updated 2025

slides/cours_18.md

+---
+title: "Arbres AVL"
+date: "2025-03-21"
+---
+
+# Exercice (que vous avez dû faire à la maiso)
+
+* Trier par tas le tableau
+
+```
+        | 1 | 2 | 4 | 5 | 6 | 8 | 10 | 12 | 16
+```
+
+* Mettez autant de détails que possible.
+* Que constatez-vous?
+* Postez le résultat sur matrix.
+
+# L'algorithme du tri par tas (1/2)
+
+\footnotesize
+
+## Deux étapes
+
+1. Entassement: transformer l'arbre en tas.
+2. Échanger la racine avec le dernier élément et entasser la racine.
+
+## Pseudo-code d'entassement de l'arbre (15 min, matrix)
+
+. . .
+
+```python
+rien tri_par_tas(tab)
+    entassement(tab)
+    échanger(tab[0], tab[size(tab)-1])
+    pour i de size(tab)-1 à 2 
+        tamisage(tab, 0)
+        échanger(tab[0], tab[i-1])
+
+rien entassement(tab)
+    pour i de size(tab)/2-1 à 0
+        tamisage(tab, i)
+
+rien tamisage(tab, i)
+    ind_max = ind_max(tab, i, gauche(i), droite(i))
+    si i != ind_max
+        échanger(tab[i], tab[ind_max])
+        tamisage(tab, ind_max)
+```
+
+# L'algorithme du tri par tas (2/2)
+
+* Fonctions utilitaires
+
+    ```python
+    entier ind_max(tab, i, g, d)
+        ind_max = i
+        si g < size(tab) && tab[ind_max] < tab[g] 
+            ind_max = g
+        si d < size(tab) > d && tab[ind_max] < tab[d]
+            ind_max = d
+        retourne ind_max
+
+    entier gauche(i)
+        retourne 2 * i + 1
+    
+    entier droite(i)
+        retourne 2 * i + 2
+    ```
+
+
+<!-- # L'algorithme du tri par tas (3/4)
+
+\footnotesize
+
+## Implémenter en C l'algorithme du tri par tas (matrix, 20min)
+
+. . .
+
+```C 
+void heapsort(int size, int tab[size]) {
+    heapify(size, tab);
+    swap(tab, tab + size - 1);
+    for (int s = size - 1; s > 1; s--) {
+        sift_up(s, tab, 0);
+        swap(tab, tab + s - 1);
+    }
+}
+void heapify(int size, int tab[size]) {
+    for (int i = size / 2 - 1; i >= 0; i--) {
+        sift_up(size, tab, i);
+    }
+}
+void sift_up(int size, int tab[size], int i) {
+    int ind_max = ind_max3(size, tab, i, left(i), right(i));
+    if (i != ind_max) {
+        swap(tab + i, tab + ind_max);
+        sift_up(size, tab, ind_max);
+    }
+}
+```
+
+# L'algorithme du tri par tas (4/4)
+
+\footnotesize
+
+## Fonctions utilitaires
+
+. . .
+
+```C
+int ind_max3(int size, int tab[size], int i, int l, int r) {
+    int ind_max = i;
+    if (l < size && tab[ind_max] < tab[l]) {
+        ind_max = l;
+    }
+    if (r < size && tab[ind_max] < tab[r]) {
+        ind_max = r;
+    }
+    return ind_max;
+}
+void swap(int *a, int *b) {
+    int tmp = *a;
+    *a      = *b;
+    *b      = tmp;
+}
+int left(int i) {
+    return 2 * i + 1;
+}
+int right(int i) {
+    return 2 * i + 2;
+}
+``` -->
+
+
+
+
+# Les arbres AVL
+
+\Huge Les arbres AVL
+
+# Un meilleur arbre
+
+* Quelle propriété doit satisfaire un arbre pour que la recherche soit $O(\log_2(N))$?
+
+. . .
+
+* Si on a environ le même nombre de nœuds dans les sous-arbres.
+
+## Définition
+
+Un arbre binaire est parfaitement équilibré si, pour chaque
+nœud, la différence entre les nombres de nœuds des sous-
+arbres gauche et droit vaut au plus 1.
+
+* Si l'arbre est **parfaitement équilibré**, alors tout ira bien.
+* Quelle est la hauteur (profondeur) d'un arbre parfaitement équilibré?
