ajout cours 18

slides/cours_18.md

+---
+title: "Arbres AVL"
+date: "2023-03-31"
+---
+
+# Questions sur les notions du dernier cours
+
+* Qu'est-ce qu'un arbre AVL?
+
+. . .
+
+* Un arbre binaire qui a la propriété suivante:
+    * La différence de hauteur de chaque noeud est d'au plus 1.
+    * Tous les noeuds ont `fe = hd - hg = {-1, 0, 1}`.
+
+* Pourquoi utiliser un arbre AVL plutôt qu'un arbre binaire de recherche?
+
+. . .
+
+* Insertion/recherche/... toujours en $O(\log_2(N))$.
+
+# AVL ou pas?
+
+```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
+graph TD;
+    id0((21))-->id1((9));
+    id0-->id2((40));
+    id1-->id3((5));
+    id1-->id4((10));
+    id3-->id5((3));
+    id3-->id6((7))
+    id6-->id7((6))
+    id6-->id8((  ))
+    id2-->id9((33))
+    id2-->id10((61))
+    id9-->id11((22))
+    id9-->id12((39))
+    id10-->id13((  ))
+    id10-->id14((81))
+    style id8 fill:#fff,stroke:#fff
+    style id13 fill:#fff,stroke:#fff
+```
+
+. . .
+
+* Ajouter un noeud pour qu'il le soit plus.
+
+# Insertion dans un arbre AVL
+
+\footnotesize
+
+1. On part d'un arbre AVL.
+2. On insère un nouvel élément.
+
+::: columns
+
+:::: column
+
+* `hd ? hg`.
+* Insertion de `4`?
+
+```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
+graph TD;
+    id0((12))-->id1((1));
+    id0-->id2((19));
+    id1-->id3((  ));
+    id1-->id4((6));
+    id2-->id5((  ));
+    id2-->id6((  ));
+    style id3 fill:#fff,stroke:#fff
+    style id5 fill:#fff,stroke:#fff
+    style id6 fill:#fff,stroke:#fff
+```
+
+::::
+
+:::: column
+
+. . .
+
+* `hd > hg`
+
+```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
+graph TD;
+    id0((12))-->id1((1));
+    id0-->id2((19));
+    id1-->id3((  ));
+    id1-->id4((6));
+    id4-->id5((4));
+    id4-->id6((  ));
+    id2-->id7((  ));
+    id2-->id8((  ));
+    style id3 fill:#fff,stroke:#fff
+    style id6 fill:#fff,stroke:#fff
+    style id7 fill:#fff,stroke:#fff
+    style id8 fill:#fff,stroke:#fff
+```
+
+::::
+
+:::
+
+**Déséquilibre!** Que vaut `fe`?
+
+. . .
+
+* `fe = 2`
+
+# Les cas de déséquilibre
+
+
+::: columns
+
+:::: column
+
+## Cas 1a
+
+* `u`, `v`, `w` même hauteur.
+* déséquilibre en `B` après insertion dans `u`
+
+![Après insertion](figs/cas1a_gauche.png)
+
+::::
+
+:::: column
+
+## Cas 1a
+
+* Comment rééquilibrer?
+
+. . .
+
+* ramène `u`, `v` `w` à la même hauteur.
+* `v` à droite de `A` (gauche de `B`)
+
+![Après équilibrage](figs/cas1a_droite.png)
+
+::::
+
+:::
+
+# Les cas de déséquilibre
+
+
+::: columns
+
+:::: column
+
+## Cas 1b (symétrique 1a)
+
+![Après insertion](figs/cas1b_gauche.png)
+
+::::
+
+:::: column
+
+## Cas 1b (symétrique 1a)
+
+* Comment rééquilibrer?
+
+. . .
+
+![Après équilibrage](figs/cas1b_droite.png)
+
+::::
+
+:::
+
+# Les cas de déséquilibre
+
+
+::: columns
+
+:::: column
+
+## Cas 2a
+
+* `h(v1)=h(v2), h(u)=h(w)`.
+* déséquilibre en `C` après insertion dans `v2`
+
+![Après insertion](figs/cas2a_gauche.png)
+
+::::
+
+:::: column
+
+## Cas 2a
+
+* Comment rééquilibrer?
+
+. . .
+
+* ramène `u`, `v2`, `w` à la même hauteur (`v1` pas tout à fait).
+* `v2` à droite de `B` (gauche de `C`)
+* `B` à droite de `A` (gauche de `C`)
+* `v1` à droite de `A` (gauche de `B`)
+
+![Après équilibrage](figs/cas2a_droite.png)
+
+::::
+
+:::
+
+
+# Les cas de déséquilibre
+
+
+::: columns
+
+:::: column
+
+## Cas 2b (symétrique 2a)
+
+![Après insertion](figs/cas2b_gauche.png)
+
+::::
+
+:::: column
+
+## Cas 2b (symétrique 2a)
+
+* Comment rééquilibrer?
