add rapport méthode de résolution

main.tex

@@ -240,6 +240,81 @@ bmargin=1.25in]{geometry}
 % question « pourquoi est-ce le cas » et, si la réponse n'est pas triviale, expliquez (parfois, 3 mots
 % suffisent !).
 
+% TODO : add bibliogrpahy
+Pour pouvoir cracker cette clefs RSA, nous avons utilisé la méthode de la factorisation de Fermat.
+C'est un algorithme de décomposition en produit de facteurs premiers d'un entier naturel, autrement dit, il va nous aider à retrouver $p$ et $q$ qui composent $n$.
+
+Cette algorithme dit que tout entier naturel impair $n$ se décompose en la différence de deux carrés qui peuvent être ensuite factorisé, on obtient :
+\[
+    n = a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) = p \cdot q
+\]
+
+Dans notre cas, on assicie la valeur de $p$ à $a + b$ et la valeur de $q$ à $a - b$.
+
+Si $p$ et $q$ sont tout deux différents de 1, alors ce sont des facteurs non triviaux de $n$.
+Autrement, on se retrouverait avec $n = n \cdot 1$, qui signifirait que $n$ est premier.
+
+Algébriquement, on voit que
+\[
+    b^2 = a^2 - n
+\]
+
+Sachant que $a$ et $b$ sont deux nombre entier, on cherche une valeur de $a$ qui vérifie que $b^2$ ait une racine entière.
+Le point de départ de $a$ serra $\ \sqrt[]{n} \ $ arrondis au supérieur, car en-dessous, $b^2$ serait inférieur ou égale à 0, ce qui est impossible.
+
+\newpage % prettier
+
+L'algorithme que nous avons fait se présente alors sous cette forme :
+
+\begin{figure*}[!h]
+    \centering
+
+    \begin{subfigure}{.5\linewidth}
+
+        \begin{algorithmic}
+            \setstretch{1.3}
+
+            \Procedure{Fermat factorization}{$n$}
+
+            \State $a \gets $ ceil($\ \sqrt[]{n} \ $)
+            \State $\text{b2} \gets a^2 - n$
+
+            \While {b2 is not square}
+
+            \State $a \gets a + 1$
+            \State $\text{b2} \gets a^2 - n$
+
+            \EndWhile
+
+            \State $b \gets \sqrt[]{\text{b2}}$
+            \State \Return $a, b$
+
+            \EndProcedure
+
+        \end{algorithmic}
+
+    \end{subfigure}
+\end{figure*}
+
+% TODO : add bibliogrpahy
+Pour savoir si $b^2$ avait une racine entière, nous avons utilisé une méthode que nous avons retrouver sur \textit{StackOverflow} qui est basé sur l'algorithme Babyloniens.
+Qui, en passant les détails, parcours différentes valeurs possibles calculé par rapport au nombre donnée.
+Si les valeurs testé ne sont pas la racine, c'est que la racine n'est pas entière.
+
+Après avoir récupérer $p$ et $q$, nous pouvons retrouver la clef privée $d$, notamment, en calculant la valeur de $\phi$ :
+\[
+    \phi = (p - 1) \cdot (q - 1)
+\]\[
+    d = \text{l'inverse modulaire de } \phi \text{ de } e
+\]
+
+On peut maintenant alors décodé le message en clair $M$ en utilisant l'exponentiation rapide de sur le message chiffré $\mu$.
+\[
+    M \equiv_n \: \mu^d
+\]
+
+Et c'est comme ça que nous avons déchiffré le message.
+
 
 % --- Section 2.3 : Application ---