Une fonction $f$ de façon générale est un objet qui prend un (ou plusieurs) paramètres et qui lui (leur) associent un (ou plusieurs) résultats.
\begin{equation*}
\mbox{résultat}=f(\mbox{paramètres}).
\end{equation*}
\begin{exemples}\hfill\break
\begin{enumerate}
\item La tension $U$ est une fonction de la résistance $R$ et du courant $I$
\begin{align}
U=f(R,I)=R\cdot I.
\end{align}
\item Une fonction peut être quelque chose de beaucoup plus général (qu'on ne peut pas forcément représenter simplement avec des opérateurs mathéma-tiques). Prenons le cas de la fonction qui pour un nombre entier $x$ rend le prochain entier qui commence par la même lettre que $x$.
\begin{equation}
f(2)=10,\ f(3)=13,\ ...
\end{equation}
\end{enumerate}
\end{exemples}
Dans ce cours nous allons nous intéresser à des fonctions à un seul paramètre (aussi appelé variable). Si on note la variable $x$ et le résultat $y$, de façon générale on peut écrire
\begin{equation}
y = f(x).
\end{equation}
Si par ailleurs on a une fonction $g$ et une fonction $f$, on peut effectuer des compositions de fonction, qu'on note $g\circ f$, ou encore
\begin{equation}
y=g(f(x)).
\end{equation}
\begin{exemples}\hfill\break
\begin{enumerate}
\item Soit $f(x)=2\cdot x$ et $g(x)=\sqrt{x}$, alors la composition des deux fonctions
\begin{equation}
f(g(x))=f(\sqrt{x})=2\sqrt{x}.
\end{equation}
\item On peut composer un nombre arbitraire de fonctions. Voyons le cas avec trois fonctions
$f(x)=2x^2+3$, $g(x)=\cos(2\cdot x)$, et $h(x)=1/x$
\begin{equation}
f(g(h(x)))=f(g(1/x))=f(\cos(2/x))=2\cos^2(2/x)+3.
\end{equation}
\end{enumerate}
\end{exemples}
Pour certaines fonctions, notons les $f(x)$, on peut également définir une fonction inverse
que l'on note $f^{-1}(x)$ dont la composition donne la variable de départ
\begin{equation}
f(f^{-1}(x))=x.
\end{equation}
\begin{exemples}\hfill\break
\begin{enumerate}
\item Soient $f(x)=2\cdot x$ et $f^{-1}(x)=x/2$, alors la composition des deux fonctions
\begin{equation}
f(f^{-1}(x))=f(x/2)=2x/2=x.
\end{equation}
\item Soient $f(x)=x^2$ et $f^{-1}(x)=\sqrt{x}$, alors la composition des deux fonctions
\begin{equation}
f(f^{-1}(x))=f(\sqrt{x})=|x|.
\end{equation}
On a donc que $\sqrt{x}$ est l'inverse de $x^2$ uniquement pour les réels positifs. $f(x)=x^2$ n'a pas d'inverse pour les $x$ négatifs.
\end{enumerate}
\end{exemples}
\section{Domaine de définition}
\noindent
\begin{definition}
Le domaine de définition, noté $D\subseteq\real$, d'une fonction $f$, est l'ensemble
de valeurs où $f$ admet une image.
\end{definition}
\begin{exemples}\hfill\break
\begin{enumerate}
\item Le domaine de définition de $f(x)=x$ est $D=\real$.
\item Le domaine de définition de $f(x)=1/x$ est $D=\real^\ast$.
\item Le domaine de définition de $f(x)=\sqrt{x+1}/(x-10)$ est $D=[-1;10[\cup]10;\infty[$.
\end{enumerate}
\end{exemples}
\section{Limites}
Soit $f$ une fonction et $D\subseteq\real$ non-vide et non réduit à un point et soient $a$ et $b$ deux réels.
\subsection{Limite}
\begin{definition}
Pour $f$ définie en $D$, sauf peut-être en $a$, on dit que $b$ est la
limite de $x$ en $a$ si $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=b$. C'est-à-dire si on a un
voisinage de $b$ qui contient toutes la valeurs de $f(x)$ pour $x$ proche de $a$.
\end{definition}
\begin{remarque}
Si $f$ est définie en $a$ alors on a $\lim\limits_{x\rightarrow a}=f(a)$.
\end{remarque}
\begin{exemples}
\begin{enumerate}
\item Si $f(x)=x$, alors $\lim\limits_{x\rightarrow0}f(x)=0$.
\end{enumerate}
\end{exemples}
\begin{definition}
Pour $f$ définie en $D$, sauf peut-être en $a$, et $c$ un réel positif.
On dit que la limite de $f(x)$ en $a$ tend vers l'infini si
l'intervalle $[c;\infty[$ contient toutes les valeurs de $f(x)$ pour $x$ proche de $a$.
\end{definition}
\begin{exemples}
\begin{enumerate}
\item Si $f(x)=1/x^2$, alors $\lim\limits_{x\rightarrow0}f(x)=\infty$.
\end{enumerate}
\end{exemples}
\subsection{Limite à gauche, limite à droite}
Pour certaines fonctions, il est possible que le comportement
de celles-ci soit différent selon qu'on approche
par la gauche ou par la droite (i.e. $f(x)=1/x$).
On note la limite à droite $\lim\limits{x\rightarrow a^+} f(x)$ ou
$\lim\limits_{x\rightarrow a,x>a} f(x)$ et $\lim\limits{x\rightarrow a^-} f(x)$ ou
$\lim\limits_{x\rightarrow a,x<a} f(x)$ la limite à gauche de la fonction $f$ en $a$.
Si la fonction $f$ admet une limite en $a$, alors les deux limites doivent être égales.
\begin{exemples}
\begin{enumerate}
\item Si $f(x)=1/x$, alors $\lim\limits_{x\rightarrow0^+} f(x)=\infty$ et $\lim\limits_{x\rightarrow0^-} f(x)=-\infty$.
\end{enumerate}
\end{exemples}
\subsection{Asymptotes}
Dans certains cas il peut être intéressant d'étudier le comportement des fonctions quand $x\rightarrow\pm\infty$.
Dans ces cas-là on dit qu'on s'intéresse au comportement \textit{asymptotique} d'une fonction. Ce concept est particulièrement
relevant quand on étudie une fonction que a la forme d'une fraction
\begin{equation}
h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}.
\end{equation}
Si on s'intéresse au comportement à l'infini de cette fonction on va prendre sa ``limite'' lorsque $x\rightarrow\infty$
\begin{definition} Si $f$ est dérivable en tout point de $D=]a;b[$, alors on définit
$f'$ la fonction dérivée de $f$ dans l'intervalle $D$ qui associe en tout point $x$ de
$D$ la valeur dérivée de $f$.
\end{definition}
\begin{proprietes}
Si $f$ est dérivable en $a$ alors $f$ est continue en $a$.
\end{proprietes}
\begin{proprietes}
Soient $f$ et $g$ deux fonctions dérivables (dont les dérivées sont $f'$ et $g'$), et $a\in\real$, alors
\begin{enumerate}
\item$(f+g)'=f'+g'$.
\item$(af)'=a f'$.
\item$(f\cdot g)'=f'g+fg'$.
\item Si $g$ ne s'annule pas $(f/g)'=(f'g-fg')/g^2$.
\item$(g\circ f)'=(g'\circ f)\cdot f'$.
\end{enumerate}
\end{proprietes}
Il existe quelques dérivées importantes que nous allons utiliser régulièrement dans la suite de ce cours.
En supposons que $C\in\real$, nous avons
\begin{enumerate}
\item$f(x)=x^n$, $f'(x)=nx^{n-1}$ .
\item$f(x)=e^{C x}$, $f'(x)=Ce^{Cx}$.
\item$f(x)=\ln(x)$, $f'(x)=\frac{1}{x}$.
\item$f(x)=C, $f'(x)=0.
\item$f(x)=\sin(x)$, $f'(x)=\cos(x)$.
\item$f(x)=\cos(x)$, $f'(x)=-\sin(x$).
\end{enumerate}
\begin{definition}
Si $f'$ est dérivable sur $D$, alors sa dérivée, notée $f''$, est appelée la dérivée seconde de $f$.
\end{definition}
\subsection{Variation des fonctions}
\begin{proprietes} Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $D$
\begin{enumerate}
\item Si $f'>0$ sur $D$, alors $f$ est croissante sur $D$.
\item Si $f'<0$ sur $D$, alors $f$ est décroissante sur $D$.
