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Commit 295d1cbf authored by orestis.malaspin's avatar orestis.malaspin
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View file @ 295d1cbf
...@@ -37,12 +37,12 @@ build_only: ...@@ -37,12 +37,12 @@ build_only:
- make deploy - make deploy
- rsync -avzz mti ur1bg_malas@ur1bg.ftp.infomaniak.com:web/malaspinas/ - rsync -avzz mti ur1bg_malas@ur1bg.ftp.infomaniak.com:web/malaspinas/
#build_artifacts: build_artifacts:
# script: script:
# - make - make
# artifacts: artifacts:
# paths: paths:
# - "cours.html" - "cours.html"
# - "cours.pdf" - "cours.pdf"
#only: #only:
# - tags # - tags
01_rappel.md
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View file @ 295d1cbf
...@@ -10,7 +10,7 @@ Nous pouvons aussi exprimer cette notion de la manière suivante. Considérons d ...@@ -10,7 +10,7 @@ Nous pouvons aussi exprimer cette notion de la manière suivante. Considérons d
--- ---
Exemple (Fonctions, généralités) +.# #### Exemple (Fonctions, généralités) {-}
1. La tension $U$ est une fonction de la résistance $R$ et du courant 1. La tension $U$ est une fonction de la résistance $R$ et du courant
$I$ $$\begin{aligned} $I$ $$\begin{aligned}
...@@ -33,7 +33,7 @@ $$y=g(f(x)).$$ ...@@ -33,7 +33,7 @@ $$y=g(f(x)).$$
--- ---
Exemple (Fonctions) +.# #### Exemple (Fonctions) {-}
1. Soit $f(x)=2\cdot x$ et $g(x)=\sqrt{x}$, alors la composition des 1. Soit $f(x)=2\cdot x$ et $g(x)=\sqrt{x}$, alors la composition des
deux fonctions $$(f\circ g)(x)=f(g(x))=f(\sqrt{x})=2\sqrt{x}.$$ deux fonctions $$(f\circ g)(x)=f(g(x))=f(\sqrt{x})=2\sqrt{x}.$$
...@@ -50,7 +50,7 @@ la variable de départ $$f(f^{-1}(x))=x.$$ ...@@ -50,7 +50,7 @@ la variable de départ $$f(f^{-1}(x))=x.$$
--- ---
Exemple (Fonction inverse) +.# #### Exemple (Fonction inverse) {-}
1. Soient $f(x)=2\cdot x$ et $f^{-1}(x)=x/2$, alors la composition des 1. Soient $f(x)=2\cdot x$ et $f^{-1}(x)=x/2$, alors la composition des
deux fonctions $$f(f^{-1}(x))=f(x/2)=2x/2=x.$$ deux fonctions $$f(f^{-1}(x))=f(x/2)=2x/2=x.$$
...@@ -68,14 +68,14 @@ Exemple (Fonction inverse) +.# ...@@ -68,14 +68,14 @@ Exemple (Fonction inverse) +.#
## Domaine de définition ## Domaine de définition
Définition (Domaine de définition) +.# #### Définition (Domaine de définition) {-}
Le domaine de définition, noté $D\subset{\real}$, d’une fonction Le domaine de définition, noté $D\subset{\real}$, d’une fonction
$f$, est l’ensemble de valeurs où $f$ admet une image. $f$, est l’ensemble de valeurs où $f$ admet une image.
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Exemple (Domaine de définition) +.# #### Exemple (Domaine de définition) {-}
1. Le domaine de définition de $f(x)=x$ est $D={\real}$. 1. Le domaine de définition de $f(x)=x$ est $D={\real}$.
...@@ -92,7 +92,7 @@ Soit $f$ une fonction et $D\subseteq{\real}$ non-vide et soient $a$ et $b$ deux ...@@ -92,7 +92,7 @@ Soit $f$ une fonction et $D\subseteq{\real}$ non-vide et soient $a$ et $b$ deux
### Limite ### Limite
Définition (Limite) +.# #### Définition (Limite) {-}
Pour $f$ définie en $D$, on dit que $b$ est la Pour $f$ définie en $D$, on dit que $b$ est la
limite de $x$ en $a$ si si au fur et à mesure que $x$ se rapproche de $a$, $f(x)$ se rapproche de $b$ et nous notons $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=b$. limite de $x$ en $a$ si si au fur et à mesure que $x$ se rapproche de $a$, $f(x)$ se rapproche de $b$ et nous notons $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=b$.
...@@ -107,20 +107,20 @@ Ou encore quand le but est d'écrire ça de la façon la plus compacte possible ...@@ -107,20 +107,20 @@ Ou encore quand le but est d'écrire ça de la façon la plus compacte possible
$$\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0\ |\ \forall x\in D,\ |x-a|<\delta\Rightarrow|f(x)-b|<\varepsilon.$$ $$\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0\ |\ \forall x\in D,\ |x-a|<\delta\Rightarrow|f(x)-b|<\varepsilon.$$
Remarque +.# #### Remarque {-}
Il n'est pas nécessaire que $a\in D$. Mais si c'est le cas et donc Il n'est pas nécessaire que $a\in D$. Mais si c'est le cas et donc
$f$ est définie en $a$ alors on a $\lim\limits_{x\rightarrow a}=f(a)$. $f$ est définie en $a$ alors on a $\lim\limits_{x\rightarrow a}=f(a)$.
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Exemple (Limite) +.# #### Exemple (Limite) {-}
Si $f(x)=x$, alors $\lim\limits_{x\rightarrow 0}f(x)=0$. Si $f(x)=x$, alors $\lim\limits_{x\rightarrow 0}f(x)=0$.
--- ---
Définition (Limite, asymptote) +.# #### Définition (Limite, asymptote) {-}
Pour $f$ définie en $D$, Pour $f$ définie en $D$,
on dit que la limite de $f(x)$ en $a$ est égale à l’infini si pour tout $c>0$ l’intervalle on dit que la limite de $f(x)$ en $a$ est égale à l’infini si pour tout $c>0$ l’intervalle
...@@ -129,7 +129,7 @@ $a$. On dit aussi que $f$ tend vers l'infini. ...@@ -129,7 +129,7 @@ $a$. On dit aussi que $f$ tend vers l'infini.
--- ---
Exemple (Limite, asymptote) +.# #### Exemple (Limite, asymptote) {-}
Si $f(x)=1/x^2$, alors $\lim\limits_{x\rightarrow 0}f(x)=\infty$. Si $f(x)=1/x^2$, alors $\lim\limits_{x\rightarrow 0}f(x)=\infty$.
...@@ -150,7 +150,7 @@ fonction $f$ en $a$. ...@@ -150,7 +150,7 @@ fonction $f$ en $a$.
Si la fonction $f$ admet une limite en $a$, alors les deux limites Si la fonction $f$ admet une limite en $a$, alors les deux limites
sont égales. sont égales.
Exemple (Limite à gauche/droite) +.# #### Exemple (Limite à gauche/droite) {-}
Si $f(x)=1/x$, alors $\lim\limits_{x\rightarrow 0^+} f(x)=\infty$ et Si $f(x)=1/x$, alors $\lim\limits_{x\rightarrow 0^+} f(x)=\infty$ et
$\lim\limits_{x\rightarrow 0^-} f(x)=-\infty$. $\lim\limits_{x\rightarrow 0^-} f(x)=-\infty$.
...@@ -179,7 +179,7 @@ $f(x)=3x^3+1$, $g(x)=4x^3+2x^2+x$ ...@@ -179,7 +179,7 @@ $f(x)=3x^3+1$, $g(x)=4x^3+2x^2+x$
$$ $$
\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{3x^3(1+1/3x^3)}{4x^3(1+1/2x^+1/4x^2)}=\frac{3}{4}.$$ \lim_{x\rightarrow \infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{3x^3(1+1/3x^3)}{4x^3(1+1/2x^+1/4x^2)}=\frac{3}{4}.$$
Ce genre d’estimations est imporant en informatique lors de l’analyse de Ce genre d’estimations est important en informatique lors de l’analyse de
performance des algorithmes. On peut prendre l’exemple des algorithmes performance des algorithmes. On peut prendre l’exemple des algorithmes
de tri “bubble sort” et “quick sort”. Leur complexité respective moyenne de tri “bubble sort” et “quick sort”. Leur complexité respective moyenne
est de $n^2$ et de $n\log(n)$, quand $n$ est le nombre d’éléments de la est de $n^2$ et de $n\log(n)$, quand $n$ est le nombre d’éléments de la
...@@ -202,13 +202,13 @@ $$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{\log(n)}=\frac{A}{\log(10)}\cdot\lim_{p\righ ...@@ -202,13 +202,13 @@ $$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{\log(n)}=\frac{A}{\log(10)}\cdot\lim_{p\righ
## Continuité ## Continuité
Définition (Continuité) +.# #### Définition (Continuité) {-}
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert $D$ contenant Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert $D$ contenant
$a$. On dit que $f$ est continue en $a$ si et seulement si $a$. On dit que $f$ est continue en $a$ si et seulement si
$\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)$. $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)$.
Propriétés (Fonctions continues) +.# #### Propriétés (Fonctions continues) {-}
Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues en $a$ et $b$ un réel: Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues en $a$ et $b$ un réel:
...@@ -220,14 +220,14 @@ Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues en $a$ et $b$ un réel: ...@@ -220,14 +220,14 @@ Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues en $a$ et $b$ un réel:
4. $h=g\circ f$ est continue en $a$. 4. $h=g\circ f$ est continue en $a$.
Définition (Continuité sur un intervalle) +.# #### Définition (Continuité sur un intervalle) {-}
Une fonction $f$ est dite continue dans un intervalle $D=]a;b[$ si et Une fonction $f$ est dite continue dans un intervalle $D=]a;b[$ si et
seulement si elle est continue en tout point de $D$. De plus, elle est seulement si elle est continue en tout point de $D$. De plus, elle est
continue sur $D=[a,b]$ si elle est continue sur $]a;b[$ et continue à continue sur $D=[a,b]$ si elle est continue sur $]a;b[$ et continue à
droite en $a$ et à gauche en $b$. droite en $a$ et à gauche en $b$.
Théorème (Valeurs intermédiaires) +.# #### Théorème (Valeurs intermédiaires) {-}
Soit $f$ une fonction continue Soit $f$ une fonction continue
sur $D$, et $a,b$ deux points contenus dans $D$ tels que $a<b$ et sur $D$, et $a,b$ deux points contenus dans $D$ tels que $a<b$ et
...@@ -236,7 +236,7 @@ Nous pouvons bien sûr énoncer un résultat similaire dans le cas $f(a9>f(b)$. ...@@ -236,7 +236,7 @@ Nous pouvons bien sûr énoncer un résultat similaire dans le cas $f(a9>f(b)$.
## Dérivées ## Dérivées
Définition (Dérivée en un point) +.# #### Définition (Dérivée en un point) {-}
Soit $f$ une fonction définie sur $D$ et $a\in D$. On dit que $f$ est Soit $f$ une fonction définie sur $D$ et $a\in D$. On dit que $f$ est
dérivable en $a$ s’il existe un $b$ (appelé la dérivée de $f$ en $a$) dérivable en $a$ s’il existe un $b$ (appelé la dérivée de $f$ en $a$)
...@@ -244,17 +244,17 @@ tel que $$\begin{aligned} ...@@ -244,17 +244,17 @@ tel que $$\begin{aligned}
&\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=b,\hbox{ ou}\\ &\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=b,\hbox{ ou}\\
&\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=b.\end{aligned}$$ &\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=b.\end{aligned}$$
Définition (Dérivée sur un intervalle) +.# #### Définition (Dérivée sur un intervalle) {-}
Si $f$ est dérivable en tout point de $D=]a;b[$, alors on définit $f'$ Si $f$ est dérivable en tout point de $D=]a;b[$, alors on définit $f'$
la fonction dérivée de $f$ dans l’intervalle $D$ qui associe en tout la fonction dérivée de $f$ dans l’intervalle $D$ qui associe en tout
point $x$ de $D$ la valeur dérivée de $f$. point $x$ de $D$ la valeur dérivée de $f$.
Propriété +.# #### Propriété {-}
Si $f$ est dérivable en $a$ alors $f$ est continue en $a$. Si $f$ est dérivable en $a$ alors $f$ est continue en $a$.
Propriétés +.# #### Propriétés {-}
Soient $f$ et $g$ deux fonctions dérivables sur $D$ (dont les dérivées sont $f'$ Soient $f$ et $g$ deux fonctions dérivables sur $D$ (dont les dérivées sont $f'$
et $g'$), et $a\in{\real}$, alors et $g'$), et $a\in{\real}$, alors
...@@ -285,14 +285,14 @@ $C\in {\real}$, nous avons ...@@ -285,14 +285,14 @@ $C\in {\real}$, nous avons
6. $f(x)=\cos(x)$, $f'(x)=-\sin(x$). 6. $f(x)=\cos(x)$, $f'(x)=-\sin(x$).
Définition (Dérivée seconde) +.# #### Définition (Dérivée seconde) {-}
Si $f'$ est dérivable sur $D$, alors sa dérivée, notée $f''$, est Si $f'$ est dérivable sur $D$, alors sa dérivée, notée $f''$, est
appelée la dérivée seconde de $f$. appelée la dérivée seconde de $f$.
### Variation des fonctions ### Variation des fonctions
Propriétés (Croissance/décroissance) +.# #### Propriétés (Croissance/décroissance) {-}
Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $D$ Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $D$
...@@ -302,13 +302,13 @@ Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $D$ ...@@ -302,13 +302,13 @@ Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $D$
3. Si $f'=0$ sur $D$, alors $f$ est constante sur $D$. 3. Si $f'=0$ sur $D$, alors $f$ est constante sur $D$.
Définition (Maximum/minimum local) +.# #### Définition (Maximum/minimum local) {-}
Une fonction admet un maximum local (respectivement minimum local) sur Une fonction admet un maximum local (respectivement minimum local) sur
un intervalle $D=]a;b[$ s’il existe un $x_0\in D$ tel que $f(x_0)\geq f(x)$ un intervalle $D=]a;b[$ s’il existe un $x_0\in D$ tel que $f(x_0)\geq f(x)$
(respectivement $f(x_0)\leq f(x)$) pour tout $x\in D$. (respectivement $f(x_0)\leq f(x)$) pour tout $x\in D$.
Propriété (Maximum/minimum) +.# #### Propriété (Maximum/minimum) {-}
Soient $f$ une fonction dérivable sur $D=]a;b[$ et $x_0\in D$. On dit que $f$ Soient $f$ une fonction dérivable sur $D=]a;b[$ et $x_0\in D$. On dit que $f$
admet un extremum en $x_0$ si $f'(x_0)=0$. De plus si admet un extremum en $x_0$ si $f'(x_0)=0$. De plus si
......
03_optimisation.md → 02_optimisation.md
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View file @ 295d1cbf
...@@ -9,7 +9,7 @@ $i=1,...,N$ (voir @fig:reg). ...@@ -9,7 +9,7 @@ $i=1,...,N$ (voir @fig:reg).
<https://bit.ly/2SfiLzb>](figs/Linear_regression.svg){#fig:reg width=70%} <https://bit.ly/2SfiLzb>](figs/Linear_regression.svg){#fig:reg width=70%}
Pour déterminer l'équation de cette droite, nous devons donc trouver les coefficients $a$ et $b$ tels que la droite Pour déterminer l'équation de cette droite, nous devons donc trouver les coefficients $a$ et $b$ tels que la droite
passe au plus proche des points. Nous devons d'abord définir ce que signifie mathématiquement "passe au mieux par au travaers du nuage de points". passe au plus proche des points. Nous devons d'abord définir ce que signifie mathématiquement "passe au mieux par au travers du nuage de points".
Une façon de mesurer la "qualité" d'une droite est de mesurer la somme des distances au carré entre les points $(x_i,y_i)$ et Une façon de mesurer la "qualité" d'une droite est de mesurer la somme des distances au carré entre les points $(x_i,y_i)$ et
la droite $y(x)=a\cdot x + b$ pour des valeurs de $a$ et $b$ données, soit la droite $y(x)=a\cdot x + b$ pour des valeurs de $a$ et $b$ données, soit
$$ $$
...@@ -45,7 +45,7 @@ a &= \frac{C}{B}=\frac{\sum_{i=1}^Nx_iy_i}{\sum_{i=1}^Nx_i^2}. ...@@ -45,7 +45,7 @@ a &= \frac{C}{B}=\frac{\sum_{i=1}^Nx_iy_i}{\sum_{i=1}^Nx_i^2}.
--- ---
Exemple +.# #### Exemple {-}
Soient les 4 points $(0, 0.1)$, $(1, 0.3)$, $(2, 0.3)$ et $(3, 0.4)$. La fonction d'erreur $E(a)$ s'écrit Soient les 4 points $(0, 0.1)$, $(1, 0.3)$, $(2, 0.3)$ et $(3, 0.4)$. La fonction d'erreur $E(a)$ s'écrit
$$ $$
...@@ -71,25 +71,25 @@ Ce genre de problème, bien que possédant un espace de recherche infini, ...@@ -71,25 +71,25 @@ Ce genre de problème, bien que possédant un espace de recherche infini,
est bien souvent plus simple à résoudre que les problèmes d'optimisation discrets, car il possède un cadre théorique mieux défini. est bien souvent plus simple à résoudre que les problèmes d'optimisation discrets, car il possède un cadre théorique mieux défini.
Pour le résoudre, nous avons commencé par construire un modèle mathématique. Pour le résoudre, nous avons commencé par construire un modèle mathématique.
Nous avons défini une fonction à minimiser, $E(a)$, et ajouté une contraite, la forme de $y(x)$. Puis, il a suffi de trouver le minimum de $E(a)$ Nous avons défini une fonction à minimiser, $E(a)$, et ajouté une contrainte, la forme de $y(x)$. Puis, il a suffi de trouver le minimum de $E(a)$
sous la contrainte et le tour était joué. sous la contrainte et le tour était joué.
