diff --git a/cours.tex b/cours.tex index 28f54ad052a42182e48d631082c946c28d1dbb09..3a543b1f3293af628f2fe058b4e1dbd938675183 100644 --- a/cours.tex +++ b/cours.tex @@ -3331,7 +3331,367 @@ Calculer les intervalles semi-inter-quartiles des exemples que nous avons vus pl \end{exercice} +\section{Exemple du jeu de dé} +On considère un dé à 6 faces. Le lancer de dé est une \textit{expérience aléatoire}, car +on ne peut dire quel sera le résultat avant d'avoir effectué l'expérience. + +Avant de commencer à étudier les probabilités du lancer de dé, et les questions qu'on peut se poser, faisons d'abord un peu de vocabulaire +qui sera utile pour la suite. + +\begin{itemize} +\item[$\bullet$] L'ensemble des résultats possibles du lancer de dé est $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$ et cet ensemble est appelé l'\textit{univers} du lancer de dé. + +\item[$\bullet$] Chaque résultat possible du lancer de dé ($1$, $2$, etc), noté $\omega\in\Omega$, est appelé une \textit{éventualité}. + +\item[$\bullet$] Un ensemble de résultats possibles, par exemple tous les résultats pairs du lancer de dé $A=\{2, 4, 6\}\in\Omega$, s'appelle un \textit{événement}. +Un événement composé d'une seule éventualité est appelé \textit{événement élémentaire}. + +\item[$\bullet$] On dit que l'événement $A$ est \textit{réalisé} si on obtient $2$, $4$, ou $6$ en lançant le dé. + +\item[$\bullet$] \textit{L'événement certain} est l'univers en entier. On est certain de réaliser l'événement. + +\item[$\bullet$] \textit{L'événement impossible} est l'ensemble vide, $A=\emptyset$. Il correspondrait à l'événement obtenir $7$ ou plus en lançant un dé par exemple. + +\item[$\bullet$] Si $A$ est un événement, on note $p(A)$ la \textit{probabilité} que $A$ soit réalisé. +\end{itemize} + +Si maintenant nous voulons connaître la probabilité de tirer $6$, ou encore la probabilité de réaliser $A=\{6\}$. +Cela est assez intuitif pour le cas du dé. Nous avons $6$ éléments dans l'univers +du lancer de dé. La probabilité de réaliser $A=\{6\}$ est donc +\begin{equation} + p(6)=\frac{1}{6}. +\end{equation} +Pour le cas du lancer de dé, on dit qu'on a un processus qui est \textit{équiprobable}. En effet, +la probabilité de réaliser chacun des événements élémentaires est la même. On a en effet la même probabilité de tirer +$1$, $2$, $3$, $4$, $5$, ou $6$. + +Si à présent, on se pose la question de la probabilité de réaliser un tirage pair, $A=\{2,4,6\}$, +alors on trouve +\begin{equation} + p(\mbox{tirer un nombre pair})=\frac{1}{2}. +\end{equation} +De façon générale pour le lancer de dé, on a que la probabilité de réaliser l'événement $A$ est +\begin{equation} +p(A)=\frac{\mbox{nombre d'éléments dans }A}{\mbox{nombre d'éléments dans }\Omega}. +\end{equation} + +Si maintenant, on veut savoir quelle est la probabilité de tirer n'importe quel élément dans l'univers, on a +\begin{equation} +p(\Omega)=\frac{\mbox{nombre d'éléments dans }\Omega}{\mbox{nombre d'éléments dans }\Omega}=1. +\end{equation} +De même la probabilité de réaliser l'événement impossible est de +\begin{equation} +p(\emptyset)=\frac{\mbox{nombre d'éléments dans }\emptyset}{\mbox{nombre d'éléments dans }\Omega}=0. +\end{equation} +On voit ici une propriété fondamentale des probabilités qui est que $0\leq p(A)\leq 1,\ \forall A$. + +La probabilité de ne pas tirer un 6 donc de réaliser l'événement $\bar A=\{1,2,3,4,5\}$ est donné par +$1$ moins la probabilité de réaliser $A=\{6\}$, il vient +\begin{equation} + p(\bar A)=1-p(A)=\frac{5}{6}. +\end{equation} +De même la probabilité de tirer un nombre impair, est donnée par $1$ moins la probabilité de réaliser +l'événement pair +\begin{equation} + p(\{1,3,5\})=1-p(\{2,4,6\})=\frac{1}{2}. +\end{equation} + + +\subsection{Evénements disjoints}\label{subsec_disjoints} +Considérons maintenant deux événements, $A=\{1,2\}$ et $B=\{3,4,5\}$. +Comme $A$ et $B$ n'ont pas d'éléments en commun, on dit que c'est deux événements \textit{disjoints}. +Les probabilités de réalisation de ces événements sont donc +\begin{align} + p(A)&=\frac{2}{6}=\frac{1}{3},\\ + p(B)&=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}. +\end{align} +On va se poser deux questions à présent +\begin{enumerate} + \item On cherche à savoir quelle est la probabilité de réaliser $A$ ou de réaliser $B$, donc de tirer + un dé dont le résultat sera dans l'ensemble $C=A\cup B=\{1,2,3,4,5\}$. Le résultat est + \begin{equation} + p(C)=\frac{5}{6}. + \end{equation} + Une coincidence intéressante (qui n'est en fait pas une coincidence) est que + \begin{equation} + p(C)=p(A)+p(B)=\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{5}{6}. + \end{equation} + \item On cherche à savoir quelle est la probabilité de réaliser $A$ et réaliser $B$ en même temps, + donc de tirer un dé qui sera dans l'ensemble $C=A\cap B=\emptyset$. Ici on a déjà vu + que la probabilité $p(\emptyset)=0$. +\end{enumerate} +On voit donc que si des événements sont disjoints, alors la probabilité de réaliser +l'un ou l'autre des événements est simplement la somme des probabilités de réaliser chacun des événements. +Inversément la probabilité de réaliser les deux événements en même temps est nulle. + +Nous pouvons facilement décomposer $A$ en deux sous événements élémentaires, $A=\{1\}\cup \{2\}$. +On a donc une autre façon de calculer $p(A)$ +\begin{equation} +p(A)=p(\{1\})+p(\{2\})=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}. +\end{equation} +On a donc que la probabilité de réaliser un événement est la somme des événements élémentaires qui le composent. + +\subsection{Evénements complémentaires} +Considérons de nouveau l'événement $A=\{1,2\}$ et cette fois l'événement $B=\Omega\backslash \{1,2\}=\{3,4,5,6\}$. L'événement +$B$ est appelé \textit{l'événement complémentaire} de $A$. Il est noté $B=\bar A$. Les probabilité de réaliser $A$ ou de réaliser +$\bar A$ est la même chose que de réaliser l'événement certain, car $A\cup \bar A=\Omega$. +On vérifie aisément dans ce cas que +\begin{equation} + \Omega=\{1,2\}\cup\{3,4,5,6\}. +\end{equation} +On a donc +\begin{equation} + p(A\cup \bar A)=p(\Omega)=1. +\end{equation} +De plus de ce qu'on a vu précédemment, +on a que +\begin{equation} +p(A\cup \bar A)=p(A)+p(\bar A). +\end{equation} +En combinant ces deux derniers résultats, il vient que +\begin{equation} +p(A)+p(\bar A)=1. +\end{equation} +On en déduit que +\begin{equation} +p(\bar A)=1-p(\bar A)=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}. +\end{equation} +Dans ce cas on peut également calculer à priori $p(B)$ +\begin{equation} +p(B)=\frac{\mbox{nombre d'éléments dans }B}{\mbox{nombre d'éléments dans }\Omega}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}. +\end{equation} +Ce résultat est très important car on calcule facilement $p(\bar A)$ si on connaît $p(A)$. + + + +\subsection{Evénements non-disjoints} +Considérons de nouveau l'événement $A=\{1,2\}$ et cette fois $B=\{2,3,4,5\}$. Les probabilités de réaliser les événements +respectifs sont +\begin{align} + p(A)&=\frac{1}{3},\\ + p(B)&=\frac{2}{3}. +\end{align} +La probabilité de réaliser $A$ et $B$ est maintenant la probabilité de réaliser $C=A\cap B=\{2\}$ +\begin{equation} + p(C)=\frac{1}{6}. +\end{equation} +Si on cherche à présent la probabilité de réaliser $A$ ou $B$, $D=A\cup B=\{1,2,3,4,5\}$, on voit aisément que +\begin{equation} + p(D)=\frac{5}{6}. +\end{equation} +Comme $A$ et $B$ ne sont pas disjoints ont constate +\begin{equation} + \frac{5}{6}=p(D)\neq p(A)+p(B)=1. +\end{equation} +L'inégalité est dûe au fait que dans le cas où on fait la somme $p(A)+p(B)$ on compte à double la probabilité de tirer l'éventualité $2$, +qui est l'intersection de $A$ et de $B$. Afin de corriger donc le calcul de $p(D)$ à partir de la somme $p(A)+p(B)$ il suffit d'enlever +la probabilité de tirer l'intersection $C$. On a donc +\begin{equation} + \frac{5}{6}=p(D)= p(A)+p(B)-p(C)=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}. +\end{equation} +De