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03_integrales.md

@@ -38,18 +38,26 @@ L’aire de sous la fonction $f(x)$ est donnée par la limite pour
 $n\rightarrow\infty$ de $A^i$ ou $A^s$ (si elle existe). Dans ce cas $n\rightarrow\infty$ $A^R$ (pris en sandwich entre $A^i$ et $A^n$)
 nous donne aussi l'aire sous la fonction.
 
-#### Remarque {-}
+---
+
+Remarque #
 
 1. Ces sommes peuvent être positives ou négatives en fonction du signe
     de $f$.
 
 2. Une implémentation informatique est immédiate, en particulier pour la somme de Riemann.
 
-#### Définition (Intégrabilité au sens de Riemann) {-}
+---
+
+---
+
+Définition (Intégrabilité au sens de Riemann) #
 
 Une fonction est dite intégrable au sens de Riemann si
 $$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}A^i(n)=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}A^s(n)=\int_a^b f(x){\mathrm{d}}x.$$
 
+---
+
 Dans la formule
 $$\int_a^b f(x){\mathrm{d}}x,$$
 $x$ est appelée
@@ -60,7 +68,7 @@ d’intégration.
 
 ---
 
-#### Exemple (Intégration de Riemann) {-}
+Exemple (Intégration de Riemann) #
 
 Intégrer de $f(x)=x$ dans intervalle $[0,1]$.
 
@@ -68,7 +76,7 @@ Intégrer de $f(x)=x$ dans intervalle $[0,1]$.
 
 ---
 
-#### Solution (Intégration de Riemann) {-}
+Solution (Intégration de Riemann) #
 
 Il est élémentaire de calculer que cette aire vaut $1/2$ (c’est l’aire d’un
 triangle rectangle de côté 1). Néanmoins, évaluons également cette aire
@@ -89,7 +97,7 @@ $\sup\limits_{[x_i,x_{i+1}]}f(x)=f(x_{i+1})$. On a donc que
 
 ---
 
-#### Exemple (Intégration de Riemann de $x^2$) {-}
+Exemple (Intégration de Riemann de $x^2$) #
 
 Calculer l’aire sous la courbe de $f(x)=x^2$ dans intervalle $[0,1]$.
 
@@ -125,25 +133,33 @@ Si maintenant nous essayons de généraliser le calcul de l’intégrale
 d’une fonction, il s’avère que le calcul d’une intégrale est l’inverse
 du calcul d’une dérivée.
 
-#### Définition (Primitive) {-}
+---
+
+Définition (Primitive) #
 
 Soit $f$ une fonction. On dit que $F$ est une primitive de $f$ sur
 l’intervalle $D\subseteq{\real}$ si $F'(x)=f(x)$ $\forall x\in D$.
 
+---
+
 Si $F$ est une primitive de $f$, alors on peut définir la fonction $G$
 telle que $G(x)=F(x)+C$, $C\in{\real}$ qui est aussi une
 primitive de $f$. On voit que la primitive de $f$ est définie à une
 constante additive près. En effet, si $F'=f$ on a
 $$G'=F'+\underbrace{C'}_{=0}=F'=f.$$
 
-#### Théorème (Unicité) {-}
+---
+
+Théorème (Unicité) #
 
 Pour $a\in D$ et $b\in{\real}$  il existe une unique
 primitive $F$ telle que $F(a)=b$.
 
 ---
 
-#### Illustration (Unicité) {-}
+---
+
+Illustration (Unicité) #
 
 Soit $f(x)=x$, alors l’ensemble de primitives correspondantes est
 $G=x^2/2+C$. Si nous cherchons la primitive telle que $G(0)=0$, il vient
@@ -153,7 +169,7 @@ que $C=0$ et donc la primitive est unique et vaut $F(x)=x^2/2$.
 
 ---
 
-#### Exercices (Primitives) {-}
+Exercices (Primitives) #
 
 Calculez les primitives suivantes (*indication: il s’agit de trouver les
 fonctions $F(x)$ telles que $F'(x)=f(x)$*):
@@ -186,12 +202,16 @@ pouvons récapituler des formules qui seront importantes pour la suite:
 
 5. $\int \cos(x){\mathrm{d}}x=\sin(x)+C$.
 