## L'optimisation mathématique ## L'optimisation mathématique
Suite à ces deux exemples, nous allons essayer de définir de façon assez théorique comment formuler mathématiquement un problème d'optimisation. Suite à ces deux exemples, nous allons essayer de définir de façon assez théorique comment formuler mathématiquement un problème d'optimisation.
Il existe deux types disctincts de problèmes d'optimisation: Il existe deux types distincts de problèmes d'optimisation:
1. L'optimisation continue. 1. L'optimisation continue.
2. L'optimisation discrète (souvent appelée optimisation combinatoire). 2. L'optimisation discrète (souvent appelée optimisation combinatoire).
Dans ce chapitre nous ne parlerons que del'optimisation continue. Dans ce chapitre nous ne parlerons que de l'optimisation continue.
### L'optimisation continue ### L'optimisation continue
L'optimisation continue ou *programme mathématique continu* est un programme d'optimisation soumis à certaines contraintes. L'optimisation continue ou *programme mathématique continu* est un programme d'optimisation soumis à certaines contraintes.
On peut l'exprimer de la façon suivante. On peut l'exprimer de la façon suivante.
Soit $f:\real^n\rightarrow\real$ une fonction objectif (ou fontion de coût), on cherche $\vec x_0\in\real^n$, tel que $f(\vec x_0)\leq f(\vec x)$ pour $\vec x$ certaines conditions: **les contraintes**. Celles-ci sont en général des égalités strictes ou des inégalités qui peuvent s'exprimer de la façon suivante. Soit $f:\real^n\rightarrow\real$ une fonction objectif (ou fonction de coût), on cherche $\vec x_0\in\real^n$, tel que $f(\vec x_0)\leq f(\vec x)$ pour $\vec x$ certaines conditions: **les contraintes**. Celles-ci sont en général des égalités strictes ou des inégalités qui peuvent s'exprimer de la façon suivante.
Soient $m$ fonctions $g_i:\real^n\rightarrow\real$ Soient $m$ fonctions $g_i:\real^n\rightarrow\real$
\begin{align} \begin{align}
&g_i(\vec x)\leq 0,\quad i=1,...,m. &g_i(\vec x)\leq 0,\quad i=1,...,m.
...@@ -119,7 +119,7 @@ optimiser les poids des réseaux de neurones. ...@@ -119,7 +119,7 @@ optimiser les poids des réseaux de neurones.
## Optimisation continue ## Optimisation continue
Dans cette section, nous allons considérer des problèmes purement continus. Dans cette section, nous allons considérer des problèmes purement continus.
Nous allons dans un premier temps considérer une fonction opbjectif, $f$, Nous allons dans un premier temps considérer une fonction objectif, $f$,
$$ $$
f:D\rightarrow\real,\quad D\subseteq \real, f:D\rightarrow\real,\quad D\subseteq \real,
$$ $$
...@@ -144,8 +144,8 @@ $$ ...@@ -144,8 +144,8 @@ $$
Les cas où $f''(x)=0$ est un point d'inflexion et $f''(x)<0$ est un maximum. Les cas où $f''(x)=0$ est un point d'inflexion et $f''(x)<0$ est un maximum.
Un autre problème beaucoup plus compliqué à résoudre est de déterminer un minimum **global**. Un autre problème beaucoup plus compliqué à résoudre est de déterminer un minimum **global**.
En effet, comme pour la fonction de Ackley (voir la @fig:ackley), une fonction peut posséder un grand nombre de minimam **locaux** (où En effet, comme pour la fonction de Ackley (voir la @fig:ackley), une fonction peut posséder un grand nombre de minima **locaux** (où
$f'(x)=0$ et $f''(x)>0$) mais qui n'est pas un mimumum global. $f'(x)=0$ et $f''(x)>0$) mais qui n'est pas un minimum global.
Mathématiquement un *minimum local* se définit comme $x^\ast$ tel qu'il existe $\delta>0$ et que $f(x^\ast)\leq f(x)$, pour Mathématiquement un *minimum local* se définit comme $x^\ast$ tel qu'il existe $\delta>0$ et que $f(x^\ast)\leq f(x)$, pour
$x\in[x^\ast-\delta,x^\ast+delta]$. Un *minimum global* est un $x^\ast$ tel que $\forall x\in D$, $f(x^\ast)\leq f(x)$. $x\in[x^\ast-\delta,x^\ast+delta]$. Un *minimum global* est un $x^\ast$ tel que $\forall x\in D$, $f(x^\ast)\leq f(x)$.
...@@ -166,7 +166,7 @@ analytiquement les zéros. En revanche, pour des fonctions plus complexes, ou "i ...@@ -166,7 +166,7 @@ analytiquement les zéros. En revanche, pour des fonctions plus complexes, ou "i
l'équation $g(x)=0$ sous la forme $x=...$) la détermination des zéros est beaucoup plus difficile et nécessite l'utilisation l'équation $g(x)=0$ sous la forme $x=...$) la détermination des zéros est beaucoup plus difficile et nécessite l'utilisation
de **méthodes itératives**. Nous allons en voir quelques unes. de **méthodes itératives**. Nous allons en voir quelques unes.
## Méthodes par raffienement d'intervalles ## Méthodes par raffinement d'intervalles
### Méthode de la bissection ### Méthode de la bissection
...@@ -175,7 +175,7 @@ de **méthodes itératives**. Nous allons en voir quelques unes. ...@@ -175,7 +175,7 @@ de **méthodes itératives**. Nous allons en voir quelques unes.
Afin de déterminer le zéro d'une fonction, une des méthodes les plus simple est la méthode de la bissection. Afin de déterminer le zéro d'une fonction, une des méthodes les plus simple est la méthode de la bissection.
Il s'agit de choisir deux points, $a_1$ et $b_1$, $b_1>a_1$, tels que le signe de $g(a_1)$ et $g(b_1)$ est différent. Il s'agit de choisir deux points, $a_1$ et $b_1$, $b_1>a_1$, tels que le signe de $g(a_1)$ et $g(b_1)$ est différent.
Si cela est le cas, nous aommes assurés de l'existence d'au moins un zéro si la fonction $g(x)$ est continue Si cela est le cas, nous sommes assurés de l'existence d'au moins un zéro si la fonction $g(x)$ est continue
(en vertu du théorème de la valeur intermédiaire). Ensuite, nous allons calculer la valeur se situant "au milieu" (en vertu du théorème de la valeur intermédiaire). Ensuite, nous allons calculer la valeur se situant "au milieu"
entre $a_1$ et $b_1$ entre $a_1$ et $b_1$
$$ $$
...@@ -183,7 +183,7 @@ c_1=\frac{b_1+a_1}{2}. ...@@ -183,7 +183,7 @@ c_1=\frac{b_1+a_1}{2}.
$$ $$
Puis, nous évaluons $g(c_1)$ et si ce n'est pas un zéro, étudions son signe. Si le signe $g(c_1)$ est différent de celui de $g(a_1)$, nous remplaçons Puis, nous évaluons $g(c_1)$ et si ce n'est pas un zéro, étudions son signe. Si le signe $g(c_1)$ est différent de celui de $g(a_1)$, nous remplaçons
$b_1$ par $c_1$ et recommençons. Si le signe de $g(c_1)$ est différent de celui de $g(b_1)$, nous remplaçons $a_1$ par $c_1$. $b_1$ par $c_1$ et recommençons. Si le signe de $g(c_1)$ est différent de celui de $g(b_1)$, nous remplaçons $a_1$ par $c_1$.
Nous itérons cette méthode jusqu'à ce que nous ayons atteint une valeur "siffisamment proche" (nous vons une précision acceptable pour nous) Nous itérons cette méthode jusqu'à ce que nous ayons atteint une valeur "suffisamment proche" (nous avons une précision acceptable pour nous)
de zéro. Une façon d'exprimer "proche" est de considérer la taille de l'intervalle $b_1-a_1$ et de le comparer avec une précision $\varepsilon>0$ que nous de zéro. Une façon d'exprimer "proche" est de considérer la taille de l'intervalle $b_1-a_1$ et de le comparer avec une précision $\varepsilon>0$ que nous
aurons choisie aurons choisie
$$ $$
...@@ -196,7 +196,7 @@ distance maximale du zéro de $(b_1+a_1)/2^n$. On dit que cette méthode est d'o ...@@ -196,7 +196,7 @@ distance maximale du zéro de $(b_1+a_1)/2^n$. On dit que cette méthode est d'o
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Exercice (Racice de polynôme) +.# #### Exercice (Racine de polynôme) {-}
Déterminer la racine du polynôme $x^4+x^3+x^2-1$ avec $a_1=0.5$ et $b_1=1$ (faire au maximum 6 itérations). Déterminer la racine du polynôme $x^4+x^3+x^2-1$ avec $a_1=0.5$ et $b_1=1$ (faire au maximum 6 itérations).
...@@ -232,7 +232,7 @@ La méthode de la fausse position est plus efficace que la méthode de la bissec ...@@ -232,7 +232,7 @@ La méthode de la fausse position est plus efficace que la méthode de la bissec
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Exercice +.# #### Exercice {-}
Déterminer le zéro positif de la fonction Déterminer le zéro positif de la fonction
$$ $$
...@@ -261,7 +261,7 @@ En revanche elle est plus efficace, lorsque qu'elle converge, que ces deux méth ...@@ -261,7 +261,7 @@ En revanche elle est plus efficace, lorsque qu'elle converge, que ces deux méth
--- ---
Exercice +.# #### Exercice {-}
Déterminer le zéro positif de la fonction Déterminer le zéro positif de la fonction
$$ $$
...@@ -271,7 +271,7 @@ $$ ...@@ -271,7 +271,7 @@ $$
--- ---
### Recherche de la fourchette intiale ### Recherche de la fourchette initiale
Dans les méthodes ci-dessus, nous avons supposé que nous avions une fonction $g(x)$ continue, ainsi qu'un intervalle, $[a,b]$, Dans les méthodes ci-dessus, nous avons supposé que nous avions une fonction $g(x)$ continue, ainsi qu'un intervalle, $[a,b]$,
avec avec
...@@ -282,7 +282,7 @@ Mais, nous n'avons pas encore vu de méthode pour déterminer les valeur de la f ...@@ -282,7 +282,7 @@ Mais, nous n'avons pas encore vu de méthode pour déterminer les valeur de la f
--- ---
Remarque +.# #### Remarque {-}
On peut procéder de façon très similaire pour $[a,b]$ tel que On peut procéder de façon très similaire pour $[a,b]$ tel que
...@@ -304,7 +304,7 @@ Si $f(b)>0$, on a terminé. Sinon on recommence avec $k\rightarrow 2\cdot k$ et ...@@ -304,7 +304,7 @@ Si $f(b)>0$, on a terminé. Sinon on recommence avec $k\rightarrow 2\cdot k$ et
## Méthodes de descentes locales ## Méthodes de descentes locales
L'idée de ce type de méthodes est, contrairement aux méthodes de la section précédente, d'utiliser des L'idée de ce type de méthodes est, contrairement aux méthodes de la section précédente, d'utiliser des
connaissances *locales* que nous pouvons avoir sur la fonction. Cette connsaissance loale connaissances *locales* que nous pouvons avoir sur la fonction. Cette connaissance locale
a en général comme effet une *convergence* plus rapide de l'algorithme de recherche de zéros. a en général comme effet une *convergence* plus rapide de l'algorithme de recherche de zéros.
### Méthode de Newton (ou *Newton-Raphson*) ### Méthode de Newton (ou *Newton-Raphson*)
...@@ -338,12 +338,12 @@ $$ ...@@ -338,12 +338,12 @@ $$
|g(x_n)| < \varepsilon,\quad |x_n-x_{n-1}| < \varepsilon. |g(x_n)| < \varepsilon,\quad |x_n-x_{n-1}| < \varepsilon.
$$ $$
Lorsque qu'elle converge la mtéhode de Newton est la plus efficace de toutes celles que nous avons vues. On dit qu'elle est d'ordre $2$. Lorsque qu'elle converge la méthode de Newton est la plus efficace de toutes celles que nous avons vues. On dit qu'elle est d'ordre $2$.
En revanche les contraintes pour sa convergence sont plus strictes que pour les méthodes vues précédemment. En revanche les contraintes pour sa convergence sont plus strictes que pour les méthodes vues précédemment.
--- ---
Remarque (non-convergence ou convergence lente) +.# #### Remarque (non-convergence ou convergence lente) {-}
Il y a un certain nombre de cas où la méthode de Newton ne converge pas. Il y a un certain nombre de cas où la méthode de Newton ne converge pas.
...@@ -357,7 +357,7 @@ Il y a un certain nombre de cas où la méthode de Newton ne converge pas. ...@@ -357,7 +357,7 @@ Il y a un certain nombre de cas où la méthode de Newton ne converge pas.
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Exercice +.# #### Exercice {-}
Déterminer le zéro de la fonction Déterminer le zéro de la fonction
$$ $$
...@@ -375,9 +375,9 @@ Il suffit de remplacer $g(x)$ par $f'(x)$ et le tour est joué. ...@@ -375,9 +375,9 @@ Il suffit de remplacer $g(x)$ par $f'(x)$ et le tour est joué.
--- ---
Exercice +.# #### Exercice {-}
Écrire l'algorithme de Newton pour le cas de la minimisation d'une fonction $f(x)$ quelconque, mais continuement dérivable 2 fois. Écrire l'algorithme de Newton pour le cas de la minimisation d'une fonction $f(x)$ quelconque, mais continûment dérivable 2 fois.
--- ---
...@@ -398,7 +398,7 @@ f:\real^n\rightarrow \real. ...@@ -398,7 +398,7 @@ f:\real^n\rightarrow \real.
--- ---
Exemple (Régression linéaire) +.# #### Exemple (Régression linéaire) {-}
Dans le cas de la régression linéaire, si la droite ne passe pas par l'origine, nous avons que Dans le cas de la régression linéaire, si la droite ne passe pas par l'origine, nous avons que
la fonction de coût qui dépend de deux variables, $a$, et $b$ (et plus uniquement de $a$) la fonction de coût qui dépend de deux variables, $a$, et $b$ (et plus uniquement de $a$)
...@@ -417,7 +417,7 @@ f'(a)=\frac{\dd f}{\dd x}(a)=\lim_{\dd x\rightarrow 0}\frac{f(a+\dd x)-f(a)}{\dd ...@@ -417,7 +417,7 @@ f'(a)=\frac{\dd f}{\dd x}(a)=\lim_{\dd x\rightarrow 0}\frac{f(a+\dd x)-f(a)}{\dd
\end{equation} \end{equation}
La notation ici n'est pas tout à fait usuelle. L'idée est de se rappeler que ce $\dd x$ est une toute petite variation La notation ici n'est pas tout à fait usuelle. L'idée est de se rappeler que ce $\dd x$ est une toute petite variation
de $x$, et $\dd f$, une toute petite variation de $f$ en $a$. On voit immédiatement que cette quantité est la pente de $x$, et $\dd f$, une toute petite variation de $f$ en $a$. On voit immédiatement que cette quantité est la pente
de $f$ en $a$. Lorsque nous étudions une fonction à plusieurs variables, nous pouvons faire le même raisonnement pour chaque variable indépendemment. de $f$ en $a$. Lorsque nous étudions une fonction à plusieurs variables, nous pouvons faire le même raisonnement pour chaque variable indépendamment.
Ainsi, nous calculons sa dérivée dans chacune des directions $x$, $y$, ... Ainsi, nous calculons sa dérivée dans chacune des directions $x$, $y$, ...
Cette vision de la dérivée comme une variation de $f$, $\dd f$, divisée par une petite variation de $x$, $\dd x$, permet Cette vision de la dérivée comme une variation de $f$, $\dd f$, divisée par une petite variation de $x$, $\dd x$, permet
...@@ -445,7 +445,7 @@ Comme on le voit ici, pour chaque dérivée partielle, on ne fait varier qu'une ...@@ -445,7 +445,7 @@ Comme on le voit ici, pour chaque dérivée partielle, on ne fait varier qu'une
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Exemple (Dérivée partielle) +.# #### Exemple (Dérivée partielle) {-}
Les dérivée partielles de la fonction Les dérivée partielles de la fonction
$$ $$
...@@ -468,7 +468,7 @@ $$ ...@@ -468,7 +468,7 @@ $$
--- ---
Remarque +.# #### Remarque {-}
Pour une fonction à une seule variable, $f(x)$, on a que Pour une fonction à une seule variable, $f(x)$, on a que
$$ $$
...@@ -488,7 +488,7 @@ pour les façon à une seule variable. Pour une fonction à deux variables, on a ...@@ -488,7 +488,7 @@ pour les façon à une seule variable. Pour une fonction à deux variables, on a
--- ---
Remarque +.# #### Remarque {-}
Si $f$ est dérivable en $x$ et $y$, on a que Si $f$ est dérivable en $x$ et $y$, on a que
$$ $$
...@@ -499,7 +499,7 @@ $$ ...@@ -499,7 +499,7 @@ $$
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Exemple (Dérivées partielles deuxièmes) +.# #### Exemple (Dérivées partielles deuxièmes) {-}
Pour la fonction $f(x,y)=x^2-y^2$, on a Pour la fonction $f(x,y)=x^2-y^2$, on a
\begin{align} \begin{align}
...@@ -549,14 +549,14 @@ $$ ...@@ -549,14 +549,14 @@ $$
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Exemple (Gradient d'une fonction à deux variables) +.# #### Exemple (Gradient d'une fonction à deux variables) {-}
Pour la fonction $f(x,y)=x^2-y^2$, le gradient est donné par Pour la fonction $f(x,y)=x^2-y^2$, le gradient est donné par
$$ $$
\vec \nabla f=\left(2x, -2y\right)^\mathrm{T}. \vec \nabla f=\left(2x, -2y\right)^\mathrm{T}.
$$ $$
Graphiquement, ceci est un *champds de vecteur* est peut se représenter comme Graphiquement, ceci est un *champs de vecteur* est peut se représenter comme
![Le champs de vecteur $\vec \nabla f(x,y)=(2x,-2y)^\mathrm{T}$.](figs/gradient_vec.svg){width="50%"} ![Le champs de vecteur $\vec \nabla f(x,y)=(2x,-2y)^\mathrm{T}$.](figs/gradient_vec.svg){width="50%"}
...@@ -610,7 +610,7 @@ Le taux de variation maximal est donc la longueur du vecteur $\vec \nabla f$. ...@@ -610,7 +610,7 @@ Le taux de variation maximal est donc la longueur du vecteur $\vec \nabla f$.
