\caption{Représentation de la somme de deux nombres complexes $z_1=a+ib$ et $z_2=c+id$. Le résultat est donné par $z_3=a+b+i(c+d)$.}\label{fig_complexPlaneSum}
\caption{Représentation de la somme de deux nombres complexes $z_1=a+ib$ et $z_2=c+id$. Le résultat est donné par $z_3=a+c+i(b+d)$.}\label{fig_complexPlaneSum}
\end{figure}
Pour la multiplication cela s'avère un peu plus difficile à interpréter. Pour cela
...
...
@@ -2173,10 +2173,10 @@ de module égal, mais
d'argument opposé. En d'autres termes, si $z=re^{i\vartheta}$, alors $\zbar=re^{-i\vartheta}$.
On peut également écrire le module d'un nombre réel à l'aide de la notation
On peut également écrire le module d'un nombre complexe à l'aide de la notation
du complexe conjugué. Il est donné par
\begin{equation}
|\zbar|=\sqrt{z\zbar}.
|z|=\sqrt{z\zbar}.
\end{equation}
Finalement, on peut également exprimer les parties réelle et imaginaires d'un nombre complexe à l'aide
de la notation du complexe conjugué
...
...
@@ -2261,7 +2261,7 @@ Dans notre cas $E$ sera $\real$ ou $\complex$ principalement.
\item Dans ce qui suit dans ce cours, nous allons utiliser encore un autre espace vectoriel
un peu moins intuitif que ceux que nous avons vus jusqu'ici. Il s'agit de l'espace des fonctions, ou espace fonctionnel.
Nous définissons les applications de $W$ dans $V$ comme un espace vectoriel dans $E$ avec l'addition et la
multiplication par un scalaire définis commme suit. Soient $f:W\rightarrow V$ et $f:W\rightarrow V$, avec
multiplication par un scalaire définis commme suit. Soient $f:W\rightarrow V$ et $g:W\rightarrow V$, avec
$\alpha\in E$, alors
\begin{align}
&(f+g)(x)=f(x)+g(x), \quad\forall x\in W,\\
...
...
@@ -2422,8 +2422,8 @@ de fréquence $\nu=1/T$. Ce genre de fonction a la propriété suivante
f(t+T)=f(t),\quad\forall t.
\end{equation}
Nous cherchons à décomposer $f$ en un ensemble potentiellement infini de fonctions périodiques. Notons
cet ensemble de fonctions $\{g_j\}_{0=1}^\infty$, où $g_j$ est une fonction périodique. En fait on cherche une décomposition
où pour un ensemble unique de $\{\alpha_j\}_{i=0}^\infty$
cet ensemble de fonctions $\{g_j\}_{j=0}^\infty$, où $g_j$ est une fonction périodique. En fait on cherche une décomposition
où pour un ensemble unique de $\{\alpha_j\}_{j=0}^\infty$
\begin{equation}
f(t)=\sum_{j=0}^\infty\alpha_j g_j(t).
\end{equation}
...
...
@@ -2432,7 +2432,7 @@ où les $g_j$ sont les vecteurs de la base et les $\alpha_j$ sont les coordonné
La fonction de départ $f$ ayant une période $T$, on a obligatoirement que les fonctions $g_j$ ont une période
qui doit être une fraction entière de la période, $T/j$. Ces fonctions $g_j(t)$ peuvent en général
avoir une forme quelconque, avec l'unique contrainte qu'elles sont périodiques avec période $T/i$.
avoir une forme quelconque, avec l'unique contrainte qu'elles sont périodiques avec période $T/j$.
\c Ca pourrait être un signal carré, triangulaire, etc. Dans les cas qui nous intéresse, on a un choix
naturel qui s'impose comme fonctions périodiques: les sinus et cosinus.
...
...
@@ -2497,8 +2497,8 @@ En particulier si $j=0$, on a
\begin{equation}
a_0=0,\quad b_0=\frac{2}{T}\int_0^T f(t)\dd t.
\end{equation}
On constate que $a_0/2$ correspond à la valeur moyenne de $f(t)$ dans $[0,T]$. Cela
permet d'approximer des fonctions dons la valeur moyenne n'est pas nulle (les sinus et cosinus ont toujours
On constate que $b_0/2$ correspond à la valeur moyenne de $f(t)$ dans $[0,T]$. Cela
permet d'approximer des fonctions dont la valeur moyenne n'est pas nulle (les sinus et cosinus ont toujours
des moyennes nulles).