+
+. . .
+
+* $O(\log_2(N))$.
+
+
+# Équilibre parfait ou pas?
+
+::: columns
+
+:::: column
+
+```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
+graph TD;
+    id0((W))-->id1((B));
+    id0-->id8((Y));
+    id1-->id2((A));
+    id1-->id9((  ));
+    id8-->id10((X));
+    id8-->id11((  ));
+    style id9 fill:#fff,stroke:#fff
+    style id11 fill:#fff,stroke:#fff
+```
+
+::::
+
+:::: column
+
+. . .
+
+```
+É
+Q
+U
+I
+L
+I
+B
+R
+É
+```
+
+::::
+
+:::
+
+# Équilibre parfait ou pas?
+
+::: columns
+
+:::: column
+
+```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
+graph TD;
+    id0((16))-->id1((10));
+    id0-->id2((19));
+    id1-->id3((8));
+    id1-->id4((12));
+    id4-->id5((11));
+    id4-->id6((  ));
+    id2-->id7((17));
+    id2-->id8((  ));
+    id7-->id9((  ));
+    id7-->id10((18));
+    style id6 fill:#fff,stroke:#fff
+    style id8 fill:#fff,stroke:#fff
+    style id9 fill:#fff,stroke:#fff
+```
+
+::::
+
+:::: column
+
+. . .
+
+```
+P 
+A
+S 
+
+É
+Q
+U
+I
+L
+I
+B
+R
+É
+```
+
+::::
+
+:::
+
+# Arbres AVL
+
+\footnotesize
+
+* Quand est-ce qu'on équilibre un arbre?
+
+. . .
+
+* A l'insertion/suppression.
+* Maintenir un arbre en état d'équilibre parfait: cher (insertion, suppression).
+* On peut "relaxer" la condition d'équilibre: profondeur (hauteur) au lieu du
+  nombre de nœuds:
+    * La hauteur $\sim\log_2(N)$.
+
+## Définition
+
+Un arbre AVL (Adelson-Velskii et Landis) est un arbre binaire de recherche dans
+lequel, pour chaque nœud, la différence de hauteur entre le sous-arbre gauche et droit vaut au plus 1.
+
+* Relation entre nœuds et hauteur:
+$$
+\log_2(1+N)\leq 1+H\leq 1.44\cdot\log_2(2+N),\quad N=10^5,\ 17\leq H \leq 25.
+$$
+* Permet l'équilibrage en temps constant: insertion/suppression $O(\log_2(N))$.
+
+# Notation
+
+* `hg`: hauteur du sous-arbre gauche.
+* `hd`: hauteur du sous-arbre droit.
+* `facteur d'équilibre = fe = hd - hg`
+* Que vaut `fe` si l'arbre est AVL?
+
+. . .
+
+* `fe = {-1, 0, 1}`
+
+
+# AVL ou pas?
+
+::: columns
+
+:::: column
+
+```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
+graph TD;
+    id0((12))-->id1((10));
+    id0-->id2((19));
+    id2-->id3((17));
+    id2-->id4((97));
+```
+
+::::
+
+:::: column
+
+. . .
+
+```
+A
+V
+L
+```
+
+::::
+
+:::
+
+# AVL ou pas?
+
+::: columns
+
+:::: column
+
+```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
+graph TD;
+    id0((12))-->id1((1));
+    id0-->id2((19));
+    id2-->id3((17));
+    id2-->id4((97));
+    id4-->id5((37));
+    id4-->id6((  ));
+    style id6 fill:#fff,stroke:#fff
+```
+
+::::
+
+:::: column
+
+. . .
+
+```
+P
+A
+S
+
+A
+V
+L
+```
+
+::::
+
+:::
+
+# Insertion dans un arbre AVL (1/N)
+
+1. On part d'un arbre AVL.
+2. On insère un nouvel élément.
+
+::: columns
+
+:::: column
+
+* `hd ? hg`.
+* Insertion de `4`?
+
+```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
+graph TD;
+    id0((12))-->id1((1));
+    id0-->id2((19));
+```
+
+::::
+
+:::: column
+
+. . .
