont doit donc intégrer le membre de droite de cette équation. Pour ce
-faire nous pouvons utiliser une des techniques vues dans le chapitre
-précédent. Par exemple, on peut choisir la méthode des rectangle Ã
-gauche. Cette équation devient $$\begin{aligned}
- &y(t_0+\delta t)-y_0=\delta t F(t_0,y(t_0)),\nonumber\\
- &y(t_0+\delta t)=y_0+\delta t F(t_0,y(t_0)).\end{aligned}$$ Cette
-dernière équation nous permet donc d’évaluer $y(t_0+\delta t)$
-connaissant $y_0$. Cette méthode s’appelle “méthode d’Euler†et est une
-dite *explicite*, car $y(t_0+\delta t)$ ne dépend que de la valeur de
-$y$ évaluée au temps $t_0$.
-
-Si plutôt que d’utiliser la méthode des rectangle à gauche pour
-approximer l’intégrale de l'@eq:edo_app_gen, nous
-utilisons la méthodes des rectangles à droite on a
-$$y(t_0+\delta t)=y_0+\delta t F(t_0+\delta t,y(t_0+\delta t)).$$ Dans
-ce cas, on voit que la valeur $y(t_0+\delta t)$ est calculée par rapport
-à la valeur d’elle même. Dépendant de la forme de $F$ on ne peut pas
-résoudre cette équation explicitement. On a donc à faire à une équation
-sous forme *implicite*. Cette façon d’approximer une EDO est dite
-méthode d’Euler implicite.
-
-Sans entrer dans les détails, la différence entre une méthode explicite
-et une méthode implicite est une question de stabilité numérique. En
-effet, les méthodes explicites peuvent devenir numériquement instables
-(la solution numérique s’éloigne exponentiellement vite de la solution
-de l’EDO) si $\delta t$ devient “trop grand†(la contrainte du la taille
-de $\delta t$ s’appelle CFL, pour Courant-Friedrich-Lévy). Les méthodes
-implicites ne souffrent pas de ce problème de stabilité, en revanche
-elles sont plus coûteuses en temps de calcul et en complexité
-algorithmique, étant donné qu’elles requièrent la résolution d’une
-équation implicite.
-
-Notre but initial était de connaître l’évolution de $y(t)$ pour $t>t_0$.
-Pour déterminer la valeur de $y(t_1)$ avec $t_N=t_0+N\delta t$, il
-suffit donc d’effectuer $N$ pas de la méthode d’intégration choisie (ici
-la méthode d’Euler explicite). On a donc que
-$$y(t_0+N\delta t)=y_0+\delta t\sum_{i=1}^{N}F(t_i,y_i),$$ où
-$t_i=t_0+i\cdot\delta t$ et $y_i=y(t_i)$. Le deuxième terme du membre de
-droite de cette équation est la même que la formule d’intégration en
-plusieurs pas pour la méthode du rectangle (voir l’équation
-@eq:rect_gauche). On a vu que cette méthode a une erreur
-d’ordre $\delta t$. On peut en conclure que l’erreur que la précision de
-la méthode d’Euler est également d’ordre $\mathcal{O}(\delta t)$.
-
-### Méthode de résolution: la méthode de Verlet
-
-Cette méthode d’intégration est utilisée pour l’intégration numérique
-d’EDO d’ordre deux avec une forme particulière qui est donnée par
-$$x''(t)=a(x(t)),$${#eq:x2} où $F$ est une fonction de $x(t)$. On a
-également les conditions initiales $x(t_0)=x_0$ et $x'(t_0)=v_0$. Cette
-forme d’équation différentielle est bien connue en physique sous la
-forme $\vec F=m\vec a$, qui peut s’écrire $$\begin{aligned}
- &\vec{F}=m \vec a(t)=m \vec x''(t),\nonumber\\
- &\frac{\vec{F}}{m}= \vec x''(t),\end{aligned}$$ qui est de la forme de
-l’EDO de départ de l'@eq:x2. La force peut avoir
-différentes forme. Cela peut être la forme de gravité $\vec F=m \vec g$,
-de frottement $\vec F=-\zeta \vec v=-\zeta x'(t)$, etc ou une
-combinaison de toutes ces forces.
-
-Dans la section précédente, nous avons vu l’algorithme d’Euler pour
-résoudre des EDO. Cette méthode a pour avantage sa simplicité de codage,
-son faible coût de calcul, mais a pour désavantage son manque de
-précision. Dans un certain nombres d’applications, telles que les
-moteurs physiques pour les graphismes dans les jeux vidéos, ce manque de
-précision est inacceptable et une meilleure méthode doit être utilisée.
-Dans le TP vous avez vu les méthodes de Runge-Kutta. Ces méthodes
-améliorent la précision de façon spectaculaire, mais ont en général un
-coû de calcul trop élevé.
-
-La méthode de Verlet qu’on va voir ci-dessous est augmente combine un
-faible coût de calcul et une amélioration notable de la précision. Elle
-est en effet très répandue dans l’industrie du jeu vidéo pour intégrer
-les équations différentielles omniprésentes dans les moteurs physiques.
-
-La méthode de Verlet s’écrit (en utilisant les notations de la section
-précédente)
-$$x(t_{n+1})=x(t_n)+\delta t v(t_n)+\frac{1}{2}\delta t^2 a(x(t_n)).$${#eq:verlet_gen}
-Considérons d’abord le terme $v(t_n)$. Ce terme est approximé ici comme
-$$v(t_n) = \frac{x(t_{n+1})-x(t_{n-1})}{2\delta t}.$$ En remplaçant
-cette approximation dans l’équation ci-dessus, il vient
- $$x(t_{n+1})=x(t_n)+\frac{x(t_{n+1})-x(t_{n-1})}{2}+\frac{1}{2}\delta t^2 a(x(t_n)),$$
- $$2x(t_{n+1})=2x(t_n)+x(t_{n+1})-x(t_{n-1})+\delta t^2 a(x(t_n)),$$
- $$x(t_{n+1})=2x(t_n)-x(t_{n-1})+\delta t^2 a(x(t_n)).$${#eq:verlet_novel}
-
-On voit ici que cette formule est inutilisable pour évaluer $x(t_1)$ (ce
-qui veut dire que $n=0$ dans le cas ce-dessus), car elle fait intervenir
-$x(t_{-1})$ dans le membre de droite. Pour résoudre ce problème il
-suffit d’évaluer $x(t_1)$ grâce à l'@eq:verlet_gen où
-$n=0$ $$\begin{aligned}
- x(t_{1})&=x(t_0)+\delta t v(t_0)+\frac{1}{2}\delta t^2 a(x(t_0)),\nonumber\\
- x(t_{1})&=x_0+\delta t v_0+\frac{1}{2}\delta t^2 a(x_0),\end{aligned}$$
-où $x_0$ et $v_0$ sont les conditions initiales de notre problème.
-Esuite les itérations suivantes ($n>0$) sont calculables directement
-avec l'@eq:verlet_novel. Un autre avantage
-considérable de ce modèle est qu’il est très simple d’y inclure une
-force de frottement proportionnelle à la vitesse. Sans entrer dans les
-détails de la dérivation du schéma on a
-$$x(t_{n+1})=(2-\delta t\zeta)x(t_n)-(1-\delta t\zeta)x(t_{n-1})+\delta t^2 a(x(t_n)).$$
-
-Transformées de Fourier
-=======================
-
-Rappel sur les nombres complexes
---------------------------------
-
-Dans cette section, on fait un rappel sur les nombres complexes qui
-seront beaucoup utilisés dans la suite.
-
-### Les nombres réels
-
-L’ensemble des nombres réels, noté ${\real}$, est doté d'un certain
-nombre de fonctions (opérateurs) tels que l’addition,
-la multiplication etc qui prennent un couple de nombres
-réels et rendent un autre nombre réel $$\begin{aligned}
-& +:{\real}\times{\real}\rightarrow{\real},\\
-& \ \cdot:{\real}\times{\real}\rightarrow{\real},\\\end{aligned}$$
-De la définition de l’addition de deux nombres réels il vient par exemple que
-$$+(7,2)=9.$$ On préfère la notation
-$$+(7,2)=7+2=9.$$ Intéressons nous plus particulièrement à la
-multiplication et à l’addition. Ces opérations ont les propriétés
-d’associativité et de commutativité. Cela veut dire que
-$$\begin{aligned}
- &(a+b)+c=a+(b+c), &(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c),\\
- &\quad\quad\quad\quad\quad\quad\mbox{ et }&\nonumber\\
- &a+b=b+a,&a\cdot b=b\cdot a.\end{aligned}$$
-
-### Les couples de nombres réels
-
-Intéressons-nous à présent à un ensemble plus grand que ${\real}$,
-soit ${\real}^2\equiv{\real}\times{\real}$. Cet ensemble
-est l’ensemble des des couples de nombres réels. Notons les nombres
-$z\in{\real}^2$ comme
-$$z=(a,b)\mbox{ tel que } a\in{\real}, \mbox{ et } b\in{\real}.$$
-Sur ces nombres on peut définir à nouveau l’addition,
-la multiplication, ... $$\begin{aligned}
-& +:{\real}^2\times{\real}^2\rightarrow{\real}^2,\\
-& \cdot:{\real}^2\times{\real}^2\rightarrow{\real}^2.\end{aligned}$$
-On peut les écrire sous la forme de leurs équivalents des nombres réels
-comme
-$$(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d),$${#eq:add}
-$$(a,b)\cdot(c,d)=(a\cdot c-b\cdot d,a\cdot d+b\cdot c).$${#eq:mult}
-On voit assez facilement que l’addition sur ${\real}^2$ a une forme
-très similaire à celle sur ${\real}$ du point de vue de ses
-propriétés telles que la commutativité ou l’associativité. Cela est
-moins clair pour la multiplication. Il est néanmoins assez simple de
-vérifier la commutativité $$\begin{aligned}
-(a,b)\cdot(c,d)&=(a\cdot c-b\cdot d,a\cdot d+b\cdot c)\nonumber\\
-&=(c\cdot a-d\cdot b,d\cdot a+c\cdot b)=(c,d)\cdot (a,b).\end{aligned}$$
-
-Exercice +.#
-
-Vérifier l’associativité du produit sur notre ensemble ${\real}^2$.
-
-Regardons à présent ce qui se passe si on étudie les ensemble de
-nombres dans ${\real}^2$ où le deuxième nombre du couple est nul tels que $(a,0)$. Si on additionne
-deux tels nombres ont obtient $$(a,0)+(b,0)=(a+b,0).$$ On constate donc
-que ce genre de nombre se comporte exactement comme un nombre réel
-normal du point de vue de l’addition. Que se passe-t-il quand on
-multiplie deux tels nombres
-$$(a,0)\cdot(b,0)=(a\cdot b-0\cdot 0,a\cdot 0+0\cdot b)=(a\cdot b,0).$$
-On voit que pour la multiplication également les ensembles de nombres
-dont le deuxième est nul, se comporte comme un nombre réel standard.
-
-En fait on peut montrer que ce sous-ensemble de ${\real}^2$ se
-comporte exactement comme ${\real}$. Il se trouve donc que
-${\real}^2$ est un ensemble plus grand que ${\real}$
-et qui le contient entièrement.
-
-### Les nombres complexes
-
-Afin de simplifier les notations et les calculs, on peut introduire une
-notation différente. Introduisons donc le *nombre imaginaire* $i$ tel
-que $$(a,b)=a+i\cdot b.$$ On va maintenant définir l’ensemble des
-nombres complexes $z\in{\mathbb{C}}$ comme tout nombre qui peut s’écrire
-sous la forme $$z=a+i\cdot b.$$ Avec l’addition que nous avons définie Ã
-l'@eq:add, nous avons avec la nouvelle notation
-$$(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)\Leftrightarrow(a+i\cdot b)+(c+i\cdot d)=(a+c)+i(b+d).$$
-On constate que les nombres multipliés par $i$ sépare nos couples de
-nombres (les empêche “de se mélangerâ€),
-
-Pour la multiplication nous avons de même par la définition (équation
-@eq:mult)
-$$(a,b)\cdot(c,d)=(ac-bd,ad+bc)\Leftrightarrow(a+i\cdot b)\cdot(c+i\cdot d)=(ac-bd)+i(ad+bc).$${#eq:res_mult}
-Si maintenant nous utilisons la multiplication de manière classique avec
-notre nouvelle notation (on distribue le produit comme pour les réels)
-$$(a+i\cdot b)\cdot(c+i\cdot d)=ac+i^2\cdot bd+i(ad+bc).$$ On constate
-donc que pour que cette équation soit égale à l’équation
-@eq:res_mult on doit avoir que $i^2=-1$. Il se trouve que c’est
-la définition formelle du nombre imaginaire. Dans les réels $i$ ne peut
-pas exister. En revanche dans l’espace plus grand des complexes $i$ a
-une existence tout à fait naturelle et raisonnable. En fait le nombre
-$i$ est associé au couple $(0,1)$ comme on voit par $(0,19\cdot (0,1)=(-1,0)$.
-
-On appelle partie réelle d’un nombre complexe $z$, la partie pas
-multipliée par $i$ (on la note ${\mathrm{Re}}(z)$) et partie
-imaginaire celle multipliée par $i$ (on la note ${\mathrm{Im}}(z)$).
-Pour $z=a+ib$, on a donc ${\mathrm{Re}}(z)=a$ et ${\mathrm{Im}}(z)=b$.
-
-#### Interprétation géométrique
-
-Comme on l’a vu précédemment, les nombres complexes peuvent se voir
-comme une “notation†de ${\real}^2$. On peut ainsi les représenter
-sur un plan bidimensionnel (voir la @fig:complexPlane).
-
-{#fig:complexPlane width="35.00000%"}
-
-La somme de deux nombres complexes s’interprête également facilement de
-façon graphique. On peut le voir sur la @fig:complexPlaneSum.
-Il s’agit en fait de simplement faire la somme des vecteurs représentant
-chacun des nombres complexes à sommer.
-
-{#fig:complexPlaneSum width="50.00000%"}
-
-Pour la multiplication cela s’avère un peu plus difficile à interpréter.
-Pour cela il est plus simple de passer par une représentation via des
-sinus et des cosinus (en coordonnées polaires) des nombres complexes
-(voir la @fig:complexPlaneCyl.
-
-{#fig:complexPlaneCyl width="35.00000%"}
-
-En utilisant la représentation en termes de $\vartheta$ et $r$, on a que
-$z=r(\cos\vartheta+i\sin\vartheta)=a+ib$. On a immédiatement les
-relations suivantes entre ces deux représentations $$\begin{aligned}
- r=\sqrt{a^2+b^2},\\
- \cos\vartheta=\frac{a}{r},\\
- \sin\vartheta=\frac{b}{r}.\end{aligned}$$ On dit que $r$ est le
-*module* de $z$ (aussi noté $|z|$) et que $\vartheta$ est son *argument*
-(aussi noté $\arg(z)$).
-
-Si à présent on définit $z_1=r_1(\cos\vartheta_1+i\sin\vartheta_1)$ et
-$z_2=r_2(\cos\vartheta_2+i\sin\vartheta_2)$, on a que $z_3=z_1\cdot z_2$
-devient $$\begin{aligned}
- z_3=r_1r_2\left(\cos\vartheta_1\cos\vartheta_2-\sin\vartheta_1\sin\vartheta_2+i\left(\cos\vartheta_1\sin\vartheta_2+\cos\vartheta_2\sin\vartheta_1\right)\right).\end{aligned}$$
-En utilisant les relations trigonométriques suivantes $$\begin{aligned}
- \cos\vartheta_1\cos\vartheta_2-\sin\vartheta_1\sin\vartheta_2&=\cos(\theta_1+\theta_2),\\
- \cos\vartheta_1\sin\vartheta_2+\cos\vartheta_2\sin\vartheta_1&=\sin(\theta_1+\theta_2),\end{aligned}$$
-il vient $$\begin{aligned}
- z_3=r_1r_2\left(\cos(\vartheta_1+\vartheta_2)+i(\sin(\vartheta_1+\vartheta_2)\right).\end{aligned}$$
-On a donc comme interprétation géométrique que le produit de deux
-nombres complexe donne un nombre complexe dont la longueur (module) est le
-produit des longueurs des nombres complexes originaux et dont
-l’orientation (argument) est la somme des angles des nombres complexes originaux.
-
-Cette propriété du produit nous amène à la notation sous forme
-d’exponentielle des nombres complexes. L’exponentielle, possède la
-propriété intéressante suivante $$e^a e^b=e^{a+b}.$$ Ou encore quand on
-multiplie deux nombres représentés par une exponentielle, on peut
-représenter le résultat par l’exponentielle de la somme de leurs
-arguments. Comme pour les nombre complexes en somme. Il en découle des ces considérations
-que
-$$z=re^{i\vartheta}=r(\cos\vartheta+i\sin\vartheta).$$
-
-On peut démontrer de façon plus rigoureuse cette relation grâce aux
-équations différentielles. On a vu dans le chapitre précédent que
-l’équation différentielle $$f'(x)=\alpha f(x),\quad f(0)=r.$$ a pour
-solution $f(x)=e^{\alpha x}$ ($\alpha\in{\mathbb{C}}$). Si on remplace
-$\alpha$ par $i$, on a $f=e^{ix}$. Par ailleurs, avec $\alpha=i$, on
-peut également vérifier que $f(x)=r(\cos x+i\sin x)$ satisfait
-l’équation différentielle ci-dessus. On a donc bien que les deux formes
-sont égales.Remarquons que $e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x), x\in \real$ est la fameuse formule d'Euler.
