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...@@ -10,7 +10,7 @@ Nous pouvons aussi exprimer cette notion de la manière suivante. Considérons d ...@@ -10,7 +10,7 @@ Nous pouvons aussi exprimer cette notion de la manière suivante. Considérons d
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#### Exemple (Fonctions, généralités) # Exemple (Fonctions, généralités) #
1. La tension $U$ est une fonction de la résistance $R$ et du courant 1. La tension $U$ est une fonction de la résistance $R$ et du courant
$I$ $$\begin{aligned} $I$ $$\begin{aligned}
...@@ -33,7 +33,7 @@ $$y=g(f(x)).$$ ...@@ -33,7 +33,7 @@ $$y=g(f(x)).$$
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#### Exemple (Fonctions) # Exemple (Fonctions) #
1. Soit $f(x)=2\cdot x$ et $g(x)=\sqrt{x}$, alors la composition des 1. Soit $f(x)=2\cdot x$ et $g(x)=\sqrt{x}$, alors la composition des
deux fonctions $$(f\circ g)(x)=f(g(x))=f(\sqrt{x})=2\sqrt{x}.$$ deux fonctions $$(f\circ g)(x)=f(g(x))=f(\sqrt{x})=2\sqrt{x}.$$
...@@ -50,7 +50,7 @@ la variable de départ $$f(f^{-1}(x))=x.$$ ...@@ -50,7 +50,7 @@ la variable de départ $$f(f^{-1}(x))=x.$$
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#### Exemple (Fonction inverse) # Exemple (Fonction inverse) #
1. Soient $f(x)=2\cdot x$ et $f^{-1}(x)=x/2$, alors la composition des 1. Soient $f(x)=2\cdot x$ et $f^{-1}(x)=x/2$, alors la composition des
deux fonctions $$f(f^{-1}(x))=f(x/2)=2x/2=x.$$ deux fonctions $$f(f^{-1}(x))=f(x/2)=2x/2=x.$$
...@@ -69,7 +69,7 @@ la variable de départ $$f(f^{-1}(x))=x.$$ ...@@ -69,7 +69,7 @@ la variable de départ $$f(f^{-1}(x))=x.$$
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#### Définition (Domaine de définition) # Définition (Domaine de définition) #
Le domaine de définition, noté $D\subset{\real}$, d’une fonction Le domaine de définition, noté $D\subset{\real}$, d’une fonction
$f$, est l’ensemble de valeurs où $f$ admet une image. $f$, est l’ensemble de valeurs où $f$ admet une image.
...@@ -78,7 +78,7 @@ $f$, est l’ensemble de valeurs où $f$ admet une image. ...@@ -78,7 +78,7 @@ $f$, est l’ensemble de valeurs où $f$ admet une image.
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#### Exemple (Domaine de définition) # Exemple (Domaine de définition) #
1. Le domaine de définition de $f(x)=x$ est $D={\real}$. 1. Le domaine de définition de $f(x)=x$ est $D={\real}$.
...@@ -97,7 +97,7 @@ Soit $f$ une fonction et $D\subseteq{\real}$ non-vide et soient $a$ et $b$ deux ...@@ -97,7 +97,7 @@ Soit $f$ une fonction et $D\subseteq{\real}$ non-vide et soient $a$ et $b$ deux
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#### Définition (Limite) # Définition (Limite) #
Pour $f$ définie en $D$, on dit que $b$ est la Pour $f$ définie en $D$, on dit que $b$ est la
limite de $x$ en $a$ si si au fur et à mesure que $x$ se rapproche de $a$, $f(x)$ se rapproche de $b$ et nous notons $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=b$. limite de $x$ en $a$ si si au fur et à mesure que $x$ se rapproche de $a$, $f(x)$ se rapproche de $b$ et nous notons $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=b$.
...@@ -116,7 +116,7 @@ $$\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0\ |\ \forall x\in D,\ |x-a|<\delta\Rightar ...@@ -116,7 +116,7 @@ $$\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0\ |\ \forall x\in D,\ |x-a|<\delta\Rightar
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#### Remarque # Remarque #
Il n'est pas nécessaire que $a\in D$. Mais si c'est le cas et donc Il n'est pas nécessaire que $a\in D$. Mais si c'est le cas et donc
$f$ est définie en $a$ alors on a $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)$. $f$ est définie en $a$ alors on a $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)$.