façon complètement générale, on a la relation suivante pour calculer la probabilité de réaliser l'union de deux événement $A$ et $B$ +\begin{equation} + p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B). +\end{equation} +Il en suit immédiatement que si $A\cap B=\emptyset$, alors +\begin{equation} + p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)=p(A)+p(B)-p(\emptyset)=p(A)+p(B). +\end{equation} + +\subsection{Tirages multiples} + +Jusqu'ici on a lancer le dé une fois et calculé la probabilité liée à ce lancer unique. +A présent, on va tirer le dé plusieurs fois et calculer les probabilité d'obtenir des séquences +de réalisations. Pour notre exemple on va prendre un cas où on tire le dé deux fois successivement. +Ce type de tirage est appelé \textit{tirage successif avec remise}, car les deux tirages sont +successifs et indépendants entre eux (on va tirer deux fois le même dé). L'univers de +cette expérience est la combinaison de tous les résultats obtenus avec chacun des dés +\begin{equation} + \Omega=\{11,12,13,14,15,16,21,22,23,24,25,26,...,61,62,63,64,65,66\}. +\end{equation} +Il y a $6\times 6=6^2=36$ résultats possibles à ce tirage. Il faut noter ici que l'ordre dans lequel le tirage +a lieu est important; le tirage $26$ est différent du tirage $62$. On verra par la suite des exemples ou cela n'est pas le cas. + +On cherche à savoir quelle est la probabilité d'obtenir l'événement $A=\{26\}$. + +Comme précédemment la probabilité de réaliser l'événement $A$ est le nombre d'éléments dans $A$ divisé par le nombre d'éléments dans $\Omega$. +La probabilité est donc immédiatement obtenue +\begin{equation} + p(A)=\frac{1}{36}. +\end{equation} +Une autre façon de visualiser ce genre de réalisation est de l'écrire sous forme d'arbre +(voir la figure \ref{fig_arbre}). +\begin{figure}[htp] +\includegraphics[width=\textwidth]{figs/arbre.pdf} +\caption{Représentation du tirage $26$ sous forme d'arbre.}\label{fig_arbre} +\end{figure} +Comme pour le cas à un tirage, tout tirage successif de dés est équiprobable et la probabilité +de chaque tirage est de $1/36$. + +Une autre façon de calculer la probabilité d'obtenir $A=\{26\}$ est de constater que la probabilié +d'obtenir ce tirage succesif est la probabilité de tirer $2$, puis la probabilité de tirer $6$. La probabilité +de cet enchaînement est obtenu en multipliant les événements élémentaires +\begin{equation} + p(\{26\})=p(\{2\})\cdot p(\{6\})=\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}. +\end{equation} +\begin{figure}[htp] +\includegraphics[width=\textwidth]{figs/arbre2.pdf} +\caption{Représentation du tirage $26$ sous forme d'arbre avec les probabilités associées.}\label{fig_arbre2} +\end{figure} +Afin de calculer la probabilité du tirage $26$ il suffit de suivre le chemin menant de la racine à la feuille correspondante +et de multiplier les probabilités inscrites sur chacune des branches. + +Si à présent, nous voulons savoir quelle est la probabilité de tirer un $2$ ou un $4$ avec le premier dé et un nombre pair avec le second, +on a trois façons de calculer le résultat. La façon compliquée, où on compte toutes les possibilités. L'événement +précédent s'écrit +\begin{equation} + A=\{22,24,26,42,44,46\}. +\end{equation} +On a donc que $p(A)$ est donné par +\begin{equation} + p(A)=\frac{\mbox{nombre d'éléments dans }A}{\mbox{nombre d'éléments dans }\Omega}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}. +\end{equation} +L'autre façon (plus simple) est d'utiliser la propriété du produit des probabilité. Nous savons que la probabilité de tirer un +$2$ ou un $4$ avec le premier dé est de $1/3$, puis la probabilité de tirer un nombre pair avec le deuxième est de +$1/2$. On a donc finalement que +\begin{equation} + p(A)=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{6}. +\end{equation} +Finalement, on peut aussi utiliser la représentation sous forme d'arbre +où on somme simplement les probabilités de chacun des éléments de $A$ +(voir figure \ref{fig_arbre3}). +\begin{figure}[htp] +\includegraphics[width=\textwidth]{figs/arbre3.pdf} +\caption{Représentation de l'événement $A=\{22,24,26,42,44,46\}$ sous forme d'arbre avec les probabilités associées. +Toutes les probabilités et tirages possibles associés aux branches ne sont pas affichées pour simplifier +l'affichage.