-
-#### Quelques notations et définitions
-
-Pour la suite de ce cours, nous allons avoir besoin d’un certain nombre
-de notations et de définition. En particulier, nous allons noter
-$\bar{z}$ le nombre complexe conjugué de $z$. Soit $z=a+ib$, son
-complexe conjugué ${\bar{z}}$ est donné par ${\bar{z}}=a-ib$. On voit
-que le complexe conjugué a la même partie réelle que le nombre de
-départ, mais une partie imaginaire opposée.
-
-Lors de l’utilisation de la notation polaire d’un nombre complexe, nous
-avons que le nombre complexe conjugué est de module égal, mais
-d’argument opposé. En d’autres termes, si $z=re^{i\vartheta}$, alors
-${\bar{z}}=re^{-i\vartheta}$.
-
-On peut également écrire le module d’un nombre complexe à l’aide de la
-notation du complexe conjugué. Il est donné par
-$$|z|=\sqrt{z{\bar{z}}}.$$ Finalement, on peut également exprimer les
-parties réelle et imaginaires d’un nombre complexe à l’aide de la
-notation du complexe conjugué
-$${\mathrm{Re}}(z)=\frac{1}{2}(z+{\bar{z}}),\quad {\mathrm{Im}}(z)=\frac{1}{2i}(z-{\bar{z}}).$$
-
----
-
-Exercice +.#
-
-Démontrer ces trois relations.
-
----
-
-Rajoutons encore la relation entre $e^{i\theta}$ et les $\cos,\sin$.
-$$\begin{aligned}
- \cos(\theta)=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2},\\
- \sin(\theta)=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}.\end{aligned}$$
-
----
-
-Exercice +.#
-
-Démontrer ces relations.
-
----
-
-### Espaces vectoriels
-
-Ici nous introduisons de façon très simplifiée le concept d’espace
-vectoriel et certaines notions d’algèbre linéaire. Pour ce faire nous
-allons considérer un ensemble $V$ muni d’une addition et d’une multiplication par un scalaire, c'est à dire par un nombre appartenant
-Ã un ensemble $E$. Dans notre cas $E$
-sera ${\real}$ ou ${\mathbb{C}}$ (l'ensemble des nombres complexes) principalement.
-
-Définition +.#
-
-On appelle espace vectoriel sur $E$, un ensemble $V$, dont les éléments
-appelés vecteurs et notés $v$, sont sont munis des opérations
-$+$ (l’addition) et $\cdot$ (la multiplication par un scalaire) qui ont les
-propriétés suivantes
-
-- Â
-
- 1. L’addition est associative et commutative. Soient $u,v,w\in V$,
- alors $$u+v=v+u,\quad \mbox{ et }\quad (u+v)+w=u+(v+w).$$
-
- 2. L’addition admet un élément neutre additif, noté $0_V$, tel que
- $$0_V+v=v.$$
-
- 3. Tout $v$ admet un opposé, noté $-v$ tel que $$v+(-v)=0_V.$$
-
-- Â
-
- 1. La multiplication par un scalaire est distributive à gauche sur
- l’addition (et à droite sur $E$). Pour $u,v\in V$ et
- $\alpha\in E$, on a
- $$\alpha\cdot(u+v)=\alpha\cdot u+\alpha\cdot v.$$
-
- 2. La multiplication est associative par rapport à la
- multiplication de $E$. Soient $\alpha,\beta\in E$
- $$(\alpha\cdot\beta)\cdot v=\alpha\cdot(\beta\cdot v).$$
-
- 3. La multiplication par un scalaire admet un élément neutre, noté
- $1$, pour la multiplication à gauche $$1 \cdot v=v.$$
-
-
-Exemple (Espaces vectoriels) +.#
-
-1. L’espace nul, $v=0$.
-
-2. $V={\real}$ ou
- $V={\mathbb{C}}$ avec $E=\real$.
-
-3. Espaces de $n-uplets$. Soit $V$ un espace vectoriel sur $E$.L’espace des $n-$uplets. Pour t$n>0$, l’ensemble des $n-$uplets
- d’éléments de $V$, $v=(v_1,v_2,...,v_n),\ \{v_i\in E\}_1^n$,
- est noté $V^n$. Sur cet espace l’addition se définit ($u,v\in V^n$)
- $$u+v=(u_1+v_1,u_2+v_2,...,u_v+v_n),$$ et la mutliplication par un
- scalaire $\alpha\in E$
- $$\alpha v=(\alpha v_1,\alpha v_2,...,\alpha v_n).$$ On a donc que
- l’élément neutre de l’addition est le vecteur
- $0_{E^n}=\underbrace{(0,0,...,0)}_{n}$. L’élément opposé de $v$ est
- $-v=(-v_1,-v_2,...,-v_n)$.
-
- Si $V={\real}$, alors on a l’espace Euclidien. Vous avez
- l’habitude de l’utiliser en 2D ou 3D quand vous considérez des
- vecteurs. Dans ce cas ${\real}^2$ ou ${\real}^3$ avec
- l’addition classique et la multiplication par un réel
- forme un espace vectoriel.
-
-4. Dans ce qui suit dans ce cours, nous allons utiliser encore un autre
- espace vectoriel un peu moins intuitif que ceux que nous avons vus
- jusqu’ici. Il s’agit de l’espace des fonctions, ou espace
- fonctionnel. Nous définissons les applications de $W$ dans $V$ comme
- un espace vectoriel dans $E$ avec l’addition et la multiplication
- par un scalaire définis commme suit. Soient $f:W\rightarrow V$ et
- $g:W\rightarrow V$, avec $\alpha\in E$, alors $$\begin{aligned}
- &(f+g)(x)=f(x)+g(x), \quad \forall x\in W,\\
- &(\alpha\cdot f)(x)=\alpha\cdot f(x), \quad \forall x\in W.
- \end{aligned}$$
-
-5. Espace des applications linéaires. Soit $f$ une fonction de
- $f:W\rightarrow V$, avec $W,V$ des espaces vectoriels sur $E$, alors
- une application est dite linéaire si $$\begin{aligned}
- &f(x+y)=f(x)+f(y),\quad \forall x,y\in W,\\
- &f(\alpha \cdot x)=\alpha \cdot f(x),\quad \forall \alpha\in E,\ \mbox{et}\ x\in W.
- \end{aligned}$$
-
-### Base
-
-Nous avons introduit la notion très générale d’espace vectoriel et
-nous avons présenté quelques exemples. Reprenons l’exemple de l’espace
-Euclidien, soit l’espace des vecteurs comme vous en avez l’habitude.
-Limitons nous au cas où les vecteur sont bidimensionnels, soit
-$v=(v_1,v_2)$ avec $v_1,v_2\in{\real}$. D’habitude ces vecteurs
-sont représentés dans le système de coordonnées cartésien où on a deux
-vecteurs (de base) définis comme $e_1=(1,0)$ et $e_2=(0,1)$ qui sont
-implicites. Par exemple, si $u=(4,5)$ cela signifie implicitement que
-$$u=4\cdot e_1+5\cdot e_2.$$
-
-{#fig:baseCart width="35.00000%"}
-
-De façon générale tout vecteur $v=(v_1,v_2)$ est représenté implicitement
-par (voir la @fig:baseCart) $$v=v_1\cdot e_1+v_2\cdot e_2.$$ On
-dit que $e_1$ et $e_2$ forme une *base* de l’espace ${\real}^2$. En
-d’autres termes n’importe quel vecteur $v\in{\real}^2$ peut être
-exprimé comme une combinaison linéaire de $e_1$ et $e_2$.
-
-Néanmoins, le choix de la base $e_1$ et $e_2$ est totalement arbitraire.
-N’importe quelle autre paire de vecteurs (qui n’on pas la même
-direction) peut être utilisée pour représenter un vecteur quelconque
-dans le plan (voir la @fig:baseNonCart).
-
-{#fig:baseNonCart width="35.00000%"}
-
-Cette écriture en fonction de vecteurs de base, permet de faire
-facilement les additions de vecteurs
-$$w=u+v=u_1\cdot e_1+u_2\cdot e_2+v_1\cdot e_1+v_2\cdot e_2=(u_1+v_1)\cdot e_1+(u_2+v_2)\cdot e_2.$$
-
----
-
-Illustration (Exemples de bases d'espaces vectoriels) +.#
-
-1. Pour l’espace des fonctions polynomiales $f(x)=\sum_{i=0}^Na_ix^i$
- les fonction $e_i=x^i$ forment une base.
-
-2. Pour l’espace vectoriel des fonctions périodiques les fonctions
- $\sin$ et $\cos$ forment une base (voir plus de détails dans ce qui
- suit).
-
----
-
-Plus formellement nous allons introduire un certain nombre de concepts
-mathématiques pour définir une base. Considérons toujours $V$ un espace
-vectoriel sur $E$.
-
-Définition (Famille libre) +.#
-
-Soient $\{\alpha_i\}_{i=1}^n\in E$. On dit qu’un ensemble de vecteurs
-$\{v_i\}_{i=1}^n\in V$ est une famille libre si
-$$\sum_{i=1}^n \alpha_iv_i=0 \Rightarrow \alpha_i=0,\ \forall i.$$
-
-Exemple (Famille libre) +.#
-
-1. $\{e_1\}$ est une famille libre de ${\real}^2$.
-
-2. $\{e_1,e_2\}$ est une famille libre de ${\real}^2$.
-
-3. $\{e_1,e_2,v\}$, avec $v=(1,1)$ n’est pas une famille libre de
- ${\real}^2$. En effet,
- $$1\cdot e_1+1\cdot e_2-1\cdot v=(0,0).$$
-
-4. $\{\sin(x),\cos(x)\}$ est une famille libre. On ne peut pas écrire
- $\sin(x)=\alpha\cos(x)+\beta$. Il n’y a pas de relation linéaire qui
- relie les deux. La relation est non-linéaire
- $\sin(x)=\sqrt{1-\cos^2(x)}$.
-
-Définition (Famille génératrice) +.#
-
-On dit qu’un ensemble de vecteurs $\{e_i\}_{i=1}^n\in V$ est une famille
-génératrice si
-$$\forall\ v\in V,\quad \exists \{\alpha_i\}_{i=1}^n\in E,\quad \mbox{t.q.}\quad v=\sum_{i=1}^n\alpha_i\cdot e_i.$$
-En d’autres termes, tout $v\in V$ peut s’exprimer comme une combinaison
-linéaire des vecteur $e_i$.
-
-Illustration (Familles génératrices) +.#
-
-1. $\{e_1\}$ n’est pas une famille génératrice de ${\real}^2$. On ne
- peut pas représenter les vecteurs de la forme $v=(0,v_2)$,
- $v_2\neq 0$.
-
-2. $\{e_1,e_2\}$ est une famille génératrice de ${\real}^2$.
-
-3. $\{e_1,e_2,v\}$, avec $v=(1,1)$ est une famille génératrice de
- ${\real}^2$.
-
-Définition (Base) +.#
-
-Un ensemble de vecteurs $B=\{e_i\}_{i=1}^n$ forme une base si c’est une
-famille génératrice et une famille libre. En d’autres termes cela
-signifie qu’un vecteur $v\in V$ peut se représenter comme une
-combinaison linéaire de $\{e_i\}_{i=1}^n$ et que cette représentation
-est unique
-$$\forall v\in V, \quad !\exists \{\alpha_i\}_{i=1}^n\in E,\quad t.q.\quad v=\sum_{i=1}^n\alpha_i v_i.$$
-Les $\alpha_i$ sont appelé les coordonnées de $v$ dans la base $B$.
-
-Illustration (Base de $\real ^2$) +.#
-
-1. $\{e_1,e_2\}$ est une base de ${\real}^2$.
-
-2. $\{e_1,e_2,e_3\}$, avec $e_3=(1,1)$, n’est pas une base de
- ${\real}^2$, car ce n’est pas une famille libre. On a par
- exemple que l’élément $v=(0,0)$ peut se représenter avec les
- coordonnées $\alpha=(0,0,0)$ et également les coordonnées
- $\beta=(1,1,-1)$.
-
-### Introduction générale sur les séries de Fourier
-
-Dans cette sous section, nous allons voir de façon très générale les
-concepts de la représentation de série de Fourier de fonctions.
-
-#### Considérations historiques
-
-Historiquement, les séries de Fourier sont apparues lorsque les
-mathématiciens/physiciens du 18-19ème siècles ont essayé de résoudre des
-équations différentielles particulières. En particulier, il y avait
-l’équation de la propagation d’ondes
-$${\frac{\partial^2 \rho}{\partial t^2}}=\alpha^2\left({\frac{\partial^2 \rho}{\partial x^2}}+{\frac{\partial^2 \rho}{\partial y^2}}+{\frac{\partial^2 \rho}{\partial z^2}}\right),$${#eq:ondes}
-où $\rho$ est l’amplitude de l’onde et $\alpha$ la vitesse de
-propagation. On a également l’équation de la chaleur
-$${\frac{\partial T}{\partial t}}=\kappa\left({\frac{\partial^2 T}{\partial x^2}}+{\frac{\partial^2 T}{\partial y^2}}+{\frac{\partial^2 T}{\partial z^2}}\right),$$
-où $T$ est la température et $\kappa$ la diffusivité thermique.
-
-Ces équations ont une structure particulière. En effet, d’une part elles
-sont linéaires. Soient $\rho_1$ et $\rho_2$ deux solutions de l’équation
-@eq:ondes, on a que la somme $\rho_1+\rho_2$ est également
-solution de @eq:ondes. Cette structure d’équation différentielle
-impose des contraintes assez fortes sur la forme des solutions.
-
-Par ailleurs, le fait que les dérivées à différents ordres apparaissent
-dans la même équation, cela impose que les fonctions et leurs dérivées Ã
-différents ordres soient reliées entre elles. Les fonctions qu’on
-connaît qui ont ces propriétés sont l’exponentielle et les fonctions
-sinus ou cosinus. Dans le cas de propagation d’ondes, on voit qu’on a
-uniquement des deuxièmes dérivées, et on en déduit que les fonctions
-importantes seront des sinus et des cosinus.
-
-On constate que le choix du sinus ou du cosinus pour représenter ces
-solutions ne tombe pas du ciel. Il est dicté par les propriétés des
-équations que nous tentons de résoudre. En fait, nous mettons à notre
-disposition des outils mathématiques appropriés pour résoudre des
-problèmes physiques existant et qui ont des contraintes particulières.
-
-#### Décomposition de signaux périodiques
-
-Nous allons considérer une fonction $f(t)$ qui est une fonction
-périodique, de période $T$, de pulsation $\omega=2\pi/T$ et de fréquence
-$\nu=1/T$. La périodicité signifie que
-$$f(t+T)=f(t),\quad \forall t.$$ Nous cherchons à décomposer $f$ en un
-ensemble potentiellement infini de fonctions périodiques. Notons cet
-ensemble de fonctions $\{g_j\}_{j=0}^\infty$, où $g_j$ est une fonction
-périodique. En fait on cherche une décomposition où pour un ensemble
-unique de $\{\alpha_j\}_{j=0}^\infty$
-$$f(t)=\sum_{j=0}^\infty \alpha_j g_j(t).$$ Cette décomposition nous
-fait penser furieusement à une décomposition dans une base particulière,
-où les $g_j$ sont les vecteurs de la base et les $\alpha_j$ sont les
-coordonnées de $f$ dans la base des $g_j$.
-
-La fonction de départ $f$ ayant une période $T$, on a obligatoirement
-que les fonctions $g_j$ ont une période qui doit être une fraction
-entière de la période, $T/j$. Ces fonctions $g_j(t)$ peuvent en général
-avoir une forme quelconque, avec l’unique contrainte qu’elles sont
-périodiques avec période $T/j$. Ça pourrait être un signal carré,
-triangulaire, etc. Dans les cas qui nous intéresse, on a un choix
-naturel qui s’impose comme fonctions périodiques: les sinus et cosinus.