\item Si $f'=0$ sur $D$, alors $f$ est constante sur $D$.
\end{enumerate}
\end{proprietes}
\begin{definition}
Une fonction admet un maximum local (respectivement minimum local)
sur un intervalle $D=]a;b[$ s'il existe un $x_0$ tel que $f(x_0)\geq f(x)$ (respectivement $f(x_0)\leq f(x)$) pour tout $x\in D$.
\end{definition}
\begin{proprietes}
Soit $f$ une fonction dérivable sur $D=]a;b[$ et $x_0\in D$. Si $f$ admet
un maximum ou un minimum en $x_0$ alors $f'(x_0)=0$. De plus si
$f'(x_0)=0$ et $f'$ change de signe en $x_0$ alors $f(x_0)$ est un maximum ou un minimum de $f$.
\end{proprietes}
\section{Etude de fonction}
Effectuer l'étude de fonction de la fonction suivante
\begin{equation}
f(x)=\frac{x^3}{x^2-4}.
\end{equation}
\begin{enumerate}
\item Déterminer le domaine de définition.
\item Déterminer la parité de la fonction. Rappel:
\begin{align}
f(-x)&=f(x),\ \mbox{paire},\\
f(-x)&=-f(x),\ \mbox{impaire}.
\end{align}
\item Trouver les zéros de la fonction (Indication: trouver les $x$ tels que $f(x)=0$).
\item Trouver les éventuelles asymptotes verticales ou disconsinuités, ainsi que les asymptotes affines.
\item Caluler $f'(x)$ et déterminer sa croissance et points critiques (déterminer où la fonction est croissante, décroissante, atteint un extremum, etc).
\item Faire un croquis de $f(x)$.
\end{enumerate}
\chapter{Intégrales}
\section{Interprétation géométrique}
Dans ce chapitre nous nous intéressons au calcul d'aires sous une fonction $f$.
La fonction $f$ satisfait les hypothèses suivantes.
\begin{enumerate}
\item$f(x)$ est bornée dans l'intervalle $[a,b]\in\real$.
\item$f(x)$ est continue presque partout.
\end{enumerate}
Nous définissions également l'infimum de $f$ sur un intervalle $[x_0,x_1]$, noté
\begin{equation*}
\inf\limits_{[x_0,x_1]} f(x)
\end{equation*}
comme étant la valeur bornant par dessous toutes les valeurs prises par $f(x)$ dans l'intervalle $[x_0,x_1]$. Le suprémum sur un intervalle $[x_0,x_1]$, noté
\begin{equation*}
\sup\limits_{[x_0,x_1]} f(x)
\end{equation*}
comme étant la valeur bornant par dessus toutes les valeurs prises par $f(x)$ dans l'intervalle $[x_0,x_1]$.
Finalement nous définissons une subdivision
\begin{equation*}
\Delta_n=\{a=x_0<x_1<...<x_{n-1}<x_{n}=b\}
\end{equation*}
est une suite finie contenant $n$ termes dans $[a,b]$.
On peut à présent approximer l'aire sous la fonction $f(x)$ dans l'intervalle $[a,b]$
de deux façon:
\begin{enumerate}
\item$A^i(n)=\sum_{i=0}^{n-1}\inf\limits_{[x_i,x_{i+1}]} f(x)(x_{i+1}-x_i)$ comme étant l'aire inférieure.
\item$A^s(n)=\sum_{i=0}^{n-1}\sup\limits_{[x_i,x_{i+1}]} f(x)(x_{i+1}-x_i)$ comme étant l'aire supérieure.
\end{enumerate}
L'aire de sous la fonction $f(x)$ est donnée par la limite pour $n\rightarrow\infty$
de $A^i$ ou $A^s$ (si elle existe).
\begin{remarque}\hfill\break
\begin{enumerate}
\item Ces sommes peuvent être positives ou négatives en fonction du signe de $f$.
\item Une implantation informatique est immédiate.
\end{enumerate}
\end{remarque}
\begin{definition}[Intégrabilité au sens de Riemann]
Une fonction est dite intégrable au sens de Riemann si
Dans la formule $\int_a^b f(x)\dd x$ Ici $x$ est appelée variable d'intégration,
$a$ et $b$ sont les bornes d'intégration. Pour des raisons de consistance dans les notations la variable d'intégration ne peut être désignée avec le même symbole qu'une des bornes d'intégration.
\begin{exemples}Intégration de $f(x)=x$ dans intervalle $[0,1]$.
Il est trivial de calculer
que cette aire vaut $1/2$ (c'est l'aire d'un triangle rectangle de côté 1). Néanmoins, évaluons également cette aire à l'aide de $A^i$ et $A^s$. Commençons par subdiviser $[0,1]$ en $n$ intervalles égaux de longueur
$\delta=1/n$. Comme $f(x)$ est strictement croissante, on a que
$\inf\limits_{[x_i,x_{i+1}]}f(x)=f(x_i)$ et que $\sup\limits_{[x_i,x_{i+1}]}f(x)=f(x_{i+1})$. On a donc que
\item$A^s(n)=\delta\sum_{i=0}^{n-1} x_i=\delta\sum_{i=0}^{n-1}\frac{i+1}{n}=\delta\sum_{i=0}^{n}\frac{i}{n}=\frac{n(n+1)}{2n^2}=\frac{n+1}{2n}$. Et donc en prenant la limite pour $n\rightarrow\infty$ il vient
Supposons que nous ayons une fonction, $x(t)$, qui donne la position d'un objet pour un intervalle
de temps $t\in[a,b]$. Nous pouvons aisément en déduire la vitesse $v(t)$ de l'objet, comme étant la variation
de $x(t)$ pour tout $t$. Autrement dit $v(t)=x'(t)$.
Supposons à présent que nous ne connaissions que la vitesse $v(t)$ de notre objet. Afin de déduire sa position
nous prendrions un certain nombre d'intervalles de temps $\delta t_i=t_{i+1}-t_i$ que nous multiplierions
par $v(t_i)$ afin de retrouver la distance parcourue pendant l'intervalle $\delta t_i$
et ainsi de suite. Afin d'améliorer l'approximation de la distance parcourue
nous diminuerions la valeur de $\delta t_i$ jusqu'à ce que $\delta t_i\rightarrow0$.
Nous voyons donc que cette méthode, n'est autre qu'une façon ``intuitive'' d'intégrer la vitesse afin de trouver la position.
Et que donc l'intégrale et la dérivée sont étroitement liée. La vitesse étant la dérivée de la position et la position étant l'intégrale de la vitesse.
\section{Primitive}
Si maintenant nous essayons de généraliser le calcul de l'intégrale d'une fonction,
il s'avère que le calcul d'une intégrale est l'inverse du calcul d'une dérivée.
\begin{definition}[Primitive]
Soit $f$ une fonction. On dit que $F$ est la primitive de $f$ sur l'intervalle $D\subseteq\real$ si $F'(x)=f(x)$$\forall x\in D$.
\end{definition}
Si $F$ est une primitive de $f$, alors on peut définir la fonction $G$ telle que $G(x)=F(x)+C$, $\forall C\in\real$
qui est aussi une primitive de $f$. On dit donc que la primitive de $f$ est définie à une constante additive près. En effet,
si $F'=f$ on a
\begin{equation}
G'=F'+\underbrace{C'}_{=0}=F'=f.
\end{equation}
\begin{theoreme}[Unicité]
S'il existe $a\in D$ et $b\in\real$ alors il existe une unique primitive
$F$ telle que $F(a)=b$.
\end{theoreme}
\begin{exemple}
Soit $f(x)=x$, alors l'ensemble de primitives correspondantes est $G=x^2/2+C$. Si nous cherchons la
primitive telle que $G(0)=0$, il vient que $C=0$ et donc la primitive est unique et vaut
$F(x)=x^2/2$.
\end{exemple}
\begin{exercices}
Calculez les primitives suivantes (\textit{Indication: Il s'agit de trouver les fonctions $F(x)$ telles que $F'(x)=f(x)$}):
\begin{enumerate}
\item$f(x)=\int x^2\dd x$.
\item$f(x)=\int x^n\dd x$, $n\in\real^*$.
\item$f(x)=\int\sqrt{x}\dd x$.
\item$f(x)=\int\frac{1}{x}\dd x$.
\item$f(x)=\int\exp(x)\dd x$.
\item$f(x)=\int\sin(x)\dd x$.
