From c241a59314c987415c1777de2c35a9b5c4f6cb44 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Jean-Paul Dax <karlmarx79@hotmail.com>
Date: Fri, 4 Nov 2016 11:04:01 +0100
Subject: [PATCH 01/30] ajout de (x)

---
 cours.tex | 18 +++++++++---------
 1 file changed, 9 insertions(+), 9 deletions(-)

diff --git a/cours.tex b/cours.tex
index a77cada..885b9c6 100644
--- a/cours.tex
+++ b/cours.tex
@@ -662,19 +662,19 @@ Si $g$ est définie comme $g(x)=x^{-1}$ et $f(x)=3x^2+2$, alors la primitive
 \subsection{Intégration par parties}
 La dérivation d'un produit de fonction $f\cdot g$ s'écrit
 \begin{equation}
- (fg)'=f' g+f g'.
+ (f(x)g(x))'=f'(x) g(x)+f(x) g'(x).
 \end{equation}
 En intégrant cette équation on obtient
 \begin{equation}
- fg=\int f' g\dd x+\int f g'\dd x.
+ f(x)g(x)=\int f'(x) g(x)\dd x+\int f(x) g'(x)\dd x.
 \end{equation}
-Une primitive de la forme $\int f' g\dd x$ peut se calculer de la façon suivante
+Une primitive de la forme $\int f'(x) g(x)\dd x$ peut se calculer de la façon suivante
 \begin{equation}
- \int f' g\dd x=fg-\int f g'\dd x.
+ \int f'(x) g(x)\dd x=f(x)g(x)-\int f(x) g'(x)\dd x.
 \end{equation}
 De façon similaire si nous nous intéressons à une intégrale définie
 \begin{equation}
- \int_a^b f' g\dd x=\left.(fg)\right|_a^b-\int_a^b f g'\dd x.
+ \int_a^b f'(x) g(x)\dd x=\left.(f(x)g(x))\right|_a^b-\int_a^b f(x) g'(x)\dd x.
 \end{equation}
 Le choix des fonctions est complètement arbitraire. 
 Néanmoins, le but de cette transformation est de remplacer une intégrale par une autre dont on connaîtrait la solution.
@@ -687,11 +687,11 @@ Des ``règles'' pour utiliser cette technique seraient que
 \begin{exemples}
 Calculer les primitives suivantes
  \begin{enumerate}
-  \item $\int x e^x\dd x$. $g=x$, $f'=e^x$ et donc $g'=1$, $f=e^x$. Il vient
+  \item $\int x e^x\dd x$. $g(x)=x$, $f'(x)=e^x$ et donc $g'(x)=1$, $f(x)=e^x$. Il vient
   \begin{equation}
     \int x e^x=x e^x-\int e^x\dd x=x e^x-e^x+c.
   \end{equation}
-  \item $\int \cos(x)\sin(x)\dd x$. $g= \cos(x)$, $f'=\sin(x)$ et donc $g'=\sin(x)$, $f=\cos(x)$. Il vient
+  \item $\int \cos(x)\sin(x)\dd x$. $g= \cos(x)$, $f'(x)=\sin(x)$ et donc $g'(x)=\sin(x)$, $f(x)=\cos(x)$. Il vient
   \begin{align}
     &\int \cos(x)\sin(x)\dd x=\sin^2(x)-\int \cos(x)\sin(x)\dd x\nonumber\\
     \Rightarrow &\int \cos(x)\sin(x)\dd x=\frac{1}{2}\sin^2(x).
@@ -702,11 +702,11 @@ Calculer les primitives suivantes
 \end{exemples}
 Il est également possible d'enchaîner plusieurs intégrations par parties.
 \begin{exemple}
-L'intégrale de $\int x^2 e^x\dd x$. En posant $g=x^2$, $f'=e^x$ et donc $g'=2x$, $f=e^x$. Il vient
+L'intégrale de $\int x^2 e^x\dd x$. En posant $g(x)=x^2$, $f'(x)=e^x$ et donc $g'(x)=2x$, $f(x)=e^x$. Il vient
 \begin{equation}
  \int x^2 e^x\dd x=x^2e^x-2\int x e^x\dd x.
 \end{equation}
-On pose de façon similaire $g=x$, $f'=e^x$ et donc $g'=1$, $f=e^x$ et il vient
+On pose de façon similaire $g(x)=x$, $f'(x)=e^x$ et donc $g'(x)=1$, $f(x)=e^x$ et il vient
 \begin{equation}
 \int x^2 e^x\dd x=x^2e^x-2\left(x e^x -\int e^x\dd x\right)=x^2e^x-2x e^x +2e^x+c.
 \end{equation}
-- 
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From 98aecddd060f7726b628327c77a5fe14edbb2e6c Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: mathintro <orestis.malaspinas@hesge.ch>
Date: Fri, 4 Nov 2016 11:54:12 +0100
Subject: [PATCH 02/30] corrcetion typos

---
 cours.tex | 2 +-
 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-)

diff --git a/cours.tex b/cours.tex
index 885b9c6..f9b0d55 100644
--- a/cours.tex
+++ b/cours.tex
@@ -691,7 +691,7 @@ Calculer les primitives suivantes
   \begin{equation}
     \int x e^x=x e^x-\int e^x\dd x=x e^x-e^x+c.
   \end{equation}
-  \item $\int \cos(x)\sin(x)\dd x$. $g= \cos(x)$, $f'(x)=\sin(x)$ et donc $g'(x)=\sin(x)$, $f(x)=\cos(x)$. Il vient
+  \item $\int \cos(x)\sin(x)\dd x$. $g= \cos(x)$, $f'(x)=\sin(x)$ et donc $g'(x)=-\sin(x)$, $f(x)=-\cos(x)$. Il vient
   \begin{align}
     &\int \cos(x)\sin(x)\dd x=\sin^2(x)-\int \cos(x)\sin(x)\dd x\nonumber\\
     \Rightarrow &\int \cos(x)\sin(x)\dd x=\frac{1}{2}\sin^2(x).
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From 6f226678810847e425a82bcc79a238f8b29d00c3 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: mathintro <orestis.malaspinas@hesge.ch>
Date: Tue, 15 Nov 2016 05:38:14 +0100
Subject: [PATCH 03/30] =?UTF-8?q?ajout=20d=C3=A9tails=20tp?=
MIME-Version: 1.0
Content-Type: text/plain; charset=UTF-8
Content-Transfer-Encoding: 8bit

---
 tpIntegrales/tpIntegrales.tex | 21 +++++++++++++++------
 1 file changed, 15 insertions(+), 6 deletions(-)

diff --git a/tpIntegrales/tpIntegrales.tex b/tpIntegrales/tpIntegrales.tex
index b4c8454..e780298 100644
--- a/tpIntegrales/tpIntegrales.tex
+++ b/tpIntegrales/tpIntegrales.tex
@@ -23,9 +23,11 @@
 Le but de ce travail pratique est d'implanter les méthodes numériques de calcul d'intégrales que nous avons vues en cours,
 afin de les comprendre de façon un peu plus approfondie.
 
-Dans un premier temps, le but est donc d'écrire un code où l'utilisateur spécifie une fonction $f(x)$ gentille (pas besoin de vérifier 
+Dans un premier temps, le but est donc d'écrire un code où l'utilisateur spécifie une fonction $f(x)$ qu'on 
+suppose ``gentille'' (pas besoin de vérifier 
 si elle est bien définie partout par exemple), un intervalle $[a,b]$, et 
-un nombre de subdivisions $N$. Le code devra rendre la valeur numérique obtenue pour $I(a,b,N,f(x))$ pour trois méthodes 
+un nombre de subdivisions $N$. Le code devra rendre la valeur numérique obtenue pour l'intégrale de la fonction $I(a,b,N,f(x))$ 
+pour trois méthodes 
 vues en cours (méthode du rectangle à gauche, méthode du trapèze et méthode de Simpson).
 
 Puis vous devrez effectuer une étude de l'erreur pour chacune de ces méthodes. Il s'agira de prendre une fonction $f(x)$ 
@@ -44,16 +46,23 @@ Ces résultats devront être illustrés sous forme de graphique ($E$ en fonction
 Finalement, une comparaison des performances des différentes méthodes devra être effectuée.
 On choisira des $\varepsilon=0.1,0.01,0.001$ (au sens du cours) pour savoir si la convergence de la méthode est atteinte.
 On comparera le temps qu'il faut pour calculer l'intégrale avec les différentes méthodes
-avec un nombre de point permettant d'avoir atteint la convergence pour chaque $\varepsilon$.
+avec une résolution permettant d'avoir atteint la convergence pour chaque $\varepsilon$
+(à présenter sous forme de tableau). 
+Rappelons ici que nous avons convergence si pour un $N$ donné, on a
+\begin{equation}
+ \left|\frac{I(a,b,N,f(x))-I(a,b,2\cdot N,f(x))}{I(a,b,2\cdot N,f(x))}\right|<\varepsilon.
+\end{equation}
 
-Vous devrez rendre un petit rapport (2-3 pages) qui explique ce que vous avez fait et dans quel but. Il devra contenir
+Vous devrez rendre un petit rapport (3-4 pages) qui explique ce que vous avez fait et dans quel but. Il devra contenir
 une courte introduction théorique (rappelant les formules et le but du travail), une partie expliquant dans les grandes lignes 
 l'algorithme (pas de copier-coller du code), une partie illustrant les résultats obtenus, et finalement
 une conclusion résumant les résultats.
 
-Le travail peut-être effectué en groupe de deux, mais les rapports doivent être individuels (le code peut être identique, n'oubliez pas de mentionner 
+Le travail peut-être effectué en groupe de deux, mais les rapports doivent être individuels 
+(le code peut être identique, n'oubliez pas de mentionner 
 explicitement si vous avez effectué le code à deux).  Je dois pouvoir exécuter le code
-afin de pouvoir reproduire les résultats présentés dans le rapport. Je dois aussi pouvoir définir ma propre fonction à intégrer de façon simple.
+afin de pouvoir reproduire les résultats présentés dans le rapport. Je dois aussi pouvoir 
+définir ma propre fonction à intégrer de façon simple.
 Vous pouvez m'envoyer le rapport au format pdf et le code par e-mail.
 
 La note sera une combinaison entre le code rendu et le rapport (moitié/moitié). 
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From 8bc2c9f61878a721ca63bf8acb2e2b7466c8bdf9 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Orestis <karlmarx79@hotmail.com>
Date: Thu, 17 Nov 2016 15:09:25 +0100
Subject: [PATCH 04/30] ajouts details

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 tpIntegrales/tpIntegrales.tex | 16 +++++++++-------
 1 file changed, 9 insertions(+), 7 deletions(-)

diff --git a/tpIntegrales/tpIntegrales.tex b/tpIntegrales/tpIntegrales.tex
index e780298..f5da692 100644
--- a/tpIntegrales/tpIntegrales.tex
+++ b/tpIntegrales/tpIntegrales.tex
@@ -15,7 +15,7 @@
 
 \title{Travail pratique sur les intégrales}
 % \author{Orestis Malaspinas}
-\date{A rendre pour le XX.YY.2016}
+\date{A rendre pour le 09.12.2016}
 
 \begin{document}
 \maketitle
@@ -37,14 +37,16 @@ f(x)=\frac{1}{x},
 \end{equation}
 et un intervalle sur lequel la fonction est bien définie. Choisissons ici $[a,b]$ avec $a=1$ et $b=5$. 
 On peut donc calculer l'intégrale exactement et on notera ce résultat exact $I_{exact}(a,b,f(x))$.
-Il s'agira de calculer l'erreur commise par l'évaluation de la fonction $I(a,b,N,f(x))$ de la façon suivante
+Il s'agira de calculer l'erreur commise par l'évaluation de la fonction $I(a,b,N,f(x))$ 
+pour $N=5, 10, 50, 100, 500, 1000$  et pour chacune des méthodes implantées de la façon suivante
 \begin{equation}
  E(N)=\left|\frac{I_{exact}(a,b,f(x))-I(a,b,N,f(x))}{I_{exact}(a,b,f(x))}\right|
 \end{equation}
 Ces résultats devront être illustrés sous forme de graphique ($E$ en fonction de $N$ en échelle log-log).
+Que constatez-vous?
 
 Finalement, une comparaison des performances des différentes méthodes devra être effectuée.
-On choisira des $\varepsilon=0.1,0.01,0.001$ (au sens du cours) pour savoir si la convergence de la méthode est atteinte.
+Pour ce faire, on choisira $\varepsilon=0.1,0.01,0.001$ (au sens du cours) pour savoir si la convergence de la méthode est atteinte.
 On comparera le temps qu'il faut pour calculer l'intégrale avec les différentes méthodes
 avec une résolution permettant d'avoir atteint la convergence pour chaque $\varepsilon$
 (à présenter sous forme de tableau). 
@@ -58,12 +60,12 @@ une courte introduction théorique (rappelant les formules et le but du travail)
 l'algorithme (pas de copier-coller du code), une partie illustrant les résultats obtenus, et finalement
 une conclusion résumant les résultats.
 
-Le travail peut-être effectué en groupe de deux, mais les rapports doivent être individuels 
-(le code peut être identique, n'oubliez pas de mentionner 
-explicitement si vous avez effectué le code à deux).  Je dois pouvoir exécuter le code
+Le travail peut-être effectué en groupe de deux ou seul
+(n'oubliez pas de mentionner les deux noms sur le rapport et dans le code si le travail est fait à deux). 
+Je dois pouvoir exécuter le code
 afin de pouvoir reproduire les résultats présentés dans le rapport. Je dois aussi pouvoir 
 définir ma propre fonction à intégrer de façon simple.
-Vous pouvez m'envoyer le rapport au format pdf et le code par e-mail.
+Le rapport et le code doivent être déposés sur cyberlearn.
 
 La note sera une combinaison entre le code rendu et le rapport (moitié/moitié). 
 
-- 
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From 098faa6ee29eee3bb7f947a5e8552b3fa3c870a5 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Jean-Paul Dax <karlmarx79@hotmail.com>
Date: Fri, 25 Nov 2016 14:54:05 +0100
Subject: [PATCH 05/30] a-b -> b-a

---
 cours.tex | 4 ++--
 1 file changed, 2 insertions(+), 2 deletions(-)

diff --git a/cours.tex b/cours.tex
index f9b0d55..ff8c7c6 100644
--- a/cours.tex
+++ b/cours.tex
@@ -776,7 +776,7 @@ Calculer les primitives suivantes par changement de variable
 Dans certains cas, il est impossible d'évaluer analytiquement une intégrale ou alors elle est très compliquée à calculer.
 Dans ce cas, on va approximer l'intégrale et donc commettre une erreur.
 
-Pour ce faire on va subdiviser l'espace d'intégration $[a,b]$ en $N$ pas équidistants (pour simplifier) $\delta x=(a-b)/N$,
+Pour ce faire on va subdiviser l'espace d'intégration $[a,b]$ en $N$ pas équidistants (pour simplifier) $\delta x=(b-a)/N$,
 et approximer l'intégrale par une somme finie
 \begin{equation}
  \int_a^bf(x)\dd x=\sum_{i=0}^{N} \delta x f(a+i\delta x) g_i+E(a,b,\delta x)\cong\sum_{i=0}^{N} \delta x f(a+i\delta x) g_i,
@@ -877,7 +877,7 @@ En résolvant ce système (nous n'écrivons pas la solution ici) nous pouvons à
 l'intégrale 
 \begin{align}
  I&=\int_a^b f(x)\dd x\cong\int_a^b (cx^2+dx+e)\dd x,\nonumber\\
- &=\frac{a-b}{6}(f(a)+f(b)+4f((a+b)/2))+\mathcal{O}(\delta x^4).
+ &=\frac{b-a}{6}(f(a)+f(b)+4f((a+b)/2))+\mathcal{O}(\delta x^4).
 \end{align}
 
 On peut donc généraliser affiner cette formule en rajoutant des intervalles comme précédemment
-- 
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From d8f889ae30ca34006282743fccc31b6dd33edabc Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Jean-Paul Dax <karlmarx79@hotmail.com>
Date: Thu, 8 Dec 2016 14:42:16 +0100
Subject: [PATCH 06/30] ajout mru

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 cours.tex | 58 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 58 insertions(+)

diff --git a/cours.tex b/cours.tex
index ff8c7c6..97cf31e 100644
--- a/cours.tex
+++ b/cours.tex
@@ -898,6 +898,64 @@ Cette méthode permet d'évaluer exactement des polynômes d'ordre 3, $f(x)=ax^3
 Pour illustrer le concept d'équations différentielles, nous allons considérer pour commencer des systèmes
 qui évoluent dans le temps (évolution d'une population, taux d'intérêts, circuits électriques, ...).
 
+\subsection{Mouvement rectiligne uniforme}
+
+Imaginons que nous connaissons la fonction décrivant le vitesse d'une particle au cours du temps et 
+notons la $v(t)$. Nous savons également que la vitesse d'une particule est relié à l'évolution au cours du temps 
+de sa position. Cette dernière peut être notée, $x(t)$.
+En particulier, nous avons que la vitesse n'est rien d'autre que la dérivée de la position. On peut onc écrire 
+une équation reliant la vitesse à la position
+\begin{equation}
+ x'(t)=v(t).
+\end{equation}
+Cette équation est appelée \textit{équation différentielle}, car elle fait intervernir non seulement les fonctions $x(t)$ et $v(t)$, mais également 
+la dérivée de la fonction $x(t)$. Si maintenant nous précisons ce que vaut la fonction $v(t)$ nous pourrons résoudre cette équation.
+Comme le nom de la sous-section le laisse entendre, nous nous intéressons à un mouvement rectiligne uniforme, qui a la particularité
+de décrire le mouvement d'un objet qui se déplace à vitesse constante. On a donc
+\begin{equation}
+ v(t)=v.
+\end{equation}
+Nous cherchons donc à résoudre l'équation différentielle
+\begin{equation}
+ x'(t)=v.
+\end{equation}
+Ou en d'autres termes, nous cherchons la fonction dont la dérivée donne $C$\footnote{Cette formulation devrait vous rappeler ce que nous avons vu au chapitre précédent}. 
+Vous savez sans doute que l'ensemble de fonctions satisfaisant la contrainte précédente est
+\begin{equation}
+ x(t)=v\cdot t+B,
+\end{equation}
+où $B$ est une constante arbitraire. On a donc la solution générale de cette équation différentielle qui n'est pas unique, mais qui donne une infinité
+de solution (comme quand nous avons calculé la primitive d'une fonction au chapitre précédent). Afin de trouver une solution unique,
+nous devons imposer une ``condition intiale'' à notre équation différentielle. En effet, si nous imposons la condition intiale
+\begin{equation}
+ x(t_0)=x_0, 
+\end{equation}
+il vient
+\begin{equation}
+ x(t_0)=x_0=v\cdot t_0+B \Leftrightarrow B=x_0-v\cdot t_0.
+\end{equation}
+Finalement, la solution de l'équation différentielle est donnée par
+\begin{equation}
+ x(t)=v\cdot (t-t_0)+x_0.
+\end{equation}
+
+\begin{remarque}
+La solution de l'équation différentielle
+\begin{equation}
+ x'(t)=v,\ x(t_0)=x_0,
+\end{equation}
+revient à calculer 
+\begin{align*}
+ \int x'(t)\dd t=\int v \dd t,\\
+ x(t)=v\cdot t + B.
+\end{align*}
+\end{remarque}
+
+\subsection{Mouvement rectiligne uniformément accéléré}
+
+Dans le cas du mouvement rectiligne d'un objet 
+
+
 \subsection{Évolution d'une population}
 
 Imaginons une colonie de bactéries dont nous connaissons le taux de reproduction $r$. Nous connaissons le nombre de
-- 
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From e251d2ff9bb2bd93ae43f1f9a94ec812be61c147 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Jean-Paul Dax <karlmarx79@hotmail.com>
Date: Thu, 8 Dec 2016 16:27:16 +0100
Subject: [PATCH 07/30] ajout mrua

---
 cours.tex | 65 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++-
 1 file changed, 64 insertions(+), 1 deletion(-)

diff --git a/cours.tex b/cours.tex
index 97cf31e..91f63a9 100644
--- a/cours.tex
+++ b/cours.tex
@@ -953,8 +953,71 @@ revient à calculer
 
 \subsection{Mouvement rectiligne uniformément accéléré}
 
-Dans le cas du mouvement rectiligne d'un objet 
+Dans le cas du mouvement rectiligne d'un objet dont on le connaît que l'accélération, $a(t)$, on peut également écrire une équation différentielle
+qui décrirait l'évolution de la position de l'objet en fonction du temps. En effet, l'accélération d'un objet est la deuxième dérivée 
+de la position, soit
+\begin{equation}
+x''(t)=a(t),
+\end{equation}
+ou encore la première dérivée de la vitesse.
+\begin{align}
+v'(t)&=a(t),\\
+x'(t)&=v(t).
+\end{align}
+
+Par simplicité supposons que l'accélération est constante, $a(t)=a$. On doit donc résoudre\footnote{On cherche la fonction dont la deuxième dérivée est une constante, $a$.}
+\begin{equation}
+x''(t)=a,
+\end{equation}
+ou 
+\begin{align}
+v'(t)&=a,\\
+x'(t)&=v(t).\label{eq_xpv}
+\end{align}
+Commen\c cons pas le système d'équations ci-dessus. On commence par résoudre 
+la première équation pour $v(t)$ et on a
+\begin{equation}
+ v(t)=a\cdot t+C.
+\end{equation}
+En substituant ce résultat dans l'équation \eqref{eq_xpv}, on a
+\begin{equation}
+ x'(t)=a\cdot t+C.
+\end{equation}
+On peut donc directement intégrer des deux côtés comme vu dans la sous-section précédente
+\begin{align}
+ \int x'(t)\dd t&=\int a\cdot t+C\dd t,\nonumber\\
+ x(t)&=\frac{a}{2}\cdot t^2+C\cdot t + D.
+\end{align}
+On a donc que la position d'un objet en mouvement rectiligne uniformément accéléré est donné par une
+parabole. Cette équation ci-dessus néanmoins a encore deux constante indéterminées. Pour les déterminer, on doit donc imposer
+deux conditions intiales. Une possibilité est d'imposer une condition initiale par équation
+\begin{equation}
+ v(t_0)=v_0,\mbox{ et } x(t_0)=x_0.
+\end{equation}
+On obtient donc 
+\begin{equation}
+ v(t_0)=v_0=a\cdot t_0+C \Leftrightarrow C=v_0-a\cdot t_0,
+\end{equation}
+et
+\begin{equation}
+ x(t_0)=x_0=\frac{a}{2}\cdot t_0^2+D \Leftrightarrow D=x_0-\frac{a}{2}\cdot t_0^2.
+\end{equation}
+Finalement la solution est donc
+\begin{equation}
+ x(t)=\frac{a}{2}\cdot (t^2-t_0^2)+v_0\cdot (t-t_0)+x_0.
+\end{equation}
 
+\begin{remarque}
+La solution de l'équation différentielle peut également se calculer de la façon suivante
+\begin{equation}
+ x''(t)=av,\ x(t_0)=x_0,\ v(t_0)=v_0.
+\end{equation}
+revient à calculer 
+\begin{align*}
+ \int \int x''(t)\dd t\dd t=\int \int a \dd t\dd t,\\
+ x(t)=\frac{a}{2}t^2+C\cdot t + D.
+\end{align*}
+\end{remarque}
 
 \subsection{Évolution d'une population}
 
-- 
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From 85a954314d81d3e5177ac650ce1db1d42a6496f6 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Orestis <karlmarx79@hotmail.com>
Date: Thu, 8 Dec 2016 16:57:02 +0100
Subject: [PATCH 08/30] correction mineures

---
 cours.tex | 13 +++++++------
 1 file changed, 7 insertions(+), 6 deletions(-)

diff --git a/cours.tex b/cours.tex
index f9b0d55..f3f4682 100644
--- a/cours.tex
+++ b/cours.tex
@@ -876,19 +876,20 @@ $(f(a+b)/2)$. On se retrouve donc avec trois équations à trois inconnues
 En résolvant ce système (nous n'écrivons pas la solution ici) nous pouvons à présent évaluer 
 l'intégrale 
 \begin{align}
- I&=\int_a^b f(x)\dd x\cong\int_a^b (cx^2+dx+e)\dd x,\nonumber\\
- &=\frac{a-b}{6}(f(a)+f(b)+4f((a+b)/2))+\mathcal{O}(\delta x^4).
+ I&\cong\int_a^b f(x)\dd x\cong\int_a^b (cx^2+dx+e)\dd x,\nonumber\\
+ &=\frac{a-b}{6}(f(a)+f(b)+4f((a+b)/2)).
 \end{align}
 
 On peut donc généraliser affiner cette formule en rajoutant des intervalles comme précédemment
 et en répétant cette opération pour chaque intervalle.
 
 Il vient donc que 
-\begin{equation}
- I=\frac{\delta x}{6}\sum_{i=0}^{N-1}\left[f(a+i\cdot \delta x)+f(a+(i+1)\cdot\delta x)+4f(a+(i+1/2)\cdot\delta x)\right].
-\end{equation}
+\begin{align}
+ I&=\frac{\delta x}{6}\sum_{i=0}^{N-1}\left[f(a+i\cdot \delta x)+f(a+(i+1)\cdot\delta x)\right.\nonumber\\
+ &\left.+4f(a+(i+1/2)\cdot\delta x)\right]+\mathcal{O}(\delta x^4).
+\end{align}
 
-Cette méthode permet d'évaluer exactement des polynômes d'ordre 3, $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$.
+Cette méthode permet d'évaluer exactement des polynômes d'ordre 4, $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$.
 
 
 \chapter{Équations différentielles ordinaires}
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From 56d41c89982a0d2db767419e1c8506cd65425ecd Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: mathintro <orestis.malaspinas@hesge.ch>
Date: Fri, 13 Jan 2017 11:52:01 +0100
Subject: [PATCH 09/30] ajout mineurs

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 cours.tex | 14 ++++++++++++--
 1 file changed, 12 insertions(+), 2 deletions(-)

diff --git a/cours.tex b/cours.tex
index f9b0d55..2eff8a5 100644
--- a/cours.tex
+++ b/cours.tex
@@ -472,7 +472,7 @@ $F$ telle que $F(a)=b$.
 Calculez les primitives suivantes (\textit{Indication: Il s'agit de trouver les fonctions $F(x)$ telles que $F'(x)=f(x)$}):
  \begin{enumerate}
   \item $f(x)=\int x^2\dd x$.
-  \item $f(x)=\int x^n\dd x$, $n\in \real^*$.
+  \item $f(x)=\int x^n\dd x$, $n\in \real\backslash\{-1\}$.
   \item $f(x)=\int \sqrt{x}\dd x$.
   \item $f(x)=\int \frac{1}{x}\dd x$.
   \item $f(x)=\int \exp(x)\dd x$.
@@ -480,6 +480,16 @@ Calculez les primitives suivantes (\textit{Indication: Il s'agit de trouver les
  \end{enumerate}
 \end{exercices}
 
+Maintenant que vous avez calculé toutes ces primitives de base, nous pouvons récapituler 
+des formules qui seront importantes pour la suite:
+ \begin{enumerate}
+  \item $\int x^n\dd x=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$, $n\in \real\backslash\{-1\}$.
+  \item $\int \frac{1}{x}\dd x=\ln(x)+C$.
+  \item $\int \exp(x)\dd x=\exp(x)+C$.
+  \item $\int \sin(x)\dd x=-\cos(x)+C$.
+  \item $\int \cos(x)\dd x=\sin(x)+C$.
+ \end{enumerate}
+
 \begin{definition}\label{def_prim}
 En définissant à présent l'intégrale à l'aide de la notion de primitive, nous avons
 que pour $a,b\in\real$ et $a<b$
@@ -776,7 +786,7 @@ Calculer les primitives suivantes par changement de variable
 Dans certains cas, il est impossible d'évaluer analytiquement une intégrale ou alors elle est très compliquée à calculer.
 Dans ce cas, on va approximer l'intégrale et donc commettre une erreur.
 