-
-Pour commencer, imaginons que nous voulions décomposer (approximer) $f$
-en une somme de $g_j\sim A_j\sin(j\omega t+\phi_j)$. On peut jouer sur
-deux degrés de libertés des sinus dont la période est imposée, soit
-l’amplitude $A_j$ et la phase $\phi_j$. On va donc écrire $f(t)$ comme
-$$f(t)=\sum_{j=0}^\infty A_j\sin(j\omega t+\phi_j).$${#eq:sin_phase_ampl}
-Cette forme n’est pas pratique du tout comme décomposition, en
-particulier à cause de la phase $\phi_j$. On utilise alors la relation
-trigonométrique (déjà utilisée pour interpréter le produit de deux
-nombres complexes)
-$$\sin(\theta+\phi)=\sin(\theta)\cos(\phi)+\cos(\theta)\sin(\phi).$$ Il
-vient $$\begin{aligned}
- f(t)=\sum_{j=0}^\infty A_j\left(\sin(j\omega t)\cos(\phi_j)+\cos(j\omega t)\sin(\phi_j)\right).\end{aligned}$$
-En renommant $$\begin{aligned}
-a_j&\equiv A_j\sin(\phi_j),\\
-b_j&\equiv A_j\cos(\phi_j),\end{aligned}$$ on obtient
-$$f(t)=\sum_{j=0}^\infty \left(a_j\cos(j\omega t)+b_j\sin(j\omega t)\right). $${#eq:decomp_sincos}
-On a ainsi transformé une équation où on devait déterminer une amplitude
-et une phase, ce qui est plutôt compliqué, en une autre équation où on
-doit déterminer uniquement deux amplitude. Par ailleurs, comme $\cos$ et
-$\sin$ sont indépendants, on peut calculer les $a_j$ et $b_j$ de façon
-également indépendantes.
-
-Nous voulons à présent calculer $a_j$ et $b_j$ pour avoir les
-coordonnées de $f$ dans la base des $\sin$ et des $\cos$. Pour ce faire,
-nous allons tenter de trouver les amplitudes $a_j,b_j$ tels que les
-$a_j\cos(j\omega t)$ et $b_j\sin(j\omega t)$ approximent au mieux la
-fonction $f$.
-
-Nous allons considérer les fonctions d’erreur suivantes
-$$E^s_j=\int_0^T(f(t)-b_j\sin(j\omega t))^2{\mathrm{d}}t,\quad E^c_j=\int_0^T(f(t)-a_j\cos(j\omega t))^2{\mathrm{d}}t.$$
-Puis on va déterminer $a_j,b_j$ tels que $E_j^s$ et $E_j^c$ sont
-minimales. Pour ce faire on va utiliser les dérivées et déterminer nos
-coefficients en résolvant les équations
-$${\frac{{\mathrm{d}}E^c_j}{{\mathrm{d}}a_j}}=0.$${#eq:deriv_aj}
-$${\frac{{\mathrm{d}}E^s_j}{{\mathrm{d}}b_j}}=0,$${#eq:deriv_bj}
-Pour l'@eq:deriv_aj, on a $$\begin{aligned}
- {\frac{{\mathrm{d}}E^c_j}{{\mathrm{d}}a_j}}&={\frac{{\mathrm{d}}\int_0^T(f(t)-a_j\cos(j\omega t))^2{\mathrm{d}}t}{{\mathrm{d}}a_j}},\nonumber\\
- &=\underbrace{{\frac{{\mathrm{d}}(\int_0^Tf^2(t){\mathrm{d}}t)}{{\mathrm{d}}a_j}}}_{=0}+{\frac{{\mathrm{d}}(a_j^2\int_0^T(\cos^2(j\omega t){\mathrm{d}}t))}{{\mathrm{d}}a_j}}-{\frac{{\mathrm{d}}(2a_j\int_0^T(f(t)\cos(j\omega t){\mathrm{d}}t))}{{\mathrm{d}}a_j}},\nonumber\\
- &=2a_j\int_0^T\cos^2(j\omega t){\mathrm{d}}t-2\int_0^Tf(t)\cos(j\omega t){\mathrm{d}}t,\nonumber\\
- &=2a_j\frac{T}{2}-2\int_0^T\cos(j\omega t)f(t){\mathrm{d}}t.\end{aligned}$$
-Finalement on obtient
-$$a_j=\frac{2}{T}\int_0^T\cos(j\omega t)f(t){\mathrm{d}}t.$$ Pour $a_j$
-on a de façon similaire
-$$b_j=\frac{2}{T}\int_0^T\sin(j\omega t)f(t){\mathrm{d}}t.$$ En
-particulier si $j=0$, on a
-$$b_0=0,\quad a_0=\frac{2}{T}\int_0^T f(t){\mathrm{d}}t.$$ On constate
-que $b_0/2$ correspond à la valeur moyenne de $f(t)$ dans $[0,T]$. Cela
-permet d’approximer des fonctions dont la valeur moyenne n’est pas nulle
-(les sinus et cosinus ont toujours des moyennes nulles).
-
-Les coefficients $a_j,b_j$ peuvent être calculés directement à partir de
-$f(t)$, comme nous venons de le voir. Nous pouvons obtenir le même
-résultat, en utilisant les relations suivantes (exercice)
-$$\begin{aligned}
- \int_0^T \sin(k \omega t)\sin(j \omega t){\mathrm{d}}t&=\delta_{jk} \frac{T}{2},\\
- \int_0^T \cos(k \omega t)\cos(j \omega t){\mathrm{d}}t&=\delta_{jk} \frac{T}{2},\\
- \int_0^T \sin(k \omega t)\cos(j \omega t){\mathrm{d}}t&=0,\end{aligned}$$
-qui s’obtiennent en utilisant les relations trigonométriques suivantes
-$$\begin{aligned}
- \sin\theta\sin\phi&= \frac{1}{2}\left(\cos(\theta-\phi)-\cos(\theta+\phi)\right),\\
- \cos\theta\cos\phi&= \frac{1}{2}\left(\cos(\theta-\phi)+\cos(\theta+\phi)\right),\\
- \sin\theta\cos\phi&= \frac{1}{2}\left(\sin(\theta+\phi)+\sin(\theta-\phi)\right).\end{aligned}$$
-
-Cela est dû à la propriété d’othorgonalité des fonctions sinus/cosinus.
-En multipliant l'@eq:decomp_sincos par
-$\frac{2}{T}\sin(k \omega t)$ et en intégrant entre $0$ et $T$, on
-obtient $$\begin{aligned}
-\frac{2}{T}\int_0^T f(t)\sin(k\omega t){\mathrm{d}}t&=\frac{2}{T}\sum_{j=0}^\infty \left(b_j\underbrace{\int_0^T\cos(j\omega t)\sin(k\omega t){\mathrm{d}}t}_{=0}+a_j\underbrace{\int_0^T\sin(j\omega t)\sin(k \omega t){\mathrm{d}}t}_{=\frac{T}{2}\delta_{jk}}\right),\nonumber\\
-\frac{2}{T}\int_0^T f(t)\sin(k\omega t){\mathrm{d}}t&=\sum_{j=0}^\infty a_j \delta_{jk}=a_k,\end{aligned}$$
-où $\delta_{jk}$ est le “delta de Kroneckerâ€, dont la définition est
-$$\delta_{jk}=\left\{\begin{array}{ll}
- 1,&\mbox{ si }j=k\\
- 0,&\mbox{ sinon.}
- \end{array}\right.$$
-
-En multipliant l'@eq:decomp_sincos par
-$\frac{2}{T}\cos(k \omega t)$ et en intégrant entre $0$ et $T$, on
-obtient $$\begin{aligned}
-\frac{2}{T}\int_0^T f(t)\cos(k\omega t){\mathrm{d}}t&=\frac{2}{T}\sum_{j=0}^\infty \left(a_j\underbrace{\int_0^T\cos(j\omega t)\sin(k\omega t){\mathrm{d}}t}_{=0}+b_j\underbrace{\int_0^T\cos(j\omega t)\cos(k \omega t){\mathrm{d}}t}_{=\frac{T}{2}\delta_{jk}}\right),\nonumber\\
-\frac{2}{T}\int_0^T f(t)\cos(k\omega t){\mathrm{d}}t&=\sum_{j=0}^\infty b_j \delta_{jk}=b_k.\end{aligned}$$
-
-#### Les séries de Fourier en notations complexes
-
-Comme on le voit dans l'@eq:decomp_sincos, on
-décompose $f(t)$ en une somme contenant des sinus et des cosinus. Cette
-écriture nous fait penser qu’il pourrait être possible de réécrire cette
-somme de façon plus concise à l’aide des nombres complexes
-($e^{i\theta}=\cos\theta+i\cdot\sin\theta$). Effectivement cette
-réécriture est possible. Pour ce faire il faut définir de nouveaux
-coefficients $c_n$, $$c_n=\left\{\begin{array}{ll}
- \frac{a_n+ib_n}{2}, & \mbox{ si }n<0\\
- \frac{a_0}{2}, & \mbox{ si }n=0\\
- \frac{a_n-ib_n}{2}, & \mbox{ si }n>0
- \end{array}\right.$$ Avec cette notation, on peut
-réécrire l'@eq:decomp_sincos (exercice) comme
-$$f(t)=\sum_{j=-\infty}^\infty c_je^{ij\omega t}.$$ En multipliant cette
-relation par $\frac{1}{T}e^{-ik\omega t}$ et en intégrant entre
-$-\frac{T}{2}$ et $\frac{T}{2}$, on obtient
-$$\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-ik\omega t}{\mathrm{d}}t=\frac{1}{T}\sum_{j=-\infty}^\infty c_j\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}e^{ij\omega t}e^{-ik\omega t}{\mathrm{d}}t.$$
-Pour évaluer le membre de droite de cette équation nous transformons les
-exponentielles en sinus/cosinus. L’intégrale du membre de droite devient
-$$\begin{aligned}
-\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}e^{ij\omega t}e^{-ik\omega t}{\mathrm{d}}t&=\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\left(\cos(j\omega t)+i\sin(j\omega t)\right)\left(\cos(-k\omega t)+i\sin(-k\omega t)\right){\mathrm{d}}t,\nonumber\\
-&=\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\left(\cos(j\omega t)\cos(k\omega t)+\sin(j\omega t)\sin(k\omega t)\right.\nonumber\\
-&\quad\quad\left.-i(\cos(j\omega t)\sin(k\omega t)+\cos(k\omega t)\sin(j\omega t))\right){\mathrm{d}}t,\nonumber\\
-&=T\delta_{jk}.\end{aligned}$$ En remplaçant cette relation dans
-l’équation ci-dessus[^6], on a
-$$\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-ik\omega t}{\mathrm{d}}t=\sum_{j=-\infty}^\infty c_j\delta_{jk}=c_k.$${#eq:ck}
-Cette relation nous dit comment évaluer les coefficients $c_k$ de la
-série de Fourier de $f(t)$.
-
-On notera que pour une fonction périodique, on obtient des coefficients
-de la série de Fourier qui sont discrets.
-
-La série de Fourier pour une fonction quelconque: la transformée de Fourier
----------------------------------------------------------------------------
-
-Il est possible d’écrire de telles séries pour des fonctions
-non-périodiques. Pour ce faire, il faut prendre la limite
-$T\rightarrow\infty$. Pour ce faire on va écrire
-$$f(t)=\sum_{j=-\infty}^\infty c_je^{ij\omega t},$$ où on remplace le
-coefficient $c_j$ par l'@eq:ck. On obtient
-$$f(t)=\sum_{j=-\infty}^\infty \left(\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-ij\omega t}{\mathrm{d}}t\right) e^{ij\omega t}.$$
-En utilisant la relation
-$$\frac{1}{T}=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{\omega(j-j+1)}{2\pi}=\frac{\omega(j+1)}{2\pi}-\frac{\omega j}{2\pi},$$
-ainsi que la notation $\omega_j=j\omega$, on peut réécrire cette
-équation $$\begin{aligned}
- f(t)&=\sum_{j=-\infty}^\infty \frac{1}{2\pi}(\omega_{j+1}-\omega_j)\underbrace{\left(\int_{-\frac{\pi}{\Delta \omega_j}}^{\frac{\pi}{\Delta \omega_j}}f(t)e^{-i\omega_j t}{\mathrm{d}}t\right)}_{\equiv {\hat{f}}(\omega_j)} e^{i\omega_j t},\nonumber\\
- &=\frac{1}{2\pi}\sum_{j=-\infty}^\infty (\Delta \omega_j){\hat{f}}(\omega_j) e^{i\omega_j t}.\end{aligned}$$
-Maintenant pour passer dans le cas où la fonction n’est pas périodique
-(la période est infinie), nous devons prendre la limite
-$\Delta \omega_j\rightarrow 0$ dans l’équation précédente, et on voit
-apparaître une somme de Riemann $$\begin{aligned}
- f(t)&=\frac{1}{2\pi}\sum_{j=-\infty}^\infty \lim\limits_{\Delta \omega_j\rightarrow 0}\Delta \omega_j{\hat{f}}(\omega_j) e^{i\omega_j t},\nonumber\\
- &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty {\hat{f}}(\omega) e^{i\omega t}{\mathrm{d}}\omega.\end{aligned}$$
-A présent, nous avons deux opérateurs que nous allons nommer. Nous avons
-la transformée de Fourier
-$${\hat{f}}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}{\mathrm{d}}t,$${#eq:fourier_transform}
-et la transformée de Fourier inverse
-$$f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty {\hat{f}}(\omega) e^{i\omega t}{\mathrm{d}}\omega.$${#eq:inverse_fourier_transform}
-On a immédiatement qu’appliquer la transformée de Fourier et la
-transformée de Fourier inverse sur une fonction $f(t)$, nous donne la
-fonction originale $f(t)$.
-
-La fonction $f(t)$ doit satisfaire un certain nombre de contraintes pour
-pouvoir calculer sa transformée de Fourier:
-
-1. Elle doit être de carré intégrable
- $$\int_{-\infty}^\infty |f(t)|^2{\mathrm{d}}t < \infty$$
-
-2. Elle doit avoir un nombre fini d’extrema (ne doit pas varier trop
- vite).
-
-3. Elle doit avoir un nombre fini de discontinuités.
-
----
-
-Exercice +.#
-
-Calculer les transformées de Fourier des fonctions suivantes
-
-1. Le pulse symétrique $$f(t)=\left\{\begin{array}{ll}
- 1,&\mbox{ si }-t_c<t<t_c\\
- 0,&\mbox{ sinon.}
- \end{array}\right.$$
-2. Le pulse asymétrique $$f(t)=\left\{\begin{array}{ll}
- 1,&\mbox{ si } 0<t<2t_c\\
- 0,&\mbox{ sinon.}
- \end{array}\right.$$
-3. L’exponentielle décroissante $$f(t)=\left\{\begin{array}{ll}
- e^{-at},&\mbox{ si } t>0\\
- 0,&\mbox{ sinon.}
- \end{array}\right.$$
-
----
-
----
-
-Exercice +.#
-
-Calculer les transformées de Fourier inverse de la fonction suivante
-
-1. Le pulse symétrique $$f(\omega)=\left\{\begin{array}{ll}
- 1,&\mbox{ si }-\omega_c<\omega<\omega_c\\
- 0,&\mbox{ sinon.}
- \end{array}\right.$$
-
----
-
-### Propriétés des transformées de Fourier
-
-La transformée de Fourier possède plusieurs propriétés intéressantes.
-
-Propriété +.#
-
-1. Linéarité. Soit une fonction $h(t)=af(t)+bg(t)$, alors sa
- transformée de Fourier est donnée par
- $${\hat{h}}(\omega)=a{\hat{f}}(\omega)+b{\hat{g}}(\omega).$$
-
-2. Translation temporelle. Soit une fonction $g(t)=f(t+t_0)$, alors sa
- transformée de Fourier est donnée par
- $${\hat{g}}(\omega)={\hat{f}}(\omega)e^{i\omega t_0}.$$
-
-3. Modulation en fréquence. Soit $\omega_0\in{\real}$ et une
- fonction $g(t)=e^{-i\omega_0 t}f(t)$, alors sa transformée de
- Fourier est donnée par
- $${\hat{g}}(\omega)={\hat{f}}(\omega+\omega_0).$$
-
-4. Contraction temporelle. Soit $a\in{\real}^\ast$ et $g(t)=f(at)$
- alors sa transformée de Fourier est donnée par
- $${\hat{g}}(\omega)=\frac{1}{|a|}{\hat{f}}(\omega/a).$$ En
- particulier, on a la propriété d’inversion du temps quand $a=-1$, on
- a $h(t)=f(-t)\Rightarrow{\hat{h}}(\omega)={\hat{f}}(-\omega)$.
-
-5. Spectres de fonctions paires/impaires. Soit $f(t)$ une fonction
- paire (impaire), alors ${\hat{f}}(\omega)$ sera une fonction paire
- (impaire).