\end{enumerate}
\end{exercices}
\begin{definition}\label{def_prim}
En définissant à présent l'intégrale à l'aide de la notion de primitive, nous avons
que pour $a,b\in\real$ et $a<b$
\begin{equation}
\int_a^b f(x)\dd x=\left.F\right|_a^b=F(b)-F(a).
\end{equation}
\end{definition}
On dit que $x$ est la variable d'intégration. Elle est dite ``muette'' car elle disparaît après que l'intégrale ait été effectuée.
On peut donc écrire l'équation ci-dessus de façon équivalente en remplaçant le symbole $x$ par n'importe quelle autre lettre (sauf $a,b,f,F$).
\begin{remarque}
On notera que la constante additive $C$ a disparu de cette formule. En effet, remplaçons $F$ par $G=F+C$, il vient
Calculer les primitives suivantes par changement de variable
\begin{enumerate}
\item$\int\frac{1}{5x-7}\dd x$
\item$\int\sin(3-7x)\dd x$
\item$\int x e^{x^2}\dd x$
\end{enumerate}
\end{exercices}
\section{Intégration numérique}
Dans certains cas, il est impossible d'évaluer analytiquement une intégrale ou alors elle est très compliquée à calculer.
Dans ce cas, on va approximer l'intégrale et donc commettre une erreur.
Pour ce faire on va subdiviser l'espace d'intégration $[a,b]$ en $N$ pas équidistants (pour simplifier) $\delta x=(a-b)/N$,
et approximer l'intégrale par une somme finie
\begin{equation}
\int_a^bf(x)\dd x=\sum_{i=0}^{N-1}\delta x f(a+i\delta x) g_i+E(a,b,\delta x)\cong\sum_{i=0}^{N-1}\delta x f(a+i\delta x) g_i,
\end{equation}
où $g_i$ est un coefficient qui va dépendre de la méthode d'intégration
que nous allons utiliser, $E$ est l'erreur commise par l'intégration numérique et va dépendre des bornes d'intégration,
de $\delta x$ (du nombre de pas d'intégration), de la forme de $f(x)$ (combien est est ``gentille'') et finalement de
la méthode d'intégration.
D'une façon générale plus $\delta x$ est petit ($N$ est grand) plus l'erreur sera petite et donc l'intégration sera précise
(et plus le calcul sera long).
Néanmoins, comme la précision des machines sur lesquelles nous évaluons les intégrale est finie, si $\delta x$ devient
proche de la précision de la machine des erreurs d'arrondi vont dégrader dramatiquement la précision de l'intégration.
\begin{remarque}
De façon générale il est difficile de connaître à l'avance la valeur exacte de $E$. En revanche on est
en capable de déterminer \textbf{l'ordre} de l'erreur.
\end{remarque}
\begin{definition}[Ordre d'une méthode]
On dit qu'une méthode d'intégration est d'ordre $k$, si l'erreur commise par la méthode varie
proportionnellement à $\delta x^k$. On note qu'une erreur est d'ordre $k$ par le symbole $\mathcal{O}(\delta x^k)$. Exemple: si une méthode est d'ordre deux, alors en diminuant
$\delta x$ d'un facteur $2$, l'erreur sera elle divisée par $2^2=4$.
\end{definition}
Comme le calcul d'une intégrale de façon numérique ne donne en général pas un résultat exact, mais
un résultat qui va dépendre d'un certain nombre de paramètres utilisés pour l'intégration, il faut
définir un critère qui va nous dire si notre intégrale est calculée avec une précision suffisante.
Une façon de faire est de calculer l'intégrale $I$ avec $N$ subdivisions, puis
de refaire le calcul avec $2N$ subdivisions. En se donnant un nombre $\varepsilon>0$ (et mais plus grand que la précision de la machine),
Imaginons que le taux de reproduction $r=1/3600 s^{-1}$, que la population à un temps donné $t_0$ est de $n(t_0)=1000$, et qu'on veuille connaître la population après
Imaginons maintenant que nous voulions calculer la population après $\delta t=2h=7200s$. Nous avons deux façons de faire.
Soit nous utilisons le résultat précédent $n(t_1)=2000$ avec $t_1=t_0+3600$ et évaluons la population après une heure supplémentaire ($\delta t_1=3600s$)
Le terme $(1)$ représente la reproduction des antilopes avec taux $k_a$. Le terme $(2)$ représente la mort des antilopes qui se font manger par les guépards
avec un taux $k_{g,a}$ (la chance qu'un guépard rencontre une antilope).
Le terme $(3)$ est la mort des guépards avec un taux $k_g$. Finalement le terme $(4)$ est la reproduction des guépards proportionnelle au nombre d'antilopes
avec un taux $k_{a,g}$.
Nous avons à faire ici à un système d'équations différentielles. Nous n'allons pas nous intéresser à la résolution
de ce système mais simplement étudier la solution à ce problème (voir Fig.~\ref{fig_lk}).
Dans cette section, nous allons étudier des cas particuliers d'équations différentielles que nous savons résoudre.
Cela sera toujours des équations linéaires.
De façon générale ces équations s'écrivent
\begin{equation}
a(x)y''(x)+b(x)y'(x)+c(x)y(x)=d(x),
\end{equation}
où $a,b,c,d:\real\rightarrow\real$ sont des fonctions réelles. Avant de résoudre l'équation générale, nous
allons considérer des plus simples.
\subsection{EDO d'ordre deux à coefficients constants homogènes}
Ce genre d'équations s'écrit sous la forme
\begin{equation}
a y''(x)+by'(x)+cy(x)=0.\label{eq_edo2_cch}
\end{equation}
Voyons maintenant comment résoudre cette équation.
Ces équations ont des propriétés intéressantes dûes à la linéarité
de l'équation différentielle.
\begin{proprietes}
Ces propriétés sont à démontrer en exercice.
\begin{enumerate}
\item Soit $f(x)$ une solution de l'équation \eqref{eq_edo2_cch}, alors on a aussi que pour $C\in\real$$Cf(x)$ est également solution de \eqref{eq_edo2_cch}.
\item Soient $f(x)$ et $g(x)$ deux solutions de l'équation \eqref{eq_edo2_cch}, alors on a aussi que pour $h(x)=f(x)+g(x)$ est également solution de \eqref{eq_edo2_cch}.
\item De ces deux propriétés, on déduit la propriété suivante. Soient $f(x)$ et $g(x)$ deux solutions de l'équation \eqref{eq_edo2_cch}, et $C_1,C_2\in\real$, alors on a que $h(x)=C_1f(x)+C_2g(x)$ sont solution de l'équation \eqref{eq_edo2_cch}.
\end{enumerate}
\end{proprietes}
Afin de simplifier la discussion prenons une EDO d'ordre deux à coefficients constants particulière
\begin{equation}
y''+3y'+2y=0.\label{eq_edo2_ex}
\end{equation}
On va supposer que cette équation a pour solution
une fonction de la forme $y(x)=e^{\lambda x}$. Substituons cette
forme de solution dans l'équation de départ, on obtient
où on a utilisé que $e^{\lambda x}$ ne peut jamais s'annuler pour le simplifier entre les deux lignes. La seconde ligne ci-dessus, s'appelle le polynôme caractéristique de notre EDO d'ordre 2.
Il nous reste à présent à déterminer $\lambda$ ce qui est un simple problème d'algèbre.
Le polynome ci-dessus se factorise simplement en
\begin{equation}
(\lambda+1)(\lambda+2)=0,
\end{equation}
on a donc pour solution $\lambda=-1$, et $\lambda=-2$.
On a donc immédiatement deux solutions à notre équation différentielle
\begin{equation}
y_1(x)=e^{-x},\quad y_2(x)=e^{-2x}.
\end{equation}
On vérifie aisément que ces deux équations vérifient l'équation \eqref{eq_edo2_ex}.
Précédemment, nous avons vu que la linéarité de ces équations différentielles, faisait
qu'on pouvait contrsuire des solutions plus générales. En effet, on peut montrer que
la solution la plus générale à cette EDO est
\begin{equation}
y(x)=C_1 y_1(x)+C_2y_2(x)=C_1e^{-x}+C_2e^{-2x}.
\end{equation}
On constate qu'il y a deux constantes à déterminer pour avoir une solution unique.
Pour ce faire il faudra donner deux conditions initiales. Une sur $y(x)$ et une sur $y'(x)$.
Par exemple on pourrait avoir $y(0)=1$ et $y'(0)=0$ et on obtient
\begin{align}
C_1+C_2&=1,\\
-C_1-2C_2&=0.
