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Verified Commit c9e5fa29 authored by orestis.malaspin's avatar orestis.malaspin
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slides/cours_20.md
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View file @ c9e5fa29
...@@ -198,7 +198,7 @@ void rotate(node *qt) { ...@@ -198,7 +198,7 @@ void rotate(node *qt) {
} }
``` ```
# Compression sans perte (1/N) # Compression sans perte (1/5)
## Idée générale ## Idée générale
...@@ -216,7 +216,7 @@ void rotate(node *qt) { ...@@ -216,7 +216,7 @@ void rotate(node *qt) {
* Comment faire? * Comment faire?
# Compression sans perte (2/N) # Compression sans perte (2/5)
## Que devient l'arbre suivant? ## Que devient l'arbre suivant?
...@@ -228,7 +228,7 @@ void rotate(node *qt) { ...@@ -228,7 +228,7 @@ void rotate(node *qt) {
![](figs/quad_img_simple_comp.svg) ![](figs/quad_img_simple_comp.svg)
# Compression sans perte (3/N) # Compression sans perte (3/5)
* Si un nœud a tous ses enfants égaux: * Si un nœud a tous ses enfants égaux:
* Donner la valeur au nœud, * Donner la valeur au nœud,
...@@ -251,7 +251,7 @@ rien compression_sans_pertes(arbre) ...@@ -251,7 +251,7 @@ rien compression_sans_pertes(arbre)
detruire_enfants(arbre) detruire_enfants(arbre)
``` ```
# Compression sans perte (4/N) # Compression sans perte (4/5)
\footnotesize \footnotesize
...@@ -279,7 +279,7 @@ void lossless_compression(node *qt) { ...@@ -279,7 +279,7 @@ void lossless_compression(node *qt) {
} }
``` ```
# Compression sans perte (5/N) # Compression sans perte (5/5)
\footnotesize \footnotesize
...@@ -305,7 +305,7 @@ bool last_value(node *qt, int *val) { ...@@ -305,7 +305,7 @@ bool last_value(node *qt, int *val) {
``` ```
# Compression avec perte (1/N) # Compression avec perte (1/5)
## Idée générale ## Idée générale
...@@ -323,7 +323,7 @@ bool last_value(node *qt, int *val) { ...@@ -323,7 +323,7 @@ bool last_value(node *qt, int *val) {
* On enlève si l'écart à la moyenne est "petit"? * On enlève si l'écart à la moyenne est "petit"?
# Compression avec perte (2/N) # Compression avec perte (2/5)
## Que devient l'arbre suivant si l'écart est petit? ## Que devient l'arbre suivant si l'écart est petit?
...@@ -335,7 +335,7 @@ bool last_value(node *qt, int *val) { ...@@ -335,7 +335,7 @@ bool last_value(node *qt, int *val) {
![](figs/quad_img_simple_comp_loss.svg) ![](figs/quad_img_simple_comp_loss.svg)
# Compression avec perte (3/N) # Compression avec perte (3/5)
## Comment mesurer l'écart à la moyenne? ## Comment mesurer l'écart à la moyenne?
...@@ -362,7 +362,7 @@ bool last_value(node *qt, int *val) { ...@@ -362,7 +362,7 @@ bool last_value(node *qt, int *val) {
* Plus $\theta$ est grand, plus l'image sera compressée. * Plus $\theta$ est grand, plus l'image sera compressée.
# Compression avec perte (4/N) # Compression avec perte (4/5)
## Que devient l'arbre avec $\theta=0.5$? ## Que devient l'arbre avec $\theta=0.5$?
...@@ -372,7 +372,7 @@ bool last_value(node *qt, int *val) { ...@@ -372,7 +372,7 @@ bool last_value(node *qt, int *val) {
![Arbre compressé.](figs/quad_img_simple_comp_avg.svg) ![Arbre compressé.](figs/quad_img_simple_comp_avg.svg)
# Compression avec perte (6/N) # Compression avec perte (5/5)
## Modifications sur la structure de données? ## Modifications sur la structure de données?
......
slides/cours_22.md
+ 0
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View file @ c9e5fa29
...@@ -325,134 +325,7 @@ page ajouter_niveau(page, element) ...@@ -325,134 +325,7 @@ page ajouter_niveau(page, element)
retourne tmp retourne tmp
``` ```
# Les B-arbres: suppression
## Cas simplissime
![Suppression de 25.](figs/barbres_ordre2_supp1.svg){width=80%}
. . .
![25 supprimé, on décale juste 27.](figs/barbres_ordre2_supp2.svg){width=80%}
# Les B-arbres: suppression
\footnotesize
## Cas simple
![Suppression de 27.](figs/barbres_ordre2_supp2.svg){width=60%}
. . .
* On retire 27, mais....
* Chaque page doit avoir au moins 2 éléments.
* On doit déplacer des éléments dans une autre feuille! Mais comment?
. . .