-Pour ce faire on va subdiviser l'espace d'intégration $[a,b]$ en $N$ pas équidistants (pour simplifier) $\delta x=(a-b)/N$,
+Pour ce faire on va subdiviser l'espace d'intégration $[a,b]$ en $N$ pas équidistants (pour simplifier) $\delta x=(b-a)/N$,
 et approximer l'intégrale par une somme finie
 \begin{equation}
  \int_a^bf(x)\dd x=\sum_{i=0}^{N} \delta x f(a+i\delta x) g_i+E(a,b,\delta x)\cong\sum_{i=0}^{N} \delta x f(a+i\delta x) g_i,
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From ef264e0098a9af7fd92e8a47f37e8d0b1a4e6131 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Jean-Paul Dax <karlmarx79@hotmail.com>
Date: Thu, 2 Mar 2017 08:02:42 +0100
Subject: [PATCH 10/30] modif mineure

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 cours.tex | 2 +-
 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-)

diff --git a/cours.tex b/cours.tex
index 24b620d..18e81b2 100644
--- a/cours.tex
+++ b/cours.tex
@@ -1067,7 +1067,7 @@ En prenant la limite $\delta t\rightarrow 0$ on voit apparaître la dérivée da
 \begin{equation}
  \lim\limits_{\delta t\rightarrow 0} \frac{n(t+\delta t)-n(t)}{\delta t}=n'(t)=r\cdot n(t).\label{eq_cont}
 \end{equation}
-Une équation faisant apparaître une dérivée d'une fonction est appelée \textit{équation différentielle}.
+On voit qu'on a construit ici une équation différentielle à partir d'un système discret.
 
 Nous pouvons à présent résoudre l'équation différentielle ci-dessus en se souvenant que 
 la fonction dont la dérivée est proportionnelle à la fonction de départ est l'exponentielle.
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From 176bdcb1b95b31b126bb6687cc836b49357a8df4 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Orestis <karlmarx79@hotmail.com>
Date: Mon, 6 Mar 2017 16:46:49 +0100
Subject: [PATCH 11/30] correction typo

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 cours.tex | 2 +-
 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-)

diff --git a/cours.tex b/cours.tex
index 58abf9d..72a33b9 100644
--- a/cours.tex
+++ b/cours.tex
@@ -2552,7 +2552,7 @@ Avec cette notation, on peut réécrire l'équation \eqref{eq_decomp_sincos} (ex
 \begin{equation}
  f(t)=\sum_{j=-\infty}^\infty c_je^{ij\omega t}.
 \end{equation}
-En multipliant cette relation par $\frac{1}{T}e^{ik\omega t}$ et en intégrant entre $-\frac{T}{2}$ et $\frac{T}{2}$, 
+En multipliant cette relation par $\frac{1}{T}e^{-ik\omega t}$ et en intégrant entre $-\frac{T}{2}$ et $\frac{T}{2}$, 
 on obtient
 \begin{equation}
  \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-ik\omega t}\dd t=\frac{1}{T}\sum_{j=-\infty}^\infty c_j\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}e^{ij\omega t}e^{-ik\omega t}\dd t.
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From 91dfefcab4ac5977414c18d9e4064397d6aa8a12 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Orestis <karlmarx79@hotmail.com>
Date: Thu, 9 Mar 2017 16:17:50 +0100
Subject: [PATCH 12/30] Corrections transformees de fourier

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 cours.tex | 34 +++++++++++++++++-----------------
 1 file changed, 17 insertions(+), 17 deletions(-)

diff --git a/cours.tex b/cours.tex
index 72a33b9..ca778a8 100644
--- a/cours.tex
+++ b/cours.tex
@@ -2457,7 +2457,7 @@ b_j&\equiv A_j\sin(\phi_j),
 \end{align}
 on obtient
 \begin{equation}
- f(t)=\sum_{j=0}^\infty \left(a_j\cos(j\omega t)+b_j\sin(j\omega t)\right). \label{eq_decomp_sincos}
+ f(t)=\sum_{j=0}^\infty \left(a_j\sin(j\omega t)+b_j\cos(j\omega t)\right). \label{eq_decomp_sincos}
 \end{equation}
 On a donc transformé une équation où on devait déterminer une amplitude et une phase, ce qui est très compliqué, en une autre
 équation où on doit déterminer uniquement deux amplitude. Par ailleurs, comme $\cos$ et $\sin$ sont indépendants,
@@ -2469,7 +2469,7 @@ que les $a_j\cos(j\omega t)$ et $b_j\sin(j\omega t)$ approximent au mieux la fon
 
 On va donc considérer les fonctions d'erreur suivantes
 \begin{equation}
- E^s_j=\int_0^T(f(t)-b_j\sin(j\omega t))^2\dd t,\quad E^c_j=\int_0^T(f(t)-a_j\cos(j\omega t))^2\dd t.
+ E^s_j=\int_0^T(f(t)-a_j\sin(j\omega t))^2\dd t,\quad E^c_j=\int_0^T(f(t)-b_j\cos(j\omega t))^2\dd t.
 \end{equation}
 Puis on va déterminer $a_j,b_j$ tels que $E_j^s$ et $E_j^c$ sont minimales. Pour ce faire on va utiliser les dérivées
 et déterminer nos coefficients en résolvant les équations
@@ -2479,22 +2479,22 @@ et déterminer nos coefficients en résolvant les équations
 \end{align}
 Pour l'équation \eqref{eq_deriv_aj}, on a 
 \begin{align}
- \dDeriv{E^c_j}{a_j}&=\dDeriv{\int_0^T(f(t)-a_j\cos(j\omega t))^2\dd t}{a_j},\nonumber\\
- &=\underbrace{\dDeriv{(\int_0^Tf^2(t)\dd t)}{a_j}}_{=0}+\dDeriv{(a_j^2\int_0^T(\cos^2(j\omega t)\dd t))}{a_j}-\dDeriv{(2a_j\int_0^T(f(t)\cos(j\omega t)\dd t))}{a_j},\nonumber\\
- &=2a_j\int_0^T\cos^2(j\omega t)\dd t-2\int_0^Tf(t)\cos(j\omega t)\dd t,\nonumber\\
- &=2a_j\frac{T}{2}-2\int_0^T\cos(j\omega t)f(t)\dd t.
+ \dDeriv{E^c_j}{b_j}&=\dDeriv{\int_0^T(f(t)-b_j\cos(j\omega t))^2\dd t}{b_j},\nonumber\\
+ &=\underbrace{\dDeriv{(\int_0^Tf^2(t)\dd t)}{b_j}}_{=0}+\dDeriv{(b_j^2\int_0^T(\cos^2(j\omega t)\dd t))}{b_j}-\dDeriv{(2b_j\int_0^T(f(t)\cos(j\omega t)\dd t))}{b_j},\nonumber\\
+ &=2b_j\int_0^T\cos^2(j\omega t)\dd t-2\int_0^Tf(t)\cos(j\omega t)\dd t,\nonumber\\
+ &=2b_j\frac{T}{2}-2\int_0^T\cos(j\omega t)f(t)\dd t.
 \end{align}
 Finalement on obtient
 \begin{equation}
- a_j=\frac{2}{T}\int_0^T\cos(j\omega t)f(t)\dd t.
+ b_j=\frac{2}{T}\int_0^T\cos(j\omega t)f(t)\dd t.
 \end{equation}
-Pour $b_j$ on a de façon similaire 
+Pour $a_j$ on a de façon similaire 
 \begin{equation}
- b_j=\frac{2}{T}\int_0^T\sin(j\omega t)f(t)\dd t.
+ a_j=\frac{2}{T}\int_0^T\sin(j\omega t)f(t)\dd t.
 \end{equation}
 En particulier si $j=0$, on a 
 \begin{equation}
-b_0=0,\quad a_0=\frac{2}{T}\int_0^T f(t)\dd t.
+a_0=0,\quad b_0=\frac{2}{T}\int_0^T f(t)\dd t.
 \end{equation}
 On constate que $a_0/2$ correspond à la valeur moyenne de $f(t)$ dans $[0,T]$. Cela 
 permet d'approximer des fonctions dons la valeur moyenne n'est pas nulle (les sinus et cosinus ont toujours
@@ -2518,8 +2518,8 @@ Cela est dû à la propriété d'othorgonalité des fonctions sinus/cosinus.
 En multipliant l'équation \eqref{eq_decomp_sincos} par $\frac{2}{T}\sin(k \omega t)$ et en intégrant 
 entre $0$ et $T$, on obtient
  \begin{align}
-\frac{2}{T}\int_0^T f(t)\sin(k\omega t)\dd t&=\frac{2}{T}\sum_{j=0}^\infty \left(a_j\underbrace{\int_0^T\cos(j\omega t)\sin(k\omega t)\dd t}_{=0}+b_j\underbrace{\int_0^T\sin(j\omega t)\sin(k \omega t)}_{=\frac{T}{2}\delta_{jk}}\right),\nonumber\\
-\frac{2}{T}\int_0^T f(t)\sin(k\omega t)\dd t&=\sum_{j=0}^\infty b_j \delta_{jk}=b_k,
+\frac{2}{T}\int_0^T f(t)\sin(k\omega t)\dd t&=\frac{2}{T}\sum_{j=0}^\infty \left(b_j\underbrace{\int_0^T\cos(j\omega t)\sin(k\omega t)\dd t}_{=0}+a_j\underbrace{\int_0^T\sin(j\omega t)\sin(k \omega t)\dd t}_{=\frac{T}{2}\delta_{jk}}\right),\nonumber\\
+\frac{2}{T}\int_0^T f(t)\sin(k\omega t)\dd t&=\sum_{j=0}^\infty a_j \delta_{jk}=a_k,
 \end{align}
 où $\delta_{jk}$ est le ``delta de Kronecker'', dont la définition est
 \begin{equation}
@@ -2532,8 +2532,8 @@ où $\delta_{jk}$ est le ``delta de Kronecker'', dont la définition est
 En multipliant l'équation \eqref{eq_decomp_sincos} par $\frac{2}{T}\cos(k \omega t)$ et en intégrant 
 entre $0$ et $T$, on obtient
  \begin{align}
-\frac{2}{T}\int_0^T f(t)\cos(k\omega t)\dd t&=\frac{2}{T}\sum_{j=0}^\infty \left(a_j\underbrace{\int_0^T\cos(j\omega t)\sin(k\omega t)\dd t}_{=\frac{T}{2}\delta_{jk}}+b_j\underbrace{\int_0^T\sin(j\omega t)\sin(k \omega t)}_{=0}\right),\nonumber\\
-\frac{2}{T}\int_0^T f(t)\cos(k\omega t)\dd t&=\sum_{j=0}^\infty a_j \delta_{jk}=a_k.
+\frac{2}{T}\int_0^T f(t)\cos(k\omega t)\dd t&=\frac{2}{T}\sum_{j=0}^\infty \left(a_j\underbrace{\int_0^T\cos(j\omega t)\sin(k\omega t)\dd t}_{=0}+b_j\underbrace{\int_0^T\cos(j\omega t)\cos(k \omega t)\dd t}_{=\frac{T}{2}\delta_{jk}}\right),\nonumber\\
+\frac{2}{T}\int_0^T f(t)\cos(k\omega t)\dd t&=\sum_{j=0}^\infty b_j \delta_{jk}=b_k.
 \end{align}
 
 \subsubsection{Les séries de Fourier en notations complexes}
@@ -2543,9 +2543,9 @@ Cette écriture nous fait penser qu'il pourrait être possible de réécrire cet
 de nouveaux coefficients $c_n$,
 \begin{equation}
  c_n=\left\{\begin{array}{ll}
-                \frac{a_n+ib_n}{2}, & $\mbox{ si }$n<0\\
-                \frac{a_0}{2},      & $\mbox{ si }$n=0\\
-                \frac{a_n-ib_n}{2}, & $\mbox{ si }$n>0
+                \frac{b_n+ia_n}{2}, & $\mbox{ si }$n<0\\
+                \frac{b_0}{2},      & $\mbox{ si }$n=0\\
+                \frac{b_n-ia_n}{2}, & $\mbox{ si }$n>0
                \end{array}\right.
 \end{equation}
 Avec cette notation, on peut réécrire l'équation \eqref{eq_decomp_sincos} (exercice) comme
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From d0449ef19d6bc9549650aed9dd204c85952b4c71 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Orestis <karlmarx79@hotmail.com>
Date: Mon, 13 Mar 2017 11:14:29 +0100
Subject: [PATCH 13/30] correction limite delta omega -> 0

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 cours.tex | 2 +-
 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-)

diff --git a/cours.tex b/cours.tex
index ca778a8..2340155 100644
--- a/cours.tex
+++ b/cours.tex
@@ -2594,7 +2594,7 @@ ainsi que la notation $\omega_j=j\omega$, on peut réécrire cette équation
      &=\frac{1}{2\pi}\sum_{j=-\infty}^\infty (\Delta \omega_j)\fh(\omega_j) e^{i\omega_j t}.
 \end{align}
 Maintenant pour passer dans le cas où la fonction n'est pas périodique (la période est infinie), nous
-devons prendre la limite $\omega_j\rightarrow 0$ dans l'équation précédente, et on voit apparaître une somme de Riemann
+devons prendre la limite $\Delta \omega_j\rightarrow 0$ dans l'équation précédente, et on voit apparaître une somme de Riemann
 \begin{align}
  f(t)&=\frac{1}{2\pi}\sum_{j=-\infty}^\infty \lim\limits_{\Delta \omega_j\rightarrow 0}\Delta \omega_j\fh(\omega_j) e^{i\omega_j t},\nonumber\\
  &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty \fh(\omega) e^{i\omega t}\dd\omega.
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From 49040fbc0ba37e7beeeebe2eab10258b8b5eb9c9 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Orestis <karlmarx79@hotmail.com>
Date: Mon, 27 Mar 2017 16:27:05 +0200
Subject: [PATCH 14/30] ajout tp sur Fourier

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 tpFourier/mydata.txt    | Bin 0 -> 72498 bytes
 tpFourier/tpFourier.tex |  70 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 2 files changed, 70 insertions(+)
 create mode 100644 tpFourier/mydata.txt
 create mode 100644 tpFourier/tpFourier.tex

diff --git a/tpFourier/mydata.txt b/tpFourier/mydata.txt
new file mode 100644
index 0000000000000000000000000000000000000000..137ee761c50bd13aaf37d06f5a6c78077a1bcfa5
GIT binary patch
literal 72498
zcmXriGc_|dO4T(q<}%bXFtIcPF}02L%nXbzQ*{kZGP!h(^-Rn`DonJE^o)!R3_&U~
zxpd9-j17z}Kx(v2^vukRj6uvyE?px%LnBMDB3(m0V@p#Lh<ZakV>3gr>AFUGrp895
z5Md)dQ*#3_TiZ;}z|tIQshOUssUgHtLp?(yGmx-xCYLVAjUWR}wL#`tfHh`v>6+-7
z7@B|#H_<lLv$V7XiJN3{nHlMs>YC`88ybM*Od<LW4L~k6)i&3&G_VAj1@a@vr4ZL?
zo9S5^fSC|+12aRAX~w!1AkUaXJqdD@3D{A(MtUZuCLpI8XL1?onHiXZj5pRc(lax&
z1gU@+V`6Lsa)Yt1p`M|sB~-bgo~a4QM3AVlu>mMBjWf9n^-K&bAd1cO49zS-!X_ZI
z4ULV!s<qAZ%q@*TL2L?AZ48bbV{KDC3j;%_jfQ%L#ztUUv<>x4Ex}$k&g8PxGcz{?
zxz9w~T+iIx80LLrJ#$kduszy_dWMEzD~&U`O!SPvPBqas)H4HFZIa1lYNlsos%@-i
zWMK-j%Q%zELeIzo>~<4fGd*Ji2s4w*RL|Jd7!-7%bYoy(3epdXLJK`3b3?G>b&d5b
zjm$vSnr3nt>lvDufZd~QtY=~hGaQthEX~1swGH*mO-(^2f{ZcJvxG#ywuzp(0oXuD
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+
+\title{Travaux pratiques: Transformées de Fourier}
+% \author{Orestis Malaspinas}
+\date{A rendre pour le 17.04.2016}
+
+\begin{document}
+\maketitle
+
+\section*{Travaux pratiques: Transformées de Fourier}
+
+Le but de ce travail est d'essayer de comprendre comment utiliser les transformées de Fourier dans différentes applications,
+en particulier le filtrage. Pour ce faire, nous allons considérer une fonction analytique ``simple'' (dont
+la transformée de Fourier est facile à calculer) et la manipuler avec les fonctions préimplantées dans Matlab/Octave de
+transformées de Fourier: \texttt{fft} et \texttt{ifft} (il s'agit donc également d'essayer de comprendre comment les manipuler). 
+Ces fonctions représentent respectivement les transformées de Fourier et transformées de Fourier inverses rapides.
+
+Dans un premier temps, nous allons considérer la fonction
+\begin{equation}
+ f(t)=\cos(2\pi t)+0.9\cos(2\pi 10 t).
+\end{equation}
+Calculez analytiquement les coefficients de la série de Fourier de cette fonction
+et la dessinez pour $t=0..10$ avec $\delta t=0.025$ le pas entre deux points.
+
+Une fois que cette étape est effectuée, utilisez la fonction \texttt{fft}, pour 
+calculer la transformée de Fourier, $\hf$, de $f$. Pour ce faire,
+il faut ``\'echantillonner $f$ (choisir le pas de temps qu'on veut pour représenter 
+$f(t)$ numériquement). Un bon choix est de prendre $\delta t=0.025$.
+Représentez le module de transformée de Fourier sur un graphique en fonction de la fréquence, $\nu$\footnote{Indication: l'amplitude de la transformée de Fourier doit être normalisée par le 
+nombre échantillons de la fonction. De plus vous allez constater que le spectre se trouve représenté deux fois dans le vecteur donné par la fonction \texttt{fft}, à vous de tout remettre à l'échelle comme il faut}.
+Qu'observez-vous? Le résultat est-il cohérent avec le résultat analytique? 
+Reconstruire $f(t)$ à partir de $\hf(\nu)$ avec la fonction \texttt{ifft}. Superposer la fonction obtenue avec avec la fonction originale, que note-t-on?
+Refaites ces étapes en utilisant $\delta t=0.05,0.1$ que notez-vous? Comment expliquer le phénomène?
+
+En principe, vous avez dû trouver un spectre avec deux pics. Ôtez le premier 
+pic, puis le second et avec \texttt{ifft} 
+calculez les transformées de Fourier inverses et représentez les superposées à la fonction originale\footnote{Il faut ``filtrer'' dans le monde des fréquences et effectuer la tranformées de Fourier inverse pour avoir 
+le signal dans le temps. Attention le spectre est présent à double.}. Discutez les résultats.
+
+Chargez le fichier \texttt{mydata.txt} qui contient deux colonnes. Le temps $t$, et une fonction $h(t)$. Représentez la fonction sur un graphique.
+Calculez la transformée de Fourier de cette fonction avec \texttt{fft} et faites un graphique de $\hat{h}(\nu)$. Filtrez toutes les fréquences $\nu>10$ de $\hat{h}(\nu)$ dans 
+l'espace spectral. Reconstruisez la la fonction dans l'espace temporel depuis la fonction filtrée. Superposez
+le résultat avec la fonction originale. Que constatez-vous? Comparez le résultat avec la fonction $f(t)$.
+
+
+\section*{Remarques}
+
+Le travail peut-être effectué en groupe de deux. 
+Déposez le rapport et le code sur le site du cours s'il vous plaît, cela simplifie mon administration (et évite les problèmes avec les étudiants qui 
+ne mettent pas de nom sur le rapport...).
+
+La note sera une combinaison entre le code rendu et le rapport (moitié/moitié). 
+
+
+
+\end{document}
\ No newline at end of file
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GitLab


From 68b4d9871f52077dc58edcf4efbcea582ef5bf8b Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Jean-Paul Dax <karlmarx79@hotmail.com>
Date: Mon, 3 Apr 2017 17:27:28 +0200
Subject: [PATCH 15/30] correction date

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 README.md               |   2 ++
 cours.tex               |  44 ++++++++++++-------------
 tpFourier/mydata.txt    | Bin 0 -> 72498 bytes
 tpFourier/tpFourier.tex |  70 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 4 files changed, 94 insertions(+), 22 deletions(-)
 create mode 100644 tpFourier/mydata.txt
 create mode 100644 tpFourier/tpFourier.tex

diff --git a/README.md b/README.md
index 05e8af0..9fda9b0 100644
--- a/README.md
+++ b/README.md
@@ -1,3 +1,5 @@
 # Mathématiques pour deuxième année ITI
 
 Ce projet contient la tentative de polycopié du cours de Mathématiques pour la filière ITI de hepia.
+
+Un bonus de 0.1 points sur la note de l'examen sera obtenu pour tout pull request réussi.
\ No newline at end of file
diff --git a/cours.tex b/cours.tex
index 72a33b9..3afa941 100644
--- a/cours.tex
+++ b/cours.tex
@@ -2457,7 +2457,7 @@ b_j&\equiv A_j\sin(\phi_j),
 \end{align}
 on obtient
 \begin{equation}
- f(t)=\sum_{j=0}^\infty \left(a_j\cos(j\omega t)+b_j\sin(j\omega t)\right). \label{eq_decomp_sincos}
+ f(t)=\sum_{j=0}^\infty \left(a_j\sin(j\omega t)+b_j\cos(j\omega t)\right). \label{eq_decomp_sincos}
 \end{equation}
 On a donc transformé une équation où on devait déterminer une amplitude et une phase, ce qui est très compliqué, en une autre
 équation où on doit déterminer uniquement deux amplitude. Par ailleurs, comme $\cos$ et $\sin$ sont indépendants,
@@ -2469,7 +2469,7 @@ que les $a_j\cos(j\omega t)$ et $b_j\sin(j\omega t)$ approximent au mieux la fon
 
 On va donc considérer les fonctions d'erreur suivantes
 \begin{equation}
- E^s_j=\int_0^T(f(t)-b_j\sin(j\omega t))^2\dd t,\quad E^c_j=\int_0^T(f(t)-a_j\cos(j\omega t))^2\dd t.
+ E^s_j=\int_0^T(f(t)-a_j\sin(j\omega t))^2\dd t,\quad E^c_j=\int_0^T(f(t)-b_j\cos(j\omega t))^2\dd t.
 \end{equation}
 Puis on va déterminer $a_j,b_j$ tels que $E_j^s$ et $E_j^c$ sont minimales. Pour ce faire on va utiliser les dérivées
 et déterminer nos coefficients en résolvant les équations
@@ -2479,22 +2479,22 @@ et déterminer nos coefficients en résolvant les équations
 \end{align}
 Pour l'équation \eqref{eq_deriv_aj}, on a 
 \begin{align}
- \dDeriv{E^c_j}{a_j}&=\dDeriv{\int_0^T(f(t)-a_j\cos(j\omega t))^2\dd t}{a_j},\nonumber\\
- &=\underbrace{\dDeriv{(\int_0^Tf^2(t)\dd t)}{a_j}}_{=0}+\dDeriv{(a_j^2\int_0^T(\cos^2(j\omega t)\dd t))}{a_j}-\dDeriv{(2a_j\int_0^T(f(t)\cos(j\omega t)\dd t))}{a_j},\nonumber\\
- &=2a_j\int_0^T\cos^2(j\omega t)\dd t-2\int_0^Tf(t)\cos(j\omega t)\dd t,\nonumber\\
- &=2a_j\frac{T}{2}-2\int_0^T\cos(j\omega t)f(t)\dd t.
+ \dDeriv{E^c_j}{b_j}&=\dDeriv{\int_0^T(f(t)-b_j\cos(j\omega t))^2\dd t}{b_j},\nonumber\\
+ &=\underbrace{\dDeriv{(\int_0^Tf^2(t)\dd t)}{b_j}}_{=0}+\dDeriv{(b_j^2\int_0^T(\cos^2(j\omega t)\dd t))}{b_j}-\dDeriv{(2b_j\int_0^T(f(t)\cos(j\omega t)\dd t))}{b_j},\nonumber\\
+ &=2b_j\int_0^T\cos^2(j\omega t)\dd t-2\int_0^Tf(t)\cos(j\omega t)\dd t,\nonumber\\
+ &=2b_j\frac{T}{2}-2\int_0^T\cos(j\omega t)f(t)\dd t.
 \end{align}
 Finalement on obtient
 \begin{equation}
- a_j=\frac{2}{T}\int_0^T\cos(j\omega t)f(t)\dd t.
+ b_j=\frac{2}{T}\int_0^T\cos(j\omega t)f(t)\dd t.
 \end{equation}
-Pour $b_j$ on a de façon similaire 
+Pour $a_j$ on a de façon similaire 
 \begin{equation}
- b_j=\frac{2}{T}\int_0^T\sin(j\omega t)f(t)\dd t.
+ a_j=\frac{2}{T}\int_0^T\sin(j\omega t)f(t)\dd t.
 \end{equation}
 En particulier si $j=0$, on a 
 \begin{equation}
-b_0=0,\quad a_0=\frac{2}{T}\int_0^T f(t)\dd t.
+a_0=0,\quad b_0=\frac{2}{T}\int_0^T f(t)\dd t.
 \end{equation}
 On constate que $a_0/2$ correspond à la valeur moyenne de $f(t)$ dans $[0,T]$. Cela 
 permet d'approximer des fonctions dons la valeur moyenne n'est pas nulle (les sinus et cosinus ont toujours
@@ -2518,8 +2518,8 @@ Cela est dû à la propriété d'othorgonalité des fonctions sinus/cosinus.
 En multipliant l'équation \eqref{eq_decomp_sincos} par $\frac{2}{T}\sin(k \omega t)$ et en intégrant 
 entre $0$ et $T$, on obtient
  \begin{align}
-\frac{2}{T}\int_0^T f(t)\sin(k\omega t)\dd t&=\frac{2}{T}\sum_{j=0}^\infty \left(a_j\underbrace{\int_0^T\cos(j\omega t)\sin(k\omega t)\dd t}_{=0}+b_j\underbrace{\int_0^T\sin(j\omega t)\sin(k \omega t)}_{=\frac{T}{2}\delta_{jk}}\right),\nonumber\\
-\frac{2}{T}\int_0^T f(t)\sin(k\omega t)\dd t&=\sum_{j=0}^\infty b_j \delta_{jk}=b_k,
+\frac{2}{T}\int_0^T f(t)\sin(k\omega t)\dd t&=\frac{2}{T}\sum_{j=0}^\infty \left(b_j\underbrace{\int_0^T\cos(j\omega t)\sin(k\omega t)\dd t}_{=0}+a_j\underbrace{\int_0^T\sin(j\omega t)\sin(k \omega t)\dd t}_{=\frac{T}{2}\delta_{jk}}\right),\nonumber\\
+\frac{2}{T}\int_0^T f(t)\sin(k\omega t)\dd t&=\sum_{j=0}^\infty a_j \delta_{jk}=a_k,
 \end{align}
 où $\delta_{jk}$ est le ``delta de Kronecker'', dont la définition est
 \begin{equation}
@@ -2532,8 +2532,8 @@ où $\delta_{jk}$ est le ``delta de Kronecker'', dont la définition est
 En multipliant l'équation \eqref{eq_decomp_sincos} par $\frac{2}{T}\cos(k \omega t)$ et en intégrant 
 entre $0$ et $T$, on obtient
  \begin{align}
-\frac{2}{T}\int_0^T f(t)\cos(k\omega t)\dd t&=\frac{2}{T}\sum_{j=0}^\infty \left(a_j\underbrace{\int_0^T\cos(j\omega t)\sin(k\omega t)\dd t}_{=\frac{T}{2}\delta_{jk}}+b_j\underbrace{\int_0^T\sin(j\omega t)\sin(k \omega t)}_{=0}\right),\nonumber\\
-\frac{2}{T}\int_0^T f(t)\cos(k\omega t)\dd t&=\sum_{j=0}^\infty a_j \delta_{jk}=a_k.
+\frac{2}{T}\int_0^T f(t)\cos(k\omega t)\dd t&=\frac{2}{T}\sum_{j=0}^\infty \left(a_j\underbrace{\int_0^T\cos(j\omega t)\sin(k\omega t)\dd t}_{=0}+b_j\underbrace{\int_0^T\cos(j\omega t)\cos(k \omega t)\dd t}_{=\frac{T}{2}\delta_{jk}}\right),\nonumber\\
+\frac{2}{T}\int_0^T f(t)\cos(k\omega t)\dd t&=\sum_{j=0}^\infty b_j \delta_{jk}=b_k.
 \end{align}
 