-
-La transformée de Fourier à temps discret (TFTD)
-------------------------------------------------
-
-Nous allons maintenant plus considérer une fonction continue, mais une
-série de valeurs discrètes. Notons $f[n]$ une série de nombres, avec
-$n\in{\mathbb{N}}$. Nous voulons définir l’équivalent de la transformée
-de Fourier de l'@eq:fourier_transform pour ce genre de
-séries de points. Une façon naturelle de définir l’équivalent à temps
-discret de cette équation est
-$${\hat{f}}(\omega)=\sum_{n=-\infty}^\infty f[n] e^{-i\omega n}.$${#eq:tftd}
-Pour les fonctions à "temps continu" et non périodiques, nous
-savons que la transformée de Fourier est continue et en général non
-périodique. Pour le cas de la transformée de Fourier à temps discret la
-transformée de Fourier sera périodique, soit
-$${\hat{f}}(\omega+2\pi)={\hat{f}}(\omega).$$ Nous démontrons cette
-relation par la définition de la TFTD
-$${\hat{f}}(\omega+2\pi)=\sum_{n=-\infty}^\infty f[n] e^{-i(\omega+2\pi) n}=\underbrace{e^{-i2\pi}}_{=1}\sum_{n=-\infty}^\infty f[n] e^{-i\omega n}={\hat{f}}(\omega).$$
-D’une certaine façon nous voyons que nous avons une similarité entre la
-transformée de Fourier à temps discret et les séries de Fourier. Cette
-similarité va devenir plus claire dans ce qui suit.
-
-Pour définir la transformée de Fourier en temps discret inverse, nous
-nous inspirons de la version en temps continu (voir l’équation
-@eq:inverse_fourier_transform) et on a
-$$f[n]=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi{\hat{f}}(\omega)e^{i\omega n}{\mathrm{d}}\omega. $${#eq:tftdi}
-Pour prouver cette relation, il suffit de remplacer l’équation
-@eq:tftd dans cette relation, et il vient
-$$f[n]=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi \left(\sum_{m=-\infty}^\infty f[m] e^{-i\omega m}\right) e^{i\omega n}{\mathrm{d}}\omega.$$
-En supposant que la somme converge, nous pouvons intervertir la somme et
-l’intégrale et on a $$\begin{aligned}
- f[n]&=\frac{1}{2\pi}\left(\sum_{m=-\infty}^\infty f[m] \int_{-\pi}^\pi e^{-i\omega (m-n)} {\mathrm{d}}\omega\right),\nonumber\\
- &=\frac{1}{2\pi}\left(\sum_{m=-\infty}^\infty f[m] \delta_{mn} 2\pi\right),\nonumber\\
- &=f[n].\nonumber\end{aligned}$$
-
-
-Exercice +.#
-
-Calculer les transformées de Fourier (inverses quand c’est approprié) en
-temps discret des fonctions suivantes
-
-1. Le pulse symétrique $${\hat{f}}(\omega)=\left\{\begin{array}{ll}
- 1,&\mbox{ si }-\omega_c<\omega<\omega_c\\
- 0,&\mbox{ sinon.}
- \end{array}\right.$$
-
-2. Le pulse discret $$f[n]=\left\{\begin{array}{ll}
- 1,&\mbox{ si }n=0\\
- 0,&\mbox{ sinon.}
- \end{array}\right.$$
-
-Il est intéressant de noter qu’on peut représenter une suite discrète et
-infinie de points par une fonction continue et périodique.
-
-La transformée de Fourier discrète
-----------------------------------
-
-### Motivation
-
-Pourquoi avons-nous besoin d’encore une transformée de Fourier? Nous
-avons déjà vu la transformée de Fourier de fonctions périodiques, de
-fonctions non-périodiques, ainsi que de fonctions à temps discret.
-Néanmoins, même dans le cas de la transformée de Fourier à temps
-discret, la transformée de Fourier est une fonction continue. Cela n’est
-évidemment pas pratique ni même utilisable dans un ordinateur. C’est
-pourquoi il est nécessaire de définir une transformée de Fourier
-discrète qui aura les propriétés suivantes
-
-1. Elle transformera un signal discret de longueur finie.
-
-2. La transformée de Fourier sera discrète et de longueur finie.
-
-### Applications
-
-Avant de voir en détail comment on calcule la transformée de Fourier
-discrète, on peut discuter quelle sont ses applications. La TFD est
-utilisée tout le temps en traitement du signal. En gros c’est une
-approximation de la transformée de Fourier à temps discret. A chaque
-fois qu’on désire connaître le comportement d’une fonction dans l’espace
-spectral, on utilisera la TFD. Un exemple typique est l’application pour
-téléphones portables Shazam que vous connaissez sans doute. Le but de
-cette application est l’identification de chansons. Elle fonctionne de
-la façon suivante. Dans un premier temps elle enregistre un signal
-sonore. Puis avec ce signal sonore elle crée un spectrogramme (une sorte
-d’emprunte digitale de la chanson) qui est obtenu à l’aide de TFD.
-Finalement le spectrogramme est comparé avec une base de donnée de
-spectrogrammes et la chanson peut ainsi être identifiée. Une autre
-application est le filtrage de signaux. Comme vous l’avez vu (ou verrez)
-dans les travaux pratiques, la TFD rend très simple le filtrage de
-fréquences (ou de bande de fréquences). En effet, il suffit d’ôter de la
-TFD d’un signal les amplitudes voulues et d’effectuer la transformée de
-Fourier discrète inverse (TFDI) du signal filtré. Ce genre
-d’applications est très utilisé dans le domaine de la compression de
-données (jpg, mp3, ...).
-
-### La transformée de Fourier discrète à proprement parler
-
-Soit $f[n]$ un séquence de $N$ points, $n=0..N-1$. Pour se
-ramener au cas de la transformée de Fourier à temps discret, on peut
-aussi se dire qu’on a une séquence infinie de points, mais où $f[n]=0$,
-pour $n\geq N$. On dit qu’on a $N$ échantillons de $f$.
-
-Avec cette définition il est simple de calculer la transformée de
-Fourier à temps discret
-$${\hat{f}}(\omega)=\sum_{n=0}^{N-1} f[n] e^{-i\omega n}.$${#eq:tftd_fini}
-On note que la somme à présent ne se fait plus dans l’intervalle
-$(-\infty,\infty)$, mais uniquement entre $[0,N-1]$, car le signal est
-de longueur finie.
-
-On représente donc un signal de longueur finie $f[n]$ ($n=0,..,N-1$) par
-une fonction continue de la pulsation, ${\hat{f}}(\omega)$. Les deux
-représentations sont équivalentes. On en déduit que l’information
-contenue dans un nombre fini de points, est la même que dans une
-fonction continue (et donc contenant une infinité de points). Une partie
-de l’information contenue dans la fonction continue doit être
-redondante...
-
-L’idée à présent va être d’enlever toute l’information redondante de
-${\hat{f}}(\omega)$ en échantillonnant ${\hat{f}}$ et en gardant
-uniquement $N$ échantillons de ${\hat{f}}$. La fréquence
-d’échantillonage sera de $2\pi/N$ et le domaine d’échantillonage sera
-$[-\pi,\pi)$.
-
-Nous pouvons à présent définir mathématiquement cet échantillonage de
-${\hat{f}}(\omega)$ comme étant une suite de points, notée
-$\{{\hat{f}}(\omega_k)\}_{k=0}^{N-1}$, où $\omega_k=2\pi k/N$. Cette
-suite sera notée ${\hat{f}}[k]$ et appelée la *transformée de Fourier
-discrète* de $f[n]$.
-
-On a donc que la transformée de Fourier discrète de $f[n]$ est donnée
-par $${\hat{f}}[k]=\sum_{n=0}^{N-1} f[n] e^{-i\omega_k n}
- =\sum_{n=0}^{N-1} f[n] e^{-\frac{2\pi i n k}{N}}.$${#eq:tfd}
-En s’inspirant de définition de la transformée de Fourier inverse Ã
-temps discret de ${\hat{f}}(\omega)$ (voir l’équation
-@eq:tftdi), on a que la transformée de Fourier discrète inverse
-est donnée par
-$$f[n]=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} {\hat{f}}[k] e^{i\omega_k n}
- =\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} {\hat{f}}[k] e^{\frac{2\pi i k n}{N}}.$$
-Montrons à présent que la transformée inverse discrète de la transformée
-de Fourier discrète donne bien la suite de départ $$\begin{aligned}
- f[n]&=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} {\hat{f}}[k] e^{\frac{2\pi i k n}{N}},\nonumber\\
- &=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} \sum_{m=0}^{N-1} f[m] e^{-\frac{2\pi i k m}{N}} e^{\frac{2\pi i k n}{N}},\nonumber\\
- &=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} \sum_{m=0}^{N-1} f[m] e^{\frac{2\pi i k (n-m)}{N}},\nonumber\\
- &=\frac{1}{N}\sum_{m=0}^{N-1} f[m] \sum_{k=0}^{N-1} e^{\frac{2\pi i k (n-m)}{N}},\nonumber\\
- &=\frac{1}{N}\sum_{m=0}^{N-1} f[m] N \delta_{nm},\nonumber\\
- &=f[n].\end{aligned}$$ Cette relation montre qu’on a bien la même
-information dans la suite de longueur finie ${\hat{f}}[k]$ que dans
-$f[n]$. On a donc enlevé avec succès toute information redondante
-contenue dans ${\hat{f}}(\omega)$.
-
-On peut maintenant de façon simple implanter la transformée de Fourier
-discrète sur un ordinateur car on a discrétisé toutes les étapes du
-calcul. Néanmoins les formules ci-dessus ne sont pas d’une grande
-efficacité. En effet, on peut montrer que la complexité de l’équation
-@eq:tfd est de l’ordre $N^2$.
-
-On peut écrire l'@eq:tfd comme un produit
-matrice-vecteur sous la forme suivante
-$$
-\begin{array}{l}
- \underbrace{
- \begin{pmatrix} {\hat{f}}[0] \\ {\hat{f}}[1] \\ f[2] \\ \vdots \\ {\hat{f}}[N-1]
- \end{pmatrix}
- }_{\hat{\vec{f}}} =
- \underbrace{
- \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1\\
- 1 & w & w^2 & \cdots & w^{N-1}\\
- 1 & w^2 & w^4 & \cdots & w^{2(N-1)}\\
- \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots &\\
- 1 & w^{N-1} & w^{2(N-1)} & \cdots & w^{(N-1)^2}
- \end{pmatrix}}_{\underline{\underline{W}}}\cdot
-\end{array}
-\underbrace{
-\begin{pmatrix}
-f[0] \\ f[1] \\ f[2] \\ \vdots \\ f[N-1]
-\end{pmatrix}}_{\vec{f}},
-$$
-où $w = e^{-\frac{2 \pi i}{N}}$. On peut donc de façon plus compacte
-l’écrire
-$$
-\hat{\vec{f}}=\underline{\underline{W}}\cdot \vec{f}.
-$$
-Les éléments de la matrice
-$\underline{\underline{W}}$ peuvent être précalculés et il reste donc à calculer uniquement
-le produit matrice vecteur $\underline{\underline{W}}\cdot\vec{f}$. Pour ce faire il faut
-pour chaque ligne de $\hat{\vec{f}}$ faire le calcul de $N$ produits et
-$N$ sommes (donc une complexité $N$). Comme il y a $N$ lignes Ã
-$\hat{\vec{f}}$, la complexité est $N\cdot N$.
-
-Il existe des algorithmes beaucoup plus efficaces pour effectuer de
-genre de calculs que nous allons brièvement discuter maintenant. Ils
-réduisent la complexité algorithmique à $N\log(N)$ en général. Nous
-allons brièvement discuter un de ces algorithmes dans la sous-section
-@sec:tfr.
-
-La transformée de Fourier discrète étant un échantillonage de la
-transformée de Fourier à temps discret, toutes les propriétés discutées
-pour la transformée de Fourier à temps discret restent valides. En
-particulier la transformée de Fourier discrète est périodique, de
-période $N$ $${\hat{f}}[k]={\hat{f}}[k+N].$$
-
----
-
-Exercice +.#
-
-A démontrer en exercice.
-
----
-
-### La transformée de Fourier rapide {#sec:tfr}
-
-L’algorithme présenté ici est une version “simplifiée†de l’algorithme
-de Cooley-Tukey (publié en 1965). Cet algorithme a en fait été “inventéâ€
-par Gauss en 1805 quand il essayait d’interpoler la trajectoires
-d’astéroides dans le système solaire.
-
-L’idée de l’algorithme radix-2 est d’abord de séparer le signal en deux
-parties. D’une part les indices pairs et d’autres part les indices
-impairs $$\begin{aligned}
- &\left\{f[2m]\right\}_{m=0}^{N/2-1}=\left\{f[0],f[2],...,f[N-2]\right\},\\
- &\left\{f[2m+1]\right\}_{m=0}^{N/2-1}=\left\{f[1],f[3],...,f[N-1]\right\}.\end{aligned}$$
-Puis les transformées de Fourier discrètes de chacune de ces sous-suites
-sont calculées et combinées pour avoir la transformée de Fourier du
-signal en entier. En fait on va appliquer cette décomposition de façon
-récursive sur chacune des deux parties. On fait donc l’hypothèse que la
-longueur du signal est une puissance de 2. Ce n’est en pratique pas un
-problème, car on peut facilement rajouter des “zéros†dans notre signal
-pour avoir un signal d’une longueur d’une puissance de 2.
-
-Commençons donc par réécrire la transformée de Fourier ${\hat{f}}[k]$
-lorsqu’on a décomposé le signal en deux sous-signaux $$\begin{aligned}
- f[k]&=\sum_{m=0}^{N/2-1} f[2m]e^{-\frac{2\pi i (2m) k}{N}}+\sum_{m=0}^{N/2-1}
- f[2m+1]e^{-\frac{2\pi i (2m+1) k}{N}},\nonumber\\
- &=\sum_{m=0}^{N/2-1} f[2m]e^{-\frac{2\pi i m k}{N/2}}+e^{-\frac{2\pi i k}{N}}\sum_{m=0}^{N/2-1} f[2m+1]e^{-\frac{2\pi i m k}{N/2}},\nonumber\\
- &=\hat{p}[k]+e^{-\frac{2\pi i k}{N}}\hat{j}[k],\end{aligned}$$ où nous
-avons défini les transformées de Fourier discrètes des parties paires et
-impaires $p[k]$ et $\hat{j}[k]$ $$\begin{aligned}
- \hat{p}[k]&=\sum_{m=0}^{N/2-1} f[2m]e^{-\frac{2\pi i m k}{N/2}},\\
- \hat{j}[k]&=\sum_{m=0}^{N/2-1} f[2m+1]e^{-\frac{2\pi i m k}{N/2}}.\end{aligned}$$
-La transformée de Fourier discrète étant périodique (comme l’est la
-transformée de Fourier à temps discret), nous avons les propriétés
-suivantes $$\begin{aligned}
- \hat{p}[k]&=\hat{p}[k+N/2],\\
- \hat{j}[k]&=\hat{j}[k+N/2].\end{aligned}$$ De plus, nous avons que
-$$e^{-\frac{2\pi i (k+N/2)}{N}}=e^{-\pi i}e^{-\frac{2\pi i k}{N}}=-e^{-\frac{2\pi i k}{N}}.$$
-Avec ces propriétés il est aisé de réécrire
-$${\hat{f}}[k]=\left\{\begin{array}{ll}
- \hat{p}[k]+e^{-\frac{2\pi i k}{N}} \hat{j}[k],&\mbox{ si }0\leq k<N/2\\
- \hat{p}[k]-e^{-\frac{2\pi i k}{N}} \hat{j}[k],&\mbox{ si }N/2\leq k<N
- \end{array}\right.$$ On a donc réduit le nombre de
-calculs nécessaires pour calculer ${\hat{f}}[k]$ d’un facteur 2. En
-continuant cette procédure jusqu’à $N=2$ on peut montrer qu’on réduit la
-complexité algorithmique à $N\log N$ (mais on ne le démontrera pas dans
-ce cours).
-
-### Fréquence d’échantillonage
-
-Une question primordiale dans le calcul des transformée de Fourier (ou
-de l’analyse spectrale plus généralement) est la question de
-l’échantillonage du signal que nous souhaitons analyser. Dans le monde
-réel un signal sonore, une image,... est considéré comme une quantité
-continue (il est représentée par une infinité de valeur). Lorsque nous
-souhaitons faire une analyse spectrale sur un ordinateur de ce signal,
-il est nécessaire de le digitaliser: de le rendre discret. Dès lors une
-question très importante est de savoir quelle est la fréquence Ã
-laquelle on va enregistrer les valeurs de notre suite temporelle afin de
-garder toute l’information contenue dans le signal original.
-
-En termes mathématiques, nous avons un signal $f(t)$ que nous
-enregistrons entre $t_0$ et $t_{N-1}$. Nous voulons le transformer en un
-signal de longueur $N$ finie, $f(t_n)$ avec $0\leq n \leq N-1$ afin de
-pouvoir le représenter sur un support numérique. Pour simplifier on va
-supposer que l’enregistrement se fait à intervalle régulier,
-$\delta t=\frac{t_{N-1}-t_0}{N-1}$. On a donc que $t_n=t_0+\delta t n$.
-La question qu’on se pose est quelle doit être la valeur de $N$ pour ne
-pas perdre d’information sur $f(t)$ quand on échantillonne. En d’autres
-termes à partir de quel nombre $N$ d’échantillons la transformée de
-Fourier discrète de $f[n]$ ne change plus.
