maj cours 3

slides/cours_3.md

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+title: "Introduction aux algorithmes"
+date: "2023-10-03"
+---
+
+# Rappel (1/2)
+
+## Quels algos avons-nous vu la semaine passée?
+
+. . .
+
+* L'algorithme de la factorielle.
+* L'algorithme du PPCM.
+
+# Rappel (2/2)
+
+## Algorithme du PPCM?
+
+. . .
+
+```C
+int main() { 
+    int m = 15, n = 12;
+    int mult_m = m, mult_n = n;
+    while (mult_m != mult_n) {
+        if (mult_m > mult_n) {
+            mult_n += n;
+        } else {
+            mult_m += m;
+        }
+    }
+    printf("Le ppcm de %d et %d est %d\n", n, m, mult_m);
+}
+```
+
+# Le calcul du PGCD (1/5)
+
+## Définition
+
+Le plus grand commun diviseur (PGCD) de deux nombres entiers non nuls est le
+plus grand entier qui les divise en même temps. 
+
+## Exemples:
+
+```C
+PGCD(3, 4) = 1,
+PGCD(4, 6) = 2,
+PGCD(5, 15) = 5.
+```
+
+. . .
+
+## Mathématiquement
+
+Décomposition en nombres premiers:
+
+$$
+36 = 2^2\cdot 3^2,\quad 90=2\cdot 5\cdot 3^2,
+$$
+On garde tous les premiers à la puissance la plus basse
+$$
+PGCD(36, 90)=2^{\min{1,2}}\cdot 3^{\min{2,2}}\cdot 5^{\min{0,1}}=18.
+$$
+
+# Le calcul du PGCD (2/5)
+
+## Algorithme
+
+Par groupe de 3 (5-10min):
+
+* réfléchissez à un algorithme alternatif donnant le PGCD de deux nombres;
+* écrivez l'algorithme en pseudo-code.
+
+. . .
+
+## Exemple d'algorithme
+
+```C
+PGCD(36, 90):
+90 % 36 != 0 // otherwise 36 would be PGCD
+90 % 35 != 0 // otherwise 35 would be PGCD
+90 % 34 != 0 // otherwise 34 would be PGCD
+...
+90 % 19 != 0 // otherwise 19 would be PGCD
+90 % 18 == 0 // The end!
+```
+
+* 18 modulos, 18 assignations, et 18 comparaisons.
+
+# Le calcul du PGCD (3/5)
+
+## Transcrivez cet exemple en algorithme (groupe de 3) et codez-le (5-10min)!
+
+. . .
+
+## Optimisation
+
+* Combien d'additions / comparaisons au pire?
+* Un moyen de le rendre plus efficace?
+
+. . .
+
+## Tentative de correction
+
+```C
+void main() {
+   int n = 90, m = 78;
+   int gcd = 1;
+   for (int div = n; div >= 2; div--) { // div = m, sqrt(n)
+      if (n % div == 0 && m % div == 0) {
+         gcd = div;
+         break;
+      }
+   }
+   printf("Le pgcd de %d et %d est %d\n", n, m, gcd);
+}
+```
+
+# Le calcul du PGCD (4/5)
+
+## Réusinage: l'algorithme d'Euclide
+
+`Dividende = Diviseur * Quotient + Reste`
+
+```C
+PGCD(35, 60):
+35 = 60 * 0 + 35 // 60 -> 35, 35 -> 60
+60 = 35 * 1 + 25 // 35 -> 60, 25 -> 35
+35 = 25 * 1 + 10 // 25 -> 35, 20 -> 25
+25 = 10 * 2 +  5 // 10 -> 25, 5  -> 10
+10 =  5 * 2 +  0 // PGCD = 5!
+```
+
+. . .
+
+## Algorithme
+
+Par groupe de 3 (5-10min):
+
+* analysez l'exemple ci-dessus;
+* transcrivez le en pseudo-code.
+
+# Le calcul du PGCD (5/5)
+
+## Pseudo-code
+
+```C
+entier pgcd(m, n)
+    tmp_n = n
+    tmp_m = m
+    tant que (tmp_m ne divise pas tmp_n)
+        tmp   = tmp_n
+        tmp_n = tmp_m
+        tmp_m = tmp modulo tmp_m
+    retourne tmp_m
+
+```
+
+# Le code du PGCD de 2 nombres
+
+## Implémentez le pseudo-code et postez le code sur matrix (5min).