 \subsubsection{Les séries de Fourier en notations complexes}
@@ -2543,9 +2543,9 @@ Cette écriture nous fait penser qu'il pourrait être possible de réécrire cet
 de nouveaux coefficients $c_n$,
 \begin{equation}
  c_n=\left\{\begin{array}{ll}
-                \frac{a_n+ib_n}{2}, & $\mbox{ si }$n<0\\
-                \frac{a_0}{2},      & $\mbox{ si }$n=0\\
-                \frac{a_n-ib_n}{2}, & $\mbox{ si }$n>0
+                \frac{b_n+ia_n}{2}, & $\mbox{ si }$n<0\\
+                \frac{b_0}{2},      & $\mbox{ si }$n=0\\
+                \frac{b_n-ia_n}{2}, & $\mbox{ si }$n>0
                \end{array}\right.
 \end{equation}
 Avec cette notation, on peut réécrire l'équation \eqref{eq_decomp_sincos} (exercice) comme
@@ -2594,7 +2594,7 @@ ainsi que la notation $\omega_j=j\omega$, on peut réécrire cette équation
      &=\frac{1}{2\pi}\sum_{j=-\infty}^\infty (\Delta \omega_j)\fh(\omega_j) e^{i\omega_j t}.
 \end{align}
 Maintenant pour passer dans le cas où la fonction n'est pas périodique (la période est infinie), nous
-devons prendre la limite $\omega_j\rightarrow 0$ dans l'équation précédente, et on voit apparaître une somme de Riemann
+devons prendre la limite $\Delta \omega_j\rightarrow 0$ dans l'équation précédente, et on voit apparaître une somme de Riemann
 \begin{align}
  f(t)&=\frac{1}{2\pi}\sum_{j=-\infty}^\infty \lim\limits_{\Delta \omega_j\rightarrow 0}\Delta \omega_j\fh(\omega_j) e^{i\omega_j t},\nonumber\\
  &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty \fh(\omega) e^{i\omega t}\dd\omega.
@@ -2830,9 +2830,9 @@ Montrons à présent que la transformée inverse discrète de la transformée de
 discrète donne bien la suite de départ
 \begin{align}
  f[n]&=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} \fh[k] e^{\frac{2\pi i k n}{N}},\nonumber\\
- &=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} \sum_{m=0}^{N-1} f[m] e^{-\frac{2\pi k m}{N}} e^{\frac{2\pi i k n}{N}},\nonumber\\
- &=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} \sum_{m=0}^{N-1} f[m] e^{\frac{2\pi k (n-m)}{N}},\nonumber\\
- &=\frac{1}{N}\sum_{m=0}^{N-1} f[m] \sum_{k=0}^{N-1} e^{\frac{2\pi k (n-m)}{N}},\nonumber\\
+ &=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} \sum_{m=0}^{N-1} f[m] e^{-\frac{2\pi i k m}{N}} e^{\frac{2\pi i k n}{N}},\nonumber\\
+ &=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} \sum_{m=0}^{N-1} f[m] e^{\frac{2\pi i k (n-m)}{N}},\nonumber\\
+ &=\frac{1}{N}\sum_{m=0}^{N-1} f[m] \sum_{k=0}^{N-1} e^{\frac{2\pi i k (n-m)}{N}},\nonumber\\
  &=\frac{1}{N}\sum_{m=0}^{N-1} f[m] N \delta_{nm},\nonumber\\
  &=f[n].
 \end{align}
@@ -2867,7 +2867,7 @@ La transformée de Fourier discrète étant un échantillonage de la transformé
 à temps discret, toutes les propriétés discutées pour la transformée de Fourier à temps
 discret restent valides. En particulier la transformée de Fourier discrète est périodique, de période $N$
 \begin{equation}
- f[n]=f[n+N].
+ \fh[k]=\fh[k+N].
 \end{equation}
 A démontrer en exercice.
 
diff --git a/tpFourier/mydata.txt b/tpFourier/mydata.txt
new file mode 100644
index 0000000000000000000000000000000000000000..137ee761c50bd13aaf37d06f5a6c78077a1bcfa5
GIT binary patch
literal 72498
zcmXriGc_|dO4T(q<}%bXFtIcPF}02L%nXbzQ*{kZGP!h(^-Rn`DonJE^o)!R3_&U~
zxpd9-j17z}Kx(v2^vukRj6uvyE?px%LnBMDB3(m0V@p#Lh<ZakV>3gr>AFUGrp895
z5Md)dQ*#3_TiZ;}z|tIQshOUssUgHtLp?(yGmx-xCYLVAjUWR}wL#`tfHh`v>6+-7
z7@B|#H_<lLv$V7XiJN3{nHlMs>YC`88ybM*Od<LW4L~k6)i&3&G_VAj1@a@vr4ZL?
zo9S5^fSC|+12aRAX~w!1AkUaXJqdD@3D{A(MtUZuCLpI8XL1?onHiXZj5pRc(lax&
z1gU@+V`6Lsa)Yt1p`M|sB~-bgo~a4QM3AVlu>mMBjWf9n^-K&bAd1cO49zS-!X_ZI
z4ULV!s<qAZ%q@*TL2L?AZ48bbV{KDC3j;%_jfQ%L#ztUUv<>x4Ex}$k&g8PxGcz{?
zxz9w~T+iIx80LLrJ#$kduszy_dWMEzD~&U`O!SPvPBqas)H4HFZIa1lYNlsos%@-i
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z+2A~DX$~nrK;?unIJbk;gVG|{J*K*bdX^>zASZxR891CwbPe@P%*{Zd1WwN;hLGR@
z#kK*&8gRIqLlTOvk)EZoA=p)5VKZ~EaoQGo7Lfb_@)0P<n?VA`SkKrHmWM!zz!aQw
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z4NXAqGy^y6L8cq&LHgTfpt29r>jDXz=oy%SGcCASfs_p(abrCT18{>H-1;^K=QUGM
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zH#P%_KuiJ^PbLNy#vsF?X<XM3RG6BA^??-`fU=o^xq&4}A2f~Y8tWMv8kn1d+-V9{
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+
+\title{Travaux pratiques: Transformées de Fourier}
+% \author{Orestis Malaspinas}
+\date{A rendre pour le 24.04.2017}
+
+\begin{document}
+\maketitle
+
+\section*{Travaux pratiques: Transformées de Fourier}
+
+Le but de ce travail est d'essayer de comprendre comment utiliser les transformées de Fourier dans différentes applications,
+en particulier le filtrage. Pour ce faire, nous allons considérer une fonction analytique ``simple'' (dont
+la transformée de Fourier est facile à calculer) et la manipuler avec les fonctions préimplantées dans Matlab/Octave de
+transformées de Fourier: \texttt{fft} et \texttt{ifft} (il s'agit donc également d'essayer de comprendre comment les manipuler). 
+Ces fonctions représentent respectivement les transformées de Fourier et transformées de Fourier inverses rapides.
+
+Dans un premier temps, nous allons considérer la fonction
+\begin{equation}
+ f(t)=\cos(2\pi t)+0.9\cos(2\pi 10 t).
+\end{equation}
+Calculez analytiquement les coefficients de la série de Fourier de cette fonction
+et la dessinez pour $t=0..10$ avec $\delta t=0.025$ le pas entre deux points.
+
+Une fois que cette étape est effectuée, utilisez la fonction \texttt{fft}, pour 
+calculer la transformée de Fourier, $\hf$, de $f$. Pour ce faire,
+il faut ``\'echantillonner $f$ (choisir le pas de temps qu'on veut pour représenter 
+$f(t)$ numériquement). Un bon choix est de prendre $\delta t=0.025$.
+Représentez le module de transformée de Fourier sur un graphique en fonction de la fréquence, $\nu$\footnote{Indication: l'amplitude de la transformée de Fourier doit être normalisée par le 
+nombre échantillons de la fonction. De plus vous allez constater que le spectre se trouve représenté deux fois dans le vecteur donné par la fonction \texttt{fft}, à vous de tout remettre à l'échelle comme il faut}.
+Qu'observez-vous? Le résultat est-il cohérent avec le résultat analytique? 
+Reconstruire $f(t)$ à partir de $\hf(\nu)$ avec la fonction \texttt{ifft}. Superposer la fonction obtenue avec avec la fonction originale, que note-t-on?
+Refaites ces étapes en utilisant $\delta t=0.05,0.1$ que notez-vous? Comment expliquer le phénomène?
+
+En principe, vous avez dû trouver un spectre avec deux pics. Ôtez le premier 
+pic, puis le second et avec \texttt{ifft} 
+calculez les transformées de Fourier inverses et représentez les superposées à la fonction originale\footnote{Il faut ``filtrer'' dans le monde des fréquences et effectuer la tranformées de Fourier inverse pour avoir 
+le signal dans le temps. Attention le spectre est présent à double.}. Discutez les résultats.
+
+Chargez le fichier \texttt{mydata.txt} qui contient deux colonnes. Le temps $t$, et une fonction $h(t)$. Représentez la fonction sur un graphique.
+Calculez la transformée de Fourier de cette fonction avec \texttt{fft} et faites un graphique de $\hat{h}(\nu)$. Filtrez toutes les fréquences $\nu>10$ de $\hat{h}(\nu)$ dans 
+l'espace spectral. Reconstruisez la la fonction dans l'espace temporel depuis la fonction filtrée. Superposez
+le résultat avec la fonction originale. Que constatez-vous? Comparez le résultat avec la fonction $f(t)$.
+
+
+\section*{Remarques}
+
+Le travail peut-être effectué en groupe de deux. 
+Déposez le rapport et le code sur le site du cours s'il vous plaît, cela simplifie mon administration (et évite les problèmes avec les étudiants qui 
+ne mettent pas de nom sur le rapport...).
+
+La note sera une combinaison entre le code rendu et le rapport (moitié/moitié). 
+
+
+
+\end{document}
-- 
GitLab


From 51cb4a08d2764cdbbceedf26d3591838dcf7482e Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Orestis <karlmarx79@hotmail.com>
Date: Mon, 10 Apr 2017 15:21:22 +0200
Subject: [PATCH 16/30] modifs diverses

---
 cours.tex               | 12 ++++++------
 tpFourier/tpFourier.tex |  2 +-
 2 files changed, 7 insertions(+), 7 deletions(-)

diff --git a/cours.tex b/cours.tex
index 2340155..5ab9e06 100644
--- a/cours.tex
+++ b/cours.tex
@@ -2059,7 +2059,7 @@ la forme
 Avec l'addition que nous avons définie 
 à l'équation \eqref{eq_add}, nous avons avec la nouvelle notation
 \begin{equation}
- (a,b)+(c,d)=(a+b,c+d)\Leftrightarrow(a+i\cdot b)+(c+i\cdot d)=(a+c)+i(b+d).
+ (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)\Leftrightarrow(a+i\cdot b)+(c+i\cdot d)=(a+c)+i(b+d).
 \end{equation}
 On constate que les nombres multipliés par $i$ sépare nos couples de nombres (les empêche ``de se mélanger''),
 
@@ -2779,7 +2779,7 @@ de  définir une transformée de Fourier discrète qui aura les propriétés sui
 
 Avant de voir en détail comment on calcule la transformée de Fourier discrète, 
 on peut discuter quelle est son application. La TFD est utilisée tout le temps en traitement du signal.
-En gros c'est une approximation de la transformée de Fourier à temps discret. A chaque fois qu'on désire connaître le comportement d'une fonction dans l'espace spectrale, on utilisera la TFD. Un exemple typique 
+En gros c'est une approximation de la transformée de Fourier à temps discret. A chaque fois qu'on désire connaître le comportement d'une fonction dans l'espace spectral, on utilisera la TFD. Un exemple typique 
 est l'application pour téléphones portables Shazam que vous connaissez sans doute. Le but de cette application est l'identification de chansons. Elle fonctionne de la façon suivante. Dans un premier temps elle enregistre un signal sonore. Puis avec ce signal sonore elle crée un spectrogramme (une sorte d'emprunte digitale de la chanson) qui est obtenu à l'aide de TFD. Finalement le spectrogramme est comparé avec une base de donnée de spectrogrammes et la chanson peut ainsi être identifiée. Une autre application est le filtrage de signaux. Comme vous l'avez vu (ou verrez) dans les travaux pratiques, 
 la TFD rend très simple le filtrage de fréquences (ou de bande de fréquences). En effet, il suffit d'ôter de la TFD d'un signal les amplitudes voulues et d'effectuer la transformée de Fourier discrète inverse (TFDI) du signal filtré. Ce genre d'applications est très utilisé dans le domaine de la compression 
 de données (jpg, mp3, ...).
@@ -2799,7 +2799,7 @@ Avec cette définition il est simple de calculer la transformée de Fourier à t
 On note que la somme à présent ne se fait plus dans l'intervalle $(-\infty,\infty)$, 
 mais uniquement entre $[0,N-1]$, car le signal est de longueur finie.
 
-On représente donc un signal de longueur finie $f[n]$ ($n=0,..,N-1]$) par une fonction
+On représente donc un signal de longueur finie $f[n]$ ($n=0,..,N-1$) par une fonction
 continue de la pulsation, $\fh(\omega)$. Les deux représentations sont équivalentes. On en
 déduit que l'information contenue dans un nombre fini de points, est la même que dans une
 fonction continue (et donc contenant une infinité de points). 
@@ -2830,9 +2830,9 @@ Montrons à présent que la transformée inverse discrète de la transformée de
 discrète donne bien la suite de départ
 \begin{align}
  f[n]&=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} \fh[k] e^{\frac{2\pi i k n}{N}},\nonumber\\
- &=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} \sum_{m=0}^{N-1} f[m] e^{-\frac{2\pi k m}{N}} e^{\frac{2\pi i k n}{N}},\nonumber\\
- &=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} \sum_{m=0}^{N-1} f[m] e^{\frac{2\pi k (n-m)}{N}},\nonumber\\
- &=\frac{1}{N}\sum_{m=0}^{N-1} f[m] \sum_{k=0}^{N-1} e^{\frac{2\pi k (n-m)}{N}},\nonumber\\
+ &=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} \sum_{m=0}^{N-1} f[m] e^{-\frac{2\pi i k m}{N}} e^{\frac{2\pi i k n}{N}},\nonumber\\
+ &=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} \sum_{m=0}^{N-1} f[m] e^{\frac{2\pi i k (n-m)}{N}},\nonumber\\
+ &=\frac{1}{N}\sum_{m=0}^{N-1} f[m] \sum_{k=0}^{N-1} e^{\frac{2\pi i k (n-m)}{N}},\nonumber\\
  &=\frac{1}{N}\sum_{m=0}^{N-1} f[m] N \delta_{nm},\nonumber\\
  &=f[n].
 \end{align}
diff --git a/tpFourier/tpFourier.tex b/tpFourier/tpFourier.tex
index 854b94a..75dc2d6 100644
--- a/tpFourier/tpFourier.tex
+++ b/tpFourier/tpFourier.tex
@@ -16,7 +16,7 @@
 
 \title{Travaux pratiques: Transformées de Fourier}
 % \author{Orestis Malaspinas}
-\date{A rendre pour le 17.04.2016}
+\date{A rendre pour le 20.04.2016}
 
 \begin{document}
 \maketitle
-- 
GitLab


From dbda78d57481e8a0ae61636712d1eb10deea805e Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Orestis <karlmarx79@hotmail.com>
Date: Mon, 10 Apr 2017 16:58:33 +0200
Subject: [PATCH 17/30] debut modif prob stats

---
 cours.tex | 802 ++----------------------------------------------------
 1 file changed, 23 insertions(+), 779 deletions(-)

diff --git a/cours.tex b/cours.tex
index 898e890..818c5cd 100644
--- a/cours.tex
+++ b/cours.tex
@@ -2974,785 +2974,29 @@ que la fréquence de Nyquist de notre signal, on verra apparaître le phénomèn
 