-
-Le théorème de Shannon-Nyquist nous dit que pour pouvoir représenter
-exactement un signal avec une fréquence maximale $F_c=1/\delta t_c$,
-alors on doit l’échantillonner avec une fréquence
-$1/\delta t_e=F_e\geq 2F_c$. De façon similaire, si on choisit un signal
-et qu’on peut l’échantillonner avec une certaine précision (on détermine
-la fréquence maximale, $F_c$ qu’on veut pouvoir représenter dans le
-signal) on a simplement besoin de choisir une fréquence d’échantillonage
-$F_e\geq 2F_c$. Nous notons $F_N=2F_c$ la fréquence de Nyquist. En
-prenant $F_e=F_N$ on a que $N=1/F_e=1/F_N$ et que l’échantillonage
-permet de représenter les fréquences plus petites que $F_N/2$. Si la
-fréquence d’échantillonage est plus petite que la fréquence de Nyquist
-de notre signal, on verra apparaître le phénomène de *repliement de
-spectre* (aliasing en anglais).
-
-Probabilités et statistiques
-============================
-
-Introduction à la statistique descriptive
------------------------------------------
-
-En statistique, une *population* est un ensemble d’objets (d’individus)
-possédant un ou plusieurs *caractères* communs. L’étude des caractères
-d’une population a pour but de révéler des tendances au sein de la
-population. Ces études sont particulièrement intéressantes quand le
-nombre d’individus de notre population est trop élevé pour pouvoir être
-analysé en entier. On prélève alors un échantillon "représentatif" de
-notre population au hasard et on mène l’analyse statistique sur ce sous
-ensemble. Les éventuelles conclusions de l’étude statistique sur
-le sous ensemble seront ensuite appliquées à l’ensemble de la population.
-Grâce au calcul des probabilités nous pourrons avoir une confiance
-plus ou moins grande dans les conclusions tirées en fonction de la
-taille de l’échantillon. En effet plus celui-ci sera grand, plus la
-confiance dans les résultats sera élevée.
-
-Un exemple de ce genre d’étude qui est très à la mode ces temps est le
-sondage (concernant le résultat d’élections ou de votations). Les
-sondeurs tentent en questionnant un sous-ensemble d’environ 1000
-d’électeurs d’un pays (citoyens de plus de 18, moitié d’hommes et de
-femmes plus ou moins, ...) de prévoir les résultats d’élections ou de
-votations où participeront des millions d’électeurs potentiels. Il faut
-avouer que la tâche semble pour le moins complexe. Et la plus grande
-difficulté tient dans le “représentatif de la populationâ€.
-
-### Représentations
-
-Il existe différentes façon de représenter les caractères d’une
-population selon que sa nature est *discrète* ou *continue*. Dans le cas
-discret d’un caractère pouvant prendre $k\in{\mathbb{N}}$ valeur
-différentes $\{x_i\}_{i=0}^{k-1}$, on représente le nombre d’individus
-pouvant prendre la valeur $x_i$ par le nombre $n_i$. On a donc un
-ensemble $\{n_i\}_{i=0}^{k-1}$ d’individus pour les $k$ valeurs des
-caractères de la population. Dans le cas continu le nombre d’individus
-d’un caractère correspondrait à une subdivision en $k$ parties de
-l’ensemble des valeurs possibles pour le dit caractère.
-
----
-
-Illustration +.#
-
-1. Cas discret: On étudie la distribution de salaires annuels dans une
- entreprise. Les salaires possibles sont $40'000$, $50'000$, $60'000$
- et $1'000'000$ CHF.
-
- - Il y a 35 personnes payées $40'000$ CHF.
-
- - Il y a 20 personnes payées $50'000$ CHF.
-
- - Il y a 5 personnes payées $60'000$ CHF.
-
- - Il y a 1 personne payée $1'000'000$ CHF.
-
-2. Cas continu: Lors du benchmark d’une application, $A$, nous
- effectuons plusieurs mesures (la population) du temps d’exécution
- (le caractère) de l’application. Les résultats obtenus sont les
- suivants:
-
- - 7 exécutions ont pris entre 50 et 51 secondes.
-
- - 12 exécutions ont pris entre 51 et 52 secondes.
-
- - 8 exécutions ont pris entre 52 et 53 secondes.
-
- - 23 exécutions ont pris entre 53 et 54 secondes.
-
----
-
-Pour représenter de façon un peu plus parlante ces valeurs, deux
-méthodes principales existent: le tableau ou le graphique. Pour
-illustrer les exemples précédents sous forme de tableau on obtient pour
-le cas des salaires (voir Tabl. @fig:salaires)
-
- Salaire Nombre de salariés
- --------- --------------------
- 40000 35
- 50000 20
- 60000 5
- 1000000 1
-
- : Tableau du nombre de salariés par salaire. {#tbl:salaires}
-
-et du benchmark de l’application (voir Tabl. @fig:exec)
-
- Temps d’exécution Nombre
- ------------------- --------
- \[50,51) 7
- \[51,52) 12
- \[52,53) 8
- \[53,54) 23
-
- : Tableau du temps d'exécution et du nombre d'exécutions. {#tbl:exec}
-
-Sous forme de graphique on peut représenter le tableau des salaires sous
-la forme d’un graphique bâton (voir Fig. @fig:salaires)
-
-{#fig:salaires width="50.00000%"}
-
-ou d’un histogramme pour le temps d’exécution de l’application (voir
-Fig. @fig:exec).
-
-{#fig:exec width="50.00000%"}
-
-### Fréquences
-
-Plutôt que de faire apparaître le nombre d’individus d’une population
-possédant un caractère, il peut être plus intéressant de
-faire intervenir la *fréquence* ou le nombre relatif à la place. En
-effet, la fréquence donne immédiatement la proportion d’individus plutôt
-qu’un nombre absolu qui n’est pas forcément très interprétable tout
-seul.
-
-La population totale, $n$, est donnée par $$n=\sum_{i=0}^{k-1}n_i.$$ On
-peut donc définir la fréquence d’un caractère $i$, $f_i$ comme
-$$f_i=\frac{n_i}{n}.$$
-
----
-
-Exemple (Fréqunces) +.#
-
-Les tableaux de fréquence des deux exemples précédents sont donnés par
-
-1. Cas discret: la population totale est de $$n=35+20+5+1=61.$$
-
- Salaire Nombre de salariés Fréquence
- --------- -------------------- ----------------------
- 40000 35 $35/61\cong0.573770$
- 50000 20 $20/61\cong0.327869$
- 60000 5 $5/61\cong0.081967$
- 1000000 1 $1/61\cong0.016393$
-
- : Tableau des salaires, du nombre de salariés et la fréquence.
-
-2. Cas continu: la population totale est de $$n=7+12+8+23=50.$$ Le
- tableau @tbl:exec_freq affiche les différentes fréquences des
- temps d’exécution.
-
- Temps d’exécution Nombre Fréquence
- ------------------- -------- --------------
- \[50,51) 7 $7/50=0.14$
- \[51,52) 12 $12/50=0.24$
- \[52,53) 8 $8/50=0.16$
- \[53,54) 23 $23/50=0.46$
-
- : Tableau des temps d'exécution et la fréquence des temps d'exécution. {#tbl:exec_freq}
-
----
-
-La fréquence possède un certain nombre de propriétés que nous
-retrouverons dans les sections suivantes qui sont assez intuitives
-
----
-
-Propriété (Propriétés de la fréquence) +.#
-
-1. Les fréquences sont toujours dans l’intervalle $[0,1]$
- $$0\leq f_i\leq 1.$$
-
-2. La somme de toutes les fréquences donne toujours $1$
- $$\sum_{i=0}^{k-1} f_i = 1.$$
-
----
-
-Relié avec la propriété $2$ ci-dessus, il peut également être
-intéressant d’obtenir la *fréquence cumulée*, notée $F(x)$, d’un
-caractère qui se définit comme la fréquence des individus qui présentent
-une valeur de caractère $x_i\leq x$. Les tableaux correspondants aux
-tableaux @tbl:salaires et @tbl:exec (voir le
-@tbl:salaires_freqcum et le @tbl:exec_freqcum)
-
- Salaire Nombre de salariés Fréquence Fréquence cumulée
- --------- -------------------- ---------------------- ----------------------------
- 40000 35 $35/61\cong0.573770$ $35/61\cong0.573770$
- 50000 20 $20/61\cong0.327869$ $(20+35)/61\cong0.90164$
- 60000 5 $5/61\cong0.081967$ $(20+35+5)/61\cong0.98361$
- 1000000 1 $1/61\cong0.016393$ $(20+35+5+1)/61=1$
-
- : Tableau des salaires, du nombre de salariés, et la fréquence et fréquence cumulée des salaires. {#tbl:salaires_freqcum}
-
- Temps d’exécution Nombre Fréquence Fréquence cumulée
- ------------------- -------- ---------------- ----------------------
- \[50,51) 7 $7/50=0.14$ $7/50=0.14$
- \[51,52) 12 $12/50=0.24$ $(7+12)/50=0.38$
- \[52,53) 8 $8/50=0.16$ $(7+12+8)/50=0.54$
- \[53,54) 23 $23/50=0.46$ $(7+12+8+23)/50=1$
-
- : Tableau des temps d'exécution et la fréquence et fréquences cumulées des temps d'exécution. {#tbl:exec_freqcum}
-
-Exercice (Fréquence cumulée) +.#
-
-1. Tracer les graphes de la fréquence cumulée pour les deux exemples
- que nous avons vus.
-
-2. Que pouvons-nous déduire de la forme de la fonction (croissance,
- valeur maximale)?
-
-### Mesures de tendance centrale
-
-Jusqu’ici le nombre de valeurs étudiées était limité et il est assez
-simple d’avoir une vue d’ensemble de la distribution des valeurs des
-caractères de notre population. Mais en général il est plus aisé d’utiliser une nombre
-de valeurs beaucoup plus restreint permettant de résumer les différents
-caractères et nous allons en voir deux différents qui nous donne une
-tendance dite centrale: la moyenne, la médiane.
-
-La *moyenne*, notée $\bar{x}$ d’un jeu de données s’obtient par la
-formule suivante $$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{k-1}x_i\cdot n_i.$$ La
-moyenne peut également être calculée via les fréquences
-$$\bar{x}=\sum_{i=0}^{k-1}f_i\cdot x_i.$$
-
----
-
-Exercice (Propriétés de la moyenne) +.#
-
-1. Démontrer la relation précédente.
-
-2. Démontrer que la moyenne des écart $x_i-\bar{x}$ est nulle.
-
----
-
----
-
-Illustration (Moyenne) +.#
-
-Pour l’exemple des salaires la moyenne est donnée par
-$$\bar{x}_{\textrm{salaire}}=\frac{35\cdot40000+20\cdot50000+5\cdot60000+1\cdot1000000}{61}=60656.$$
-
----
-
-On remarque ici que la moyenne des salaires donne une impression erronée
-de la situation car elle est très sensible aux valeurs extrême de la
-distribution. En effet, tous les salaires à l’exception d’un sont
-inférieurs à la moyenne. Il suffit de retirer le salaire d’un million
-de notre ensemble de valeurs, la moyenne de l’échantillon restant
-devient
-$$\bar{x}_{\textrm{salaire}}=\frac{35\cdot40000+20\cdot50000+5\cdot60000}{60}=45000.$$
-La différence est de l’ordre de $25\%$ par rapport aux $60'000$ CHF
-obtenus avec toute la population. Il est donc nécessaire d’utiliser une
-autre mesure pour illustrer mieux le salaire caractéristique de notre
-population. De façon plus générale la moyenne est peu robuste à des
-valeurs extrêmes dans l’étude d’échantillons.
-
-Une mesure qui est plus parlante est la *médiane*, notée $\tilde{x}$. La
-médiane se définit comme la valeur $\tilde{x}$ qui est telle que la
-moitié des individus de la population ont un $x_i\leq \tilde{x}$ et
-le reste est telle que $x_i\geq\tilde{x}$.
-
-Pour l’exemple des salaires le salaire médian est de $40000 CHF$, ce qui
-reflète beaucoup mieux la distribution des salaire de notre population.
-
-Exercice (Moyenne, médiane) +.#
-
-Calculer la moyenne et la médiane pour l’exemple du temps d’exécution
-(prendre la borne inférieure des intervalles pour chaque temps
-d’exécution[^7]).
-
-### Mesures de dispersion
-
-Nous avons vu deux mesures donnant une tendance générale des caractères
-d’une population. Hors ces valeurs ne nous disent absolument rien sur la
-manière dont ces caractères sont distribués. Sont-ils proches de la
-moyenne ou de la médiane? Ou en sont-ils au contraire éloignés? Nous
-allons voir deux mesures différentes dans cette sous-section: la
-variance (écart-type), et l’intervalle inter-quartile.
-
-Nous cherchons d’abord à calculer la moyenne des écarts à la moyenne.
-Hors, comme on l’a vu dans la sous-section précédente l’écart à la
-moyenne $x_i-\bar{x}$ est nul en moyenne. Cette grandeurs ne nous
-apprend rien. On peut donc s’intéresser plutôt à la moyenne de l’écart
-quadratique $(x_i-\bar{x})^2$ qui est une quantité toujours positive et
-dont la moyenne aura toujours une valeur
-positive ou nulle (elle sera nulle uniquement si
-$x_i-\bar{x}=0,\forall i$)[^8]. On définit donc la *variance*, $v$,
-comme étant la moyenne des écarts quadratiques
-$$v=\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{k-1}n_i(x_i-\bar{x})^2.$$ Si on considère
-la racine carrée de la variance, on obtient *l’écart-type*
-$$s=\sqrt{v}.$$
-
----
-
-Exercice (Variance, écart-type) +.#
-
-Démontrer les relations suivantes
-
-1. On peut également calculer la variance avec les fréquences
- $$v=\sum_{i=0}^{k-1}f_i(x_i-\bar{x})^2.$$
-
-2. On peut également calculer la variance à l’aide de la formule
- suivante
- $$v=\frac{1}{n}\left(\sum_{i=0}^{k-1}n_ix_i^2\right)-\bar{x}^2= \bar{x^2}-\bar{x}^2$$
-
----
-
-Pour l’exemple du salaire on obtient pour la variance $$\begin{aligned}
- v&=\frac{1}{61}\left(35\cdot(40000-60656)^2+20\cdot(50000-60656)^2\right.\nonumber\\
- &\quad\quad\left.+5\cdot(60000-60656)^2+1\cdot(1000000-60656)^2\right)\nonumber\\
- &=1.4747\cdot 10^{10},\end{aligned}$$ et l’écart-type
-$$s=\sqrt{v}=121440.$$
-
----
-
-Exercice (Variance, écart-type) +.#
-
-Calculer la variance et l’écart type à partir des valeurs du benchmark
-de l’application.
-
----
-
-Encore une fois on constate que la valeur de l’écart-type des salaires
-est très dépendante de la valeur extrême de la distribution (1000000
-CHF). Si on l’enlève la valeur de l’écart type est de $s=6455$ (un
-facteur 20 plus petit que la valeur sur la population complète).
-
-Comme pour la moyenne et la médiane nous pouvons définir des valeurs
-plus représentatives. A partir de la fréquence cumulée, $F$, on peut
-définir deux grandeurs, $Q_i\in\{x_i\}_{i=0}^{k-1}$ et
-$\alpha_i\in[0,1]$ telles que $$F(Q_i)=\alpha_i.$$ En d’autres termes
-$Q_i$ est la valeur pour laquelle la fréquence cumulée vaut $\alpha_i$.
-$Q_i$ correspond donc au nombre d’individus dont la fréquence cumulée
-est de $\alpha_i$. En particulier si $\alpha_i=1/2$, alors
-$Q_i=\tilde{x}$ ($Q_i$ est la médiane). Il est commun d’avoir
-$Q_i\in[0.25,0.5,0.75]$, on parle alors de quartiles. Avec $Q_1=0.25$ et
-$Q_3=0.75$, le nombre d’individus entre $0.25$ et $0.75$ est donné par
-$$\frac{Q_3-Q_1}{2}.$$ Cette valeurs est appelée l’intervalle
-semi-inter-quartile.
-
-
----
-
-Exercice (Semi-inter quartile) +.#
-
-Calculer les intervalles semi-inter-quartiles des exemples que nous
-avons vus plus tôt dans le cours.
-
----
-
-Probabilités: Exemple du jeu de dé
-----------------------------------
-
-On considère un dé à 6 faces. Le lancer de dé est une *expérience
-aléatoire*, car on ne peut dire quel sera le résultat avant d’avoir
-effectué l’expérience.
-
-Avant de commencer à étudier les probabilités du lancer de dé, et les
-questions qu’on peut se poser, faisons d’abord un peu de vocabulaire qui
-sera utile pour la suite.
-
----
-
-Définition +.#
-
-- L’ensemble des résultats possibles du lancer de dé est
- $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$ et cet ensemble est appelé l’*univers* du
- lancer de dé.
-- Chaque résultat possible du lancer de dé ($1$, $2$, etc), noté
- $\omega\in\Omega$, est appelé une *éventualité*.
-- Un ensemble de résultats possibles, par exemple tous les résultats
- pairs du lancer de dé $A=\{2, 4, 6\}\in\Omega$, s’appelle un
- *événement*. Un événement composé d’une seule éventualité est appelé
- *événement élémentaire*.