-#### Théorème (Théorème fondamental du calcul intégral) {-}
+---
+
+Théorème (Théorème fondamental du calcul intégral) #
 
 En définissant à présent l’intégrale à l’aide de la notion
 de primitive, nous avons que pour $a,b\in{\real}$ et $a<b$
 $$\int_a^b f(x){\mathrm{d}}x=\left.F\right|_a^b=F(b)-F(a).$${#eq:thm_fond}
 
+---
+
 On dit que $x$ est la variable d’intégration. Elle est dite “muette” car
 elle disparaît après que l’intégrale ait été effectuée. On peut donc
 écrire l’équation ci-dessus de façon équivalente en remplaçant le
@@ -199,7 +219,7 @@ symbole $x$ par n’importe quelle autre lettre (sauf $a,b,f,F$).
 
 ---
 
-#### Remarque {-}
+Remarque #
 
 On notera que la constante additive $C$ a disparu de cette formule. En
 effet, remplaçons $F$ par $G=F+C$, il vient
@@ -215,7 +235,9 @@ Nous pouvons à présent définir la fonction $G(x)$ telle que
 $$G(x)=\int_a^xf(y){\mathrm{d}}y=F(x)-F(a).$$ Il suit  que $G(x)$
 est la primitive de $f$ telle que $G(a)=0$.
 
-#### Propriétés {-}
+---
+
+Propriétés #
 
 Soient $f$ et $g$ deux fonctions intégrables sur un intervalle
 $D=[a,b]\subseteq{\real}$, $c\in[a,b]$, et $\alpha\in{\real}$.
@@ -240,6 +262,8 @@ On a
 
 6. Si $f$ est impaire alors $$\int_{-a}^a f(x){\mathrm{d}}x = 0.$$
 
+---
+
 ### Intégrales impropres
 
 Si une des bornes d’intégration ou si la fonction à intégrer admet une
@@ -254,12 +278,12 @@ cas de figures suivants $$\begin{aligned}
 
 ---
 
-#### Exemple (Intégrale impropre) {-}
+Exemple (Intégrale impropre) #
 
 Calculer l’intégrale suivante
 $$\int_0^\infty e^{-ax}{\mathrm{d}}x,\quad a>0.$$
 
-#### Solution (Intégrale impropre) {-}
+Solution (Intégrale impropre) #
 
 Nous pouvons réécrire
 l’intégrale ci-dessus comme
@@ -269,7 +293,7 @@ $$\int_0^\infty e^{-ax}{\mathrm{d}}x=\lim\limits_{b\rightarrow \infty}\int_0^b e
 
 ---
 
-#### Exercice {-}
+Exercice #
 
 Calculer l’intégrale suivante
 $$\int_1^\infty \frac{1}{x^2}{\mathrm{d}}x.$$
@@ -280,16 +304,24 @@ Lorsque nous avons une discontinuité dans la fonction $f$ au point
 $c\in[a,b]$ nous avons
 $$\int_a^b f(x){\mathrm{d}}x = \lim\limits_{\varepsilon\rightarrow 0}\int_a^{c-\varepsilon} f(x){\mathrm{d}}x +\int_{c+\varepsilon}^b f(x){\mathrm{d}}x.$$
 
-#### Exercice {-}
+---
+
+Exercice #
 
 Montrer que $$\int_{-1}^2\frac{1}{x}{\mathrm{d}}x=\ln{2}.$$
 
-#### Définition (Valeur moyenne) {-}
+---
+
+---
+
+Définition (Valeur moyenne) #
 
 Soit une fonction $f$ admettant une primitive sur $[a,b]$ avec $a<b$,
 alors la valeur moyenne $\bar{f}$ de cette fonction sur $[a,b]$, est définie par
 $$\bar{f}=\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x){\mathrm{d}}x.$$
 
+---
+
 Méthodes d’intégration
 ----------------------
 
@@ -302,7 +334,7 @@ Le calcul d’une primitive ou d’une intégrale n’est en général pas une
 chose aisée. Nous connaissons les formules d’intégration pour certaines
 fonctions particulières.
 