 \chapter{Probabilités et statistiques}
 
-Le but de ce chapitre est d'étudier des phénomènes (expériences) aléatoires; 
-de calculer les chances (ou la probabilité) qu'un événement 
-qui n'est pas déterministe se produise.
-
-Il existe une très grande variétés de ces phénomènes. Il en existe 
-dans presque tous les phénomènes physiques, dans la météorologie, 
-l'écoulement de fluides, etc. L'étude des probabilité est évidemment également présente 
-dans l'analyse de risque pour les assurances. 
-En informatique également il existe un très vaste champs d'application des probabilités.
-Une application peut-être liée à la chance qu'un composant (processeur, mémoire, etc) 
-produise un résultat erroné. Cette théorie est également utilisée pour la cryptographie. 
-
-Les applications les plus courantes et peut-être les 
-plus intuitives sont les jeux de hasard (lancer de dé, roulette, blackjack, etc).
-Et c'est pas cela qu'on va commencer. 
-
-\section{Exemple du jeu de dé}
-
-On considère un dé à 6 faces. Le lancer de dé est une \textit{expérience aléatoire}, car
-on ne peut dire quel sera le résultat avant d'avoir effectué l'expérience. 
-
-Avant de commencer à étudier les probabilités du lancer de dé, et les questions qu'on peut se poser, faisons d'abord un peu de vocabulaire
-qui sera utile pour la suite.
-
-\begin{itemize}
-\item[$\bullet$] L'ensemble des résultats possibles du lancer de dé est $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$ et cet ensemble est appelé l'\textit{univers} du lancer de dé.
-
-\item[$\bullet$] Chaque résultat possible du lancer de dé ($1$, $2$, etc), noté $\omega\in\Omega$, est appelé une \textit{éventualité}.
-
-\item[$\bullet$] Un ensemble de résultats possibles, par exemple tous les résultats pairs du lancer de dé $A=\{2, 4, 6\}\in\Omega$, s'appelle un \textit{événement}.
-Un événement composé d'une seule éventualité est appelé \textit{événement élémentaire}.
-
-\item[$\bullet$] On dit que l'événement $A$ est \textit{réalisé} si on obtient $2$, $4$, ou $6$ en lançant le dé.
-
-\item[$\bullet$] \textit{L'événement certain} est l'univers en entier. On est certain de réaliser l'événement. 
-
-\item[$\bullet$] \textit{L'événement impossible} est l'ensemble vide, $A=\emptyset$. Il correspondrait à l'événement obtenir $7$ ou plus en lançant un dé par exemple. 
-
-\item[$\bullet$] Si $A$ est un événement, on note $p(A)$ la \textit{probabilité} que $A$ soit réalisé.
-\end{itemize}
-
-Si maintenant nous voulons connaître la probabilité de tirer $6$, ou encore la probabilité de réaliser $A=\{6\}$.  
-Cela est assez intuitif pour le cas du dé. Nous avons $6$ éléments dans l'univers
-du lancer de dé. La probabilité de réaliser $A=\{6\}$ est donc
-\begin{equation}
- p(6)=\frac{1}{6}.
-\end{equation}
-Pour le cas du lancer de dé, on dit qu'on a un processus qui est \textit{équiprobable}. En effet,
-la probabilité de réaliser chacun des événements élémentaires est la même. On a en effet la même probabilité de tirer 
-$1$, $2$, $3$, $4$, $5$, ou $6$.
-
-Si à présent, on se pose la question de la probabilité de réaliser un tirage pair, $A=\{2,4,6\}$, 
-alors on trouve 
-\begin{equation}
- p(\mbox{tirer un nombre pair})=\frac{1}{2}.
-\end{equation}
-De façon générale pour le lancer de dé, on a que la probabilité de réaliser l'événement $A$ est
-\begin{equation}
-p(A)=\frac{\mbox{nombre d'éléments dans }A}{\mbox{nombre d'éléments dans }\Omega}.
-\end{equation}
-
-Si maintenant, on veut savoir quelle est la probabilité de tirer n'importe quel élément dans l'univers, on a
-\begin{equation}
-p(\Omega)=\frac{\mbox{nombre d'éléments dans }\Omega}{\mbox{nombre d'éléments dans }\Omega}=1.
-\end{equation}
-De même la probabilité de réaliser l'événement impossible est de 
-\begin{equation}
-p(\emptyset)=\frac{\mbox{nombre d'éléments dans }\emptyset}{\mbox{nombre d'éléments dans }\Omega}=0.
-\end{equation}
-On voit ici une propriété fondamentale des probabilités qui est que $0\leq p(A)\leq 1,\ \forall A$.
-
-La probabilité de ne pas tirer un 6 donc de réaliser l'événement $\bar A=\{1,2,3,4,5\}$ est donné par 
-$1$ moins la probabilité de réaliser $A=\{6\}$, il vient
-\begin{equation}
- p(\bar A)=1-p(A)=\frac{5}{6}.
-\end{equation}
-De même la probabilité de tirer un nombre impair, est donnée par $1$ moins la probabilité de réaliser 
-l'événement pair
-\begin{equation}
- p(\{1,3,5\})=1-p(\{2,4,6\})=\frac{1}{2}.
-\end{equation}
-
-
-\subsection{Evénements disjoints}\label{subsec_disjoints}
-Considérons maintenant deux événements, $A=\{1,2\}$ et $B=\{3,4,5\}$. 
-Comme $A$ et $B$ n'ont pas d'éléments en commun, on dit que c'est deux événements \textit{disjoints}. 
-Les probabilités de réalisation de ces événements sont donc
-\begin{align}
- p(A)&=\frac{2}{6}=\frac{1}{3},\\
- p(B)&=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}.
-\end{align}
-On va se poser deux questions à présent
-\begin{enumerate}
- \item On cherche à savoir quelle est la probabilité de réaliser $A$ ou de réaliser $B$, donc de tirer 
- un dé dont le résultat sera dans l'ensemble $C=A\cup B=\{1,2,3,4,5\}$. Le résultat est
- \begin{equation}
- p(C)=\frac{5}{6}.
- \end{equation}
- Une coincidence intéressante (qui n'est en fait pas une coincidence) est que
- \begin{equation}
- p(C)=p(A)+p(B)=\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{5}{6}.
- \end{equation}
- \item On cherche à savoir quelle est la probabilité de réaliser $A$ et réaliser $B$ en même temps,
- donc de tirer un dé qui sera dans l'ensemble $C=A\cap B=\emptyset$. Ici on a déjà vu 
- que la probabilité $p(\emptyset)=0$.
-\end{enumerate}
-On voit donc que si des événements sont disjoints, alors la probabilité de réaliser 
-l'un ou l'autre des événements est simplement la somme des probabilités de réaliser chacun des événements.
-Inversément la probabilité de réaliser les deux événements en même temps est nulle.
-
-Nous pouvons facilement décomposer $A$ en deux sous événements élémentaires, $A=\{1\}\cup \{2\}$.
-On a donc une autre façon de calculer $p(A)$
-\begin{equation}
-p(A)=p(\{1\})+p(\{2\})=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}.
-\end{equation}
-On a donc que la probabilité de réaliser un événement est la somme des événements élémentaires qui le composent.
-
-\subsection{Evénements complémentaires}
-Considérons de nouveau l'événement $A=\{1,2\}$ et cette fois l'événement $B=\Omega\backslash \{1,2\}=\{3,4,5,6\}$. L'événement 
-$B$ est appelé \textit{l'événement complémentaire} de $A$. Il est noté $B=\bar A$. Les probabilité de réaliser $A$ ou de réaliser
-$\bar A$ est la même chose que de réaliser l'événement certain, car $A\cup \bar A=\Omega$. 
-On vérifie aisément dans ce cas que 
-\begin{equation}
- \Omega=\{1,2\}\cup\{3,4,5,6\}.
-\end{equation}
-On a donc 
-\begin{equation}
- p(A\cup \bar A)=p(\Omega)=1.
-\end{equation}
-De plus de ce qu'on a vu précédemment,
-on a que 
-\begin{equation}
-p(A\cup \bar A)=p(A)+p(\bar A).
-\end{equation}
-En combinant ces deux derniers résultats, il vient que
-\begin{equation}
-p(A)+p(\bar A)=1.
-\end{equation}
-On en déduit que 
-\begin{equation}
-p(\bar A)=1-p(\bar A)=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.
-\end{equation}
-Dans ce cas on peut également calculer à priori $p(B)$
-\begin{equation}
-p(B)=\frac{\mbox{nombre d'éléments dans }B}{\mbox{nombre d'éléments dans }\Omega}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.
-\end{equation}
-Ce résultat est très important car on calcule facilement $p(\bar A)$ si on connaît $p(A)$.
-
-
-
-\subsection{Evénements non-disjoints}
-Considérons de nouveau l'événement $A=\{1,2\}$ et cette fois $B=\{2,3,4,5\}$. Les probabilités de réaliser les événements
-respectifs sont
-\begin{align}
- p(A)&=\frac{1}{3},\\
- p(B)&=\frac{2}{3}.
-\end{align}
-La probabilité de réaliser $A$ et $B$ est maintenant la probabilité de réaliser $C=A\cap B=\{2\}$ 
-\begin{equation}
- p(C)=\frac{1}{6}.
-\end{equation}
-Si on cherche à présent la probabilité de réaliser $A$ ou $B$, $D=A\cup B=\{1,2,3,4,5\}$, on voit aisément que 
-\begin{equation}
- p(D)=\frac{5}{6}.
-\end{equation}
-Comme $A$ et $B$ ne sont pas disjoints ont constate 
-\begin{equation}
- \frac{5}{6}=p(D)\neq p(A)+p(B)=1.
-\end{equation}
-L'inégalité est dûe au fait que dans le cas où on fait la somme $p(A)+p(B)$ on compte à double la probabilité de tirer l'éventualité $2$,
-qui est l'intersection de $A$ et de $B$. Afin de corriger donc le calcul de $p(D)$ à partir de la somme $p(A)+p(B)$ il suffit d'enlever 
-la probabilité de tirer l'intersection $C$. On a donc
-\begin{equation}
- \frac{5}{6}=p(D)= p(A)+p(B)-p(C)=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}.
-\end{equation}
-De façon complètement générale, on a la relation suivante pour calculer la probabilité de réaliser l'union de deux événement $A$ et $B$
-\begin{equation}
- p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B).
-\end{equation}
-Il en suit immédiatement que si $A\cap B=\emptyset$, alors
-\begin{equation}
- p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)=p(A)+p(B)-p(\emptyset)=p(A)+p(B).
-\end{equation}
-
-\subsection{Tirages multiples}
-
-Jusqu'ici on a lancer le dé une fois et calculé la probabilité liée à ce lancer unique. 
-A présent, on va tirer le dé plusieurs fois et calculer les probabilité d'obtenir des séquences 
-de réalisations. Pour notre exemple on va prendre un cas où on tire le dé deux fois successivement.
-Ce type de tirage est appelé \textit{tirage successif avec remise}, car les deux tirages sont 
-successifs et indépendants entre eux (on va tirer deux fois le même dé). L'univers de 
-cette expérience est la combinaison de tous les résultats obtenus avec chacun des dés
-\begin{equation}
- \Omega=\{11,12,13,14,15,16,21,22,23,24,25,26,...,61,62,63,64,65,66\}.
-\end{equation}
-Il y a $6\times 6=6^2=36$ résultats possibles à ce tirage. Il faut noter ici que l'ordre dans lequel le tirage 
-a lieu est important; le tirage $26$ est différent du tirage $62$. On verra par la suite des exemples ou cela n'est pas le cas.
-
-On cherche à savoir quelle est la probabilité d'obtenir l'événement $A=\{26\}$.
-
-Comme précédemment la probabilité de réaliser l'événement $A$ est le nombre d'éléments dans $A$ divisé par le nombre d'éléments dans $\Omega$.
-La probabilité est donc immédiatement obtenue
-\begin{equation}
- p(A)=\frac{1}{36}.
-\end{equation}
-Une autre façon de visualiser ce genre de réalisation est de l'écrire sous forme d'arbre
-(voir la figure \ref{fig_arbre}).
-\begin{figure}[htp]
-\includegraphics[width=\textwidth]{figs/arbre.pdf}
-\caption{Représentation du tirage $26$ sous forme d'arbre.}\label{fig_arbre}
-\end{figure}
-Comme pour le cas à un tirage, tout tirage successif de dés est équiprobable et la probabilité
-de chaque tirage est de $1/36$.
-
-Une autre façon de calculer la probabilité d'obtenir $A=\{26\}$ est de constater que la probabilié 
-d'obtenir ce tirage succesif est la probabilité de tirer $2$, puis la probabilité de tirer $6$. La probabilité
-de cet enchaînement est obtenu en multipliant les événements élémentaires
-\begin{equation}
- p(\{26\})=p(\{2\})\cdot p(\{6\})=\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}.
-\end{equation}
-\begin{figure}[htp]
-\includegraphics[width=\textwidth]{figs/arbre2.pdf}
-\caption{Représentation du tirage $26$ sous forme d'arbre avec les probabilités associées.}\label{fig_arbre2}
-\end{figure}
-Afin de calculer la probabilité du tirage $26$ il suffit de suivre le chemin menant de la racine à la feuille correspondante
-et de multiplier les probabilités inscrites sur chacune des branches.
-
-Si à présent, nous voulons savoir quelle est la probabilité de tirer un $2$ ou un $4$ avec le premier dé et un nombre pair avec le second,
-on a trois façons de calculer le résultat. La façon compliquée, où on compte toutes les possibilités. L'événement 
-précédent s'écrit
-\begin{equation}
- A=\{22,24,26,42,44,46\}.
-\end{equation}
-On a donc que $p(A)$ est donné par
-\begin{equation}
- p(A)=\frac{\mbox{nombre d'éléments dans }A}{\mbox{nombre d'éléments dans }\Omega}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}.
-\end{equation}
-L'autre façon (plus simple) est d'utiliser la propriété du produit des probabilité. Nous savons que la probabilité de tirer un 
-$2$ ou un $4$ avec le premier dé est de $1/3$, puis la probabilité de tirer un nombre pair avec le deuxième est de 
-$1/2$. On a donc finalement que
-\begin{equation}
- p(A)=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{6}.
-\end{equation}
-Finalement, on peut aussi utiliser la représentation sous forme d'arbre
-où on somme simplement les probabilités de chacun des éléments de $A$
-(voir figure \ref{fig_arbre3}).
-\begin{figure}[htp]
-\includegraphics[width=\textwidth]{figs/arbre3.pdf}
-\caption{Représentation de l'événement $A=\{22,24,26,42,44,46\}$ sous forme d'arbre avec les probabilités associées.
-Toutes les probabilités et tirages possibles associés aux branches ne sont pas affichées pour simplifier
-l'affichage.}\label{fig_arbre3}
-\end{figure}
-Comme vu dans la section \ref{subsec_disjoints}, il suffit de prendre la somme des 
-probabilités des événements élémentaires
-\begin{align}
- p(A)&=p(\{22\})+p(\{24\})+p(\{26\})+p(\{42\})+p(\{44\})+p(\{46\})\nonumber\\
-     &=\frac{1}{36}+\frac{1}{36}+\frac{1}{36}+\frac{1}{36}+\frac{1}{36}+\frac{1}{36}\nonumber\\
-     &=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}.
-\end{align}
-
-Si à présent l'ordre dans lequel les dés sont tirés n'a plus d'importance le calcul de probabilités change un peu.
-On désire savoir quelle est la probabilité d'obtenir $26$ dans un ordre arbitraire. On peut donc obtenir
-cette combinaison en tirant $26$ ou en tirant $62$. On a donc $A=\{26,62\}$. La probabilité de réaliser $A$
-est donc
-\begin{equation}
- p(A)=\frac{2}{36}=\frac{1}{18}.
-\end{equation}
-On peut calculer cette probabilité de nouveau avec l'arbre ou en comptant. Une façon de nouveau plus simple
-dans bien des cas est d'utiliser les produits de probabilités. La probabilité de tirer
-$26$ ou $62$ est la probabilité de tirer d'abord $2$ ou $6$, puis de tirer le nombre restant ($2$ si on a d'abord tiré $6$
-ou $6$ si on a d'abord tiré $2$). La probabilité de tirer $2$ ou $6$ est de $1/3$, puis la probabilité de tirer
-le nombre restant est de $1/6$. On a donc que
-\begin{equation}
- p(A)=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{18}.
-\end{equation}
-
-\begin{exercices}
-\hfill\break
- \begin{enumerate}
-  \item Calculer la probabilité d'obtenir $2$ comme la somme des deux nombres tirés par deux dés.
-  \item Calculer la probabilité d'obtenir $3,4,5,6,7,8,9,10,11,12$ comme la somme des deux nombres tirés par deux dés.
-  \item Calculer la probabilité d'obtenir $7$ comme la somme des deux nombres tirés par deux dés.
-  \item Calculer la probabilité d'obtenir $6$ soit avec 1 soit avec 2 dés.
-  \item Déterminer le nombre de combinaisons possibles avec 3, 4, 5 dés. Pouvez vous généraliser à $n$ dés?
-  \item Soit un tirage aléatoire offrant 2 possibilité (pile ou face par exemple). Quel est le nombre de combinaisons possibles 
-  si on tire $n$ fois? Pouvez-vous généraliser pour un tirage aléatoire offrant $m$ possibilités qu'on tire $n$ fois?
- \end{enumerate}
-
-\end{exercices}
-
-\section{Exemple du lotto}
-Dans un lotto on a dans un sac un nombre de jetons numérotés, disons pour l'exemple entre 1 et 6, 
-qui sont tirés successivement. Une fois un jeton tiré, il ne sera pas remis dans le sac. 
-On appelle ce genre de tirage \textit{sans remise}. Contrairement au cas des dés vus dans 
-la section précédente qui était `\textit{avec remise}.
-On tire un nombre fixé de jetons, disons 3. On souhaite déterminer la probabilité d'obtenir
-une suite donnée de 2 numéros, disons $25$. Disons que pour cet exemple l'ordre du tirage a de l'importance
-(ce qui n'est pas le cas du lotto).
-
-Afin de calculer cette probabilité le fait qu'on effectue un tirage avec remise est promordial.
-En effet considérons le cas initial illustré dans la figure \ref{fig_loto}.
-\begin{figure}[htp]
-\includegraphics[height=1.8truecm]{figs/loto.pdf}
-\caption{Les six numéros présents initialement dans le sac.}\label{fig_loto}
-\end{figure}
-Pendant le premier tirage, nous tirons le numéro 2 (voir figure \ref{fig_loto2}). Notons que le tirage du 2 a une probabilité $\frac{1}{6}$.
-\begin{figure}[htp]
-\includegraphics[height=1.8truecm]{figs/loto2.pdf}
-\caption{Le numéro 2 est tiré lors du premier tirage.}\label{fig_loto2}
-\end{figure}
-Il est donc enlevé du sac et il nous reste uniquement 5 chiffres parmis lesquels choisir 
-(les chiffres $1$, $3$, $4$, $5$, et $6$, comme dans la figure \ref{fig_loto3}).
-\begin{figure}[htp]
-\includegraphics[height=1.8truecm]{figs/loto3.pdf}
-\caption{Il ne reste que 5 chiffres dans le sac.}\label{fig_loto3}
-\end{figure}
-Comme il ne nous reste que 5 chiffres, la probabilité de tirer un des nombres restant, 
-disons le $5$, est de $\frac{1}{5}$ (voir la figure \ref{fig_loto4}). 
-\begin{figure}[htp]
-\includegraphics[height=1.8truecm]{figs/loto4.pdf}
-\caption{Il ne reste que 5 chiffres dans le sac et nous tirons le 5.}\label{fig_loto4}
-\end{figure}
-Le 5 sera lui aussi retiré et il ne restera que 4 numéros dans le sac et ainsi de suite. 
-
-On voit donc que la probabilité de tirer la suite ordonnée $25$ est de
-\begin{equation}
- p(\{25\})=p(\{2\})\cdot p(\{5\})=\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{5}=\frac{1}{30}.
-\end{equation}
-A présent, si nous considérons que l'ordre n'a pas d'importance, on a comme dans la section précédente
-que l'événement qui nous intéresse est $A=\{25,52\}$. On peut donc décomposer 
-ce cas en 2 et dire qu'on a dans un premier temps la probabilité de tirer $2$ ou $5$ parmis 
-$6$ nombres, puis on a la probabilité de tirer le $5$ ou le $2$ (respectrivement si on a tiré $2$ ou $5$) parmis 5.
-Les deux probabilité sont donc données respectivement par $p(\{2,5\})=\frac{2}{6}$ puis par $p(\{5,2\}\backslash \{2\mbox{ ou }5)=\frac{1}{5}$.
-
-\begin{exercices}
-\hfill\break
- \begin{enumerate}
-  \item Le jeu Eruomillions consiste en un tirage de 5 numéros parmis 50 possible, puis par le tirage de 2 ``étoiles'' parmis 11 possibles.
-  Déterminez la probabilité de trouver la bonne combinaison à un tirage.
-  \item Le jeu du swiss lotto, consiste au tirage de 5 numéros parmis 42 possibles, puis au tirage d'un numéros parmis 6. Calculez la probabilité de 
-  gagner au swiss lotto..
- \end{enumerate}
-\end{exercices}
-
-\section{Quelques exercices}
-Afin de continuner avec ces concepts de tirages aléatoires avec ou sans remise
-de suite ordonnées ou non, nous allons faire quelques exercices. Il peut se révéler utile de dessiner un arbre pour ces exercices.
-\begin{enumerate}
- \item Dans une urne se trouvent 2 boules blanches et 3 boules noires. On tire successivement deux boules sans remise.
-Calculer et comparer les probabilités des deux événements suivants
-\begin{itemize}
- \item[$\bullet$] Tirer deux boules de même couleur.
- \item[$\bullet$] Tirer deux boules de couleurs différentes.
-\end{itemize}
-\item Une bille, lâchée en $O$ tombe dans l'une des trois boîtes $A$, $B$, ou $C$. A chaque bifurcation, la bille 
-tombe à gauche avec la probabilité de 0.25 et à droite avec la probabilité de 0.75 (voir figure \ref{fig_bille})
-\begin{figure}[htp]
-\begin{center}
-\includegraphics[height=2.8truecm]{figs/bille.pdf}
-\end{center}
-\caption{Une bille lâchée en $O$ tombe dans la boîte $A$, $B$, ou $C$.}\label{fig_bille}
-\end{figure}
-\begin{itemize}
- \item[$\bullet$] Calculer les probabilités $p(A)$, $p(B)$, $p(C)$ pour qu'une bille lâchée de O tombe respectivement 
-dans la boîte $A$, $B$ ou $C$.
-\item[$\bullet$] On lâche deux billes en $O$. Calculer la probabilité pour que les deux billes tombent dans la même boîte.
-\item[$\bullet$] On lâche trois billes en $O$. Calculer la probabilité d'avoir une bille dans chaque boîte.
-\item[$\bullet$] On lâche dix billes en $O$. Calculer la probabilité d'avoir au moins trois billes dans la boîte B.
-\end{itemize}
-\item A la naissance, la probabilité qu'un enfant soit un garçon
-est de $p(G)=0.514$.
-\begin{itemize}
- \item[$\bullet$] Calculer et la probabilité qu'un enfant soit une fille.
- \item[$\bullet$] On considère la naissance de deux enfants. Calculer et la probabilité que les deux enfants sooient de même sexe.
- \item[$\bullet$] On considère la naissance de deux enfants. Calculer et la probabilité que les deux enfants soient de sexes opposés.
-\end{itemize}
-\end{enumerate}
-
-
-
-\section{Un peu plus de théorie: le dénombrement}
-
-Dans les exemples précédents, nous avons vu comment déduire les probabilités de réaliser un événemnt lors du jeu de dé, 
-ou de lotto de façon intuitive (arbre, comptage, etc). Il existe des façons un peu plus théoriques de raisonner 
-qui peuvent rendre le travail plus simple. 
-
-Une probabilité de qu'un événement $A$ se produise dans un univers $\Omega$, est liée 
-au nombre d'éléments dans $A$ divisé par le nombre d'éléments dans $\Omega$
-\begin{equation*}
- p(A)=\frac{\card(A)}{\card(\Omega)},
-\end{equation*}
-où card est la \textit{cardinalité} d'un événement, en d'autres termes le nombre d'éléments qu'il contient.
-Il est donc important de pouvoir compter simplement le nombre d'éléments présent dans $A$ et dans $\Omega$.
-
-Afin de pouvoir dénombrer ``facilement'' un événement, il faut d'avoir pouvoir identifier 
-à quel type il appartient. Nous avons vu que nous ne comptons pas de la même façon les événement 
-d'un tirage de lotto et d'un tirage de dés par exemple. 
-Il existe trois grande catégories d'événement que nous allons voir comment dénombrer.
-
-La théorie du dénombrement que nous allons voir ci-dessous, n'est pas propre uniquement aux probabilités, 
-mais s'applique en toute généralité aux ensemble.
-
-\subsection{Les permutations}
-
-\begin{definition}[Permutation]
-Soit $A$ un ensemble de cardinalité $n\in \natural$. Une permutation de $A$ est
-une suite des $n$ éléments dans $A$. De plus l'ordre dans lequel les éléments 
-sont mis dans la suite est important.
-\end{definition}
-\begin{exemple}[Permutation]
-Soit un ensemble de chiffres $A=\{1,2,3\}$. Une permutation possible de cet ensemble est $132$ (qui est différente de la permutation $321$).
-\end{exemple}
-Nous voulons maintenant compter le nombre de permutations existant dans un ensemble avec $n$ éléments.
-Pour ce faire, nous allons tenter de procéder par étapes en prenant des ensembles de plus en plus grands.
-\begin{itemize}
- \item[$\bullet$] Pour un élément $A=\{1\}$. Le nombre de permutations possibles est $1$.
- \item[$\bullet$] Pour deux éléments $A=\{1,2\}$. Les permutations possibles sont $12$ ou $21$. Il y en a donc $2$.
- \item[$\bullet$] Pour trois éléments $A=\{1,2,3\}$. Les permutations possibles sont $123$, $132$, $213$, $231$, $312$, ou $321$. Il y en a donc $6$.
- \item[$\bullet$] Pour quatre éléments $A=\{1,2,3,4\}$. Les permutations possibles sont $1234$, $1243$, $1324$, $1342$, $1423$, $1432$, $2134$, $2143$, $2314$, $2341$, $2413$, $2431$,
- $3214$, $3241$, $3124$, $3142$, $3421$, $3412$, $4231$, $4213$, $4321$, $4312$, $4123$, $4132$. Il y en a donc $24$.
- \item[$\bullet$] Pour cinq éléments $A=\{1,2,3,4,5\}$. Il y a $120$ permutations.
-\end{itemize}
-On peut déduire que la formule générale est que pour un ensemble contenant $n$ éléments, il y a $n!$
-permutations possibles. Pour prouver cette relation, nous allons procéder par récurrence.
-Pour commencer on vérifie que pour $n=1$, on a bien $1!=1$ une permutation. On suppose à présent que pour $n=m$,
-on a bien $m!$ permutations et on doit prouver que pour $n=m+1$ on a bien $(m+1)!$ permutations.
-Si nous écrivions l'ensemble des permutations des $m$ premiers entiers comme
-\begin{equation}
- \perm(m)=\underbrace{\{123...(m-1)m,123...m(m-1),...,m(m-1)...321\}}_{m!\textrm{ termes}}.\label{eq_permutations}
-\end{equation}
-Si nous rajoutons à une de ces permutations (disons $123...(m-1)m$) le nombre $m+1$ et qu'on regarde quelles sont les permutations possibles, on a 
-\begin{align}
- &(m+1)123...(m-1)m,1(m+1)23...(m-1)m,...,\nonumber\\
- &\quad 123...(m-1)(m+1)m,123...(m-1)m(m+1).
-\end{align}
-On voit donc qu'on a rajouté $m+1$ termes à cette permutation. Comme on a que pour chaque permutation de l'équation 
-\eqref{eq_permutations} on fait de même. On a que le nombre total de permutations doit être multiplié par $m+1$.
-On déduit donc que $\card(\perm(m+1))=(m+1)!$, et on a prouvé notre récurrence.
-
-Dans la pratique le terme ``nombre de permutations'' peut ne pas être très simple à interpréter. Pour tenter de le traduire
-dans un langage humain plus compréhensible, on peut se dire que le nombre de permutations d'un ensemble correspond au nombre de façon de classer 
-ses éléments sans remise et en tenant compte de l'ordre des éléments tirés.
-\begin{exercices}
- Résoudre les exercices suivants.
- \begin{enumerate}
-  \item Soit une voiture à $4$ places. On a $4$ passagers et toutes ont le permi de conduire. Combien y a-t-il de dispositions possibles dans la voiture?
-  \item Soient 5 étudiants dans une salle d'informatique possédant 5 ordinateurs
-  sur une table. Parmis ces étudiants, 2 utilisent l'éditeur \texttt{vi} et 3 l'éditeur \texttt{emacs}. Sachant que les utilisateur de \texttt{vi} et d'\texttt{emacs} ne peuvent se mélanger (s'intercaler)
-  combien de dispositions possibles y a-t-il pour asseoir les étudiants? (Indication: traîter d'abord indépendamment les utilisateuirs de \texttt{vi} et \texttt{emacs}, puis combiner les deux.)
-  \item On a un groupe de programmeurs assis autour d'une table ronde. Dans ce groupe il y a 5 programmeurs fortran, 4 programmeurs c++, et 3 programmeurs scala. Sachant que les programmeurs des différents langages ne peuvent se mélanger car ils se méprisent mutuellement pour leur goûts douteux de langages de programmation. Combien de dispositions autour de la table sont possibles? (Indication: procéder comme à l'exerice précédent.)
- \end{enumerate}
-
-\end{exercices}
-
-\subsection{Les arrangements}
-
-\begin{definition}[Le $n$-uplet]
-Soit $n\in \natural$  et $A$ un ensemble fini. Un $n$-uplet d'éléments de $A$
-est une suite ordonnée de $n$ éléments de $A$. Ces éléments peuvent être distincts 
-ou confondus.
-On note $A^n$ l'ensemble de tous les $n$-uplets de $A$.
-\end{definition} 
-\begin{definition}[Arrangement]
-Soit $n\in \natural$ et $A$ un ensemble fini. Un 
-arrangement de $n$ éléments de $A$
-est $n$-uplet d'éléments distincts de $A$.
-\end{definition} 
-Par rapport à la permutation d'un ensemble $A$, un arrangement de $A$ est plus général,
-car il n'est pas forcémnt composé de tous les éléments de $A$.
-
-Nous voulons maintenant dénombrer les arrangements d'un ensemble $A$. Pour ce faire on doit
-introduire une nouvelle notation. 
-
-On note $A_n$ un ensemble contenant $n$ éléments ($n\in \natural$). 
-Et on prend $0\leq p\leq n$ un autre entier. Finalement, on note 
-les arrangement de $p$ éléments dans l'arrangement $A_n$ comme $A^p_n$.
-On veut à présent dénombrer le nombres d'arrangement de $p$ éléments dans un ensemble 
-en contenant $n$. Comme dans la sous-section précédente, faisons un exemple.
-Considérons un ensemble à 4 éléments $A_4=\{1,2,3,4\}$. Il existe
-4 arrangements possibles qui soient non vides.
-\begin{enumerate}
- \item L'arrangement $A_4^1$. Cet arrangement contenant un unique élément est donné par
- $A_4^1=\{1,2,3,4\}$. Il est donc de cardinalité $4$. On peut aussi l'écrire
- \begin{equation*}
-  \card(A_4^1)=4.
- \end{equation*}
-
- \item L'arrangement $A_4^2$. Cet arrangement est donné par \\
- $A_4^2=\{12, 21, 13, 31, 14, 41, 23, 32, 24, 42, 34, 43\}$. Il est donc de cardinalité $12$.
- \begin{equation*}
-  \card(A_4^2)=4\cdot 3.
- \end{equation*}
- \item L'arrangement $A_4^3$. Cet arrangement est donné par
- \begin{align*}
- A_4^3=\{&123, 132, 213, 231, 312, 321, 124, 142, 214, 241, 412, 421, 134, 143,\\
-         &314, 341, 413, 431, 234, 243, 324, 342, 423, 432\}. 
- \end{align*}
- Il est donc de cardinalité $24$.
- \begin{equation*}
-  \card(A_4^3)=4\cdot 3\cdot 2.
- \end{equation*}
- \item L'arrangement $A_4^4$ est la même chose que la permutation de de quatre éléments. Et donc sa cardinalité est également 24.
- \begin{equation*}
-  \card(A_4^4)=4\cdot 3\cdot 2\cdot 1.
- \end{equation*}
-\end{enumerate}
-On peut déduire que le dénombrement de $A_n^p$ s'écrit
-\begin{equation}
- \card(A_n^p)=n(n-1)\cdots (n-p+1)=\frac{n!}{(n-p)!}.
-\end{equation}
-
-Dans la pratique le terme ``nombre d'arrangements $p$ parmis $n$'' peut ne pas être très simple à interpréter. Pour tenter de le traduire
-dans un langage humain plus compréhensible, on peut se dire que le nombre d'arrangements d'un ensemble correspond au nombre de façon de tirer au sort $p$ éléments parmis $n$
-sans remise en tenant compte de l'ordre des éléments tirés.
-\begin{exercices}
- Résoudre les exercices suivants.
- \begin{enumerate}
-  \item On a une salle avec 5 chaises. Entrent 3 étudiants. Combien de façon y a-t-il 
-  d'asseoir les étudians sur les chause?
-  \item On considère qu'on a un processeur possédant 8. Nous avons un programme qui 
-  exécute 5 tâches distinctes. Combien de répartitions existe-t-il pour ces tâches?
-  \item On considère un générateur de mot de passe qui peut utiliser les 26 lettres de l'alphabet. Combien de mots de passes de 6 caractères peuvent-ils être générés?  De 8 caractères? de 10 caractères?
-  \item On considère un générateur de mot de passe qui peut utiliser les 95 (estimation basse du nombre de caractères disponibles sur un clavier) lettres de l'alphabet. Combien de mots de passes de 6 caractères peuvent-ils être générés?
- \end{enumerate}
-
-\end{exercices}
-
-\subsection{Les combinaisons}
-
-\begin{definition}[Combinaison]
-Soient $p\in \natural$ et $n\in \natural$, avec $0\leq p\leq n$. Soit $A$ un ensemble
-contenant $n$ éléments. Une combinaison de $p$ éléments de $A$ est un sous-ensemble de $p$ éléments de $A$. L'ordre n'a aucune importance dans la notion de combinaison.
-On note la combinaison de $p$ parmis $n$, $C_n^p$.
-\end{definition}
-Nous voulons connaître à présent le nombre d'élément dans une combinaison. Vous avez l'habitude de la marche à suivre. Nous allons faire un exemple pour essayer de
-déterminer une formule générale pour la combinaison de $p$ parmi $n$.
-Considérons un ensemble à 4 éléments $A_4=\{1,2,3,4\}$. Il existe
-4 combinaisons possibles qui soient non vides.
-\begin{enumerate}
- \item La combinaison $C_4^1$. Cette combinaison est donnée par
- \begin{equation*}
- C_4^1=\{1,2,3,4\}. 
- \end{equation*}
- Il est donc de cardinalité $4$. On peut aussi l'écrire comme 
- \begin{equation*}
- \card(C_4^1)=\card(A_4^1). 
- \end{equation*}
- \item La combinaison $C_4^2$. Cette combinaison est donnée par
- \begin{equation*}
- C_4^1=\{12, 13, 14, 23, 24, 34\}. 
- \end{equation*}
- Il est donc de cardinalité $6$. On peut aussi l'écrire comme 
- \begin{equation*}
- \card(C_4^2)=\frac{\card(A_4^2)}{2}. 
- \end{equation*}
- 
- \item La combinaison $C_4^2$. Cette combinaison est donnée par
- \begin{align*}
- C_4^3=\{123, 124, 134, 234\}. 
- \end{align*}
- Il est donc de cardinalité $4$. On peut aussi l'écrire comme 
- \begin{equation*}
- \card(C_4^3)=\frac{\card(A_4^3)}{6}=\frac{\card(A_4^3)}{2\cdot 3}. 
- \end{equation*}
- \item La combinaison $C_4^2$. Cette combinaison est donnée par
- \begin{align*}
- C_4^4=\{1234\}. 
- \end{align*}
- Il est donc de cardinalité $1$.  On peut aussi l'écrire comme 
- \begin{equation*}
- \card(C_4^4)=\frac{\card(A_4^4)}{24}=\frac{\card(A_4^4)}{2\cdot 3\cdot 4}. 
- \end{equation*}
-\end{enumerate}
-On peut donc déduire la formule pour la cardinalité d'une combinaison. 
-Elle s'écrit sous la forme
-\begin{equation}
- \card(C_n^p)=\frac{\card(A_n^p)}{p!}=\frac{n!}{p!(n-p)!}.
-\end{equation}
-
-Dans la pratique le terme ``nombre de combinaisons $p$ parmis $n$'' peut ne pas être très simple à interpréter. Pour tenter de le traduire
-dans un langage humain plus compréhensible, on peut se dire que le nombre de combinaisons d'un ensemble correspond au nombre de façon de tirer au sort $p$ éléments parmis $n$
-sans remise et ne tenant pas compte de l'ordre des éléments tirés.
-\begin{exercices}
- Résoudre les exercices suivants.
- \begin{enumerate}
-  \item On considère un nuage de $6$ points. Combien y a-t-il de droites reliants ces $6$ points?
-  \item Considérons une association de 20 membres. Cette association a un comité de direction formé de 3 membres. Un comité ne peut pas être identique à un comité passé. Combien d'année faut-il attendre pour que cette règle pose un problème si les membres de l'association ne changent pas?
-  \item Combien y a-t-il de tirages possibles au swiss lotto? Et à l'euromillions?
-  \item Combien y a-t-il de jeux possibles dans une partie de Jass, où chaque où le jeu complet contient 36 cartes et où il y a quatres joueurs qui reçoivent autant de cartes chacuns?
- \end{enumerate}
-\end{exercices}
-
-\section{Dénombrement et probabilités: mise en pratique}
-
-\begin{exercices}[L'examen d'ITI]
-Le champs de l'examen du cours de probabilités est composé de 40 sujets. 
-Sur ces 40 sujets 4 seront tirés au hasard pour l'examen.
- \begin{enumerate}
-  \item Combien d'examens sont organisables?
-  \item Un candidat n'ayant révisé que 25 sujets se présente à l'examen. Quelle est la probabilité qu'il puisse traiter tous les sujets? trois sujets? deux sujets? un sujet? aucun sujet?
-  \item Combien de sujets un étudiant doit-il réviser pour avoir une probabilité de 99\% de pouvoir tous les traîter?
- \end{enumerate}
-\end{exercices}
-
-\begin{exercices}[Faille du WPS]
-Le WPS (ou Wi-Fi protected setup) est un système qui permet de se connecter à un routeur
-sans utiliser l'identification WPA directement qui existe en 2007. Il existe 3-4 façons de l'appliquer. Celle qui nous intéresse 
-est celle constituée d'un code. Ce code PIN est un nombre à 8 chiffres.
- \begin{enumerate}
-  \item Calculer le nombre de PIN possibles. Combien d'essai sont nécessaires pour avoir 50\% de chances de trouver le PIN?
-  \item En fait le 8ème chiffre est un checksum des 7 premiers chiffres. Combien reste-t-il de PIN possibles?
-  Combien d'essai sont nécessaires pour avoir 50\% de chances de trouver le PIN?
-  \item En 2011, on a découvert (un certain Stefan Viehböck) que lorsqu'on fait une tentative 
-  de connexion avec le code PIN le routeur donne la validité des 4 premiers et 3 derniers chiffres indépendamment. Combien de 
-  possibilités reste-t-il? Combien d'essais sont nécessaires pour avoir 50\% de chances de trouver le PIN? En supposant qu'on ne peut faire 
-  qu'un essai par seconde, combien de temps faut-il pour pour effectuer ces essais?
- \end{enumerate}
- En fait ce que j'ai découvert en essayant l'utilitaire Reaver sur mon routeur, c'est que non seulement on peut hacker 
- un routeur en très peu de temps, mais en plus on obtient le mot de passe WPA du routeur. Si comme la plupart des gens l'utilisateur
- a configuré son wi-fi avec le même mot de passe que pour son mail, son compte en banque, etc. On peut vraiment accéder à 
- un nombre considérable de données...
-\end{exercices}
-% 
-\begin{exercices}[Les souris]
-Dans un laboratoire on a une cage contenant 100 souris. Elles présntent deux caractères qui sont
-importants pour nous, le sexe (mâle ou femelle) et la couleur (noire ou blanche). Il y a 87 mâles,
-57 sont blanches, et 55 sont mâles et blanches.
- \begin{enumerate}
-  \item Faire un tableau à double entrée avec le sexe et la couleur et mettre les effetifs dans chaque case.
-  \item Si on prend une souris au hasard, quelle est la probabilité qu'elle soit noire? Quelle est la probabilité qu'elle soit femelle?
-  Quelle est la probabilité qu'elle soit noire ou femelle?
-  \item Quelle est la probabilité de tirer 5 souris blanches avec remise? Et sans remise?
-  \item Combien de souris il faut tirer avec remise pour avoir 10\% de chances de tirer 5 souris blanches? Et sans remise?
- \end{enumerate}
-\end{exercices}
-
-\section{Probabilités conditionnelles}
-
-Commençons cette section par un exemple pour illustrer le concept de probabilités conditionnelles. 
-Prenons à nouveau un dé à six faces. Nous nous intéressons au calcul de la probabilité de réaliser les événements
-(notons les respectivement $A$ et $B$) \textit{tirer un nombre plus grand ou égal à trois} et \textit{tirer un nombre impair}.
-Les probabilités de réaliser $A$ et $B$ sont données par
-\begin{align}
- p(A)&=\frac{4}{6}=\frac{2}{3},\\
- p(B)&=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}.
-\end{align}
-Cela n'a rien de nouveau c'est un calcul de probabilités tout ce qu'il y a de plus classique.
-
-Par contre, si on nous dit que nous avons déjà tiré un nombre impair. 
-Et qu'on veut savoir quelle est la probabilité d'obtenir un nombre plus grand ou égal à 3.
-Nous changeons un peu le problème. Nous supposons qu'on a tiré un nombre impair et on veut connaître la probabilité
-que ce nombre soit un nombre impair. En termes plus mathématiques, nous voulons savoir quelle est la probabilité que $A$
-soit réalisé, sachant que $B$ a été réalisé. Cette probabilité se note $p(A|B)$.
-
-Calculons à présent cette probabilité. Comme on sait que $B$ a été réalisé (nous avons tiré un nombre impair) l'univers
-a changé. Il est à présent composé de $\Omega=\{1,3,5\}$ (on a que $\card(\Omega)=3$). Dans cet univers on a deux possibilité de tirer 
-un nombre plus grand ou égal à trois ($A|B=\{3,5\}$). La probabilité $p(A|B)$ est donc donnée par
-\begin{equation}
- p(A|B)=\frac{2}{3}.
-\end{equation}
-Regardons maintenant à quoi correspondent les cardinalités présentent dans la franction ci-dessus.
-Le numérateur correspond au nombre d'éléments à la fois dans $A$ et dans $B$ (soit $A\cap B$). Le dénominateur lui
-est simplement la cardinalité de l'événement $B$. Donc on peut écrire la formule de façon 
-plus générale
-\begin{equation}
- p(A|B)=\frac{p(A\cap B)}{p(B)}.\label{eq_prob_cond}
-\end{equation}
-Vérifions que cela marche effectivement. Nous avons que 
-\begin{equation}
- p(A\cap B)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3},
-\end{equation}
-et 
-\begin{equation}
- p(B)=\frac{1}{2}.
-\end{equation}
-Il vient donc que 
-\begin{equation}
- p(A|B)=\frac{p(A\cap B)}{p(B)}=\frac{1}{3}\cdot 2=\frac{2}{3}.
-\end{equation}
-L'équation \eqref{eq_prob_cond} est la formule de calcul de la probabilité conditionnelle de réalisé $A$ sachant 
-que $B$ a été réalisé. Il est important de noter que si $p(B)=0$ cette définition n'a aucun sens, car l'hypothèse de réalisation de $B$
-est impossible.
-
-Une autre façon d'écrire cette formule qui sera utile pour les exercices est 
-\begin{equation}
- p(A\cap B)=p(A|B)p(B).\label{eq_pab}
-\end{equation}
-Par aillurs, si on considère $p(B|A)\neq p(A|B)$, on a
-\begin{equation}
- p(B|A)=\frac{p(A\cap B)}{p(A)},
-\end{equation}
-et 
-\begin{equation}
- p(A\cap B)=p(B|A)p(A).\label{eq_pba}
-\end{equation}
-On a donc deux façons différentes de calculer $p(A\cap B)$ via $p(A|B)$ ou $p(B|A)$.
-On a également la propriété intéresssante qui relie les probabilités $p(A|B)$ et $p(B|A)$.
-En utilisant les équations \eqref{eq_pab} et \eqref{eq_pba}, il vient
-\begin{align}
- &p(B|A)p(A)=p(A|B)p(B),\nonumber\\
- &p(B|A)=p(A|B)\frac{p(B)}{p(A)},\\
- &p(A|B)=p(B|A)\frac{p(A)}{p(B)}.
-\end{align}
-En particulier on voit qu les probabilités conditionnelles $p(A|B)$ et $p(B|A)$ sont égales
-seulment si $p(A)=p(B)$.
-
-Les probabilités conditionnelles ont des probabilités très similaires aux probabilités 
-que nous avons vues jusqu'ici. En particulier
-\begin{itemize}
-\item[$\bullet$] La probabilité conditionnelle est une probabilité nous avons donc que $0\leq p(A|B)\leq 1$. 
-\item[$\bullet$] De façon similaire à $p(\bar A)=1-p(A)$, nous avons que $p(\bar A|B)=1-p(A|B)$.
-\item[$\bullet$] De façon triviale, nous avons que la probabilité conditionnelle $p(A|A)=1$.
-\item[$\bullet$] Si deux événements sont disjoints (on les appelle aussi incompatibles), c'est-à-dire que $A\cap B=\emptyset$,
-on a que
-\begin{equation}
-p(A|B)=\frac{p(A\cap B)}{p(B)}=\frac{p(\emptyset)}{p(B)}=0.
-\end{equation}
-\end{itemize}
-\begin{exercices}[Application de la formule]
-Soient deux événements tels que $p(A)=1/2$ et $p(B)=1/3$ et $p(A|B)=1/4$. 
-\begin{enumerate}
- \item Déterminer $p(B|A)$.
- \item Déterminer $p(B \cap A)$.
-\end{enumerate}
-\end{exercices}
-
-
-\subsection{Arbres pondérés}
-
-Sur notre arbre pondéré, nous mettons sur chaque branche les \textit{probabliltés conditionnelles}
-(voir la figure \ref{fig_arbre_pondere}).
-\begin{figure}[htp]
-\begin{center}
-\includegraphics[height=4.8truecm]{figs/arbre_pondere.pdf}
-\end{center}
-\caption{Exemple d'arbre pondéré avec des événements $A$, $B$, $C$, $D$, $E$. Sur les branches du noeuds de départ, nous avons les probabilité de réaliser $A$ et $B$.
-Sur toutes les branche en dessous, nous avons les probabilités conditionnelles de réaliser $C$, $D$, ou $E$ sachant que $A$ ou $B$ a été réalisé.}\label{fig_arbre_pondere}
-\end{figure}
-Nous avons donc que la probabilité reliée au produit de deux branches donne la probabilité de réalisation de l'intersection
-de deux événements. En effet, nous avons par exemple pour arriver à l'évenement $E$
-\begin{equation}
- p(B)p(E|B)=p(B\cap E).
-\end{equation}
-Si on augmente encore un peu la taille de l'arbre (voir figure \ref{fig_arbre_pondere_2}),
-\begin{figure}[htp]
-\begin{center}
-\includegraphics[height=4.8truecm]{figs/arbre_pondere_2.pdf}
-\end{center}
-\caption{Exemple d'arbre pondéré avec des événements $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $I$, $J$. Sur les branches du noeuds de départ, nous avons les probabilité de réaliser $A$ et $B$.
-Sur toutes les branche en dessous, nous avons les probabilités conditionnelles de réaliser $C$, $D$, ou $E$ sachant que $A$ ou $B$ a été réalisé, 
-puis nous avons encore un 3ème étage à notre arbre avec les événements $I$ et $J$.}\label{fig_arbre_pondere_2}
-\end{figure}
-De façon similaire si nous calculons le produit des probabilité pour arriver jusqu'à $I$, on obtient
-\begin{equation}
- p(B)p(E|B)p(I|B\cap E)=p(B\cap E)p(I|B\cap E)=p(I\cap B\cap E).
-\end{equation}
-Ce type d'arbre est donc très pratique pour déterminer les probabilités d'intersection d'événements.
-
-\begin{remarque}
-Jusqu'ici, nous avions construit certains arbres où les probabilités conditionnelles n'avaient pas d'importance. En effet, si on tire un dé
-deux fois.  Le premier lancer donne un chiffre (disons ``1'') avec une probabilité de rélisation de $1/6$, 
-la probabilité n'importe quel chiffre (disons ``1'' à nouveau) est toujours de $1/6$. Ici le fait d'avoir réalisé un événement,
-ne fait pas intervenir la probabilité conditionnelle. En revanche, de façon cachée, l'arbre correspondant au loto, lui fonctionne comme vu ci-dessus.
-\end{remarque}
-
-\begin{exercice}
-Pour décider de la réussite ou non de l'examen de mathématiques de dexuième année le professeur a décidé d'une façon originale de faire passer l'année.
-$20\%$ des élèves passent sur dossier (qualité de la photo sur IS-Academia, quantité de pizza mangée en moins de 30sec, ...). Ensuite
-les étudiants restants passent un examen écrit sur un sujet libre (anglais, histoire, ...). 
-Ceux qui ratent l'écrit sont éliminés. Le professeur
-a décidé que seul 75\% des étudiants réussissent l'écrit.
-Les étudiants restants passent un examen de chant. Là deux tiers réussissent et passent l'année.
-
-\begin{enumerate}
- \item Faire un arbre pondéré de cette situation ``réussi-raté'' .
- \item On choisit un étudiant au hasard. Déterminer la probabilité qu'il ait tenté et raté l'épreuve écrite.
- \item On choisit un étudiant au hasard. Déterminer la probabilité qu'il soit admis en ayant tenté l'épreuve écrite.
-\end{enumerate}
-\end{exercice}
+\section{Introduction à la statistique descriptive}
+
+En statistique, une \textit{population} est un ensemble d'objets (d'individus) possédants un ou plusieurs \textit{caractères} communs.
+L'étude des caractères d'une population a pour but de révéler des tendances au sein de la population. Ces études sont particulièrement
+intéressantes quand le nombre d'individus de notre population est trop élevé pour pouvoir être analysé en entier. On prélève alors un échantillon 
+représentatif de notre population au hasard 
+et on mène l'analyse statistique sur ce sous ensemble. Les éventuelles conclusions tirées de l'étude statistqiue sur le sous ensemble seront ensuite appliquée
+à l'ensemble de la population. Grâce au calcul de propbabilité nous pourrons alors avoir une confiance plus ou moins grande dans les conclusions 
+tirées en fonction de la taille de l'échantillon. En effet plus celui-ci sera grand, plus la confiance dans les résultats sera élevée.
+
+Un exemple de ce genre d'étude qui est très à la mode ces temps est le sondages (concernant le résultats d'élections ou de votations). 
+Les sondeurs tentent en questionnant un sous-ensemble 
+d'environ 1000 d'électeurs d'un pays (citoyens de plus de 18, moitié d'hommes et de femmes plus ou moins, ...) de déterminer 
+les résultats d'élections ou de votations où participeront des millions d'électeurs potentiels. Il faut avouer que la tâche semble pour 
+le moins complexe. Et la plus grande difficulté tient dans le ``représentatif de la population''.
+
+\subsection{Représentations}
+
+Il existe différentes façon de représenter les caractères d'une population selon que sa nature est \textit{discrète} 
+ou \textit{continue}. Dans le cas discret d'un caractère pouvant prendre $k\in\natural$ valeur différentes $\{x_i\}_{i=0}^{k-1}$,
+on représente le nombre d'indivius pouvant prendre la valeur $x_k$ par le nombre $n_k$. On a donc un ensemble $\{n_i\}_{i=0}^{n-1}$
+d'indivius pour les $k$ valeurs des caratères de la population. Dans le cas continu le nombre d'individus d'un caractère
+correspondrant à une subdivision en $k$ parties de l'ensemble des valeurs possibles pour le dit caractère.
 
