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06_probas_stats.md

@@ -39,7 +39,7 @@ l’ensemble des valeurs possibles pour le dit caractère.
 
 ---
 
-#### Illustration {-}
+Illustration #
 
 1. Cas discret: On étudie la distribution de salaires annuels dans une
     entreprise. Les salaires possibles sont $40'000$, $50'000$, $60'000$
@@ -96,14 +96,12 @@ et du benchmark de l’application (voir Tabl. @tbl:exec)
 Sous forme de graphique on peut représenter le tableau des salaires sous
 la forme d’un graphique bâton (voir Fig. @fig:salaires)
 
-![Nombre salariés en fonction du
-salaire.](figs/graph_salaires.svg){#fig:salaires width="50.00000%"}
+![Nombre salariés en fonction du salaire.](figs/graph_salaires.svg){#fig:salaires width="50.00000%"}
 
 ou d’un histogramme pour le temps d’exécution de l’application (voir
 Fig. @fig:exec).
 
-![Nombre d’exécutions en fonction du temps
-d’exécution.](figs/graph_exec.svg){#fig:exec width="50.00000%"}
+![Nombre d’exécutions en fonction du temps d’exécution.](figs/graph_exec.svg){#fig:exec width="50.00000%"}
 
 ### Fréquences
 
@@ -120,7 +118,7 @@ $$f_i=\frac{n_i}{n}.$$
 
 ---
 
-#### Exemple (Fréquences) {-}
+Exemple (Fréquences) #
 
 Les tableaux de fréquence des deux exemples précédents sont donnés par
 
@@ -155,7 +153,7 @@ retrouverons dans les sections suivantes qui sont assez intuitives
 
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-#### Propriété (Propriétés de la fréquence) {-}
+Propriété (Propriétés de la fréquence) #
 
 1. Les fréquences sont toujours dans l’intervalle $[0,1]$
     $$0\leq f_i\leq 1.$$
@@ -190,7 +188,9 @@ tableaux @tbl:salaires et @tbl:exec (voir le
 
   : Tableau des temps d'exécution et la fréquence et fréquences cumulées des temps d'exécution. {#tbl:exec_freqcum}
 
-#### Exercice (Fréquence cumulée) {-}
+---
+
+Exercice (Fréquence cumulée) #
 
 1. Tracer les graphes de la fréquence cumulée pour les deux exemples
     que nous avons vus.
@@ -198,6 +198,8 @@ tableaux @tbl:salaires et @tbl:exec (voir le
 2. Que pouvons-nous déduire de la forme de la fonction (croissance,
     valeur maximale)?
 
+---
+
 ### Mesures de tendance centrale
 
 Jusqu’ici le nombre de valeurs étudiées était limité et il est assez
@@ -214,7 +216,7 @@ $$\bar{x}=\sum_{i=0}^{k-1}f_i\cdot x_i.$$
 
 ---
 
-#### Exercice (Propriétés de la moyenne) {-}
+Exercice (Propriétés de la moyenne) #
 
 1. Démontrer la relation précédente.
 
@@ -224,7 +226,7 @@ $$\bar{x}=\sum_{i=0}^{k-1}f_i\cdot x_i.$$
 
 ---
 
-#### Illustration (Moyenne) {-}
+Illustration (Moyenne) #
 
 Pour l’exemple des salaires la moyenne est donnée par
 $$\bar{x}_{\textrm{salaire}}=\frac{35\cdot40000+20\cdot50000+5\cdot60000+1\cdot1000000}{61}=60656.$$
@@ -252,12 +254,16 @@ le reste est telle que $x_i\geq\tilde{x}$.
 Pour l’exemple des salaires le salaire médian est de $40000 CHF$, ce qui
 reflète beaucoup mieux la distribution des salaire de notre population.
 
-#### Exercice (Moyenne, médiane) {-}
+---
+
+Exercice (Moyenne, médiane) #
 
 Calculer la moyenne et la médiane pour l’exemple du temps d’exécution
 (prendre la borne inférieure des intervalles pour chaque temps
 d’exécution[^7]).
 