![La médiane de la racine descend, fusion de 20 à gauche, et suppression à droite.](figs/barbres_ordre2_supp3.svg){width=60%}
# Les B-arbres: suppression
## Cas moins simple
![Suppression de 5.](figs/barbres_ordre2_supp4.svg){width=60%}
. . .
* Un élément à droite, comment on fait?
* Remonter `7`, serait ok si racine, mais... c'est pas forcément.
* On redistribue les feuilles.
. . .
![Descente de `3`, remontée médiane des feuilles `2`.](figs/barbres_ordre2_supp5.svg){width=60%}
# Les B-arbres: suppression
\footnotesize
## Cas ultra moins simple
![Suppression de 3.](figs/barbres_ordre2_supp6.svg){width=60%}
. . .
* `7` seul:
* Fusionner les feuilles et redistribuer, comment?
. . .
![Descendre `-1`, déplacer `7` à gauche, et décaler les éléments de droite au milieu.](figs/barbres_ordre2_supp7.svg){width=60%}
# Les B-arbres: suppression
## Cas ultra moins simple
![On a pas fini...](figs/barbres_ordre2_supp7.svg){width=60%}
. . .
* `8` est seul, c'est plus un B-arbre :
* Fusionner le niveau 2 et redistribuer, comment?
. . .
![Fusionner `8`, `17`, `22` et descendre `12`.](figs/barbres_ordre2_supp8.svg){width=40%}
. . .
* La profondeur a diminué de 1.
# Les B-arbres: suppression
## Algorithme pour les feuilles!
* Si la clé est supprimée d'une feuille:
* Si on a toujours `n` (ordre de l'arbre) clés dans la feuille on décale simplement les clés.
* Sinon on combine (récursivement) avec le nœud voisin et on descend la clé médiane.
# Les B-arbres: suppression
## Cas non-feuille!
![Suppression de 8.](figs/barbres_ordre2_supp9.svg){width=60%}
. . .
* On sait comment effacer une valeur d'une feuille, donc?
. . .
![Échanger le `8` avec le plus grand du sous-arbre de gauche.](figs/barbres_ordre2_supp10.svg){width=60%}
* Ensuite?
# Les B-arbres: suppression
## Cas non-feuille!
![Suppression de 8.](figs/barbres_ordre2_supp10.svg){width=60%}
. . .
* On sait comment effacer une valeur d'une feuille!
. . .
![Yaka enlever le 8 de la feuille comme avant!](figs/barbres_ordre2_supp11.svg){width=60%}
# Les B-arbres: suppression
## Algorithme pour les non-feuilles!
* Si la clé est supprimée d'une page qui n'est pas une feuille:
* On échange la valeur avec la valeur de droite de la page de gauche
* On supprime comme pour une feuille!
## Et maintenant des exercices par millions!
......
slides/cours_23.md 0 → 100644
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View file @ c9e5fa29
---
title: "Graphes - Généralités"
date: "2023-05-24"
patat:
eval:
tai:
command: fish
fragment: false
replace: true
ccc:
command: fish
fragment: false
replace: true
images:
backend: auto
---
# Les B-arbres: suppression
## Cas simplissime
![Suppression de 25.](figs/barbres_ordre2_supp1.svg){width=80%}
. . .
![25 supprimé, on décale juste 27.](figs/barbres_ordre2_supp2.svg){width=80%}
# Les B-arbres: suppression
\footnotesize
## Cas simple
![Suppression de 27.](figs/barbres_ordre2_supp2.svg){width=60%}
. . .
* On retire 27, mais....
* Chaque page doit avoir au moins 2 éléments.
* On doit déplacer des éléments dans une autre feuille! Mais comment?
. . .
![La médiane de la racine descend, fusion de 20 à gauche, et suppression à droite.](figs/barbres_ordre2_supp3.svg){width=60%}
# Les B-arbres: suppression
## Cas moins simple
![Suppression de 5.](figs/barbres_ordre2_supp4.svg){width=60%}
. . .
* Un élément à droite, comment on fait?
* Remonter `7`, serait ok si racine, mais... c'est pas forcément.
* On redistribue les feuilles.
. . .
![Descente de `3`, remontée médiane des feuilles `2`.](figs/barbres_ordre2_supp5.svg){width=60%}
# Les B-arbres: suppression
\footnotesize
## Cas ultra moins simple
![Suppression de 3.](figs/barbres_ordre2_supp6.svg){width=60%}
. . .
* `7` seul:
* Fusionner les feuilles et redistribuer, comment?
. . .
![Descendre `-1`, déplacer `7` à gauche, et décaler les éléments de droite au milieu.](figs/barbres_ordre2_supp7.svg){width=60%}
# Les B-arbres: suppression
## Cas ultra moins simple
![On a pas fini...](figs/barbres_ordre2_supp7.svg){width=60%}
. . .
* `8` est seul, c'est plus un B-arbre :
* Fusionner le niveau 2 et redistribuer, comment?
. . .
![Fusionner `8`, `17`, `22` et descendre `12`.](figs/barbres_ordre2_supp8.svg){width=40%}
. . .
* La profondeur a diminué de 1.