-#### Polynômes
+Polynômes
 
 Les polynômes s’intègrent terme à terme. Pour
 $(\{a_i\}_{i=0}^{n}\in{\real}$ $$\begin{aligned}
@@ -312,14 +344,14 @@ $(\{a_i\}_{i=0}^{n}\in{\real}$ $$\begin{aligned}
 
 ---
 
-#### Exercice {-}
+Exercice #
 
 Intégrer la fonction suivante
 $$\int (x+2)(x^3+3x^2+4x-3){\mathrm{d}}x.$$
 
 ---
 
-#### Application de la règle de chaîne pour l’intégration
+Application de la règle de chaîne pour l’intégration
 
 Une primitive d'une fonction de la forme $f(x)f'(x)$ se calcule aisément
 $$\int f(x)f'(x){\mathrm{d}}x=\frac{1}{2}f(x)^2+c.$$
@@ -327,21 +359,21 @@ $$\int f(x)f'(x){\mathrm{d}}x=\frac{1}{2}f(x)^2+c.$$
 Nous calculons par exemple
 $$\int \sin(x)\cos(x){\mathrm{d}}x=\frac{1}{2}\sin^2(x)+c=-\frac{1}{2}\cos^2(x)+c'.$${#eq:sin_cos}
 
-#### Inverse de la dérivation logarithmique
+Inverse de la dérivation logarithmique
 
 Une primitive de la forme
 $$\int \frac{f'(x)}{f(x)}{\mathrm{d}}x=\ln(f(x))+c.$$
 
 ---
 
-#### Exemple {-}
+Exemple #
 
 Calculer la primitive suivante
 $$
 \int \frac{1}{x}{\mathrm{d}}x.
 $$
 
-#### Solution {-}
+Solution #
 
 Le calcul de la primitive de suivante
 $$\int \frac{1}{x}{\mathrm{d}}x=\int \frac{(x)'}{x}{\mathrm{d}}x=\ln(x)+c.$$
@@ -354,12 +386,16 @@ Une des façons les plus simples de calculer une primitive est
 de reconnaître la règle de chaîne dans le terme à intégrer
 $$\int g'(f(x))f'(x){\mathrm{d}}x=\int [g(f(x))]' {\mathrm{d}}x=g(f(x))+c.$$
 
-#### Illustration {-}
+---
+
+Illustration #
 
 Si $g$ est définie comme $g(x)=x^{-1}$ et $f(x)=3x^2+2$, alors la
 primitive
 $$\int \frac{f'(x)}{g'(f(x))}{\mathrm{d}}x=\int -\frac{6 x}{(3x^2+2)^2}{\mathrm{d}}x=\frac{1}{3x^2+2}+c.$$
 
+---
+
 ### Intégration par parties
 
 La dérivation d’un produit de fonctions $f\cdot g$ s’écrit
@@ -384,7 +420,7 @@ Des “règles” pour utiliser cette technique seraient que
 
 ---
 
-#### Exemple  {-}
+Exemple  #
 
 Calculer les primitives suivantes
 
@@ -392,7 +428,7 @@ Calculer les primitives suivantes
 
 2. $\int \cos(x)\sin(x){\mathrm{d}}x$. 
 
-#### Solution {-}
+Solution #
 
 1. $\int x e^x{\mathrm{d}}x$. $g(x)=x$, $f'(x)=e^x$ et donc $g'(x)=1$,
     $f(x)=e^x$. Il vient
@@ -415,11 +451,11 @@ parties.
 
 ---
 
-#### Exemple  {-}
+Exemple  #
 
 Calculer l’intégrale de $\int x^2 e^x{\mathrm{d}}x$. 
 
-#### Solution  {-}
+Solution  #
 
 En posant $g(x)=x^2$,
 $f'(x)=e^x$ et donc $g'(x)=2x$, $f(x)=e^x$. Il vient
@@ -432,7 +468,7 @@ $$\int x^2 e^x{\mathrm{d}}x=x^2e^x-2\left(x e^x -\int e^x{\mathrm{d}}x\right)=x^
 
 ---
 
-#### Exercice {-}
+Exercice #
 
 Calculer les primitives suivantes
 
@@ -453,7 +489,9 @@ où $f=F'$. Si nous intégrons cette relation on obtient $$\begin{aligned}
  \int_a^b f(g(y))g'(y){\mathrm{d}}y = \int_a^b [F(g(y))]'{\mathrm{d}}y=\left.F(g(y))\right|_a^b=F(g(b))-F(g(a))=\int_{g(a)}^{g(b)}f(x){\mathrm{d}}x.\end{aligned}$$
 Cette relation nous mène au théorème suivant.
 