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Remarque (Généralisation) +.# #### Remarque (Généralisation) {-}
Tout ce que nous venons d'écrire ici se généralise à un nombre arbitraire de dimensions. Tout ce que nous venons d'écrire ici se généralise à un nombre arbitraire de dimensions.
...@@ -711,10 +711,69 @@ Même si cela ne suffit pas à prouver mathématique que $\vec 0$ est le minimum ...@@ -711,10 +711,69 @@ Même si cela ne suffit pas à prouver mathématique que $\vec 0$ est le minimum
--- ---
Question +.# #### Question {-}
Avec ce qui précède, voyez-vous une façon de trouver le minimum de la fonction $f(x,y)$? Avec ce qui précède, voyez-vous une façon de trouver le minimum de la fonction $f(x,y)$?
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Une méthode pour trouver le minimum de $f(x,y)$ est la méthode de la *descente de gradient*. Une méthode pour trouver le minimum de $f(x,y)$ est la méthode de la *descente de gradient*. Cette méthode
correspond intuitivement à la méthode que suivrait un skieur pour arriver le plus vite possible en bas d'une montagne. Pour ce faire, il suivrait toujours la pente
la plus raide possible.
La méthode de la descente de gradient est une méthode
itérative. Soient donnés un point de départ $\vec x_0$,
et une fonction objectif $f(\vec x)$, on va approximer
le zéro itérativement avec une suite $\vec x_1$, $\vec x_2$, ... telle que
\begin{align}
\vec x_1&=x_0-\lambda\cdot \nabla f(\vec x_0),\\
\vec x_2&=x_1-\lambda\cdot \nabla f(\vec x_1),\\
\cdots
\vec x_{n+1}&=x_n-\lambda\cdot f(\vec x_n),
\end{align}
où $\lambda\in \real^+$ est un coefficient positif.
On peut assez facilement se convaincre que si $\lambda$ est suffisamment petit, alors $f(\vec x_{n+1})\leq f(\vec x_n)$ (on ne fait que descendre la pente jusqu'à atteindre un minimum). Une illustration de ce processus
peut se voir dans la @fig:gradient.
![Suite d'étapes pour la descente de gradient. En bleu on voit les courbes de niveaux (les courbes où $f(\vec x)$ est constante). Source: Wikipedia
<https://bit.ly/2Fhvn7p>](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/ff/Gradient_descent.svg){#fig:gradient width=70%}
---
#### Exemple (quelques itérations) {-}
Prenons la fonction objectif $f(x,y)$ suivante
$$
f(x,y)=x^2+y^2,
$$
et son gradient
$$
\nabla f(x,y)=2x+2y.
$$
Si on prend comme point de départ $\vec x_0=(1,0.5)$ et $\lambda=0.25$, on a
\begin{align}
\vec x_1=\vec x_0-\lambda\cdot \nabla f(\vec x_0)=(1,0.5)-0.25\cdot (2\cdot 1, 2\cdot 0.5)=(0.5, 0.25),\\
\vec x_2=\vec x_1-\lambda\cdot \nabla f(\vec x_1)=(0.5,0.25)-0.25\cdot (2\cdot 0.5, 2\cdot 0.25)=(0.25, 0.125),\\
\cdots
\end{align}
En changeant $\lambda=0.5$, on voit qu'on arrive sur le zéro de la fonction en une itération
\begin{align}
\vec x_1=\vec x_0-\lambda\cdot \nabla f(\vec x_0)=(1,0.5)-0.5\cdot (2\cdot 1, 2\cdot 0.5)=(0, 0).
\end{align}
---
Comme pour les fonction à une seule variable, il est nécessaire de spécifier une condition d'arrêt pour
la descente de gradient. En général, on choisit une tolérance, $\varepsilon>0$, et la condition d'arrêt s'écrit
$$
\mbox{Si }||\vec x_{n+1}-\vec x_n|| < \varepsilon,
$$
alors $\vec x_{n+1}$ est le zéro de $f(\vec x)$.
Dépendant de la valeur de $\lambda$ la *convergence* de la méthode peut varier grandement. Si $\lambda$ est trop petit
il faut une énorme quantité d'itérations pour atteindre le minimum. A l'inverse, en choisissant un $\lambda$ trop grand,
nous ne somme pas sûrs que nous convergerons un jour. En effet, on pourrait s'éloigner de plus en plus
du minimum plutôt que de sen approcher. En général, on choisit $\lambda\in[0,1)$ mais il n'y a pas de méthode générale pour en choisir une valeur "optimale".
Cela signifie que pour une fonction quelconque, $\lambda$ est choisi de façon empirique.
02_integrales.md → 03_integrales.md
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View file @ 295d1cbf
...@@ -38,14 +38,14 @@ L’aire de sous la fonction $f(x)$ est donnée par la limite pour ...@@ -38,14 +38,14 @@ L’aire de sous la fonction $f(x)$ est donnée par la limite pour
$n\rightarrow\infty$ de $A^i$ ou $A^s$ (si elle existe). Dans ce cas $n\rightarrow\infty$ $A^R$ (pris en sandwich entre $A^i$ et $A^n$) $n\rightarrow\infty$ de $A^i$ ou $A^s$ (si elle existe). Dans ce cas $n\rightarrow\infty$ $A^R$ (pris en sandwich entre $A^i$ et $A^n$)
nous donne aussi l'aire sous la fonction. nous donne aussi l'aire sous la fonction.
Remarque +.# #### Remarque {-}
1. Ces sommes peuvent être positives ou négatives en fonction du signe 1. Ces sommes peuvent être positives ou négatives en fonction du signe
de $f$. de $f$.
2. Une implémentation informatique est immédiate, en particulier pour la somme de Riemann. 2. Une implémentation informatique est immédiate, en particulier pour la somme de Riemann.
Définition (Intégrabilité au sens de Riemann) +.# #### Définition (Intégrabilité au sens de Riemann) {-}
Une fonction est dite intégrable au sens de Riemann si Une fonction est dite intégrable au sens de Riemann si
$$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}A^i(n)=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}A^s(n)=\int_a^b f(x){\mathrm{d}}x.$$ $$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}A^i(n)=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}A^s(n)=\int_a^b f(x){\mathrm{d}}x.$$
...@@ -60,7 +60,7 @@ d’intégration. ...@@ -60,7 +60,7 @@ d’intégration.
--- ---
Exemple (Intégration de Riemann) +.# #### Exemple (Intégration de Riemann) {-}
Intégrer de $f(x)=x$ dans intervalle $[0,1]$. Intégrer de $f(x)=x$ dans intervalle $[0,1]$.
...@@ -68,7 +68,7 @@ Intégrer de $f(x)=x$ dans intervalle $[0,1]$. ...@@ -68,7 +68,7 @@ Intégrer de $f(x)=x$ dans intervalle $[0,1]$.
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Solution (Intégration de Riemann) +.# #### Solution (Intégration de Riemann) {-}
Il est élémentaire de calculer que cette aire vaut $1/2$ (c’est l’aire d’un Il est élémentaire de calculer que cette aire vaut $1/2$ (c’est l’aire d’un
triangle rectangle de côté 1). Néanmoins, évaluons également cette aire triangle rectangle de côté 1). Néanmoins, évaluons également cette aire
...@@ -89,7 +89,7 @@ $\sup\limits_{[x_i,x_{i+1}]}f(x)=f(x_{i+1})$. On a donc que ...@@ -89,7 +89,7 @@ $\sup\limits_{[x_i,x_{i+1}]}f(x)=f(x_{i+1})$. On a donc que
--- ---
Exemple (Intégration de Riemann de $x^2$) +.# #### Exemple (Intégration de Riemann de $x^2$) {-}
Calculer l’aire sous la courbe de $f(x)=x^2$ dans intervalle $[0,1]$. Calculer l’aire sous la courbe de $f(x)=x^2$ dans intervalle $[0,1]$.
...@@ -125,7 +125,7 @@ Si maintenant nous essayons de généraliser le calcul de l’intégrale ...@@ -125,7 +125,7 @@ Si maintenant nous essayons de généraliser le calcul de l’intégrale
d’une fonction, il s’avère que le calcul d’une intégrale est l’inverse d’une fonction, il s’avère que le calcul d’une intégrale est l’inverse
du calcul d’une dérivée. du calcul d’une dérivée.
Définition (Primitive) +.# #### Définition (Primitive) {-}
Soit $f$ une fonction. On dit que $F$ est une primitive de $f$ sur Soit $f$ une fonction. On dit que $F$ est une primitive de $f$ sur
l’intervalle $D\subseteq{\real}$ si $F'(x)=f(x)$ $\forall x\in D$. l’intervalle $D\subseteq{\real}$ si $F'(x)=f(x)$ $\forall x\in D$.
...@@ -136,14 +136,14 @@ primitive de $f$. On voit que la primitive de $f$ est définie à une ...@@ -136,14 +136,14 @@ primitive de $f$. On voit que la primitive de $f$ est définie à une
constante additive près. En effet, si $F'=f$ on a constante additive près. En effet, si $F'=f$ on a
$$G'=F'+\underbrace{C'}_{=0}=F'=f.$$ $$G'=F'+\underbrace{C'}_{=0}=F'=f.$$
Théorème (Unicité) +.# #### Théorème (Unicité) {-}
Pour $a\in D$ et $b\in{\real}$ il existe une unique Pour $a\in D$ et $b\in{\real}$ il existe une unique
primitive $F$ telle que $F(a)=b$. primitive $F$ telle que $F(a)=b$.
--- ---
Illustration (Unicité) +.# #### Illustration (Unicité) {-}
Soit $f(x)=x$, alors l’ensemble de primitives correspondantes est Soit $f(x)=x$, alors l’ensemble de primitives correspondantes est
$G=x^2/2+C$. Si nous cherchons la primitive telle que $G(0)=0$, il vient $G=x^2/2+C$. Si nous cherchons la primitive telle que $G(0)=0$, il vient
...@@ -153,7 +153,7 @@ que $C=0$ et donc la primitive est unique et vaut $F(x)=x^2/2$. ...@@ -153,7 +153,7 @@ que $C=0$ et donc la primitive est unique et vaut $F(x)=x^2/2$.
--- ---
Exercices (Primitives) +.# #### Exercices (Primitives) {-}
Calculez les primitives suivantes (*indication: il s’agit de trouver les Calculez les primitives suivantes (*indication: il s’agit de trouver les
fonctions $F(x)$ telles que $F'(x)=f(x)$*): fonctions $F(x)$ telles que $F'(x)=f(x)$*):
...@@ -186,7 +186,7 @@ pouvons récapituler des formules qui seront importantes pour la suite: ...@@ -186,7 +186,7 @@ pouvons récapituler des formules qui seront importantes pour la suite:
5. $\int \cos(x){\mathrm{d}}x=\sin(x)+C$. 5. $\int \cos(x){\mathrm{d}}x=\sin(x)+C$.
Théorème (Théorème fondamental du calcul intégral) +.# #### Théorème (Théorème fondamental du calcul intégral) {-}
En définissant à présent l’intégrale à l’aide de la notion En définissant à présent l’intégrale à l’aide de la notion
de primitive, nous avons que pour $a,b\in{\real}$ et $a<b$ de primitive, nous avons que pour $a,b\in{\real}$ et $a<b$
...@@ -199,7 +199,7 @@ symbole $x$ par n’importe quelle autre lettre (sauf $a,b,f,F$). ...@@ -199,7 +199,7 @@ symbole $x$ par n’importe quelle autre lettre (sauf $a,b,f,F$).
--- ---
Remarque +.# #### Remarque {-}
On notera que la constante additive $C$ a disparu de cette formule. En On notera que la constante additive $C$ a disparu de cette formule. En
effet, remplaçons $F$ par $G=F+C$, il vient effet, remplaçons $F$ par $G=F+C$, il vient
...@@ -215,7 +215,7 @@ Nous pouvons à présent définir la fonction $G(x)$ telle que ...@@ -215,7 +215,7 @@ Nous pouvons à présent définir la fonction $G(x)$ telle que
$$G(x)=\int_a^xf(y){\mathrm{d}}y=F(x)-F(a).$$ Il suit que $G(x)$ $$G(x)=\int_a^xf(y){\mathrm{d}}y=F(x)-F(a).$$ Il suit que $G(x)$
est la primitive de $f$ telle que $G(a)=0$. est la primitive de $f$ telle que $G(a)=0$.
Propriétés +.# #### Propriétés {-}
Soient $f$ et $g$ deux fonctions intégrables sur un intervalle Soient $f$ et $g$ deux fonctions intégrables sur un intervalle
$D=[a,b]\subseteq{\real}$, $c\in[a,b]$, et $\alpha\in{\real}$. $D=[a,b]\subseteq{\real}$, $c\in[a,b]$, et $\alpha\in{\real}$.
...@@ -254,12 +254,12 @@ cas de figures suivants $$\begin{aligned} ...@@ -254,12 +254,12 @@ cas de figures suivants $$\begin{aligned}
--- ---
Exemple (Intégrale impropre) +.# #### Exemple (Intégrale impropre) {-}
Calculer l’intégrale suivante Calculer l’intégrale suivante
$$\int_0^\infty e^{-ax}{\mathrm{d}}x,\quad a>0.$$ $$\int_0^\infty e^{-ax}{\mathrm{d}}x,\quad a>0.$$
Solution (Intégrale impropre) +.# #### Solution (Intégrale impropre) {-}
Nous pouvons réécrire Nous pouvons réécrire
l’intégrale ci-dessus comme l’intégrale ci-dessus comme
...@@ -269,7 +269,7 @@ $$\int_0^\infty e^{-ax}{\mathrm{d}}x=\lim\limits_{b\rightarrow \infty}\int_0^b e ...@@ -269,7 +269,7 @@ $$\int_0^\infty e^{-ax}{\mathrm{d}}x=\lim\limits_{b\rightarrow \infty}\int_0^b e
--- ---
Exercice +.# #### Exercice {-}
Calculer l’intégrale suivante Calculer l’intégrale suivante
$$\int_1^\infty \frac{1}{x^2}{\mathrm{d}}x.$$ $$\int_1^\infty \frac{1}{x^2}{\mathrm{d}}x.$$
...@@ -280,11 +280,11 @@ Lorsque nous avons une discontinuité dans la fonction $f$ au point ...@@ -280,11 +280,11 @@ Lorsque nous avons une discontinuité dans la fonction $f$ au point
$c\in[a,b]$ nous avons $c\in[a,b]$ nous avons
$$\int_a^b f(x){\mathrm{d}}x = \lim\limits_{\varepsilon\rightarrow 0}\int_a^{c-\varepsilon} f(x){\mathrm{d}}x +\int_{c+\varepsilon}^b f(x){\mathrm{d}}x.$$ $$\int_a^b f(x){\mathrm{d}}x = \lim\limits_{\varepsilon\rightarrow 0}\int_a^{c-\varepsilon} f(x){\mathrm{d}}x +\int_{c+\varepsilon}^b f(x){\mathrm{d}}x.$$
Exercice +.# #### Exercice {-}
Montrer que $$\int_{-1}^2\frac{1}{x}=\ln{2}.$$ Montrer que $$\int_{-1}^2\frac{1}{x}=\ln{2}.$$
Définition (Valeur moyenne) +.# #### Définition (Valeur moyenne) {-}
Soit une fonction $f$ admettant une primitive sur $[a,b]$ avec $a<b$, Soit une fonction $f$ admettant une primitive sur $[a,b]$ avec $a<b$,
alors la valeur moyenne $\bar{f}$ de cette fonction sur $[a,b]$, est définie par alors la valeur moyenne $\bar{f}$ de cette fonction sur $[a,b]$, est définie par
...@@ -312,7 +312,7 @@ $(\{a_i\}_{i=0}^{n}\in{\real}$ $$\begin{aligned} ...@@ -312,7 +312,7 @@ $(\{a_i\}_{i=0}^{n}\in{\real}$ $$\begin{aligned}
--- ---
Exercice +.# #### Exercice {-}
Intégrer la fonction suivante Intégrer la fonction suivante
$$\int (x+2)(x^3+3x^2+4x-3){\mathrm{d}}x.$$ $$\int (x+2)(x^3+3x^2+4x-3){\mathrm{d}}x.$$
...@@ -334,14 +334,14 @@ $$\int \frac{f'(x)}{f(x)}{\mathrm{d}}x=\ln(f(x))+c.$$ ...@@ -334,14 +334,14 @@ $$\int \frac{f'(x)}{f(x)}{\mathrm{d}}x=\ln(f(x))+c.$$
--- ---
Exemple +.# #### Exemple {-}
Calculer la primitive suivante Calculer la primitive suivante
$$ $$
\int \frac{1}{x}{\mathrm{d}}x. \int \frac{1}{x}{\mathrm{d}}x.
$$ $$
Solution +.# #### Solution {-}
Le calcul de la primitive de suivante Le calcul de la primitive de suivante
$$\int \frac{1}{x}{\mathrm{d}}x=\int \frac{(x)'}{x}{\mathrm{d}}x=\ln(x)+c.$$ $$\int \frac{1}{x}{\mathrm{d}}x=\int \frac{(x)'}{x}{\mathrm{d}}x=\ln(x)+c.$$
...@@ -354,7 +354,7 @@ Une des façons les plus simples de calculer une primitive est ...@@ -354,7 +354,7 @@ Une des façons les plus simples de calculer une primitive est
de reconnaître la règle de chaîne dans le terme à intégrer de reconnaître la règle de chaîne dans le terme à intégrer
$$\int g'(f(x))f'(x){\mathrm{d}}x=\int [g(f(x))]' {\mathrm{d}}x=g(f(x))+c.$$ $$\int g'(f(x))f'(x){\mathrm{d}}x=\int [g(f(x))]' {\mathrm{d}}x=g(f(x))+c.$$
Illustration +.# #### Illustration {-}
Si $g$ est définie comme $g(x)=x^{-1}$ et $f(x)=3x^2+2$, alors la Si $g$ est définie comme $g(x)=x^{-1}$ et $f(x)=3x^2+2$, alors la
primitive primitive
...@@ -384,7 +384,7 @@ Des “règles” pour utiliser cette technique seraient que ...@@ -384,7 +384,7 @@ Des “règles” pour utiliser cette technique seraient que
--- ---
Exemple +.# #### Exemple {-}
Calculer les primitives suivantes Calculer les primitives suivantes
...@@ -392,7 +392,7 @@ Calculer les primitives suivantes ...@@ -392,7 +392,7 @@ Calculer les primitives suivantes
2. $\int \cos(x)\sin(x){\mathrm{d}}x$. 2. $\int \cos(x)\sin(x){\mathrm{d}}x$.
