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Verified Commit 77e03ea2 authored by orestis.malaspin's avatar orestis.malaspin
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---
title: "Arbres binaires, tri par tas"
date: "2025-03-14"
---
# Les arbres binaires
\Huge Les arbres binaires
# Rappel pour l'insertion
* Les éléments insérés ont une notion d'ordre
* On parcourt l'arbre jusqu'à pouvoir ajouter une nouvelle feuille
# Pseudo-code d'insertion (1/4)
* Deux parties:
* Recherche le parent où se passe l'insertion.
* Ajout de l'enfant dans l'arbre.
## Recherche du parent
```
tree position(arbre, clé)
si est_non_vide(arbre)
si clé < clé(arbre)
suivant = gauche(arbre)
sinon
suivant = droite(arbre)
tant que clé(arbre) != clé && est_non_vide(suivant)
arbre = suivant
si clé < clé(arbre)
suivant = gauche(arbre)
sinon
suivant = droite(arbre)
retourne arbre
```
# Pseudo-code d'insertion (2/4)
* Deux parties:
* Recherche de la position.
* Ajout dans l'arbre.
## Ajout de l'enfant
```
rien ajout(arbre, clé)
si est_vide(arbre)
arbre = nœud(clé)
sinon
si clé < clé(arbre)
gauche(arbre) = nœud(clé)
sinon si clé > clé(arbre)
droite(arbre) = nœud(clé)
sinon
retourne
```
# Code d'insertion en C
## Recherche du parent (ensemble)
. . .
```C
node *position(node *tree, key_t key) {
node * current = tree;
if (NULL != current) {
node *subtree = key > current->key
? current->right : current->left;
while (key != current->key && NULL != subtree) {
current = subtree;
subtree = key > current->key
? current->right : current->left;
}
}
return current;
}
```
# L'insertion (3/4)
* Deux parties:
* Recherche de la position.
* Ajout dans l'arbre.
## Ajout du fils (pseudo-code)
```
rien ajout(arbre, clé)
si est_vide(arbre)
arbre = nœud(clé)
sinon
arbre = position(arbre, clé)
si clé < clé(arbre)
gauche(arbre) = nœud(clé)
sinon si clé > clé(arbre)
droite(arbre) = nœud(clé)
sinon
retourne
```
# L'insertion (4/4)
## Ajout du fils (code)
\scriptsize
* 2 cas: arbre vide ou pas.
* on retourne un pointeur vers le nœud ajouté (ou `NULL`)
. . .
```C
node *add_key(node **tree, key_t key) {
node *new_node = calloc(1, sizeof(*new_node));
new_node->key = key;
if (NULL == *tree) {
*tree = new_node;
} else {
node * subtree = position(*tree, key);
if (key == subtree->key) {
return NULL;
} else {
if (key > subtree->key) {
subtree->right = new_node;
} else {
subtree->left = new_node;
}
}
}
return new_node;
}
```
# La suppression dans un arbre binaire
\Huge La suppression dans un arbre binaire
# La suppression de clé
::: columns
:::: column
## Cas simples:
* le nœud est absent,
* le nœud est une feuille,
* le nœuds a un seul fils.
## Une feuille (le 19 p.ex.).
```{.mermaid format=pdf width=150 loc=figs/}
flowchart TB;
10-->20;
10-->5
20-->21
20-->19
```
::::
:::: column
## Un seul fils (le 20 p.ex.).
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
flowchart TB;
10-->20;
10-->5
20-->25
20-->18
25-->24
25-->30
5-->4;
5-->8;
style 18 fill:#fff,stroke:#fff,color:#fff
```
## Dans tous les cas
* Chercher le nœud à supprimer: utiliser `position()`.
::::
:::
# La suppression de clé
::: columns
:::: column
## Cas compliqué
* Le nœud à supprimer a (au moins) deux descendants (10).
