notes 09/03/2023

content/03_euler_et_exp.md

+# 9 mars
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+## Fonction d'Euler
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+Soit un entier $n$, la fonction d'Euler $\varphi(n)$ est le nombre d'entiers dans $\ringmod{n}$, qui sont premiers relativement à $n$.
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+$$
+n = \prod_{i=1}^{i=k}(1-p_{i}^{-1})
+$$
+
+où $p$ est premier et $p_{i}^{-1} = \frac{1}{p_{i}}$
+
+avec $n = \prod_{i=1}^{i=k}p_{i}^{\alpha_{i}}$
+
+### Exemple
+
+#### Décomposition en facteurs premiers
+
+$$
+\begin{aligned}
+ n = 10 = 2 \cdot 5 \\
+ n = 5000 = 2^3 \cdot 5^4
+\end{aligned}
+$$
+
+où $2 \Rightarrow p_{1}^{\alpha_{1}} et 5 \Rightarrow p_{2}^{\alpha_{2}}$
+
+#### Calcul
+
+$$
+\begin{aligned}
+ \varphi(10) = 10 \cdot (1 - \frac{1}{2}) \cdot (1 - \frac{1}{5}) \\
+ = 10 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5} \\
+ = \frac{4 \cdot 10}{10}
+ = 4
+\end{aligned}
+$$
+
+## Exponentiation Modulaire
+
+### Exemple
+
+$$
+17^{73} \bmod 133
+$$
+
+#### Conversion de l'exposant en binaire
+
+$$
+\begin{aligned}
+(73)_{10} = (1001001)_{2} \\
+2^0 + 2^3 + 2^6 = 73
+\end{aligned}
+$$
+
+#### Calcul grâce au tableau
+
+| Valeur binaire pour $i$ | $17^{2^{i}} \bmod 133$   | Résultat |
+| ----------------------- | ------------------------ | -------- |
+| $i = 0 \Rightarrow 1$   | $17^{1} \bmod 133$       | 17       |
+| $i = 1 \Rightarrow 0$   | $17^{2} = 289 \bmod 133$ | 23       |
+| $i = 2 \Rightarrow 0$   | $17^{4} = 17$            |
+| $i = 3 \Rightarrow 1$   |
+| $i = 4 \Rightarrow 0$   |
+| $i = 5 \Rightarrow 0$   |
+| $i = 6 \Rightarrow 1$   |
+
+## Euclide étendu et coefficients de Bézout