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 # Introduction
 
-Dans le cadre de ce travail pratique, nous étions amenés à nous familiariser
-avec le concept de la descente de gradient dans le contexte de l’apprentissage
-machine et l’intelligence artificielle.
-
-La descente de gradient (le concept en lui-même ainsi que les divers
-algorithmes) est utilisée dans l’entraînement des réseaux neuronaux lors de la
-rétropropagation ("Backpropagation"). En bref, la rétropropagation consiste à
-"remonter" dans le réseau depuis la couche de sortie en direction de la couche
-d’entrée afin d’ajuster les poids de chaque neurones qui ont contribué à un
-résultat faussé de sorte à pouvoir corriger le réseau. Cette correction
-s’effectue grâce à une descente de gradient sur une fonction, dite de "coût",
-qui représente l’erreur commise lors d’une mauvaise classification.
+Dans le cadre (subtilement élargi) de ce travail pratique, nous étions amenés à
+nous familiariser avec le concept de la descente de gradient dans le contexte de
+l’apprentissage machine et l’intelligence artificielle. 
+
+En effet, parmi d’autres utilités hautement majeures, la descente de gradient 
+(le concept en lui-même ainsi que les divers algorithmes) est utilisée dans
+l’entraînement des réseaux neuronaux lors de la rétropropagation ("backpropagation").
+En bref, la rétropropagation consiste à "remonter" dans le réseau depuis la couche
+de sortie en direction de la couche d’entrée. Cette remontée permet d’ajuster les
+poids des neurones ayant contribué à un résultat faussé de sorte à optimiser les
+performances du modèle. Cette correction consiste plus concrètement en 
+l’optimisation des paramètres d’une fonction dite de "coût", qui représente l’écart
+entre les prédictions du réseau et les valeurs attendues. Il s’agit donc en fait
+d’un problème de minimisation d’erreur.
+
+Or l’essence même de la descente de gradient réside dans sa capacité à orienter
+un processus d'optimisation vers un minimum (au moins local) en ajustant 
+itérativement les paramètres d'un modèle ou variables d'une fonction. Cependant,
+ce voyage est jonché de multiples pièges que nous avons inévitablement rencontré
+dans notre exploration.
+
+Car en effet, ayant compris l’importance de la descente de gradient, nous avons
+voulu à travers ce rapport (de notre propre volonté), explorer en détail 
+différentes facettes de cet outil, de ses paramètres à ses implications pratiques,
+sur des fonctions particulières et une fonction de coût réelle. 
+Perpendiculairement à la comparaison des fonctions, ce sont les méthodes de
+descente qui ont été confrontées, nous menant à méditer les subtilités de chacune
+d’entre elles.
+
+Aussi, nous souhaitons-vous un bon voyage dans l’univers merveilleux de ce rapport
+immersif, et vous prions de vous laisser porter au-travers des dunes par les 
+descentes de gradient, les plus rapides comme les plus erratiques et aventureuses.
 
 # Expérimentation
 
@@ -57,7 +77,7 @@ tenter d'étudier l'effet du _learning rate_ $\lambda$ sur cet algorithme et les
 raisons pour lesquelles sa valeur devra diverger par rapport aux trois autres
 méthodes.
 
-En suite, nous tenterons de jouer avec les deux paramètres specifiques à
+En suite, nous tenterons de jouer avec les deux paramètres spécifiques à
 **Adam**, $\beta_{1}$ et $\beta_{2}$, afin d'essayer de visualiser la manière
 dont ces deux paramètres permettent de rendre le _learning rate_ dynamique
 (c'est-à-dire l'ajuster en fonction des asymétries possiblement introduites par
@@ -71,14 +91,14 @@ Les paramètres d'**Adam** permettent aussi d'émuler un comportement d'inertie
 présent dans les méthodes **Momentum** et **Nesterov** à l'aide d'un calcul
 des moyennes mobiles.
 
-En somme, **Adam** est censé représente le meilleur des deux mondes (taux
+En somme, **Adam** est censé représenter le meilleur des deux mondes (taux
 d'apprentissage variable par composante et l'inertie qui permet de pouvoir passer
 au-delà de certains minimums locaux dans le but d'en trouver un global).
 
 ## Effet du taux d'apprentissage $\lambda$ -- descente simple
 
 Pour pouvoir illustrer l'effet du taux d'apprentissage sur le comportement de
-la descente, nous avons pris trois valeurs de $\lambda$ séparée à chaque fois
+la descente, nous avons pris trois valeurs de $\lambda$, séparées à chaque fois
 d'un ordre de grandeur pour rendre la visualisation plus claire. Les exemples
 ci-dessous ont été effectués sur la fonction $f$ :
 
@@ -108,7 +128,7 @@ Variation de $\lambda$ lors de la descente simple
 ::::
 
 Dans le cas de la @fig-base-high-lr, nous pouvons voir que suite aux grands pas
-effectués à chaque itération, la trajectoire est saccadée même si le minimum
+effectués à chaque itération, la trajectoire est saccadée, même si le minimum
 est tout de même atteint. Le problème qui peut survenir suite à un $\lambda$ si
 grand est le fait de potentiellement passer au-delà d'un fossé qui puisse contenir
 le minimum recherché. Ce cas sera illustré plus tard.
@@ -118,7 +138,7 @@ le minimum recherché. Ce cas sera illustré plus tard.
 A travers les exemples présenté sur la @fig-basegd-lr, nous pouvons facilement
 se convaincre que le bon choix de la valeur du taux d'apprentissage, comme
 beaucoup de choses dans la vie, repose sur un compromis. La valeur de $\lambda$
-ne doit pas être à la fois trop petite (sinon le nombre d'itérations deviendra
+ne doit à la fois ne pas être trop petite (sinon le nombre d'itérations deviendra
 énorme), ni trop grande (risque de rater un minimum, en "sautant" par-dessus).
 
 Dès lors, la valeur du taux d'apprentissage choisie pour les algorithmes de