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
flowchart TB;
10-->20;
10-->5
20-->25
20-->18
25-->24
25-->30
5-->4;
5-->8;
```
::::
:::: column
* Si on enlève 10, il se passe quoi?
. . .
* On ne peut pas juste enlever `10` et recoller...
* Proposez une solution !
. . .
## Solution
* Échange de la valeur à droite dans le sous-arbre de gauche ou ...
* de la valeur de gauche dans le sous-arbre de droite!
* Puis, on retire le nœud.
::::
:::
# Le pseudo-code de la suppression
## Pour une feuille ou absent (ensemble)
```
tree suppression(arbre, clé)
sous_arbre = position(arbre, clé)
si est_vide(sous_arbre) ou clé(sous_arbre) != clé
retourne vide
sinon
si est_feuille(sous_arbre) et clé(sous_arbre) == clé
nouvelle_feuille = parent(arbre, sous_arbre)
si est_vide(nouvelle_feuille)
arbre = vide
sinon
si gauche(nouvelle_feuille) == sous_arbre
gauche(nouvelle_feuille) = vide
sinon
droite(nouvelle_feuille) = vide
retourne sous_arbre
```
# Il nous manque le code pour le `parent`
## Pseudo-code pour trouver le parent (5min -> matrix)
. . .
```
tree parent(arbre, sous_arbre)
si est_non_vide(arbre)
actuel = arbre
parent = actuel
clé = clé(sous_arbre)
faire
si (clé != clé(actuel))
parent = actuel
si clé < clé(actuel)
actuel = gauche(actuel)
sinon
actuel = droite(actuel)
sinon
retour parent
tant_que (actuel != sous_arbre)
retourne vide
```
# Le pseudo-code de la suppression
\footnotesize
## Pour un seul enfant (5min -> matrix)
. . .
```
tree suppression(arbre, clé)
sous_arbre = position(arbre, clé)
si est_vide(gauche(sous_arbre)) ou est_vide(droite(sous_arbre))
parent = parent(arbre, sous_arbre)
si est_vide(gauche(sous_arbre))
si droite(parent) == sous_arbre
droite(parent) = droite(sous_arbre)
sinon
gauche(parent) = droite(sous_arbre)
sinon
si droite(parent) == sous_arbre
droite(parent) = gauche(sous_arbre)
sinon
gauche(parent) = gauche(sous_arbre)
retourne sous_arbre
```
# Le pseudo-code de la suppression
\footnotesize
## Pour au moins deux enfants (ensemble)
```
tree suppression(arbre, clé)
sous_arbre = position(arbre, clé) # on revérifie pas que c'est bien la clé
si est_non_vide(gauche(sous_arbre)) et est_non_vide(droite(sous_arbre))
max_gauche = position(gauche(sous_arbre), clé)
échange(clé(max_gauche), clé(sous_arbre))
suppression(gauche(sous_arbre), clé)
```
# Exercices (poster sur matrix)
1. Écrire le pseudo-code de l'insertion purement en récursif.
. . .
```
tree insertion(arbre, clé)
si est_vide(arbre)
retourne nœud(clé)
si (clé < arbre->clé)
gauche(arbre) = insert(gauche(arbre), clé)
sinon
droite(arbre) = insert(droite(arbre), clé)
retourne arbre
```
# Exercices (poster sur matrix)
2. Écrire le pseudo-code de la recherche purement en récursif.
. . .
```
booléen recherche(arbre, clé)
si est_vide(arbre)
retourne faux // pas trouvée
si clé(arbre) == clé
retourne vrai // trouvée
si clé < clé(arbre)
retourne recherche(gauche(arbre), clé)
sinon
retourne recherche(droite(arbre), clé)
```
# Exercices (à la maison)
3. Écrire une fonction qui insère des mots dans un arbre et ensuite affiche
l'arbre.
# Trier un tableau à l'aide d'un arbre binaire
* Tableau représenté comme un arbre binaire.