 
 
-- 
GitLab


From 4ce94e63bd3528fe046a98ff2df67463a57cf4eb Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Jean-Paul Dax <karlmarx79@hotmail.com>
Date: Mon, 10 Apr 2017 17:46:18 +0200
Subject: [PATCH 18/30] corrupted mydata. corrected

---
 tpFourier/mydata.txt | Bin 72498 -> 7397 bytes
 1 file changed, 0 insertions(+), 0 deletions(-)

diff --git a/tpFourier/mydata.txt b/tpFourier/mydata.txt
index 137ee761c50bd13aaf37d06f5a6c78077a1bcfa5..2ff61ef632f5187c796b32cf66adc48f8c06207a 100644
GIT binary patch
delta 4133
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From 43003c4c67ce05addff1c5c182802be108d2b0cb Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Orestis Malaspinas <orestis.malaspinas@hesge.ch>
Date: Mon, 24 Apr 2017 09:27:44 +0200
Subject: [PATCH 19/30] ajout d'exemples

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 cours.tex | 26 +++++++++++++++++++++++++-
 1 file changed, 25 insertions(+), 1 deletion(-)

diff --git a/cours.tex b/cours.tex
index 818c5cd..d6f8b7d 100644
--- a/cours.tex
+++ b/cours.tex
@@ -2994,9 +2994,33 @@ le moins complexe. Et la plus grande difficulté tient dans le ``représentatif
 
 Il existe différentes façon de représenter les caractères d'une population selon que sa nature est \textit{discrète} 
 ou \textit{continue}. Dans le cas discret d'un caractère pouvant prendre $k\in\natural$ valeur différentes $\{x_i\}_{i=0}^{k-1}$,
-on représente le nombre d'indivius pouvant prendre la valeur $x_k$ par le nombre $n_k$. On a donc un ensemble $\{n_i\}_{i=0}^{n-1}$
+on représente le nombre d'indivius pouvant prendre la valeur $x_i$ par le nombre $n_i$. On a donc un ensemble $\{n_i\}_{i=0}^{k-1}$
 d'indivius pour les $k$ valeurs des caratères de la population. Dans le cas continu le nombre d'individus d'un caractère
 correspondrant à une subdivision en $k$ parties de l'ensemble des valeurs possibles pour le dit caractère.
+\begin{exemples}\hfill\break
+ \begin{enumerate}
+  \item Cas discret: Lors d'une élection il y a quatre candidats nommés A, B, C, et D (ils représentent la population). On compte le nombre de votes que chacun a 
+  obtenu (c'est le caractère que nous voulons étudier). Les résultats sont les suivants:
+  \begin{itemize}
+   \item Le candidat A a obtenu 179 votes. 
+   \item Le candidat B a obtenu 289 votes.
+   \item Le candidat C a obtenu 91 votes.
+   \item Le candidat D a obtenu 136 votes.
+  \end{itemize}
+
+  \item Cas continu: Lors du benchmark d'une application, $A$, nous effetuons plusieurs mesures (la population) du temps d'exécution (le caractère) de l'application.
+  Les résultats obtenus sont les suivants: 
+  \begin{itemize}
+   \item 7 exécutions ont pris entre 50 et 51 secondes.
+   \item 12 exécutions ont pris entre 51 et 52 secondes.
+   \item 8 exécutions ont pris entre 52 et 53 secondes.
+   \item 23 exécutions ont pris entre 53 et 54 secondes.
+  \end{itemize}
+
+ \end{enumerate}
+
+\end{exemples}
+
 
 
 
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GitLab


From b125cc579e66325edf6400acb35acc75bd072f57 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Orestis <karlmarx79@hotmail.com>
Date: Mon, 24 Apr 2017 09:28:59 +0200
Subject: [PATCH 20/30] modif mineure

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 cours.tex | 4 +++-
 1 file changed, 3 insertions(+), 1 deletion(-)

diff --git a/cours.tex b/cours.tex
index 818c5cd..7d3aa41 100644
--- a/cours.tex
+++ b/cours.tex
@@ -2996,7 +2996,9 @@ Il existe différentes façon de représenter les caractères d'une population s
 ou \textit{continue}. Dans le cas discret d'un caractère pouvant prendre $k\in\natural$ valeur différentes $\{x_i\}_{i=0}^{k-1}$,
 on représente le nombre d'indivius pouvant prendre la valeur $x_k$ par le nombre $n_k$. On a donc un ensemble $\{n_i\}_{i=0}^{n-1}$
 d'indivius pour les $k$ valeurs des caratères de la population. Dans le cas continu le nombre d'individus d'un caractère
-correspondrant à une subdivision en $k$ parties de l'ensemble des valeurs possibles pour le dit caractère.
+correspondrant à une subdivision en $k$ parties de l'ensemble des valeurs possibles pour le dit caractère. On peut résumer les deux 
+représentation sous la forme de tableaux. Dans le cas discret, on reprendre l'exemple de 
+
 
 
 
-- 
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From 6393bb202545722acc9b6436f8303e3ae1cec3d7 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Orestis <karlmarx79@hotmail.com>
Date: Mon, 24 Apr 2017 16:17:23 +0200
Subject: [PATCH 21/30] corrections diverses

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 cours.tex | 104 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++------------------
 1 file changed, 69 insertions(+), 35 deletions(-)

diff --git a/cours.tex b/cours.tex
index 9af1025..28f54ad 100644
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+++ b/cours.tex
@@ -2980,8 +2980,8 @@ En statistique, une \textit{population} est un ensemble d'objets (d'individus) p
 L'étude des caractères d'une population a pour but de révéler des tendances au sein de la population. Ces études sont particulièrement
 intéressantes quand le nombre d'individus de notre population est trop élevé pour pouvoir être analysé en entier. On prélève alors un échantillon 
 représentatif de notre population au hasard 
-et on mène l'analyse statistique sur ce sous ensemble. Les éventuelles conclusions tirées de l'étude statistqiue sur le sous ensemble seront ensuite appliquée
-à l'ensemble de la population. Grâce au calcul de propbabilité nous pourrons alors avoir une confiance plus ou moins grande dans les conclusions 
+et on mène l'analyse statistique sur ce sous ensemble. Les éventuelles conclusions tirées de l'étude statistique sur le sous ensemble seront ensuite appliquée
+à l'ensemble de la population. Grâce au calcul de probabilité nous pourrons alors avoir une confiance plus ou moins grande dans les conclusions 
 tirées en fonction de la taille de l'échantillon. En effet plus celui-ci sera grand, plus la confiance dans les résultats sera élevée.
 
 Un exemple de ce genre d'étude qui est très à la mode ces temps est le sondages (concernant le résultats d'élections ou de votations). 
@@ -2994,8 +2994,8 @@ le moins complexe. Et la plus grande difficulté tient dans le ``représentatif
 
 Il existe différentes façon de représenter les caractères d'une population selon que sa nature est \textit{discrète} 
 ou \textit{continue}. Dans le cas discret d'un caractère pouvant prendre $k\in\natural$ valeur différentes $\{x_i\}_{i=0}^{k-1}$,
-on représente le nombre d'indivius pouvant prendre la valeur $x_i$ par le nombre $n_i$. On a donc un ensemble $\{n_i\}_{i=0}^{k-1}$
-d'indivius pour les $k$ valeurs des caratères de la population. Dans le cas continu le nombre d'individus d'un caractère
+on représente le nombre d'individus pouvant prendre la valeur $x_i$ par le nombre $n_i$. On a donc un ensemble $\{n_i\}_{i=0}^{k-1}$
+d'individus pour les $k$ valeurs des caractères de la population. Dans le cas continu le nombre d'individus d'un caractère
 correspondrait à une subdivision en $k$ parties de l'ensemble des valeurs possibles pour le dit caractère.
 \begin{exemples}\hfill\break
  \begin{enumerate}
@@ -3008,7 +3008,7 @@ correspondrait à une subdivision en $k$ parties de l'ensemble des valeurs possi
    \item Il y a 1 personne payée $1'000'000$ CHF.
   \end{itemize}
 
-  \item Cas continu: Lors du benchmark d'une application, $A$, nous effetuons plusieurs mesures (la population) du temps d'exécution (le caractère) de l'application.
+  \item Cas continu: Lors du benchmark d'une application, $A$, nous effectuons plusieurs mesures (la population) du temps d'exécution (le caractère) de l'application.
   Les résultats obtenus sont les suivants: 
   \begin{itemize}
    \item 7 exécutions ont pris entre 50 et 51 secondes.
@@ -3026,7 +3026,7 @@ Pour illustrer les exemples précédents sous forme de tableau on obtient pour l
 \begin{center}
 \begin{tabular}{|c|c|}
 \hline
- Salaire & Nombre de salairés \\
+ Salaire & Nombre de salariés \\
  \hline\hline
  40000 & 35 \\
  \hline
@@ -3103,7 +3103,7 @@ Les tableaux de fréquence des deux exemples précédents sont donnés par
   \begin{center}
   \begin{tabular}{|c|c|c|}
   \hline
-  Salaire & Nombre de salairés & Fréquence\\
+  Salaire & Nombre de salariés & Fréquence\\
   \hline\hline
   40000 & 35 & $35/61\cong0.573770$\\
   \hline
@@ -3162,13 +3162,13 @@ dans les sections suivantes qui sont assez intuitives
 \end{proprietes}
 Relié avec la propriété $2$ ci-dessus, il peut également être intéressant d'obtenir la
 \textit{fréquence cumulée}, notée $F(x)$, d'un caractère qui se définit comme la fréquence des individus 
-qui présentent une valeur de caractère $x_i\leq x$. Les tableaux ocrrespondants aux tableaux 
+qui présentent une valeur de caractère $x_i\leq x$. Les tableaux correspondants aux tableaux 
 \ref{table_salaires} et \ref{table_exec} (voir Tabls. \ref{table_salaires_freqcum} et \ref{table_exec_freqcum})
   \begin{table}[htp]
   \begin{center}
   \begin{tabular}{|c|c|c|c|}
   \hline
-  Salaire & Nombre de salairés & Fréquence & Fréquence cumulée\\
+  Salaire & Nombre de salariés & Fréquence & Fréquence cumulée\\
   \hline\hline
   40000 & 35 & $35/61\cong0.573770$ & $35/61\cong0.573770$\\
   \hline
@@ -3215,7 +3215,7 @@ qui présentent une valeur de caractère $x_i\leq x$. Les tableaux ocrrespondant
 
 Jusqu'ici le nombre de valeurs étudiées était limité et il est assez simple d'avoir 
 une vue d'ensemble de la distribution des valeurs des caractères de notre population.
-Il est plus aisé d'utiliser une nombre de valeurs beaucoup plus resreint permettant
+Il est plus aisé d'utiliser une nombre de valeurs beaucoup plus restreint permettant
 de résumer les différents caractères et nous allons en voir deux différents qui nous donne une tendance dite centrale:
 la moyenne, la médiane.
 