# Les B-arbres: suppression
## Algorithme pour les feuilles!
* Si la clé est supprimée d'une feuille:
* Si on a toujours `n` (ordre de l'arbre) clés dans la feuille on décale simplement les clés.
* Sinon on combine (récursivement) avec le nœud voisin et on descend la clé médiane.
# Les B-arbres: suppression
## Cas non-feuille!
![Suppression de 8.](figs/barbres_ordre2_supp9.svg){width=60%}
. . .
* On sait comment effacer une valeur d'une feuille, donc?
. . .
![Échanger le `8` avec le plus grand du sous-arbre de gauche.](figs/barbres_ordre2_supp10.svg){width=60%}
* Ensuite?
# Les B-arbres: suppression
## Cas non-feuille!
![Suppression de 8.](figs/barbres_ordre2_supp10.svg){width=60%}
. . .
* On sait comment effacer une valeur d'une feuille!
. . .
![Yaka enlever le 8 de la feuille comme avant!](figs/barbres_ordre2_supp11.svg){width=60%}
# Les B-arbres: suppression
## Algorithme pour les non-feuilles!
* Si la clé est supprimée d'une page qui n'est pas une feuille:
* On échange la valeur avec la valeur de droite de la page de gauche
* On supprime comme pour une feuille!
## Et maintenant des exercices par millions!
# Les graphes! Historique
**Un mini-peu d'histoire...**
## L. Euler et les 7 ponts de Koenigsberg:
* Existe-t-il une promenade sympa, passant **une seule fois** par les 7 ponts et revenant au point de départ?
![Les ponts c'est beau. Source: Wikipédia, <https://bit.ly/37h0yOG>](figs/Konigsberg_bridges.png){width=50%}
. . .
* Réponse: ben non!
# Utilisation quotidienne
## Réseau social
![Source, Wikipedia: <https://bit.ly/3kG6cgo>](figs/Social_Network.svg){width=40%}
* Chaque sommet est un individu.
* Chaque trait une relation d'amitié.
* Miam, Miam, Facebook.
# Utilisation quotidienne
## Moteurs de recherche
![Source, Wikipedia: <https://bit.ly/3kG6cgo>](figs/PageRanks-Example.svg){width=40%}
* Sommet est un site.
* Liens sortants;
* Liens entrants;
* Notion d'importance d'un site: combien de liens entrants, pondérés par l'importance du site.
* Miam, Miam, Google (PageRank).
# Introduction
## Définition, plus ou moins
* Un graphe est un ensemble de sommets, reliés par des lignes ou des flèches.
![Deux exemples de graphes.](figs/ex_graphes.png)
* Des sommets (numérotés 1 à 6);
* Connectés ou pas par des traits ou des flèches!
# Généralités
## Définitions
* Un **graphe** $G(V, E)$ est constitué
* $V$: un ensemble de sommets;
* $E$: un ensemble d'arêtes.
* Une **arête** relie une **paire** de sommets de $V$.
## Remarques
* Il y a **au plus** une arête $E$ par paire de sommets de $V$.
* La **complexité** d'un algorithme dans un graphe se mesure en terme de $|E|$ et $|V|$, le nombre d'éléments de $E$ et $V$ respectivement.
# Généralités
## Notations
* Une arête d'un graphe **non-orienté** est représentée par une paire **non-ordonnée** $(u,v)=(v,u)$, avec $u,v\in V$.
* Les arêtes ne sont pas orientées dans un graphe non-orienté (elles sont bi-directionnelles, peuvent être parcourues dans n'importe quel ordre).
## Exemple
::: columns
:::: column
![Un graphe non-orienté.](figs/ex_graphe_non_oriente.svg)
::::
:::: column
## Que valent $V$, $|V|$, $E$, et $|E|$?
. . .
\begin{align*}
V&=\{1, 2, 3, 4\},\\
|V|&=4,\\
E&=\{(1,2),(2,3),(2,4),(4,1)\},\\
|E|&=4.
\end{align*}
::::
:::
# Généralités
## Notations
* Une arête d'un graphe **orienté** est représentée par une paire **ordonnée** $(u,v)\neq(v,u)$, avec $u,v\in V$.
* Les arêtes sont orientées dans un graphe orienté (étonnant non?).
## Exemple
::: columns
:::: column
![Un graphe non-orienté.](figs/ex_graphe_oriente.svg)
::::
:::: column
## Que valent $V$, $|V|$, $E$, et $|E|$?
. . .
\begin{align*}
V&=\{1, 2, 3, 4\},\\
|V|&=4,\\
E&=\{(1,2),(2,3),(2,4),(4,1),(4,2)\},\\
|E|&=5.
\end{align*}
::::
:::
# Généralités
## Définition
* Le somme $v$ est **adjacent** au sommet $u$, si et seulement si $(u,v)\in E$;
* Si un graphe non-orienté contient une arête $(u,v)$, $v$ est adjacent à $u$ et $u$ et adjacent à $v$.