}\label{fig_arbre3} +\end{figure} +Comme vu dans la section \ref{subsec_disjoints}, il suffit de prendre la somme des +probabilités des événements élémentaires +\begin{align} + p(A)&=p(\{22\})+p(\{24\})+p(\{26\})+p(\{42\})+p(\{44\})+p(\{46\})\nonumber\\ + &=\frac{1}{36}+\frac{1}{36}+\frac{1}{36}+\frac{1}{36}+\frac{1}{36}+\frac{1}{36}\nonumber\\ + &=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}. +\end{align} + +Si à présent l'ordre dans lequel les dés sont tirés n'a plus d'importance le calcul de probabilités change un peu. +On désire savoir quelle est la probabilité d'obtenir $26$ dans un ordre arbitraire. On peut donc obtenir +cette combinaison en tirant $26$ ou en tirant $62$. On a donc $A=\{26,62\}$. La probabilité de réaliser $A$ +est donc +\begin{equation} + p(A)=\frac{2}{36}=\frac{1}{18}. +\end{equation} +On peut calculer cette probabilité de nouveau avec l'arbre ou en comptant. Une façon de nouveau plus simple +dans bien des cas est d'utiliser les produits de probabilités. La probabilité de tirer +$26$ ou $62$ est la probabilité de tirer d'abord $2$ ou $6$, puis de tirer le nombre restant ($2$ si on a d'abord tiré $6$ +ou $6$ si on a d'abord tiré $2$). La probabilité de tirer $2$ ou $6$ est de $1/3$, puis la probabilité de tirer +le nombre restant est de $1/6$. On a donc que +\begin{equation} + p(A)=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{18}. +\end{equation} + +\begin{exercices} +\hfill\break + \begin{enumerate} + \item Calculer la probabilité d'obtenir $2$ comme la somme des deux nombres tirés par deux dés. + \item Calculer la probabilité d'obtenir $3,4,5,6,7,8,9,10,11,12$ comme la somme des deux nombres tirés par deux dés. + \item Calculer la probabilité d'obtenir $7$ comme la somme des deux nombres tirés par deux dés. + \item Calculer la probabilité d'obtenir $6$ soit avec 1 soit avec 2 dés. + \item Déterminer le nombre de combinaisons possibles avec 3, 4, 5 dés. Pouvez vous généraliser à $n$ dés? + \item Soit un tirage aléatoire offrant 2 possibilité (pile ou face par exemple). Quel est le nombre de combinaisons possibles + si on tire $n$ fois? Pouvez-vous généraliser pour un tirage aléatoire offrant $m$ possibilités qu'on tire $n$ fois? + \end{enumerate} + +\end{exercices} + +\section{Exemple du lotto} +Dans un lotto on a dans un sac un nombre de jetons numérotés, disons pour l'exemple entre 1 et 6, +qui sont tirés successivement. Une fois un jeton tiré, il ne sera pas remis dans le sac. +On appelle ce genre de tirage \textit{sans remise}. Contrairement au cas des dés vus dans +la section précédente qui était `\textit{avec remise}. +On tire un nombre fixé de jetons, disons 3. On souhaite déterminer la probabilité d'obtenir +une suite donnée de 2 numéros, disons $25$. Disons que pour cet exemple l'ordre du tirage a de l'importance +(ce qui n'est pas le cas du lotto). + +Afin de calculer cette probabilité le fait qu'on effectue un tirage avec remise est promordial. +En effet considérons le cas initial illustré dans la figure \ref{fig_loto}. +\begin{figure}[htp] +\includegraphics[height=1.8truecm]{figs/loto.pdf} +\caption{Les six numéros présents initialement dans le sac.}\label{fig_loto} +\end{figure} +Pendant le premier tirage, nous tirons le numéro 2 (voir figure \ref{fig_loto2}). Notons que le tirage du 2 a une probabilité $\frac{1}{6}$. +\begin{figure}[htp] +\includegraphics[height=1.8truecm]{figs/loto2.pdf} +\caption{Le numéro 2 est tiré lors du premier tirage.