@@ -3241,7 +3241,7 @@ Pour l'exemple des salaires la moyenne est donnée par
  \bar{x}_{\textrm{salaire}}=\frac{35\cdot40000+20\cdot50000+5\cdot60000+1\cdot1000000}{61}=60656.
 \end{equation}
 \end{exemple}
-On remarque ici que la moyenne des salaires donne une impression erronnée de la situation car elle est très sensible aux valeurs extrême de la distribution.
+On remarque ici que la moyenne des salaires donne une impression erronée de la situation car elle est très sensible aux valeurs extrême de la distribution.
 En effet, tous les salaires à l'exception d'un sont inférieurs à la moyenne. En effet, si on retire le salaire d'un million de notre ensemble de valeurs, 
 la moyenne de l'échantillon restant devient
 \begin{equation}
@@ -3266,7 +3266,7 @@ Pour l'exemple des salaires le salaire médian est de $40000 CHF$, ce qui reflè
 
 Nous avons vu deux mesures donnant une tendance générale des caractères d'une population. Hors cette valeur ne nous dit absolument rien
 sur la manière dont ces caractères sont distribués. Sont-ils proches de la moyenne ou de la médiane? Ou en sont-ils au contraire éloignés?
-Nous allons voir deux mesures diffréentes dans cette sous-section: la variance (écart-type), et l'intervalle inter-quantile.
+Nous allons voir deux mesures différentes dans cette sous-section: la variance (écart-type), et l'intervalle inter-quartile.
 
 Nous cherchons d'abord à calculer la moyenne des écarts à la moyenne. 
 Hors, comme on l'a vu dans la sous-section précédente l'écart à la moyenne $x_i-\bar{x}$ est nul en moyenne. Cette grandeurs ne nous apprend rien. 
@@ -3283,7 +3283,7 @@ Si on considère plutôt la racine carrée de la variance, on obtient \textit{l'
 \end{equation}
 \begin{exercices}{Variance, écart-type}
 
-Démontrer les réations suivantes
+Démontrer les relations suivantes
  \begin{enumerate}
   \item On peut également calculer la variance avec la fréquence
   \begin{equation}
@@ -3291,11 +3291,45 @@ Démontrer les réations suivantes
   \end{equation}
   \item On peut également calculer la variance à l'aide de la formule suivante
   \begin{equation}
-   v=\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{k-1}n_ix_i^2-\bar{x}^2.
+   v=\frac{1}{n}\left(\sum_{i=0}^{k-1}n_ix_i^2\right)-\bar{x}^2.
   \end{equation}
  \end{enumerate}
-
 \end{exercices}
+Pour l'exemple du salaire on obtient pour la variance
+\begin{align}
+ v&=\frac{1}{61}\left(35\cdot(40000-60656)^2+35\cdot(50000-60656)^2\right.\nonumber\\
+ &\quad\quad\left.+35\cdot(60000-60656)^2+35\cdot(1000000-60656)^2\right)\nonumber\\
+ &=1.4747\cdot 10^{10},
+\end{align}
+et l'écart-type
+\begin{equation}
+ s=\sqrt{v}=121440.
+\end{equation}
+\begin{exercice}{Variance, écart-type}
+
+Calculer la variance et l'écart type à partir des valeurs du benchmark de l'application.
+\end{exercice}
+
+Encore une fois on constate que la valeur de l'écart-type des salaires est très dépendante de la valeur extrême de la distribution (1000000 CHF). 
+Si on l'enlève la valeur de l'écart type est de $s=6455$ (un facteur 20 plus petit que la valeur sur la population complète).
+
+Comme pour la moyenne et la médiane nous pouvons définir des valeurs plus représentatives. A partir de la fréquence cumulée, $F$,
+on peut définir deux grandeurs, $Q_i\in\{x_i\}_{i=0}^{k-1}$ et $\alpha_i\in[0,1]$ telles que
+\begin{equation}
+ F(Q_i)=\alpha_i.
+\end{equation}
+En d'autres termes $Q_i$ est la valeur pour laquelle la fréquence cumulée vaut $\alpha_i$. $Q_i$ correspond donc au nombre d'individus dons la fréquence cumulée est de $\alpha_i$. 
+En particulier si $\alpha_i=1/2$, alors $Q_i=\tilde{x}$ ($Q_i$ est la médiane). Il est commun d'avoir $Q_i\in[0.25,0.5,0.75]$, on parle alors de quartiles. Avec $Q_1=0.25$ et $Q_3=0.75$, 
+le nombre d'individus entre $0.25$ et $0.75$ est donné par
+\begin{equation}
+ \frac{Q_3-Q_1}{2}.
+\end{equation}
+Cette valeurs est appelée l'intervalle semi-inter-quartile.
+\begin{exercice}{Semi-inter quartile}
+
+Calculer les intervalles semi-inter-quartiles des exemples que nous avons vus plus tôt dans le cours.
+ 
+\end{exercice}
 
 
 
@@ -3304,7 +3338,7 @@ Démontrer les réations suivantes
 \section{Nombres aléatoires}
 
 Les nombres aléatoires, bien que pas directement reliés aux probabilités, sont utilisés dans un certain nombre de domaines
-qui vont de la cryptographie aux simulations physiques. Nous allons voir une introdution simplifiée à la génération de nombres aléatoires
+qui vont de la cryptographie aux simulations physiques. Nous allons voir une introduction simplifiée à la génération de nombres aléatoires
 sur un ordinateur et les différentes problématiques reliées à leur génération.
 
 Une très bonne référence concernant les nombre aléatoires est le site \break \texttt{http://www.random.org}.
@@ -3323,7 +3357,7 @@ De plus, les nombres tirés ne doivent pas dépendre de l'histoire des nombres t
 
 Si on veut maintenant plutôt tirer des nombres réels uniformément distribués entre $[0,1]$, il suffit
 de diviser les nombres $X_i$ par $m$ après chaque tirage. De façon similaire, si nous voulons 
-tirer des nombres dans l'intervalle $[\alpha,\beta]$, on utilise la formule de remise à l'échalle suivante
+tirer des nombres dans l'intervalle $[\alpha,\beta]$, on utilise la formule de remise à l'échelle suivante
 \begin{equation}
  N_i=\alpha+(\beta-\alpha)X_i/m.
 \end{equation}
@@ -3334,13 +3368,13 @@ il existe des transformations beaucoup plus efficaces d'un point de vue computat
 pour changer l'intervalle des nombres aléatoires tirés.
 
 Sans entrer dans les détails, la génération de nombres aléatoires n'ayant pas une distribution
-uniforme s'obtient en effectuant une trasformation un peu plus complexe que celle ci-dessus
-en partant toujours de la suite de nombres aléatoies entiers.
+uniforme s'obtient en effectuant une transformation un peu plus complexe que celle ci-dessus
+en partant toujours de la suite de nombres aléatoires entiers.
 
 Les nombres aléatoires produits de façon algorithmique (donc avec un ordinateur)
-ne peuvent pas être vriament aléatoire, car ils sont obtenus avec une machine 
-déterministe (les opérations faites à l'aide d'un ordinateur snt par définition
-reproductibles avec une chance d'erreur qasiment nulle). On parle donc de nombre pseudo-aléatoires.
+ne peuvent pas être vraiment aléatoire, car ils sont obtenus avec une machine 
+déterministe (les opérations faites à l'aide d'un ordinateur sont par définition
+reproductibles avec une chance d'erreur quasiment nulle). On parle donc de nombre pseudo-aléatoires.
 
 Néanmoins, bien que ces chiffres ne soient pas vraiment aléatoires, ils peuvent 
 être posséder des propriétés qui les rendent satisfaisants pour la plupart des applications. Cette suite de nombres doit avoir des propriétés particulières quand $n\rightarrow\infty$.
@@ -3357,7 +3391,7 @@ très robustes pour tester la qualité des nombres aléatoires algorithmiques.
 Pendant très longtemps, les générateurs de nombres aléatoires algorithmiques
 ont été des générateurs congruenciels linéaires, dont la génération est 
 donné par la formule suivante. Soit $X_i$ un nombre aléatoire,
-aors le prochain nombre de la série est donné par
+alors le prochain nombre de la série est donné par
 \begin{equation}
 X_{i+1}=(aX_i+c)\mod m,
 \end{equation}
@@ -3369,7 +3403,7 @@ Tous les autres nombres obtenus sont déterministes. Pour chaque valeur de grain
 on aura toujours la même séquence de nombre tirés.
 
 Il est très important de noter que la qualité des nombres aléatoires obtenus
-sont extrêment dépendants des valeurs de $a$, $c$ et $m$ choisies (et des 
+sont extrêmement dépendants des valeurs de $a$, $c$ et $m$ choisies (et des 
 relations entre elles). Si par exemple, on choisit 
 $a=1$, $c=1$, $m=10$ et $X_0=0$, on va avoir comme suite de nombre aléatoire
 \begin{equation}
@@ -3412,8 +3446,8 @@ $\tilde X_{i+1}$ est donné par
  \tilde X_{i+1}=A \tilde X_i \mod 2,
 \end{equation}
 où $A$ est une matrice $k\times k$. Ce genre de générateur a l'énorme
-avantage d'être extrêment efficace. Ils sont à la base de l'agorithme Mersenne Twister.
-Ces générateurs ont généralement une période extrêment longue (qui a la particularité d'être
+avantage d'être extrêmement efficace. Ils sont à la base de l'algorithme Mersenne Twister.
+Ces générateurs ont généralement une période extrêmement longue (qui a la particularité d'être
 un nombre premier de type Mersenne dont la forme est $m=2^l-1$, avec $l\in\natural$).
 
 Bien que ne soyant pas parfaits ces générateurs ont le grand avantage d'être très rapides et peu
@@ -3426,7 +3460,7 @@ peut être d'un grand secours.
 \subsection{Les générateurs physiques}
 
 Une autre façon de générer des nombres aléatoires, serait d'utiliser des phénomènes physiques
-qui contiennent de façon inhériente des processus aléatoires. On peut imaginer 
+qui contiennent de façon inhérente des processus aléatoires. On peut imaginer 
 lancer un dé ``à la main'', mesurer les émissions radioactives d'atomes (mesurer leur spin), 
 etc... Ou encore effectuer des lancer de jeux aussi peu biaisés que possibles (roulette, dé, etc).
 
@@ -3484,7 +3518,7 @@ Considérons une simulation nécessitant la génération de nombres aléatoires.
 Un ``bon'' générateur de nombres pseudo-aléatoire produit une série de nombre
 qui peut être utilisée en lieu et place de vrai nombres aléatoires sans que la simulation
 n'en soit affectée. Par exemple, le calcul du nombre $\pi$ vu dans les exercices doit 
-être trouvé avec la précisino désirée avec le générateur de nombre pseudo-aléatoires pour que celui-ci 
+être trouvé avec la précision désirée avec le générateur de nombre pseudo-aléatoires pour que celui-ci 
 soit considéré comme bon.
 
 \subsection{Quelques règles générales}
@@ -3496,15 +3530,15 @@ qualités minimales pour les générateurs de nombres aléatoires.
 \subsubsection{La périodicité}
 
 Tout générateur de nombres pseudo-aléatoires va à un moment ou un autre devenir périodique (la séquence de nombres générés vont 
-se répéter à l'infi). Notons la période du générateur aléatoire $T$. 
+se répéter à l'infini). Notons la période du générateur aléatoire $T$. 
 Il est évident que dès qu'on atteint un nombre de tirages équivalent à la période ($\card(X)\sim T$), on va avoir des nombres 
 pseudo-aléatoires qui ne sont plus du tout satisfaisants. En fait on peut montrer que des problèmes apparaissent dès que
 le nombre de tirages atteint un nombre équivalent à $T^{1/3}$. 
 Une condition primordiale pour avoir un ``bon'' générateur de nombres pseudo-aléatoire est donc une période élevée.
-Pour des généraeurs aléatoires modernes, 
+Pour des générateurs aléatoires modernes, 
 un période $T<2^{100}$ n'est pas considéré comme satisfaisant pour la plupart des applications.
 
-Evidemment il est impossible de tester la périodicité de tels générateurs de façon 
+Évidemment il est impossible de tester la périodicité de tels générateurs de façon 
 expérimentale ($2^{100}\sim 10^{30}$). Cela ne peut se faire que par des études analytiques
 approfondies. Comme expliqué dans la section \ref{sec_congr}
 la période maximale d'un générateur congruentiel linéaire est $m$. Dans les 3 exemples
@@ -3517,7 +3551,7 @@ générateur de nombres pseudo-aléatoires est bon. En particulier on peut prend
  X_{i+1}=(X_i+1)\mod m,
 \end{equation}
 avec $m$ aussi grand qu'on veut (disons $m=2^{2000}$ par exemple) mais la séquence de
-nombres générés ne sera absolument pas aléatoire, étant doné qu'on aura
+nombres générés ne sera absolument pas aléatoire, étant donné qu'on aura
 \begin{equation}
  X=\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ..., 2^{2000}-1, 0, 1, 2, ...\},
 \end{equation}
@@ -3526,7 +3560,7 @@ si $X_0=0$. Cela pourrait ne pas être problématique en soit, si la séquence a
  X=\{1, 2, 3, 4, 5, 6, ..., 2^{2000}-1, 0, 1, 2, ...\}.
 \end{equation}
 Il est donc nécessaire d'avoir d'autres critères que la seule période.
-C'est le sujet de la sousection suivante.
+C'est le sujet de la sous-section suivante.
 
 \subsubsection{La discrépance}
 
@@ -3537,7 +3571,7 @@ Reprenons l'exemple du tirage entre $[0,1]$. Nous pouvons imaginer une suite tr
 sans période avec des tirages aléatoires, mais avec beaucoup plus de 0 que de 1, ce qui évidemment serait problématique.
 
 On doit donc trouver un moyen de tester la répartition des nombres de façon plus quantitative.
-Une façon de le faire est de considérer l'ensemble des $k-$uplets de nombres définits par
+Une façon de le faire est de considérer l'ensemble des $k-$uplets de nombres définis par
 \begin{equation}
  X^k=\{X_1,X_2, ..., X_k\},
 \end{equation}
@@ -3547,7 +3581,7 @@ pour les $k-$uplets formés avec des nombres aléatoires dans $[0,1]^k$. En d'au
 génèrent des $k-$uplets différents pour toutes valeurs de $k$. 
 
 De nouveau ce genre de tests est très compliqué à tester expérimentalement pour $k$ de l'ordre de la période 
-du générateur de nombres aléatoires. Des analyses théoriques sont dèslors primordiales, mais bien en dehors 
+du générateur de nombres aléatoires. Des analyses théoriques sont dès lors primordiales, mais bien en dehors 
 du champs de ce cours...
 
 Il existe beaucoup d'autres tests possibles (il y a des recommandations sur le site \texttt{http://www.random.org} 
-- 
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From 06eb698ba45759fd846f89db6d44b84dbc6082c8 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Orestis <karlmarx79@hotmail.com>
Date: Mon, 24 Apr 2017 16:18:59 +0200
Subject: [PATCH 22/30] ajout debut probs

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 cours.tex | 360 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 360 insertions(+)

diff --git a/cours.tex b/cours.tex
index 28f54ad..3a543b1 100644
--- a/cours.tex
+++ b/cours.tex
@@ -3331,7 +3331,367 @@ Calculer les intervalles semi-inter-quartiles des exemples que nous avons vus pl
  