Les coefficients $a_j,b_j$ peuvent être calculés directement à partir de $f(t)$,
...
...
@@ -2524,7 +2524,7 @@ entre $0$ et $T$, on obtient
\end{align}
où $\delta_{jk}$ est le ``delta de Kronecker'', dont la définition est
\begin{equation}
\delta_{ij}=\left\{\begin{array}{ll}
\delta_{jk}=\left\{\begin{array}{ll}
$1,$&$\mbox{ si }j=k$\\
$0,$&$\mbox{ sinon.}$
\end{array}\right.
...
...
@@ -2713,7 +2713,7 @@ la transformée de Fourier sera périodique, soit
\end{equation}
Nous démontrons cette relation par la définition de la TFTD
@@ -3272,7 +3272,7 @@ Nous allons voir deux mesures différentes dans cette sous-section: la variance
Nous cherchons d'abord à calculer la moyenne des écarts à la moyenne.
Hors, comme on l'a vu dans la sous-section précédente l'écart à la moyenne $x_i-\bar{x}$ est nul en moyenne. Cette grandeurs ne nous apprend rien.
On peut donc s'intéresser plutôt à la moyenne de l'écart quadratique $(x_i-\bar{x})^2$ qui est une quantité toujours positive et donc la moyenne sera
de cette écart quadratique aura toujours une valeurs qui sera positive ou nulle (elle sera nulle uniquement si
de cette écart quadratique aura toujours une valeur qui sera positive ou nulle (elle sera nulle uniquement si
$x_i-\bar{x}=0,\forall i$)\footnote{on pourrait aussi étudier la moyenne de $|x_i-\bar{x}|$, mais cela est moins pratique à étudier théoriquement.}.
On définit donc la \textit{variance}, $v$, comme étant la moyenne des écarts quadratiques
\begin{equation}
...
...
@@ -3319,7 +3319,7 @@ on peut définir deux grandeurs, $Q_i\in\{x_i\}_{i=0}^{k-1}$ et $\alpha_i\in[0,1
\begin{equation}
F(Q_i)=\alpha_i.
\end{equation}
En d'autres termes $Q_i$ est la valeur pour laquelle la fréquence cumulée vaut $\alpha_i$. $Q_i$ correspond donc au nombre d'individus dons la fréquence cumulée est de $\alpha_i$.
En d'autres termes $Q_i$ est la valeur pour laquelle la fréquence cumulée vaut $\alpha_i$. $Q_i$ correspond donc au nombre d'individus dont la fréquence cumulée est de $\alpha_i$.
En particulier si $\alpha_i=1/2$, alors $Q_i=\tilde{x}$ ($Q_i$ est la médiane). Il est commun d'avoir $Q_i\in[0.25,0.5,0.75]$, on parle alors de quartiles. Avec $Q_1=0.25$ et $Q_3=0.75$,
le nombre d'individus entre $0.25$ et $0.75$ est donné par
\begin{equation}
...
...
@@ -3363,14 +3363,14 @@ Un événement composé d'une seule éventualité est appelé \textit{événemen
\end{definition}
Le calcul des \textit{probabilités} de réalisation de certains événement est reliée à la \textit{fréquence}
que nous avons indroduit dans la section précédente. Soit un univers $\Omega$ et $A$, $B$ deux événements tels que $A\cap B=\emptyset$.
que nous avons introduit dans la section précédente. Soit un univers $\Omega$ et $A$, $B$ deux événements tels que $A\cap B=\emptyset$.
On effectue une $N$ expériences, donc $\Omega$ est réalisé $N$ fois. De plus on constate qu'on réalise $A$, $K$ fois et $B$, $M$ fois.
On a donc les fréquences suivantes que $A$, $B$ et $\Omega$ se réalisent
\begin{align}
f(A)&=\frac{K}{N},\\
f(B)&=\frac{M}{N},\\
f(\Omega)&=\frac{N}{N}=1,\\
f(A\cap B)&=\frac{M+K}{N}=f(A)+f(B).
f(A\cup B)&=\frac{M+K}{N}=f(A)+f(B).
\end{align}
Les \textit{probabilités} de réalisation des événements ci-dessus peutvent être vues comme le passage à la limite
$N\rightarrow\infty$ tel que $p(A),p(B)\in\real$ et
...
...