* Aide à comprendre "comment" trier, mais on ne construit jamais l'arbre.
* Complexité $O(N\log_2 N)$ en moyenne et grande stabilité (pas de cas
dégénérés).
# Lien entre arbre et tableau
* La racine de l'arbre set le premier élément du tableau.
* Les deux fils d'un nœud d'indice $i$, ont pour indices $2i+1$ et $2i+2$:
* Les fils du nœud $i=0$, sont à $2\cdot 0+1=1$ et $2\cdot 0+2=2$.
* Les fils du nœud $i=1$, sont à $2\cdot 1+1=3$ et $2\cdot 1+2=4$.
* Les fils du nœud $i=2$, sont à $2\cdot 2+2=5$ et $2\cdot 1+2=6$.
* Les fils du nœud $i=3$, sont à $2\cdot 3+1=7$ et $2\cdot 3+2=8$.
* Un élément d'indice $i$ a pour parent l'élément $(i-1)/2$ (division entière):
* Le parent du nœud $i=8$ est $(8-1)/2=3$.
* Le parent du nœud $i=7$ est $(7-1)/2=3$.
# Visuellement
::: columns
:::: column
* Où vont les indices correspondant du tableau?
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0(( ))-->id1(( ));
id0-->id2(( ));
id1-->id3(( ));
id1-->id4(( ));
id2-->id5(( ));
id2-->id6(( ));
id3-->id7(( ));
id3-->id8(( ));
id4-->id9(( ));
id4-->id10(( ));
style id10 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::: column
* Les flèche de gauche à droite, parent -> enfants.
* Les flèche de droite à gauche, enfants -> parent.
![Dualité tableau arbre binaire.](figs/heap_tree.svg)
::::
:::
**Propriétés:**
1. les feuilles sont toutes sur l'avant dernier ou dernier niveau.
2. les feuilles de profondeur maximale sont "tassée" à gauche.
# Le tas (ou heap)
## Définition
* Un arbre est un tas, si la valeur de chacun de ses descendants est inférieure
ou égale à sa propre valeur.
## Exemples (ou pas)
```
16 8 14 6 2 10 12 4 5 # Tas
16 14 8 6 2 10 12 4 5 # Non-tas, 10 > 8 et 12 > 8
```
## Exercices (ou pas)
```
19 18 12 12 17 1 13 4 5 # Tas ou pas tas?
19 18 16 12 17 1 12 4 5 # Tas ou pas tas?
```
. . .
```
19 18 12 12 17 1 13 4 5 # Pas tas! 13 > 12
19 18 16 12 17 1 12 4 5 # Tas!
```
# Exemple de tri par tas (1/13)
```
| 1 | 16 | 5 | 12 | 4 | 2 | 8 | 10 | 6 | 7 |
```
::: columns
:::: column
* Quel est l'arbre que cela représente?
. . .
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((1))-->id1((16));
id0-->id2((5));
id1-->id3((12));
id1-->id4((4));
id2-->id5((2));
id2-->id6((8));
id3-->id7((10));
id3-->id8((6));
id4-->id9((7));
id4-->id10(( ));
style id10 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::: column
**But:** Transformer l'arbre en tas.
* On commence à l'indice $N/2 = 5$: `4`.
* `7 > 4` (enfant `>` parent).
* intervertir `4` et `7`.
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((1))-->id1((16));
id0-->id2((5));
id1-->id3((12));
id1-->id4((7));
id2-->id5((2));
id2-->id6((8));
id3-->id7((10));
id3-->id8((6));
id4-->id9((4));
id4-->id10(( ));
style id10 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::
. . .
```
* *
| 1 | 16 | 5 | 12 | 7 | 2 | 8 | 10 | 6 | 4 |
```
# Exemple de tri par tas (2/13)
```
| 1 | 16 | 5 | 12 | 7 | 2 | 8 | 10 | 6 | 4 |
```
::: columns
:::: column
**But:** Transformer l'arbre en tas.
* On continue à l'indice $N/2-1 = 4$: `12`.
