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05_fourier.md

@@ -48,10 +48,14 @@ vérifier la commutativité $$\begin{aligned}
 (a,b)\cdot(c,d)&=(a\cdot c-b\cdot d,a\cdot d+b\cdot c)\nonumber\\
 &=(c\cdot a-d\cdot b,d\cdot a+c\cdot b)=(c,d)\cdot (a,b).\end{aligned}$$
 
-#### Exercice {-}
+---
+
+Exercice #
 
 Vérifier l’associativité du produit sur notre ensemble ${\real}^2$.
 
+---
+
 Regardons à présent ce qui se passe si on étudie les ensemble de
 nombres dans ${\real}^2$ où le deuxième nombre du couple est nul tels que $(a,0)$. Si on additionne
 deux tels nombres ont obtient $$(a,0)+(b,0)=(a+b,0).$$ On constate donc
@@ -186,7 +190,7 @@ $${\mathrm{Re}}(z)=\frac{1}{2}(z+{\bar{z}}),\quad {\mathrm{Im}}(z)=\frac{1}{2i}(
 
 ---
 
-#### Exercice {-}
+Exercice #
 
 Démontrer ces trois relations.
 
@@ -199,7 +203,7 @@ $$\begin{aligned}
 
 ---
 
-#### Exercice {-}
+Exercice #
 
 Démontrer ces relations.
 
@@ -213,7 +217,9 @@ allons considérer un ensemble $V$ muni d’une addition et d’une multiplicati
 à un ensemble $E$. Dans notre cas $E$
 sera ${\real}$ ou ${\mathbb{C}}$ (l'ensemble des nombres complexes)  principalement.
 
-#### Définition {-}
+---
+
+Définition #
 
 On appelle espace vectoriel sur $E$, un ensemble $V$, dont les éléments
 appelés vecteurs et notés $v$, sont sont munis des opérations 
@@ -244,8 +250,11 @@ propriétés suivantes
     3. La multiplication par un scalaire admet un élément neutre, noté
         $1$, pour la multiplication à gauche $$1 \cdot v=v.$$
 
+---
+
+---
 
-#### Exemple (Espaces vectoriels) {-}
+Exemple (Espaces vectoriels) #
 
 1. L’espace nul, $v=0$.
 
@@ -286,6 +295,8 @@ propriétés suivantes
        &f(\alpha \cdot x)=\alpha \cdot f(x),\quad \forall \alpha\in E,\ \mbox{et}\ x\in W.
       \end{aligned}$$
 
+---
+
 ### Base
 
 Nous avons introduit la notion très générale d’espace vectoriel et
@@ -321,7 +332,7 @@ $$w=u+v=u_1\cdot e_1+u_2\cdot e_2+v_1\cdot e_1+v_2\cdot e_2=(u_1+v_1)\cdot e_1+(
 
 ---
 
-#### Illustration  (Exemples de bases d'espaces vectoriels) {-}
+Illustration  (Exemples de bases d'espaces vectoriels) #
 
 1. Pour l’espace des fonctions polynomiales $f(x)=\sum_{i=0}^Na_ix^i$
     les fonction $e_i=x^i$ forment une base.
@@ -336,13 +347,19 @@ Plus formellement nous allons introduire un certain nombre de concepts
 mathématiques pour définir une base. Considérons toujours $V$ un espace
 vectoriel sur $E$.
 
-#### Définition (Famille libre) {-}
+---
+
+Définition (Famille libre) #
 
 Soient $\{\alpha_i\}_{i=1}^n\in E$. On dit qu’un ensemble de vecteurs
 $\{v_i\}_{i=1}^n\in V$ est une famille libre si
 $$\sum_{i=1}^n \alpha_iv_i=0 \Rightarrow \alpha_i=0,\ \forall i.$$
 
-#### Exemple (Famille libre) {-}
+---
+
+---
+
+Exemple (Famille libre) #
 
 1. $\{e_1\}$ est une famille libre de ${\real}^2$.
 
@@ -357,7 +374,11 @@ $$\sum_{i=1}^n \alpha_iv_i=0 \Rightarrow \alpha_i=0,\ \forall i.$$
     relie les deux. La relation est non-linéaire
     $\sin(x)=\sqrt{1-\cos^2(x)}$.
 