+
+* `hd = hg`
+
+```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
+graph TD;
+    id0((12))-->id1((1));
+    id0-->id2((19));
+    id1-->id4((  ));
+    id1-->id5((4));
+    style id4 fill:#fff,stroke:#fff
+```
+
+* `fe = -1`
+
+::::
+
+:::
+
+# Insertion dans un arbre AVL (2/N)
+
+1. On part d'un arbre AVL.
+2. On insère un nouvel élément.
+
+::: columns
+
+:::: column
+
+* `hd ? hg`.
+* Insertion de `4`?
+
+```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
+graph TD;
+    id0((12))-->id1((1));
+    id0-->id2((19));
+    id2-->id3((18));
+    id2-->id4((  ));
+    style id4 fill:#fff,stroke:#fff
+```
+
+::::
+
+:::: column
+
+. . .
+
+* `hd < hg`
+
+```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
+graph TD;
+    id0((12))-->id1((1));
+    id0-->id2((19));
+    id2-->id3((18));
+    id2-->id4((  ));
+    id1-->id5((  ));
+    id1-->id6((4));
+    style id4 fill:#fff,stroke:#fff
+    style id5 fill:#fff,stroke:#fff
+```
+
+* `fe = 0`
+
+::::
+
+:::
+
+# Insertion dans un arbre AVL (3/N)
+
+\footnotesize
+
+1. On part d'un arbre AVL.
+2. On insère un nouvel élément.
+
+::: columns
+
+:::: column
+
+* `hd ? hg`.
+* Insertion de `4`?
+
+```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
+graph TD;
+    id0((12))-->id1((1));
+    id0-->id2((19));
+    id1-->id3((  ));
+    id1-->id4((6));
+    id2-->id5((  ));
+    id2-->id6((  ));
+    style id3 fill:#fff,stroke:#fff
+    style id5 fill:#fff,stroke:#fff
+    style id6 fill:#fff,stroke:#fff
+```
+
+::::
+
+:::: column
+
+. . .
+
+* `hd < hg`
+
+```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
+graph TD;
+    id0((12))-->id1((1));
+    id0-->id2((19));
+    id1-->id3((  ));
+    id1-->id4((6));
+    id4-->id5((4));
+    id4-->id6((  ));
+    id2-->id7((  ));
+    id2-->id8((  ));
+    style id3 fill:#fff,stroke:#fff
+    style id6 fill:#fff,stroke:#fff
+    style id7 fill:#fff,stroke:#fff
+    style id8 fill:#fff,stroke:#fff
+```
+
+::::
+
+:::
+
+**Déséquilibre!** Que vaut `fe`?
+
+. . .
+
+* `fe = 2`
+
+# Les cas de déséquilibre
+
+
+::: columns
+
+:::: column
+
+## Cas 1a
+
+* `u`, `v`, `w` même hauteur.
+* déséquilibre en `B` après insertion dans `u`
+
+![Après insertion](figs/cas1a_gauche.png)
+
+::::
+
+:::: column
+
+## Cas 1a
+
+* Comment rééquilibrer?
+
+. . .
+
+* ramène `u`, `v` `w` à la même hauteur.
+* `v` à droite de `A` (gauche de `B`)
+
+![Après équilibrage](figs/cas1a_droite.png)
+
+::::
+
+:::
+
+# Les cas de déséquilibre
+
+
+::: columns
+
+:::: column
+
+## Cas 1b (symétrique 1a)
+
+![Après insertion](figs/cas1b_gauche.png)
+
+::::
+
+:::: column
+
+## Cas 1b (symétrique 1a)
+
+* Comment rééquilibrer?
+
+. . .
+
+![Après équilibrage](figs/cas1b_droite.png)
+
+::::
+
+:::
+
+# Les cas de déséquilibre
+
+
+::: columns
+
+:::: column
+
+## Cas 2a
+
+* `h(v1)=h(v2), h(u)=h(w)`.
+* déséquilibre en `C` après insertion dans `v2`
+
+![Après insertion](figs/cas2a_gauche.png)
+
+::::
+
+:::: column
+
+## Cas 2a
+
+* Comment rééquilibrer?
+
+. . .
+
+* ramène `u`, `v2`, `w` à la même hauteur (`v1` pas tout à fait).