## Exemple
::: columns
:::: column
![Sommet $a$ adjacent à $c$, $c$ adjacent à $a$.](figs/ex_adj_non_or.svg){width=80%}
::::
:::: column
![Sommet $a$ adjacent à $c$.](figs/ex_adj_or.svg){width=80%}
::::
:::
# Généralités
## Définition
* Un **graphe pondéré** ou **valué** est un graphe dont chaque arête a un
poids associé, habituellement donné par une fonction de pondération $w:E\rightarrow\mathbb{R}$.
## Exemples
![Graphe pondéré orienté (gauche) et non-orienté (droite).](figs/ex_graph_pond.pdf){width=80%}
# Généralités
## Définition
* Dans un graphe $G(V,E)$, une **chaîne** reliant un sommet $u$ à un sommet $v$ est une suite d'arêtes entre les sommets, $w_0$, $w_1$, ..., $w_k$, telles que
$$
(w_i, w_{i+1})\in E,\quad u=w_0,\quad v=w_k,\quad \mbox{pour }0\leq i< k,
$$
avec $k$ la longueur de la chaîne (le nombre d'arêtes du chemin).
## Exemples
![Illustration d'une chaîne, ou pas chaîne dans un graphe.](figs/ex_graphe_chaine.pdf){width=80%}
# Généralités
## Définition
* Une **chaîne élémentaire** est une chaîne dont tous les sommets sont distincts, sauf les extrémités qui peuvent être égales
## Exemples
![Illustration d'une chaîne élémentaire.](figs/ex_graphe_chaine_elem.pdf){width=80%}
# Généralités
## Définition
* Une **boucle** est une arête $(v,v)$ d'un sommet vers lui-même.
## Exemples
![Illustration d'une boucle.](figs/ex_graphe_boucle.pdf){width=40%}
# Généralités
## Définition
* Un graphe non-orienté est dit **connexe**, s'il existe un chemin reliant n'importe quelle paire de sommets distincts.
## Exemples
\
::: columns
:::: column
![Graphe connexe. Source, Wikipédia: <https://bit.ly/3yiUzUv>](figs/graphe_connexe.svg){width=80%}
::::
:::: column
![Graphe non-connexe avec composantes connexes. Source, Wikipédia: <https://bit.ly/3KJB76d>](figs/composantes_connexes.svg){width=60%}
::::
:::
# Généralités
## Définition
* Un graphe orienté est dit **fortement connexe**, s'il existe un chemin reliant n'importe quelle paire de sommets distincts.
## Exemples
\
::: columns
:::: column
![Graphe fortement connexe.](figs/ex_graph_fort_connexe.pdf){width=60%}
::::
:::: column
![Composantes fortement connexes. Source, Wikipédia: <https://bit.ly/3w5PL2l>](figs/composantes_fortement_connexes.svg){width=100%}
::::
:::
# Généralités
## Définition
* Un **cycle** dans un graphe *non-orienté* est une chaîne de longueur $\leq 3$ telle que le 1er sommet de la chaîne est le même que le dernier, et dont les arêtes sont distinctes.
* Pour un graphe *orienté* on parle de **circuit**.
* Un graphe sans cycles est dit **acyclique**.
## Exemples
![Illustration de cycles, ou pas.](figs/ex_graphe_cycle.pdf){width=100%}
# Question de la mort
* Qu'est-ce qu'un graphe connexe acyclique?
. . .
* Un arbre!
# Représentations
* La complexité des algorithmes sur les graphes s'expriment en fonction du nombre de sommets $V$, et du nombre d'arêtes $E$:
* Si $|E|\sim |V|^2$, on dit que le graphe est **dense**.
* Si $|E|\sim |V|$, on dit que le graphe est **peu dense**.
* Selon qu'on considère des graphes denses ou peu denses, différentes structure de données peuvent être envisagées.
## Question
* Comment peut-on représenter un graphe informatiquement? Des idées (réflexion de quelques minutes)?
. . .
* Matrice/liste d'adjacence.
# Matrice d'adjacence
* Soit le graphe $G(V,E)$, avec $V=\{1, 2, 3, ..., n\}$;
* On peut représenter un graphe par une **matrice d'adjacence**, $A$, de dimension $n\times n$ définie par
$$
A_{ij}=\left\{ \begin{array}{ll}
1 & \mbox{si } i,j\in E,\\
0 & \mbox{sinon}.
\end{array} \right.
$$
::: columns
:::: column
## Exemple
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph LR;
1---2;
1---4;
2---5;
4---5;
5---3;
```
::::
:::: column
\footnotesize
## Quelle matrice d'adjacence?
. . .
```
|| 1 | 2 | 3 | 4 | 5
===||===|===|===|===|===
1 || 0 | 1 | 0 | 1 | 0
---||---|---|---|---|---
2 || 1 | 0 | 0 | 0 | 1
---||---|---|---|---|---
3 || 0 | 0 | 0 | 0 | 1
---||---|---|---|---|---
4 || 1 | 0 | 0 | 0 | 1
---||---|---|---|---|---
5 || 0 | 1 | 1 | 1 | 0
```
::::
:::
# Matrice d'adjacence
## Remarques
* Zéro sur la diagonale.