-- On dit que l’événement $A$ est *réalisé* si on obtient $2$, $4$, ou
- $6$ en lançant le dé.
-- *L’événement certain* est l’univers en entier. On est certain de
- réaliser l’événement.
-- *L’événement impossible* est l’ensemble vide, $A=\emptyset$. Il
- correspondrait à l’événement obtenir $7$ ou plus en lançant un dé
- par exemple.
-- Si $A$ est un événement, on note $p(A)$ la *probabilité* que $A$
- soit réalisé.
-
----
-
-Le calcul des *probabilités* de réalisation de certains événement est
-reliée à la *fréquence* que nous avons introduit dans la section
-précédente. Soit un univers $\Omega$ et $A$, $B$ deux événements tels
-que $A\cap B=\emptyset$. On effectue $N$ expériences, donc $\Omega$
-est réalisé $N$ fois. De plus on constate qu’on réalise $A$, $K$ fois et
-$B$, $M$ fois. On a donc les fréquences suivantes que $A$, $B$ et
-$\Omega$ se réalisent $$\begin{aligned}
- f(A)&=\frac{K}{N},\\
- f(B)&=\frac{M}{N},\\
- f(\Omega)&=\frac{N}{N}=1,\\
- f(A\cup B)&=\frac{M+K}{N}=f(A)+f(B).\end{aligned}$$ Les *probabilités*
-de réalisation des événements ci-dessus peutvent être vues comme le
-passage à la limite $N\rightarrow\infty$ tel que
-$p(A),p(B)\in{\real}$ et $$\begin{aligned}
- p(A)&=\lim_{\substack{N\rightarrow\infty,\\ K/N<\infty}}\frac{K}{N},\\
- p(B)&=\lim_{\substack{N\rightarrow\infty,\\ M/N<\infty}}\frac{M}{N},\\
- p(\Omega)&=1,\\
- p(A\cup B)&=p(A)+p(B).\end{aligned}$$
-
-Si maintenant nous voulons connaître la probabilité de tirer $6$, ou
-encore la probabilité de réaliser $A=\{6\}$. Cela est assez intuitif
-pour le cas du dé. Nous avons $6$ éléments dans l’univers du lancer de
-dé. La probabilité de réaliser $A=\{6\}$ est donc $$p(6)=\frac{1}{6}.$$
-Pour le cas du lancer de dé, on dit qu’on a un processus qui est
-*équiprobable*. En effet, la probabilité de réaliser chacun des
-événements élémentaires est la même. On a en effet la même probabilité
-de tirer $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, ou $6$.
-
-Si à présent, on se pose la question de la probabilité de réaliser un
-tirage pair, $A=\{2,4,6\}$, alors on trouve
-$$p(\mbox{tirer un nombre pair})=\frac{1}{2}.$$ De façon générale pour
-le lancer de dé, on a que la probabilité de réaliser l’événement $A$
-est[^9]
-$$p(A)=\frac{\mbox{nombre d'éléments dans }A}{\mbox{nombre d'éléments dans }\Omega}.$$
-
-Si maintenant, on veut savoir quelle est la probabilité de tirer
-n’importe quel élément dans l’univers, on a
-$$p(\Omega)=\frac{\mbox{nombre d'éléments dans }\Omega}{\mbox{nombre d'éléments dans }\Omega}=1.$$
-De même la probabilité de réaliser l’événement impossible est de
-$$p(\emptyset)=\frac{\mbox{nombre d'éléments dans }\emptyset}{\mbox{nombre d'éléments dans }\Omega}=0.$$
-On voit ici une propriété fondamentale des probabilités qui est que
-$0\leq p(A)\leq 1,\ \forall A$.
-
-La probabilité de ne pas tirer un 6 donc de réaliser l’événement
-$\bar A=\{1,2,3,4,5\}$ est donnée par $1$ moins la probabilité de
-réaliser $A=\{6\}$, il vient $$p(\bar A)=1-p(A)=\frac{5}{6}.$$ De même
-la probabilité de tirer un nombre impair, est donnée par $1$ moins la
-probabilité de réaliser l’événement pair
-$$p(\{1,3,5\})=1-p(\{2,4,6\})=\frac{1}{2}.$$
-
-### Evénements disjoints {#sec:disjoints}
-
-Considérons maintenant deux événements, $A=\{1,2\}$ et $B=\{3,4,5\}$.
-Comme $A$ et $B$ n’ont pas d’éléments en commun, on dit que c’est deux
-événements *disjoints*. Les probabilités de réalisation de ces
-événements sont donc $$\begin{aligned}
- p(A)&=\frac{2}{6}=\frac{1}{3},\\
- p(B)&=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}.\end{aligned}$$ On va se poser deux
-questions à présent
-
-1. On cherche à savoir quelle est la probabilité de réaliser $A$ ou de
- réaliser $B$, donc de tirer un dé dont le résultat sera dans
- l’ensemble $C=A\cup B=\{1,2,3,4,5\}$. Le résultat est
- $$p(C)=\frac{5}{6}.$$ Une coincidence intéressante (qui n’est en
- fait pas une coincidence) est que
- $$p(C)=p(A)+p(B)=\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{5}{6}.$$
-
-2. On cherche à savoir quelle est la probabilité de réaliser $A$ et
- réaliser $B$ en même temps, donc de tirer un dé qui sera dans
- l’ensemble $C=A\cap B=\emptyset$. Ici on a déjà vu que la
- probabilité $p(\emptyset)=0$.
-
-On voit donc que si des événements sont disjoints, alors la probabilité
-de réaliser l’un ou l’autre des événements est simplement la somme des
-probabilités de réaliser chacun des événements. Inversément la
-probabilité de réaliser les deux événements en même temps est nulle.
-
-Nous pouvons facilement décomposer $A$ en deux sous événements
-élémentaires, $A=\{1\}\cup \{2\}$. On a donc une autre façon de calculer
-$p(A)$
-$$p(A)=p(\{1\})+p(\{2\})=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}.$$
-On a que la probabilité de réaliser un événement est la somme des
-événements élémentaires qui le composent.
-
-### Evénements complémentaires
-
-Considérons de nouveau l’événement $A=\{1,2\}$ et cette fois l’événement
-$B=\Omega\backslash \{1,2\}=\{3,4,5,6\}$. L’événement $B$ est appelé
-*l’événement complémentaire* de $A$. Il est noté $B=\bar A$. Les
-probabilité de réaliser $A$ ou de réaliser $\bar A$ est la même chose
-que de réaliser l’événement certain, car $A\cup \bar A=\Omega$. On
-vérifie aisément dans ce cas que $$\Omega=\{1,2\}\cup\{3,4,5,6\}$$ et $$p(A\cup \bar A)=p(\Omega)=1.$$ De plus de ce qu’on a vu
-précédemment, on a que $$p(A\cup \bar A)=p(A)+p(\bar A).$$ En combinant
-ces deux derniers résultats, il vient que $$p(A)+p(\bar A)=1.$$ On en
-déduit que $$p(A)=1-p(\bar A)=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}.$$ Dans ce cas
-on peut également calculer à priori $p(B)$
-$$p(B)=\frac{\mbox{nombre d'éléments dans }B}{\mbox{nombre d'éléments dans }\Omega}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.$$
-Ce résultat est très important car on calcule facilement $p(\bar A)$ si
-on connaît $p(A)$.
-
-### Evénements non-disjoints
-
-Considérons de nouveau l’événement $A=\{1,2\}$ et cette fois
-$B=\{2,3,4,5\}$. Les probabilités de réaliser les événements respectifs
-sont $$\begin{aligned}
- p(A)&=\frac{1}{3},\\
- p(B)&=\frac{2}{3}.\end{aligned}$$ La probabilité de réaliser $A$ et $B$
-est maintenant la probabilité de réaliser $C=A\cap B=\{2\}$
-$$p(C)=\frac{1}{6}.$$ Si on cherche à présent la probabilité de réaliser
-$A$ ou $B$, $D=A\cup B=\{1,2,3,4,5\}$, on voit aisément que
-$$p(D)=\frac{5}{6}.$$ Comme $A$ et $B$ ne sont pas disjoints ont
-constate $$\frac{5}{6}=p(D)\neq p(A)+p(B)=1.$$ L’inégalité est dûe au
-fait que dans le cas où on fait la somme $p(A)+p(B)$ on compte à double
-la probabilité de tirer l’éventualité $2$, qui est l’intersection de $A$
-et de $B$. Afin de corriger donc le calcul de $p(D)$ Ã partir de la
-somme $p(A)+p(B)$ il suffit d’enlever la probabilité de tirer
-l’intersection $C$. On a donc
-$$\frac{5}{6}=p(D)= p(A)+p(B)-p(C)=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}.$$ De façon
-complètement générale, on a la relation suivante pour calculer la
-probabilité de réaliser l’union de deux événement $A$ et $B$
-$$p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B).$$ Il en suit immédiatement que si
-$A\cap B=\emptyset$, alors
-$$p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)=p(A)+p(B)-p(\emptyset)=p(A)+p(B).$$
-
-### Axiomes des probabilités
-
-Tous ces concepts que nous avons vus précédemments peuvent être vus
-comme la conséquences des trois axiomes des probabilités suivants
-
----
-
-Définition (Axiomes des probabilités) +.#
-
-Soit $\Omega$ un univers. La probabilité de
-réaliser un événement $A\subseteq\Omega$ est une fonction $p(A)$ qui
-associe à tout événement de $A$ un nombre réel, qui satisfait les 3
-axiomes suivants
-
-1. Une probabilité est TOUJOURS positive $$p(A)\geq 0.$$
-
-2. La probabilité de l’événement certain vaut 1 $$p(\Omega)=1.$$
-
-3. Soit $B\subseteq\Omega$. Si $A\cap B=\emptyset$, alors
- $$p(A\cup B)=p(A)+p(B).$$ La probabilité de réalisation de deux
- évéenements incompatibles est égale à la somme de réalisation de
- chacun d’entre eux.
-
----
-
-De ces axiomes découlent tout un tas de théorèmes
-
----
-
-Théorème +.#
-
-Pour $A,B\subseteq\Omega$ et $\Omega$ un univers et $p$ une probabilité.
-
-1. $p(B\cap\bar A)=p(B)-p(B\cap A).$
-
-2. $p(\emptyset)=0.$
-
-3. $p(\bar A)=1-p(A).$
-
-4. $p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B).$
-
-5. $p(\bar A\cap \bar B)=1-p(A\cup B).$
-
-6. Si $A$ et $B$ sont disjoints, alors $p(A\cup B)=p(A)+p(B).$
-
-7. Si $A\subseteq B$, alors $p(B\cap \bar A)=p(B)-p(A).$
-
-8. Si $A\subseteq B$, alors $p(A)\leq p(B).$
-
-9. $\forall A$, $0\leq p(A)\leq 1.$
-
----
-
-### Probabilités conditionnelles
-
-Imaginons à présent que nous ayons une information supplémentaire
-lorsque nous lançons notre dé. Supposons par exemple que nous sachions
-lorsque nous lançons le dé que le résultat est pair. A partir de là la
-probabilité de tirer un $6$ est de
-$$p(6\mbox{ sachant que le résultat du lancer est un nombre pair})=1/3,$$
-alors que sans l’information sur la parité nous aurions eu $p(6)=1/6$.
-
-Lorsque nous rajoutons comme condition la réalisation préalable d’un
-événement $B$ à la réalisation d’un événement $A$, nous parlons de
-probabilité conditionnelle, notée $P(A|B)$ (probabilité conditionnelle
-de $A$ sachant que $B$ s’est produit).
-
-Essayons à présent de voir comment nous pouvons calculer de façon
-générale les probabilités conditionnelles avec notre exemple ci-dessus.
-Nous avons donc que nous cherchons à calculer $p(A|B)=p(6|{2,4,6})$.
-Nous avons dans ce cas que $p(A)=1/6$, $p(B)=1/2$ et
-$p(A\cap B)=p(6)=1/6$. Par ailleurs, nous pouvons remarquer que
-$$p(A|B)=\frac{1}{3}=\frac{p(A\cap B)}{p(B)}=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}}.$$
-Nous pouvons vérifier cette relation sur un exemple un peu plus
-compliqué. Soit $A={1,2,4}$ et $B={2,4,6}$. La probabilité
-conditionnelle $p(A|B)$ revient au calcul de la probabilité de
-$p(A\cap B|B)=p({2,4}|{2,4,6})=2/3$. Avec notre formule, nous avons
-$p(A\cap B)=1/3$ et $p(B)=1/2$. Il vient donc
-$$p(A|B)=\frac{p(A\cap B)}{p(B)}=\frac{2}{3}.$$ Cette formule peut en
-fait être vue comme la définition de la probabilité conditionnelle. Si
-$p(B)\neq0$ alors on appelle probabilité conditionnelle le nombre
-$p(A|B)$, tel que $$p(A|B)=\frac{p(A\cap B)}{p(B)}.$$
-
----
-
-Exercice (Probabilités conditionnelles) +.#
-
-Sur une population de 1000 hommes qui naissent, 922 atteignent l’âge de
-50 ans et 665 l’âge de 70 ans.
-
-1. Quelle est la probabilité qu’un homme qui vient de naître soit
- encore en vie à 50 ans?
-
-2. Quelle est la probabilité qu’un homme qui vient de naître soit
- encore en vie à 70 ans?
-
-3. Quelle est la probabilité qu’un homme de 50 ans soit encore en vie Ã
- 70?
-
----
-
-### Evénements indépendants
-
-Prenons maintenant le cas “pathologique†où nous cherchons la
-probabilité conditionnelle $p(A|B)$, mais où la réalisation de $B$ n’a
-aucune influence sur la réalisation de $A$. On a donc $$p(A|B)=p(A).$$
-Il vient $$p(A|B)=\frac{p(A\cap B)}{p(B)}=p(A).$$ On en déduit que
-$$p(A\cap B)=p(A)\cdot p(B).$${#eq:indep} On calcule aussi
-$p(B|A)$
-$$p(B|A)=\frac{p(A\cap B)}{p(A)}=\frac{p(A)\cdot p(B)}{p(A)}=p(B).$$
-Donc si $A$ ne dépend pas de $B$, alors la réciproque est vraie
-aussi. Les événements qui satisfont la propriété de l’équation
-@eq:indep sont appelés indépendants. Dans le cas contraire ils
-sont appelé dépendants.
-
-Afin d’illustrer l’indépendance, prenons à nouveau le jet de dé.
-Supposons que nous effectuions deux tirages de suite et que l’événement
-$A$ soit “tirer un 6 au premier tirage†et que l’événement $B$ soit
-“tirer un $2$ au deuxième tirageâ€. On a que
-$$p(A)=\frac{1}{6},\quad p(B)=\frac{1}{6},\quad p(A\cap B)=\frac{1}{36}.$$
-On a donc bien $p(A\cap B)=p(A)\cdot p(B)$ et les événements sont
-indépendants. Cela semble bien naturel étant donné que le premier tirage
-du dé ne va en rien influencer le résultat du deuxieme tirage. Tout
-comme un tirage de l’euromillions d’une semaine ne va pas influencer le
-résultat de celui de la semaine suivante.
-
----
-
-Exercice (Evénements indépendants) +.#
-
-On jette une pièce de monnaie deux fois de
-suite. Les résultats possible pour chaque jet sont: $P$, ou $F$.
-
-1. Ecrivez l’univers des événements.
-
-2. Calculez les probabilités des événements $A$ “face au premier jetâ€,
- $B$ “pile au second jetâ€.
-
-3. Calculez la probabilité $p(A\cap B)$.
-
-4. Est-ce que les jets sont indépendants?
-
----
-
-### Tirages multiples
-
-Jusqu’ici on a lancé le dé une fois et calculé la probabilité liée à ce
-lancer unique. A présent, on va tirer le dé plusieurs fois et calculer
-les probabilités d’obtenir des séquences de réalisations. Pour notre
-exemple on va prendre un cas où on tire le dé deux fois successivement.
-Ce type de tirage est appelé *tirage successif avec remise*, car les
-deux tirages sont successifs et indépendants entre eux (on va tirer deux
-fois le même dé). L’univers de cette expérience est la combinaison de
-tous les résultats obtenus avec chacun des dés
-$$\Omega=\{11,12,13,14,15,16,21,22,23,24,25,26,...,61,62,63,64,65,66\}.$$
-Il y a $6\times 6=6^2=36$ résultats possibles à ce tirage. Il faut noter
-ici que l’ordre dans lequel le tirage a lieu est important; le tirage
-$26$ est différent du tirage $62$. On verra par la suite des exemples où
-cela n’est pas le cas.
-
-On cherche à savoir quelle est la probabilité d’obtenir l’événement
-$A=\{26\}$.
-
-Comme précédemment la probabilité de réaliser l’événement $A$ est le
-nombre d’éléments dans $A$ divisé par le nombre d’éléments dans
-$\Omega$. La probabilité est donc immédiatement obtenue
-$$p(A)=\frac{1}{36}.$$ Une autre façon de visualiser ce genre de
-réalisation est de l’écrire sous forme d’arbre (voir la figure
-@fig:arbre).