\end{align}
Ce système d'équations ordinaires a pour solution
\begin{equation}
C_1=2,\quad C_2=-1.
\end{equation}
On a donc finalement
\begin{equation}
y(x)=2e^{-x}-e^{-2x}.
\end{equation}
A présent, nous pouvons généraliser cette méthode pour l'équation \eqref{eq_edo2_cch}
\begin{equation}
a y''(x)+by'(x)+cy(x)=0.
\end{equation}
En faisans la même subsitution que précédemment, $y=e^{\lambda x}$, on a
\begin{align}
&a y''(x)+by'(x)+cy(x)=0,\\
&a \lambda^2+\lambda b+c=0.
\end{align}
L'équation ci-dessus doit être résolue pour $\lambda$. Nous savons comment résoudre
ce genre d'équation du second degré. La solution est donnée par
\begin{equation}
\lambda=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a},
\end{equation}
où $\Delta= b^2-4ac$. On a donc deux solutions
\begin{align}
\lambda_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a},\\
\lambda_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}.
\end{align}
Il y a donc trois cas différents possibles: $\Delta > 0$, $\Delta=0$, $\Delta < 0$.
\subsubsection{Le cas $\Delta>0$}
Dans ce cas, on a que $\lambda_1,\lambda_2\in\real$ sont réels.
La solution est donc donnée par (comme on l'a vu au paravent)
\begin{equation}
y(x)=C_1e^{\lambda_1 x}+C_2e^{\lambda_2 x}.
\end{equation}
\subsubsection{Le cas $\Delta=0$}
Dans ce cas, on a que $\lambda_1=\lambda_2=\lambda=-b/(2a)$ et est réel. Dans ce cas-là
les choses se compliquent un peu. Si on utilisait directement la formule ci-dessus,
on aurait
\begin{equation*}
y(x)=Ce^{\lambda x},
\end{equation*}
avec $C\in\real$. Par contre, cette solution ne peut pas satisfaire
deux conditions initiales comme nous avons vu précédemment. Il fau donc
travailler un peu plus. Supposons que $y(x)$ est donné par la fonction suivante
\begin{equation}
y(x)=z(x)e^{\lambda x},
\end{equation}
avec $z(x)$ une fonction réelle. En substituant cela dans l'équation générale, on a
\begin{equation}
az''+(2\lambda a+b)z'+(a\lambda^2+b\lambda+c)z=0.
\end{equation}
En utilant que $\lambda=-b/(2a)$ et $\Delta=0$ il vient
\begin{equation}
z''=0.
\end{equation}
La solution de cette équation est
\begin{equation}
z=C_1+xC_2.
\end{equation}
On obtient donc comme solution générale de l'équation différentielle
\begin{equation}
y(x)=(C_1+C_2 x)e^{\lambda x}.
\end{equation}
\subsubsection{Le cas $\Delta<0$}
Dans ce cas-là, on a deux solutions complexes (la racine d'une nombre négative
n'est pas réelle). Les racines sont de la forme
\begin{align}
\lambda_1=\frac{-b+i\sqrt{|b^2-4ac|}}{2a},
\lambda_2=\frac{-b-i\sqrt{|b^2-4ac|}}{2a},
\end{align}
où $i$ est le nombre imaginaire. En écrivant $u=-b/(2a)$ et $v=\sqrt{|b^2-4ac|}/(2a)$, on peut écrire $\lambda_1=u+iv$ et $\lambda_2=u-iv$. On a donc que
$\lambda_2$ est le complexe conjugué de $\lambda_1$, ou $\lambda_1=\bar{\lambda}_2$. En utilisant ces notations dans
notre exponentielle, on a
\begin{align}
y_1&=e^{(u+iv)x}=e^{ux}e^{ivx},\\
y_2&=e^{(u-iv)x}=e^{ux}e^{-ivx}.
\end{align}
En se rappelant de la linéarité des solutions des EDO linéaires,
on peut écrire la forme générale de la solution comme ($C_1,C_2\in\real$)
où $t_i=t_0+i\cdot\delta t$ et $y_i=y(t_i)$. Le deuxième terme du membre de droite de cette équation est la même que la formule d'intégration
en plusieurs pas pour la méthode du rectangle (voir l'équation \eqref{eq_rect_gauche}). On a vu que cette méthode a une erreur d'ordre $\delta t$.
On peut en conclure que l'erreur que la précision de la méthode d'Euler est également d'ordre $\mathcal{O}(\delta t)$.
\subsection{Méthode de résolution: la méthode de Verlet}
Cette méthode d'intégration est utilisée pour l'intégration numérique d'EDO d'ordre
deux avec une forme particulière qui est donnée par
\begin{equation}
x''(t)=a(x(t)),\label{eq_x2}
\end{equation}
où $F$ est une fonction de $x(t)$. On a également les conditions initiales
$x(t_0)=x_0$ et $x'(t_0)=v_0$. Cette forme d'équation différentielle
est bien connue en physique sous la forme $\vec F=m\vec a$, qui peut s'écrire
\begin{align}
&\vec{F}=m \vec a(t)=m \vec x''(t),\nonumber\\
&\frac{\vec{F}}{m}= \vec x''(t),
\end{align}
qui est de la forme de l'EDO de départ de l'équation \eqref{eq_x2}. La force peut
avoir différentes forme. Cela peut être la forme de gravité $\vec F=m \vec g$, de
frottement $\vec F=-\zeta\vec v=-\zeta x'(t)$, etc ou une combinaison de toutes ces forces.
Dans la section précédente, nous avons vu l'algorithme d'Euler pour résoudre des EDO.
Cette méthode a pour avantage sa simplicité de codage, son faible coût de calcul, mais
a pour désavantage son manque de précision. Dans un certain nombres d'applications, telles
que les moteurs physiques pour les graphismes dans les jeux vidéos, ce manque de précision
est inacceptable et une meilleure méthode doit être utilisée. Dans le TP vous avez vu les
méthodes de Runge-Kutta. Ces méthodes améliorent la précision de façon spectaculaire, mais
ont en général un coû de calcul trop élevé.
La méthode de Verlet qu'on va voir ci-dessous est augmente combine un faible coût de calcul
et une amélioration notable de la précision. Elle est en effet très répandue dans l'industrie du jeu vidéo pour intégrer les équations différentielles omniprésentes dans les moteurs physiques.
La méthode de Verlet s'écrit (en utilisant les notations de la section précédente)
\begin{equation}
x(t_{n+1})=x(t_n)+\delta t v(t_n)+\frac{1}{2}\delta t^2 a(x(t_n)).\label{eq_verlet_gen}
\end{equation}
Considérons d'abord le terme $v(t_n)$. Ce terme est approximé ici comme
\begin{equation}
v(t_n) = \frac{x(t_{n+1})-x(t_{n-1})}{2\delta t}.
\end{equation}
En remplaçant cette approximation dans l'équation ci-dessus, il vient
\caption{Représentation de la somme de deux nombres complexes $z_1=a+ib$ et $z_2=c+id$. Le résultat est donné par $z_3=a+b+i(c+d)$.}\label{fig_complexPlaneSum}
\end{figure}
Pour la multiplication cela s'avère un peu plus difficile à interpréter. Pour cela
il est plus simple de passer par une représentation via des sinus et des cosinus (en coordonnées cylindriques)
des nombres complexes (voir la figure \ref{fig_complexPlaneCyl}.
Ici nous introduisons de façon très simplifiée les concepts d'espaces vectoriels et certaines notions
d'algèbre linéaire. Pour ce faire nous allons considérer un ensemble $V$, sous ensemble d'un espace plus grand $E$ (muni d'une addition et d'une multiplication).
Dans notre cas $E$ sera $\real$ ou $\complex$ principalement.
\begin{definition}[Espace vectoriel]
On appelle espace vectoriel sur $E$, un ensemble $V$, dont les éléments appelés vecteur et notés $v$, sont
sont munis des opérations opérations $+$ (l'addition) et $\cdot$ (la multiplication par un scalaire) ont les propriétés suivantes
\pagebreak
\begin{itemize}
\item[$+$:$V\times V\rightarrow V$]\ \hfill\break
\begin{enumerate}
\item L'addition est associative et commutative. Soient $u,v,w\in V$, alors
\begin{equation}
u+v=v+u,\quad\mbox{ et }\quad (u+v)+w=u+(v+w).