* La matrice d'un graphe non-orienté est symétrique
$$
A_{ij}=A_{ji}, \forall i,j\in[1,n]
$$.
::: columns
:::: column
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph LR;
1---2;
1---4;
2---5;
4---5;
5---3;
```
::::
:::: column
\footnotesize
```
|| 1 | 2 | 3 | 4 | 5
===||===|===|===|===|===
1 || 0 | 1 | 0 | 1 | 0
---||---|---|---|---|---
2 || 1 | 0 | 0 | 0 | 1
---||---|---|---|---|---
3 || 0 | 0 | 0 | 0 | 1
---||---|---|---|---|---
4 || 1 | 0 | 0 | 0 | 1
---||---|---|---|---|---
5 || 0 | 1 | 1 | 1 | 0
```
::::
:::
# Matrice d'adjacence
* Pour un graphe orienté (digraphe)
::: columns
:::: column
## Exemple
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph LR;
2-->1;
1-->4;
2-->5;
5-->2;
4-->5;
5-->3;
```
::::
:::: column
\footnotesize
## Quelle matrice d'adjacence?
. . .
```
|| 1 | 2 | 3 | 4 | 5
===||===|===|===|===|===
1 || 0 | 0 | 0 | 1 | 0
---||---|---|---|---|---
2 || 1 | 0 | 0 | 0 | 1
---||---|---|---|---|---
3 || 0 | 0 | 0 | 0 | 0
---||---|---|---|---|---
4 || 0 | 0 | 0 | 0 | 1
---||---|---|---|---|---
5 || 0 | 1 | 1 | 0 | 0
```
::::
:::
* La matrice d'adjacence n'est plus forcément symétrique
$$
A_{ij}\neq A_{ji}.
$$
# Stockage
* Quel est l'espace nécessaire pour stocker une matrice d'adjacence pour un graphe orienté?
. . .
* $\mathcal{O}(|V|^2)$.
* Quel est l'espace nécessaire pour stocker une matrice d'adjacence pour un graphe non-orienté?
. . .
* $\mathcal{O}(|V|-1)|V|/2$.
# Considérations d'efficacité
* Dans quel type de graphes la matrice d'adjacence est utile?
. . .
* Dans les graphes denses.
* Pourquoi?
. . .
* Dans les graphes peu denses, la matrice d'adjacence est essentiellement composée de `0`.
## Remarque
* Dans la majorité des cas, les grands graphes sont peu denses.
* Comment représenter un graphe autrement?
# La liste d'adjacence (non-orienté)
* Pour chaque sommet $v\in V$, stocker les sommets adjacents à $v$-
* Quelle structure de données pour la liste d'adjacence?
. . .
* Tableau de liste chaînée, vecteur (tableau dynamique), etc.
::: columns
:::: column
## Exemple
![Un graphe non-orienté.](figs/ex_graph_adj.pdf){width=80%}
::::
:::: column
## Quelle liste d'adjacence?
. . .
![La liste d'adjacence.](figs/ex_graph_list_adj.pdf)
::::
:::
# La liste d'adjacence (orienté)
::: columns
:::: column
## Quelle liste d'adjacence pour...
* Matrix (2min)
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph LR;
0-->1;
0-->2;
1-->2;
3-->0;
3-->1;
3-->2;
```
::::
:::: column
```
```
::::
:::
# Complexité
## Stockage
* Quelle espace est nécessaire pour stocker une liste d'adjacence (en fonction de $|E|$ et $|V|$)?
. . .
$$
\mathcal{O}(|E|)
$$
* Pour les graphes *non-orientés*: $\mathcal{O}2|E|$.
* Pour les graphes *orientés*: $\mathcal{O}|E|$.
## Définition
* Le **degré** d'un sommet $v$, est le nombre d'arêtes incidentes du sommet (pour les graphes orientés on a un degré entrant ou sortant).
* Comment on retrouve le degré de chaque sommet avec la liste d'adjacence?
. . .
* C'est la longueur de la liste chaînée.
# Parcours
* Beaucoup d'applications nécessitent de parcourir des graphes:
* Trouver un chemin d'un sommet à un autre;
* Trouver si le graphe est connexe;
* Il existe *deux* parcours principaux:
* en largeur (Breadth-First Search);
* en profondeur (Depth-First Search).
* Ces parcours créent *un arbre* au fil de l'exploration (si le graphe est non-connexe cela crée une *forêt*, un ensemble d'arbres).