 \end{exercice}
 
+\section{Exemple du jeu de dé}
 
+On considère un dé à 6 faces. Le lancer de dé est une \textit{expérience aléatoire}, car
+on ne peut dire quel sera le résultat avant d'avoir effectué l'expérience. 
+
+Avant de commencer à étudier les probabilités du lancer de dé, et les questions qu'on peut se poser, faisons d'abord un peu de vocabulaire
+qui sera utile pour la suite.
+
+\begin{itemize}
+\item[$\bullet$] L'ensemble des résultats possibles du lancer de dé est $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$ et cet ensemble est appelé l'\textit{univers} du lancer de dé.
+
+\item[$\bullet$] Chaque résultat possible du lancer de dé ($1$, $2$, etc), noté $\omega\in\Omega$, est appelé une \textit{éventualité}.
+
+\item[$\bullet$] Un ensemble de résultats possibles, par exemple tous les résultats pairs du lancer de dé $A=\{2, 4, 6\}\in\Omega$, s'appelle un \textit{événement}.
+Un événement composé d'une seule éventualité est appelé \textit{événement élémentaire}.
+
+\item[$\bullet$] On dit que l'événement $A$ est \textit{réalisé} si on obtient $2$, $4$, ou $6$ en lançant le dé.
+
+\item[$\bullet$] \textit{L'événement certain} est l'univers en entier. On est certain de réaliser l'événement. 
+
+\item[$\bullet$] \textit{L'événement impossible} est l'ensemble vide, $A=\emptyset$. Il correspondrait à l'événement obtenir $7$ ou plus en lançant un dé par exemple. 
+
+\item[$\bullet$] Si $A$ est un événement, on note $p(A)$ la \textit{probabilité} que $A$ soit réalisé.
+\end{itemize}
+
+Si maintenant nous voulons connaître la probabilité de tirer $6$, ou encore la probabilité de réaliser $A=\{6\}$.  
+Cela est assez intuitif pour le cas du dé. Nous avons $6$ éléments dans l'univers
+du lancer de dé. La probabilité de réaliser $A=\{6\}$ est donc
+\begin{equation}
+ p(6)=\frac{1}{6}.
+\end{equation}
+Pour le cas du lancer de dé, on dit qu'on a un processus qui est \textit{équiprobable}. En effet,
+la probabilité de réaliser chacun des événements élémentaires est la même. On a en effet la même probabilité de tirer 
+$1$, $2$, $3$, $4$, $5$, ou $6$.
+
+Si à présent, on se pose la question de la probabilité de réaliser un tirage pair, $A=\{2,4,6\}$, 
+alors on trouve 
+\begin{equation}
+ p(\mbox{tirer un nombre pair})=\frac{1}{2}.
+\end{equation}
+De façon générale pour le lancer de dé, on a que la probabilité de réaliser l'événement $A$ est
+\begin{equation}
+p(A)=\frac{\mbox{nombre d'éléments dans }A}{\mbox{nombre d'éléments dans }\Omega}.
+\end{equation}
+
+Si maintenant, on veut savoir quelle est la probabilité de tirer n'importe quel élément dans l'univers, on a
+\begin{equation}
+p(\Omega)=\frac{\mbox{nombre d'éléments dans }\Omega}{\mbox{nombre d'éléments dans }\Omega}=1.
+\end{equation}
+De même la probabilité de réaliser l'événement impossible est de 
+\begin{equation}
+p(\emptyset)=\frac{\mbox{nombre d'éléments dans }\emptyset}{\mbox{nombre d'éléments dans }\Omega}=0.
+\end{equation}
+On voit ici une propriété fondamentale des probabilités qui est que $0\leq p(A)\leq 1,\ \forall A$.
+
+La probabilité de ne pas tirer un 6 donc de réaliser l'événement $\bar A=\{1,2,3,4,5\}$ est donné par 
+$1$ moins la probabilité de réaliser $A=\{6\}$, il vient
+\begin{equation}
+ p(\bar A)=1-p(A)=\frac{5}{6}.
+\end{equation}
+De même la probabilité de tirer un nombre impair, est donnée par $1$ moins la probabilité de réaliser 
+l'événement pair
+\begin{equation}
+ p(\{1,3,5\})=1-p(\{2,4,6\})=\frac{1}{2}.
+\end{equation}
+
+
+\subsection{Evénements disjoints}\label{subsec_disjoints}
+Considérons maintenant deux événements, $A=\{1,2\}$ et $B=\{3,4,5\}$. 
+Comme $A$ et $B$ n'ont pas d'éléments en commun, on dit que c'est deux événements \textit{disjoints}. 
+Les probabilités de réalisation de ces événements sont donc
+\begin{align}
+ p(A)&=\frac{2}{6}=\frac{1}{3},\\
+ p(B)&=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}.
+\end{align}
+On va se poser deux questions à présent
+\begin{enumerate}
+ \item On cherche à savoir quelle est la probabilité de réaliser $A$ ou de réaliser $B$, donc de tirer 
+ un dé dont le résultat sera dans l'ensemble $C=A\cup B=\{1,2,3,4,5\}$. Le résultat est
+ \begin{equation}
+ p(C)=\frac{5}{6}.
+ \end{equation}
+ Une coincidence intéressante (qui n'est en fait pas une coincidence) est que
+ \begin{equation}
+ p(C)=p(A)+p(B)=\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{5}{6}.
+ \end{equation}
+ \item On cherche à savoir quelle est la probabilité de réaliser $A$ et réaliser $B$ en même temps,
+ donc de tirer un dé qui sera dans l'ensemble $C=A\cap B=\emptyset$. Ici on a déjà vu 
+ que la probabilité $p(\emptyset)=0$.
+\end{enumerate}
+On voit donc que si des événements sont disjoints, alors la probabilité de réaliser 
+l'un ou l'autre des événements est simplement la somme des probabilités de réaliser chacun des événements.
+Inversément la probabilité de réaliser les deux événements en même temps est nulle.
+
+Nous pouvons facilement décomposer $A$ en deux sous événements élémentaires, $A=\{1\}\cup \{2\}$.
+On a donc une autre façon de calculer $p(A)$
+\begin{equation}
+p(A)=p(\{1\})+p(\{2\})=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}.
+\end{equation}
+On a donc que la probabilité de réaliser un événement est la somme des événements élémentaires qui le composent.
+
+\subsection{Evénements complémentaires}
+Considérons de nouveau l'événement $A=\{1,2\}$ et cette fois l'événement $B=\Omega\backslash \{1,2\}=\{3,4,5,6\}$. L'événement 
+$B$ est appelé \textit{l'événement complémentaire} de $A$. Il est noté $B=\bar A$. Les probabilité de réaliser $A$ ou de réaliser
+$\bar A$ est la même chose que de réaliser l'événement certain, car $A\cup \bar A=\Omega$. 
+On vérifie aisément dans ce cas que 
+\begin{equation}
+ \Omega=\{1,2\}\cup\{3,4,5,6\}.
+\end{equation}
+On a donc 
+\begin{equation}
+ p(A\cup \bar A)=p(\Omega)=1.
+\end{equation}
+De plus de ce qu'on a vu précédemment,
+on a que 
+\begin{equation}
+p(A\cup \bar A)=p(A)+p(\bar A).
+\end{equation}
+En combinant ces deux derniers résultats, il vient que
+\begin{equation}
+p(A)+p(\bar A)=1.
+\end{equation}
+On en déduit que 
+\begin{equation}
+p(\bar A)=1-p(\bar A)=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.
+\end{equation}
+Dans ce cas on peut également calculer à priori $p(B)$
+\begin{equation}
+p(B)=\frac{\mbox{nombre d'éléments dans }B}{\mbox{nombre d'éléments dans }\Omega}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.
+\end{equation}
+Ce résultat est très important car on calcule facilement $p(\bar A)$ si on connaît $p(A)$.
+
+
+
+\subsection{Evénements non-disjoints}
+Considérons de nouveau l'événement $A=\{1,2\}$ et cette fois $B=\{2,3,4,5\}$. Les probabilités de réaliser les événements
+respectifs sont
+\begin{align}
+ p(A)&=\frac{1}{3},\\
+ p(B)&=\frac{2}{3}.
+\end{align}
+La probabilité de réaliser $A$ et $B$ est maintenant la probabilité de réaliser $C=A\cap B=\{2\}$ 
+\begin{equation}
+ p(C)=\frac{1}{6}.
+\end{equation}
+Si on cherche à présent la probabilité de réaliser $A$ ou $B$, $D=A\cup B=\{1,2,3,4,5\}$, on voit aisément que 
+\begin{equation}
+ p(D)=\frac{5}{6}.
+\end{equation}
+Comme $A$ et $B$ ne sont pas disjoints ont constate 
+\begin{equation}
+ \frac{5}{6}=p(D)\neq p(A)+p(B)=1.
+\end{equation}
+L'inégalité est dûe au fait que dans le cas où on fait la somme $p(A)+p(B)$ on compte à double la probabilité de tirer l'éventualité $2$,
+qui est l'intersection de $A$ et de $B$. Afin de corriger donc le calcul de $p(D)$ à partir de la somme $p(A)+p(B)$ il suffit d'enlever 
+la probabilité de tirer l'intersection $C$. On a donc
+\begin{equation}
+ \frac{5}{6}=p(D)= p(A)+p(B)-p(C)=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}.
+\end{equation}
+De façon complètement générale, on a la relation suivante pour calculer la probabilité de réaliser l'union de deux événement $A$ et $B$
+\begin{equation}
+ p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B).
+\end{equation}
+Il en suit immédiatement que si $A\cap B=\emptyset$, alors
+\begin{equation}
+ p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)=p(A)+p(B)-p(\emptyset)=p(A)+p(B).
+\end{equation}
+
+\subsection{Tirages multiples}
+
+Jusqu'ici on a lancer le dé une fois et calculé la probabilité liée à ce lancer unique. 
+A présent, on va tirer le dé plusieurs fois et calculer les probabilité d'obtenir des séquences 
+de réalisations. Pour notre exemple on va prendre un cas où on tire le dé deux fois successivement.
+Ce type de tirage est appelé \textit{tirage successif avec remise}, car les deux tirages sont 
+successifs et indépendants entre eux (on va tirer deux fois le même dé). L'univers de 
+cette expérience est la combinaison de tous les résultats obtenus avec chacun des dés
+\begin{equation}
+ \Omega=\{11,12,13,14,15,16,21,22,23,24,25,26,...,61,62,63,64,65,66\}.
+\end{equation}
+Il y a $6\times 6=6^2=36$ résultats possibles à ce tirage. Il faut noter ici que l'ordre dans lequel le tirage 
+a lieu est important; le tirage $26$ est différent du tirage $62$. On verra par la suite des exemples ou cela n'est pas le cas.
+
+On cherche à savoir quelle est la probabilité d'obtenir l'événement $A=\{26\}$.
+
+Comme précédemment la probabilité de réaliser l'événement $A$ est le nombre d'éléments dans $A$ divisé par le nombre d'éléments dans $\Omega$.
+La probabilité est donc immédiatement obtenue
+\begin{equation}
+ p(A)=\frac{1}{36}.
+\end{equation}
+Une autre façon de visualiser ce genre de réalisation est de l'écrire sous forme d'arbre
+(voir la figure \ref{fig_arbre}).
+\begin{figure}[htp]
+\includegraphics[width=\textwidth]{figs/arbre.pdf}
+\caption{Représentation du tirage $26$ sous forme d'arbre.}\label{fig_arbre}
+\end{figure}
+Comme pour le cas à un tirage, tout tirage successif de dés est équiprobable et la probabilité
+de chaque tirage est de $1/36$.
+
+Une autre façon de calculer la probabilité d'obtenir $A=\{26\}$ est de constater que la probabilié 
+d'obtenir ce tirage succesif est la probabilité de tirer $2$, puis la probabilité de tirer $6$. La probabilité
+de cet enchaînement est obtenu en multipliant les événements élémentaires
+\begin{equation}
+ p(\{26\})=p(\{2\})\cdot p(\{6\})=\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}.
+\end{equation}
+\begin{figure}[htp]
+\includegraphics[width=\textwidth]{figs/arbre2.pdf}
+\caption{Représentation du tirage $26$ sous forme d'arbre avec les probabilités associées.}\label{fig_arbre2}
+\end{figure}
+Afin de calculer la probabilité du tirage $26$ il suffit de suivre le chemin menant de la racine à la feuille correspondante
+et de multiplier les probabilités inscrites sur chacune des branches.
+
+Si à présent, nous voulons savoir quelle est la probabilité de tirer un $2$ ou un $4$ avec le premier dé et un nombre pair avec le second,
+on a trois façons de calculer le résultat. La façon compliquée, où on compte toutes les possibilités. L'événement 
+précédent s'écrit
+\begin{equation}
+ A=\{22,24,26,42,44,46\}.
+\end{equation}
+On a donc que $p(A)$ est donné par
+\begin{equation}
+ p(A)=\frac{\mbox{nombre d'éléments dans }A}{\mbox{nombre d'éléments dans }\Omega}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}.
+\end{equation}
+L'autre façon (plus simple) est d'utiliser la propriété du produit des probabilité. Nous savons que la probabilité de tirer un 
+$2$ ou un $4$ avec le premier dé est de $1/3$, puis la probabilité de tirer un nombre pair avec le deuxième est de 
+$1/2$. On a donc finalement que
+\begin{equation}
+ p(A)=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{6}.
+\end{equation}
+Finalement, on peut aussi utiliser la représentation sous forme d'arbre
+où on somme simplement les probabilités de chacun des éléments de $A$
+(voir figure \ref{fig_arbre3}).
+\begin{figure}[htp]
+\includegraphics[width=\textwidth]{figs/arbre3.pdf}
+\caption{Représentation de l'événement $A=\{22,24,26,42,44,46\}$ sous forme d'arbre avec les probabilités associées.
+Toutes les probabilités et tirages possibles associés aux branches ne sont pas affichées pour simplifier
+l'affichage.}\label{fig_arbre3}
+\end{figure}
+Comme vu dans la section \ref{subsec_disjoints}, il suffit de prendre la somme des 
+probabilités des événements élémentaires
+\begin{align}
+ p(A)&=p(\{22\})+p(\{24\})+p(\{26\})+p(\{42\})+p(\{44\})+p(\{46\})\nonumber\\
+     &=\frac{1}{36}+\frac{1}{36}+\frac{1}{36}+\frac{1}{36}+\frac{1}{36}+\frac{1}{36}\nonumber\\
+     &=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}.
+\end{align}
+
+Si à présent l'ordre dans lequel les dés sont tirés n'a plus d'importance le calcul de probabilités change un peu.
+On désire savoir quelle est la probabilité d'obtenir $26$ dans un ordre arbitraire. On peut donc obtenir
+cette combinaison en tirant $26$ ou en tirant $62$. On a donc $A=\{26,62\}$. La probabilité de réaliser $A$
+est donc
+\begin{equation}
+ p(A)=\frac{2}{36}=\frac{1}{18}.
+\end{equation}
+On peut calculer cette probabilité de nouveau avec l'arbre ou en comptant. Une façon de nouveau plus simple
+dans bien des cas est d'utiliser les produits de probabilités. La probabilité de tirer
+$26$ ou $62$ est la probabilité de tirer d'abord $2$ ou $6$, puis de tirer le nombre restant ($2$ si on a d'abord tiré $6$
+ou $6$ si on a d'abord tiré $2$). La probabilité de tirer $2$ ou $6$ est de $1/3$, puis la probabilité de tirer
+le nombre restant est de $1/6$. On a donc que
+\begin{equation}
+ p(A)=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{18}.
+\end{equation}
+
+\begin{exercices}
+\hfill\break
+ \begin{enumerate}
+  \item Calculer la probabilité d'obtenir $2$ comme la somme des deux nombres tirés par deux dés.
+  \item Calculer la probabilité d'obtenir $3,4,5,6,7,8,9,10,11,12$ comme la somme des deux nombres tirés par deux dés.
+  \item Calculer la probabilité d'obtenir $7$ comme la somme des deux nombres tirés par deux dés.
+  \item Calculer la probabilité d'obtenir $6$ soit avec 1 soit avec 2 dés.
+  \item Déterminer le nombre de combinaisons possibles avec 3, 4, 5 dés. Pouvez vous généraliser à $n$ dés?
+  \item Soit un tirage aléatoire offrant 2 possibilité (pile ou face par exemple). Quel est le nombre de combinaisons possibles 
+  si on tire $n$ fois? Pouvez-vous généraliser pour un tirage aléatoire offrant $m$ possibilités qu'on tire $n$ fois?
+ \end{enumerate}
+
+\end{exercices}
+
+\section{Exemple du lotto}
+Dans un lotto on a dans un sac un nombre de jetons numérotés, disons pour l'exemple entre 1 et 6, 
+qui sont tirés successivement. Une fois un jeton tiré, il ne sera pas remis dans le sac. 
+On appelle ce genre de tirage \textit{sans remise}. Contrairement au cas des dés vus dans 
+la section précédente qui était `\textit{avec remise}.
+On tire un nombre fixé de jetons, disons 3. On souhaite déterminer la probabilité d'obtenir
+une suite donnée de 2 numéros, disons $25$. Disons que pour cet exemple l'ordre du tirage a de l'importance
+(ce qui n'est pas le cas du lotto).
+
+Afin de calculer cette probabilité le fait qu'on effectue un tirage avec remise est promordial.
+En effet considérons le cas initial illustré dans la figure \ref{fig_loto}.
+\begin{figure}[htp]
+\includegraphics[height=1.8truecm]{figs/loto.pdf}
+\caption{Les six numéros présents initialement dans le sac.}\label{fig_loto}
+\end{figure}
+Pendant le premier tirage, nous tirons le numéro 2 (voir figure \ref{fig_loto2}). Notons que le tirage du 2 a une probabilité $\frac{1}{6}$.
+\begin{figure}[htp]
+\includegraphics[height=1.8truecm]{figs/loto2.pdf}
+\caption{Le numéro 2 est tiré lors du premier tirage.}\label{fig_loto2}
+\end{figure}
+Il est donc enlevé du sac et il nous reste uniquement 5 chiffres parmis lesquels choisir 
+(les chiffres $1$, $3$, $4$, $5$, et $6$, comme dans la figure \ref{fig_loto3}).
+\begin{figure}[htp]
+\includegraphics[height=1.8truecm]{figs/loto3.pdf}
+\caption{Il ne reste que 5 chiffres dans le sac.}\label{fig_loto3}
+\end{figure}
+Comme il ne nous reste que 5 chiffres, la probabilité de tirer un des nombres restant, 
+disons le $5$, est de $\frac{1}{5}$ (voir la figure \ref{fig_loto4}). 
+\begin{figure}[htp]
+\includegraphics[height=1.8truecm]{figs/loto4.pdf}
+\caption{Il ne reste que 5 chiffres dans le sac et nous tirons le 5.}\label{fig_loto4}
+\end{figure}
+Le 5 sera lui aussi retiré et il ne restera que 4 numéros dans le sac et ainsi de suite. 
+
+On voit donc que la probabilité de tirer la suite ordonnée $25$ est de
+\begin{equation}
+ p(\{25\})=p(\{2\})\cdot p(\{5\})=\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{5}=\frac{1}{30}.
+\end{equation}
+A présent, si nous considérons que l'ordre n'a pas d'importance, on a comme dans la section précédente
+que l'événement qui nous intéresse est $A=\{25,52\}$. On peut donc décomposer 
+ce cas en 2 et dire qu'on a dans un premier temps la probabilité de tirer $2$ ou $5$ parmis 
+$6$ nombres, puis on a la probabilité de tirer le $5$ ou le $2$ (respectrivement si on a tiré $2$ ou $5$) parmis 5.
+Les deux probabilité sont donc données respectivement par $p(\{2,5\})=\frac{2}{6}$ puis par $p(\{5,2\}\backslash \{2\mbox{ ou }5)=\frac{1}{5}$.
+
+\begin{exercices}
+\hfill\break
+ \begin{enumerate}
+  \item Le jeu Eruomillions consiste en un tirage de 5 numéros parmis 50 possible, puis par le tirage de 2 ``étoiles'' parmis 11 possibles.
+  Déterminez la probabilité de trouver la bonne combinaison à un tirage.
+  \item Le jeu du swiss lotto, consiste au tirage de 5 numéros parmis 42 possibles, puis au tirage d'un numéros parmis 6. Calculez la probabilité de 
+  gagner au swiss lotto..
+ \end{enumerate}
+\end{exercices}
+
+\section{Quelques exercices}
+Afin de continuner avec ces concepts de tirages aléatoires avec ou sans remise
+de suite ordonnées ou non, nous allons faire quelques exercices. Il peut se révéler utile de dessiner un arbre pour ces exercices.
+\begin{enumerate}
+ \item Dans une urne se trouvent 2 boules blanches et 3 boules noires. On tire successivement deux boules sans remise.
+Calculer et comparer les probabilités des deux événements suivants
+\begin{itemize}
+ \item[$\bullet$] Tirer deux boules de même couleur.
+ \item[$\bullet$] Tirer deux boules de couleurs différentes.
+\end{itemize}
+\item Une bille, lâchée en $O$ tombe dans l'une des trois boîtes $A$, $B$, ou $C$. A chaque bifurcation, la bille 
+tombe à gauche avec la probabilité de 0.25 et à droite avec la probabilité de 0.75 (voir figure \ref{fig_bille})
+\begin{figure}[htp]
+\begin{center}
+\includegraphics[height=2.8truecm]{figs/bille.pdf}
+\end{center}
+\caption{Une bille lâchée en $O$ tombe dans la boîte $A$, $B$, ou $C$.}\label{fig_bille}
+\end{figure}
+\begin{itemize}
+ \item[$\bullet$] Calculer les probabilités $p(A)$, $p(B)$, $p(C)$ pour qu'une bille lâchée de O tombe respectivement 
+dans la boîte $A$, $B$ ou $C$.
+\item[$\bullet$] On lâche deux billes en $O$. Calculer la probabilité pour que les deux billes tombent dans la même boîte.
+\item[$\bullet$] On lâche trois billes en $O$. Calculer la probabilité d'avoir une bille dans chaque boîte.
+\item[$\bullet$] On lâche dix billes en $O$. Calculer la probabilité d'avoir au moins trois billes dans la boîte B.
+\end{itemize}
+\item A la naissance, la probabilité qu'un enfant soit un garçon
+est de $p(G)=0.514$.
+\begin{itemize}
+ \item[$\bullet$] Calculer et la probabilité qu'un enfant soit une fille.
+ \item[$\bullet$] On considère la naissance de deux enfants. Calculer et la probabilité que les deux enfants sooient de même sexe.
+ \item[$\bullet$] On considère la naissance de deux enfants. Calculer et la probabilité que les deux enfants soient de sexes opposés.
+\end{itemize}
+\end{enumerate}
 
 
 
-- 
GitLab


From 4b5138750b742b95bfd6558fd5661741cbadeefc Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Orestis <karlmarx79@hotmail.com>
Date: Thu, 11 May 2017 11:20:51 +0200
Subject: [PATCH 23/30] ajout tp

---
 tpProba/aleatoire250.txt | 250 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 tpProba/tpProba.tex      |  92 ++++++++++++++
 2 files changed, 342 insertions(+)
 create mode 100644 tpProba/aleatoire250.txt
 create mode 100644 tpProba/tpProba.tex

diff --git a/tpProba/aleatoire250.txt b/tpProba/aleatoire250.txt
new file mode 100644
index 0000000..46d6d77
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+++ b/tpProba/aleatoire250.txt
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\ No newline at end of file
diff --git a/tpProba/tpProba.tex b/tpProba/tpProba.tex
new file mode 100644
index 0000000..6c36699
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+++ b/tpProba/tpProba.tex
@@ -0,0 +1,92 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage[french]{babel}
+\usepackage{amsfonts,bm,amsmath,amssymb,graphicx,verbatim}
+\usepackage{cancel,url}
+
+\newcommand{\dd}{\mathrm{d}}
+\newcommand{\hf}{\hat{f}}
+\newcommand{\real}{\mathbb{R}}
+\newcommand{\integer}{\mathbb{Z}}
+\newcommand{\definition}{\textbf{Definition }}
+\newcommand{\exemples}{\textbf{Exemples }}
+\newcommand{\remarque}{\textbf{Remarque }}
+\newcommand{\proprietes}{\textbf{Propriétés }}
+\newcommand{\propriete}{\textbf{Propriété }}
+
+\title{Travaux pratiques: Génération de nombres aléatoires}
+% \author{Orestis Malaspinas}
+\date{A rendre pour le 01.06.2016}
+
+\begin{document}
+\maketitle
+
+\section*{Travaux pratiques: Génération de nombres aléatoires}
+
+Les nombres aléatoires sont utilisés dans un vaste champs d'applications (sécurité informatique, simulations, 
+prise de décision, ...). Le but de ce TP est de faire un premier pas vers la compréhension de la problématique de 
+la génération de nombres pseudo-aléatoires avec un ordinateur. 
+
+\section*{Générateurs congruentiels linéaires}
+Les générateurs congruentiels sont des générateurs assez simples et donnent des nombres aléatoires d'assez bonne qualité. 
+La forme générale de ces générateurs est
+\begin{equation}
+ X_{i+1}=(aX_i+c)\mod m,
+\end{equation}
+où $a$, $c$, $m$ sont les paramètres dont la qualité des nombres aléatoires dépendront et $X_0$ est appelé le germe.
+
+\begin{enumerate}
+\item Cette congruence est de la forme $X_{i+1} = f(X_i)$. Si $0\leq X_i < n$ et $0\leq f (X_i ) < n$ $\forall i$, expliquez
+pourquoi cette suite va commencer à faire des cycles (en d'autres termes $\exists m \geq 0$ tel que $X_{m+\lambda} = X_{\lambda}$).
+ \item Créez une fonction pour générer $n$ nombres pseudo-aléatoires en appliquant une congruence linéaire avec paramètres $a$, $c$, $m$ et $X_0$.
+ \item Écrivez un programme qui calcule la période d’un générateur congruentiel pour un ensemble de
+paramètres données. Testez-le avec $m = 10$ et essayez de trouver un $a$ et un $c$ qui vous donnent
+un cycle maximal.
+\item Historiquement, le générateur \texttt{RANDU} développé par \texttt{IBM} utilisait les paramètres suivants :
+$a = 65539$, $c = 0$, $n = 2^{31}$ and $X_0 = 123456789$. Générez 12000 nombres aléatoires avec
+cette méthode. Visualisez les résultats comme des points $(X_{i-1} , X_i)$ en deux dimensions et
+$(X_{i-2}, X_{i-1} , X_i )$ dans l’espace. En Matlab/Octave, servez-vous de la fonction plot3 pour afficher les triplets.
+\end{enumerate}
+
+\section*{Générateur de Stoll--Kirckpatrick}
+Le générateur de Stoll-Kirckpatrick considère que nous possédons déjà 250 nombres aléatoires de
+bonne qualité codés sur $l$ bits. Ensuite, nous pouvons trouver les autres nombres de la suite avec la
+formule suivante :
+\begin{equation}
+X_{i+1} = X_{i-249}\ \bm{xor}\ X_{i-102},
+\end{equation}
+où $\bm{xor}$ est appliqué bit par bit dans la représentation binaire des nombres.
+Prenez le fichier \texttt{aleatoire250.txt} disponible sur Cyberlearn. Ce fichier contient 250 nombres aléatoires (entre 0
+et $2^{16}-1$) obtenus du site \url{http://www.random.org}. Utilisez l’algorithme ci-dessus pour en trouver 300000
+nombres pseudo-aléatoires.
+\begin{enumerate}
+ \item Testez les résultats en les affichant en deux et trois dimensions comme avant.
+ \item Calculez la moyenne des nombres obtenus. Comment se compare-t-elle à la moyenne théorique attendue?
+\end{enumerate}
+
+
+\section*{Calcul de $\pi$}
+
+Utiliser les générateurs de nombres aléatoires précédemment implantés pour calculer $\pi$, ainsi que la fonction \texttt{rand} d'Octave/Matlab (ou
+une librairie d'un langage utilisant l'algorithme Mersenne Twister, elle est disponible dans boost par exemple). Pour ce faire
+il faut tirer des couples des points dont la position est aléatoire $(x,y)\in [0,1]\times[0,1]$. Il faut ensuite calculer le rapport du nombre de points
+tirés qui satisfont $x^2+y^2\leq 1$ sur le nombre total de points tirés. Que doit donner ce rapport si les nombres tirés sont
+tous équiprobables après un très grand nombre de tirages? Obtenez le plus grand nombre possible de décimales de $\pi$
+avec les différents générateurs de nombres aléatoires. Qu'observez-vous?
+
+
+\section*{Remarques}
+
+Le travail peut-être effectué en groupe de deux, mais les rapports doivent être individuels (le code peut être identique, n'oubliez pas de mentionner 
+explicitement si vous avez effectué le code à deux). 
+Finalement, je dois pouvoir exécuter le code
+afin de pouvoir reproduire les résultats présentés dans le rapport. 
+Déposez le rapport EN FORMAT PDF et une archive contenant le code (deux fichiers séparés) 
+sur le site du cours s'il vous plaît, cela simplifie mon administration (et évite les problèmes avec les étudiants qui 
+ne mettent pas de nom sur le rapport...).
+
+La note sera une combinaison entre le code rendu et le rapport (moitié/moitié). 
+
+
+
+\end{document}
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GitLab


From 4fc0ccd3deed9fb323c6d346688efe4e298a2d9d Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Orestis <karlmarx79@hotmail.com>
Date: Mon, 22 May 2017 12:25:51 +0200
Subject: [PATCH 24/30] ajout proba cond

---
 cours.tex | 143 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++-
 1 file changed, 141 insertions(+), 2 deletions(-)

diff --git a/cours.tex b/cours.tex
index 3a543b1..dc38480 100644
--- a/cours.tex
+++ b/cours.tex
@@ -11,6 +11,7 @@
 \usepackage[french]{babel}
 \usepackage{amsfonts,bm,amsmath,amssymb,graphicx,amsthm}
 \usepackage{cancel}
+\usepackage{mathtools}
 
 \setlength{\parindent}{0pt}
 
@@ -3339,6 +3340,9 @@ on ne peut dire quel sera le résultat avant d'avoir effectué l'expérience.
 Avant de commencer à étudier les probabilités du lancer de dé, et les questions qu'on peut se poser, faisons d'abord un peu de vocabulaire
 qui sera utile pour la suite.
 
+\begin{definition}\hfill\break
+ 
+
 \begin{itemize}
 \item[$\bullet$] L'ensemble des résultats possibles du lancer de dé est $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$ et cet ensemble est appelé l'\textit{univers} du lancer de dé.
 
@@ -3354,7 +3358,28 @@ Un événement composé d'une seule éventualité est appelé \textit{événemen
 \item[$\bullet$] \textit{L'événement impossible} est l'ensemble vide, $A=\emptyset$. Il correspondrait à l'événement obtenir $7$ ou plus en lançant un dé par exemple. 
 
 \item[$\bullet$] Si $A$ est un événement, on note $p(A)$ la \textit{probabilité} que $A$ soit réalisé.
+
 \end{itemize}
+\end{definition}
+
+Le calcul des \textit{probabilités} de réalisation de certains événement est reliée à la \textit{fréquence} 
+que nous avons indroduit dans la section précédente. Soit un univers $\Omega$ et $A$, $B$ deux événements tels que $A\cap B=\emptyset$.
+On effectue une $N$ expériences, donc $\Omega$ est réalisé $N$ fois. De plus on constate qu'on réalise $A$, $K$ fois et $B$, $M$ fois. 
+On a donc les fréquences suivantes que $A$, $B$ et $\Omega$ se réalisent
+\begin{align}
+ f(A)&=\frac{K}{N},\\
+ f(B)&=\frac{M}{N},\\
+ f(\Omega)&=\frac{N}{N}=1,\\
+ f(A\cap B)&=\frac{M+K}{N}=f(A)+f(B).
+\end{align}
+Les \textit{probabilités} de réalisation des événements ci-dessus peutvent être vues comme le passage à la limite
+$N\rightarrow\infty$ tel que $p(A),p(B)\in\real$ et
+\begin{align}
+ p(A)&=\lim_{\substack{N\rightarrow\infty,\\ K/N<\infty}}\frac{K}{N},\\
+ p(B)&=\lim_{\substack{N\rightarrow\infty,\\ M/N<\infty}}\frac{M}{N},\\
+ p(\Omega)&=1,\\
+ p(A\cap B)&=p(A)+p(B).
+\end{align}
 
 Si maintenant nous voulons connaître la probabilité de tirer $6$, ou encore la probabilité de réaliser $A=\{6\}$.  
 Cela est assez intuitif pour le cas du dé. Nous avons $6$ éléments dans l'univers
@@ -3371,7 +3396,9 @@ alors on trouve
 \begin{equation}
  p(\mbox{tirer un nombre pair})=\frac{1}{2}.
 \end{equation}
-De façon générale pour le lancer de dé, on a que la probabilité de réaliser l'événement $A$ est
+De façon générale pour le lancer de dé, on a que la probabilité de réaliser l'événement $A$ est\footnote{De façon générale cela n'est pas vrai. Imaginons que nous
+ayons un sac avec 3 boules: 2 noires et une blanche. La probabilité de réaliser $A$: tirer une boule noire ($p(A)=2/3$) ou $B$: tirer une boule blanche ($p(B)=1/3$) 
+n'est pas donnné par $p(A)=\mbox{nombre d'éléments dans }A/\mbox{nombre total d'éléments}=1/2$, $p(B)=\mbox{nombre d'éléments dans }B/\mbox{nombre total d'éléments}=1/2$.}
 \begin{equation}
 p(A)=\frac{\mbox{nombre d'éléments dans }A}{\mbox{nombre d'éléments dans }\Omega}.
 \end{equation}
@@ -3499,6 +3526,118 @@ Il en suit immédiatement que si $A\cap B=\emptyset$, alors
  p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)=p(A)+p(B)-p(\emptyset)=p(A)+p(B).
 \end{equation}
 