+
+. . .
+
+![Après équilibrage](figs/cas2b_droite.png)
+
+::::
+
+:::
+
+# Le facteur d'équilibre (balance factor)
+
+## Définition
+
+```
+fe(arbre) = hauteur(droite(arbre)) - hauteur(gauche(arbre))
+```
+
+## Valeurs possibles?
+
+. . .
+
+```
+fe = {-1, 0, 1} // arbre AVL
+fe = {-2, 2}    // arbre déséquilibré
+```
+
+![Illustration du `fe`](figs/facteur_equilibre.png){width=40%}
+
+# Algorithme d'insertion
+
+* Insérer le noeud comme d'habitude.
+* Mettre à jour les facteurs d'équilibre jusqu'à la racine (ou au premier
+  noeud déséquilibré).
+* Rééquilibrer le noeud si nécessaire.
+
+## Cas possibles
+
+::: columns
+
+:::: column
+
+## Sous-arbre gauche (avant)
+
+```
+fe(P) =  1 
+fe(P) =  0 
+fe(P) = -1 
+```
+
+::::
+
+:::: column
+
+## Sous-arbre gauche (après)
+
+. . .
+
+```
+=> fe(P) =  0 
+=> fe(P) = -1 
+=> fe(P) = -2 // Rééquilibrer P
+```
+
+::::
+
+:::
+
+# Algorithme d'insertion
+
+* Insérer le noeud comme d'habitude.
+* Mettre à jour les facteurs d'équilibre jusqu'à la racine (ou au premier
+  noeud déséquilibré).
+* Rééquilibrer le noeud si nécessaire.
+
+## Cas possibles
+
+::: columns
+
+:::: column
+
+## Sous-arbre droit (avant)
+
+```
+fe(P) =  1 
+fe(P) =  0 
+fe(P) = -1 
+```
+
+::::
+
+:::: column
+
+## Sous-arbre droit (après)
+
+. . .
+
+```
+=> fe(P) =  0 
+=> fe(P) = +1 
+=> fe(P) = +2 // Rééquilibrer P
+```
+
+::::
+
+:::
+
+# Rééquilibrage
+
+## Lien avec les cas vus plus tôt
+
+```
+fe(P) = -2 && fe(gauche(P)) = -1 => cas 1a
+fe(P) = -2 && fe(gauche(P)) = +1 => cas 2a
+
+fe(P) = +2 && fe(droite(P)) = -1 => cas 2b
+fe(P) = +2 && fe(droite(P)) = +1 => cas 1b
+```
+
+## Dessiner les différents cas, sur le dessin ci-dessous
+
+![On verra un peu après les rotations.](figs/rotation_gauche_droite.png)
+
+# La rotation
+
+## La rotation gauche (5min, matrix)
+
+![L'arbre de droite devient celui de gauche. Comment?](figs/rotation_gauche_droite.png)
+
+. . .
+
+\footnotesize
+```
+arbre rotation_gauche(arbre P) 
+    si est_non_vide(P)
+        Q = droite(P)
+        droite(P) = gauche(Q)
+        gauche(Q) = P
+        retourne Q
+    retourne P
+```
+
+# La rotation en C (1/2)
+
+## La rotation gauche
+
+```
+arbre rotation_gauche(arbre P) 
+    si est_non_vide(P)
+        Q = droite(P)
+        droite(P) = gauche(Q)
+        gauche(Q) = P
+        retourne Q
+    retourne P
+```
+
+## Écrire le code C correspondant (5min, matrix)
+
+1. Structure de données
+2. Fonction `tree_t rotation_left(tree_t tree)`
+
+. . .
+
+\footnotesize
+```C
+typedef struct _node {
+    int key;
+    struct _node *left, *right;
+    int bf; // balance factor
+} node;
+typedef node *tree_t;
+```
+
+# La rotation en C (2/2)
+
+\footnotesize
+
+```C
+tree_t rotation_left(tree_t tree) {
+    tree_t subtree = NULL;
+    if (NULL != tree) {
+        subtree = tree->right;
+        tree->right = subtree->left;
+        subtree->left = tree;
+    }
+    return subtree;
+}
+```
+
+. . .
+
+* Et la rotation à droite (5min)?
+
+. . .
+
+```C
+tree_t rotation_right(tree_t tree) {
+    tree_t subtree = NULL;
+    if (NULL != tree) {
+        subtree = tree->left;
+        tree->left = subtree->right;
+        subtree->right = tree;
+    }
+    return subtree;
+}
+```
+
+# Exemple de rotation (1/2)
+
+## Insertion de 9?