# Illustration: parcours en largeur
![Le parcours en largeur.](figs/parcours_larg.pdf){width=80%}
# Exemple
## Étape par étape (blanc non-visité)
![Initialisation.](figs/parcours_larg_0.pdf){width=50%}
## Étape par étape (gris visité)
![On commence en `x`.](figs/parcours_larg_1.pdf){width=50%}
# Exemple
## Étape par étape
![On commence en `x`.](figs/parcours_larg_1.pdf){width=50%}
## Étape par étape (vert à visiter)
![Vister `w`, `t`, `y`.](figs/parcours_larg_2.pdf){width=50%}
# Exemple
## Étape par étape
![Vister `w`, `t`, `y`.](figs/parcours_larg_2.pdf){width=50%}
## Étape par étape
![`w`, `t`, `y` visités. `u`, `s` à visiter.](figs/parcours_larg_3.pdf){width=50%}
# Exemple
## Étape par étape
![`w`, `t`, `y` visités. `u`, `s` à visiter.](figs/parcours_larg_3.pdf){width=50%}
## Étape par étape
![`u`, `s`, visités. `r` à visiter.](figs/parcours_larg_4.pdf){width=50%}
# Exemple
## Étape par étape
![`u`, `s`, visités. `r` à visiter.](figs/parcours_larg_4.pdf){width=50%}
## Étape par étape
![`r` visité. `v` à visiter.](figs/parcours_larg_5.pdf){width=50%}
# Exemple
## Étape par étape
![`r` visité. `v` à visiter.](figs/parcours_larg_5.pdf){width=50%}
## Étape par étape
![The end. Plus rien à visiter!](figs/parcours_larg_6.pdf){width=50%}
# En faisant ce parcours...
::: columns
:::: column
## Du parcours de l'arbre
![](figs/parcours_larg_6.pdf){width=100%}
::::
:::: column
## Quel arbre est créé par le parcours (2min)?
. . .
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph LR;
0[x]-->1[w];
0-->2[t];
0-->3[y];
2-->9[u];
1-->4[s];
4-->5[r];
5-->6[v];
```
::::
:::
## Remarques
* Le parcours dépend du point de départ dans le graphe.
* L'arbre sera différent en fonction du noeud de départ, et de l'ordre de parcours des voisins d'un noeud.
# Le parcours en largeur
## L'algorithme, idée générale (3min, matrix)?
. . .
```C
v = un sommet du graphe
i = 1
pour sommet dans graphe et sommet non-visité
visiter(v, sommet, i) // marquer sommet à distance i visité
i += 1
```
## Remarque
* `i` est la distance de plus cours chemin entre `v` et les sommets en cours de visite.
# Le parcours en largeur
## L'algorithme, pseudo-code (3min, matrix)?
* Comment garder la trace de la distance?
. . .
* Utilisation d'une **file**
. . .
```C
initialiser(graphe) // tous sommets sont non-visités
file = visiter(sommet, vide) // sommet est un sommet du graphe au hasard
tant que !est_vide(file)
v = défiler(file)
file = visiter(v, file)
```
## Que fait visiter?
```
file visiter(sommet, file)
sommet = visité
pour w = chaque arête de sommet
si w != visité
file = enfiler(file, w)
retourne file
```
# Exercice (5min)
## Appliquer l'algorithme sur le graphe
![](figs/parcours_larg_0.pdf){width=50%}
* En partant de `v`, `s`, ou `u` (par colonne de classe).
* Bien mettre à chaque étape l'état de la file.
# Complexité du parcours en largeur
## Étape 1
* Extraire un sommet de la file;
## Étape 2
* Traîter tous les sommets adjacents.
## Quelle est la complexité?
. . .
* Étape 1: $\mathcal{O}(|V|)$,
* Étape 2: $\mathcal{O}(2|E|)$,
* Total: $\mathcal{O}(|V| + |2|E|)$.
# Exercice
* Établir la liste d'adjacence et appliquer l'algorithme de parcours en largeur au graphe
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph LR;
1---2;
1---3;
1---4;
2---3;
2---6;
3---6;
3---4;
3---5;
4---5;
```
# Illustration: parcours en profondeur
![Le parcours en profondeur. À quel parcours d'arbre cela ressemble-t-il?](figs/parcours_prof.pdf){width=80%}
# Parcours en profondeur
## Idée générale
* Initialiser les sommets comme non-lus
* Visiter un sommet
* Pour chaque sommet visité, on visite un sommet adjacent s'il est pas encore visité récursivement.
## Remarque
* La récursivité est équivalent à l'utilisation d'une **pile**.
# Parcours en profondeur
## Pseudo-code (5min)
. . .
```C
initialiser(graphe) // tous sommets sont non-visités
pile = visiter(sommet, vide) // sommet est un sommet du graphe au hasard
tant que !est_vide(pile)
v = dépiler(pile)
pile = visiter(v, pile)
```
## Que fait visiter?
. . .
```C
pile visiter(sommet, pile)
sommet = visité
pour w = chaque arête de sommet
si w != visité
pile = empiler(pile, w)
retourne pile
```
# Exercice
* Établir la liste d'adjacence et appliquer l'algorithme de parcours en profondeur au graphe
```{.mermaid format=pdf width=400 loc=figs/}
graph LR;
1---2;
1---3;
1---4;
2---3;
2---6;
3---6;
3---4;
3---5;
4---5;
```
# Interprétation des parcours
* Un graphe vu comme espace d'états (sommet: état, arête: action);
* Labyrinthe;
* Arbre des coups d'un jeu.