@@ -3378,7 +3378,7 @@ $N\rightarrow\infty$ tel que $p(A),p(B)\in\real$ et
@@ -3876,22 +3876,22 @@ On voit donc que la probabilité de tirer la suite ordonnée $25$ est de
\end{equation}
A présent, si nous considérons que l'ordre n'a pas d'importance, on a comme dans la section précédente
que l'événement qui nous intéresse est $A=\{25,52\}$. On peut donc décomposer
ce cas en 2 et dire qu'on a dans un premier temps la probabilité de tirer $2$ ou $5$ parmis
$6$ nombres, puis on a la probabilité de tirer le $5$ ou le $2$ (respectrivement si on a tiré $2$ ou $5$) parmis 5.
Les deux probabilité sont donc données respectivement par $p(\{2,5\})=\frac{2}{6}$ puis par $p(\{5,2\}\backslash\{2\mbox{ ou }5)=\frac{1}{5}$.
ce cas en 2 et dire qu'on a dans un premier temps la probabilité de tirer $2$ ou $5$ parmi
$6$ nombres, puis on a la probabilité de tirer le $5$ ou le $2$ (respectivement si on a tiré $2$ ou $5$) parmi 5.
Les deux probabilités sont donc données respectivement par $p(\{2,5\})=\frac{2}{6}$ puis par $p(\{5,2\}\backslash\{2\mbox{ ou }5)=\frac{1}{5}$.
\begin{exercices}
\hfill\break
\begin{enumerate}
\item Le jeu Eruomillions consiste en un tirage de 5 numéros parmis 50 possible, puis par le tirage de 2 ``étoiles'' parmis 11 possibles.
\item Le jeu Euromillions consiste en un tirage de 5 numéros parmi 50 possible, puis par le tirage de 2 ``étoiles'' parmi 11 possibles.
Déterminez la probabilité de trouver la bonne combinaison à un tirage.
\item Le jeu du swiss lotto, consiste au tirage de 5 numéros parmis 42 possibles, puis au tirage d'un numéros parmis 6. Calculez la probabilité de
gagner au swiss lotto..
\item Le jeu du swiss lotto, consiste au tirage de 5 numéros parmi 42 possibles, puis au tirage d'un numéros parmi 6. Calculez la probabilité de
gagner au swiss lotto.
\end{enumerate}
\end{exercices}
\section{Quelques exercices}
Afin de continuner avec ces concepts de tirages aléatoires avec ou sans remise
Afin de continuer avec ces concepts de tirages aléatoires avec ou sans remise
de suite ordonnées ou non, nous allons faire quelques exercices. Il peut se révéler utile de dessiner un arbre pour ces exercices.
\begin{enumerate}
\item Dans une urne se trouvent 2 boules blanches et 3 boules noires. On tire successivement deux boules sans remise.
...
...
@@ -3919,7 +3919,7 @@ dans la boîte $A$, $B$ ou $C$.
est de $p(G)=0.514$.
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] Calculer et la probabilité qu'un enfant soit une fille.
\item[$\bullet$] On considère la naissance de deux enfants. Calculer et la probabilité que les deux enfants sooient de même sexe.
\item[$\bullet$] On considère la naissance de deux enfants. Calculer et la probabilité que les deux enfants soient de même sexe.
\item[$\bullet$] On considère la naissance de deux enfants. Calculer et la probabilité que les deux enfants soient de sexes opposés.
\end{itemize}
\end{enumerate}
...
...
@@ -3970,7 +3970,7 @@ Pour illustrer ce qui se passe, intéressons-nous au dernier exemple ci-dessus a
Prenons ces trois questions une par une
\begin{enumerate}
\item Les deux façons d'obtenir $X=1$ est d'avoir les tirages $(p,f)$ ou $(f,p)$, soit $A=\{(p,f), (f,p)\}$. Les probabilités de chacun
des événement de l'univerrs étants équiprobables on a
des événements de l'univers étants équiprobables on a
\begin{equation}
p(X=1)=p(A)=1/2.
\end{equation}
...
...
@@ -3978,7 +3978,7 @@ Prenons ces trois questions une par une
\begin{equation}
p(0.6\leq X\leq 3)=p(\bar B)=1-p(B)=\frac{3}{4}.
\end{equation}
\item De façon similaire les trois énénements donnant $X<2$ sont dans $C=\{(p,p), (p,f), (f,p)\}$. On a donc
\item De façon similaire les trois événements donnant $X<2$ sont dans $C=\{(p,p), (p,f), (f,p)\}$. On a donc
\begin{equation}
p(X<2)=p(C)=\frac{3}{4}.