Solution +.# #### Solution {-}
1. $\int x e^x{\mathrm{d}}x$. $g(x)=x$, $f'(x)=e^x$ et donc $g'(x)=1$, 1. $\int x e^x{\mathrm{d}}x$. $g(x)=x$, $f'(x)=e^x$ et donc $g'(x)=1$,
$f(x)=e^x$. Il vient $f(x)=e^x$. Il vient
...@@ -415,11 +415,11 @@ parties. ...@@ -415,11 +415,11 @@ parties.
--- ---
Exemple +.# #### Exemple {-}
Calculer l’intégrale de $\int x^2 e^x{\mathrm{d}}x$. Calculer l’intégrale de $\int x^2 e^x{\mathrm{d}}x$.
Solution +.# #### Solution {-}
En posant $g(x)=x^2$, En posant $g(x)=x^2$,
$f'(x)=e^x$ et donc $g'(x)=2x$, $f(x)=e^x$. Il vient $f'(x)=e^x$ et donc $g'(x)=2x$, $f(x)=e^x$. Il vient
...@@ -432,7 +432,7 @@ $$\int x^2 e^x{\mathrm{d}}x=x^2e^x-2\left(x e^x -\int e^x{\mathrm{d}}x\right)=x^ ...@@ -432,7 +432,7 @@ $$\int x^2 e^x{\mathrm{d}}x=x^2e^x-2\left(x e^x -\int e^x{\mathrm{d}}x\right)=x^
--- ---
Exercice +.# #### Exercice {-}
Calculer les primitives suivantes Calculer les primitives suivantes
...@@ -453,7 +453,7 @@ où $f=F'$. Si nous intégrons cette relation on obtient $$\begin{aligned} ...@@ -453,7 +453,7 @@ où $f=F'$. Si nous intégrons cette relation on obtient $$\begin{aligned}
\int_a^b f(g(y))g'(y){\mathrm{d}}y = \int_a^b [F(g(y))]'{\mathrm{d}}y=\left.F(g(y))\right|_a^b=F(g(b))-F(g(a))=\int_{g(a)}^{g(b)}f(x){\mathrm{d}}x.\end{aligned}$$ \int_a^b f(g(y))g'(y){\mathrm{d}}y = \int_a^b [F(g(y))]'{\mathrm{d}}y=\left.F(g(y))\right|_a^b=F(g(b))-F(g(a))=\int_{g(a)}^{g(b)}f(x){\mathrm{d}}x.\end{aligned}$$
Cette relation nous mène au théorème suivant. Cette relation nous mène au théorème suivant.
Théorème (Intégration par changement de variables) +.# #### Théorème (Intégration par changement de variables) {-}
Soit $f$ une fonction continue presque partout, et $g$ une fonction dont Soit $f$ une fonction continue presque partout, et $g$ une fonction dont
la dérivée est continue presque partout sur un intervalle $[a,b]$. Soit la dérivée est continue presque partout sur un intervalle $[a,b]$. Soit
...@@ -473,11 +473,11 @@ sur la solution. ...@@ -473,11 +473,11 @@ sur la solution.
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Exemple (Changement de variable) +.# #### Exemple (Changement de variable) {-}
Intégrer par changement de variables $\int_1^3 6x\ln(x^2){\mathrm{d}}x$. Intégrer par changement de variables $\int_1^3 6x\ln(x^2){\mathrm{d}}x$.
Solution (Changement de variable) +.# #### Solution (Changement de variable) {-}
En définissant $z=x^2$, nous avons ${\mathrm{d}}x={\mathrm{d}}z/(2x)$. En définissant $z=x^2$, nous avons ${\mathrm{d}}x={\mathrm{d}}z/(2x)$.
Les bornes d’intégration deviennent $z(1)=1^2=1$ et $z(3)=3^2=9$. On Les bornes d’intégration deviennent $z(1)=1^2=1$ et $z(3)=3^2=9$. On
...@@ -490,7 +490,7 @@ obtient donc $$\begin{aligned} ...@@ -490,7 +490,7 @@ obtient donc $$\begin{aligned}
--- ---
Exercice +.# #### Exercice {-}
Calculer les primitives suivantes par changement de variable Calculer les primitives suivantes par changement de variable
...@@ -521,7 +521,7 @@ Pour chaque valeur de $x=x_0$, on calcule l'intégrale, ...@@ -521,7 +521,7 @@ Pour chaque valeur de $x=x_0$, on calcule l'intégrale,
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Exercice (Commutativité) +.# #### Exercice (Commutativité) {-}
Démontrer que le produit de convolution est commutatif, soit Démontrer que le produit de convolution est commutatif, soit
\begin{equation} \begin{equation}
...@@ -532,13 +532,13 @@ Indication: utiliser la substitution $\tau=x-t$. ...@@ -532,13 +532,13 @@ Indication: utiliser la substitution $\tau=x-t$.
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Afin de pouvoir interpêter un peu Afin de pouvoir interpréter un peu
ce que cela veut dire, il est intéressant de faire un calcul ce que cela veut dire, il est intéressant de faire un calcul
"simple" pour se faire une idée. "simple" pour se faire une idée.
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Exercice +.# #### Exercice {-}
Calculer la convolution du signal $f(t)$ Calculer la convolution du signal $f(t)$
...@@ -629,7 +629,7 @@ dramatiquement la précision de l’intégration. ...@@ -629,7 +629,7 @@ dramatiquement la précision de l’intégration.
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Remarque +.# #### Remarque {-}
De façon générale il est difficile de connaître à l’avance la valeur De façon générale il est difficile de connaître à l’avance la valeur
exacte de $E$. En revanche on est capable de déterminer **l’ordre** exacte de $E$. En revanche on est capable de déterminer **l’ordre**
...@@ -639,7 +639,7 @@ de l’erreur. ...@@ -639,7 +639,7 @@ de l’erreur.
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Définition (Ordre d'une méthode) +.# #### Définition (Ordre d'une méthode) {-}
On dit qu’une méthode d’intégration est d’ordre $k$, si l’erreur commise On dit qu’une méthode d’intégration est d’ordre $k$, si l’erreur commise
par la méthode varie proportionnellement à $\delta x^k$. On note qu’une par la méthode varie proportionnellement à $\delta x^k$. On note qu’une
......
04_edo.md
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...@@ -37,7 +37,7 @@ $$x(t_0)=x_0=v\cdot t_0+B \Leftrightarrow B=x_0-v\cdot t_0.$$ ...@@ -37,7 +37,7 @@ $$x(t_0)=x_0=v\cdot t_0+B \Leftrightarrow B=x_0-v\cdot t_0.$$
Finalement, la solution du problème différentiel est donnée par Finalement, la solution du problème différentiel est donnée par
$$x(t)=v\cdot (t-t_0)+x_0.$$ $$x(t)=v\cdot (t-t_0)+x_0.$$
Remarque +.# #### Remarque {-}
La solution de l’équation différentielle $$x'(t)=v,\ x(t_0)=x_0,$$ La solution de l’équation différentielle $$x'(t)=v,\ x(t_0)=x_0,$$
revient à calculer $$\begin{aligned} revient à calculer $$\begin{aligned}
...@@ -77,7 +77,7 @@ $$x(t_0)=x_0=\frac{a}{2}\cdot t_0^2+D \Leftrightarrow D=x_0-\frac{a}{2}\cdot t_0 ...@@ -77,7 +77,7 @@ $$x(t_0)=x_0=\frac{a}{2}\cdot t_0^2+D \Leftrightarrow D=x_0-\frac{a}{2}\cdot t_0
Finalement la solution est donnée par Finalement la solution est donnée par
$$x(t)=\frac{a}{2}\cdot (t^2-t_0^2)+v_0\cdot (t-t_0)+x_0.$$ $$x(t)=\frac{a}{2}\cdot (t^2-t_0^2)+v_0\cdot (t-t_0)+x_0.$$
Remarque +.# #### Remarque {-}
La solution du problème différentiel peut également se calculer de La solution du problème différentiel peut également se calculer de
la façon suivante $$x''(t)=a,\ x(t_0)=x_0,\ v(t_0)=v_0.$$ revient à la façon suivante $$x''(t)=a,\ x(t_0)=x_0,\ v(t_0)=v_0.$$ revient à
...@@ -115,9 +115,14 @@ Pour nous en convaincre faisons l’exercice suivant. Reprenons l’@eq:comp que ...@@ -115,9 +115,14 @@ Pour nous en convaincre faisons l’exercice suivant. Reprenons l’@eq:comp que
$$n(t_0+2\delta t)=n(t_1+\delta t)=(1+r\delta t) n(t_1)=(1+r \delta t)(1+r \delta t) n(t_0)=(1+r\delta t)^2 n(t_0).$$ $$n(t_0+2\delta t)=n(t_1+\delta t)=(1+r\delta t) n(t_1)=(1+r \delta t)(1+r \delta t) n(t_0)=(1+r\delta t)^2 n(t_0).$$
Si à présent nous comparons les résultats obtenus pour Si à présent nous comparons les résultats obtenus pour
$\delta t_1=2\delta t$ dans l’@eq:evolpop on a $\delta t_1=2\delta t$ dans l’@eq:evolpop on a
$$\begin{aligned} $$
\begin{aligned}
n_1&=(1+r\delta t)^2 n(t_0)=(1+2r\delta t+(r\delta t)^2) n(t_0),\\ n_1&=(1+r\delta t)^2 n(t_0)=(1+2r\delta t+(r\delta t)^2) n(t_0),\\
n_2&=(1+2r\delta t) n(t_0).\end{aligned}$$ On trouve donc finalement n_2&=(1+2r\delta t) n(t_0).
\end{aligned}
$$
On trouve donc finalement
que $n_2-n_1=(r\delta t)^2n(t_0)$. On a donc que la différence tend bien que $n_2-n_1=(r\delta t)^2n(t_0)$. On a donc que la différence tend bien
vers 0 quand $\delta t$ tend vers 0. vers 0 quand $\delta t$ tend vers 0.
...@@ -172,15 +177,12 @@ $k_g$. Finalement le terme $(4)$ est la reproduction des guépards ...@@ -172,15 +177,12 @@ $k_g$. Finalement le terme $(4)$ est la reproduction des guépards
proportionnelle au nombre d’antilopes avec un taux $k_{a,g}$. proportionnelle au nombre d’antilopes avec un taux $k_{a,g}$.
Nous avons à faire ici à un système d’équations différentielles. Nous Nous avons à faire ici à un système d’équations différentielles. Nous
n’allons pas nous intéresser aux détails de larésolution de ce système mais n’allons pas nous intéresser aux détails de la résolution de ce système mais
simplement étudier le comportement de la solution (voir la @fig:lkA et @fig:lkB). simplement étudier le comportement de la solution (voir la @fig:lkA et @fig:lkB).
<div id="fig:lk">
![L’évolution au cours du temps de la population d’antilopes et de guépards.](figs/lv.svg){#fig:lkA width="50%"} ![L’évolution au cours du temps de la population d’antilopes et de guépards.](figs/lv.svg){#fig:lkA width="50%"}
![Représentation paramétrique de l’évolution population d’antilopes et de guépards.](figs/lv_iso.svg){#fig:lkB width=50%}
Deux représentation du système de Lotka--Volterra. ![Représentation paramétrique de l’évolution population d’antilopes et de guépards.](figs/lv_iso.svg){#fig:lkB width=50%}
</div>
#### Circuits électriques: le circuit RC #### Circuits électriques: le circuit RC
...@@ -255,7 +257,7 @@ ans.](figs/interets.svg){#fig:interets width="50.00000%"} ...@@ -255,7 +257,7 @@ ans.](figs/interets.svg){#fig:interets width="50.00000%"}
Définitions et théorèmes principaux Définitions et théorèmes principaux
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Définition (Équation différentielle ordinaire) +.# #### Définition (Équation différentielle ordinaire) {-}
Soit $y$ une fonction dérivable $n$ fois et dépendant d’une seule Soit $y$ une fonction dérivable $n$ fois et dépendant d’une seule
variable. Une **équation différentielle ordinaire** est un équation de variable. Une **équation différentielle ordinaire** est un équation de
...@@ -265,7 +267,7 @@ $n$-ème de $y$. ...@@ -265,7 +267,7 @@ $n$-ème de $y$.
--- ---
Illustation +.# #### Illustration {-}
L’équation suivante est une équation différentielle ordinaire L’équation suivante est une équation différentielle ordinaire
$$y''+4y'+8y+3x^2+9=0.$$ $$y''+4y'+8y+3x^2+9=0.$$
...@@ -279,18 +281,18 @@ différentielle. ...@@ -279,18 +281,18 @@ différentielle.
Afin de classifier les équation différentielles, considérons les Afin de classifier les équation différentielles, considérons les
définitions suivantes définitions suivantes
Définition (Ordre) +.# #### Définition (Ordre) {-}
L’ordre d’une équation différentielle est l’ordre le plus haut des L’ordre d’une équation différentielle est l’ordre le plus haut des
dérivées de $y$ qui y apparaissent. L’ordre de l’équation différentielle dérivées de $y$ qui y apparaissent. L’ordre de l’équation différentielle
$F(x,y,y',y'',...,y^{(n)})=0$ est de $n$, si $n\neq 0$. $F(x,y,y',y'',...,y^{(n)})=0$ est de $n$, si $n\neq 0$.
Illustration +.# #### Illustration {-}
L’équation différentielle suivante est d’ordre $3$ L’équation différentielle suivante est d’ordre $3$
$$4y'''+x\cdot y'+4y+6x=0.$$ $$4y'''+x\cdot y'+4y+6x=0.$$
Définition (Condition initiale) +.# #### Définition (Condition initiale) {-}
Une condition initiale pour une équation différentielle d’ordre $n$, est Une condition initiale pour une équation différentielle d’ordre $n$, est
un ensemble de valeurs, $y_0$, $y_1$, ..., $y_{n-1}$ donnée telles que un ensemble de valeurs, $y_0$, $y_1$, ..., $y_{n-1}$ donnée telles que
...@@ -305,7 +307,7 @@ version approximative et la discuter ...@@ -305,7 +307,7 @@ version approximative et la discuter
--- ---
Théorème (Existence et unicité) +.# #### Théorème (Existence et unicité) {-}
Soit $D\subseteq{\real}$ le domaine de définition de la fonction Soit $D\subseteq{\real}$ le domaine de définition de la fonction
$y$. Soit $y:D\rightarrow E\subseteq {\real}$ une fonction à valeur $y$. Soit $y:D\rightarrow E\subseteq {\real}$ une fonction à valeur
...@@ -343,7 +345,7 @@ peu les équations différentielles en fonction des propriétés de $F$. ...@@ -343,7 +345,7 @@ peu les équations différentielles en fonction des propriétés de $F$.
--- ---
Définition (Linéarité) +.# #### Définition (Linéarité) {-}
Une équation différentielle ordinaire d’ordre $n$ est dite linéaire si Une équation différentielle ordinaire d’ordre $n$ est dite linéaire si
on peut l’écrire sous la forme on peut l’écrire sous la forme
...@@ -360,19 +362,19 @@ L’équation ci-dessus a les propriétés suivantes ...@@ -360,19 +362,19 @@ L’équation ci-dessus a les propriétés suivantes
2. Les $y$ et toutes leur dérivées ont un degré polynomial de 1. 2. Les $y$ et toutes leur dérivées ont un degré polynomial de 1.
Illustration +.# #### Illustration {-}
L’équation suivante est linéaire $$y''+4x\cdot y'=e^x.$$ L’équation suivante est linéaire $$y''+4x\cdot y'=e^x.$$
L’équation L’équation
suivante n’est pas linéaire $$y\cdot y''+4x\cdot y'=e^x.$$ suivante n’est pas linéaire $$y\cdot y''+4x\cdot y'=e^x.$$
Définition (Homogénéité) +.# #### Définition (Homogénéité) {-}
Une équation différentielle ordinaire est dite homogène si le terme Une équation différentielle ordinaire est dite homogène si le terme
dépendant uniquement de $x$ est nul. Dans le cas où nous avons à faire à dépendant uniquement de $x$ est nul. Dans le cas où nous avons à faire à
une équation différentielle linéaire, cela revient à dire que $b(x)=0$. une équation différentielle linéaire, cela revient à dire que $b(x)=0$.
Illustration (Homogénéité) +.# #### Illustration (Homogénéité) {-}
Les équations suivantes sont homogènes $$\begin{aligned} Les équations suivantes sont homogènes $$\begin{aligned}
&y''+4x\cdot y\cdot y'+3x^2\cdot y^3=0,\\ &y''+4x\cdot y\cdot y'+3x^2\cdot y^3=0,\\
...@@ -385,7 +387,7 @@ $$\begin{aligned} ...@@ -385,7 +387,7 @@ $$\begin{aligned}
--- ---
Exercice (Homogénéité) +.# #### Exercice (Homogénéité) {-}
Pour chacune de ces équations différentielles ordinaires Pour chacune de ces équations différentielles ordinaires
donner tous les qualificatifs possibles. Si l’équation est inhomogène donner tous les qualificatifs possibles. Si l’équation est inhomogène
...@@ -399,7 +401,7 @@ donner l’équation homogène associée. $$\begin{aligned} ...@@ -399,7 +401,7 @@ donner l’équation homogène associée. $$\begin{aligned}
--- ---
La solution des équations différencielles inhomogènes se La solution des équations différentielles inhomogènes se
trouve de la façon suivante. trouve de la façon suivante.