. . .
* BFS (Breadth-First) ou DFS (Depth-First) parcourent l'espace des états à la recherche du meilleur mouvement.
* Les deux parcourent *tout* l'espace;
* Mais si l'arbre est grand, l'espace est gigantesque!
. . .
* Quand on a un temps limité
* BFS explore beaucoup de coups dans un futur proche;
* DFS explore peu de coups dans un futur lointain.
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<path d="M168,-191C173,-204 185,-236 189,-249"/>
<path d="M170,-52C179,-43 200,-19 208,-10"/>
<path d="M189,-260C186,-274 176,-307 173,-321"/>
<path d="M195,-250C204,-239 226,-212 234,-202"/>
<path d="M214,-11C219,-24 233,-59 238,-72"/>
<path d="M232,-197C218,-195 185,-189 171,-187"/>
<path d="M235,-75C221,-72 185,-61 171,-58"/>
<path d="M240,-82C238,-96 235,-136 234,-150"/>
<path d="M243,-195C256,-189 287,-174 299,-168"/>
<path d="M245,-76C259,-74 298,-68 312,-66"/>
<path d="M48,-31C54,-43 70,-73 76,-85"/>
<path d="M73,-90C59,-89 25,-87 11,-86"/>
<path d="M84,-93C95,-101 124,-120 135,-128"/>
<path d="M9,-81C16,-70 34,-42 42,-31"/>
</g>
<g style="fill:blue;stroke:black;">
<circle cx="140" cy="-131" r="5.4"/>
<circle cx="166" cy="-186" r="5.4"/>
<circle cx="166" cy="-56" r="5.4"/>
<circle cx="171" cy="-326" r="5.4"/>
<circle cx="191" cy="-254" r="5.4"/>
<circle cx="205" cy="-163" r="5.4"/>
<circle cx="212" cy="-6" r="5.4"/>
<circle cx="234" cy="-156" r="5.4"/>
<circle cx="238" cy="-198" r="5.4"/>
<circle cx="240" cy="-77" r="5.4"/>
<circle cx="304" cy="-166" r="5.4"/>
<circle cx="318" cy="-65" r="5.4"/>
<circle cx="45" cy="-26" r="5.4"/>
<circle cx="6" cy="-86" r="5.4"/>
<circle cx="79" cy="-90" r="5.4"/>
</g>
</g>
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<g id="c"><path d="m6 5.7 0 89.3c46-.4 86-55.8 85.8-89.3z" fill="#eef" stroke-dasharray="1.5"/><g fill="#fff"><circle cx="18" cy="21.6" r="9.4"/><circle cx="74.6" cy="78" r="9.4"/><circle cx="74.6" cy="21.6" r="9.4"/><circle cx="18" cy="78.2" r="9.4"/></g>
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<g id="b" fill="none"><use transform="rotate(133 74.8 82)" stroke="none" xlink:href="#a"/><path d="m88.7 72.7c8-8.7 19.2-10 34.3 5.5"/>
<g transform="rotate(180 104 77.4)"><use transform="rotate(133.4 74.8 82)" stroke="none" xlink:href="#a"/><path d="m88.6 73c9-10.3 17.7-9.7 34.4 5"/></g></g>
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<g fill="none"><path d="m27.4 21.6 29.5 0"/><path d="m18 69v-30.7"/><path d="m68 28.4-38.5 38"/><path d="m84 21.6h30.8"/></g>
<g style="font-family:'Arial';-inkscape-font-specification:'Arial'" font-weight="bold" text-anchor="middle" font-size="12px" stroke="none"><text x="18" y="24.7">a</text><text x="74.4" y="26">b</text><text x="132" y="24.7">c</text><text x="189" y="24.7">d</text><text x="18" y="81.3">e</text>
<text x="74.3" y="82.6">f</text><text x="132.5" y="80">g</text><text x="188.8" y="82.5">h</text></g></g></svg>
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Created by potrace 1.16, written by Peter Selinger 2001-2019
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<path d="M6605 46644 c-824 -83 -1431 -296 -2105 -739 -258 -170 -446 -322
-684 -555 -420 -410 -740 -857 -1016 -1415 -310 -629 -486 -1237 -567 -1970
-26 -230 -26 -920 0 -1150 79 -708 252 -1321 543 -1923 203 -420 418 -756 713
-1112 113 -136 449 -475 576 -581 439 -366 966 -669 1467 -844 83 -29 107 -42
112 -59 3 -11 6 -5812 6 -12891 l0 -12870 -333 0 c-259 0 -363 -4 -472 -19
-723 -92 -1312 -312 -1935 -721 -258 -170 -446 -322 -684 -555 -420 -410 -740