...@@ -125,13 +125,13 @@ $f$ est définie en $a$ alors on a $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)$. ...@@ -125,13 +125,13 @@ $f$ est définie en $a$ alors on a $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)$.
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#### Exemple (Limite) # Exemple (Limite) #
Si $f(x)=x$, alors $\lim\limits_{x\rightarrow 0}f(x)=0$. Si $f(x)=x$, alors $\lim\limits_{x\rightarrow 0}f(x)=0$.
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#### Définition (Limite, asymptote) # Définition (Limite, asymptote) #
Pour $f$ définie en $D$, Pour $f$ définie en $D$,
on dit que la limite de $f(x)$ en $a$ est égale à l’infini si pour tout $c>0$ l’intervalle on dit que la limite de $f(x)$ en $a$ est égale à l’infini si pour tout $c>0$ l’intervalle
...@@ -140,7 +140,7 @@ $a$. On dit aussi que $f$ tend vers l'infini. ...@@ -140,7 +140,7 @@ $a$. On dit aussi que $f$ tend vers l'infini.
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#### Exemple (Limite, asymptote) # Exemple (Limite, asymptote) #
Si $f(x)=1/x^2$, alors $\lim\limits_{x\rightarrow 0}f(x)=\infty$. Si $f(x)=1/x^2$, alors $\lim\limits_{x\rightarrow 0}f(x)=\infty$.
...@@ -163,7 +163,7 @@ sont égales. ...@@ -163,7 +163,7 @@ sont égales.
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#### Exemple (Limite à gauche/droite) # Exemple (Limite à gauche/droite) #
Si $f(x)=1/x$, alors $\lim\limits_{x\rightarrow 0^+} f(x)=\infty$ et Si $f(x)=1/x$, alors $\lim\limits_{x\rightarrow 0^+} f(x)=\infty$ et
$\lim\limits_{x\rightarrow 0^-} f(x)=-\infty$. $\lim\limits_{x\rightarrow 0^-} f(x)=-\infty$.
...@@ -219,7 +219,7 @@ $$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{\log(n)}=\frac{A}{\log(10)}\cdot\lim_{p\righ ...@@ -219,7 +219,7 @@ $$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{\log(n)}=\frac{A}{\log(10)}\cdot\lim_{p\righ
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#### Définition (Continuité) # Définition (Continuité) #
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert $D$ contenant Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert $D$ contenant
$a$. On dit que $f$ est continue en $a$ si et seulement si $a$. On dit que $f$ est continue en $a$ si et seulement si
...@@ -229,7 +229,7 @@ $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)$. ...@@ -229,7 +229,7 @@ $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)$.
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#### Propriétés (Fonctions continues) # Propriétés (Fonctions continues) #
Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues en $a$ et $b$ un réel: Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues en $a$ et $b$ un réel:
...@@ -245,7 +245,7 @@ Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues en $a$ et $b$ un réel: ...@@ -245,7 +245,7 @@ Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues en $a$ et $b$ un réel:
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#### Définition (Continuité sur un intervalle) # Définition (Continuité sur un intervalle) #
Une fonction $f$ est dite continue dans un intervalle $D=]a;b[$ si et Une fonction $f$ est dite continue dans un intervalle $D=]a;b[$ si et
seulement si elle est continue en tout point de $D$. De plus, elle est seulement si elle est continue en tout point de $D$. De plus, elle est
...@@ -256,7 +256,7 @@ droite en $a$ et à gauche en $b$. ...@@ -256,7 +256,7 @@ droite en $a$ et à gauche en $b$.
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#### Théorème (Valeurs intermédiaires) # Théorème (Valeurs intermédiaires) #
Soit $f$ une fonction continue Soit $f$ une fonction continue
sur $D$, et $a,b$ deux points contenus dans $D$ tels que $a<b$ et sur $D$, et $a,b$ deux points contenus dans $D$ tels que $a<b$ et
...@@ -269,7 +269,7 @@ Nous pouvons bien sûr énoncer un résultat similaire dans le cas $f(a9>f(b)$. ...@@ -269,7 +269,7 @@ Nous pouvons bien sûr énoncer un résultat similaire dans le cas $f(a9>f(b)$.
