fourier_serie1.md

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# - Orestis Malaspinas
title: Exercices sur Fourier
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  - "éq."
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  - category: exercice
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\newcommand{\dd}[1]{\mathrm{d}#1}

Séries de Fourier

Exercice +.#

Développer en série de Fourier la fonction

2\pi

-périodique suivante \begin{equation} f(x)=7\cos(x)-\sqrt{2}\sin(3x),\ x\in[0,2\pi). \end{equation}

Corrigé +.#

Il est trivial de trouver les coefficients de la transformée de Fourier. On a

a_1=7

, et

b_3=-\sqrt{2}

. Tous les autres coefficients sont nuls. La série de Fourier s'écrit donc \begin{equation} f(x)=7\cos(x)-\sqrt{2}\sin(3x). \end{equation}

Exercice +.#

Développer en série de Fourier la fonction

2\pi

-périodique suivante \begin{equation} f(x)=\left{\begin{array}{ll} 1-\frac{2x}{\pi},& x\in[0,\pi),\ 1+\frac{2x}{\pi},& x\in[-\pi,0). \end{array}\right. \end{equation}

Corrigé +.#

On calcule les coefficients de la série de Fourier à l'aide des formules \begin{align} a_j&=\frac{2}{T}\int_0^T\cos(j\omega x)f(x){\mathrm{d}}x,\ b_j&=\frac{2}{T}\int_0^T\sin(j\omega x)f(x){\mathrm{d}}x, \end{align} où

T=2\pi

. On peut donc écrire \begin{align} a_j&=\frac{2}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi\cos(j x)f(x){\mathrm{d}}x,\ b_j&=\frac{2}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi\sin(j x)f(x){\mathrm{d}}x. \end{align} Comme

f(x)

est paire, on a que les coefficients

a_j

sont tous nuls. Il nous reste à calculer \begin{align} b_j&=\underbrace{\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^0\cos(j x)\left(1+\frac{2x}{\pi}\right){\mathrm{d}}x}{(1)}+\underbrace{\frac{1}{\pi}\int{0}^\pi\cos(j x)\left(1-\frac{2x}{\pi}\right){\mathrm{d}}x}_{(2)}. \end{align} Ces intégrales se calculent par partie (on pourrait les simplifier en utilisant le fait que la fonction à intégrer est paire, mais on le fera pas ici).

Ces deux intégrales se résolvent par partie. Pour la partie

(1)

, on obtient \begin{align} (1)&=\underbrace{\left. \frac{1}{j}\sin(jx)\left(1+\frac{2x}{\pi}\right)\right|{-\pi}^0}{=0}

• \frac{2}{\pi j}\int_{-\pi}^0\sin(jx)\dd x,\nonumber\ &=\left.\frac{2}{\pi j^2}\cos(jx)\right|_{-\pi}^0,\nonumber\ &=\frac{4}{\pi j^2}\left(1-(-1)^j\right). \end{align} De même pour la partier (2), on trouve
  (2)=\frac{4}{\pi j^2}\left(1-(-1)^j\right).
  On trouve finalement que
  b_j=\frac{8}{\pi^2j^2}\left(1-(-1)^j\right).
  La série de Fourier s'écrit alors
  f(x)=\frac{8}{\pi^2}\sum_{j=1}^\infty \frac{1}{j^2}\left(1-(-1)^j\right)\cos(jx).

Exercice +.#

Développer en série de Fourier la fonction

2\pi

-périodique suivante \begin{equation} f(x)=\left{\begin{array}{ll} x(\pi-x),& x\in[0,\pi),\ x(\pi+x),& x\in[-\pi,0). \end{array}\right. \end{equation}

Corrigé +.#

La fonction étant impaire tous les termes

b_j

sont nuls. Pour les termes

a_j

, il faut intégrer deux fois par parties et on trouve

a_j=\frac{4(1-(-1)^j)}{\pi j^3},

si

j\neq 0

et

a_0=0

.

Exercice +.#

Développer en série de Fourier la fonction

2\pi

-périodique suivante \begin{equation} f(x)=\sin\left(\frac{x}{2}\right),\ x\in[0,2\pi). \end{equation}

Corrigé +.#

Cette fonction étant impaire, nous avons que tous les

b_j

sont nuls. En utilisant l'identité trigonométrique

\sin(x/2)\sin(jx)=\frac{1}{2} \left(\cos((j-1/2)x)-\cos((j+1/2)x)\right).