\end{equation}
...
...
@@ -3990,7 +3990,7 @@ est reliée à la probabilité d'obtenir un événement $D$ qui serait la préim
On peut noter dans le cas général qu'on a $D=X^{-1}(I)$.
\begin{definition}[Variable aléatoire] On dit que la fonction $X:\Omega\rightarrow\real$ est une \textit{variable aléatoire} si la
préimage de $X$ sur tout intervale, $I\subseteq\real$, est un événement $A\in\Omega$. La probabilité que $X$ prenne une valeur
préimage de $X$ sur tout intervalle, $I\subseteq\real$, est un événement $A\in\Omega$. La probabilité que $X$ prenne une valeur
dans l'intervalle $I$ est égale à la probabilité de réaliser l'événement $A$
\begin{equation}
p(X\in I)=p(A).
...
...
@@ -4046,7 +4046,7 @@ déterministe (les opérations faites à l'aide d'un ordinateur sont par défini
reproductibles avec une chance d'erreur quasiment nulle). On parle donc de nombre pseudo-aléatoires.
Néanmoins, bien que ces chiffres ne soient pas vraiment aléatoires, ils peuvent
être posséder des propriétés qui les rendent satisfaisants pour la plupart des applications. Cette suite de nombres doit avoir des propriétés particulières quand $n\rightarrow\infty$.
posséder des propriétés qui les rendent satisfaisants pour la plupart des applications. Cette suite de nombres doit avoir des propriétés particulières quand $n\rightarrow\infty$.
Sans entrer pour le moment trop dans les détails, on veut par exemple que
la moyenne des nombres tirés soit $m/2$, que la corrélation entre des
sous-suites de nombres doit être nulle, ou encore qu'il n'existe pas de séquence qui se
...
...
@@ -4079,11 +4079,11 @@ $a=1$, $c=1$, $m=10$ et $X_0=0$, on va avoir comme suite de nombre aléatoire
\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,0,1,2,3,...\},
\end{equation}
ce qui n'est pas très aléatoire vous en conviendrez... Il est donc très important
de tenter d'optimiser les valeur $a$, $c$ et $m$ pour
de tenter d'optimiser les valeurs$a$, $c$ et $m$ pour
avoir des séquences aussi ``aléatoires'' que possible.
Une première chose à remarquer c'est que $m$ sera la valeur maximale de la période
de notre générateur de nombre aléatoire (la période est le nombre de tirage qu'il faudra
de notre générateur de nombre aléatoire (la période est le nombre de tirages qu'il faudra
effectuer pour que la série se répète exactement).
Quelques paramètres utilisés dans des générateurs connus sont par exemple
...
...
@@ -4157,7 +4157,7 @@ avec deux générateurs différents
Y&=\{0,0,0,0,0,0,0,0,0,0\}.
\end{align}
On voit que la suite $Y$ semble beaucoup moins aléatoire que la suite $X$.
En effet, la probabilité de tirer 10 fois 0 en 10 tirages et de $p(Y)=1/2^{10}=1/1024$,
En effet, la probabilité de tirer 10 fois 0 en 10 tirages est de $p(Y)=1/2^{10}=1/1024$,
alors que la probabilité d'avoir autant de 0 que de 1 est de $p(X)=1/2$.
De façon générale on aimerait que la répartition soit $35\%$-$65\%$ avec une probabilité
de $90\%$.
...
...
@@ -4179,12 +4179,12 @@ toutes tendre vers $1$.
Néanmoins, il est certain qu'aucun générateur ne peut être parfait. En effet,
les nombres étant toujours représentés avec une précision finie, il est impossible
d'être capable de représenter exactement toutes les propriétés d'une série de nombre
d'être capable de représenter exactement toutes les propriétés d'une série de nombres
vraiment aléatoires avec un générateur pseudo-aléatoire. On va donc plutôt
considérer une autre définition pour la qualité d'un générateur algorithmique.
Considérons une simulation nécessitant la génération de nombres aléatoires.
Un ``bon'' générateur de nombres pseudo-aléatoire produit une série de nombre
Un ``bon'' générateur de nombres pseudo-aléatoire produit une série de nombres
qui peut être utilisée en lieu et place de vrai nombres aléatoires sans que la simulation
n'en soit affectée. Par exemple, le calcul du nombre $\pi$ vu dans les exercices doit
être trouvé avec la précision désirée avec le générateur de nombre pseudo-aléatoires pour que celui-ci