1. Trouver la solution générale de l’équation différentielle homogène associée, 1. Trouver la solution générale de l’équation différentielle homogène associée,
...@@ -423,7 +425,7 @@ un certain nombre. ...@@ -423,7 +425,7 @@ un certain nombre.
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Définition (Équations à variable séparables) +.# #### Définition (Équations à variable séparables) {-}
On dit qu’une équation différentielle d’ordre 1 est à variables On dit qu’une équation différentielle d’ordre 1 est à variables
séparables, si elle peut s’écrire sous la forme suivante séparables, si elle peut s’écrire sous la forme suivante
...@@ -433,7 +435,7 @@ $$y' a(y)=b(x).$$ ...@@ -433,7 +435,7 @@ $$y' a(y)=b(x).$$
--- ---
Illustration +.# #### Illustration {-}
L’équation suivante est à variables séparables L’équation suivante est à variables séparables
$$e^{x^2+y^2(x)}y'(x)=1.$$ $$e^{x^2+y^2(x)}y'(x)=1.$$
...@@ -453,11 +455,11 @@ $a(y)=1$ et il vient $$y=\int b(x){\mathrm{d}}x.$$ ...@@ -453,11 +455,11 @@ $a(y)=1$ et il vient $$y=\int b(x){\mathrm{d}}x.$$
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Exemple +.# #### Exemple {-}
Résoudre l’équation différentielle suivante $$n'(t)=r\cdot n(t).$$ Résoudre l’équation différentielle suivante $$n'(t)=r\cdot n(t).$$
Solution +.# #### Solution {-}
En En
écrivant $n'={\mathrm{d}}n /{\mathrm{d}}t$, on réécrit l’équation écrivant $n'={\mathrm{d}}n /{\mathrm{d}}t$, on réécrit l’équation
...@@ -472,7 +474,7 @@ n(t)&=e^{r\cdot t+C}=A\cdot e^{r\cdot t},\end{aligned}$$ où $A=e^C$. ...@@ -472,7 +474,7 @@ n(t)&=e^{r\cdot t+C}=A\cdot e^{r\cdot t},\end{aligned}$$ où $A=e^C$.
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Exercice +.# #### Exercice {-}
1. Résoudre l’équation différentielle suivante $$c'(t)=rc(t)+d.$$ 1. Résoudre l’équation différentielle suivante $$c'(t)=rc(t)+d.$$
...@@ -518,18 +520,18 @@ dans l'@eq:lin, on obtient $$\begin{aligned} ...@@ -518,18 +520,18 @@ dans l'@eq:lin, on obtient $$\begin{aligned}
\end{aligned}$$ Il nous reste donc à résoudre cette équation \end{aligned}$$ Il nous reste donc à résoudre cette équation
différentielle pour $C(x)$ qui est une équation à variables séparables où différentielle pour $C(x)$ qui est une équation à variables séparables où
on aurait un $a(c)=1$. On intègre donc directement cette équation on aurait un $a(c)=1$. On intègre donc directement cette équation
pour obtienir pour obtenir
$$C(x)=\int \frac{b(x)}{e^{\int a(x){\mathrm{d}}x}}{\mathrm{d}}x.$$ $$C(x)=\int \frac{b(x)}{e^{\int a(x){\mathrm{d}}x}}{\mathrm{d}}x.$$
Finalement, on a que la solution de l’équation générale de l’équation Finalement, on a que la solution de l’équation générale de l’équation
inhomogène est inhomogène est
$$y=y_p+y_h=\left(\int \frac{b(x)}{e^{\int a(x){\mathrm{d}}x}}{\mathrm{d}}x+C\right)e^{\int a(x){\mathrm{d}}x}.$$ $$y=y_p+y_h=\left(\int \frac{b(x)}{e^{\int a(x){\mathrm{d}}x}}{\mathrm{d}}x+C\right)e^{\int a(x){\mathrm{d}}x}.$$
Exemple +.# #### Exemple {-}
Résoudre l’équation suivante Résoudre l’équation suivante
$$U_C'(t)+\frac{U_C(t)}{RC}=\frac{U}{RC}.$${#eq:rc_inhom} $$U_C'(t)+\frac{U_C(t)}{RC}=\frac{U}{RC}.$${#eq:rc_inhom}
Solution +.# #### Solution {-}
On On
commence par résoudre l’équation homogène commence par résoudre l’équation homogène
...@@ -546,18 +548,18 @@ $U_c(0)=0$. On peut donc fixer la constante $C=-U$. ...@@ -546,18 +548,18 @@ $U_c(0)=0$. On peut donc fixer la constante $C=-U$.
Résoudre les équations différentielles suivantes Résoudre les équations différentielles suivantes
Exercice +.# #### Exercice {-}
1. $$y'+2y=t^2$$ 1. $$y'+2y=t^2$$
2. $$y'+y=\frac{1}{1+e^t}.$$ 2. $$y'+y=\frac{1}{1+e^t}.$$
### Équations de Bernouilli ### Équations de Bernoulli
Il existe des équations particulières qui peuvent se ramener à des Il existe des équations particulières qui peuvent se ramener à des
équations linéaires via des changements de variables. équations linéaires via des changements de variables.
Une classe particulière sont les équations de Bernouilli, qui s’écrit Une classe particulière sont les équations de Bernoulli, qui s’écrit
$$y'(x)+a(x)\cdot y(x)+b(x)\cdot y^n(x)=0,$${#eq:bernouilli} où $$y'(x)+a(x)\cdot y(x)+b(x)\cdot y^n(x)=0,$${#eq:bernouilli} où
$r\in{\real}$. $r\in{\real}$.
...@@ -567,16 +569,16 @@ $$\frac{y'(x)}{y^n(x)}+\frac{a(x)}{y^{n-1}(x)}+b(x)=0.$${#eq:bernouilli_2} ...@@ -567,16 +569,16 @@ $$\frac{y'(x)}{y^n(x)}+\frac{a(x)}{y^{n-1}(x)}+b(x)=0.$${#eq:bernouilli_2}
Dans ce cas là, en effectuant le changement de variable suivant Dans ce cas là, en effectuant le changement de variable suivant
$$z=y^{1-n},$$ on obtient (exercice) $$z=y^{1-n},$$ on obtient (exercice)
$$z'(x)+(1-n)a(x)\cdot z(x)+(1-n)b(x)=0.$$ On a donc ramené l’équation $$z'(x)+(1-n)a(x)\cdot z(x)+(1-n)b(x)=0.$$ On a donc ramené l’équation
de Bernouilli à une équation linéaire que nous savons résoudre à l’aide de Bernoulli à une équation linéaire que nous savons résoudre à l’aide
de la méthode de la section @sec:eq_lin. de la méthode de la section @sec:eq_lin.
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Exemple +.# #### Exemple {-}
Résoudre l’équation de Bernouilli suivante $$y'-y-x\cdot y^6=0.$$ Résoudre l’équation de Bernoulli suivante $$y'-y-x\cdot y^6=0.$$
Solution +.# #### Solution {-}
Avec Avec
la substitution $z=y^5$, on obtient $$z'-5z+5x=0.$$ Cette équation se la substitution $z=y^5$, on obtient $$z'-5z+5x=0.$$ Cette équation se
...@@ -596,7 +598,7 @@ $y=z^{1/5}$ et on a $$y=\left(Ae^{5x}+x+\frac{1}{5}\right)^{1/5}.$$ ...@@ -596,7 +598,7 @@ $y=z^{1/5}$ et on a $$y=\left(Ae^{5x}+x+\frac{1}{5}\right)^{1/5}.$$
L’équation de Riccati qui est de la forme L’équation de Riccati qui est de la forme
$$y'(x)+a(x)+b(x)\cdot y(x)+c(x)\cdot y^2(x)=0,$${#eq:riccati} et $$y'(x)+a(x)+b(x)\cdot y(x)+c(x)\cdot y^2(x)=0,$${#eq:riccati} et
est donc quadratique en $y$. On notera que c’est une équation de est donc quadratique en $y$. On notera que c’est une équation de
Bernouilli (avec $n=2$ et qui est inhomogène). Bernoulli (avec $n=2$ et qui est inhomogène).
Cette équation a une propriété intéressante. Si nous connaissons une Cette équation a une propriété intéressante. Si nous connaissons une
solution particulière à l’équation inhomogène, notons la $y_p$, alors la solution particulière à l’équation inhomogène, notons la $y_p$, alors la
...@@ -607,12 +609,12 @@ ce-dessus devient donc ...@@ -607,12 +609,12 @@ ce-dessus devient donc
$$y_p'+y_h'+a(x)+b(x)\cdot y_p+b(x)\cdot y_h+c(x)\cdot (y_p^2+2y_p(x)y_h(x)+y_h^2)=0.$$ $$y_p'+y_h'+a(x)+b(x)\cdot y_p+b(x)\cdot y_h+c(x)\cdot (y_p^2+2y_p(x)y_h(x)+y_h^2)=0.$$
En utilisant que $y_p$ est solution de l’équation de Riccati, on a En utilisant que $y_p$ est solution de l’équation de Riccati, on a
$$y_h'+a(x)+(b(x)+2y_p(x)c(x))\cdot y_h+c(x)\cdot y_h^2=0.$$ Cette $$y_h'+a(x)+(b(x)+2y_p(x)c(x))\cdot y_h+c(x)\cdot y_h^2=0.$$ Cette
équation est une équation de Bernouilli avec $n=2$. On sait donc comment équation est une équation de Bernoulli avec $n=2$. On sait donc comment
la résoudre. la résoudre.
-- --
Exercice +.# #### Exercice {-}
Résoudre l’équation de Riccati suivante $$y'+y^2-\frac{2}{x^2}=0.$$ Résoudre l’équation de Riccati suivante $$y'+y^2-\frac{2}{x^2}=0.$$
Indication: la solution particulière a la forme $y=\frac{a}{x}$, avec Indication: la solution particulière a la forme $y=\frac{a}{x}$, avec
...@@ -658,7 +660,7 @@ l’équation différentielle. ...@@ -658,7 +660,7 @@ l’équation différentielle.
--- ---
Propriétés +.# #### Propriétés {-}
Ces propriétés (qui caractérisent le mot "linéaires") sont à démontrer en exercice. Ces propriétés (qui caractérisent le mot "linéaires") sont à démontrer en exercice.
...@@ -689,7 +691,7 @@ deux lignes. La seconde ligne ci-dessus, s’appelle le polynôme ...@@ -689,7 +691,7 @@ deux lignes. La seconde ligne ci-dessus, s’appelle le polynôme
caractéristique de notre EDO d’ordre 2. caractéristique de notre EDO d’ordre 2.
Il nous reste à présent à déterminer $\lambda$ ce qui est un simple Il nous reste à présent à déterminer $\lambda$ ce qui est un simple
problème d’algèbre. Le polynome ci-dessus se factorise simplement en problème d’algèbre. Le polynôme ci-dessus se factorise simplement en
$$(\lambda+1)(\lambda+2)=0,$$ on a donc pour solution $\lambda=-1$, et $$(\lambda+1)(\lambda+2)=0,$$ on a donc pour solution $\lambda=-1$, et
$\lambda=-2$. $\lambda=-2$.
...@@ -697,7 +699,7 @@ On a donc immédiatement deux solutions à notre équation différentielle ...@@ -697,7 +699,7 @@ On a donc immédiatement deux solutions à notre équation différentielle
$$y_1(x)=e^{-x},\quad y_2(x)=e^{-2x}.$$ On vérifie aisément que ces deux $$y_1(x)=e^{-x},\quad y_2(x)=e^{-2x}.$$ On vérifie aisément que ces deux
équations vérifient l'@eq:edo2_ex. Précédemment, nous équations vérifient l'@eq:edo2_ex. Précédemment, nous
avons vu que la linéarité de ces équations différentielles, faisait avons vu que la linéarité de ces équations différentielles, faisait
qu’on pouvait contrsuire des solutions plus générales. En effet, on peut qu’on pouvait construire des solutions plus générales. En effet, on peut
montrer que la solution la plus générale à cette EDO est montrer que la solution la plus générale à cette EDO est
$$y(x)=C_1 y_1(x)+C_2y_2(x)=C_1e^{-x}+C_2e^{-2x}.$$ On constate qu’il y $$y(x)=C_1 y_1(x)+C_2y_2(x)=C_1e^{-x}+C_2e^{-2x}.$$ On constate qu’il y
a deux constantes à déterminer pour avoir une solution unique. Pour ce a deux constantes à déterminer pour avoir une solution unique. Pour ce
...@@ -711,7 +713,7 @@ $$y(x)=2e^{-x}-e^{-2x}.$$ ...@@ -711,7 +713,7 @@ $$y(x)=2e^{-x}-e^{-2x}.$$
A présent, nous pouvons généraliser cette méthode pour l’équation A présent, nous pouvons généraliser cette méthode pour l’équation
@eq:edo2_cch $$a y''(x)+by'(x)+cy(x)=0.$$ En faisans la même @eq:edo2_cch $$a y''(x)+by'(x)+cy(x)=0.$$ En faisans la même
subsitution que précédemment, $y=e^{\lambda x}$, on a $$\begin{aligned} substitution que précédemment, $y=e^{\lambda x}$, on a $$\begin{aligned}
&a \lambda^2e^{\lambda x}+b\lambda e^{\lambda x} +ce^{\lambda x}=0,\\ &a \lambda^2e^{\lambda x}+b\lambda e^{\lambda x} +ce^{\lambda x}=0,\\
&a \lambda^2+\lambda b+c=0.\end{aligned}$$ L’équation ci-dessus doit &a \lambda^2+\lambda b+c=0.\end{aligned}$$ L’équation ci-dessus doit
être résolue pour $\lambda$. Nous savons comment résoudre ce genre être résolue pour $\lambda$. Nous savons comment résoudre ce genre
...@@ -727,7 +729,7 @@ $\Delta < 0$. ...@@ -727,7 +729,7 @@ $\Delta < 0$.
#### Le cas $\Delta>0$ #### Le cas $\Delta>0$
Dans ce cas, on a que $\lambda_1,\lambda_2\in{\real}$ sont réels. Dans ce cas, on a que $\lambda_1,\lambda_2\in{\real}$ sont réels.
La solution est donc donnée par (comme on l’a vu au paravant) La solution est donc donnée par (comme on l’a vu au paravent)
$$y(x)=C_1e^{\lambda_1 x}+C_2e^{\lambda_2 x}.$$ $$y(x)=C_1e^{\lambda_1 x}+C_2e^{\lambda_2 x}.$$
#### Le cas $\Delta=0$ #### Le cas $\Delta=0$
...@@ -740,7 +742,7 @@ satisfaire deux conditions initiales comme nous avons vu précédemment. ...@@ -740,7 +742,7 @@ satisfaire deux conditions initiales comme nous avons vu précédemment.
Il fau donc travailler un peu plus. Supposons que $y(x)$ est donné par Il fau donc travailler un peu plus. Supposons que $y(x)$ est donné par
la fonction suivante $$y(x)=z(x)e^{\lambda x},$$ avec $z(x)$ une la fonction suivante $$y(x)=z(x)e^{\lambda x},$$ avec $z(x)$ une
fonction réelle. En substituant cela dans l’équation générale, on a fonction réelle. En substituant cela dans l’équation générale, on a
$$az''+(2\lambda a+b)z'+(a\lambda^2+b\lambda+c)z=0.$$ En utilant que $$az''+(2\lambda a+b)z'+(a\lambda^2+b\lambda+c)z=0.$$ En utilisant que
$\lambda=-b/(2a)$ et $\Delta =0$ il vient $$z''=0.$$ La solution de $\lambda=-b/(2a)$ et $\Delta =0$ il vient $$z''=0.$$ La solution de
cette équation est $$z=C_1+xC_2.$$ On obtient donc comme solution cette équation est $$z=C_1+xC_2.$$ On obtient donc comme solution
générale de l’équation différentielle $$y(x)=(C_1+C_2 x)e^{\lambda x}.$$ générale de l’équation différentielle $$y(x)=(C_1+C_2 x)e^{\lambda x}.$$
...@@ -772,7 +774,7 @@ l'@eq:sol2 comme $$\begin{aligned} ...@@ -772,7 +774,7 @@ l'@eq:sol2 comme $$\begin{aligned}
&=e^{ux}\left(C_3\cos(vx)+C_4\sin(vx))\right),\end{aligned}$$ où on a &=e^{ux}\left(C_3\cos(vx)+C_4\sin(vx))\right),\end{aligned}$$ où on a
définit $C_3\equiv C_1+C_2$ et $C_4\equiv i(C_1-C_2)$. définit $C_3\equiv C_1+C_2$ et $C_4\equiv i(C_1-C_2)$.
Résoudre les EDO d’ordre 2 à coefficiens constants suivantes: Résoudre les EDO d’ordre 2 à coefficients constants suivantes:
1. $y''+y'+y=0$, 1. $y''+y'+y=0$,
...@@ -904,7 +906,7 @@ $n=0$ $$\begin{aligned} ...@@ -904,7 +906,7 @@ $n=0$ $$\begin{aligned}
x(t_{1})&=x(t_0)+\delta t v(t_0)+\frac{1}{2}\delta t^2 a(x(t_0)),\nonumber\\ x(t_{1})&=x(t_0)+\delta t v(t_0)+\frac{1}{2}\delta t^2 a(x(t_0)),\nonumber\\
x(t_{1})&=x_0+\delta t v_0+\frac{1}{2}\delta t^2 a(x_0),\end{aligned}$$ x(t_{1})&=x_0+\delta t v_0+\frac{1}{2}\delta t^2 a(x_0),\end{aligned}$$
où $x_0$ et $v_0$ sont les conditions initiales de notre problème. où $x_0$ et $v_0$ sont les conditions initiales de notre problème.