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#### Définition (Dérivée en un point) # Définition (Dérivée en un point) #
Soit $f$ une fonction définie sur $D$ et $a\in D$. On dit que $f$ est Soit $f$ une fonction définie sur $D$ et $a\in D$. On dit que $f$ est
dérivable en $a$ s’il existe un $b$ (appelé la dérivée de $f$ en $a$) dérivable en $a$ s’il existe un $b$ (appelé la dérivée de $f$ en $a$)
...@@ -281,7 +281,7 @@ tel que $$\begin{aligned} ...@@ -281,7 +281,7 @@ tel que $$\begin{aligned}
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#### Définition (Dérivée sur un intervalle) # Définition (Dérivée sur un intervalle) #
Si $f$ est dérivable en tout point de $D=]a;b[$, alors on définit $f'$ Si $f$ est dérivable en tout point de $D=]a;b[$, alors on définit $f'$
la fonction dérivée de $f$ dans l’intervalle $D$ qui associe en tout la fonction dérivée de $f$ dans l’intervalle $D$ qui associe en tout
...@@ -291,7 +291,7 @@ point $x$ de $D$ la valeur dérivée de $f$. ...@@ -291,7 +291,7 @@ point $x$ de $D$ la valeur dérivée de $f$.
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#### Propriété # Propriété #
Si $f$ est dérivable en $a$ alors $f$ est continue en $a$. Si $f$ est dérivable en $a$ alors $f$ est continue en $a$.
...@@ -299,7 +299,7 @@ Si $f$ est dérivable en $a$ alors $f$ est continue en $a$. ...@@ -299,7 +299,7 @@ Si $f$ est dérivable en $a$ alors $f$ est continue en $a$.
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#### Propriétés # Propriétés #
Soient $f$ et $g$ deux fonctions dérivables sur $D$ (dont les dérivées sont $f'$ Soient $f$ et $g$ deux fonctions dérivables sur $D$ (dont les dérivées sont $f'$
et $g'$), et $a\in{\real}$, alors et $g'$), et $a\in{\real}$, alors
...@@ -334,7 +334,7 @@ $C\in {\real}$, nous avons ...@@ -334,7 +334,7 @@ $C\in {\real}$, nous avons
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#### Définition (Dérivée seconde) # Définition (Dérivée seconde) #
Si $f'$ est dérivable sur $D$, alors sa dérivée, notée $f''$, est Si $f'$ est dérivable sur $D$, alors sa dérivée, notée $f''$, est
appelée la dérivée seconde de $f$. appelée la dérivée seconde de $f$.
...@@ -345,7 +345,7 @@ appelée la dérivée seconde de $f$. ...@@ -345,7 +345,7 @@ appelée la dérivée seconde de $f$.
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#### Propriétés (Croissance/décroissance) # Propriétés (Croissance/décroissance) #
Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $D$ Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $D$
...@@ -359,7 +359,7 @@ Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $D$ ...@@ -359,7 +359,7 @@ Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $D$
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#### Définition (Maximum/minimum local) # Définition (Maximum/minimum local) #
Une fonction admet un maximum local (respectivement minimum local) sur Une fonction admet un maximum local (respectivement minimum local) sur
un intervalle $D=]a;b[$ s’il existe un $x_0\in D$ tel que $f(x_0)\geq f(x)$ un intervalle $D=]a;b[$ s’il existe un $x_0\in D$ tel que $f(x_0)\geq f(x)$
...@@ -369,7 +369,7 @@ un intervalle $D=]a;b[$ s’il existe un $x_0\in D$ tel que $f(x_0)\geq f(x)$ ...@@ -369,7 +369,7 @@ un intervalle $D=]a;b[$ s’il existe un $x_0\in D$ tel que $f(x_0)\geq f(x)$
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#### Propriété (Maximum/minimum) # Propriété (Maximum/minimum) #
Soient $f$ une fonction dérivable sur $D=]a;b[$ et $x_0\in D$. On dit que $f$ Soient $f$ une fonction dérivable sur $D=]a;b[$ et $x_0\in D$. On dit que $f$
admet un extremum en $x_0$ si $f'(x_0)=0$. De plus si admet un extremum en $x_0$ si $f'(x_0)=0$. De plus si
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