* Déjà un tas, rien à faire.
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((1))-->id1((16));
id0-->id2((5));
id1-->id3((12));
id1-->id4((7));
id2-->id5((2));
id2-->id6((8));
id3-->id7((10));
id3-->id8((6));
id4-->id9((4));
id4-->id10(( ));
style id10 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::: column
**But:** Transformer l'arbre en tas.
* On continue à l'indice $N/2-2 = 3$: `5`.
* `5 < 8`, échanger `8` et `5` (aka `max(2, 5, 8)`)
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((1))-->id1((16));
id0-->id2((8));
id1-->id3((12));
id1-->id4((7));
id2-->id5((2));
id2-->id6((5));
id3-->id7((10));
id3-->id8((6));
id4-->id9((4));
id4-->id10(( ));
style id10 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::
. . .
```
| 1 | 16 | 8 | 12 | 7 | 2 | 5 | 10 | 6 | 4 |
```
# Exemple de tri par tas (3/13)
```
| 1 | 16 | 5 | 12 | 7 | 2 | 8 | 10 | 6 | 4 |
```
::: columns
:::: column
**But:** Transformer l'arbre en tas.
* Indice $N/2-1 = 4$: `12`.
* Déjà un tas, rien à faire.
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((1))-->id1((16));
id0-->id2((5));
id1-->id3((12));
id1-->id4((7));
id2-->id5((2));
id2-->id6((8));
id3-->id7((10));
id3-->id8((6));
id4-->id9((4));
id4-->id10(( ));
style id10 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::: column
**But:** Transformer l'arbre en tas.
* Indice $N/2-2 = 3$: `5`.
* `5 < 8`, `5 <=> max(2, 5, 8)`
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((1))-->id1((16));
id0-->id2((8));
id1-->id3((12));
id1-->id4((7));
id2-->id5((2));
id2-->id6((5));
id3-->id7((10));
id3-->id8((6));
id4-->id9((4));
id4-->id10(( ));
style id10 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::
```
* *
| 1 | 16 | 8 | 12 | 7 | 2 | 5 | 10 | 6 | 4 |
```
# Exemple de tri par tas (4/13)
```
| 1 | 16 | 8 | 12 | 7 | 2 | 5 | 10 | 6 | 4 |
```
::: columns
:::: column
**But:** Transformer l'arbre en tas.
* Indice $N/2-3 = 1$: `16`.
* Déjà un tas, rien à faire.
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((1))-->id1((16));
id0-->id2((8));
id1-->id3((12));
id1-->id4((7));
id2-->id5((2));
id2-->id6((5));
id3-->id7((10));
id3-->id8((6));
id4-->id9((4));
id4-->id10(( ));
style id10 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::: column
**But:** Transformer l'arbre en tas.
* Indice $N/2-4 = 1$: `1`.
* `1 < 16 && 1 < 8`, `1 <=> max(1, 16, 8)`
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((16))-->id1((1));
id0-->id2((8));
id1-->id3((12));
id1-->id4((7));
id2-->id5((2));
id2-->id6((5));
id3-->id7((10));
id3-->id8((6));
id4-->id9((4));
id4-->id10(( ));
style id10 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::
```
* *
| 16 | 1 | 8 | 12 | 7 | 2 | 5 | 10 | 6 | 4 |
```
# Exemple de tri par tas (5/13)
```
| 16 | 1 | 8 | 12 | 7 | 2 | 5 | 10 | 6 | 4 |
```
::: columns
:::: column
**But:** Transformer l'arbre en tas.
* Recommencer avec `1`.
* `1 <=> max(1, 12, 7)`.