Esuite les itérations suivantes ($n>0$) sont calculables directement Ensuite les itérations suivantes ($n>0$) sont calculables directement
avec l'@eq:verlet_novel. Un autre avantage avec l'@eq:verlet_novel. Un autre avantage
considérable de ce modèle est qu’il est très simple d’y inclure une considérable de ce modèle est qu’il est très simple d’y inclure une
force de frottement proportionnelle à la vitesse. Sans entrer dans les force de frottement proportionnelle à la vitesse. Sans entrer dans les
......
05_fourier.md
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− 30
View file @ 295d1cbf
...@@ -48,7 +48,7 @@ vérifier la commutativité $$\begin{aligned} ...@@ -48,7 +48,7 @@ vérifier la commutativité $$\begin{aligned}
(a,b)\cdot(c,d)&=(a\cdot c-b\cdot d,a\cdot d+b\cdot c)\nonumber\\ (a,b)\cdot(c,d)&=(a\cdot c-b\cdot d,a\cdot d+b\cdot c)\nonumber\\
&=(c\cdot a-d\cdot b,d\cdot a+c\cdot b)=(c,d)\cdot (a,b).\end{aligned}$$ &=(c\cdot a-d\cdot b,d\cdot a+c\cdot b)=(c,d)\cdot (a,b).\end{aligned}$$
Exercice +.# #### Exercice {-}
Vérifier l’associativité du produit sur notre ensemble ${\real}^2$. Vérifier l’associativité du produit sur notre ensemble ${\real}^2$.
...@@ -105,7 +105,7 @@ sur un plan bidimensionnel (voir la @fig:complexPlane). ...@@ -105,7 +105,7 @@ sur un plan bidimensionnel (voir la @fig:complexPlane).
![Représentation du nombre complexe $z=a+ib$.](figs/complexPlane.svg){#fig:complexPlane width="35.00000%"} ![Représentation du nombre complexe $z=a+ib$.](figs/complexPlane.svg){#fig:complexPlane width="35.00000%"}
La somme de deux nombres complexes s’interprête également facilement de La somme de deux nombres complexes s’interprète également facilement de
façon graphique. On peut le voir sur la @fig:complexPlaneSum. façon graphique. On peut le voir sur la @fig:complexPlaneSum.
Il s’agit en fait de simplement faire la somme des vecteurs représentant Il s’agit en fait de simplement faire la somme des vecteurs représentant
chacun des nombres complexes à sommer. chacun des nombres complexes à sommer.
...@@ -186,7 +186,7 @@ $${\mathrm{Re}}(z)=\frac{1}{2}(z+{\bar{z}}),\quad {\mathrm{Im}}(z)=\frac{1}{2i}( ...@@ -186,7 +186,7 @@ $${\mathrm{Re}}(z)=\frac{1}{2}(z+{\bar{z}}),\quad {\mathrm{Im}}(z)=\frac{1}{2i}(
--- ---
Exercice +.# #### Exercice {-}
Démontrer ces trois relations. Démontrer ces trois relations.
...@@ -199,7 +199,7 @@ $$\begin{aligned} ...@@ -199,7 +199,7 @@ $$\begin{aligned}
--- ---
Exercice +.# #### Exercice {-}
Démontrer ces relations. Démontrer ces relations.
...@@ -213,7 +213,7 @@ allons considérer un ensemble $V$ muni d’une addition et d’une multiplicati ...@@ -213,7 +213,7 @@ allons considérer un ensemble $V$ muni d’une addition et d’une multiplicati
à un ensemble $E$. Dans notre cas $E$ à un ensemble $E$. Dans notre cas $E$
sera ${\real}$ ou ${\mathbb{C}}$ (l'ensemble des nombres complexes) principalement. sera ${\real}$ ou ${\mathbb{C}}$ (l'ensemble des nombres complexes) principalement.
Définition +.# #### Définition {-}
On appelle espace vectoriel sur $E$, un ensemble $V$, dont les éléments On appelle espace vectoriel sur $E$, un ensemble $V$, dont les éléments
appelés vecteurs et notés $v$, sont sont munis des opérations appelés vecteurs et notés $v$, sont sont munis des opérations
...@@ -245,7 +245,7 @@ propriétés suivantes ...@@ -245,7 +245,7 @@ propriétés suivantes
$1$, pour la multiplication à gauche $$1 \cdot v=v.$$ $1$, pour la multiplication à gauche $$1 \cdot v=v.$$
Exemple (Espaces vectoriels) +.# #### Exemple (Espaces vectoriels) {-}
1. L’espace nul, $v=0$. 1. L’espace nul, $v=0$.
...@@ -255,7 +255,7 @@ Exemple (Espaces vectoriels) +.# ...@@ -255,7 +255,7 @@ Exemple (Espaces vectoriels) +.#
3. Espaces de $n-uplets$. Soit $V$ un espace vectoriel sur $E$.L’espace des $n-$uplets. Pour t$n>0$, l’ensemble des $n-$uplets 3. Espaces de $n-uplets$. Soit $V$ un espace vectoriel sur $E$.L’espace des $n-$uplets. Pour t$n>0$, l’ensemble des $n-$uplets
d’éléments de $V$, $v=(v_1,v_2,...,v_n),\ \{v_i\in E\}_1^n$, d’éléments de $V$, $v=(v_1,v_2,...,v_n),\ \{v_i\in E\}_1^n$,
est noté $V^n$. Sur cet espace l’addition se définit ($u,v\in V^n$) est noté $V^n$. Sur cet espace l’addition se définit ($u,v\in V^n$)
$$u+v=(u_1+v_1,u_2+v_2,...,u_v+v_n),$$ et la mutliplication par un $$u+v=(u_1+v_1,u_2+v_2,...,u_v+v_n),$$ et la multiplication par un
scalaire $\alpha\in E$ scalaire $\alpha\in E$
$$\alpha v=(\alpha v_1,\alpha v_2,...,\alpha v_n).$$ On a donc que $$\alpha v=(\alpha v_1,\alpha v_2,...,\alpha v_n).$$ On a donc que
l’élément neutre de l’addition est le vecteur l’élément neutre de l’addition est le vecteur
...@@ -273,7 +273,7 @@ Exemple (Espaces vectoriels) +.# ...@@ -273,7 +273,7 @@ Exemple (Espaces vectoriels) +.#
jusqu’ici. Il s’agit de l’espace des fonctions, ou espace jusqu’ici. Il s’agit de l’espace des fonctions, ou espace
fonctionnel. Nous définissons les applications de $W$ dans $V$ comme fonctionnel. Nous définissons les applications de $W$ dans $V$ comme
un espace vectoriel dans $E$ avec l’addition et la multiplication un espace vectoriel dans $E$ avec l’addition et la multiplication
par un scalaire définis commme suit. Soient $f:W\rightarrow V$ et par un scalaire définis comme suit. Soient $f:W\rightarrow V$ et
$g:W\rightarrow V$, avec $\alpha\in E$, alors $$\begin{aligned} $g:W\rightarrow V$, avec $\alpha\in E$, alors $$\begin{aligned}
&(f+g)(x)=f(x)+g(x), \quad \forall x\in W,\\ &(f+g)(x)=f(x)+g(x), \quad \forall x\in W,\\
&(\alpha\cdot f)(x)=\alpha\cdot f(x), \quad \forall x\in W. &(\alpha\cdot f)(x)=\alpha\cdot f(x), \quad \forall x\in W.
...@@ -321,7 +321,7 @@ $$w=u+v=u_1\cdot e_1+u_2\cdot e_2+v_1\cdot e_1+v_2\cdot e_2=(u_1+v_1)\cdot e_1+( ...@@ -321,7 +321,7 @@ $$w=u+v=u_1\cdot e_1+u_2\cdot e_2+v_1\cdot e_1+v_2\cdot e_2=(u_1+v_1)\cdot e_1+(
--- ---
Illustration (Exemples de bases d'espaces vectoriels) +.# #### Illustration (Exemples de bases d'espaces vectoriels) {-}
1. Pour l’espace des fonctions polynomiales $f(x)=\sum_{i=0}^Na_ix^i$ 1. Pour l’espace des fonctions polynomiales $f(x)=\sum_{i=0}^Na_ix^i$
les fonction $e_i=x^i$ forment une base. les fonction $e_i=x^i$ forment une base.
...@@ -336,13 +336,13 @@ Plus formellement nous allons introduire un certain nombre de concepts ...@@ -336,13 +336,13 @@ Plus formellement nous allons introduire un certain nombre de concepts
mathématiques pour définir une base. Considérons toujours $V$ un espace mathématiques pour définir une base. Considérons toujours $V$ un espace
vectoriel sur $E$. vectoriel sur $E$.
Définition (Famille libre) +.# #### Définition (Famille libre) {-}
Soient $\{\alpha_i\}_{i=1}^n\in E$. On dit qu’un ensemble de vecteurs Soient $\{\alpha_i\}_{i=1}^n\in E$. On dit qu’un ensemble de vecteurs
$\{v_i\}_{i=1}^n\in V$ est une famille libre si $\{v_i\}_{i=1}^n\in V$ est une famille libre si
$$\sum_{i=1}^n \alpha_iv_i=0 \Rightarrow \alpha_i=0,\ \forall i.$$ $$\sum_{i=1}^n \alpha_iv_i=0 \Rightarrow \alpha_i=0,\ \forall i.$$
Exemple (Famille libre) +.# #### Exemple (Famille libre) {-}
1. $\{e_1\}$ est une famille libre de ${\real}^2$. 1. $\{e_1\}$ est une famille libre de ${\real}^2$.
...@@ -357,7 +357,7 @@ Exemple (Famille libre) +.# ...@@ -357,7 +357,7 @@ Exemple (Famille libre) +.#
relie les deux. La relation est non-linéaire relie les deux. La relation est non-linéaire
$\sin(x)=\sqrt{1-\cos^2(x)}$. $\sin(x)=\sqrt{1-\cos^2(x)}$.
Définition (Famille génératrice) +.# #### Définition (Famille génératrice) {-}
On dit qu’un ensemble de vecteurs $\{e_i\}_{i=1}^n\in V$ est une famille On dit qu’un ensemble de vecteurs $\{e_i\}_{i=1}^n\in V$ est une famille
génératrice si génératrice si
...@@ -365,7 +365,7 @@ $$\forall\ v\in V,\quad \exists \{\alpha_i\}_{i=1}^n\in E,\quad \mbox{t.q.}\quad ...@@ -365,7 +365,7 @@ $$\forall\ v\in V,\quad \exists \{\alpha_i\}_{i=1}^n\in E,\quad \mbox{t.q.}\quad
En d’autres termes, tout $v\in V$ peut s’exprimer comme une combinaison En d’autres termes, tout $v\in V$ peut s’exprimer comme une combinaison
linéaire des vecteur $e_i$. linéaire des vecteur $e_i$.
Illustration (Familles génératrices) +.# #### Illustration (Familles génératrices) {-}
1. $\{e_1\}$ n’est pas une famille génératrice de ${\real}^2$. On ne 1. $\{e_1\}$ n’est pas une famille génératrice de ${\real}^2$. On ne
peut pas représenter les vecteurs de la forme $v=(0,v_2)$, peut pas représenter les vecteurs de la forme $v=(0,v_2)$,
...@@ -376,7 +376,7 @@ Illustration (Familles génératrices) +.# ...@@ -376,7 +376,7 @@ Illustration (Familles génératrices) +.#
3. $\{e_1,e_2,v\}$, avec $v=(1,1)$ est une famille génératrice de 3. $\{e_1,e_2,v\}$, avec $v=(1,1)$ est une famille génératrice de
${\real}^2$. ${\real}^2$.
Définition (Base) +.# #### Définition (Base) {-}
Un ensemble de vecteurs $B=\{e_i\}_{i=1}^n$ forme une base si c’est une Un ensemble de vecteurs $B=\{e_i\}_{i=1}^n$ forme une base si c’est une
famille génératrice et une famille libre. En d’autres termes cela famille génératrice et une famille libre. En d’autres termes cela
...@@ -386,7 +386,7 @@ est unique ...@@ -386,7 +386,7 @@ est unique
$$\forall v\in V, \quad !\exists \{\alpha_i\}_{i=1}^n\in E,\quad t.q.\quad v=\sum_{i=1}^n\alpha_i v_i.$$ $$\forall v\in V, \quad !\exists \{\alpha_i\}_{i=1}^n\in E,\quad t.q.\quad v=\sum_{i=1}^n\alpha_i v_i.$$
Les $\alpha_i$ sont appelé les coordonnées de $v$ dans la base $B$. Les $\alpha_i$ sont appelé les coordonnées de $v$ dans la base $B$.
Illustration (Base de $\real ^2$) +.# #### Illustration (Base de $\real ^2$) {-}
1. $\{e_1,e_2\}$ est une base de ${\real}^2$. 1. $\{e_1,e_2\}$ est une base de ${\real}^2$.
...@@ -519,7 +519,7 @@ $$\begin{aligned} ...@@ -519,7 +519,7 @@ $$\begin{aligned}
\cos\theta\cos\phi&= \frac{1}{2}\left(\cos(\theta-\phi)+\cos(\theta+\phi)\right),\\ \cos\theta\cos\phi&= \frac{1}{2}\left(\cos(\theta-\phi)+\cos(\theta+\phi)\right),\\
\sin\theta\cos\phi&= \frac{1}{2}\left(\sin(\theta+\phi)+\sin(\theta-\phi)\right).\end{aligned}$$ \sin\theta\cos\phi&= \frac{1}{2}\left(\sin(\theta+\phi)+\sin(\theta-\phi)\right).\end{aligned}$$
Cela est dû à la propriété d’othorgonalité des fonctions sinus/cosinus. Cela est dû à la propriété d’orthogonalité des fonctions sinus/cosinus.
En multipliant l'@eq:decomp_sincos par En multipliant l'@eq:decomp_sincos par
$\frac{2}{T}\sin(k \omega t)$ et en intégrant entre $0$ et $T$, on $\frac{2}{T}\sin(k \omega t)$ et en intégrant entre $0$ et $T$, on
obtient $$\begin{aligned} obtient $$\begin{aligned}
...@@ -613,7 +613,7 @@ pouvoir calculer sa transformée de Fourier: ...@@ -613,7 +613,7 @@ pouvoir calculer sa transformée de Fourier:
--- ---
Exercice +.# #### Exercice {-}
Calculer les transformées de Fourier des fonctions suivantes Calculer les transformées de Fourier des fonctions suivantes
...@@ -634,7 +634,7 @@ Calculer les transformées de Fourier des fonctions suivantes ...@@ -634,7 +634,7 @@ Calculer les transformées de Fourier des fonctions suivantes
--- ---
Exercice +.# #### Exercice {-}
Calculer les transformées de Fourier inverse de la fonction suivante Calculer les transformées de Fourier inverse de la fonction suivante
...@@ -649,7 +649,7 @@ Calculer les transformées de Fourier inverse de la fonction suivante ...@@ -649,7 +649,7 @@ Calculer les transformées de Fourier inverse de la fonction suivante
La transformée de Fourier possède plusieurs propriétés intéressantes. La transformée de Fourier possède plusieurs propriétés intéressantes.
Propriété +.# #### Propriété {-}
1. Linéarité. Soit une fonction $h(t)=af(t)+bg(t)$, alors sa 1. Linéarité. Soit une fonction $h(t)=af(t)+bg(t)$, alors sa
transformée de Fourier est donnée par transformée de Fourier est donnée par
...@@ -709,7 +709,7 @@ l’intégrale et on a $$\begin{aligned} ...@@ -709,7 +709,7 @@ l’intégrale et on a $$\begin{aligned}
&=f[n].\nonumber\end{aligned}$$ &=f[n].\nonumber\end{aligned}$$
Exercice +.# #### Exercice {-}
Calculer les transformées de Fourier (inverses quand c’est approprié) en Calculer les transformées de Fourier (inverses quand c’est approprié) en
temps discret des fonctions suivantes temps discret des fonctions suivantes
...@@ -793,10 +793,10 @@ redondante... ...@@ -793,10 +793,10 @@ redondante...
L’idée à présent va être d’enlever toute l’information redondante de L’idée à présent va être d’enlever toute l’information redondante de
${\hat{f}}(\omega)$ en échantillonnant ${\hat{f}}$ et en gardant ${\hat{f}}(\omega)$ en échantillonnant ${\hat{f}}$ et en gardant
uniquement $N$ échantillons de ${\hat{f}}$. La fréquence uniquement $N$ échantillons de ${\hat{f}}$. La fréquence
d’échantillonage sera de $2\pi/N$ et le domaine d’échantillonage sera d’échantillonnage sera de $2\pi/N$ et le domaine d’échantillonnage sera
$[-\pi,\pi)$. $[-\pi,\pi)$.
Nous pouvons à présent définir mathématiquement cet échantillonage de Nous pouvons à présent définir mathématiquement cet échantillonnage de
${\hat{f}}(\omega)$ comme étant une suite de points, notée ${\hat{f}}(\omega)$ comme étant une suite de points, notée
$\{{\hat{f}}(\omega_k)\}_{k=0}^{N-1}$, où $\omega_k=2\pi k/N$. Cette $\{{\hat{f}}(\omega_k)\}_{k=0}^{N-1}$, où $\omega_k=2\pi k/N$. Cette
suite sera notée ${\hat{f}}[k]$ et appelée la *transformée de Fourier suite sera notée ${\hat{f}}[k]$ et appelée la *transformée de Fourier
...@@ -868,7 +868,7 @@ réduisent la complexité algorithmique à $N\log(N)$ en général. Nous ...@@ -868,7 +868,7 @@ réduisent la complexité algorithmique à $N\log(N)$ en général. Nous
allons brièvement discuter un de ces algorithmes dans la sous-section allons brièvement discuter un de ces algorithmes dans la sous-section
@sec:tfr. @sec:tfr.