+\subsection{Axiomes des probabilités}
+Tous ces concepts que nous avons vus précédemments peuvent être vus comme la conséquences des trois axiomes des probabilités
+suivants
+\begin{definition}{Axiomes  des probabilités}
+Soit $\Omega$ un univers. La probabilité de réaliser un événement $A\subseteq\Omega$ est une fonction $p(A)$ qui associe à tout 
+événement de $A$ un nombre réel, qui satisfait les 3 axiomes suivants
+\begin{enumerate}
+ \item Une probabilité est TOUJOURS positive
+ \begin{equation}
+  p(A)\geq 0.
+ \end{equation}
+
+ \item La probabilité de l'événement certain vaut 1
+ \begin{equation}
+  p(\Omega)=1.
+ \end{equation}
+ \item Soit $B\subseteq\Omega$. Si $A\cap B=\emptyset$, alors 
+ \begin{equation}
+ p(A\cup B)=p(A)+p(B). 
+ \end{equation}
+ La probabilité de réalisation de deux évéenements incompatibles est égale à la somme de réalisation
+ de chacun d'entre eux.
+\end{enumerate}
+\end{definition}
+
+De ces axiomes découlent tout un tas de théorèmes
+\begin{theoreme}
+Pour $A,B\subseteq\Omega$ et $\Omega$ un univers et $p$ une probabilité.
+\begin{enumerate}
+ \item $p(B\cap\bar A)=p(B)-p(B\cap A).$
+ \item $p(\emptyset)=0.$
+ \item $p(\bar A)=1-p(A).$
+ \item $p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B).$
+ \item $p(\bar A\cap \bar B)=1-p(A\cup B).$
+ \item Si $A$ et $B$ sont disjoints, alors $p(A\cup B)=p(A)+p(B).$ 
+ \item Si $A\subseteq B$, alors $p(B\cap \bar A)=p(B)-p(A).$ 
+ \item Si $A\subseteq B$, alors $p(A)\leq p(B).$ 
+ \item $\forall A$, $0\leq p(A)\leq 1.$ 
+\end{enumerate}
+
+ 
+\end{theoreme}
+
+\subsection{Probabilités conditionnelles}
+
+Imaginons à présent que nous ayons une information supplémentaire lorsque nous lançons notre dé. 
+Supposons par exemple que nous sachions lorsque nous lançons le dé que le résultat est pair. A partir de là
+la probabilité de tirer un $6$ est de 
+\begin{equation}
+p(6\mbox{ sachant que le résultat du lancer est un nombre pair})=1/3,
+\end{equation}
+alors que sans l'information sur la parité nous aurions eu $p(6)=1/6$.
+
+Lorsque nous rajoutons comme condition la réalisation préalable d'un événement $B$ à la réalisation d'un événement $A$,
+nous parlons de probabilité conditionnelle, notée $P(A|B)$ (probabilité conditionnelle de $A$ sachant que $B$ s'est produit).
+
+Essayons à présent de voir comment nous pouvons calculer de façon générale les probabilités conditionnelles avec notre exemple ci-dessus.
+Nous avons donc que nous cherchons à calculer $p(A|B)=p(6|{2,4,6})$. Nous avons dans ce cas que $p(A)=1/6$, $p(B)=1/2$ et $p(A\cap B)=p(6)=1/6$.
+Par ailleurs, nous pouvons remarquer que 
+\begin{equation}
+ p(A|B)=\frac{1}{3}=\frac{p(A\cap B)}{p(B)}=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}}.
+\end{equation}
+Nous pouvons vérifier cette relation sur un exemple un peu plus compliqué. Soit $A={1,2,4}$ et $B={2,4,6}$. La probabilité conditionnelle
+$p(A|B)$ revient au calcul de la probabilité de $p(A\cap B|B)=p({2,4}|{2,4,6})=2/3$. Avec notre formule, nous avons
+$p(A\cap B)=1/3$ et $p(B)=1/2$. Il vient donc
+\begin{equation}
+ p(A|B)=\frac{p(A\cap B)}{p(B)}=\frac{2}{3}.
+\end{equation}
+Cette formule peut en fait être vue comme la définition de la probabilité conditionnelle. 
+Si $p(B)\neq0$ alors on appelle probabilité conditionnelle le nombre $p(A|B)$, tel que
+\begin{equation}
+ p(A|B)=\frac{p(A\cap B)}{p(B)}.
+\end{equation}
+
+
+\subsection{Evénements indépendants}
+
+Prenons maintenant le cas ``pathologique'' où nous cherchons la probabilité conditionnelle $p(A|B)$, mais où 
+la réalisation de $B$ n'a aucune influence sur la réalisation de $A$. On a donc 
+\begin{equation}
+ p(A|B)=p(A).
+\end{equation}
+On a donc que 
+\begin{equation}
+ p(A|B)=\frac{p(A\cap B)}{p(B)}=p(A).
+\end{equation}
+On en déduit que 
+\begin{equation}
+p(A\cap B)=p(A)\cdot p(B).\label{eq_indep}
+\end{equation}
+Et donc on peut calculer $p(B|A)$
+\begin{equation}
+p(B|A)=\frac{p(A\cap B)}{p(A)}=\frac{p(A)\cdot p(B)}{p(A)}=p(B).
+\end{equation}
+On a donc que si $A$ ne dépend pas de $B$, alors la réciproque est vraie aussi.
+Les événements qui satisfonts la propriété de l'équation \eqref{eq_indep} sont appelés
+indépendants. Dans le cas contraire ils sont appelé dépendants.
+
+Afin d'illustrer l'indépendance, prenons à nouveau le jet de dé. Supposons que nous effectuions
+deux tirages de suite et que l'événement $A$ soit ``tirer un 6 au premier tirage'' et que l'événement $B$
+soit ``tirer un $2$ au deuxième tirage''. On a que 
+\begin{equation}
+ p(A)=\frac{1}{6},\quad p(B)=\frac{1}{6},\quad p(A\cap B)=\frac{1}{36}.
+\end{equation}
+On a donc bien $p(A\cap B)=p(A)\cdot p(B)$ et donc les événements sont indépendants. 
+Cela semble bien naturel étant donné que le premier tirage du dé ne va en rien influencer le résultat du deuxieme 
+tirage. Tout comme un tirage de l'euromillions d'une semaine ne va pas influencer le résultat de celui de la semaine suivante.
+
+
+
+
+
 \subsection{Tirages multiples}
 
 Jusqu'ici on a lancer le dé une fois et calculé la probabilité liée à ce lancer unique. 
@@ -3796,7 +3935,7 @@ Quelques paramètres utilisés dans des générateurs connus sont par exemple
 Ce genre de générateur de nombres aléatoires est très efficace d'un point de vue computationnel
 mais la qualité des nombres aléatoires peut être insuffisante. Plusieurs améliorations
 ont été proposées. Par exemple, pour chaque étape, on peut générer $k$ nombres aléatoires
-avec un générateur congruentiel linéaire et combiner de les nombres.
+avec un générateur congruentiel linéaire et combiner les nombres.
 
 La méthode probablement la plus populaire consiste à utiliser 
 des récurrences matricielles sur la représentation binaire des nombres.
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From a4e86f1bb8bebe88fe37d80ed2cfd2d2328447a7 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Orestis <karlmarx79@hotmail.com>
Date: Mon, 22 May 2017 13:23:21 +0200
Subject: [PATCH 25/30] ajout exos

---
 cours.tex | 19 +++++++++++++++++--
 1 file changed, 17 insertions(+), 2 deletions(-)

diff --git a/cours.tex b/cours.tex
index dc38480..fb88f8b 100644
--- a/cours.tex
+++ b/cours.tex
@@ -3600,6 +3600,14 @@ Si $p(B)\neq0$ alors on appelle probabilité conditionnelle le nombre $p(A|B)$,
  p(A|B)=\frac{p(A\cap B)}{p(B)}.
 \end{equation}
 
+\begin{exercice}{Probabilités conditionnelles}
+Sur une population de 1000 hommes qui naissent, 922 atteignent l'âge de 50 ans et 665 70 ans. 
+\item Quelle est la probabilité qu'un homme qui vient de naître soit encore en vie à 50 ans?
+\item Quelle est la probabilité qu'un homme qui vient de naître soit encore en vie à 70 ans?
+\item Quelle est la probabilité qu'un homme de 50 ans soit encore en vie à 70?
+\end{exercice}
+
+
 
 \subsection{Evénements indépendants}
 
@@ -3634,8 +3642,15 @@ On a donc bien $p(A\cap B)=p(A)\cdot p(B)$ et donc les événements sont indépe
 Cela semble bien naturel étant donné que le premier tirage du dé ne va en rien influencer le résultat du deuxieme 
 tirage. Tout comme un tirage de l'euromillions d'une semaine ne va pas influencer le résultat de celui de la semaine suivante.
 
-
-
+\begin{exercice}{Evénements indépendants}
+On jette une pièce de monnaie deux fois de suite. Les résultats possible pour chaque jet sont: $P$, ou $F$.
+\begin{enumerate}
+ \item Ecrivez l'univers des événements.
+ \item Calculez les probabilités des événements $A$ ``face au premier jet'', $B$ ``pile au second jet''.
+ \item Calculez la probabilité $p(A\cap B)$. 
+ \item Est-ce que les jets sont indépendants?
+\end{enumerate}
+\end{exercice}
 
 
 \subsection{Tirages multiples}
-- 
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From e6e2881b8880c33b3f7e7dd4edddc9b32c8dcd3d Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Orestis <karlmarx79@hotmail.com>
Date: Mon, 29 May 2017 15:58:40 +0200
Subject: [PATCH 26/30] ajout multinomiale

---
 cours.tex | 157 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++-
 1 file changed, 156 insertions(+), 1 deletion(-)

diff --git a/cours.tex b/cours.tex
index fb88f8b..350eb3e 100644
--- a/cours.tex
+++ b/cours.tex
@@ -3601,10 +3601,13 @@ Si $p(B)\neq0$ alors on appelle probabilité conditionnelle le nombre $p(A|B)$,
 \end{equation}
 
 \begin{exercice}{Probabilités conditionnelles}
-Sur une population de 1000 hommes qui naissent, 922 atteignent l'âge de 50 ans et 665 70 ans. 
+
+Sur une population de 1000 hommes qui naissent, 922 atteignent l'âge de 50 ans et 665 l'âge de 70 ans. 
+\begin{enumerate}
 \item Quelle est la probabilité qu'un homme qui vient de naître soit encore en vie à 50 ans?
 \item Quelle est la probabilité qu'un homme qui vient de naître soit encore en vie à 70 ans?
 \item Quelle est la probabilité qu'un homme de 50 ans soit encore en vie à 70?
+\end{enumerate}
 \end{exercice}
 
 
@@ -3759,6 +3762,80 @@ le nombre restant est de $1/6$. On a donc que
 
 \end{exercices}
 
+\subsection{La distribution multinomiale}
+
+Plus nous allon rajouter des tirages successifs plus il va être compliqué de calculer les probabilités 
+de tirer une certaine combinaison de nombres. Il existe néanmoins une formule qui généralise les tirages successifs avec
+remise. Prenons le cas où nous avons un dé qui ne donne pas chaque nombre de façon équiprobable, mais avec probabilité $\{p_i\}_{i=1}^6$.
+Nous souhaitons savoir quelle est la probabilité de tirer deux fois le 1 et une fois le 2 lors de trois tirages successifs. 
+
+Dans ce tirage l'ordre dans lequel sont obtenus ces tirages ne sont pas importants. Il y a donc les tirages possibles qui sont
+admissibles
+\begin{equation}
+ [112]=\{112, 121, 211\}.
+\end{equation}
+On a donc que la probabilité associée est de
+\begin{equation}
+ p([112])=p(112)+p(121)+p(211).
+\end{equation}
+Ces trois probabilités sont données par
+\begin{align}
+ p(112)&=p_1\cdot p_1\cdot p_2=p_1^2\cdot p_2,\\
+ p(121)&=p_1\cdot p_2\cdot p_1=p_1^2\cdot p_2,\\
+ p(211)&=p_2\cdot p_1\cdot p_1=p_1^2\cdot p_2.
+\end{align}
+Les tirages étant indépendants (avec remise) on a que la probabilité de tirer $1$ ou $2$ est indépendante 
+du moment où ils sont tirés et donc ces trois probabilités sont égales.
+
+Finalement la probabilité de tirer deux 1 et un 2 est de
+\begin{equation}
+ p([112])=p(112)+p(121)+p(211)=3\cdot p_1^2\cdot p_2.
+\end{equation}
+Si à parésent nous considérons la probabilité de tirer $[1123]$ en 4 tirages. Les torages possibles sont
+\begin{equation}
+ [1123]=\{1123, 1132, 1213, 1231, 1312, 1321, 2113, 2131, 2311, 3112, 3121, 3211\}.
+\end{equation}
+Il y a donc 12 tirages possibles pour cette combinaison. De plus les tirages étant indépendants
+on a que toutes ces combinaisons sont équiprobables avec probabilité
+\begin{equation}
+ p(1123)=p_1^2p_2p_3.
+\end{equation}
+Finalement on a 
+\begin{equation}
+ p([1123])=12 p_1^2p_2p_3.
+\end{equation}
+Si nous définissons $n_i$ le nombre de fois où on obtient le résultat $i$ et qu'on cherche la probabilité de réaliser le tirage $[n_1,n_2,...,n_k]$,
+on constate que la probabilité de réaliser le tirage est proportionnelle à 
+$p_1^{n_1}p_2^{n_2}\cdots p_6^{n_6}$. Il nous reste à déterminer le facteur multiplicatif venant devant. 
+Pour le cas du tirage $1,1,2$, nous avons $[n_1n_2]$ avec $n_1=2$ et $n_2=1$ et le facteur devant le produit des probabilités est 
+donné par $3$. Pour le tirage $1,1,2,3$ il est de $12$ et nous avons $n_1=2$, $n_2=1$, $n_3=1$. Nous pouvons écrire 
+\begin{equation}
+ 3=\frac{3!}{1!2!}\mbox{ et } 12=\frac{4!}{1!1!2!}. 
+\end{equation}
+En fait on peut constater que
+\begin{equation}
+ \frac{n!}{n_1!n_2!\cdots n_6!},
+\end{equation}
+avec $n=\sum_{i=1}^6 n_i$. On a donc que 
+\begin{equation}
+ p([n_1,n_2,...,n_6])=\frac{n!}{n_1!\cdots n_6!}p_1^{n_1}\cdots p_6^{n_6}.
+\end{equation}
+De façon complètement générale ce genre de probabilité se calcule grâce à la \textit{distribution multinomiale}
+\begin{equation}
+ p([n_1,...,n_k])=\frac{n!}{n_1!\cdots n_k!}p_1^{n_1}\cdots p_k^{n_k}.
+\end{equation}
+
+\begin{exercices}
+\hfill\break
+  On lance un dé parfait 10 fois. Quelle est la probabilité d'obtenir:
+ \begin{enumerate}
+  \item 10 fois 6?
+  \item 4 fois 3, 3 fois 2 et 3 fois 1?
+  \item 2 fois 1, 2 fois 2, 2 fois 3, 1 fois 4, 1 fois 5, et 1 fois 6?
+ \end{enumerate}
+
+\end{exercices}
+
 \section{Exemple du lotto}
 Dans un lotto on a dans un sac un nombre de jetons numérotés, disons pour l'exemple entre 1 et 6, 
 qui sont tirés successivement. Une fois un jeton tiré, il ne sera pas remis dans le sac. 
@@ -3847,6 +3924,84 @@ est de $p(G)=0.514$.
 \end{itemize}
 \end{enumerate}
 
+\section{Variables aléatoires}
+
+Lors d'une expérience aléatoire, il est assez commun de relier chaque événement de l'univers, $A\in\Omega$, à un nombre réel, $X(A)\in\real$. 
+Cette relation est définie par une fonction qui porte le nom de variable aléatoire et peut s'écrire mathématiquement sous la forme
+\begin{equation}
+ X:\Omega\rightarrow \real.
+\end{equation}
+Afin de mieux comprendre ce concept voyons quelques exemples
+\begin{enumerate}
+ \item[Le jeu de dé:] Lors d'un jet de dé unique l'univers est défini par $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$. On peut de façon assez naturelle 
+ définir notre variable aléatoire comme
+ \begin{equation}
+  X:i\rightarrow i.
+ \end{equation}
+ \item[Pile ou face:] Si nous lançons une pièce de monnaie les deux issues possibles sont pile $p$, ou face $f$ ($\Omega={p,f}$). 
+ Nous pouvons définir la variable aléatoire $X$ comme
+ \begin{equation}
+  X:\left\{\begin{array}{l}
+                p\rightarrow 0\\
+                f\rightarrow 1
+               \end{array}\right.
+ \end{equation}
+ \item[Pile ou face fois deux:] Si nous lançons une pièce de monnaie à deux reprises, les issues possibles sont $(p,p)$, 
+ $(p,f)$, $(f,p)$, $(f,f)$. Nous pouvons définir la variable aléatoire $X$ comme
+ \begin{equation}
+  X:\left\{\begin{array}{l}
+                (p,p)\rightarrow 0\\
+                (p,f)\rightarrow 1\\
+                (f,p)\rightarrow 1\\
+                (f,f)\rightarrow 2
+               \end{array}\right.
+ \end{equation}
+\end{enumerate}
+Comme nous nous sommes posés la question de connaître la probabilité d'obtenir un certain résultat lors d'une expérience aléatoire, il en va de même 
+avec la probabilité que la variable aléatoire $X$ prenne une valeur donnée, $\alpha\in\real$ ou prenne une valeur incluse dans un intervalle $I\subseteq\real$. 
+
+Pour illustrer ce qui se passe, intéressons-nous au dernier exemple ci-dessus avec le double pile ou face. On se pose les questions suivantes
+\begin{enumerate}
+ \item Quelle est la probabilité que $X$ prenne la valeur $1$?
+ \item Quelle est la probabilité que $X$ prenne une valeur incluse dans $I=[0.6,3]$?
+ \item Quelle est la probabilité que $X$ prenne une valeur inférieure à $2$?
+\end{enumerate}
+
+Prenons ces trois questions une par une
+\begin{enumerate}
+ \item Les deux façons d'obtenir $X=1$ est d'avoir les tirages $(p,f)$ ou $(f,p)$, soit $A=\{(p,f), (f,p)\}$. Les probabilités de chacun 
+ des événement de l'univerrs étants équiprobables on a 
+ \begin{equation}
+  p(X=1)=p(A)=1/2.
+ \end{equation}
+ \item Le seul événement donnant un $X$ qui n'est pas dans l'intervalle $J=[0.6,3]$ est $B=(p,p)$ ($X(B)=0$). On a donc que 
+ \begin{equation}
+p(0.6\leq X\leq 3)=p(\bar B)=1-p(B)=\frac{3}{4}.
+ \end{equation}
+ \item De façon similaire les trois énénements donnant $X<2$ sont dans $C=\{(p,p), (p,f), (f,p)\}$. On a donc
+ \begin{equation}
+  p(X<2)=p(C)=\frac{3}{4}.
+ \end{equation}
+
+\end{enumerate}
+On constate au travers de ces trois exemples que la probabilité que la variable 
+aléatoire $X$ prenne une valeur particulière $\alpha$ ou soit dans un intervalle $I$ 
+est reliée à la probabilité d'obtenir un événement $D$ qui serait la préimage de $\alpha$ ou d'un intervalle $I$.
+On peut noter dans le cas général qu'on a $D=X^{-1}(I)$.
+
+\begin{definition}[Variable aléatoire] On dit que la fonction $X:\Omega\rightarrow\real$ est une \textit{variable aléatoire} si la 
+préimage de $X$ sur tout intervale, $I\subseteq\real$, est un événement $A\in \Omega$. La probabilité que $X$ prenne une valeur 
+dans l'intervalle $I$ est égale à la probabilité de réaliser l'événement $A$
+\begin{equation}
+ p(X\in I)=p(A).
+\end{equation}
+\end{definition}
+
+\begin{definition}[Fonction de répartition] On dit que la fonction $F:\real\rightarrow\real$ est une \textit{fonction de répartition}
+si $F(x)=p(X\leq x)$ pour tout $x\in\real$.
+\end{definition}
+
+Nous distinguons deux sortes de variables aléatoires différentes: les variables aléatoires discrètes et continues. Nous les discuterons brièvement dans les deux sous-sections suivantes.
 
 
 \section{Nombres aléatoires}
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From 9a2928401a38b95bfd41eed8a8cd0bf5ea3ceac6 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Orestis <karlmarx79@hotmail.com>
Date: Mon, 29 May 2017 16:11:44 +0200
Subject: [PATCH 27/30] modifs mineures

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 cours.tex | 2 +-
 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-)

diff --git a/cours.tex b/cours.tex
index 350eb3e..a6cfa63 100644
--- a/cours.tex
+++ b/cours.tex
@@ -3946,7 +3946,7 @@ Afin de mieux comprendre ce concept voyons quelques exemples
                 f\rightarrow 1
                \end{array}\right.
  \end{equation}
- \item[Pile ou face fois deux:] Si nous lançons une pièce de monnaie à deux reprises, les issues possibles sont $(p,p)$, 
+ \item[Pile ou face$^2$:] Si nous lançons une pièce de monnaie à deux reprises, les issues possibles sont $(p,p)$, 
  $(p,f)$, $(f,p)$, $(f,f)$. Nous pouvons définir la variable aléatoire $X$ comme
  \begin{equation}
   X:\left\{\begin{array}{l}
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From b5139a5e95760d9a59d9ae46149950db70fabfb8 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Marc Gay-Balmaz <m.gaybalmaz@gmail.com>
Date: Sat, 10 Jun 2017 12:57:51 +0200
Subject: [PATCH 28/30] Correction nom d'une fonction
MIME-Version: 1.0
Content-Type: text/plain; charset=UTF-8
Content-Transfer-Encoding: 8bit

Définition du domaine de f était fait deux fois mais jamais celui de g
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 cours.tex | 2 +-
 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-)

diff --git a/cours.tex b/cours.tex
index a6cfa63..c7d2c20 100644
--- a/cours.tex
+++ b/cours.tex
@@ -2261,7 +2261,7 @@ Dans notre cas $E$ sera $\real$ ou $\complex$ principalement.
   \item Dans ce qui suit dans ce cours, nous allons utiliser encore un autre espace vectoriel
   un peu moins intuitif que ceux que nous avons vus jusqu'ici. Il s'agit de l'espace des fonctions, ou espace fonctionnel.
   Nous définissons les applications de $W$ dans $V$ comme un espace vectoriel dans $E$ avec l'addition et la
-  multiplication par un scalaire définis commme suit. Soient $f:W\rightarrow V$ et $f:W\rightarrow V$, avec
+  multiplication par un scalaire définis comme suit. Soient $f:W\rightarrow V$ et $g:W\rightarrow V$, avec
   $\alpha\in E$, alors
   \begin{align}
    &(f+g)(x)=f(x)+g(x), \quad \forall x\in W,\\
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From afc1ca93509f978b2401aa71fc44bd7aee5b6800 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Marc Gay-Balmaz <m.gaybalmaz@gmail.com>
Date: Sat, 10 Jun 2017 13:01:02 +0200
Subject: [PATCH 29/30] Questions sur les axiomes de base proba
MIME-Version: 1.0
Content-Type: text/plain; charset=UTF-8
Content-Transfer-Encoding: 8bit

L'axiome 3 est répété dans le théorême et il me semble que le premier axiome doit également imposer la valeur maximum de la probabilité de chaque événement
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 cours.tex | 4 ++--
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diff --git a/cours.tex b/cours.tex
index c7d2c20..8a1aa90 100644
--- a/cours.tex
+++ b/cours.tex
@@ -3533,7 +3533,7 @@ suivants
 Soit $\Omega$ un univers. La probabilité de réaliser un événement $A\subseteq\Omega$ est une fonction $p(A)$ qui associe à tout 
 événement de $A$ un nombre réel, qui satisfait les 3 axiomes suivants
 \begin{enumerate}
- \item Une probabilité est TOUJOURS positive
+ \item Une probabilité est TOUJOURS positive %Ne devriez-vous pas fixer la borne supérieur des probabilités ici?
  \begin{equation}
   p(A)\geq 0.
  \end{equation}
@@ -3560,7 +3560,7 @@ Pour $A,B\subseteq\Omega$ et $\Omega$ un univers et $p$ une probabilité.
  \item $p(\bar A)=1-p(A).$
  \item $p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B).$
  \item $p(\bar A\cap \bar B)=1-p(A\cup B).$
- \item Si $A$ et $B$ sont disjoints, alors $p(A\cup B)=p(A)+p(B).$ 
+ \item Si $A$ et $B$ sont disjoints, alors $p(A\cup B)=p(A)+p(B).$  %C'est le trisième axiome, vous voulez le répéter?
  \item Si $A\subseteq B$, alors $p(B\cap \bar A)=p(B)-p(A).$ 
  \item Si $A\subseteq B$, alors $p(A)\leq p(B).$ 
  \item $\forall A$, $0\leq p(A)\leq 1.$ 
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From d9c1f9cef70797b6af404b7a8fb2838f43e23e56 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Marc Gay-Balmaz <m.gaybalmaz@gmail.com>
Date: Sat, 10 Jun 2017 13:02:12 +0200
Subject: [PATCH 30/30] Diverses fautes d'orthographe

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 cours.tex | 14 +++++++-------
 1 file changed, 7 insertions(+), 7 deletions(-)

diff --git a/cours.tex b/cours.tex
index 8a1aa90..8068915 100644
--- a/cours.tex
+++ b/cours.tex
@@ -2202,7 +2202,7 @@ d'algèbre linéaire. Pour ce faire nous allons considérer un ensemble $V$, sou
 Dans notre cas $E$ sera $\real$ ou $\complex$ principalement. 
 \begin{definition}[Espace vectoriel]
  On appelle espace vectoriel sur $E$, un ensemble $V$, dont les éléments appelés vecteur et notés $v$, sont 
- sont munis des opérations opérations $+$ (l'addition) et $\cdot$ (la multiplication par un scalaire) ont les propriétés suivantes
+ munis des opérations $+$ (l'addition) et $\cdot$ (la multiplication par un scalaire) ont les propriétés suivantes
  \pagebreak
  \begin{itemize}
   \item[$+$:$V\times V\rightarrow V$]\ \hfill\break
@@ -2324,11 +2324,11 @@ Cette écriture en fonction de vecteurs de base, permet de faire facilement les
 
 \end{exemples}
 
-Plus formellement nous allons introduire un certain nombre de concepts mathémqtiques pour
+Plus formellement nous allons introduire un certain nombre de concepts mathématiques pour
 définir une base. Considérons toujours $V$ un espace vectoriel sur $E$.
 
 \begin{definition}[Famille libre]
- Soient $\{\alpha_i\}_{i=1}^n\in E$. On dit qu'un ensemble de vecteurs $\{v_i\}_{i=1}^n\in V$ est une famille libre si 
+ Soient $\{\alpha_i\}_{i=1}^n\in E$. On dit qu'un ensemble de vecteurs $\{v_i\}_{i=1}^n\in V$ est une famille libre si
  \begin{equation}
   \sum_{i=1}^n \alpha_iv_i=0 \Rightarrow \alpha_i=0,\ \forall i.
  \end{equation}
@@ -2698,7 +2698,7 @@ La transformée de Fourier possède plusieurs propriétés intéressantes.
 
 \section{La transformée de Fourier à temps discret (TFTD)}
 
-Nous allons maintenant plus considérer une fonction continue, mais une série de valeurs discrètes.
+Nous n'allons maintenant plus considérer une fonction continue, mais une série de valeurs discrètes.
 Notons $f[n]$ une série de nombres, avec $n\in\integer$. Nous voulons définir l'équivalent de la transformée 
 de Fourier de l'équation \eqref{eq_fourier_transform} pour ce genre de séries de points. Une façon naturelle 
 de définir l'équivalent à temps discret de cette équation est 
@@ -2808,9 +2808,9 @@ Une partie de l'information contenue dans la fonction continue doit être redond
 
 L'idée à présent va être d'enlever toute l'information redondante de $\fh(\omega)$ en
 échantillonnant $\fh$ et en gardant uniquement $N$ échantillons de $\fh$. La fréquence 
-d'échantillonage sera de $2\pi/N$ et le domaine d'échantillonage sera $[-\pi,\pi)$.
+d'échantillonnage sera de $2\pi/N$ et le domaine d'échantillonnage sera $[-\pi,\pi)$.
 
-Nous pouvons à présent définir mathématiquement cet échantillonage de $\fh(\omega)$ comme
+Nous pouvons à présent définir mathématiquement cet échantillonnage de $\fh(\omega)$ comme
 étant une suite de points, notée $\{\fh(\omega_k)\}_{k=0}^{N-1}$, où $\omega_k=k/(2\pi)$.
 Cette suite sera notée $\fh[k]$ et appelée la \textit{transformée de Fourier discrète} de
 $f[n]$.
@@ -3546,7 +3546,7 @@ Soit $\Omega$ un univers. La probabilité de réaliser un événement $A\subsete
  \begin{equation}
  p(A\cup B)=p(A)+p(B). 
  \end{equation}
- La probabilité de réalisation de deux évéenements incompatibles est égale à la somme de réalisation
+ La probabilité de réalisation de deux événements incompatibles est égale à la somme de la probabilité de réalisation
  de chacun d'entre eux.
 \end{enumerate}
 \end{definition}
-- 
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