+
+. . .
+
+## Un corrigé possible
+
+```C
+#include <stdio.h>
+void main() {
+   int n = 90;
+   int m = 78;
+   printf("n = %d et m = %d\n", n, m);
+   int tmp_n = n;
+   int tmp_m = m;
+   while (tmp_n%tmp_m > 0) {
+      int tmp = tmp_n;
+      tmp_n = tmp_m;
+      tmp_m = tmp % tmp_m;
+   }
+   printf("Le pgcd de %d et %d est %d\n", n, m, tmp_m);
+}
+```
+
+# Quelques algorithmes simples
+
+* Remplissage d'un tableau et recherche de la valeur minimal
+* Anagrammes
+* Palindromes
+* Crible d’Ératosthène
+
+. . .
+
+* Ces algorithme nécessitent d'utiliser des **tableaux**.
+
+# Collections: tableaux statiques
+
+\footnotesize
+
+* Objets de même type: leur nombre est **connu à la compilation**;
+* Stockés de façon contiguë en mémoire (très efficace);
+
+    ```C
+    #define SIZE 10
+    int entiers[] = {2, 1, 4, 5, 7}; // taille 5, initialisé
+    int tab[3]; // taille 3, non initialisé
+    float many_floats[SIZE]; // taille 10, non initialisé
+    ```
+* Les indices sont numérotés de `0` à `taille-1`;
+
+    ```C
+    int premier = entier[0]; // premier = 2
+    int dernier = entier[4]; // dernier = 7
+    ```
+* Les tableaux sont **non-initialisés** par défaut;
+* Les bornes ne sont **jamais** vérifiées.
+
+    ```C
+    int indetermine_1 = tab[1];     // undefined behavior
+    int indetermine_2 = entiers[5]; // UB
+    ```
+
+# Remarques
+
+* Depuis  `C99` la taille peut être *inconnue à la compilation* (VLA);
+
+    ```C
+    int size;
+    scanf("%d", &size);
+    char string[size];
+    ```
+
+ . . .
+
+* Considéré comme une mauvaise pratique: que se passe-t-il si `size == 1e9`?
+* On préfère utiliser l'allocation **dynamique** de mémoire pour ce genre de
+  cas-là (spoiler du futur du cours).
+
+# Initialisation
+
+* Les variables ne sont **jamais** initialisées en `C` par défaut.
+* Question: Que contient le tableau suivant?
+
+    ```C
+    double tab[4];
+    ```
+
+. . .
+
+* Réponse: On en sait absolument rien!
+* Comment initialiser un tableau?
+
+. . .
+
+```C
+#define SIZE 10
+double tab[SIZE];
+for (int i = 0; i < SIZE; ++i) {
+    tab[i] = rand() / (double)RAND_MAX * 10.0 - 5.0; 
+    // tab[i] contient un double dans [-5;5]
+}
+```
+
+# Recherche du minimum dans un tableau (1/2)
+
+## Problématique
+
+Trouver la valeur minimale contenue dans un tableau et l'indice de l'élément le plus petit.
+
+## Écrire un pseudo-code résolvant ce problème (groupe de 3), 2min
+
+. . .
+
+```C
+index = 0
+min   = tab[0]
+pour i de 1 à SIZE - 1
+    si min > tab[i]
+        min = tab[i]
+        index = i
+```
+
+# Recherche du minimum dans un tableau (2/2)
+
+## Implémenter ce bout de code en C (groupe de 3), 4min
+
+. . .
+
+```C
+int index = 0;
+float min = tab[0];
+for (int i = 1; i < SIZE; ++i) {
+    if min > tab[i] {
+        min = tab[i];
+        index = i;
+    }
+}
+```
+
+# Tri par sélection (1/2)
+
+## Problématique
+
+Trier un tableau par ordre croissant.
+
+## Idée d'algorithme
+
+```C
+ind = 0
+tant que (ind < SIZE-1)
+    Trouver le minimum du tableau, tab_min[ind:SIZE].
+    Échanger tab_min avec tab[ind]
+    ind += 1
+```
+
+# Tri par sélection (2/2)
+
+## Implémentation par groupe de 3
+
+* Initialiser aléatoirement un tableau de `double` de taille 10;
+* Afficher le tableau;
+* Trier par sélection le tableau;
+* Afficher le résultat trié;
+* Vérifier algorithmiquement que le résultat est bien trié.
+