-#### Définition (Famille génératrice) {-}
+---
+
+---
+
+Définition (Famille génératrice) #
 
 On dit qu’un ensemble de vecteurs $\{e_i\}_{i=1}^n\in V$ est une famille
 génératrice si
@@ -365,7 +386,11 @@ $$\forall\ v\in V,\quad \exists \{\alpha_i\}_{i=1}^n\in E,\quad \mbox{t.q.}\quad
 En d’autres termes, tout $v\in V$ peut s’exprimer comme une combinaison
 linéaire des vecteur $e_i$.
 
-#### Illustration (Familles génératrices) {-}
+---
+
+---
+
+Illustration (Familles génératrices) #
 
 1. $\{e_1\}$ n’est pas une famille génératrice de ${\real}^2$. On ne
     peut pas représenter  les vecteurs de la forme $v=(0,v_2)$,
@@ -376,7 +401,11 @@ linéaire des vecteur $e_i$.
 3. $\{e_1,e_2,v\}$, avec $v=(1,1)$ est une famille génératrice de
     ${\real}^2$.
 
-#### Définition (Base) {-}
+---
+
+---
+
+Définition (Base) #
 
 Un ensemble de vecteurs $B=\{e_i\}_{i=1}^n$ forme une base si c’est une
 famille génératrice et une famille libre. En d’autres termes cela
@@ -386,7 +415,11 @@ est unique
 $$\forall v\in V, \quad !\exists \{\alpha_i\}_{i=1}^n\in E,\quad t.q.\quad v=\sum_{i=1}^n\alpha_i v_i.$$
 Les $\alpha_i$ sont appelé les coordonnées de $v$ dans la base $B$.
 
-#### Illustration (Base de $\real ^2$) {-}
+---
+
+---
+
+Illustration (Base de $\real ^2$) #
 
 1. $\{e_1,e_2\}$ est une base de ${\real}^2$.
 
@@ -396,6 +429,8 @@ Les $\alpha_i$ sont appelé les coordonnées de $v$ dans la base $B$.
     coordonnées $\alpha=(0,0,0)$ et également les coordonnées
     $\beta=(1,1,-1)$.
 
+---
+
 ## Introduction générale sur les séries de Fourier
 
 Dans cette sous section, nous allons voir de façon très générale les
@@ -613,7 +648,7 @@ pouvoir calculer sa transformée de Fourier:
 
 ---
 
-#### Exercice {-}
+Exercice #
 
 Calculer les transformées de Fourier des fonctions suivantes
 
@@ -634,7 +669,7 @@ Calculer les transformées de Fourier des fonctions suivantes
 
 ---
 
-#### Exercice {-}
+Exercice #
 
 Calculer les transformées de Fourier inverse de la fonction suivante
 
@@ -649,7 +684,9 @@ Calculer les transformées de Fourier inverse de la fonction suivante
 
 La transformée de Fourier possède plusieurs propriétés intéressantes.
 
-#### Propriété {-}
+---
+
+Propriété #
 
 1. Linéarité. Soit une fonction $h(t)=af(t)+bg(t)$, alors sa
     transformée de Fourier est donnée par
@@ -674,6 +711,8 @@ La transformée de Fourier possède plusieurs propriétés intéressantes.
     paire (impaire), alors ${\hat{f}}(\omega)$ sera une fonction paire
     (impaire).
 
+---
+
 La transformée de Fourier à temps discret (TFTD)
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@@ -708,8 +747,9 @@ l’intégrale et on a $$\begin{aligned}
      &=\frac{1}{2\pi}\left(\sum_{m=-\infty}^\infty f[m] \delta_{mn} 2\pi\right),\nonumber\\
      &=f[n].\nonumber\end{aligned}$$
 
+---
 
-#### Exercice  {-}
+Exercice  #
 
 Calculer les transformées de Fourier (inverses quand c’est approprié) en
 temps discret des fonctions suivantes
@@ -724,6 +764,8 @@ temps discret des fonctions suivantes
                     0,&\mbox{ sinon.}
                    \end{array}\right.$$
 
+---
+
 Il est intéressant de noter qu’on peut représenter une suite discrète et
 infinie de points par une fonction continue et périodique.
 
@@ -876,7 +918,7 @@ période $N$ $${\hat{f}}[k]={\hat{f}}[k+N].$$
 
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-#### Exercice {-}
+Exercice #
 
 A démontrer en exercice.