diff --git a/cours.md b/cours.md index 36aaad6a74c5edc817b8a79822f15d1417461ce9..0bc10af2f3c63021845ac0d0c33eff7a7d0d14b9 100644 --- a/cours.md +++ b/cours.md @@ -479,12 +479,12 @@ du calcul d’une dérivée. Définition (Primitive) +.# -Soit $f$ une fonction. On dit que $F$ est la primitive de $f$ sur +Soit $f$ une fonction. On dit que $F$ est une primitive de $f$ sur l’intervalle $D\subseteq{\real}$ si $F'(x)=f(x)$ $\forall x\in D$. Si $F$ est une primitive de $f$, alors on peut définir la fonction $G$ telle que $G(x)=F(x)+C$, $C\in{\real}$ qui est aussi une -primitive de $f$. On dit que la primitive de $f$ est définie à une +primitive de $f$. On voit que la primitive de $f$ est définie à une constante additive près. En effet, si $F'=f$ on a $$G'=F'+\underbrace{C'}_{=0}=F'=f.$$ @@ -558,13 +558,12 @@ effet, remplaçons $F$ par $G=F+C$, il vient $$\int_a^b f(x){\mathrm{d}}x=G(b)-G(a)=F(b)+C-F(a)-C=F(b)-F(a).$$ --- - -De la définition \[def_prim\], il vient immédiatement que +Il suit de (2.9) que $$\int_a^af(x){\mathrm{d}}x=F(a)-F(a)=0$$ et que $$\int_a^bf(x){\mathrm{d}}x= -\int_b^af(x){\mathrm{d}}x$$ Nous pouvons à présent définir la fonction $G(x)$ telle que -$$G(x)=\int_a^xf(y){\mathrm{d}}y=F(x)-F(a).$$ Nous avons donc que $G(x)$ +$$G(x)=\int_a^xf(y){\mathrm{d}}y=F(x)-F(a).$$ Il suit que $G(x)$ est la primitive de $f$ telle que $G(a)=0$. Propriétés +.# @@ -639,9 +638,9 @@ Montrer que $$\int_{-1}^2\frac{1}{x}=\ln{2}.$$ Définition (Valeur moyenne) +.# -Soit une fonction $f$ admettant une primitive sur $[a,b]$ et $a<b$, -alors on appelle la valeur moyenne de cette fonction sur $[a,b]$, -$\bar{f}$, $$\bar{f}=\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x){\mathrm{d}}x.$$ +Soit une fonction $f$ admettant une primitive sur $[a,b]$ avec $a<b$, +alors la valeur moyenne $\bar{f}$ de cette fonction sur $[a,b]$, est définie par +$$\bar{f}=\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x){\mathrm{d}}x.$$ Méthodes d’intégration ----------------------