+---
+
 ### Mesures de dispersion
 
 Nous avons vu deux mesures donnant une tendance générale des caractères
@@ -282,7 +288,7 @@ $$s=\sqrt{v}.$$
 
 ---
 
-#### Exercice (Variance, écart-type) {-}
+Exercice (Variance, écart-type) #
 
 Démontrer les relations suivantes
 
@@ -303,7 +309,7 @@ $$s=\sqrt{v}=121440.$$
 
 ---
 
-#### Exercice (Variance, écart-type) {-}
+Exercice (Variance, écart-type) #
 
 Calculer la variance et l’écart type à partir des valeurs du benchmark
 de l’application.
@@ -331,7 +337,7 @@ semi-inter-quartile.
 
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-#### Exercice (Semi-inter quartile) {-}
+Exercice (Semi-inter quartile) #
 
 Calculer les intervalles semi-inter-quartiles des exemples que nous
 avons vus plus tôt dans le cours.
@@ -351,7 +357,7 @@ sera utile pour la suite.
 
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-#### Définition {-}
+Définition #
 
 - L’ensemble des résultats possibles du lancer de dé est
     $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$ et cet ensemble est appelé l’*univers* du
@@ -505,7 +511,7 @@ comme la conséquences des trois axiomes des probabilités suivants
 
 ---
 
-#### Définition (Axiomes des probabilités) {-}
+Définition (Axiomes des probabilités) #
 
 Soit $\Omega$ un univers. La probabilité de
 réaliser un événement $A\subseteq\Omega$ est une fonction $p(A)$ qui
@@ -527,7 +533,7 @@ De ces axiomes découlent tout un tas de théorèmes
 
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-#### Théorème {-}
+Théorème #
 
 Pour $A,B\subseteq\Omega$ et $\Omega$ un univers et $p$ une probabilité.
 
@@ -583,7 +589,7 @@ $p(A|B)$, tel que $$p(A|B)=\frac{p(A\cap B)}{p(B)}.$$
 
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-#### Exercice (Probabilités conditionnelles) {-}
+Exercice (Probabilités conditionnelles) #
 
 Sur une population de 1000 hommes qui naissent, 922 atteignent l’âge de
 50 ans et 665 l’âge de 70 ans.
@@ -626,7 +632,7 @@ résultat de celui de la semaine suivante.
 
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-#### Exercice (Événements indépendants)  {-}
+Exercice (Événements indépendants)  #
 
 On jette une pièce de monnaie deux fois de
 suite. Les résultats possible pour chaque jet sont: $P$, ou $F$.
@@ -668,8 +674,7 @@ $$p(A)=\frac{1}{36}.$$ Une autre façon de visualiser ce genre de
 réalisation est de l’écrire sous forme d’arbre (voir la figure
 @fig:arbre).
 
-![Représentation du tirage $26$ sous forme
-d’arbre.](figs/arbre.svg){#fig:arbre width="\textwidth"}
+![Représentation du tirage $26$ sous forme d’arbre.](figs/arbre.svg){#fig:arbre width="\textwidth"}
 
 Comme pour le cas à un tirage, tout tirage successif de dés est
 équiprobable et la probabilité de chaque tirage est de $1/36$.
@@ -681,8 +686,7 @@ probabilité de cet enchaînement est obtenu en multipliant les événements
 élémentaires
 $$p(\{26\})=p(\{2\})\cdot p(\{6\})=\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}.$$
 
-![Représentation du tirage $26$ sous forme d’arbre avec les probabilités
-associées.](figs/arbre2.svg){#fig:arbre2 width="\textwidth"}
+![Représentation du tirage $26$ sous forme d’arbre avec les probabilités associées.](figs/arbre2.svg){#fig:arbre2 width="\textwidth"}
 
 Afin de calculer la probabilité du tirage $26$ il suffit de suivre le
 chemin menant de la racine à la feuille correspondante et de multiplier
@@ -703,11 +707,7 @@ aussi utiliser la représentation sous forme d’arbre où on somme
 simplement les probabilités de chacun des éléments de $A$ (voir figure
 @fig:arbre3).
 