+
+```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
+graph TD;
+    id0((5))-->id1((1));
+    id0-->id2((6));
+    id2-->id3((  ));
+    id2-->id4((8));
+    style id3 fill:#fff,stroke:#fff
+```
+
+# Exemple de rotation (2/2)
+
+::: columns
+
+:::: column
+
+## Quelle rotation et sur quel noeud (5 ou 6)?
+
+```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
+graph TD;
+    id0((5))-->id1((1));
+    id0-->id2((6));
+    id2-->id3((  ));
+    id2-->id4((8));
+    id4-->id5((  ));
+    id4-->id6((9));
+    style id3 fill:#fff,stroke:#fff
+    style id5 fill:#fff,stroke:#fff
+```
+
+::::
+
+:::: column
+
+. . .
+
+## Sur le plus jeune évidemment!
+
+```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
+graph TD;
+    id0((5))-->id1((1));
+    id0-->id2((8));
+    id2-->id3((6));
+    id2-->id4((9));
+```
+
+::::
+
+:::
+
+* Cas `1a/b` *check*!
+
+
+# La rotation gauche-droite
+
+## Là c'est plus difficile (cas 2a/b)
+
+![La double rotation de l'enfer.](figs/double_rotation_gauche_droite.png)
+
+# Exercices
+
+## Faire l'implémentation de la double rotation (pas corrigé, 5min)
+
+# Exercices
+
+::: columns
+
+:::: column
+
+## Insérer 50, ex 10min (matrix)
+
+```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
+graph TD;
+    id0((89))-->id1((71));
+    id0-->id2((90));
+    id1-->id3((44));
+    id3-->id4((37));
+    id3-->id5((61));
+    id1-->id6((81))
+    id2-->id7((  ))
+    id2-->id8((100))
+    style id7 fill:#fff,stroke:#fff
+```
+
+::::
+
+:::: column
+
+. . .
+
+## Où se fait la rotation?
+
+```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
+graph TD;
+    id0((89))-->id1((71));
+    id0-->id2((90));
+    id1-->id3((44));
+    id3-->id4((37));
+    id3-->id5((61));
+    id1-->id6((81))
+    id2-->id7((  ))
+    id2-->id8((100))
+    id5-->id9((50))
+    id5-->id10((  ))
+    style id7 fill:#fff,stroke:#fff
+    style id10 fill:#fff,stroke:#fff
+```
+
+::::
+
+:::
+
+# Exercices
+
+::: columns
+
+:::: column
+
+## Rotation gauche en 44
+
+```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
+graph TD;
+    id0((89))-->id1((71));
+    id0-->id2((90));
+    id1-->id3((61));
+    id1-->id10((81));
+    id3-->id4((44));
+    id3-->id5((  ));
+    id4-->id6((37))
+    id4-->id7((50))
+    id2-->id8((  ))
+    id2-->id9((100))
+    style id5 fill:#fff,stroke:#fff
+    style id8 fill:#fff,stroke:#fff
+```
+
+::::
+
+:::: column
+
+. . .
+
+## Rotation à droite en 71
+
+```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
+graph TD;
+    id0((89))-->id1((61));
+    id0-->id2((90));
+    id1-->id3((44));
+    id1-->id10((71));
+    id3-->id4((37));
+    id3-->id5((50));
+    id2-->id8((  ));
+    id2-->id9((100));
+    id10-->id11((  ))
+    id10-->id12((81))
+    style id8 fill:#fff,stroke:#fff
+    style id11 fill:#fff,stroke:#fff
+```
+
+::::
+
+:::
+
+# Exercice de la mort
+
+Soit l’arbre AVL suivant:
+
+::: columns
+
+:::: column
+
+```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
+graph TD;
+    id0((60))-->id1((40));
+    id0-->id2((120));
+    id1-->id3((20));
+    id1-->id4((50));
+    id3-->id5((10));
+    id3-->id6((30));
+    id2-->id7((100));
+    id2-->id8((140));
+    id7-->id9((80))
+    id7-->id10((110))
+    id9-->id11((70))
+    id9-->id12((90))
+    id8-->id13((130))
+    id8-->id14((160))
+    id14-->id15((150))
+    id14-->id16((170))
+```
+
+::::
+
+:::: column
+
+1. Montrer les positions des insertions de feuille qui conduiront à un arbre
+   désequilibré.
+2. Donner les facteurs d’equilibre.
+3. Dessiner et expliquer les modifications de l’arbre lors de l’insertion de la
+   valeur `65`. On mentionnera les modifications des facteurs
+   d’équilibre.
+
+::::
+
+:::
+