-
-{#fig:arbre width="\textwidth"}
-
-Comme pour le cas à un tirage, tout tirage successif de dés est
-équiprobable et la probabilité de chaque tirage est de $1/36$.
-
-Une autre façon de calculer la probabilité d’obtenir $A=\{26\}$ est de
-constater que la probabilié d’obtenir ce tirage succesif est la
-probabilité de tirer $2$, puis la probabilité de tirer $6$. La
-probabilité de cet enchaînement est obtenu en multipliant les événements
-élémentaires
-$$p(\{26\})=p(\{2\})\cdot p(\{6\})=\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}.$$
-
-{#fig:arbre2 width="\textwidth"}
-
-Afin de calculer la probabilité du tirage $26$ il suffit de suivre le
-chemin menant de la racine à la feuille correspondante et de multiplier
-les probabilités inscrites sur chacune des branches.
-
-Si à présent, nous voulons savoir quelle est la probabilité de tirer un
-$2$ ou un $4$ avec le premier dé et un nombre pair avec le second, on a
-trois façons de calculer le résultat. La façon compliquée, où on compte
-toutes les possibilités. L’événement précédent s’écrit
-$$A=\{22,24,26,42,44,46\}.$$ On a donc que $p(A)$ est donné par
-$$p(A)=\frac{\mbox{nombre d'éléments dans }A}{\mbox{nombre d'éléments dans }\Omega}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}.$$
-L’autre façon (plus simple) est d’utiliser la propriété du produit des
-probabilité. Nous savons que la probabilité de tirer un $2$ ou un $4$
-avec le premier dé est de $1/3$, puis la probabilité de tirer un nombre
-pair avec le deuxième est de $1/2$. On a donc finalement que
-$$p(A)=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{6}.$$ Finalement, on peut
-aussi utiliser la représentation sous forme d’arbre où on somme
-simplement les probabilités de chacun des éléments de $A$ (voir figure
-@fig:arbre3).
-
-{#fig:arbre3 width="\textwidth"}
-
-Comme vu dans la section @sec:disjoints, il suffit de prendre la
-somme des probabilités des événements élémentaires $$\begin{aligned}
- p(A)&=p(\{22\})+p(\{24\})+p(\{26\})+p(\{42\})+p(\{44\})+p(\{46\})\nonumber\\
- &=\frac{1}{36}+\frac{1}{36}+\frac{1}{36}+\frac{1}{36}+\frac{1}{36}+\frac{1}{36}\nonumber\\
- &=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}.\end{aligned}$$
-
-Si à présent l’ordre dans lequel les dés sont tirés n’a plus
-d’importance le calcul de probabilités change un peu. On désire savoir
-quelle est la probabilité d’obtenir $26$ dans un ordre arbitraire. On
-peut donc obtenir cette combinaison en tirant $26$ ou en tirant $62$. On
-a donc $A=\{26,62\}$. La probabilité de réaliser $A$ est donc
-$$p(A)=\frac{2}{36}=\frac{1}{18}.$$ On peut calculer cette probabilité
-de nouveau avec l’arbre ou en comptant. Une façon de nouveau plus simple
-dans bien des cas est d’utiliser les produits de probabilités. La
-probabilité de tirer $26$ ou $62$ est la probabilité de tirer d’abord
-$2$ ou $6$, puis de tirer le nombre restant ($2$ si on a d’abord tiré
-$6$ ou $6$ si on a d’abord tiré $2$). La probabilité de tirer $2$ ou $6$
-est de $1/3$, puis la probabilité de tirer le nombre restant est de
-$1/6$. On a donc que $$p(A)=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{18}.$$
-
----
-
-Exercice +.#
-
-1. Calculer la probabilité d’obtenir $2$ comme la somme des deux
- nombres tirés par deux dés.
-
-2. Calculer la probabilité d’obtenir $3,4,5,6,7,8,9,10,11,12$ comme la
- somme des deux nombres tirés par deux dés.
-
-3. Calculer la probabilité d’obtenir $7$ comme la somme des deux
- nombres tirés par deux dés.
-
-4. Calculer la probabilité d’obtenir $6$ soit avec 1 soit avec 2 dés.
-
-5. Déterminer le nombre de combinaisons possibles avec 3, 4, 5 dés.
- Pouvez vous généraliser à $n$ dés?
-
-6. Soit un tirage aléatoire offrant 2 possibilités (pile ou face par
- exemple). Quel est le nombre de combinaisons possibles si on tire
- $n$ fois? Pouvez-vous généraliser pour un tirage aléatoire offrant
- $m$ possibilités qu’on tire $n$ fois?
-
----
-
-### La distribution multinomiale
-
-Plus nous allon rajouter des tirages successifs plus il va être
-compliqué de calculer les probabilités de tirer une certaine combinaison
-de nombres. Il existe néanmoins une formule qui généralise les tirages
-successifs avec remise. Prenons le cas où nous avons un dé qui ne donne
-pas chaque nombre de façon équiprobable, mais avec probabilité
-$\{p_i\}_{i=1}^6$. Nous souhaitons savoir quelle est la probabilité de
-tirer deux fois le 1 et une fois le 2 lors de trois tirages successifs.
-
-Dans ce tirage l’ordre dans lequel sont obtenus ces tirages ne sont pas
-importants. Il y a donc les tirages possibles qui sont admissibles
-$$[112]=\{112, 121, 211\}.$$ On a donc que la probabilité associée est
-de $$p([112])=p(112)+p(121)+p(211).$$ Ces trois probabilités sont
-données par $$\begin{aligned}
- p(112)&=p_1\cdot p_1\cdot p_2=p_1^2\cdot p_2,\\
- p(121)&=p_1\cdot p_2\cdot p_1=p_1^2\cdot p_2,\\
- p(211)&=p_2\cdot p_1\cdot p_1=p_1^2\cdot p_2.\end{aligned}$$ Les
-tirages étant indépendants on a que la probabilité de
-tirer $1$ ou $2$ est indépendante du moment où ils sont tirés et donc
-ces trois probabilités sont égales.
-
-Finalement la probabilité de tirer deux 1 et un 2 est de
-$$p([112])=p(112)+p(121)+p(211)=3\cdot p_1^2\cdot p_2.$$ A présent
-nous considérons la probabilité de tirer $[1123]$ en 4 tirages. Les
-tirages possibles sont
-$$[1123]=\{1123, 1132, 1213, 1231, 1312, 1321, 2113, 2131, 2311, 3112, 3121, 3211\}.$$
-Il y a donc 12 tirages possibles pour cette combinaison. De plus les
-tirages étant indépendants on a que toutes ces combinaisons sont
-équiprobables avec probabilité $$p(1123)=p_1^2p_2p_3.$$ Finalement on a
-$$p([1123])=12 p_1^2p_2p_3.$$ Si nous définissons $n_i$ le nombre de
-fois où on obtient le résultat $i$ et qu’on cherche la probabilité de
-réaliser le tirage $[n_1,n_2,...,n_k]$, on constate que la probabilité
-de réaliser le tirage est proportionnelle Ã
-$p_1^{n_1}p_2^{n_2}\cdots p_6^{n_6}$. Il nous reste à déterminer le
-facteur multiplicatif venant devant. Pour le cas du tirage $1,1,2$, nous
-avons $[n_1n_2]$ avec $n_1=2$ et $n_2=1$ et le facteur devant le produit
-des probabilités est donné par $3$. Pour le tirage $1,1,2,3$ il est de
-$12$ et nous avons $n_1=2$, $n_2=1$, $n_3=1$. Nous pouvons écrire
-$$3=\frac{3!}{1!2!}\mbox{ et } 12=\frac{4!}{1!1!2!}.$$ En fait on peut
-constater que $$\frac{n!}{n_1!n_2!\cdots n_6!},$$ avec
-$n=\sum_{i=1}^6 n_i$. On a donc que
-$$p([n_1,n_2,...,n_6])=\frac{n!}{n_1!\cdots n_6!}p_1^{n_1}\cdots p_6^{n_6}.$$
-De façon complètement générale ce genre de probabilité se calcule grâce
-Ã la *distribution multinomiale*
-$$p([n_1,...,n_k])=\frac{n!}{n_1!\cdots n_k!}p_1^{n_1}\cdots p_k^{n_k}.$$
-
----
-
-Exercice +.#
-
-On lance un dé parfait 10 fois. Quelle est la probabilité d’obtenir:
-
-1. 10 fois 6?
-
-2. 4 fois 3, 3 fois 2 et 3 fois 1?
-
-3. 2 fois 1, 2 fois 2, 2 fois 3, 1 fois 4, 1 fois 5, et 1 fois 6?
-
----
-
-Exemple du lotto
-----------------
-
-Dans un lotto on a dans une urne (souvent une machine spécialement conçue contenant de petites bales numérotées)
-un nombre de jetons numérotés, disons
-pour l’exemple entre 1 et 6, qui sont tirés successivement. Une fois un
-jeton tiré, il ne sera pas remis dans le sac. On appelle ce genre de
-tirage *sans remise*. Contrairement au cas des dés vus dans la section
-précédente qui était ‘*avec remise*. On tire un nombre fixé de jetons,
-disons 3. On souhaite déterminer la probabilité d’obtenir une suite
-donnée de 2 numéros, disons $25$. Disons aussi que pour cet exemple l’ordre du
-tirage a de l’importance (ce qui n’est pas le cas du lotto).
-
-Afin de calculer cette probabilité le fait qu’on effectue un tirage avec
-remise est primordial. En effet considérons le cas initial illustré dans
-la @fig:loto.
-
-{#fig:loto height="1.8truecm"}
-
-Pendant le premier tirage, nous tirons le numéro 2 (voir figure
-@fig:loto2). Notons que le tirage du 2 a une probabilité
-$\frac{1}{6}$.
-
-{#fig:loto2 height="1.8truecm"}
-
-Il est donc enlevé du sac et il nous reste uniquement 5 chiffres parmi
-lesquels choisir (les chiffres $1$, $3$, $4$, $5$, et $6$, comme dans la
-@fig:loto3).
-
-{#fig:loto3 height="1.8truecm"}
-
-Comme il ne nous reste que 5 chiffres, la probabilité de tirer un des
-nombres restant, disons le $5$, est de $\frac{1}{5}$ (voir la figure
-@fig:loto4).
-
-{#fig:loto4 height="1.8truecm"}
-
-Le 5 sera lui aussi retiré et il ne restera que 4 numéros dans le sac et
-ainsi de suite.
-
-On voit donc que la probabilité de tirer la suite ordonnée $25$ est de
-$$p(\{25\})=p(\{2\})\cdot p(\{5\})=\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{5}=\frac{1}{30}.$$
-A présent, si nous considérons que l’ordre n’a pas d’importance, on a
-comme dans la section précédente que l’événement qui nous intéresse est
-$A=\{25,52\}$. On peut donc décomposer ce cas en 2 et dire qu’on a dans
-un premier temps la probabilité de tirer $2$ ou $5$ parmi $6$ nombres,
-puis on a la probabilité de tirer le $5$ ou le $2$ (respectivement si on
-a tiré $2$ ou $5$) parmi 5. Les deux probabilités sont donc données
-respectivement par $p(\{2,5\})=\frac{2}{6}$ puis par
-$p(\{5,2\}\backslash \{2\mbox{ ou }5)=\frac{1}{5}$ pour trouver la probabilité $\frac{1}{15}$.
-
----
-
-Exerice +.#
-
-1. Le jeu Euromillions consiste en un tirage de 5 numéros parmi 50
- possible, puis par le tirage de 2 “étoiles†parmi 11 possibles.
- Déterminez la probabilité de trouver la bonne combinaison à un
- tirage.
-
-2. Le jeu du swiss lotto, consiste au tirage de 6 numéros parmi 42
- possibles, puis au tirage d’un numéros parmi 6. Calculez la
- probabilité de gagner au swiss lotto.
-
----
-
-Quelques exercices
-------------------
-
-Afin de continuer avec ces concepts de tirages aléatoires avec ou sans
-remise de suites ordonnées ou non, nous allons faire quelques exercices.
-Il peut se révéler utile de dessiner un arbre pour ces exercices.
-
-1. Dans une urne se trouvent 2 boules blanches et 3 boules noires. On
- tire successivement deux boules sans remise. Calculer et comparer
- les probabilités des deux événements suivants
-
- - Tirer deux boules de même couleur.
-
- - Tirer deux boules de couleurs différentes.
-
-2. Une bille, lâchée en $O$ tombe dans l’une des trois boîtes $A$, $B$,
- ou $C$. A chaque bifurcation, la bille tombe à gauche avec la
- probabilité de 0.25 et à droite avec la probabilité de 0.75 (voir
- @fig:bille)
-
- {#fig:bille height="2.8truecm"}
-
- - Calculer les probabilités $p(A)$, $p(B)$, $p(C)$ pour qu’une
- bille lâchée de O tombe respectivement dans la boîte $A$, $B$ ou
- $C$.
-
- - On lâche deux billes en $O$. Calculer la probabilité pour que
- les deux billes tombent dans la même boîte.
-
- - On lâche trois billes en $O$. Calculer la probabilité d’avoir
- une bille dans chaque boîte.
-
- - On lâche dix billes en $O$. Calculer la probabilité d’avoir au
- moins trois billes dans la boîte B.
-
-3. A la naissance, la probabilité qu’un enfant soit un garçon est de
- $p(G)=0.514$.
-
- - Calculer et la probabilité qu’un enfant soit une fille.
-
- - On considère la naissance de deux enfants. Calculer et la
- probabilité que les deux enfants soient de même sexe.
-
- - On considère la naissance de deux enfants. Calculer et la
- probabilité que les deux enfants soient de sexes différents.
-
-Variables aléatoires
---------------------
-
-Lors d’une expérience aléatoire, il est assez commun de relier chaque
-événement de l’univers, $A\in\Omega$, à un nombre réel,
-$X(A)\in{\real}$. Cette relation est définie par une fonction qui
-porte le nom de variable aléatoire et peut s’écrire mathématiquement
-sous la forme $$X:\Omega\rightarrow {\real}.$$ Afin de mieux
-comprendre ce concept voyons quelques exemples
-
-1. Lors d’un jet de dé unique l’univers est défini par
- $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$. On peut de façon assez naturelle définir
- notre variable aléatoire comme $$X:i\rightarrow i.$$
-
-2. Si nous lançons une pièce de monnaie les deux issues possibles sont
- pile $p$, ou face $f$ ($\Omega={p,f}$). Nous pouvons définir la
- variable aléatoire $X$ comme $$X:\left\{\begin{array}{l}
- p\rightarrow 0\\
- f\rightarrow 1
- \end{array}\right.$$
-
-3. Si nous lançons une pièce de monnaie à deux reprises, les issues
- possibles sont $(p,p)$, $(p,f)$, $(f,p)$, $(f,f)$. Nous pouvons
- définir la variable aléatoire $X$ comme $$X:\left\{\begin{array}{l}
- (p,p)\rightarrow 0\\
- (p,f)\rightarrow 1\\
- (f,p)\rightarrow 1\\
- (f,f)\rightarrow 2
- \end{array}\right.$$
-
-Comme nous nous sommes posés la question de connaître la probabilité
-d’obtenir un certain résultat lors d’une expérience aléatoire, il en va
-de même avec la probabilité que la variable aléatoire $X$ prenne une
-valeur donnée, $\alpha\in{\real}$ ou prenne une valeur incluse dans
-un intervalle $I\subseteq{\real}$.
-
-Pour illustrer ce qui se passe, intéressons-nous au dernier exemple
-ci-dessus avec le double pile ou face. On se pose les questions
-suivantes
-
-1. Quelle est la probabilité que $X$ prenne la valeur $1$?
-
-2. Quelle est la probabilité que $X$ prenne une valeur incluse dans
- $I=[0.6,3]$?
-
-3. Quelle est la probabilité que $X$ prenne une valeur inférieure Ã
- $2$?
-
-Prenons ces trois questions une par une
-
-1. Les deux façons d’obtenir $X=1$ est d’avoir les tirages $(p,f)$ ou
- $(f,p)$, soit $A=\{(p,f), (f,p)\}$. Les probabilités de chacun des
- événements de l’univers étants équiprobables on a
- $$p(X=1)=p(A)=1/2.$$
-
-2. Le seul événement donnant un $X$ qui n’est pas dans l’intervalle
- $J=[0.6,3]$ est $B=(p,p)$ ($X(B)=0$). On a donc que
- $$p(0.6\leq X\leq 3)=p(\bar B)=1-p(B)=\frac{3}{4}.$$
-
-3. De façon similaire les trois événements donnant $X<2$ sont dans
- $C=\{(p,p), (p,f), (f,p)\}$. On a donc $$p(X<2)=p(C)=\frac{3}{4}.$$
-
-On constate au travers de ces trois exemples que la probabilité que la
-variable aléatoire $X$ prenne une valeur particulière $\alpha$ ou soit
-dans un intervalle $I$ est reliée à la probabilité d’obtenir un
-événement $D$ qui serait la préimage de $\alpha$ ou d’un intervalle $I$.