La transformée de Fourier discrète étant un échantillonage de la La transformée de Fourier discrète étant un échantillonnage de la
transformée de Fourier à temps discret, toutes les propriétés discutées transformée de Fourier à temps discret, toutes les propriétés discutées
pour la transformée de Fourier à temps discret restent valides. En pour la transformée de Fourier à temps discret restent valides. En
particulier la transformée de Fourier discrète est périodique, de particulier la transformée de Fourier discrète est périodique, de
...@@ -876,7 +876,7 @@ période $N$ $${\hat{f}}[k]={\hat{f}}[k+N].$$ ...@@ -876,7 +876,7 @@ période $N$ $${\hat{f}}[k]={\hat{f}}[k+N].$$
--- ---
Exercice +.# #### Exercice {-}
A démontrer en exercice. A démontrer en exercice.
...@@ -887,7 +887,7 @@ A démontrer en exercice. ...@@ -887,7 +887,7 @@ A démontrer en exercice.
L’algorithme présenté ici est une version “simplifiée” de l’algorithme L’algorithme présenté ici est une version “simplifiée” de l’algorithme
de Cooley-Tukey (publié en 1965). Cet algorithme a en fait été “inventé” de Cooley-Tukey (publié en 1965). Cet algorithme a en fait été “inventé”
par Gauss en 1805 quand il essayait d’interpoler la trajectoires par Gauss en 1805 quand il essayait d’interpoler la trajectoires
d’astéroides dans le système solaire. d’astéroïdes dans le système solaire.
L’idée de l’algorithme radix-2 est d’abord de séparer le signal en deux L’idée de l’algorithme radix-2 est d’abord de séparer le signal en deux
parties. D’une part les indices pairs et d’autres part les indices parties. D’une part les indices pairs et d’autres part les indices
...@@ -928,11 +928,11 @@ continuant cette procédure jusqu’à $N=2$ on peut montrer qu’on réduit la ...@@ -928,11 +928,11 @@ continuant cette procédure jusqu’à $N=2$ on peut montrer qu’on réduit la
complexité algorithmique à $N\log N$ (mais on ne le démontrera pas dans complexité algorithmique à $N\log N$ (mais on ne le démontrera pas dans
ce cours). ce cours).
### Fréquence d’échantillonage ### Fréquence d’échantillonnage
Une question primordiale dans le calcul des transformée de Fourier (ou Une question primordiale dans le calcul des transformée de Fourier (ou
de l’analyse spectrale plus généralement) est la question de de l’analyse spectrale plus généralement) est la question de
l’échantillonage du signal que nous souhaitons analyser. Dans le monde l’échantillonnage du signal que nous souhaitons analyser. Dans le monde
réel un signal sonore, une image,... est considéré comme une quantité réel un signal sonore, une image,... est considéré comme une quantité
continue (il est représentée par une infinité de valeur). Lorsque nous continue (il est représentée par une infinité de valeur). Lorsque nous
souhaitons faire une analyse spectrale sur un ordinateur de ce signal, souhaitons faire une analyse spectrale sur un ordinateur de ce signal,
...@@ -958,10 +958,10 @@ alors on doit l’échantillonner avec une fréquence ...@@ -958,10 +958,10 @@ alors on doit l’échantillonner avec une fréquence
$1/\delta t_e=F_e\geq 2F_c$. De façon similaire, si on choisit un signal $1/\delta t_e=F_e\geq 2F_c$. De façon similaire, si on choisit un signal
et qu’on peut l’échantillonner avec une certaine précision (on détermine et qu’on peut l’échantillonner avec une certaine précision (on détermine
la fréquence maximale, $F_c$ qu’on veut pouvoir représenter dans le la fréquence maximale, $F_c$ qu’on veut pouvoir représenter dans le
signal) on a simplement besoin de choisir une fréquence d’échantillonage signal) on a simplement besoin de choisir une fréquence d’échantillonnage
$F_e\geq 2F_c$. Nous notons $F_N=2F_c$ la fréquence de Nyquist. En $F_e\geq 2F_c$. Nous notons $F_N=2F_c$ la fréquence de Nyquist. En
prenant $F_e=F_N$ on a que $N=1/F_e=1/F_N$ et que l’échantillonage prenant $F_e=F_N$ on a que $N=1/F_e=1/F_N$ et que l’échantillonnage
permet de représenter les fréquences plus petites que $F_N/2$. Si la permet de représenter les fréquences plus petites que $F_N/2$. Si la
fréquence d’échantillonage est plus petite que la fréquence de Nyquist fréquence d’échantillonnage est plus petite que la fréquence de Nyquist
de notre signal, on verra apparaître le phénomène de *repliement de de notre signal, on verra apparaître le phénomène de *repliement de
spectre* (aliasing en anglais). spectre* (aliasing en anglais).
06_probas_stats.md
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View file @ 295d1cbf
Probabilités et statistiques # Probabilités et statistiques
============================
Introduction à la statistique descriptive ## Introduction à la statistique descriptive
-----------------------------------------
En statistique, une *population* est un ensemble d’objets (d’individus) En statistique, une *population* est un ensemble d’objets (d’individus)
possédant un ou plusieurs *caractères* communs. L’étude des caractères possédant un ou plusieurs *caractères* communs. L’étude des caractères
...@@ -41,7 +39,7 @@ l’ensemble des valeurs possibles pour le dit caractère. ...@@ -41,7 +39,7 @@ l’ensemble des valeurs possibles pour le dit caractère.
--- ---
Illustration +.# #### Illustration {-}
1. Cas discret: On étudie la distribution de salaires annuels dans une 1. Cas discret: On étudie la distribution de salaires annuels dans une
entreprise. Les salaires possibles sont $40'000$, $50'000$, $60'000$ entreprise. Les salaires possibles sont $40'000$, $50'000$, $60'000$
...@@ -73,7 +71,7 @@ Illustration +.# ...@@ -73,7 +71,7 @@ Illustration +.#
Pour représenter de façon un peu plus parlante ces valeurs, deux Pour représenter de façon un peu plus parlante ces valeurs, deux
méthodes principales existent: le tableau ou le graphique. Pour méthodes principales existent: le tableau ou le graphique. Pour
illustrer les exemples précédents sous forme de tableau on obtient pour illustrer les exemples précédents sous forme de tableau on obtient pour
le cas des salaires (voir Tabl. @fig:salaires) le cas des salaires (voir Tabl. @tbl:salaires)
Salaire Nombre de salariés Salaire Nombre de salariés
--------- -------------------- --------- --------------------
...@@ -84,7 +82,7 @@ le cas des salaires (voir Tabl. @fig:salaires) ...@@ -84,7 +82,7 @@ le cas des salaires (voir Tabl. @fig:salaires)
: Tableau du nombre de salariés par salaire. {#tbl:salaires} : Tableau du nombre de salariés par salaire. {#tbl:salaires}
et du benchmark de l’application (voir Tabl. @fig:exec) et du benchmark de l’application (voir Tabl. @tbl:exec)
Temps d’exécution Nombre Temps d’exécution Nombre
------------------- -------- ------------------- --------
...@@ -122,7 +120,7 @@ $$f_i=\frac{n_i}{n}.$$ ...@@ -122,7 +120,7 @@ $$f_i=\frac{n_i}{n}.$$
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Exemple (Fréqunces) +.# #### Exemple (Fréquences) {-}
Les tableaux de fréquence des deux exemples précédents sont donnés par Les tableaux de fréquence des deux exemples précédents sont donnés par
...@@ -157,7 +155,7 @@ retrouverons dans les sections suivantes qui sont assez intuitives ...@@ -157,7 +155,7 @@ retrouverons dans les sections suivantes qui sont assez intuitives
--- ---
Propriété (Propriétés de la fréquence) +.# #### Propriété (Propriétés de la fréquence) {-}
1. Les fréquences sont toujours dans l’intervalle $[0,1]$ 1. Les fréquences sont toujours dans l’intervalle $[0,1]$
$$0\leq f_i\leq 1.$$ $$0\leq f_i\leq 1.$$
...@@ -192,7 +190,7 @@ tableaux @tbl:salaires et @tbl:exec (voir le ...@@ -192,7 +190,7 @@ tableaux @tbl:salaires et @tbl:exec (voir le
: Tableau des temps d'exécution et la fréquence et fréquences cumulées des temps d'exécution. {#tbl:exec_freqcum} : Tableau des temps d'exécution et la fréquence et fréquences cumulées des temps d'exécution. {#tbl:exec_freqcum}
Exercice (Fréquence cumulée) +.# #### Exercice (Fréquence cumulée) {-}
1. Tracer les graphes de la fréquence cumulée pour les deux exemples 1. Tracer les graphes de la fréquence cumulée pour les deux exemples
que nous avons vus. que nous avons vus.
...@@ -216,7 +214,7 @@ $$\bar{x}=\sum_{i=0}^{k-1}f_i\cdot x_i.$$ ...@@ -216,7 +214,7 @@ $$\bar{x}=\sum_{i=0}^{k-1}f_i\cdot x_i.$$
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Exercice (Propriétés de la moyenne) +.# #### Exercice (Propriétés de la moyenne) {-}
1. Démontrer la relation précédente. 1. Démontrer la relation précédente.
...@@ -226,7 +224,7 @@ Exercice (Propriétés de la moyenne) +.# ...@@ -226,7 +224,7 @@ Exercice (Propriétés de la moyenne) +.#
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Illustration (Moyenne) +.# #### Illustration (Moyenne) {-}
Pour l’exemple des salaires la moyenne est donnée par Pour l’exemple des salaires la moyenne est donnée par
$$\bar{x}_{\textrm{salaire}}=\frac{35\cdot40000+20\cdot50000+5\cdot60000+1\cdot1000000}{61}=60656.$$ $$\bar{x}_{\textrm{salaire}}=\frac{35\cdot40000+20\cdot50000+5\cdot60000+1\cdot1000000}{61}=60656.$$
...@@ -254,7 +252,7 @@ le reste est telle que $x_i\geq\tilde{x}$. ...@@ -254,7 +252,7 @@ le reste est telle que $x_i\geq\tilde{x}$.
Pour l’exemple des salaires le salaire médian est de $40000 CHF$, ce qui Pour l’exemple des salaires le salaire médian est de $40000 CHF$, ce qui
reflète beaucoup mieux la distribution des salaire de notre population. reflète beaucoup mieux la distribution des salaire de notre population.
Exercice (Moyenne, médiane) +.# #### Exercice (Moyenne, médiane) {-}
Calculer la moyenne et la médiane pour l’exemple du temps d’exécution Calculer la moyenne et la médiane pour l’exemple du temps d’exécution
(prendre la borne inférieure des intervalles pour chaque temps (prendre la borne inférieure des intervalles pour chaque temps
...@@ -284,7 +282,7 @@ $$s=\sqrt{v}.$$ ...@@ -284,7 +282,7 @@ $$s=\sqrt{v}.$$
--- ---
Exercice (Variance, écart-type) +.# #### Exercice (Variance, écart-type) {-}
Démontrer les relations suivantes Démontrer les relations suivantes
...@@ -305,7 +303,7 @@ $$s=\sqrt{v}=121440.$$ ...@@ -305,7 +303,7 @@ $$s=\sqrt{v}=121440.$$
--- ---
Exercice (Variance, écart-type) +.# #### Exercice (Variance, écart-type) {-}
Calculer la variance et l’écart type à partir des valeurs du benchmark Calculer la variance et l’écart type à partir des valeurs du benchmark
de l’application. de l’application.
...@@ -333,7 +331,7 @@ semi-inter-quartile. ...@@ -333,7 +331,7 @@ semi-inter-quartile.
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Exercice (Semi-inter quartile) +.# #### Exercice (Semi-inter quartile) {-}
Calculer les intervalles semi-inter-quartiles des exemples que nous Calculer les intervalles semi-inter-quartiles des exemples que nous
avons vus plus tôt dans le cours. avons vus plus tôt dans le cours.
...@@ -353,7 +351,7 @@ sera utile pour la suite. ...@@ -353,7 +351,7 @@ sera utile pour la suite.
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Définition +.# #### Définition {-}
- L’ensemble des résultats possibles du lancer de dé est - L’ensemble des résultats possibles du lancer de dé est
$\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$ et cet ensemble est appelé l’*univers* du $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$ et cet ensemble est appelé l’*univers* du
...@@ -387,7 +385,7 @@ $\Omega$ se réalisent $$\begin{aligned} ...@@ -387,7 +385,7 @@ $\Omega$ se réalisent $$\begin{aligned}
f(B)&=\frac{M}{N},\\ f(B)&=\frac{M}{N},\\
f(\Omega)&=\frac{N}{N}=1,\\ f(\Omega)&=\frac{N}{N}=1,\\
f(A\cup B)&=\frac{M+K}{N}=f(A)+f(B).\end{aligned}$$ Les *probabilités* f(A\cup B)&=\frac{M+K}{N}=f(A)+f(B).\end{aligned}$$ Les *probabilités*
de réalisation des événements ci-dessus peutvent être vues comme le de réalisation des événements ci-dessus peuvent être vues comme le
passage à la limite $N\rightarrow\infty$ tel que passage à la limite $N\rightarrow\infty$ tel que
$p(A),p(B)\in{\real}$ et $$\begin{aligned} $p(A),p(B)\in{\real}$ et $$\begin{aligned}
p(A)&=\lim_{\substack{N\rightarrow\infty,\\ K/N<\infty}}\frac{K}{N},\\ p(A)&=\lim_{\substack{N\rightarrow\infty,\\ K/N<\infty}}\frac{K}{N},\\
...@@ -426,7 +424,7 @@ la probabilité de tirer un nombre impair, est donnée par $1$ moins la ...@@ -426,7 +424,7 @@ la probabilité de tirer un nombre impair, est donnée par $1$ moins la
probabilité de réaliser l’événement pair probabilité de réaliser l’événement pair
$$p(\{1,3,5\})=1-p(\{2,4,6\})=\frac{1}{2}.$$ $$p(\{1,3,5\})=1-p(\{2,4,6\})=\frac{1}{2}.$$
### Evénements disjoints {#sec:disjoints} ### Événements disjoints {#sec:disjoints}
Considérons maintenant deux événements, $A=\{1,2\}$ et $B=\{3,4,5\}$. Considérons maintenant deux événements, $A=\{1,2\}$ et $B=\{3,4,5\}$.
Comme $A$ et $B$ n’ont pas d’éléments en commun, on dit que c’est deux Comme $A$ et $B$ n’ont pas d’éléments en commun, on dit que c’est deux
...@@ -460,7 +458,7 @@ $$p(A)=p(\{1\})+p(\{2\})=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}.$$ ...@@ -460,7 +458,7 @@ $$p(A)=p(\{1\})+p(\{2\})=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}.$$
On a que la probabilité de réaliser un événement est la somme des On a que la probabilité de réaliser un événement est la somme des
événements élémentaires qui le composent. événements élémentaires qui le composent.
### Evénements complémentaires ### Événements complémentaires
Considérons de nouveau l’événement $A=\{1,2\}$ et cette fois l’événement Considérons de nouveau l’événement $A=\{1,2\}$ et cette fois l’événement
$B=\Omega\backslash \{1,2\}=\{3,4,5,6\}$. L’événement $B$ est appelé $B=\Omega\backslash \{1,2\}=\{3,4,5,6\}$. L’événement $B$ est appelé
...@@ -476,7 +474,7 @@ $$p(B)=\frac{\mbox{nombre d'éléments dans }B}{\mbox{nombre d'éléments dans } ...@@ -476,7 +474,7 @@ $$p(B)=\frac{\mbox{nombre d'éléments dans }B}{\mbox{nombre d'éléments dans }
Ce résultat est très important car on calcule facilement $p(\bar A)$ si Ce résultat est très important car on calcule facilement $p(\bar A)$ si
on connaît $p(A)$. on connaît $p(A)$.
### Evénements non-disjoints ### Événements non-disjoints
Considérons de nouveau l’événement $A=\{1,2\}$ et cette fois Considérons de nouveau l’événement $A=\{1,2\}$ et cette fois
$B=\{2,3,4,5\}$. Les probabilités de réaliser les événements respectifs $B=\{2,3,4,5\}$. Les probabilités de réaliser les événements respectifs
...@@ -502,12 +500,12 @@ $$p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)=p(A)+p(B)-p(\emptyset)=p(A)+p(B).$$ ...@@ -502,12 +500,12 @@ $$p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)=p(A)+p(B)-p(\emptyset)=p(A)+p(B).$$
### Axiomes des probabilités ### Axiomes des probabilités
Tous ces concepts que nous avons vus précédemments peuvent être vus Tous ces concepts que nous avons vus précédemment peuvent être vus
comme la conséquences des trois axiomes des probabilités suivants comme la conséquences des trois axiomes des probabilités suivants
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Définition (Axiomes des probabilités) +.# #### Définition (Axiomes des probabilités) {-}
Soit $\Omega$ un univers. La probabilité de Soit $\Omega$ un univers. La probabilité de
réaliser un événement $A\subseteq\Omega$ est une fonction $p(A)$ qui réaliser un événement $A\subseteq\Omega$ est une fonction $p(A)$ qui
...@@ -520,7 +518,7 @@ axiomes suivants ...@@ -520,7 +518,7 @@ axiomes suivants
3. Soit $B\subseteq\Omega$. Si $A\cap B=\emptyset$, alors 3. Soit $B\subseteq\Omega$. Si $A\cap B=\emptyset$, alors
$$p(A\cup B)=p(A)+p(B).$$ La probabilité de réalisation de deux $$p(A\cup B)=p(A)+p(B).$$ La probabilité de réalisation de deux
évéenements incompatibles est égale à la somme de réalisation de événements incompatibles est égale à la somme de réalisation de
chacun d’entre eux. chacun d’entre eux.
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...@@ -529,7 +527,7 @@ De ces axiomes découlent tout un tas de théorèmes ...@@ -529,7 +527,7 @@ De ces axiomes découlent tout un tas de théorèmes
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Théorème +.# #### Théorème {-}
Pour $A,B\subseteq\Omega$ et $\Omega$ un univers et $p$ une probabilité. Pour $A,B\subseteq\Omega$ et $\Omega$ un univers et $p$ une probabilité.