+* `v2` à droite de `B` (gauche de `C`)
+* `B` à droite de `A` (gauche de `C`)
+* `v1` à droite de `A` (gauche de `B`)
+
+![Après équilibrage](figs/cas2a_droite.png)
+
+::::
+
+:::
+
+
+# Les cas de déséquilibre
+
+
+::: columns
+
+:::: column
+
+## Cas 2b (symétrique 2a)
+
+![Après insertion](figs/cas2b_gauche.png)
+
+::::
+
+:::: column
+
+## Cas 2b (symétrique 2a)
+
+* Comment rééquilibrer?
+
+. . .
+
+![Après équilibrage](figs/cas2b_droite.png)
+
+::::
+
+:::
+
+# Le facteur d'équilibre (balance factor)
+
+## Définition
+
+```
+fe(arbre) = hauteur(droite(arbre)) - hauteur(gauche(arbre))
+```
+
+## Valeurs possibles?
+
+. . .
+
+```
+fe = {-1, 0, 1} // arbre AVL
+fe = {-2, 2}    // arbre déséquilibré
+```
+
+![Illustration du `fe`](figs/facteur_equilibre.png){width=40%}
+
+# Algorithme d'insertion
+
+* Insérer le noeud comme d'habitude.
+* Mettre à jour les facteurs d'équilibre jusqu'à la racine (ou au premier
+  noeud déséquilibré).
+* Rééquilibrer le noeud si nécessaire.
+
+## Cas possibles
+
+::: columns
+
+:::: column
+
+## Sous-arbre gauche (avant)
+
+```
+fe(P) =  1 
+fe(P) =  0 
+fe(P) = -1 
+```
+
+::::
+
+:::: column
+
+## Sous-arbre gauche (après)
+
+. . .
+
+```
+=> fe(P) =  0 
+=> fe(P) = -1 
+=> fe(P) = -2 // Rééquilibrer P
+```
+
+::::
+
+:::
+
+# Algorithme d'insertion
+
+* Insérer le noeud comme d'habitude.
+* Mettre à jour les facteurs d'équilibre jusqu'à la racine (ou au premier
+  noeud déséquilibré).
+* Rééquilibrer le noeud si nécessaire.
+
+## Cas possibles
+
+::: columns
+
+:::: column
+
+## Sous-arbre droit (avant)
+
+```
+fe(P) =  1 
+fe(P) =  0 
+fe(P) = -1 
+```
+
+::::
+
+:::: column
+
+## Sous-arbre droit (après)
+
+. . .
+
+```
+=> fe(P) =  0 
+=> fe(P) = +1 
+=> fe(P) = +2 // Rééquilibrer P
+```
+
+::::
+
+:::
+
+# Rééquilibrage
+
+## Lien avec les cas vus plus tôt
+
+```
+fe(P) = -2 && fe(gauche(P)) = -1 => cas 1a
+fe(P) = -2 && fe(gauche(P)) = +1 => cas 2a
+
+fe(P) = +2 && fe(droite(P)) = -1 => cas 2b
+fe(P) = +2 && fe(droite(P)) = +1 => cas 1b
+```
+
+## Dessiner les différents cas, sur le dessin ci-dessous
+
+![On verra un peu après les rotations.](figs/rotation_gauche_droite.png)
+
+# La rotation
+
+## La rotation gauche (5min, matrix)
+
+![L'arbre de droite devient celui de gauche. Comment?](figs/rotation_gauche_droite.png)
+
+. . .
+
+\footnotesize
+```
+arbre rotation_gauche(arbre P) 
+    si est_non_vide(P)
+        Q = droite(P)
+        droite(P) = gauche(Q)
+        gauche(Q) = P
+        retourne Q
+    retourne P
+```
+
+# La rotation en C (1/2)
+
+## La rotation gauche
+
+```
+arbre rotation_gauche(arbre P) 
+    si est_non_vide(P)
+        Q = droite(P)
+        droite(P) = gauche(Q)
+        gauche(Q) = P
+        retourne Q
+    retourne P
+```
+
+## Écrire le code C correspondant (5min, matrix)
+
+1. Structure de données
+2. Fonction `tree_t rotation_left(tree_t tree)`
+
+. . .
+
+\footnotesize
+```C
+typedef struct _node {
+    int key;
+    struct _node *left, *right;
+    int bf; // balance factor
+} node;
+typedef node *tree_t;
+```
+
+# La rotation en C (2/2)
+
+\footnotesize
+
+```C
+tree_t rotation_left(tree_t tree) {
+    tree_t subtree = NULL;
+    if (NULL != tree) {
+        subtree = tree->right;
+        tree->right = subtree->left;
+        subtree->left = tree;
+    }
+    return subtree;
+}
+```
+
+. . .