On peut assez simplement calculer les coefficients de Fourier

a_j

, qui sont donnés par (la fonction

f

étant impaire, nous pouvons utiliser le fait que

f(x)\sin(jx)

est, elle, paire, d'où l'intégration sur le demi-domaine) \begin{align} a_j&=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi\sin(x/2)\sin(jx)\dd x=\frac{1}{\pi}\left(\int_0^\pi \cos((j-1/2)x)-\cos((j+1/2)x)\dd x\right),\ &=\frac{1}{\pi}\left.\left(\frac{\sin((n-1/2)x)}{n-1/2}-\frac{\sin((n+1/2)x)}{n+1/2}\right)\right|_{0}^\pi=-\frac{(-1)^j}{\pi}\frac{2j}{j^2-1/4}. \end{align}

Exercice +.#

Développer en série de Fourier la fonction

2\pi

-périodique suivante \begin{equation} f(x)=\cos\left(\frac{x}{2}\right),\ x\in[0,2\pi). \end{equation}

Corrigé +.#

Je vous laisse vous débrouller pour celui là. C'est presque pareil que le cas ci-dessus. Il faut juste trouver la bonne identité trigonométrique à utiliser (cf. le cours).

Transformées de Fourier

Exercice +.#

Calculer la transformée de Fourier de la fonction suivante \begin{equation} f(x)=\left{\begin{array}{ll} 1+x,& x\in[-1,0),\ 1-x,& x\in[0,1),\ 0,& \mbox{sinon}. \end{array}\right. \end{equation}

Corrigé +.#

On sait que la transformée de Fourier d'une fonction

f

est donnée par

\hat f(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}{\mathrm{d}}t.

On peut écrire la tranformée de Fourier comme

\hat f(\omega)=\int_{-1}^{0}(1+x)e^{-i\omega x}{\mathrm{d}}x+\int_{0}^{1}(1-x)e^{-i\omega x}{\mathrm{d}}x.

Par parties, on obtient \begin{align} \hat f(\omega)&=\left.(1+x)e^{-i\omega x}\right|{-1}^0-\frac{1}{i\omega}\int{-1}^0e^{-i\omega x}\dd x+\left.(1-x)e^{-i\omega x}\right|{0}^1+\frac{1}{i\omega}\int{0}^1e^{-i\omega x}\dd x,\nonumber\ &=2-\frac{1}{\omega^2}(1-e^{i\omega})+\frac{1}{\omega^2}(e^{-i\omega}-1). \end{align}

Exercice +.#

Calculer la transformée de Fourier de la fonction suivante \begin{equation} f(x)=\left{\begin{array}{ll} -1-x,& x\in[-2,-1),\ 1+x,& x\in[-1,0),\ 1-x,& x\in[0,1),\ -1+x,& x\in[1,2),\ 0,& \mbox{sinon}. \end{array}\right. \end{equation}

Corrigé +.#

Pareil que ci-dessus mais avec plein d'étapes en plus... Je vous laisse faire comme des grand·e·s.

Transformées de Fourier discrète

Exercice +.#

Calculer la transformée de Fourier discrète de la suite

a=\{1, 0, 0, 1\}

.

Corrigé +.#

En utilisant la formule

\hat f[k]=\sum_{n=0}^{N-1}f[n]e^{-2\pi ink/N},

on peut calculer la TFD de

f=\{1,0,0,1\}

avec

N=4

. On obtient donc

\hat f[0]=f[0]+f[1]+f[2]+f[3]=2.

Et ainsi de suite on obtient \begin{align} \hat f[1]&=f[0]+f[1]e^{-\pi i/2}+f[2]e^{-\pi i}+f[3]e^{-3\pi i/2}=1+i,\ \hat f[2]&=f[0]+f[1]e^{-\pi i}+f[2]e^{-2\pi i}+f[3]e^{-3\pi i}=0,\ \hat f[3]&=f[0]+f[1]e^{-3\pi i/2}+f[2]e^{-3\pi i}+f[3]e^{-9\pi i/2}=1-i. \end{align}

Exercice +.#

Calculer la transformée de Fourier inverse discrète de la suite

b=\{2, -1-i, 0, -1+i\}

.

Corrigé +.#

En utilisant la formule

f[n]=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}\hat f[n]e^{2\pi ink/N},

on peut calculer la TFD de

\hat f=\{2, -1-i, 0, -1+i\}

avec

N=4

. On obtient donc

f[0]=\hat f[0]+\hat f[1]+\hat f[2]+\hat f[3]=0.

Et ainsi de suite on obtient \begin{align} f[1]&=\frac{1}{4}(\hat f[0]+\hat f[1]e^{\pi i/2}+\hat f[2]e^{\pi i}+\hat f[3]e^{3\pi i/2})=\frac{1}{4}(2+i(-1-i)+(-i)(-1+i))=1,\ \hat f[2]&=\frac{1}{4}(f[0]+f[1]e^{\pi i}+f[2]e^{2\pi i}+f[3]e^{3\pi i})=\frac{1}{4}(2+(-1)(-1-i)-1(-1+i))=1,\ \hat f[3]&=\frac{1}{4}(f[0]+f[1]e^{3\pi i/2}+f[2]e^{3\pi i}+f[3]e^{9\pi i/2})=\frac{1}{4}(2-i(-1-i)+i(-1+i))=0. \end{align}