...@@ -585,7 +583,7 @@ $p(A|B)$, tel que $$p(A|B)=\frac{p(A\cap B)}{p(B)}.$$ ...@@ -585,7 +583,7 @@ $p(A|B)$, tel que $$p(A|B)=\frac{p(A\cap B)}{p(B)}.$$
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Exercice (Probabilités conditionnelles) +.# #### Exercice (Probabilités conditionnelles) {-}
Sur une population de 1000 hommes qui naissent, 922 atteignent l’âge de Sur une population de 1000 hommes qui naissent, 922 atteignent l’âge de
50 ans et 665 l’âge de 70 ans. 50 ans et 665 l’âge de 70 ans.
...@@ -601,7 +599,7 @@ Sur une population de 1000 hommes qui naissent, 922 atteignent l’âge de ...@@ -601,7 +599,7 @@ Sur une population de 1000 hommes qui naissent, 922 atteignent l’âge de
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### Evénements indépendants ### Événements indépendants
Prenons maintenant le cas “pathologique” où nous cherchons la Prenons maintenant le cas “pathologique” où nous cherchons la
probabilité conditionnelle $p(A|B)$, mais où la réalisation de $B$ n’a probabilité conditionnelle $p(A|B)$, mais où la réalisation de $B$ n’a
...@@ -622,18 +620,18 @@ $A$ soit “tirer un 6 au premier tirage” et que l’événement $B$ soit ...@@ -622,18 +620,18 @@ $A$ soit “tirer un 6 au premier tirage” et que l’événement $B$ soit
$$p(A)=\frac{1}{6},\quad p(B)=\frac{1}{6},\quad p(A\cap B)=\frac{1}{36}.$$ $$p(A)=\frac{1}{6},\quad p(B)=\frac{1}{6},\quad p(A\cap B)=\frac{1}{36}.$$
On a donc bien $p(A\cap B)=p(A)\cdot p(B)$ et les événements sont On a donc bien $p(A\cap B)=p(A)\cdot p(B)$ et les événements sont
indépendants. Cela semble bien naturel étant donné que le premier tirage indépendants. Cela semble bien naturel étant donné que le premier tirage
du dé ne va en rien influencer le résultat du deuxieme tirage. Tout du dé ne va en rien influencer le résultat du deuxième tirage. Tout
comme un tirage de l’euromillions d’une semaine ne va pas influencer le comme un tirage de l’euromillions d’une semaine ne va pas influencer le
résultat de celui de la semaine suivante. résultat de celui de la semaine suivante.
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Exercice (Evénements indépendants) +.# #### Exercice (Événements indépendants) {-}
On jette une pièce de monnaie deux fois de On jette une pièce de monnaie deux fois de
suite. Les résultats possible pour chaque jet sont: $P$, ou $F$. suite. Les résultats possible pour chaque jet sont: $P$, ou $F$.
1. Ecrivez l’univers des événements. 1. Écrivez l’univers des événements.
2. Calculez les probabilités des événements $A$ “face au premier jet”, 2. Calculez les probabilités des événements $A$ “face au premier jet”,
$B$ “pile au second jet”. $B$ “pile au second jet”.
...@@ -677,7 +675,7 @@ Comme pour le cas à un tirage, tout tirage successif de dés est ...@@ -677,7 +675,7 @@ Comme pour le cas à un tirage, tout tirage successif de dés est
équiprobable et la probabilité de chaque tirage est de $1/36$. équiprobable et la probabilité de chaque tirage est de $1/36$.
Une autre façon de calculer la probabilité d’obtenir $A=\{26\}$ est de Une autre façon de calculer la probabilité d’obtenir $A=\{26\}$ est de
constater que la probabilié d’obtenir ce tirage succesif est la constater que la probabilité d’obtenir ce tirage successif est la
probabilité de tirer $2$, puis la probabilité de tirer $6$. La probabilité de tirer $2$, puis la probabilité de tirer $6$. La
probabilité de cet enchaînement est obtenu en multipliant les événements probabilité de cet enchaînement est obtenu en multipliant les événements
élémentaires élémentaires
...@@ -733,7 +731,7 @@ $1/6$. On a donc que $$p(A)=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{18}.$$ ...@@ -733,7 +731,7 @@ $1/6$. On a donc que $$p(A)=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{18}.$$
--- ---
Exercice +.# #### Exercice {-}
1. Calculer la probabilité d’obtenir $2$ comme la somme des deux 1. Calculer la probabilité d’obtenir $2$ comme la somme des deux
nombres tirés par deux dés. nombres tirés par deux dés.
...@@ -758,7 +756,7 @@ Exercice +.# ...@@ -758,7 +756,7 @@ Exercice +.#
### La distribution multinomiale ### La distribution multinomiale
Plus nous allon rajouter des tirages successifs plus il va être Plus nous allons rajouter des tirages successifs plus il va être
compliqué de calculer les probabilités de tirer une certaine combinaison compliqué de calculer les probabilités de tirer une certaine combinaison
de nombres. Il existe néanmoins une formule qui généralise les tirages de nombres. Il existe néanmoins une formule qui généralise les tirages
successifs avec remise. Prenons le cas où nous avons un dé qui ne donne successifs avec remise. Prenons le cas où nous avons un dé qui ne donne
...@@ -805,7 +803,7 @@ $$p([n_1,...,n_k])=\frac{n!}{n_1!\cdots n_k!}p_1^{n_1}\cdots p_k^{n_k}.$$ ...@@ -805,7 +803,7 @@ $$p([n_1,...,n_k])=\frac{n!}{n_1!\cdots n_k!}p_1^{n_1}\cdots p_k^{n_k}.$$
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Exercice +.# #### Exercice {-}
On lance un dé parfait 10 fois. Quelle est la probabilité d’obtenir: On lance un dé parfait 10 fois. Quelle est la probabilité d’obtenir:
...@@ -874,7 +872,7 @@ $p(\{5,2\}\backslash \{2\mbox{ ou }5)=\frac{1}{5}$ pour trouver la probabilité ...@@ -874,7 +872,7 @@ $p(\{5,2\}\backslash \{2\mbox{ ou }5)=\frac{1}{5}$ pour trouver la probabilité
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Exerice +.# #### Exercice {-}
1. Le jeu Euromillions consiste en un tirage de 5 numéros parmi 50 1. Le jeu Euromillions consiste en un tirage de 5 numéros parmi 50
possible, puis par le tirage de 2 “étoiles” parmi 11 possibles. possible, puis par le tirage de 2 “étoiles” parmi 11 possibles.
...@@ -986,7 +984,7 @@ Prenons ces trois questions une par une ...@@ -986,7 +984,7 @@ Prenons ces trois questions une par une
1. Les deux façons d’obtenir $X=1$ est d’avoir les tirages $(p,f)$ ou 1. Les deux façons d’obtenir $X=1$ est d’avoir les tirages $(p,f)$ ou
$(f,p)$, soit $A=\{(p,f), (f,p)\}$. Les probabilités de chacun des $(f,p)$, soit $A=\{(p,f), (f,p)\}$. Les probabilités de chacun des
événements de l’univers étants équiprobables on a événements de l’univers étant équiprobables on a
$$p(X=1)=p(A)=1/2.$$ $$p(X=1)=p(A)=1/2.$$
2. Le seul événement donnant un $X$ qui n’est pas dans l’intervalle 2. Le seul événement donnant un $X$ qui n’est pas dans l’intervalle
...@@ -1004,7 +1002,7 @@ On peut noter dans le cas général qu’on a $D=X^{-1}(I)$. ...@@ -1004,7 +1002,7 @@ On peut noter dans le cas général qu’on a $D=X^{-1}(I)$.
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Définition (Variable aléatoire) +.# #### Définition (Variable aléatoire) {-}
On dit que la fonction $X:\Omega\rightarrow{\real}$ est une On dit que la fonction $X:\Omega\rightarrow{\real}$ est une
*variable aléatoire* si la préimage de $X$ sur tout intervalle, *variable aléatoire* si la préimage de $X$ sur tout intervalle,
...@@ -1016,7 +1014,7 @@ probabilité de réaliser l’événement $A$ $$p(X\in I)=p(A).$$ ...@@ -1016,7 +1014,7 @@ probabilité de réaliser l’événement $A$ $$p(X\in I)=p(A).$$
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Définition (Fonction de répartition) +.# #### Définition (Fonction de répartition) {-}
On dit que la fonction $F:{\real}\rightarrow{\real}$ est une On dit que la fonction $F:{\real}\rightarrow{\real}$ est une
*fonction de répartition* si $F(x)=p(X\leq x)$ pour tout *fonction de répartition* si $F(x)=p(X\leq x)$ pour tout
...@@ -1049,7 +1047,7 @@ fonction `rand()` de $C$, $M$ est donné par la constante prédéfinie ...@@ -1049,7 +1047,7 @@ fonction `rand()` de $C$, $M$ est donné par la constante prédéfinie
`RAND_MAX` qui and certains cas est $2^{31}-1$). La probabilité de tirer `RAND_MAX` qui and certains cas est $2^{31}-1$). La probabilité de tirer
chacun des nombres dans l’intervalle $A$ est égale. On dit que la chacun des nombres dans l’intervalle $A$ est égale. On dit que la
distribution des nombres est uniforme. De plus, les nombres tirés ne distribution des nombres est uniforme. De plus, les nombres tirés ne
doivent pas dépendre de l’histoire des nombres tirés précédemment et on dit que les nombres sont idépendants. doivent pas dépendre de l’histoire des nombres tirés précédemment et on dit que les nombres sont indépendants.
Si on veut maintenant plutôt tirer des nombres réels uniformément Si on veut maintenant plutôt tirer des nombres réels uniformément
distribués entre $[0,1]$, il suffit de diviser les nombres $X_i$ par $m$ distribués entre $[0,1]$, il suffit de diviser les nombres $X_i$ par $m$
...@@ -1145,7 +1143,7 @@ Bien que ne soyant pas parfaits ces générateurs ont aussi le grand avantage ...@@ -1145,7 +1143,7 @@ Bien que ne soyant pas parfaits ces générateurs ont aussi le grand avantage
d’être très rapides et peu gourmands en ressources de calcul. La d’être très rapides et peu gourmands en ressources de calcul. La
facilité de description et d’utilisation de tels générateurs, permet des facilité de description et d’utilisation de tels générateurs, permet des
tests très poussés quant à leur qualités et leurs limites par la tests très poussés quant à leur qualités et leurs limites par la
communauté scientifique. Finalement, les besoins de débuggage de codes, communauté scientifique. Finalement, les besoins de débogage de codes,
la reproductibilité d’une série de nombres aléatoires peut être d’un la reproductibilité d’une série de nombres aléatoires peut être d’un
grand secours. grand secours.
...@@ -1289,5 +1287,5 @@ expérimentalement pour $k$ de l’ordre de la période du générateur de ...@@ -1289,5 +1287,5 @@ expérimentalement pour $k$ de l’ordre de la période du générateur de
nombres aléatoires. Des analyses théoriques sont dès lors primordiales, nombres aléatoires. Des analyses théoriques sont dès lors primordiales,
mais bien en dehors du champs de ce cours... mais bien en dehors du champs de ce cours...
Il existe beaucoup d’autres possiblités (il y a des recommandations Il existe beaucoup d’autres possibilités (il y a des recommandations
sur le site `http://www.random.org`) pour tester des nombres aléatoires. sur le site `http://www.random.org`) pour tester des nombres aléatoires.
Makefile
+ 12
− 9
View file @ 295d1cbf
...@@ -4,7 +4,6 @@ STYLES := css/tufte-css/tufte.css \ ...@@ -4,7 +4,6 @@ STYLES := css/tufte-css/tufte.css \
css/tufte-extra.css css/tufte-extra.css
OPTIONS = --toc OPTIONS = --toc
OPTIONS += --filter=pandoc-numbering
OPTIONS += --filter=pandoc-crossref OPTIONS += --filter=pandoc-crossref
PDFOPTIONS = --highlight-style kate PDFOPTIONS = --highlight-style kate
...@@ -23,10 +22,10 @@ all: cours.pdf cours.html ...@@ -23,10 +22,10 @@ all: cours.pdf cours.html
# %.tex: %.md # %.tex: %.md
# pandoc -s $(OPTIONS) $(PDFOPTIONS) -o $@ $< # pandoc -s $(OPTIONS) $(PDFOPTIONS) -o $@ $<
cours.pdf: 00_macros.md 01_rappel.md 02_integrales.md 03_optimisation.md 04_edo.md 05_fourier.md 06_probas_stats.md 07_remerciements.md 08_notes.md cours.pdf: 00_macros.md 01_rappel.md 02_optimisation.md 03_integrales.md 04_edo.md 05_fourier.md 06_probas_stats.md 07_remerciements.md 08_notes.md
pandoc -s $(OPTIONS) $(PDFOPTIONS) -o $@ $^ --metadata-file metadata.yaml pandoc -s $(OPTIONS) $(PDFOPTIONS) -o $@ $^ --metadata-file metadata.yaml
cours.html: 00_macros.md 01_rappel.md 02_integrales.md 03_optimisation.md 04_edo.md 05_fourier.md 06_probas_stats.md 07_remerciements.md 08_notes.md cours.html: 00_macros.md 01_rappel.md 02_optimisation.md 03_integrales.md 04_edo.md 05_fourier.md 06_probas_stats.md 07_remerciements.md 08_notes.md
pandoc -s $(OPTIONS) $(HTMLOPTIONS) -o $@ $^ --metadata-file metadata.yaml pandoc -s $(OPTIONS) $(HTMLOPTIONS) -o $@ $^ --metadata-file metadata.yaml
deploy: all deploy: all
...@@ -34,13 +33,17 @@ deploy: all ...@@ -34,13 +33,17 @@ deploy: all
cp cours.html mti/index.html cp cours.html mti/index.html
cp cours.pdf mti/cours.pdf cp cours.pdf mti/cours.pdf
mkdir -p mti/tpIntegrales mkdir -p mti/tpIntegrales
make -C tpIntegrales make -C travaux_pratiques/tpIntegrales
cp tpIntegrales/*.pdf mti/tpIntegrales/ cp travaux_pratiques/tpIntegrales/*.pdf mti/tpIntegrales/
cp tpIntegrales/tp_integrales_conv.html mti/tpIntegrales/index.html cp travaux_pratiques/tpIntegrales/tp_integrales_conv.html mti/tpIntegrales/index.html
mkdir -p mti/tpEdo mkdir -p mti/tpEdo
make -C tpEdo make -C travaux_pratiques/tpEdo
cp tpEdo/*.pdf mti/tpEdo/ cp travaux_pratiques/tpEdo/*.pdf mti/tpEdo/
cp tpEdo/tpEquadiffs.html mti/tpEdo/index.html cp travaux_pratiques/tpEdo/tpEquadiffs.html mti/tpEdo/index.html
mkdir -p mti/tpOptimisation
make -C travaux_pratiques/tpOptimisation
cp travaux_pratiques/tpOptimisation/*.pdf mti/tpOptimisation/
cp travaux_pratiques/tpOptimisation/tpOptimisation.html mti/tpOptimisation/index.html
clean: clean:
rm -rf *.html *.pdf rm -rf *.html *.pdf
exemples/zero.c 0 → 100644
+ 28
− 0
View file @ 295d1cbf
#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <stdlib.h>
double f(double x) {
return x * x - 25.0;
}
double next_x(double x1, double x2, double (*foo)(double)) {
return x1 - (x2-x1)/(foo(x2)-foo(x1))*foo(x1);
}
int main() {
const int max_iter = 1000;
double x1 = rand();
double x2 = rand();
printf("x1 = %f, x2 = %f\n", x1, x2);
for (int i = 0; i < max_iter; ++i) {
double x3 = next_x(x1, x2, f);
x1 = x2;
x2 = x3;
printf("x3 = %f, f(%f) = %f, at iter = %d\n", x3, x3, f(x3), i);
if (fabs(f(x3)) < 0.00001 ) {
return EXIT_SUCCESS;
}
}
return EXIT_FAILURE;
}
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tpEdo/Makefile → travaux_pratiques/tpEdo/Makefile
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View file @ 295d1cbf
...@@ -13,9 +13,9 @@ PDFOPTIONS += --template=./default.latex ...@@ -13,9 +13,9 @@ PDFOPTIONS += --template=./default.latex
HTMLOPTIONS += -t html5 HTMLOPTIONS += -t html5
HTMLOPTIONS += -c ../css/styling.css HTMLOPTIONS += -c ../../css/styling.css
HTMLOPTIONS += --self-contained HTMLOPTIONS += --self-contained
HTMLOPTIONS += --mathjax=../MathJax.js HTMLOPTIONS += --mathjax=../../MathJax.js
MD=$(wildcard *.md) MD=$(wildcard *.md)
HTML=$(MD:%.md=%.html) HTML=$(MD:%.md=%.html)
......
tpEdo/tpEquadiffs.md → travaux_pratiques/tpEdo/tpEquadiffs.md
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...@@ -103,7 +103,7 @@ où les constantes sont données par $\beta=8/3$, $\sigma=10$, et $\rho=28$. ...@@ -103,7 +103,7 @@ où les constantes sont données par $\beta=8/3$, $\sigma=10$, et $\rho=28$.
![Solution dans le plan $x-z$ de l'équation de Lorenz pour une solution ![Solution dans le plan $x-z$ de l'équation de Lorenz pour une solution
initiale donnée (image tirée de initiale donnée (image tirée de
Wikipedia).](../figs/1024px-Lorenz_system_r28_s10_b2-6666.png){#fig_lorenz Wikipedia).](../../figs/1024px-Lorenz_system_r28_s10_b2-6666.png){#fig_lorenz
width="50%"} width="50%"}
La solution de l'équation de Lorenz est dite *chaotique*. Cela signifie La solution de l'équation de Lorenz est dite *chaotique*. Cela signifie
......
tpEdo/tpEquadiffs.tex → travaux_pratiques/tpEdo/tpEquadiffs.tex
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tpFourier/tpFourier.tex → travaux_pratiques/tpFourier/tpFourier.tex
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