-On peut noter dans le cas général qu’on a $D=X^{-1}(I)$.
-
----
-
-Définition (Variable aléatoire) +.#
-
-On dit que la fonction $X:\Omega\rightarrow{\real}$ est une
-*variable aléatoire* si la préimage de $X$ sur tout intervalle,
-$I\subseteq{\real}$, est un événement $A\in \Omega$. La probabilité
-que $X$ prenne une valeur dans l’intervalle $I$ est égale à la
-probabilité de réaliser l’événement $A$ $$p(X\in I)=p(A).$$
-
----
-
----
-
-Définition (Fonction de répartition) +.#
-
-On dit que la fonction $F:{\real}\rightarrow{\real}$ est une
-*fonction de répartition* si $F(x)=p(X\leq x)$ pour tout
-$x\in{\real}$.
-
----
-
-Nous distinguons deux sortes de variables aléatoires: les
-variables aléatoires discrètes et continues. Nous les discuterons
-brièvement dans les deux sous-sections suivantes.
-
-Nombres aléatoires
-------------------
-
-Les nombres aléatoires, bien que pas directement reliés aux
-probabilités, sont utilisés dans un certain nombre de domaines qui vont
-de la cryptographie aux simulations physiques. Nous allons voir une
-introduction simplifiée à la génération de nombres aléatoires sur un
-ordinateur et les différentes problématiques reliées à leur génération.
-
-Une très bonne référence concernant les nombre aléatoires est le site
-`http://www.random.org`.
-
-### Générateurs algorithmiques: une introduction (très) générale
-
-Le but des générateurs de nombres aléatoires est de produire une suite
-de nombres entiers, ($n\in{\mathbb{N}}$) $$\{X_0,X_1,...,X_n\},$$ avec
-$X_i\in A$, où $A=[0,m]$, avec $m\in {\mathbb{N}}$ (dans le cas de la
-fonction `rand()` de $C$, $M$ est donné par la constante prédéfinie
-`RAND_MAX` qui and certains cas est $2^{31}-1$). La probabilité de tirer
-chacun des nombres dans l’intervalle $A$ est égale. On dit que la
-distribution des nombres est uniforme. De plus, les nombres tirés ne
-doivent pas dépendre de l’histoire des nombres tirés précédemment et on dit que les nombres sont idépendants.
-
-Si on veut maintenant plutôt tirer des nombres réels uniformément
-distribués entre $[0,1]$, il suffit de diviser les nombres $X_i$ par $m$
-après chaque tirage. De façon similaire, si nous voulons tirer des
-nombres dans l’intervalle $[\alpha,\beta]$, on utilise la formule de
-remise à l’échelle suivante $$N_i=\alpha+(\beta-\alpha)X_i/m.$$ Il faut
-remarquer que pour que cette formule puisse est utilisée il est
-nécessaire que $(\beta-\alpha)<M$.
-
-Les transformations que je donne ici ne sont pas toujours celles
-implémentées. En effet, il existe des transformations beaucoup plus
-efficaces d’un point de vue computationnel pour changer l’intervalle des
-nombres aléatoires.
-
-Sans entrer dans les détails, la génération de nombres aléatoires
-n’ayant pas une distribution uniforme s’obtient en effectuant une
-transformation un peu plus complexe que celle ci-dessus en partant
-toujours de la suite de nombres aléatoires entiers.
-
-Les nombres aléatoires produits de façon algorithmique (donc avec un
-ordinateur) ne peuvent pas être vraiment aléatoires, car ils sont obtenus
-avec une machine déterministe (les opérations faites à l’aide d’un
-ordinateur sont par définition reproductibles avec une chance d’erreur
-quasiment nulle). On parle donc de nombre pseudo-aléatoires.
-
-Néanmoins, bien que ces chiffres ne soient pas vraiment aléatoires, ils
-peuvent posséder des propriétés qui les rendent satisfaisants pour la
-plupart des applications. Cette suite de nombres doit avoir des
-propriétés particulières quand $m\rightarrow\infty$. Sans entrer pour le
-moment trop dans les détails, on veut par exemple que la moyenne des
-nombres tirés soit $m/2$, que la corrélation entre des sous-suites de
-nombres soit nulle, ou encore qu’il n’existe pas de séquence qui se
-répète (ou au moins que la période de répétition soit très très longue).
-Néanmoins, il est assez compliqué de définir des tests très robustes
-pour évaluer la qualité des nombres aléatoires algorithmiques.
-
-### Les générateurs congruenciels linéaires {#sec:congr}
-
-Pendant très longtemps, les générateurs de nombres aléatoires
-algorithmiques ont été des générateurs congruenciels linéaires, dont la
-génération est donné par la formule suivante. Soit $X_i$ un nombre
-aléatoire, alors le prochain nombre de la série est donné par
-$$X_{i+1}=(aX_i+c)\mod m,$$ où $a$, $c$ et $m$ sont des paramètres de
-notre générateur. On constate que la seule partie éventuellement
-aléatoire de n’importe quelle séquence est la valeur initiale de notre
-séquence $X_0$ (aussi appelée *graine*). Tous les autres nombres obtenus
-sont déterministes. Pour chaque valeur de graine, on aura toujours la
-même séquence de nombre tirés.
-
-Il est très important de noter que la qualité des nombres aléatoires
-obtenus sont extrêmement dépendants des valeurs de $a$, $c$ et $m$
-choisies (et des relations entre elles). Si par exemple, on choisit
-$a=1$, $c=1$, $m=10$ et $X_0=0$, on va avoir comme suite de nombre
-aléatoire $$\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,0,1,2,3,...\},$$ ce qui n’est pas très
-aléatoire vous en conviendrez... Il est donc très important de tenter
-d’optimiser les valeurs $a$, $c$ et $m$ pour avoir des séquences aussi
-“aléatoires†que possible.
-
-Une première chose à remarquer c’est que $m$ sera la valeur maximale de
-la période de notre générateur de nombre aléatoire (la période est le
-nombre de tirages qu’il faudra effectuer pour que la série se répète
-exactement).
-
-Quelques paramètres utilisés dans des générateurs connus sont par
-exemple
-
-- la fonction `rand()` du langage $C$
- $$a=1103515245,\quad c=12345,\quad m=2^{32}.$$
-
-- la fonction `drand()` du langage $C$
- $$a=25214903917,\quad c=11,\quad m=2^{48}.$$
-
-- le générateur `RANDU` des ordinateurs IBM des années 1960
- $$a=65539,\quad c=0,\quad m=2^{32}.$$
-
-Ce genre de générateur de nombres aléatoires est très efficace d’un
-point de vue computationnel mais la qualité des nombres aléatoires est en général
-insuffisante. Plusieurs améliorations ont été proposées. Par
-exemple, pour chaque étape, on peut générer $k$ nombres aléatoires avec
-un générateur congruentiel linéaire et combiner les nombres.
-
-La méthode probablement la plus populaire consiste à utiliser des
-récurrences matricielles sur la représentation binaire des nombres. Soit
-$\tilde X_i$ la représentation sur $k$ bits de $X_i$, alors
-$\tilde X_{i+1}$ est donné par $$\tilde X_{i+1}=A \tilde X_i \mod 2,$$
-où $A$ est une matrice $k\times k$. Ce genre de générateur a l’énorme
-avantage d’être extrêmement efficace. Ils sont à la base de l’algorithme
-Mersenne Twister. Ces générateurs ont généralement une période
-extrêmement longue (qui a la particularité d’être un nombre premier de
-type Mersenne dont la forme est $m=2^l-1$, avec $l\in{\mathbb{N}}$).
-
-Bien que ne soyant pas parfaits ces générateurs ont aussi le grand avantage
-d’être très rapides et peu gourmands en ressources de calcul. La
-facilité de description et d’utilisation de tels générateurs, permet des
-tests très poussés quant à leur qualités et leurs limites par la
-communauté scientifique. Finalement, les besoins de débuggage de codes,
-la reproductibilité d’une série de nombres aléatoires peut être d’un
-grand secours.
-
-### Les générateurs physiques
-
-Une autre façon de générer des nombres aléatoires, serait d’utiliser des
-phénomènes physiques qui contiennent de façon inhérente des processus
-aléatoires. On peut imaginer lancer un dé “à la mainâ€, mesurer les
-émissions radioactives d’atomes (mesurer leur spin), etc... Ou encore
-effectuer des lancer de jeux aussi peu biaisés que possibles (roulette,
-dé, etc).
-
-Néanmoins, cette façon de faire a un certain nombre de désavantages. Le
-premier est que l’acquisition des données “en temps réel†de ces
-processus est en général plusieurs ordres de grandeurs trop lente par
-rapport aux besoins pratiques. Par rapport à un générateur algorithmique
-très peu coûteux, un dispositif “physique†peut être très coûteux en
-espèces sonnantes et trébuchantes.
-
-Il a néanmoins été envisagé de stocker de très grandes quantités de
-nombres aléatoires sur un support quelconque et de les fournir Ã
-l’utilisateur quand cela s’avère nécessaire. Le problème principal qui a
-été révélé par cette façon de faire est que le processus de mesure des
-différents processus est loin d’être parfait et engendre des biais
-importants dans la qualité des nombres obtenus ce qui les rend souvent
-en pratique moins bons que les nombres obtenus avec des générateurs de
-nombres pseudo-aléatoires...
-
-### Comment décider si une suite de nombres pseudo-aléatoires peut être considérée comme aléatoire
-
-Cette question est extrêmement compliquée. Pour simplifier considérons
-le tirage de nombres entiers $X_i\in \{0,1\}$. Les tirages aléatoires
-sont uniformément distribués, on a donc que $p(0)=p(1)=1/2$. Supposons
-qu’on obtient une suite de 10 nombres avec deux générateurs différents
-$$\begin{aligned}
- X&=\{0,0,1,1,1,0,1,0,1,0\},\\
- Y&=\{0,0,0,0,0,0,0,0,0,0\}.\end{aligned}$$ On voit que la suite $Y$
-semble beaucoup moins aléatoire que la suite $X$. En effet, la
-probabilité de tirer 10 fois 0 en 10 tirages est de
-$p(Y)=1/2^{10}=1/1024$, alors que la probabilité d’avoir autant de 0 que
-de 1 est de $1/2$. De façon générale on aimerait que la répartition
-soit $35\%$-$65\%$ avec une probabilité de $90\%$.
-
-Néanmoins, ce critère n’est pas suffisant. En effet la suite
-$$Z=\{0,1,0,1,0,1,0,1,0,1\},$$ satisfait bien le critère ci-dessus. En
-revanche la probabilité de n’avoir pas deux tirages $0$ ou $1$ de suite
-est très faible (moins de $5\%$).
-
-De ces constatations on peut dire qu’un générateur de nombres
-pseudo-aléatoires est de bonne qualité si les tirages qui sont effectués
-vérifient les propriétés du tirage avec une forte probabilité. On
-constate que cette définition est vague. En particulier la définition de
-“forte†est pas très précise. Il faut cependant noter que souvent nous
-sommes intéressés à des suites qui ont une longueur $n$. Donc pour
-$n\rightarrow\infty$ on va vouloir que les probabilités vont toutes
-tendre vers $1$.
-
-Néanmoins, il est certain qu’aucun générateur ne peut être parfait. En
-effet, les nombres étant toujours représentés avec une précision finie,
-il est impossible d’être capable de représenter exactement toutes les
-propriétés d’une série de nombres vraiment aléatoires avec un générateur
-pseudo-aléatoire. On va donc plutôt considérer une autre définition pour
-la qualité d’un générateur algorithmique.
-
-Considérons une simulation nécessitant la génération de nombres
-aléatoires. Un “bon†générateur de nombres pseudo-aléatoire produit une
-série de nombres qui peut être utilisée en lieu et place de vrai nombres
-aléatoires sans que la simulation n’en soit affectée. Par exemple, le
-calcul du nombre $\pi$ vu dans les exercices doit être trouvé avec la
-précision désirée avec le générateur de nombre pseudo-aléatoires pour
-que celui-ci soit considéré comme bon.
-
-### Quelques règles générales
-
-La règle précédente bien que satisfaisante, n’est pas forcément simple Ã
-tester. En effet, il ne permet pas de prévoir la qualité d’un générateur
-a priori. Il nous faut donc quelques qualités minimales pour les
-générateurs de nombres aléatoires.
-
-#### La périodicité
-
-Tout générateur de nombres pseudo-aléatoires va à un moment ou un autre
-devenir périodique (la séquence de nombres générés vont se répéter Ã
-l’infini). Notons la période du générateur aléatoire $T$. Il est évident
-que dès qu’on atteint un nombre de tirages équivalent à la période
-(${\mathrm{card}}(X)\sim T$), on va avoir des nombres pseudo-aléatoires
-qui ne sont plus du tout satisfaisants. En fait on peut montrer que des
-problèmes apparaissent dès que le nombre de tirages atteint un nombre
-équivalent à $T^{1/3}$. Une condition primordiale pour avoir un “bonâ€
-générateur de nombres pseudo-aléatoire est donc une période élevée. Pour
-des générateurs aléatoires modernes, un période $T<2^{100}$ n’est pas
-considérée comme satisfaisante pour la plupart des applications.
-
-Évidemment il est impossible de tester la périodicité de tels
-générateurs de façon expérimentale ($2^{100}\sim 10^{30}$). Cela ne peut
-se faire que par des études analytiques approfondies. Comme expliqué
-dans la @sec:congr la période maximale d’un générateur
-congruentiel linéaire est $m$. Dans les 3 exemples donnés la période est
-respectivement de $2^{32}$, $2^{48}$, ou $2^{32}$. Ils ne devraient donc
-plus être utilisés dans des applications modernes. A titre de
-comparaison le générateur Mersenne Twister possède une période de
-$2^{19937}-1$.
-
-Il est évident que la période à elle seule ne suffit pas à déterminer si
-un générateur de nombres pseudo-aléatoires est bon. En particulier on
-peut prendre un générateur congruentiel, où $$X_{i+1}=(X_i+1)\mod m,$$
-avec $m$ aussi grand qu’on veut (disons $m=2^{2000}$ par exemple) mais
-la séquence de nombres générés ne sera absolument pas aléatoire, étant
-donné qu’on aura
-$$X=\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ..., 2^{2000}-1, 0, 1, 2, ...\},$$ si
-$X_0=0$. Cela pourrait ne pas être problématique en soi, si la séquence
-avec une graine $X_0=1$ n’était pas si similaire
-$$X=\{1, 2, 3, 4, 5, 6, ..., 2^{2000}-1, 0, 1, 2, ...\}.$$ Il est donc
-nécessaire d’avoir d’autres critères que la seule période. C’est le
-sujet de la sous-section suivante.
-
-#### La discrépance
-
-Afin d’éliminer les générateurs de nombres pseudo-aléatoires comme
-l’exemple qu’on vient de citer, il faut étudier la répartition des
-nombres. Sans tomber dans le cas pathologique de la section précédente,
-on peut imaginer des nombres qui ont l’air aléatoires, mais qui ont un
-biais. Reprenons l’exemple du tirage entre $[0,1]$. Nous pouvons
-imaginer une suite très longue sans période avec des tirages aléatoires,
-mais avec beaucoup plus de 0 que de 1, ce qui évidemment serait
-problématique.
-
-On doit donc trouver un moyen de tester la répartition des nombres de
-façon plus quantitative. Une façon de le faire est de considérer
-l’ensemble des $k-$uplets de nombres définis par
-$$X^k=\{X_1,X_2, ..., X_k\},$$ où $X_0$ est supposé tiré uniformément
-dans l’ensemble de départ (ici supposons que c’est $[0,1]$ à titre
-d’exemple). En prenant toutes les graines existantes, on attend d’un bon
-générateur qu’il recouvre tout l’espace des résultats possibles pour les
-$k-$uplets formés avec des nombres aléatoires dans $[0,1]^k$. En
-d’autres termes, il faut que des graines différentes génèrent des
-$k-$uplets différents pour toutes valeurs de $k$.
-
-De nouveau ce genre de tests est très compliqué à tester
-expérimentalement pour $k$ de l’ordre de la période du générateur de
-nombres aléatoires. Des analyses théoriques sont dès lors primordiales,
-mais bien en dehors du champs de ce cours...
-
-Il existe beaucoup d’autres possiblités (il y a des recommandations
-sur le site `http://www.random.org`) pour tester des nombres aléatoires.
-
-Remerciements
-=============
-
-Je voudrais remercier (par ordre alphabétique) les étudiants du cours
-qui ont contribué à améliorer ce polycopié. En espérant que cette liste
-continuera à s’allonger avec les années. Merci à Messieurs
-Borel, Gay-Balmaz, Ibanez, Lovino et Sousa. Je voudrais également remercier A. Malaspinas pour sa relecture et ses corrections.
-
[^1]: Pour ceux que ça intéresse cette série s’obtient à l’aide d’une
série de Taylor.
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