-#### Théorème (Intégration par changement de variables) {-}
+---
+
+Théorème (Intégration par changement de variables) #
 
 Soit $f$ une fonction continue presque partout, et $g$ une fonction dont
 la dérivée est continue presque partout sur un intervalle $[a,b]$. Soit
@@ -461,6 +499,8 @@ la dérivée est continue presque partout sur un intervalle $[a,b]$. Soit
 Alors
 $$\int_a^b f(g(x))g'(x){\mathrm{d}}x = \int_{g(a)}^{g(b)}f(z){\mathrm{d}}z.$$
 
+---
+
 Nous utilisons ce théorème de la façon suivante. L’idée est de remplacer
 la fonction $g(x)$ par $z$. Puis il faut également remplacer
 ${\mathrm{d}}x$ par ${\mathrm{d}}z$ où nous avons que
@@ -473,11 +513,11 @@ sur la solution.
 
 ---
 
-#### Exemple (Changement de variable) {-}
+Exemple (Changement de variable) #
 
 Intégrer par changement de variables $\int_1^3 6x\ln(x^2){\mathrm{d}}x$.
 
-#### Solution (Changement de variable) {-}
+Solution (Changement de variable) #
 
 En définissant $z=x^2$, nous avons ${\mathrm{d}}x={\mathrm{d}}z/(2x)$.
 Les bornes d’intégration deviennent $z(1)=1^2=1$ et $z(3)=3^2=9$. On
@@ -490,7 +530,7 @@ obtient donc $$\begin{aligned}
 
 ---
 
-#### Exercice {-}
+Exercice #
 
 Calculer les primitives suivantes par changement de variable
 
@@ -521,7 +561,7 @@ Pour chaque valeur de $x=x_0$, on calcule l'intégrale,
 
 ---
 
-#### Exercice (Commutativité) {-}
+Exercice (Commutativité) #
 
 Démontrer que le produit de convolution est commutatif, soit
 \begin{equation}
@@ -538,7 +578,7 @@ ce que cela veut dire, il est intéressant de faire un calcul
 
 ---
 
-#### Exercice {-}
+Exercice #
 
 Calculer la convolution du signal $f(t)$
 
@@ -553,7 +593,7 @@ Indication: faites un dessin de ce que représente la convolution de ce $f$ avec
 
 ---
 
-#### Interprétation avec les mains
+Interprétation avec les mains
 
 Afin d'interpréter ce que représente le produit de convolution, introduisons la fonction delta de Dirac, $\delta_a(x)$. Cette fonction est un peu particulière, elle vaut zéro partout sauf en $0$ (où elle est "infinie"), et son
 intégrale vaut $1$
@@ -586,21 +626,21 @@ On voit que de façon générale, qu'on peut interpréter la convolution de deux
 
 ---
 
-Exercice (Convolution) {-}
+Exercice (Convolution) #
 
 Calculer la convolution de $f(x)$ avec $g(x)$, où $f(x)$ et $g(x)$ sont les fonctions
 
 \begin{align}
 f(x)&=\left\{\begin{array}{ll}
-                $-1,$ & \mbox{ si } -\pi \leq x \leq \pi\\
-                $0,$ & $\mbox{ sinon.}$
+                -1, & \mbox{ si } -\pi \leq x \leq \pi\\
+                0, & \mbox{ sinon.}
                \end{array}\right.,\\
 g(x)&=\sin(x).
 \end{align}
 
 ---
 
-#### Le lien avec les filtres
+Le lien avec les filtres
 
 Il se trouve que dans le cas où le filtre est linéaire (filtrer la combinaison de deux signaux
 est la même chose que de faire la combinaison linéaires des signaux filtrés)
@@ -642,7 +682,7 @@ dramatiquement la précision de l’intégration.
 
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-#### Remarque {-}
+Remarque #
 
 De façon générale il est difficile de connaître à l’avance la valeur
 exacte de $E$. En revanche on est capable de déterminer **l’ordre**
@@ -652,7 +692,7 @@ de l’erreur.
 
 ---
 
-#### Définition (Ordre d'une méthode) {-}
+Définition (Ordre d'une méthode) #
 
 On dit qu’une méthode d’intégration est d’ordre $k$, si l’erreur commise
 par la méthode varie proportionnellement à $\delta x^k$. On note qu’une