+
+* Et la rotation à droite, pseudo-code (5min)?
+
+. . .
+
+```
+arbre rotation_droite(arbre P) 
+    si est_non_vide(P)
+        Q = gauche(P)
+        gauche(P) = droite(Q)
+        droite(Q) = P
+        retourne Q
+    retourne P
+```
+
+<!-- ```C
+tree_t rotation_right(tree_t tree) {
+    tree_t subtree = NULL;
+    if (NULL != tree) {
+        subtree = tree->left;
+        tree->left = subtree->right;
+        subtree->right = tree;
+    }
+    return subtree;
+}
+``` -->
+
+# Exemple de rotation (1/2)
+
+## Insertion de 9?
+
+```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
+graph TD;
+    id0((5))-->id1((1));
+    id0-->id2((6));
+    id2-->id3((  ));
+    id2-->id4((8));
+    style id3 fill:#fff,stroke:#fff
+```
+
+# Exemple de rotation (2/2)
+
+::: columns
+
+:::: column
+
+## Quelle rotation et sur quel noeud (5 ou 6)?
+
+```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
+graph TD;
+    id0((5))-->id1((1));
+    id0-->id2((6));
+    id2-->id3((  ));
+    id2-->id4((8));
+    id4-->id5((  ));
+    id4-->id6((9));
+    style id3 fill:#fff,stroke:#fff
+    style id5 fill:#fff,stroke:#fff
+```
+
+::::
+
+:::: column
+
+. . .
+
+## Sur le plus jeune évidemment!
+
+```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
+graph TD;
+    id0((5))-->id1((1));
+    id0-->id2((8));
+    id2-->id3((6));
+    id2-->id4((9));
+```
+
+::::
+
+:::
+
+* Cas `1a/b` *check*!
+
+
+# La rotation gauche-droite
+
+## Là c'est plus difficile (cas 2a/b)
+
+![La double rotation de l'enfer.](figs/double_rotation_gauche_droite.png)
+
+# Exercices
+
+## Faire l'implémentation de la double rotation (pas corrigé, 5min)
+
+# Exercices
+
+::: columns
+
+:::: column
+
+## Insérer 50, ex 10min (matrix)
+
+```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
+graph TD;
+    id0((89))-->id1((71));
+    id0-->id2((90));
+    id1-->id3((44));
+    id3-->id4((37));
+    id3-->id5((61));
+    id1-->id6((81))
+    id2-->id7((  ))
+    id2-->id8((100))
+    style id7 fill:#fff,stroke:#fff
+```
+
+::::
+
+:::: column
+
+. . .
+
+## Où se fait la rotation?
+
+```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
+graph TD;
+    id0((89))-->id1((71));
+    id0-->id2((90));
+    id1-->id3((44));
+    id3-->id4((37));
+    id3-->id5((61));
+    id1-->id6((81))
+    id2-->id7((  ))
+    id2-->id8((100))
+    id5-->id9((50))
+    id5-->id10((  ))
+    style id7 fill:#fff,stroke:#fff
+    style id10 fill:#fff,stroke:#fff
+```
+
+::::
+
+:::
+
+# Exercices
+
+::: columns
+
+:::: column
+
+## Rotation gauche en 44
+
+```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
+graph TD;
+    id0((89))-->id1((71));
+    id0-->id2((90));
+    id1-->id3((61));
+    id1-->id10((81));
+    id3-->id4((44));
+    id3-->id5((  ));
+    id4-->id6((37))
+    id4-->id7((50))
+    id2-->id8((  ))
+    id2-->id9((100))
+    style id5 fill:#fff,stroke:#fff
+    style id8 fill:#fff,stroke:#fff
+```
+
+::::
+
+:::: column
+
+. . .