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((16))-->id1((12));
id0-->id2((8));
id1-->id3((1));
id1-->id4((7));
id2-->id5((2));
id2-->id6((5));
id3-->id7((10));
id3-->id8((6));
id4-->id9((4));
id4-->id10(( ));
style id10 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::: column
**But:** Transformer l'arbre en tas.
* Recommencer avec `1`.
* `1 <=> max(1, 10, 6)`.
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((16))-->id1((12));
id0-->id2((8));
id1-->id3((10));
id1-->id4((7));
id2-->id5((2));
id2-->id6((5));
id3-->id7((1));
id3-->id8((6));
id4-->id9((4));
id4-->id10(( ));
style id10 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::
```
* * *
| 16 | 12 | 8 | 10 | 7 | 2 | 5 | 1 | 6 | 4 |
```
* L'arbre est un tas.
# Exemple de tri par tas (6/13)
```
| 16 | 12 | 8 | 10 | 7 | 2 | 5 | 1 | 6 | 4 |
```
::: columns
:::: column
**But:** Trier les tas.
* Échanger la racine, `16` (`max` de l'arbre) avec `4`.
* Traiter la racine.
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((4))-->id1((12));
id0-->id2((8));
id1-->id3((10));
id1-->id4((7));
id2-->id5((2));
id2-->id6((5));
id3-->id7((1));
id3-->id8((6));
```
::::
:::: column
**But:** Trier les tas.
* `4 <=> max(4, 12, 8)`.
* `4 <=> max(4, 10, 7)`.
* `4 <=> max(4, 1, 6)`.
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((12))-->id1((10));
id0-->id2((8));
id1-->id3((6));
id1-->id4((7));
id2-->id5((2));
id2-->id6((5));
id3-->id7((1));
id3-->id8((4));
```
::::
:::
```
| 12 | 10 | 8 | 6 | 7 | 2 | 5 | 1 | 4 || 16
```
# Exemple de tri par tas (7/13)
```
| 12 | 10 | 8 | 6 | 7 | 2 | 5 | 1 | 4 || 16
```
::: columns
:::: column
**But:** Trier les tas.
* Échanger la racine, `12` (`max` de l'arbre) avec `4`.
* Traiter la racine.
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((4))-->id1((10));
id0-->id2((8));
id1-->id3((6));
id1-->id4((7));
id2-->id5((2));
id2-->id6((5));
id3-->id7((1));
id3-->id8(( ));
style id8 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::: column
**But:** Trier les tas.
* `4 <=> max(4, 10, 8)`.
* `4 <=> max(4, 6, 7)`.
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((10))-->id1((7));
id0-->id2((8));
id1-->id3((6));
id1-->id4((4));
id2-->id5((2));
id2-->id6((5));
id3-->id7((1));
id3-->id8(( ));
style id8 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::
```
| 10 | 7 | 8 | 6 | 4 | 2 | 5 | 1 || 12 | 16
```
# Exemple de tri par tas (8/13)
```
| 10 | 7 | 8 | 6 | 4 | 2 | 5 | 1 || 12 | 16
```
::: columns
:::: column
**But:** Trier les tas.
* Échanger la racine, `10` (`max` de l'arbre) avec `1`.
* Traiter la racine.
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((1))-->id1((7));
id0-->id2((8));
id1-->id3((6));
id1-->id4((4));
id2-->id5((2));
id2-->id6((5));
```
::::
:::: column
**But:** Trier les tas.
* `1 <=> max(1, 7, 8)`.
* `5 <=> max(1, 2, 5)`.
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((8))-->id1((7));
id0-->id2((5));
id1-->id3((6));
id1-->id4((4));
id2-->id5((2));
id2-->id6((1));
```
::::
:::
```
| 8 | 7 | 5 | 6 | 4 | 2 | 1 || 10 | 12 | 16
```
# Exemple de tri par tas (9/13)
```
| 8 | 7 | 5 | 6 | 4 | 2 | 1 || 10 | 12 | 16
```
::: columns
:::: column
**But:** Trier les tas.
* Échanger la racine, `8` (`max` de l'arbre) avec `1`.