\end{equation}
\item L'addition admet un élément neutre additif, noté $0_V$, tel que
En remplaçant cette relation dans l'équation ci-dessus\footnote{Cette relation est l'équivalent des relations d'orthogonalité entre sinus et cosinus que nous avons calculées tout à l'heure.},
Calculer les transformées de Fourier (inverses quand c'est approprié)
en temps discret des fonctions suivantes
\begin{enumerate}
\item Le pulse symétrique
\begin{equation}
\fh(\omega)=\left\{\begin{array}{ll}
1,&\mbox{ si }-\omega_c<\omega<\omega_c\\
0,&\mbox{ sinon.}
\end{array}\right.
\end{equation}
\item Le pulse discret
\begin{equation}
f[n]=\left\{\begin{array}{ll}
1,&\mbox{ si }n=0\\
0,&\mbox{ sinon.}
\end{array}\right.
\end{equation}
\end{enumerate}
\end{exercice}
Il est intéressant de noter qu'on peut représenter une suite discrète et infinie de points
par une fonction continue et périodique.
\section{La transformée de Fourier discrète}
\subsection{Motivation}
Pourquoi avons-nous besoin d'encore une transformée de Fourier? Nous avons déjà vu
la transformée de Fourier de fonctions périodiques, de fonctions non-périodiques,
ainsi que de fonctions à temps discret. Néanmoins, même dans le cas de la transformée de Fourier
à temps discret, la transformée de Fourier est une fonction continue. Cela n'est évidemment
pas pratique ni même utilisable dans un ordinateur. C'est pourquoi il est nécessaire
de définir une transformée de Fourier discrète qui aura les propriétés suivantes
\begin{enumerate}
\item Elle transformera un signal discret de longueur finie.
\item La transformée de Fourier sera discrète et de longueur finie.
\end{enumerate}
\subsection{Applications}
Avant de voir en détail comment on calcule la transformée de Fourier discrète,
on peut discuter quelle est son application. La TFD est utilisée tout le temps en traitement du signal.
En gros c'est une approximation de la transformée de Fourier à temps discret. A chaque fois qu'on désire connaître le comportement d'une fonction dans l'espace spectrale, on utilisera la TFD. Un exemple typique
est l'application pour téléphones portables Shazam que vous connaissez sans doute. Le but de cette application est l'identification de chansons. Elle fonctionne de la façon suivante. Dans un premier temps elle enregistre un signal sonore. Puis avec ce signal sonore elle crée un spectrogramme (une sorte d'emprunte digitale de la chanson) qui est obtenu à l'aide de TFD. Finalement le spectrogramme est comparé avec une base de donnée de spectrogrammes et la chanson peut ainsi être identifiée. Une autre application est le filtrage de signaux. Comme vous l'avez vu (ou verrez) dans les travaux pratiques,
la TFD rend très simple le filtrage de fréquences (ou de bande de fréquences). En effet, il suffit d'ôter de la TFD d'un signal les amplitudes voulues et d'effectuer la transformée de Fourier discrète inverse (TFDI) du signal filtré. Ce genre d'applications est très utilisé dans le domaine de la compression
de données (jpg, mp3, ...).
\subsection{La transformée de Fourier discrète à proprement parler}
Soit $f[n]$ un séquence de points $N$ points, $n=0..N-1$.
Pour se ramener au cas de la transformée de
Fourier à temps discret, on peut aussi se dire qu'on a une séquence
infinie de points, mais où $f[n]=0$, pour $n\geq N$.
On dit qu'on a $N$ échantillons de $f$.
Avec cette définition il est simple de calculer la transformée de Fourier à temps discret
Puis les transformées de Fourier discrètes de chacune de ces sous-suites sont calculées
et combinées pour avoir la transformée de Fourier du signal en entier. En fait on va
appliquer cette décomposition de façon récursive sur chacune des deux parties. On fait donc
l'hypothèse que la longueur du signal est une puissance de 2. Ce n'est en pratique pas un problème, car on peut facilement rajouter des ``zéros'' dans notre signal pour
avoir un signal d'une longueur d'une puissance de 2.
Commençons donc par réécrire la transformée de Fourier $\fh[k]$ lorsqu'on a décomposé le
signal en deux sous-signaux
\begin{align}
f[k]&=\sum_{m=0}^{N/2-1} f[2m]e^{-\frac{2\pi i (2m) k}{N}}+\sum_{m=0}^{N/2-1}
f[2m+1]e^{-\frac{2\pi i (2m+1) k}{N}},\nonumber\\
&=\sum_{m=0}^{N/2-1} f[2m]e^{-\frac{2\pi i m k}{N/2}}+e^{-\frac{2\pi i k}{N}}\sum_{m=0}^{N/2-1} f[2m+1]e^{-\frac{2\pi i m k}{N/2}},\nonumber\\
&=\hat{p}[k]+e^{-\frac{2\pi i k}{N}}\hat{j}[k],
\end{align}
où nous avons défini les transformées de Fourier discrètes des parties paires et impaires
$p[k]$ et $\hat{j}[k]$
\begin{align}
\hat{p}[k]&=\sum_{m=0}^{N/2-1} f[2m]e^{-\frac{2\pi i m k}{N/2}},\\
\hat{j}[k]&=\sum_{m=0}^{N/2-1} f[2m+1]e^{-\frac{2\pi i m k}{N/2}}.
\end{align}
La transformée de Fourier discrète étant périodique (comme l'est la transformée de Fourier à
temps discret), nous avons les propriétés suivantes
\begin{align}
\hat{p}[k]&=\hat{p}[k+N/2],\\
\hat{j}[k]&=\hat{j}[k+N/2].
\end{align}
De plus, nous avons que
\begin{equation}
e^{-\frac{2\pi i (k+N/2)}{N}}=e^{-\pi i}e^{-\frac{2\pi i k}{N}}=-e^{-\frac{2\pi i k}{N}}.
\end{equation}
Avec ces propriétés il est aisé de réécrire
\begin{equation}
\fh[k]=\left\{\begin{array}{ll}
\hat{p}[k]+e^{-\frac{2\pi i k}{N}}\hat{j}[k],&\mbox{ si }0\leq k<N/2\\
\hat{p}[k]-e^{-\frac{2\pi i k}{N}}\hat{j}[k],&\mbox{ si }N/2\leq k<N
\end{array}\right.
\end{equation}
On a donc réduit le nombre de calculs nécessaires pour calculer $\fh[k]$ d'un facteur 2.
En continuant cette procédure jusqu'à $N=2$ on peut montrer qu'on réduit la complexité
algorithmique à $N\log N$ (mais on ne le démontrera pas dans ce cours).
\subsection{Fréquence d'échantillonage}
Une question primordiale dans le calcul des transformée de Fourier (ou de l'analyse spectrale plus généralement)
est la question de l'échantillonage du signal que nous souhaitons analyser. Dans le monde réel
un signal sonore, une image,... est considéré comme une quantité continue (il est représentée par
une infinité de valeur). Lorsque nous souhaitons faire une analyse spectrale sur un ordinateur de ce signal, il est nécessaire
de le digitaliser: de le rendre discret. Dès lors une question très importante est de savoir quelle est la fréquence
à laquelle on va enregistrer les valeurs de notre suite temporelle afin de garder toute l'information contenue
dans le signal original.
En termes mathématiques, nous avons un signal $f(t)$ que nous enregistrons entre $t_0$ et $t_{N-1}$.
Nous voulons le transformer en un signal de longueur $N$ finie, $f(t_n)$ avec $0\leq n \leq N-1$
afin de pouvoir le représenter sur un support numérique. Pour simplifier on va supposer
que l'enregistrement se fait à intervalle régulier, $\delta t=\frac{t_{N-1}-t_0}{N-1}$.
On a donc que $t_n=t_0+\delta t n$.
La question qu'on se pose est quelle doit être la valeur de $N$ pour ne pas
perdre d'information sur $f(t)$ quand on échantillonne. En d'autres termes
à partir de quel nombre $N$ d'échantillons la transformée de Fourier discrète
de $f[n]$ ne change plus.
Le théorème de Shannon-Nyquist nous dit que pour pouvoir représenter exactement un signal
avec une fréquence maximale $F_c=1/\delta t_c$, alors on doit l'échantillonner avec une fréquence $1/\delta t_e=F_e\geq2F_c$.
De façon similaire, si on choisit un signal et qu'on peut l'échantillonner avec une certaine précision
(on détermine la fréquence maximale, $F_c$ qu'on veut pouvoir représenter dans le signal)
on a simplement besoin de choisir une fréquence d'échantillonage $F_e\geq2F_c$.
