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@@ -2756,14 +2756,36 @@ efficacité. En effet, on peut montrer que la complexité de l’équation
 
 On peut écrire l'@eq:tfd comme un produit
 matrice-vecteur sous la forme suivante
-$$\begin{array}{l} \underbrace{\begin{pmatrix} {\hat{f}}[0] \\ {\hat{f}}[1] \\ f[2] \\ \vdots \\ {\hat{f}}[N-1] \end{pmatrix}}_{\hat{\bm{f}}} = \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1\\ 1 & w & w^2 & \cdots & w^{N-1}\\ 1 & w^2 & w^4 & \cdots & w^{2(N-1)}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots &\\ 1 & w^{N-1} & w^{2(N-1)} & \cdots & w^{(N-1)^2} \end{pmatrix}}_{\bm{W}}\cdot \end{array} \underbrace{\begin{pmatrix} f[0] \\ f[1] \\ f[2] \\ \vdots \\ f[N-1] \end{pmatrix}}_{\bm{f}},$$
+$$
+\begin{array}{l} 
+    \underbrace{
+        \begin{pmatrix} {\hat{f}}[0] \\ {\hat{f}}[1] \\ f[2] \\ \vdots \\ {\hat{f}}[N-1] 
+        \end{pmatrix}
+    }_{\hat{\vec{f}}} = 
+    \underbrace{
+        \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1\\ 
+                        1 & w & w^2 & \cdots & w^{N-1}\\ 
+                        1 & w^2 & w^4 & \cdots & w^{2(N-1)}\\ 
+                        \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots &\\ 
+                        1 & w^{N-1} & w^{2(N-1)} & \cdots & w^{(N-1)^2}
+        \end{pmatrix}}_{\underline{\underline{W}}}\cdot 
+\end{array} 
+\underbrace{
+\begin{pmatrix} 
+f[0] \\ f[1] \\ f[2] \\ \vdots \\ f[N-1] 
+\end{pmatrix}}_{\vec{f}},
+$$
 où $w = e^{-\frac{2 \pi i}{N}}$. On peut donc de façon plus compacte
-l’écrire $$\hat{\bm{f}}=\bm{W}\cdot \bm{f}.$$ Les éléments de la matrice
-$\bm{W}$ peuvent être précalculés et il reste donc à calculer uniquement
-le produit matrice vecteur $\bm{W}\cdot\bm{f}$. Pour ce faire il faut
-pour chaque ligne de $\hat{\bm{f}}$ faire le calcul de $N$ produits et
+l’écrire 
+$$
+\hat{\vec{f}}=\underline{\underline{W}}\cdot \vec{f}.
+$$
+Les éléments de la matrice
+$\underline{\underline{W}}$ peuvent être précalculés et il reste donc à calculer uniquement
+le produit matrice vecteur $\underline{\underline{W}}\cdot\vec{f}$. Pour ce faire il faut
+pour chaque ligne de $\hat{\vec{f}}$ faire le calcul de $N$ produits et
 $N$ sommes (donc une complexité $N$). Comme il y a $N$ lignes à
-$\hat{\bm{f}}$, la complexité est $N\cdot N$.
+$\hat{\vec{f}}$, la complexité est $N\cdot N$.
 
 Il existe des algorithmes beaucoup plus efficaces pour effectuer de
 genre de calculs que nous allons brièvement discuter maintenant. Ils