* Traiter la racine.
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((1))-->id1((7));
id0-->id2((5));
id1-->id3((6));
id1-->id4((4));
id2-->id5((2));
id2-->id6(( ));
style id6 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::: column
**But:** Trier les tas.
* `1 <=> max(1, 7, 5)`.
* `1 <=> max(1, 6, 4)`.
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((7))-->id1((6));
id0-->id2((5));
id1-->id3((1));
id1-->id4((4));
id2-->id5((2));
id2-->id6(( ));
style id6 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::
```
| 7 | 6 | 5 | 1 | 4 | 2 || 8 | 10 | 12 | 16
```
# Exemple de tri par tas (10/13)
```
| 7 | 6 | 5 | 1 | 4 | 2 || 8 | 10 | 12 | 16
```
::: columns
:::: column
**But:** Trier les tas.
* Échanger la racine, `7` (`max` de l'arbre) avec `2`.
* Traiter la racine.
```{.mermaid format=pdf width=150 loc=figs/}
graph TD;
id0((2))-->id1((6));
id0-->id2((5));
id1-->id3((1));
id1-->id4((4));
```
::::
:::: column
**But:** Trier les tas.
* `2 <=> max(2, 6, 5)`.
* `2 <=> max(2, 1, 4)`.
```{.mermaid format=pdf width=150 loc=figs/}
graph TD;
id0((6))-->id1((4));
id0-->id2((5));
id1-->id3((1));
id1-->id4((2));
```
::::
:::
```
| 6 | 4 | 5 | 1 | 2 || 8 | 10 | 12 | 16
```
# Exemple de tri par tas (11/13)
```
| 6 | 4 | 5 | 1 | 2 || 8 | 10 | 12 | 16
```
::: columns
:::: column
**But:** Trier les tas.
* Échanger la racine, `6` (`max` de l'arbre) avec `2`.
* Traiter la racine.
```{.mermaid format=pdf width=150 loc=figs/}
graph TD;
id0((2))-->id1((4));
id0-->id2((5));
id1-->id3((1));
id1-->id4(( ));
style id4 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::: column
**But:** Trier les tas.
* `2 <=> max(2, 4, 5)`.
* `2 <=> max(2, 1, 4)`.
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((5))-->id1((4));
id0-->id2((2));
id1-->id3((1));
id1-->id4(( ));
style id4 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::
```
| 5 | 4 | 2 | 1 || 6 | 8 | 10 | 12 | 16
```
# Exemple de tri par tas (12/13)
```
| 5 | 4 | 2 | 1 || 6 | 8 | 10 | 12 | 16
```
::: columns
:::: column
**But:** Trier les tas.
* Échanger la racine, `5` (`max` de l'arbre) avec `1`.
* Traiter la racine.
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((1))-->id1((4));
id0-->id2((2));
```
::::
:::: column
**But:** Trier les tas.
* `1 <=> max(1, 4, 2)`.
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((4))-->id1((1));
id0-->id2((2));
```
::::
:::
```
| 4 | 1 | 2 || 5 | 6 | 8 | 10 | 12 | 16
```
# Exemple de tri par tas (13/13)
```
| 4 | 1 | 2 || 5 | 6 | 8 | 10 | 12 | 16
```
::: columns
:::: column
**But:** Trier les tas.
* Échanger la racine, `4` (`max` de l'arbre) avec `2`.
* Traiter la racine.
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph TD;
id0((2))-->id1((1));
id0-->id2(( ));
style id2 fill:#fff,stroke:#fff
```
::::
:::: column
**But:** Trier les tas. Plus rien à trier
* On fait les 2 dernières étapes en vitesse.
* Échange `2` avec `1`.
* Il reste que `1`. GGWP!