Nous notons $F_N=2F_c$ la fréquence de Nyquist. En prenant $F_e=F_N$ on a que $N=1/F_e=1/F_N$ et que l'échantillonage
permet de représenter les fréquences plus petites que $F_N/2$. Si la fréquence d'échantillonage est plus petite
que la fréquence de Nyquist de notre signal, on verra apparaître le phénomène de \textit{repliement de spectre}
(aliasing en anglais).
% Afin d'essayer de montrer la raison mathématique de ce résultat,
% il faut écrire les choses de la façon suivante. On peut définir la fonction
% ``masque'' $m(t)$ comme
% \begin{equation}
% m(t)=\sum_{m=0}^{N-1} \delta(t-m\delta t) ,
% \end{equation}
% où $\delta(t-n\delta t)$ est la fonction de Dirac.
% On écrit d'abord le signal discret $f_{\delta t} (t)$ comme
Le but de ce chapitre est d'étudier des phénomènes (expériences) aléatoires;
de calculer les chances (ou la probabilité) qu'un événement
qui n'est pas déterministe se produise.
Il existe une très grande variétés de ces phénomènes. Il en existe
dans presque tous les phénomènes physiques, dans la météorologie,
l'écoulement de fluides, etc. L'étude des probabilité est évidemment également présente
dans l'analyse de risque pour les assurances.
En informatique également il existe un très vaste champs d'application des probabilités.
Une application peut-être liée à la chance qu'un composant (processeur, mémoire, etc)
produise un résultat erroné. Cette théorie est également utilisée pour la cryptographie.
Les applications les plus courantes et peut-être les
plus intuitives sont les jeux de hasard (lancer de dé, roulette, blackjack, etc).
Et c'est pas cela qu'on va commencer.
\section{Exemple du jeu de dé}
On considère un dé à 6 faces. Le lancer de dé est une \textit{expérience aléatoire}, car
on ne peut dire quel sera le résultat avant d'avoir effectué l'expérience.
Avant de commencer à étudier les probabilités du lancer de dé, et les questions qu'on peut se poser, faisons d'abord un peu de vocabulaire
qui sera utile pour la suite.
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] L'ensemble des résultats possibles du lancer de dé est $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$ et cet ensemble est appelé l'\textit{univers} du lancer de dé.
\item[$\bullet$] Chaque résultat possible du lancer de dé ($1$, $2$, etc), noté $\omega\in\Omega$, est appelé une \textit{éventualité}.
\item[$\bullet$] Un ensemble de résultats possibles, par exemple tous les résultats pairs du lancer de dé $A=\{2, 4, 6\}\in\Omega$, s'appelle un \textit{événement}.
Un événement composé d'une seule éventualité est appelé \textit{événement élémentaire}.
\item[$\bullet$] On dit que l'événement $A$ est \textit{réalisé} si on obtient $2$, $4$, ou $6$ en lançant le dé.
\item[$\bullet$]\textit{L'événement certain} est l'univers en entier. On est certain de réaliser l'événement.
\item[$\bullet$]\textit{L'événement impossible} est l'ensemble vide, $A=\emptyset$. Il correspondrait à l'événement obtenir $7$ ou plus en lançant un dé par exemple.
\item[$\bullet$] Si $A$ est un événement, on note $p(A)$ la \textit{probabilité} que $A$ soit réalisé.
\end{itemize}
Si maintenant nous voulons connaître la probabilité de tirer $6$, ou encore la probabilité de réaliser $A=\{6\}$.
Cela est assez intuitif pour le cas du dé. Nous avons $6$ éléments dans l'univers
du lancer de dé. La probabilité de réaliser $A=\{6\}$ est donc
\begin{equation}
p(6)=\frac{1}{6}.
\end{equation}
Pour le cas du lancer de dé, on dit qu'on a un processus qui est \textit{équiprobable}. En effet,
la probabilité de réaliser chacun des événements élémentaires est la même. On a en effet la même probabilité de tirer
$1$, $2$, $3$, $4$, $5$, ou $6$.
Si à présent, on se pose la question de la probabilité de réaliser un tirage pair, $A=\{2,4,6\}$,
alors on trouve
\begin{equation}
p(\mbox{tirer un nombre pair})=\frac{1}{2}.
\end{equation}
De façon générale pour le lancer de dé, on a que la probabilité de réaliser l'événement $A$ est
\begin{equation}
p(A)=\frac{\mbox{nombre d'éléments dans }A}{\mbox{nombre d'éléments dans }\Omega}.
\end{equation}
Si maintenant, on veut savoir quelle est la probabilité de tirer n'importe quel élément dans l'univers, on a
\begin{equation}
p(\Omega)=\frac{\mbox{nombre d'éléments dans }\Omega}{\mbox{nombre d'éléments dans }\Omega}=1.
\end{equation}
De même la probabilité de réaliser l'événement impossible est de
\begin{equation}
p(\emptyset)=\frac{\mbox{nombre d'éléments dans }\emptyset}{\mbox{nombre d'éléments dans }\Omega}=0.
\end{equation}
On voit ici une propriété fondamentale des probabilités qui est que $0\leq p(A)\leq1,\ \forall A$.
La probabilité de ne pas tirer un 6 donc de réaliser l'événement $\bar A=\{1,2,3,4,5\}$ est donné par
$1$ moins la probabilité de réaliser $A=\{6\}$, il vient
\begin{equation}
p(\bar A)=1-p(A)=\frac{5}{6}.
\end{equation}
De même la probabilité de tirer un nombre impair, est donnée par $1$ moins la probabilité de réaliser
On voit donc qu'on a rajouté $m+1$ termes à cette permutation. Comme on a que pour chaque permutation de l'équation
\eqref{eq_permutations} on fait de même. On a que le nombre total de permutations doit être multiplié par $m+1$.
On déduit donc que $\card(\perm(m+1))=(m+1)!$, et on a prouvé notre récurrence.
Dans la pratique le terme ``nombre de permutations'' peut ne pas être très simple à interpréter. Pour tenter de le traduire
dans un langage humain plus compréhensible, on peut se dire que le nombre de permutations d'un ensemble correspond au nombre de façon de classer
ses éléments sans remise et en tenant compte de l'ordre des éléments tirés.
\begin{exercices}
Résoudre les exercices suivants.
\begin{enumerate}
\item Soit une voiture à $4$ places. On a $4$ passagers et toutes ont le permi de conduire. Combien y a-t-il de dispositions possibles dans la voiture?
\item Soient 5 étudiants dans une salle d'informatique possédant 5 ordinateurs
sur une table. Parmis ces étudiants, 2 utilisent l'éditeur \texttt{vi} et 3 l'éditeur \texttt{emacs}. Sachant que les utilisateur de \texttt{vi} et d'\texttt{emacs} ne peuvent se mélanger (s'intercaler)
combien de dispositions possibles y a-t-il pour asseoir les étudiants? (Indication: traîter d'abord indépendamment les utilisateuirs de \texttt{vi} et \texttt{emacs}, puis combiner les deux.)
\item On a un groupe de programmeurs assis autour d'une table ronde. Dans ce groupe il y a 5 programmeurs fortran, 4 programmeurs c++, et 3 programmeurs scala. Sachant que les programmeurs des différents langages ne peuvent se mélanger car ils se méprisent mutuellement pour leur goûts douteux de langages de programmation. Combien de dispositions autour de la table sont possibles? (Indication: procéder comme à l'exerice précédent.)
\end{enumerate}
\end{exercices}
\subsection{Les arrangements}
\begin{definition}[Le $n$-uplet]
Soit $n\in\natural$ et $A$ un ensemble fini. Un $n$-uplet d'éléments de $A$
est une suite ordonnée de $n$ éléments de $A$. Ces éléments peuvent être distincts
ou confondus.
On note $A^n$ l'ensemble de tous les $n$-uplets de $A$.
\end{definition}
\begin{definition}[Arrangement]
Soit $n\in\natural$ et $A$ un ensemble fini. Un
arrangement de $n$ éléments de $A$
est $n$-uplet d'éléments distincts de $A$.
\end{definition}
Par rapport à la permutation d'un ensemble $A$, un arrangement de $A$ est plus général,
car il n'est pas forcémnt composé de tous les éléments de $A$.
Nous voulons maintenant dénombrer les arrangements d'un ensemble $A$. Pour ce faire on doit
introduire une nouvelle notation.
On note $A_n$ un ensemble contenant $n$ éléments ($n\in\natural$).