-![Représentation de l’événement $A=\{22,24,26,42,44,46\}$ sous forme
-d’arbre avec les probabilités associées. Toutes les probabilités et
-tirages possibles associés aux branches ne sont pas affichées pour
-simplifier
-l’affichage.](figs/arbre3.svg){#fig:arbre3 width="\textwidth"}
+![Représentation de l’événement $A=\{22,24,26,42,44,46\}$ sous forme d’arbre avec les probabilités associées. Toutes les probabilités et tirages possibles associés aux branches ne sont pas affichées pour simplifier l’affichage.](figs/arbre3.svg){#fig:arbre3 width="\textwidth"}
 
 Comme vu dans la section @sec:disjoints, il suffit de prendre la
 somme des probabilités des événements élémentaires $$\begin{aligned}
@@ -731,7 +731,7 @@ $1/6$. On a donc que $$p(A)=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{18}.$$
 
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-#### Exercice {-}
+Exercice #
 
 1. Calculer la probabilité d’obtenir $2$ comme la somme des deux
     nombres tirés par deux dés.
@@ -803,7 +803,7 @@ $$p([n_1,...,n_k])=\frac{n!}{n_1!\cdots n_k!}p_1^{n_1}\cdots p_k^{n_k}.$$
 
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-#### Exercice {-}
+Exercice #
 
 On lance un dé parfait 10 fois. Quelle est la probabilité d’obtenir:
 
@@ -832,29 +832,25 @@ Afin de calculer cette probabilité le fait qu’on effectue un tirage avec
 remise est primordial. En effet considérons le cas initial illustré dans
 la @fig:loto.
 
-![Les six numéros présents initialement dans le
-sac.](figs/loto.svg){#fig:loto height="1.8truecm"}
+![Les six numéros présents initialement dans le sac.](figs/loto.svg){#fig:loto height="1.8truecm"}
 
 Pendant le premier tirage, nous tirons le numéro 2 (voir figure
 @fig:loto2). Notons que le tirage du 2 a une probabilité
 $\frac{1}{6}$.
 
-![Le numéro 2 est tiré lors du premier
-tirage.](figs/loto2.svg){#fig:loto2 height="1.8truecm"}
+![Le numéro 2 est tiré lors du premier tirage.](figs/loto2.svg){#fig:loto2 height="1.8truecm"}
 
 Il est donc enlevé du sac et il nous reste uniquement 5 chiffres parmi
 lesquels choisir (les chiffres $1$, $3$, $4$, $5$, et $6$, comme dans la
 @fig:loto3).
 
-![Il ne reste que 5 chiffres dans le
-sac.](figs/loto3.svg){#fig:loto3 height="1.8truecm"}
+![Il ne reste que 5 chiffres dans le sac.](figs/loto3.svg){#fig:loto3 height="1.8truecm"}
 
 Comme il ne nous reste que 5 chiffres, la probabilité de tirer un des
 nombres restant, disons le $5$, est de $\frac{1}{5}$ (voir la figure
 @fig:loto4).
 
-![Il ne reste que 5 chiffres dans le sac et nous tirons le
-5.](figs/loto4.svg){#fig:loto4 height="1.8truecm"}
+![Il ne reste que 5 chiffres dans le sac et nous tirons le 5.](figs/loto4.svg){#fig:loto4 height="1.8truecm"}
 
 Le 5 sera lui aussi retiré et il ne restera que 4 numéros dans le sac et
 ainsi de suite.
@@ -872,7 +868,7 @@ $p(\{5,2\}\backslash \{2\mbox{ ou }5)=\frac{1}{5}$ pour trouver la probabilité
 
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-#### Exercice {-}
+Exercice #
 
 1. Le jeu Euromillions consiste en un tirage de 5 numéros parmi 50
     possible, puis par le tirage de 2 “étoiles” parmi 11 possibles.
@@ -1002,7 +998,7 @@ On peut noter dans le cas général qu’on a $D=X^{-1}(I)$.
 
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-#### Définition (Variable aléatoire) {-}
+Définition (Variable aléatoire) #
 
 On dit que la fonction $X:\Omega\rightarrow{\real}$ est une
 *variable aléatoire* si la préimage de $X$ sur tout intervalle,
@@ -1014,7 +1010,7 @@ probabilité de réaliser l’événement $A$ $$p(X\in I)=p(A).$$
 
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-#### Définition (Fonction de répartition) {-}
+Définition (Fonction de répartition) #
 
 On dit que la fonction $F:{\real}\rightarrow{\real}$ est une
 *fonction de répartition* si $F(x)=p(X\leq x)$ pour tout