::::
:::
```
| 1 | 2 | 4 | 5 | 6 | 8 | 10 | 12 | 16
```
# Exercice (10min)
* Trier par tas le tableau
```
| 1 | 2 | 4 | 5 | 6 | 8 | 10 | 12 | 16
```
* Mettez autant de détails que possible.
* Que constatez-vous?
* Postez le résultat sur matrix.
# L'algorithme du tri par tas (1/2)
\footnotesize
## Deux étapes
1. Entassement: transformer l'arbre en tas.
2. Échanger la racine avec le dernier élément et entasser la racine.
## Pseudo-code d'entassement de l'arbre (15 min, matrix)
. . .
```python
rien tri_par_tas(tab)
entassement(tab)
échanger(tab[0], tab[size(tab)-1])
pour i de size(tab)-1 à 2
tamisage(tab, 0)
échanger(tab[0], tab[i-1])
rien entassement(tab)
pour i de size(tab)/2-1 à 0
tamisage(tab, i)
rien tamisage(tab, i)
ind_max = ind_max(tab, i, gauche(i), droite(i))
si i != ind_max
échanger(tab[i], tab[ind_max])
tamisage(tab, ind_max)
```
# L'algorithme du tri par tas (2/2)
* Fonctions utilitaires
```python
entier ind_max(tab, i, g, d)
ind_max = i
si tab[ind_max] < tab[g] && size(tab) > g
ind_max = g
si tab[ind_mx] < tab[d] && size(tab) > d
ind_max = d
retourne ind_max
entier gauche(i)
retourne 2 * i + 1
entier droite(i)
retourne 2 * i + 2
```
<!-- # L'algorithme du tri par tas (3/4)
\footnotesize
## Implémenter en C l'algorithme du tri par tas (matrix, 20min)
. . .
```C
void heapsort(int size, int tab[size]) {
heapify(size, tab);
swap(tab, tab + size - 1);
for (int s = size - 1; s > 1; s--) {
sift_up(s, tab, 0);
swap(tab, tab + s - 1);
}
}
void heapify(int size, int tab[size]) {
for (int i = size / 2 - 1; i >= 0; i--) {
sift_up(size, tab, i);
}
}
void sift_up(int size, int tab[size], int i) {
int ind_max = ind_max3(size, tab, i, left(i), right(i));
if (i != ind_max) {
swap(tab + i, tab + ind_max);
sift_up(size, tab, ind_max);
}
}
```
# L'algorithme du tri par tas (4/4)
\footnotesize
## Fonctions utilitaires
. . .
```C
int ind_max3(int size, int tab[size], int i, int l, int r) {
int ind_max = i;
if (l < size && tab[ind_max] < tab[l]) {
ind_max = l;
}
if (r < size && tab[ind_max] < tab[r]) {
ind_max = r;
}
return ind_max;
}
void swap(int *a, int *b) {
int tmp = *a;
*a = *b;
*b = tmp;
}
int left(int i) {
return 2 * i + 1;
}
int right(int i) {
return 2 * i + 2;
}
``` -->
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<g
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<text
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y="64.637695"
id="text2487"><tspan
sodipodi:role="line"
id="tspan2485"
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x="31.369009"
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style="fill:none;stroke:#000000;stroke-width:0.264583px;stroke-linecap:butt;stroke-linejoin:miter;stroke-opacity:1"
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<text
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id="text4987"><tspan
sodipodi:role="line"
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style="fill:none;stroke:#000000;stroke-width:0.264583px;stroke-linecap:butt;stroke-linejoin:miter;stroke-opacity:1"
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<text
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id="text5981"><tspan
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id="text6887"><tspan
sodipodi:role="line"
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x="137.26584"
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id="text7815"><tspan
sodipodi:role="line"
id="tspan7813"
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x="137.19705"
y="138.73691">4</tspan></text>
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y="133.42407">6</tspan></text>
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