-857 -1016 -1415 -310 -629 -486 -1237 -567 -1970 -26 -230 -26 -920 0 -1150
79 -708 252 -1321 543 -1923 203 -420 418 -756 713 -1112 113 -136 449 -475
576 -581 737 -615 1588 -980 2485 -1065 209 -20 681 -15 870 10 867 114 1667
470 2365 1054 128 107 463 446 576 582 730 879 1163 1958 1265 3150 20 245 15
825 -10 1044 -70 604 -195 1099 -411 1626 -90 219 -305 643 -387 762 -10 14
-18 28 -18 31 0 6 12933 8365 12952 8372 8 3 40 -38 79 -98 85 -130 225 -319
348 -467 113 -137 449 -476 576 -581 737 -615 1588 -980 2485 -1065 209 -20
681 -15 870 10 683 90 1272 307 1874 694 302 194 502 356 776 631 263 263 455
497 643 784 85 128 241 394 283 480 16 31 32 56 36 55 14 -5 12298 -8751
12304 -8760 3 -5 -29 -69 -71 -143 -444 -781 -708 -1720 -732 -2603 l-6 -212
-15653 0 -15654 0 0 -265 0 -265 15659 0 c8613 0 15662 -4 15665 -8 3 -5 12
-71 21 -148 97 -837 391 -1671 839 -2379 206 -326 409 -579 696 -866 203 -203
299 -288 485 -428 690 -521 1467 -829 2285 -907 209 -20 681 -15 870 10 867
114 1667 470 2365 1054 128 107 463 446 576 582 730 879 1163 1958 1265 3150
20 245 15 825 -10 1044 -83 723 -251 1315 -547 1924 -269 556 -574 987 -999
1413 -316 317 -551 499 -950 739 -585 352 -1311 570 -1985 598 l-160 7 -3
12546 -2 12546 97 7 c928 64 1828 438 2588 1074 128 107 463 446 576 582 730
879 1163 1958 1265 3150 20 245 15 825 -10 1044 -83 723 -251 1315 -547 1924
-269 556 -574 987 -999 1413 -262 263 -452 420 -720 594 -619 404 -1193 622
-1890 717 -145 20 -208 23 -525 23 -291 0 -387 -3 -500 -18 -728 -95 -1312
-313 -1935 -722 -258 -170 -446 -322 -684 -555 -317 -310 -570 -632 -819
-1045 -100 -166 -298 -566 -375 -760 -185 -463 -313 -961 -377 -1472 l-7 -53
-14943 0 -14943 0 -7 103 c-52 781 -237 1486 -566 2165 -199 411 -416 750
-708 1102 -113 136 -448 475 -576 582 -605 505 -1286 839 -2014 988 -290 59
-424 72 -791 75 -184 1 -353 1 -375 -1z m795 -548 c724 -103 1376 -386 1960
-852 173 -138 506 -471 642 -642 489 -614 814 -1298 988 -2077 56 -251 105
-603 112 -805 l3 -85 -42 -3 -43 -3 0 -265 0 -264 44 0 44 0 -5 -62 c-82
-1086 -450 -2043 -1101 -2860 -136 -171 -469 -504 -642 -642 -392 -313 -854
-564 -1309 -711 -249 -81 -548 -142 -813 -166 -171 -15 -616 -7 -773 15 -583
82 -1092 272 -1605 600 -280 179 -455 321 -706 571 -320 320 -549 624 -779
1039 -323 581 -525 1224 -612 1953 -25 213 -25 893 0 1106 111 927 409 1723
911 2430 260 367 640 752 991 1003 563 404 1206 657 1840 724 61 6 119 13 130
15 11 2 162 2 335 0 222 -2 349 -8 430 -19z m39290 -390 c724 -103 1376 -386
1960 -852 264 -211 609 -578 816 -871 444 -626 741 -1356 868 -2130 54 -330
61 -420 61 -853 0 -433 -7 -523 -61 -853 -127 -774 -424 -1504 -868 -2130
-207 -293 -552 -660 -816 -871 -392 -313 -854 -564 -1309 -711 -249 -81 -548
-142 -813 -166 -171 -15 -616 -7 -773 15 -583 82 -1092 272 -1605 600 -280
179 -455 321 -706 571 -320 320 -549 624 -779 1039 -323 581 -525 1224 -612
1953 -25 213 -25 893 0 1106 111 927 409 1723 911 2430 260 367 640 752 991
1003 563 404 1206 657 1840 724 61 6 119 13 130 15 11 2 162 2 335 0 222 -2
349 -8 430 -19z m-5189 -4871 c20 -814 210 -1599 565 -2333 203 -420 418 -756
713 -1112 113 -136 449 -475 576 -581 352 -294 785 -563 1175 -729 419 -180
778 -273 1288 -336 l42 -5 -2 -12566 -3 -12567 -125 -18 c-301 -43 -606 -121
-890 -228 -472 -178 -950 -459 -1355 -798 -195 -164 -518 -503 -711 -747 l-31
-39 -64 45 c-411 293 -12325 8772 -12327 8774 -1 1 22 69 52 151 169 467 276
963 322 1494 20 245 15 825 -10 1044 -83 723 -251 1315 -547 1924 -269 556
-574 987 -999 1413 -262 263 -452 420 -720 594 -619 404 -1193 622 -1890 717
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