+
+## Rotation à droite en 71
+
+```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
+graph TD;
+    id0((89))-->id1((61));
+    id0-->id2((90));
+    id1-->id3((44));
+    id1-->id10((71));
+    id3-->id4((37));
+    id3-->id5((50));
+    id2-->id8((  ));
+    id2-->id9((100));
+    id10-->id11((  ))
+    id10-->id12((81))
+    style id8 fill:#fff,stroke:#fff
+    style id11 fill:#fff,stroke:#fff
+```
+
+::::
+
+:::
+
+# Exercice de la mort
+
+Soit l’arbre AVL suivant:
+
+::: columns
+
+:::: column
+
+```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
+graph TD;
+    id0((60))-->id1((40));
+    id0-->id2((120));
+    id1-->id3((20));
+    id1-->id4((50));
+    id3-->id5((10));
+    id3-->id6((30));
+    id2-->id7((100));
+    id2-->id8((140));
+    id7-->id9((80))
+    id7-->id10((110))
+    id9-->id11((70))
+    id9-->id12((90))
+    id8-->id13((130))
+    id8-->id14((160))
+    id14-->id15((150))
+    id14-->id16((170))
+```
+
+::::
+
+:::: column
+
+1. Montrer les positions des insertions de feuille qui conduiront à un arbre
+   désequilibré.
+2. Donner les facteurs d’equilgaucheibre.
+3. Dessiner et expliquer les modifications de l’arbre lors de l’insertion de la
+   valeur `65`. On mentionnera les modifications des facteurs
+   d’équilibre.
+
+::::
+
+:::
+
+# Encore un petit exercice
+
+* Insérer les nœuds suivants dans un arbre AVL
+
+```
+25 | 60 | 35 | 10 | 5 | 20 | 65 | 45 | 70 | 40 
+    | 50 | 55 | 30 | 15
+```
+
+## Un à un et le/la premier/ère qui poste la bonne réponse sur matrix a un point
+
+# Suppression dans un arbre AVL
+
+
+::: columns
+
+:::: column
+
+## Algorithme par problème: supprimer 10
+
+```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
+graph TD;
+    id0((8))-->id1((4));
+    id0-->id2((10));
+    id1-->id3((2));
+    id1-->id4((6));
+    id3-->id5((1));
+    id3-->id6((  ))
+    id4-->id7((  ))
+    id4-->id8((7))
+    id2-->id9((9))
+    id2-->id10((14))
+    id10-->id11((12))
+    id10-->id12((16))
+    style id6 fill:#fff,stroke:#fff
+    style id7 fill:#fff,stroke:#fff
+```
+
+::::
+
+:::: column
+
+. . .
+
+## Algorithme par problème: supprimer 10
+
+```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
+graph TD;
+    id0((8))-->id1((4));
+    id0-->id2((12));
+    id1-->id3((2));
+    id1-->id4((6));
+    id3-->id5((1));
+    id3-->id6((  ))
+    id4-->id7((  ))
+    id4-->id8((7))
+    id2-->id9((9))
+    id2-->id10((14))
+    id10-->id11((  ))
+    id10-->id12((16))
+    style id6 fill:#fff,stroke:#fff
+    style id7 fill:#fff,stroke:#fff
+    style id11 fill:#fff,stroke:#fff
+```
+
+::::
+
+:::
+
+# Suppression dans un arbre AVL
+
+
+::: columns
+
+:::: column
+
+## Algorithme par problème: supprimer 8
+
+```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
+graph TD;
+    id0((8))-->id1((4));
+    id0-->id2((12));
+    id1-->id3((2));
+    id1-->id4((6));
+    id3-->id5((1));
+    id3-->id6((  ))
+    id4-->id7((  ))
+    id4-->id8((7))
+    id2-->id9((9))
+    id2-->id10((14))
+    id10-->id11((  ))
+    id10-->id12((16))
+    style id6 fill:#fff,stroke:#fff
+    style id7 fill:#fff,stroke:#fff
+    style id11 fill:#fff,stroke:#fff
+```
+
+::::
+
+:::: column
+
+. . .