Et on prend $0\leq p\leq n$ un autre entier. Finalement, on note
les arrangement de $p$ éléments dans l'arrangement $A_n$ comme $A^p_n$.
On veut à présent dénombrer le nombres d'arrangement de $p$ éléments dans un ensemble
en contenant $n$. Comme dans la sous-section précédente, faisons un exemple.
Considérons un ensemble à 4 éléments $A_4=\{1,2,3,4\}$. Il existe
4 arrangements possibles qui soient non vides.
\begin{enumerate}
\item L'arrangement $A_4^1$. Cet arrangement contenant un unique élément est donné par
$A_4^1=\{1,2,3,4\}$. Il est donc de cardinalité $4$. On peut aussi l'écrire
\begin{equation*}
\card(A_4^1)=4.
\end{equation*}
\item L'arrangement $A_4^2$. Cet arrangement est donné par \\
$A_4^2=\{12, 21, 13, 31, 14, 41, 23, 32, 24, 42, 34, 43\}$. Il est donc de cardinalité $12$.
\begin{equation*}
\card(A_4^2)=4\cdot 3.
\end{equation*}
\item L'arrangement $A_4^3$. Cet arrangement est donné par
Dans la pratique le terme ``nombre d'arrangements $p$ parmis $n$'' peut ne pas être très simple à interpréter. Pour tenter de le traduire
dans un langage humain plus compréhensible, on peut se dire que le nombre d'arrangements d'un ensemble correspond au nombre de façon de tirer au sort $p$ éléments parmis $n$
sans remise en tenant compte de l'ordre des éléments tirés.
\begin{exercices}
Résoudre les exercices suivants.
\begin{enumerate}
\item On a une salle avec 5 chaises. Entrent 3 étudiants. Combien de façon y a-t-il
d'asseoir les étudians sur les chause?
\item On considère qu'on a un processeur possédant 8. Nous avons un programme qui
exécute 5 tâches distinctes. Combien de répartitions existe-t-il pour ces tâches?
\item On considère un générateur de mot de passe qui peut utiliser les 26 lettres de l'alphabet. Combien de mots de passes de 6 caractères peuvent-ils être générés? De 8 caractères? de 10 caractères?
\item On considère un générateur de mot de passe qui peut utiliser les 95 (estimation basse du nombre de caractères disponibles sur un clavier) lettres de l'alphabet. Combien de mots de passes de 6 caractères peuvent-ils être générés?
\end{enumerate}
\end{exercices}
\subsection{Les combinaisons}
\begin{definition}[Combinaison]
Soient $p\in\natural$ et $n\in\natural$, avec $0\leq p\leq n$. Soit $A$ un ensemble
contenant $n$ éléments. Une combinaison de $p$ éléments de $A$ est un sous-ensemble de $p$ éléments de $A$. L'ordre n'a aucune importance dans la notion de combinaison.
On note la combinaison de $p$ parmis $n$, $C_n^p$.
\end{definition}
Nous voulons connaître à présent le nombre d'élément dans une combinaison. Vous avez l'habitude de la marche à suivre. Nous allons faire un exemple pour essayer de
déterminer une formule générale pour la combinaison de $p$ parmi $n$.
Considérons un ensemble à 4 éléments $A_4=\{1,2,3,4\}$. Il existe
4 combinaisons possibles qui soient non vides.
\begin{enumerate}
\item La combinaison $C_4^1$. Cette combinaison est donnée par
\begin{equation*}
C_4^1=\{1,2,3,4\}.
\end{equation*}
Il est donc de cardinalité $4$. On peut aussi l'écrire comme
\begin{equation*}
\card(C_4^1)=\card(A_4^1).
\end{equation*}
\item La combinaison $C_4^2$. Cette combinaison est donnée par
\begin{equation*}
C_4^1=\{12, 13, 14, 23, 24, 34\}.
\end{equation*}
Il est donc de cardinalité $6$. On peut aussi l'écrire comme
\begin{equation*}
\card(C_4^2)=\frac{\card(A_4^2)}{2}.
\end{equation*}
\item La combinaison $C_4^2$. Cette combinaison est donnée par
\begin{align*}
C_4^3=\{123, 124, 134, 234\}.
\end{align*}
Il est donc de cardinalité $4$. On peut aussi l'écrire comme
Dans la pratique le terme ``nombre de combinaisons $p$ parmis $n$'' peut ne pas être très simple à interpréter. Pour tenter de le traduire
dans un langage humain plus compréhensible, on peut se dire que le nombre de combinaisons d'un ensemble correspond au nombre de façon de tirer au sort $p$ éléments parmis $n$
sans remise et ne tenant pas compte de l'ordre des éléments tirés.
\begin{exercices}
Résoudre les exercices suivants.
\begin{enumerate}
\item On considère un nuage de $6$ points. Combien y a-t-il de droites reliants ces $6$ points?
\item Considérons une association de 20 membres. Cette association a un comité de direction formé de 3 membres. Un comité ne peut pas être identique à un comité passé. Combien d'année faut-il attendre pour que cette règle pose un problème si les membres de l'association ne changent pas?
\item Combien y a-t-il de tirages possibles au swiss lotto? Et à l'euromillions?
\item Combien y a-t-il de jeux possibles dans une partie de Jass, où chaque où le jeu complet contient 36 cartes et où il y a quatres joueurs qui reçoivent autant de cartes chacuns?
\end{enumerate}
\end{exercices}
\section{Dénombrement et probabilités: mise en pratique}
\begin{exercices}[L'examen d'ITI]
Le champs de l'examen du cours de probabilités est composé de 40 sujets.
Sur ces 40 sujets 4 seront tirés au hasard pour l'examen.
\begin{enumerate}
\item Combien d'examens sont organisables?
\item Un candidat n'ayant révisé que 25 sujets se présente à l'examen. Quelle est la probabilité qu'il puisse traiter tous les sujets? trois sujets? deux sujets? un sujet? aucun sujet?
\item Combien de sujets un étudiant doit-il réviser pour avoir une probabilité de 99\% de pouvoir tous les traîter?
\end{enumerate}
\end{exercices}
\begin{exercices}[Faille du WPS]
Le WPS (ou Wi-Fi protected setup) est un système qui permet de se connecter à un routeur
sans utiliser l'identification WPA directement qui existe en 2007. Il existe 3-4 façons de l'appliquer. Celle qui nous intéresse
est celle constituée d'un code. Ce code PIN est un nombre à 8 chiffres.
\begin{enumerate}
\item Calculer le nombre de PIN possibles. Combien d'essai sont nécessaires pour avoir 50\% de chances de trouver le PIN?
\item En fait le 8ème chiffre est un checksum des 7 premiers chiffres. Combien reste-t-il de PIN possibles?
Combien d'essai sont nécessaires pour avoir 50\% de chances de trouver le PIN?
\item En 2011, on a découvert (un certain Stefan Viehböck) que lorsqu'on fait une tentative
de connexion avec le code PIN le routeur donne la validité des 4 premiers et 3 derniers chiffres indépendamment. Combien de
possibilités reste-t-il? Combien d'essais sont nécessaires pour avoir 50\% de chances de trouver le PIN? En supposant qu'on ne peut faire
qu'un essai par seconde, combien de temps faut-il pour pour effectuer ces essais?
\end{enumerate}
En fait ce que j'ai découvert en essayant l'utilitaire Reaver sur mon routeur, c'est que non seulement on peut hacker
un routeur en très peu de temps, mais en plus on obtient le mot de passe WPA du routeur. Si comme la plupart des gens l'utilisateur
a configuré son wi-fi avec le même mot de passe que pour son mail, son compte en banque, etc. On peut vraiment accéder à
un nombre considérable de données...
\end{exercices}
%
\begin{exercices}[Les souris]
Dans un laboratoire on a une cage contenant 100 souris. Elles présntent deux caractères qui sont
importants pour nous, le sexe (mâle ou femelle) et la couleur (noire ou blanche). Il y a 87 mâles,
57 sont blanches, et 55 sont mâles et blanches.
\begin{enumerate}
\item Faire un tableau à double entrée avec le sexe et la couleur et mettre les effetifs dans chaque case.
\item Si on prend une souris au hasard, quelle est la probabilité qu'elle soit noire? Quelle est la probabilité qu'elle soit femelle?
Quelle est la probabilité qu'elle soit noire ou femelle?
\item Quelle est la probabilité de tirer 5 souris blanches avec remise? Et sans remise?
\item Combien de souris il faut tirer avec remise pour avoir 10\% de chances de tirer 5 souris blanches? Et sans remise?