}\label{fig_loto2} +\end{figure} +Il est donc enlevé du sac et il nous reste uniquement 5 chiffres parmis lesquels choisir +(les chiffres $1$, $3$, $4$, $5$, et $6$, comme dans la figure \ref{fig_loto3}). +\begin{figure}[htp] +\includegraphics[height=1.8truecm]{figs/loto3.pdf} +\caption{Il ne reste que 5 chiffres dans le sac.}\label{fig_loto3} +\end{figure} +Comme il ne nous reste que 5 chiffres, la probabilité de tirer un des nombres restant, +disons le $5$, est de $\frac{1}{5}$ (voir la figure \ref{fig_loto4}). +\begin{figure}[htp] +\includegraphics[height=1.8truecm]{figs/loto4.pdf} +\caption{Il ne reste que 5 chiffres dans le sac et nous tirons le 5.}\label{fig_loto4} +\end{figure} +Le 5 sera lui aussi retiré et il ne restera que 4 numéros dans le sac et ainsi de suite. + +On voit donc que la probabilité de tirer la suite ordonnée $25$ est de +\begin{equation} + p(\{25\})=p(\{2\})\cdot p(\{5\})=\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{5}=\frac{1}{30}. +\end{equation} +A présent, si nous considérons que l'ordre n'a pas d'importance, on a comme dans la section précédente +que l'événement qui nous intéresse est $A=\{25,52\}$. On peut donc décomposer +ce cas en 2 et dire qu'on a dans un premier temps la probabilité de tirer $2$ ou $5$ parmis +$6$ nombres, puis on a la probabilité de tirer le $5$ ou le $2$ (respectrivement si on a tiré $2$ ou $5$) parmis 5. +Les deux probabilité sont donc données respectivement par $p(\{2,5\})=\frac{2}{6}$ puis par $p(\{5,2\}\backslash \{2\mbox{ ou }5)=\frac{1}{5}$. + +\begin{exercices} +\hfill\break + \begin{enumerate} + \item Le jeu Eruomillions consiste en un tirage de 5 numéros parmis 50 possible, puis par le tirage de 2 ``étoiles'' parmis 11 possibles. + Déterminez la probabilité de trouver la bonne combinaison à un tirage. + \item Le jeu du swiss lotto, consiste au tirage de 5 numéros parmis 42 possibles, puis au tirage d'un numéros parmis 6. Calculez la probabilité de + gagner au swiss lotto.. + \end{enumerate} +\end{exercices} + +\section{Quelques exercices} +Afin de continuner avec ces concepts de tirages aléatoires avec ou sans remise +de suite ordonnées ou non, nous allons faire quelques exercices. Il peut se révéler utile de dessiner un arbre pour ces exercices. +\begin{enumerate} + \item Dans une urne se trouvent 2 boules blanches et 3 boules noires. On tire successivement deux boules sans remise. +Calculer et comparer les probabilités des deux événements suivants +\begin{itemize} + \item[$\bullet$] Tirer deux boules de même couleur. + \item[$\bullet$] Tirer deux boules de couleurs différentes. +\end{itemize} +\item Une bille, lâchée en $O$ tombe dans l'une des trois boîtes $A$, $B$, ou $C$. A chaque bifurcation, la bille +tombe à gauche avec la probabilité de 0.25 et à droite avec la probabilité de 0.75 (voir figure \ref{fig_bille}) +\begin{figure}[htp] +\begin{center} +\includegraphics[height=2.8truecm]{figs/bille.pdf} +\end{center} +\caption{Une bille lâchée en $O$ tombe dans la boîte $A$, $B$, ou $C$.}\label{fig_bille} +\end{figure} +\begin{itemize} + \item[$\bullet$] Calculer les probabilités $p(A)$, $p(B)$, $p(C)$ pour qu'une bille lâchée de O tombe respectivement +dans la boîte $A$, $B$ ou $C$. +\item[$\bullet$] On lâche deux billes en $O$. Calculer la probabilité pour que les deux billes tombent dans la même boîte. +\item[$\bullet$] On lâche trois billes en $O$. Calculer la probabilité d'avoir une bille dans chaque boîte. +\item[$\bullet$] On lâche dix billes en $O$. Calculer la probabilité d'avoir au moins trois billes dans la boîte B. +\end{itemize} +\item A la naissance, la probabilité qu'un enfant soit un garçon +est de $p(G)=0.514$. +\begin{itemize} + \item[$\bullet$] Calculer et la probabilité qu'un enfant soit une fille. + \item[$\bullet$] On considère la naissance de deux enfants. Calculer et la probabilité que les deux enfants sooient de même sexe. + \item[$\bullet$] On considère la naissance de deux enfants. Calculer et la probabilité que les deux enfants soient de sexes opposés. +\end{itemize} +\end{enumerate}