+
+## Algorithme par problème: rotation de 12
+
+```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
+graph TD;
+    id0((9))-->id1((4));
+    id0-->id2((12));
+    id1-->id3((2));
+    id1-->id4((6));
+    id3-->id5((1));
+    id3-->id6((  ))
+    id4-->id7((  ))
+    id4-->id8((7))
+    id2-->id9((  ))
+    id2-->id10((14))
+    id10-->id11((  ))
+    id10-->id12((16))
+    style id6 fill:#fff,stroke:#fff
+    style id7 fill:#fff,stroke:#fff
+    style id9 fill:#fff,stroke:#fff
+    style id11 fill:#fff,stroke:#fff
+```
+
+::::
+
+:::
+
+# Suppression dans un arbre AVL
+
+::: columns
+
+:::: column
+
+## Algorithme par problème: rotation de 12
+
+```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
+graph TD;
+    id0((9))-->id1((4));
+    id0-->id2((14));
+    id1-->id3((2));
+    id1-->id4((6));
+    id3-->id5((1));
+    id3-->id6((  ))
+    id4-->id7((  ))
+    id4-->id8((7))
+    id2-->id9((12))
+    id2-->id10((16))
+    style id6 fill:#fff,stroke:#fff
+    style id7 fill:#fff,stroke:#fff
+```
+
+::::
+
+:::: column
+
+. . .
+
+1. On supprime comme d'habitude.
+2. On rééquilibre si besoin à l'endroit de la suppression.
+
+* Facile non?
+
+. . .
+
+* Plus dur....
+
+::::
+
+:::
+
+# Suppression dans un arbre AVL 2.0
+
+::: columns
+
+:::: column
+
+## Algorithme par problème: suppression de 30
+
+```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
+graph TD;
+    id0((50))-->id1((30));
+    id0-->id2((100));
+    id1-->id3((10));
+    id1-->id4((40));
+    id3-->id5((  ));
+    id3-->id6((20))
+    id2-->id7((80))
+    id2-->id8((200))
+    id7-->id9((70))
+    id7-->id10((90))
+    id9-->id11((60))
+    id9-->id12((  ))
+    id8-->id13((  ))
+    id8-->id14((300))
+    style id5 fill:#fff,stroke:#fff
+    style id12 fill:#fff,stroke:#fff
+    style id13 fill:#fff,stroke:#fff
+```
+
+::::
+
+:::: column
+
+. . .
+
+## Algorithme par problème: rotation GD autour de 40
+
+```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
+graph TD;
+    id0((50))-->id1((40));
+    id0-->id2((100));
+    id1-->id3((10));
+    id1-->id4((  ));
+    id3-->id5((  ));
+    id3-->id6((20))
+    id2-->id7((80))
+    id2-->id8((200))
+    id7-->id9((70))
+    id7-->id10((90))
+    id9-->id11((60))
+    id9-->id12((  ))
+    id8-->id13((  ))
+    id8-->id14((300))
+    style id4 fill:#fff,stroke:#fff
+    style id5 fill:#fff,stroke:#fff
+    style id12 fill:#fff,stroke:#fff
+    style id13 fill:#fff,stroke:#fff
+```
+
+::::
+
+:::
+
+# Suppression dans un arbre AVL 2.0
+
+::: columns
+
+:::: column
+
+## Argl! 50 est déséquilibré!
+
+```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
+graph TD;
+    id0((50))-->id1((20));
+    id0-->id2((100));
+    id1-->id3((10));
+    id1-->id4((40));
+    id2-->id7((80))
+    id2-->id8((200))
+    id7-->id9((70))
+    id7-->id10((90))
+    id9-->id11((60))
+    id9-->id12((  ))
+    id8-->id13((  ))
+    id8-->id14((300))
+    style id12 fill:#fff,stroke:#fff
+    style id13 fill:#fff,stroke:#fff
+```
+
+::::
+
+:::: column
+
+. . .
+
+## Algorithme par problème: rotation DG autour de 50
+
+```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
+graph TD;
+    id0((80))-->id1((50));
+    id0-->id2((100));
+    id1-->id3((20));
+    id1-->id4((70));
+    id3-->id5((10));
+    id3-->id6((40));
+    id4-->id9((60))
+    id4-->id10((  ))
+    id2-->id7((90))
+    id2-->id8((200))
+    id8-->id13((  ))
+    id8-->id14((300))
+    style id10 fill:#fff,stroke:#fff
+    style id13 fill:#fff,stroke:#fff
+```
+
+::::
+
+:::
+
+# Résumé de la suppression
+
+1. On supprime comme pour un arbre binaire de recherche.
+2. Si un nœud est déséquilibré, on le rééquilibre.
+    * Cette opération peut déséquilibrer un autre nœud.
+3. On continue à rééquilibrer tant qu'il y a des nœuds à équilibrer.