\end{enumerate}
\end{exercices}
\section{Probabilités conditionnelles}
Commençons cette section par un exemple pour illustrer le concept de probabilités conditionnelles.
Prenons à nouveau un dé à six faces. Nous nous intéressons au calcul de la probabilité de réaliser les événements
(notons les respectivement $A$ et $B$) \textit{tirer un nombre plus grand ou égal à trois} et \textit{tirer un nombre impair}.
Les probabilités de réaliser $A$ et $B$ sont données par
\begin{align}
p(A)&=\frac{4}{6}=\frac{2}{3},\\
p(B)&=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}.
\end{align}
Cela n'a rien de nouveau c'est un calcul de probabilités tout ce qu'il y a de plus classique.
Par contre, si on nous dit que nous avons déjà tiré un nombre impair.
Et qu'on veut savoir quelle est la probabilité d'obtenir un nombre plus grand ou égal à 3.
Nous changeons un peu le problème. Nous supposons qu'on a tiré un nombre impair et on veut connaître la probabilité
que ce nombre soit un nombre impair. En termes plus mathématiques, nous voulons savoir quelle est la probabilité que $A$
soit réalisé, sachant que $B$ a été réalisé. Cette probabilité se note $p(A|B)$.
Calculons à présent cette probabilité. Comme on sait que $B$ a été réalisé (nous avons tiré un nombre impair) l'univers
a changé. Il est à présent composé de $\Omega=\{1,3,5\}$ (on a que $\card(\Omega)=3$). Dans cet univers on a deux possibilité de tirer
un nombre plus grand ou égal à trois ($A|B=\{3,5\}$). La probabilité $p(A|B)$ est donc donnée par
\begin{equation}
p(A|B)=\frac{2}{3}.
\end{equation}
Regardons maintenant à quoi correspondent les cardinalités présentent dans la franction ci-dessus.
Le numérateur correspond au nombre d'éléments à la fois dans $A$ et dans $B$ (soit $A\cap B$). Le dénominateur lui
est simplement la cardinalité de l'événement $B$. Donc on peut écrire la formule de façon
\caption{Exemple d'arbre pondéré avec des événements $A$, $B$, $C$, $D$, $E$. Sur les branches du noeuds de départ, nous avons les probabilité de réaliser $A$ et $B$.
Sur toutes les branche en dessous, nous avons les probabilités conditionnelles de réaliser $C$, $D$, ou $E$ sachant que $A$ ou $B$ a été réalisé.}\label{fig_arbre_pondere}
\end{figure}
Nous avons donc que la probabilité reliée au produit de deux branches donne la probabilité de réalisation de l'intersection
de deux événements. En effet, nous avons par exemple pour arriver à l'évenement $E$
\begin{equation}
p(B)p(E|B)=p(B\cap E).
\end{equation}
Si on augmente encore un peu la taille de l'arbre (voir figure \ref{fig_arbre_pondere_2}),
\caption{Exemple d'arbre pondéré avec des événements $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $I$, $J$. Sur les branches du noeuds de départ, nous avons les probabilité de réaliser $A$ et $B$.
Sur toutes les branche en dessous, nous avons les probabilités conditionnelles de réaliser $C$, $D$, ou $E$ sachant que $A$ ou $B$ a été réalisé,
puis nous avons encore un 3ème étage à notre arbre avec les événements $I$ et $J$.}\label{fig_arbre_pondere_2}
\end{figure}
De façon similaire si nous calculons le produit des probabilité pour arriver jusqu'à $I$, on obtient
Ce type d'arbre est donc très pratique pour déterminer les probabilités d'intersection d'événements.
\begin{remarque}
Jusqu'ici, nous avions construit certains arbres où les probabilités conditionnelles n'avaient pas d'importance. En effet, si on tire un dé
deux fois. Le premier lancer donne un chiffre (disons ``1'') avec une probabilité de rélisation de $1/6$,
la probabilité n'importe quel chiffre (disons ``1'' à nouveau) est toujours de $1/6$. Ici le fait d'avoir réalisé un événement,
ne fait pas intervenir la probabilité conditionnelle. En revanche, de façon cachée, l'arbre correspondant au loto, lui fonctionne comme vu ci-dessus.
\end{remarque}
\begin{exercice}
Pour décider de la réussite ou non de l'examen de mathématiques de dexuième année le professeur a décidé d'une façon originale de faire passer l'année.
$20\%$ des élèves passent sur dossier (qualité de la photo sur IS-Academia, quantité de pizza mangée en moins de 30sec, ...). Ensuite
les étudiants restants passent un examen écrit sur un sujet libre (anglais, histoire, ...).
Ceux qui ratent l'écrit sont éliminés. Le professeur
a décidé que seul 75\% des étudiants réussissent l'écrit.
Les étudiants restants passent un examen de chant. Là deux tiers réussissent et passent l'année.
\begin{enumerate}
\item Faire un arbre pondéré de cette situation ``réussi-raté'' .
\item On choisit un étudiant au hasard. Déterminer la probabilité qu'il ait tenté et raté l'épreuve écrite.
\item On choisit un étudiant au hasard. Déterminer la probabilité qu'il soit admis en ayant tenté l'épreuve écrite.
\end{enumerate}
\end{exercice}
\section{Nombres aléatoires}
Les nombres aléatoires, bien que pas directement reliés aux probabilités, sont utilisés dans un certain nombre de domaines
qui vont de la cryptographie aux simulations physiques. Nous allons voir une introdution simplifiée à la génération de nombres aléatoires
sur un ordinateur et les différentes problématiques reliées à leur génération.
Une très bonne référence concernant les nombre aléatoires est le site \texttt{http://www.random.org}.
\subsection{Générateurs algorithmiques: une introduction (très) générale}
Le but des générateurs de nombres aléatoires est de produire une suite de nombres entiers,
($n\in\natural$)
\begin{equation*}
\{X_0,X_1,...,X_n\},
\end{equation*}
avec $X_i\in A$, où $A=[0,M]$, avec $m\in\natural$ (dans le cas de la fonction \texttt{rand()}
de $C$, $M$ est donné par la constante prédéfinie \texttt{RAND\_MAX} qui and certains cas est $2^{31}-1$). La probabilité
de tirer chacun des nombres dans l'intervalle est égale. On dit que la distribution des nombres est uniforme.
De plus, les nombres tirés ne doivent pas dépendre de l'histoire des nombres tirés précédemment.
Si on veut maintenant plutôt tirer des nombres réels uniformément distribués entre $[0,1]$, il suffit
de diviser les nombres $X_i$ par $m$ après chaque tirage. De façon similaire, si nous voulons
tirer des nombres dans l'intervalle $[\alpha,\beta]$, on utilise la formule de remise à l'échalle suivante
\begin{equation}
N_i=\alpha+(\beta-\alpha)X_i/m.
\end{equation}
Il faut remarquer que pour que cette formule puisse est utilisée il est nécessaire que $(\beta-\alpha)<M$.
Les transformations que je donne ici ne sont pas toujours celles implémentées. En effet,
il existe des transformations beaucoup plus efficaces d'un point de vue computationnel
pour changer l'intervalle des nombres aléatoires tirés.
Sans entrer dans les détails, la génération de nombres aléatoires n'ayant pas une distribution
uniforme s'obtient en effectuant une trasformation un peu plus complexe que celle ci-dessus
en partant toujours de la suite de nombres aléatoies entiers.
Les nombres aléatoires produits de façon algorithmique (donc avec un ordinateur)
ne peuvent pas être vriament aléatoire, car ils sont obtenus avec une machine
déterministe (les opérations faites à l'aide d'un ordinateur snt par définition
reproductibles avec une chance d'erreur qasiment nulle). On parle donc de nombre pseudo-aléatoires.
Néanmoins, bien que ces chiffres ne soient pas vraiment aléatoires, ils peuvent
être posséder des propriétés qui les rendent satisfaisants pour la plupart des applications. Cette suite de nombres doit avoir des propriétés particulières quand $n\rightarrow\infty$.
Sans entrer pour le moment trop dans les détails, on veut par exemple que
la moyenne des nombres tirés soit $m/2$, que la corrélation entre des
sous-suites de nombres doit être nulle, ou encore qu'il n'existe pas de séquence qui se
répète (ou au moins que la période de répétition soit très très longue).
Néanmoins, il est assez compliqué de définir des tests
très robustes pour tester la qualité des nombres aléatoires algorithmiques.
